ManualCBparte1MatFin

MATEMATICAS FINANCIERAS

Introducción: Matemáticas Financieras

Generalidades

En el ámbito de las operaciones de un Banco, el conocimiento y correcto manejo

de los conceptos y técnicas que cubre esta disciplina, resulta de vital importancia

dentro del contexto de las dos funciones básicas de este tipo de instituciones, que

son la captación y la colocación de fondos.

En consecuencia, los aspectos referentes a tasas de interés, valor del dinero en el

tiempo, y evaluación económica de proyectos, se van a revisar con detalle en este

manual de auto-instrucción, con el propósito de que el funcionario adquiera el

conocimiento y manejo de los instrumentos de aplicación correspondientes, que

contribuyan de una mejor manera a la resolución de problemas y comprensión de

las operaciones cotidianas dentro del contexto de banca comercial y de inversión.

Después de concluir el material que se refiere a este tema, el funcionario tendrá la

habilidad necesaria para poder conocer, comprender y aplicar las diferentes

herramientas que implica el conocimiento básico de las matemáticas financieras.

El curso está dividido en tres unidades:

- Unidad 1.- Tasas de interés: Interés simple, descuento, interés

compuesto y otras aplicaciones.

- Unidad 2.- Valor del dinero en el tiempo y anualidades

- Unidad 3.- Aplicaciones diversas, incluida la evaluación económica de

Proyectos.

1

El curso ha sido diseñado bajo el esquema de manual de trabajo, mismo que

sigue una secuencia lógica, y utiliza un formato de auto-instrucción. Se deben

estudiar las diferentes unidades, preferentemente en el orden que se presentan,

en virtud de que la información que contiene cada unidad resulta útil para una

mejor comprensión de la unidad siguiente.

Cada unidad presenta los elementos siguientes:

- Objetivos

- Texto

- Ejercicios prácticos y revisión de avance

- Guía de respuestas

En virtud de que el curso es de auto-instrucción, su desarrollo no será

supervisado. El mismo está diseñado para ser revisado en un máximo de 40

horas.

2

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO:

roporcionar al funcionario la comprensión y conocimientos de los

instrumentos más usuales en el campo de las matemáticas financieras,

aplicadas para fines de su utilización en aspectos referentes al ámbito de la

inversiones.

P

OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL CURSO:

1. Facilitar la identificación de situaciones específicas de incidencia de las tasas

de interés en operaciones de crédito e inversión.

2. Diferenciar los conceptos de interés simple y compuesto, así como efectuar el

cálculo de los mismos en función a operaciones de tipo bancario.

3. Percibir la importancia y utilización del concepto del valor del dinero en el

tiempo.

4. Comprender y determinar el costo real del dinero en función de plazos,

descuentos y condiciones a que puede sujetarse un crédito o una inversión.

5. Formula tablas de amortización en base a préstamos que contemplan pagos

periódicos.

6. Evaluar alternativas de inversión con base a instrumentos de uso generalizado

en el campo financiero.

3

UNIDAD IUNIDAD I

TASAS DE INTERESTASAS DE INTERES

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

En esta unidad:

Revisaremos los aspectos fundamentales de las tasas de interés y analizaremos

el contenido de los conceptos de interés simple y compuesto.

Aplicaremos los esquemas numéricos a la solución de problemas de captación y

colocación.

Conoceremos elementos de tasas de interés de relevancia para el proceso de

evaluación y análisis de crédito.

SECCION 1

INTRODUCCION

En la esencia de la generalidad de las transacciones financieras se tiene

el concepto de interés, que puede definirse como la compensación que tiene que

cubrirse por el uso de dinero obtenido en préstamo o entregado a crédito.

Por lo tanto, el concepto de tasas de interés se refiere básicamente al

porcentaje por el cual un individuo, empresa u organismo, será retribuido por

intercambiar dinero actual por dinero en el futuro.

4

En otros términos por tasas de interés podemos entender lo siguiente:

a) El precio que se paga por dinero tomado en préstamo

b) El costo de pedir dinero prestado

c) El pago por el uso de dinero

En virtud de la existencia de numerosos instrumentos de colocación e inversión

resulta indispensable tener un grado aceptable de comprensión de la mecánica del

cálculo inherente a cada alternativa, no sólo como apoyo a una explicación a los

clientes que así lo requieran, sino como fundamento a su determinación para fines

de comprobación o negociación.

CONCEPTO Y DETERMINACIÓN DEL INTERÉS SIMPLE

¿Qué es una tasa de interés?

Es una unidad de medida que nos sirve para expresar en porcentaje la

relación existente entre dos cantidades.

En la terminología bancaria, a las tasas de interés se les conoce bajo dos dimensiones:

1.- Tasas activas.- Que son aquellas que se cobran a los clientes a los que se les otorga algún tipo de préstamo.

2.- Tasas pasivas.- Que son aquellas que se pagan a los ahorradores que depositan sus recursos en el Banco.

Por necesidad, el importe de las tasas activas debe ser superior al importe de las tasas pasivas, a efecto de que la Institución de Crédito pueda operar con una rentabilidad positiva.

A la diferencia entre las tasas activas y las tasas pasivas se le denomina margen, que representa el porcentaje de utilidad que se obtiene a través de la

5

intermediación financiera entre entidades que requieren de dinero y aquellas que tienen excedentes del mismo.

El interés simple está basado en un cálculo efectuado, tomando en

consideración una tasa determinada, expresada en porcentaje, el capital sobre el

que se va a generar el interés y el tiempo a que va a estar sujeta la operación.

Por capital debemos entender la base de dinero sobre la cual es posible

determinar un premio o costo, llamado interés, en función a su destino de ahorro

o préstamo.

Tiempo es el lapso al que está referida la operación en la cual se calcula

el interés.

Se dice que el interés es simple cuando el producto del préstamo, que

debe cubrirse en un tiempo determinado, no se incorpora al capital para el cálculo

de nuevos intereses, o bien, porque el capital que genera el interés permanece

siempre constante.

DETERMINACION DEL INTERES

Para efecto del cálculo del interés simple hay que considerar la existencia

de tres variables conocidas y una desconocida que se pueden indicar como sigue:

C = capital

N = tiempo

T = tasa expresado en porcentaje como tanto por uno y en función al

tiempo

I = interés expresado en pesos

6

De donde se deriva la fórmula siguiente:

I = C x T x N

Que significa que el interés se determina multiplicando al capital, por la

tasa y por el tiempo.

Al respecto resulta conveniente expresar la tasa en función al tanto por

uno, dividiéndola entre 100, a fin de evitar hacerlo en el numerador de la fórmula.

A continuación vamos a resolver un ejercicio relativo a un préstamo en

donde se emplea la fórmula del interés simple:

Un cliente solicita un crédito por $58,000.00 a un plazo de un año,

comprometiéndose a pagar una tasa anual del 30% al finalizar el plazo. ¿Cuánto

interés tendrá que pagar sobre ese préstamo?

Por lo tanto:

C = 58,000

N = 1

T = 30 = .30

Por lo que al aplicar la fórmula general, obtenemos el siguiente resultado:

I = 58,000 x .30 x 1

I = $17,400.00

7

Veamos ahora un ejemplo de ahorro al respecto. Si el Banco ofrece una

tasa de interés del 12% a un depósito que permanezca durante un año en el

mismo, siendo este de $1,000.00, el interés correspondiente se calcula como

sigue:

I = 1,000 x.12 x 1

I = $120.00

DETERMINACION DE CAPITAL, TASA Y TIEMPO

Siguiendo el mismo ejemplo la fórmula general se puede despejar para

poder determinar cualquier incógnita, tiempo, tasa o capital en función a tres

elementos conocidos.

C =

T =

N =

Que substituyendo con los datos anteriores, del ejemplo del ahorro, nos

muestra los siguientes resultados:

C = = $1,000.00

T = = .12 = 12%

N = = 1

8

ITN

ICN

ICT

1201,000 x 1

1201,000 x .12

120.12 x 1

Una variante en función al tiempo, que suele ser lo más común, es la de

que este, esté expresado en períodos diferentes a un año: días, meses,

semestres, trimestres, cuatrimestres, etc. Para cuyo fin se hace necesario

expresar la tasa correspondiente de manera acorde al período, esto es, dividir la

tasa anual entre el número de períodos que comprenda el plazo y considerar el

tiempo en función al período.

Para un período en meses:

I =

Para un período semestral:

I =

Para un período en días:

I =

Por ejemplo, si en el caso de un préstamo de $10,000.00 pesos a la tasa

del 21% anual durante un período de 90 días, el cálculo correspondiente arrojaría

el resultado siguiente:

I = = $525.00 de interés a pagar

9

C x T x N12

(expresado en número de meses)

C x T x N2

(igual a 1)

C x T x N360

(expresada en número de días)

10,000 x .21 x 90360

En tanto que si el plazo fuese de 2 meses, el interés se determina de la

forma siguiente:

I = = $350.00 de interés a pagar

En relación con lo anterior hay que mencionar que en la práctica bursátil y

comercial se utilizan 360 días como unidad de descomposición del año. No

obstante si desea una mayor exactitud en los cálculos hay necesidad de emplear

365 o 366 días dependiendo si se trata o no de un año bisiesto. Aunque cabe

señalar que en el primer caso, con 360 días, se incrementa ligeramente el importe

ganado por el otorgante del crédito o préstamo.

En función a la tasa de interés, si por ejemplo se quisiera saber cual es la

correspondiente a $9,000.00 depositados a un mes que generan intereses por

$162.00, la misma se calcula como sigue:

T = = = 0.18 ó 1.8 mensual

En cambio si el período fuese de dos meses, se substituiría por un 2 la N

del denominador y el resultado sería el siguiente:

T = = .009 ó 0.9% mensual

O bien, se dividiría simplemente la tasa de interés del período 1.8% entre

2, para así llegar al 0.9% mensual.

ALTERNATIVAS EN CUANTO A PLAZO Y AÑO

10

10,000 x .21 x 2 12

IC x N

1629,000 x 1

1629,000 x 2

Para el cálculo de una operación de préstamo a plazo inferior a un año, la

variable tiempo puede determinarse bajo dos procedimientos, en forma exacta y

en forma aproximada.

El plazo exacto es el número de días reales que transcurren entre la fecha

de inicio y la fecha de terminación del crédito. En tanto que el plazo aproximado

parte de la base de que cada mes tiene 30 días.

Por su parte, el año exacto es el que se refiere al número de días reales

que tiene el calendario, 365 o 366 en caso de año bisiesto. Mientras que el año

estimado es al que se le asignan 360 días.

Por lo consiguiente, estamos hablando de 4 posibilidades de cálculo, si

mezclamos ambos componentes, plazo y año:

- Plazo exacto y año exacto

- Plazo exacto y año estimado

- Plazo estimado y año estimado

- Plazo estimado y año exacto

Al respecto es necesario efectuar los cálculos correspondientes en las 4

alternativas, a efecto de determinar el importe de los intereses en cada una de

ellas:

Vamos a considerar el ejemplo siguiente:

Un préstamo por $50,000.00 a la tasa del 24% anual, otorgado el 1º. de

marzo de 1998, con vencimiento al 31 de mayo de 1998.

Plazo exacto y año exacto:

11

En donde:

Año = 365 días

Plazo = 92 días

.24I = 50,000 x ----------- x 92 ; I = 50,000 x .000658 x 92 365

I = $3,024.66

Plazo exacto y año estimado:

En donde:

Año = 360 días

Plazo = 92 días

.24I = 50,000 x --------- x 92 ; I = 50,000 x .000667 x 92 360

I = $3,066.67

Plazo estimado y año estimado:

En donde:

Año = 360 días

Plazo = 90 días

.24

12

I = 50,000 x --------- x 90 ; 50,000 x .000667 x 90 360

I = $3,000.00

Plazo estimado y año exacto:

En donde:

Año = 365 días

Plazo = 90 días

.24I = 50,000 x --------- x 90 ; I = 50,000 x .000658 x 90 365

I = $2,958.90

De donde podemos deducir que la mejor alternativa para el Banco resulta

la opción de calcular los intereses en función a un año estimado y un plazo

exacto, en tanto que la peor opción para la Institución de Crédito está

representada por el cálculo en base del plazo estimado y el año exacto.

Pasemos a continuación a realizar un ejercicio de determinación de

interés, tasa, tiempo y capital, para el caso de un crédito a corto plazo, en donde

veremos el ajuste que hay que realizar a las variables tasa y tiempo.

Tenemos un préstamo por $100,000, que se efectúa el 5 de marzo de

1998, y que vence el 5 de junio del mismo año, a la tasa anual del 25%, sobre el

que queremos conocer el interés que se tiene que pagar.

13

Al respecto la fórmula que se va a aplicar es la siguiente:

I = C x T x N

Como recordará, se tienen que ajustar las variables de tasa y tiempo, a

efecto de poder reflejar el periodo a utilizar.

Por lo tanto:

TT = ------- 360 (estimados)

N = 92 días exactos

Con lo que queda la fórmula como sigue:

T

I = C x -------- x N (expresada en días)

360

Substituyendo:

.25I = 100,000 x ------ x 92 360

I = 100,000 x .000694 x 92

I = $6,388.89

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Para el caso del cálculo del capital, la fórmula quedaría ajustada como

sigue:

I IC = ------------ ; o bien: C = ------------ x 360 T T x N ------ x N (expresado en días) 360

Para nuestro ejemplo:

6,388.89C = ---------------- .25 -------- x 92 360

C = $100,000

Mientras que si queremos conocer la tasa, la fórmula quedaría como

sigue:

I IT = --------------- ; o bien, T = ------------- x 360 N C x N C x -------- 360

Para el ejemplo que nos ocupa:

6,388.89T = -------------------------- 92 100,000 x -------- 360

15

T = .25 (Como tanto por uno)

Misma que si queremos convertir en porcentaje, tenemos que multiplicar

por 100 para así llegar al 25%.

En tanto que si la incógnita es el tiempo, N, entonces la fórmula queda

como sigue:

I IN = ------------------ ; o bien: N = ----------- x 360 T C x T C x ----- 360

Para nuestro ejemplo, tendríamos entonces que substituir de la manera

siguiente:

6,388.89

N = -------------------------

.25 100,000 x -------- 360

N = 92 días

MONTO EN EL INTERES SIMPLE

Uno de los aspectos relevantes del interés simple consiste en que este se

acumula siempre por cantidades iguales por cada período en tanto no se

modifique la base, o capital, ni la tasa de interés.

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Por lo consiguiente, la determinación del importe de dicha acumulación se

lleva a cabo añadiendo simplemente al capital y al importe del interés causado.

Cálculo que puede quedar expresado de la manera siguiente:

M = Monto recibido al final del período

M = C + I

En donde I = C x T x N, por lo tanto:

M = C + ( C x T x N )

Fórmula que también se puede representar de la manera siguiente:

M = C ( 1 + (T x N ))

Veamos a continuación un ejercicio de determinación del monto, bajo el esquema

de interés simple:

Un préstamo a 1 año, por $1,000, a la tasa del 12% anual, en donde se quiere

conocer cual es el importe global, capital más intereses, que el cliente tendrá que

reembolsar al Banco.

Empleando la primera fórmula:

M = C + ( C x T x N )

M = 1,000 + ( 1,000 x (.12 x 1))

M = $1,120

O bien, empleando la segunda fórmula:

M = C x ( 1 + ( T x N ))

17

M = 1,000 (1 + (.12 x 1) )

M = $1,120

18

Bajo el supuesto de que el período fuese de 5 años, entonces el monto se

calcularía como sigue:

M = 1,000 + ( 1,000 x .12 x 5)

M = 1,000 + ( 600 )

M = $1,600.00

Que sería el resultante de acumular al capital de $1,000.00 los $120.00

ganados al año durante 5 períodos, es decir, 600.

Para efecto de determinar el capital, la tasa, el interés o el tiempo en

función al monto las fórmulas correspondientes, una vez despejadas, quedan

como sigue:

C =

Que es lo mismo que restar al monto el importe del interés, o sea:

C = M – I

El interés a su vez se determina restando el capital del monto, es decir:

I = M – C

En tanto que la tasa y el tiempo se calculan como sigue:

T =

N =

19

M(1 + (T x N) )

M - CC x N

M - CC x T

Con lo que substituyendo los datos del último ejemplo anteriormente

presentado, se tienen los resultados siguientes:

C = = $1,000.00

O bien:

C = 1,600 – 600 = $1,000.00

El interés sería igual a:

I = 1,600 – 1,000 = $600.00

Mientras que la tasa correspondería a:

C = = .12 ó 12% anual

Sobre lo anterior, si se quiere determinar la tasa global, que es una opción

que suele utilizarse en el financiamiento de automóviles, el período se substituye

por la unidad, con lo que el resultado queda como sigue:

T = = .60 ó 60% global

En tanto que el valor de N es el siguiente:

N = = 5 años

20

1,600 1 + (.12 x 5)

1,600 –1,000 1,000 x 5

1600 – 1,0001,000

1600 – 1,0001,000 x .12

Una forma de apreciar el cálculo y efecto del interés simple en cuanto a un

crédito o inversión, dependiendo de la perspectiva desde la cual se quiere

observar, consiste en la elaboración de una tabla que muestre sus diferentes

componentes. Para tal efecto vamos a construir una con las cifras relativas al

ejemplo de $1,000.00 de capital inicial, tasa de interés anual del 12% y plazo de 5

años.

Tabla de Interés Simple

Fin de Año Capital Intereses Total de intereses Monto Anuales de cada año1 1,000 120 120 1,120

2 1,000 120 240 1,240

3 1,000 120 360 1,360

4 1,000 120 480 1,480

5 1,000 120 600 1,600

RESUMEN:

El manejo de las tasas de interés representa un elemento fundamental para toda

Institución de Crédito, en función a que constituye la materia prima básica para el

cálculo de toda operación de colocación y captación de fondos.

El concepto de interés representa el costo del dinero y se expresa por lo general

como un porcentaje de una cantidad llamada capital.

En materia de Bancos, a las tasas de interés se les distingue como activas y

pasivas, de conformidad con el enfoque de su aplicación.

Toda operación de préstamo se calcula en función de una tasa activa, en tanto

que toda operación de ahorro se determina en base a una tasa pasiva. A la

21

diferencia entre ambas tasas se le denomina margen, y este representa el

porcentaje de ganancia del intermediario financiero.

En el cálculo del interés simple intervienen las variables de capital, tasa y tiempo.

Su denominación proviene del hecho de que el primero de ellos, el capital,

permanece siempre constante.

En esta Unidad hemos revisado las características y modalidades del interés

simple, y adicionalmente se han calculado diferentes incógnitas, en función a la

existencia de tres variables conocidas.

Además, se han examinado las alternativas en cuanto a plazo y año, con el fin de

determinar la opción más conveniente para el Banco.

A continuación procederemos a efectuar una revisión de avance, a efecto de que

pueda comprobar el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos e

instrumentos hasta aquí cubiertos.

REVISION DE AVANCE.- Unidad 1, Sección 1.

Instrucciones: Seleccione las respuestas correctas, o bien, efectúe los cálculos

correspondientes a las preguntas y planteamientos siguientes:

Pregunta 1.- La tasa de interés puede ser definida como:

a) Un premio al ahorro

b) El costo del dinero

c) La relación porcentual entre el capital y su rentabilidad

d) Todas las anteriores

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Pregunta 2.- La tasa activa se refiere a las operaciones bancarias de:

a) Depósito

b) Préstamos

c) Ahorro

d) Fideicomiso

Pregunta 3.- Una tasa pasiva se deriva de la aplicación de operaciones propias

de:

a) Colocación

b) Divisas

c) Captación

d) Ninguna de las anteriores

Pregunta 4.- La tasa de interés debe ser expresada como:

a) Porcentaje

b) Tanto por uno

c) Valor absoluto

d) Valor residual

Pregunta 5.- Al diferencial entre tasa activa y tasa pasiva se le conoce con el

nombre de:

a) Tasa de rentabilidad

b) Tasa equivalente

c) Tasa de equilibrio

d) Margen

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Pregunta 6.- Los elementos básicos para el cálculo del interés simple son:

a) Tasa, tiempo y capital.

b) Tasa, tiempo y monto.

c) Tasa, capital y monto.

d) Tasa, monto y margen.

Pregunta 7.- ¿Cuál alternativa representa la mejor opción para el banco, en base

a rentabilidad, en cuanto a los factores plazo y año?

a) Plazo exacto y año exacto.

b) Plazo exacto y año estimado.

c) Plazo estimado y año estimado.

d) Plazo estimado y año exacto.

Pregunta 8.- En todo cálculo de interés simple, la tasa de interés debe quedar

expresada en función a:

a) El capital

b) El tiempo

c) El monto


Pregunta 9.- En el interés simple, el monto proviene de efectuar la operación

siguiente:

a) Restar el interés del capital.

b) Multiplicar la tasa por el capital

c) Sumar el interés al capital

d) Dividir el capital entre la tasa, multiplicada por el tiempo.

24

Pregunta 10.- En toda operación de interés simple, el tiempo puede quedar

expresado en la siguiente forma:

a) Diaria

b) Anual

c) Mensual


Pregunta 11.- Si se solicita un préstamo por $6,500.00 para la compra de un

televisor y se acuerda liquidar en un plazo de 3 meses la suma de $7,100.00.

¿Cuánto se habrá pagado por concepto de interés?

Respuesta: _____________

Pregunta 12.- Un depósito a plazo de un año, por $1,500.00 genera intereses por

la cantidad de $750.00. ¿Qué tasa de interés anual se obtuvo?

Respuesta: _____________

Pregunta 13.- Si se tuvieron que liquidar intereses por $850.00, con motivo de un

préstamo de $12,600.00. ¿Qué monto se cubrió por la operación?

Respuesta: ______________

Pregunta 14.- Por un préstamo a la tasa del 24% anual a 180 días, se tienen que

liquidar intereses de $2,758.00. ¿Cuál fue el importe del principal?

Respuesta: ______________

Pregunta 15.- Bajo el enfoque de determinación del tiempo en función a plazo

estimado y año exacto, sin ser año bisiesto, determine el interés que corresponde

25

a un préstamo por $75,000.00 a la tasa del 28% anual, que se efectúa el 1º de

junio de 1998, con vencimiento el 31 de agosto del mismo año.

Respuesta: _____________

Pregunta 16.- Determine la tasa de interés anual que se obtiene por un depósito

de $38,500.00, a 65 días, por el cual se obtiene un interés de $4,376.00.

Respuesta: _____________

Pregunta 17.- Una inversión por $1,800.00 a la tasa del 12% anual, se liquidó por

un valor de $1,872.00. Señale, cuál fue la duración de la misma.

Respuesta: _____________

Pregunta 18.- Si la tasa que se paga por un depósito a plazo es del 18.75%, y al

término de 180 días se recibe un monto de $2,475.00. ¿Cuál fue el capital

invertido?

Respuesta: _____________

Pregunta 19.- Por un préstamo de $245,000.00, a la tasa anual del 31% se tiene

que liquidar al vencimiento la cantidad de $312,679.00. ¿Cuál fue el tiempo que

duró la operación?

Respuesta: ______________

Pregunta 20.- En un crédito por $32, 875.00, a 91 días, por el que se tiene que

liquidar la tasa anual de interés del 36%. ¿Cuál es el interés que se paga?

Respuesta: ______________

26

CLAVE DE RESPUESTAS:

Pregunta 1: d

Pregunta 2: b

Pregunta 3: c

Pregunta 4: a

Pregunta 5: d

Pregunta 6: a

Pregunta 7: d

Pregunta 8: b

Pregunta 9: c

Pregunta 10: d

Pregunta 11: $600.00

Pregunta 12: 50%

Pregunta 13: $13,450.00

Pregunta 14: $22,983.33

Pregunta 15: $5,178.08

Pregunta 16: 62.95%

Pregunta 17: 120 días

Pregunta 18: $2,262.86


Pregunta 20: $2,991.63

SECCION 2

27

OPERACIONES DE DESCUENTO

Otra de las aplicaciones más usuales en el medio Bursátil y Bancario en

relación con el interés simple corresponde a los créditos relativos al financiamiento

de ventas documentadas con títulos de crédito, pagarés y letras de cambio. Los

que se toman por un importe inferior a su valor nominal, de conformidad con su

fecha de vencimiento y tasa de interés prevaleciente al momento de la operación

En toda operación de descuento el mismo equivalente al importe de los

intereses en créditos en los cuales se cargan estos sobre la cantidad del

préstamo, aunque su mecánica es diferente ya que en este último caso la cantidad

de intereses se suma al importe del préstamo, para establecer el monto

correspondiente; en tanto que tratándose de descuentos la cifra relativa se deduce

del importe del documento para así llegar a dicho monto.

Por lo tanto, la fórmula que se emplea en este caso viene a ser la

siguiente, partiendo de la base de que vamos a asignar la letra D para definir el

importe del descuento.

D = C x T x N

En donde:

C = capital

T = tasa

N = tiempo

D = descuento

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Cómo se podrá observar, la anterior formula resulta igual a la fórmula

del interés simple, excepto que la literal D, de descuento, substituye a la I,

de interés.

Por lo tanto el valor del resto de las variables quedaría como sigue:

DC = ---------- T x N

DT = -----------

C x N

D N = ----------- C x T

En tanto que el monto si sufre una modificación, ya que se calcula restando al

capital el descuento, o interés, para quedar como sigue:

M = C – D

O lo que es igual a:

M = C – ( C x T x N )

Que también puede ser expresado como:

M = C x ( 1 - ( T x N ))

29

Por su parte, si queremos determinar el valor líquido a recibir,

emplearemos la fórmula siguiente:

MC = ----------------- 1 - ( T x N )

Al respecto vamos a considerar que la Empresa “X “acude a descontar un

pagaré por la cantidad de $28,000.00 con fecha de vencimiento dentro de 60 días

y que la tasa anual de préstamo es de C P P (que se encuentra a 16.01%) mas 15

puntos, en total 31.01%.

El importe del descuento sería entonces de:

.3101 D = 28,000 x ------- x 60 360

D = $1,447.13

Y por lo tanto la cantidad recibida por la empresa sería de:

M = 28,000 – 1,447.13 = $26,552.87

30

INTERES ANTICIPADO E INTERES AL VENCIMIENTO

En los préstamos a corto plazo, principalmente en los denominados

como directos, suele cobrarse el interés por adelantado, es decir,

descontando del valor nominal o inicial del crédito el importe del interés,

para así entregar al cliente sólo el valor líquido resultante de esta resta.

Por lo consiguiente, para el cálculo de estas operaciones de interés

anticipado, podemos emplear la fórmula del descuento, que hemos

denominado con la literal D.

En consecuencia, para obtener el importe del descuento de todo

crédito de esta naturaleza, emplearemos la fórmula del interés simple,

modificada en función al descuento.

Veamos a continuación un ejemplo:

Para un préstamo directo por la cantidad de $150,000.00, a un plazo

de 65 días y a la tasa anual del 25%, se desea conocer el importe del

descuento y en consecuencia el valor líquido que ha de recibir el cliente.

En primer término determinamos el importe del descuento:

TD = C x ------ x N 360

.25D = 150,000 x ------- x 65 360

31

D = $ 6,770.83

Cifra que se le va a restar a los $150,000.00 del valor nominal del

préstamo, para así llegar al valor líquido a recibir por parte del cliente que

es igual a:

Valor líquido = $150,000.00 - $6,770.83 = $143,229.17

Al vencimiento, el cliente tendrá que pagarle al Banco el valor original

o nominal del préstamo, que son $150,000.00

Contrastemos ahora la operación anterior, con la alternativa de que

el interés se hubiese cobrado al vencimiento, o interés vencido.

.25I = 150,000 x ------ x 65 360

I = $6,770.83

En tanto que la cantidad a liquidar al vencimiento del préstamo

resultará de acumular el interés de $6,770.83, al capital original o nominal

de $150,000.00, para así llegar a un total de $156,770.83

De ambas modalidades de cobro del interés se desprende un

concepto que vamos a revisar a continuación, y que denominaremos con el

título de tasa nominal y tasa efectiva.

32

TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA EN EL INTERES SIMPLE

En virtud de la posibilidad de que en los préstamos, el interés se

cobre por anticipado, o al vencimiento, se presenta la circunstancia de que

la tasa que se obtiene o se paga, según sea el caso, no es la misma en

ambas circunstancias.

Al respecto, vamos a definir una tasa nominal, como aquella tasa de

interés objeto de la operación, en otras palabras, aquella que se establece

en forma explícita en el acuerdo del préstamo.

En tanto que la tasa efectiva, es el porcentaje que verdaderamente

se paga, o se cobra, por la operación. A esta tasa también la podemos

denominar tasa de rendimiento.

Para el caso de los préstamos con interés al vencimiento, la tasa

nominal y la tasa efectiva son iguales. Mientras que en los créditos en los

que el interés se cobra por anticipado, ambas tasas son diferentes.

En los préstamos con interés anticipado, a la tasa empleada en el

cálculo correspondiente al interés o descuento, la podemos también

denominar como tasa de descuento.

Vamos a resolver a continuación un ejemplo de un préstamo con el

interés por anticipado, para poder determinar el importe de una tasa de

descuento y una tasa de rendimiento.

Un préstamo directo por $100,000.00 a 93 días, a la tasa nominal o

de descuento del 26%, en donde el interés se cobra por anticipado.

En donde:

33

C = 100,000

N = 93 días

Td = Tasa de descuento = 26%

D = ?

Por lo tanto:

.26D = 100,000 x -------- x 93 360

D = $6,716.67

En donde el valor líquido a recibir es de:

M = 100,000 – 6,716.67 = $93,283.33

Cifra en la cual se debe basar el cálculo de la tasa efectiva, o tasa de

rendimiento, ya que es el importe del capital de que se dispone.

Por lo consiguiente:

6,716.67Te = ------------------------- 93 93,283.33 x ------ 360

Te = tasa efectiva

Te = .2787 = 27.87%

34

En tanto que si el préstamo hubiese sido otorgado bajo el enfoque de

interés al vencimiento, la tasa nominal y la tasa efectiva, o de rendimiento,

son iguales como lo podemos demostrar siguiendo el mismo ejemplo:

.26I = 100,000 x -------- x 93 360

I = $6,716.67

Mientras que la tasa efectiva o de rendimiento es igual a:

6,716.67Te = -------------------- 93 100,000 x -----

360

Te = .26 = 26%

RESUMEN:

En algunas operaciones crediticias, como los préstamos de tipo

directo, el cálculo de la carga financiera, o interés, se determina en base al

monto o valor líquido recibido por el cliente, en vez de hacerse sobre el

valor nominal de la operación. A este procedimiento se le conoce con el

nombre de operaciones de descuento.

La obtención del descuento se efectúa en función a la fórmula del

interés simple. En realidad el único cambio relevante se presenta en la

obtención del monto, o valor líquido, ya que al capital inicial se le resta el

importe del descuento o interés anticipado.

35

También revisamos que bajo la modalidad del interés anticipado, la

tasa nominal o de descuento que se emplea para el cálculo del interés, es

diferente a la tasa efectiva o de rendimiento que se obtiene por el crédito.

En cambio, bajo la óptica de los préstamos con interés al

vencimiento, la tasa nominal es igual a la tasa efectiva o de rendimiento.

REVISION DE AVANCE: Unidad 1, Sección 2

Instrucciones.- Seleccione las respuestas a las preguntas

siguientes, o bien, resuelva los ejercicios que se describen a continuación.

A continuación compare sus resultados con la clave de respuestas que se

presenta más adelante.

Pregunta 1.- Diferencia básica en operaciones de crédito en base a

interés simple, con descuento y sin descuento.

a) El plazo

b) La tasa

c) El capital

d) El monto

Pregunta 2.- Para determinar el monto, en operaciones a

descuento, al capital se le debe ________ el interés.

a) Sumar

b) Restar

c) Multiplicar


36

Pregunta 3.- En operaciones de descuento, el concepto de monto

es equivalente a:

a) Valor nominal

b) Capital original

c) Valor líquido


Pregunta 4.- En créditos con el interés cobrado por anticipado la

tasa de rendimiento es siempre ________ a la tasa de descuento.

a) Igual

b) Mayor

c) Menor

d) Inversa

Pregunta 5.- En créditos en donde el interés se cobra al

vencimiento, la tasa nominal y la tasa efectiva o de rendimiento son siempre:

a) Iguales

b) Diferentes

c) Inversas


Pregunta 6.- En un préstamo directo por $56,000.00, que

genera intereses por $7,500.00, señale cual es el valor líquido que recibe el

cliente.

Respuesta: __________

37

Pregunta 7.- En un préstamo por $60,000.00 a 75 días, donde el

interés se descuenta por anticipado a la tasa del 25%, diga cual es la tasa

efectiva que cobra el Banco.

Respuesta: _________

Pregunta 8.- Determine el plazo en que habrá de vencer un crédito

por $10,000.00, con interés descontado por anticipado a la tasa del 28%,

por el que se recibe un valor líquido de $9,000.00.


Pregunta 9.- ¿Cuál será el importe del valor líquido, en una

operación de préstamo por $36,760.00, con un plazo de 120 días y una tasa

nominal del 25%?

Respuesta: ___________

Pregunta 10.- Si por un crédito se recibe un valor líquido de

$80,000.00, en el cual se cobró un interés anticipado a la tasa del 35%

anual, en un plazo de 89 días. Determine el importe del capital nominal.

Respuesta: ____________


Pregunta 1: d

Pregunta 2: b

38

Pregunta 3: c

Pregunta 4: b

Pregunta 5: a

Pregunta 6: $48,500.00

Pregunta 7: 26.37%


Pregunta 9: $33,696.67

Pregunta 10: $87,577.92

SECCION 3

INTERÉS COMPUESTO

A diferencia del interés simple este tipo de interés parte del concepto de la

acumulación de la ganancia obtenida en un período para efecto del cálculo del

período subsecuente. En otras palabras el interés compuesto se deriva de agregar

al principal o base el importe de los intereses ganados para efecto de la

determinación del siguiente importe de intereses.

Lo anterior se puede ejemplificar de la manera siguiente: Si un cliente abre

una cuenta maestra por 10,000.00 pesos el 1° de enero y la tasa mensual de

interés que se paga en la misma es del 1.25%, con acumulación de intereses cada

mes, suponiendo que no hace ningún retiro o depósito adicional; su capital al 31

de marzo será el siguiente:

1º de enero, Capital = Deposito = 10,000.00

31 de enero, intereses al 1.25% sobre

10,000.00 = 10,000 x 0.0125 = 125

39

31 de enero, capital = 10,000 + 125 = 10,125.00

28 de febrero, intereses al 1.25% sobre

10,125 x .0125 = 126.56

28 de febrero, capital = 10,125 + 126.56 = 10,251.56

31 de marzo, intereses al 1.25% sobre

10,251.56 = 10,251.56 x .0125 = 128.14

31 de marzo, capital = 10,251.56 + 128.14 = 10,379.70

Es decir que el capital acumulado al 31 de marzo sería de $10,379.70,

bajo el concepto de interés compuesto, en contraposición con $10,375.00 que se

hubiesen obtenido si el cálculo respectivo se hubiese efectuado en base a interés

simple, en donde entonces solo se tendría la suma de $125.00 mensuales durante

tres meses, para un total de $375.00 de intereses.

La fórmula necesaria para determinar el interés compuesto no es sino la

misma fórmula del interés simple empleada en razón a una base diferente.

Como ya se expuso con anterioridad, una forma más elaborada de poder

calcular el monto en base a interés simple es la siguiente:

M = C (1 + (TN) )

Misma que puede ser adaptada al concepto de interés compuesto en la

forma que se expresa a continuación:

Para el segundo periodo M2 = C (1 + T) (1 + T)

Para el tercer período M3 = C (1 + T) (1 + T) (1 + T)

40

Y así sucesivamente. Por lo que entonces se puede determinar como

fórmula general del monto en término de interés compuesto a:

M = C (1 + T)n

En donde n es igual al número de períodos que se van a emplear en el

cálculo. Lo que permite un crecimiento exponencial del capital, a diferencia del

interés simple en donde el crecimiento es de tipo lineal, y que bajo esta

perspectiva n siempre es igual a 1.

Para fines de comprobación de esta fórmula vamos a referirnos al ejemplo

anterior de la cuenta maestra y substituir las cifras correspondientes:

M = 10,000 (1 + .0125)3

O lo que es lo mismo,

M = 10,000 ( (1.0125) (1.0125) (1.015) )

M = 10,000 x 1.0379706 = $10,379.71

En el cálculo del interés compuesto el único problema relativamente

importante consiste en la elevación del exponente que corresponde al número de

períodos. Sin embargo, este puede ser fácilmente resuelto por medio de una

calculadora que tenga esta función, o bien de una manera aún más práctica,

mediante el empleo de tablas de interés compuesto, o valor futuro, que veremos

mas adelante y en las cuales se substituye el valor de (1 + T) elevado a la

potencia del período de que se trate por un factor y sólo se multiplica éste por el

importe del capital.

41

A efecto de comprender en toda su extensión el potencial del interés

compuesto, en materia de crecimiento exponencial, hay que percibir en forma

clara la magnitud del mismo en función del impacto que representan las variables

tiempo y tasa.

A poco tiempo, el efecto multiplicador será reducido, aunque la tasa sea

elevada, y lo mismo sucederá bajo el supuesto de que el tiempo sea grande, pero

la tasa sea muy pequeña.

Veamos un ejemplo al respecto:

Para el caso de un depósito de $1,000.00 durante 100 años, con cálculo

de intereses cada año, y a la tasa del 1% anual.

En donde el monto, o acumulación de capital se calcula de la manera

siguiente, empleando la fórmula general del interés compuesto:

100

M = 1,000 x ( 1 + .01)

M = 1,000 x 2.704814

M = $2,704.81

En cambio, analicemos que sucede si bajo el mismo esquema de interés

compuesto, y con la misma inversión de $1,000.00, la tasa anual se incrementa al

30%.

100

M = 1,000 x (1 + .30)

M = 1,000 x 247,933,500,000.00

M = $247,933,500,000,000.00

Cifra absolutamente astronómica.

42

Al igual que en el interés simple, la fórmula del interés compuesto puede

ser despejada con el propósito de llegar a obtener los importes de las variables de

capital, interés, tasa y tiempo, bajo el entendido que siempre se deberán conocer

tres de las mismas, y sólo se tendrá una incógnita a la vez.

Para tal efecto procedamos a derivar cada una de las fórmulas

correspondientes:

Para el capital:

MC = ---------------- N ( 1 + T )

Para el interés:

I = M - C

Para la tasa:

MT = ( Raíz n de: -----------) - 1 C

Para el tiempo:

M Logaritmo --------- CN = ------------------------------ Logaritmo (1 + T)

43

Pasemos ahora a resolver algunos ejemplos, en donde podamos despejar

las diferentes variables del interés compuesto:

Determinar el capital invertido que corresponde a un monto de

$126,000.00, a interés compuesto durante 5 años, con cálculo de intereses anual,

a la tasa del 25% anual.

126,000C = ---------------- 5 ( 1 + .25 )

126,000C = -------------- 3.051758

C = $41,287.68

Comprobación:

5

M = 41,287.68 x ( 1 + .25 )

M = 41,287.68 x 3.051758

M = $126,000.00

A continuación determinemos el importe del interés:

I = 126,000.00 - 41,287.68

I = $84,712.32

44

Resolvamos ahora la incógnita de la tasa para el mismo ejemplo:

126,000T = (Raíz 5 de: ------------- ) - 1 41,287.68

T = 1.25 – 1

T = .25 = 25%

Para finalmente determinar el tiempo, en función a los mismos datos:

126,000 Logaritmo --------------- 41,287.68N = ------------------------------ Logaritmo ( 1 + .25 )

1.115718N = ---------------- .223144

N = 5 años

45

CAPITALIZACIÓN

Se conoce con este nombre a la suma de los intereses al principal para

fines de un nuevo cálculo de intereses y en este sentido vienen a ser igual al

concepto de interés compuesto. Sin embargo también se le domina capitalización

a la frecuencia con que se genera dicho interés compuesto.

En las operaciones cotidianas de tipo financiero o de inversiones es

frecuente observar que el plazo pactado para un nuevo cálculo de intereses se

establece en términos menores a un año, por ejemplo, semestralmente,

trimestralmente, mensualmente y aún diariamente.

Aunque en teoría los plazos de capitalización pueden ser mayores a un

año, en la práctica esto no se presenta y por lo tanto nos abstendremos de tratarlo

con mayor amplitud. Aunque para fines de cálculo es tan simple como ajustar la

tasa anual al período deseado.

Para efecto de capitalizaciones menores a un año, es necesario ajustar la

fórmula general señalada para el cálculo del monto del interés compuesto, ya que

la misma fue establecida en función a un período de capitalización anual.

Para ello es necesario tomar en consideración los dos elementos que se

ven afectados por períodos más cortos, la tasa, que está expresada en forma

anual y el número de períodos, que también se refieren a años.

Tal ajuste por lo tanto debe convertir la tasa anual al período deseado, por

ejemplo, una tasa anual de 12%, si se quiere convertir a semestres debe dividirse

entre 2; si se quiere convertir a meses entre 12 y así sucesivamente.

46

Por lo mismo podemos partir de denominar a la frecuencia de las

capitalizaciones con la literal M, que tendría los valores siguientes:

Anual M = 1

Semestral M = 2

Cuatrimestral M = 3

Trimestral M = 4

Bimestral M = 6

Mensual M = 12

Semanal M = 52

Diaria M = 360 ó 365-366

Ahora bien, al mismo tiempo que se modifica la tasa, también debe de

transformarse el exponente que indica el número de períodos, para así reflejar el

número de capitalizaciones entre cada período. Lo cual se logra multiplicando a N

(número de períodos) por m (frecuencia de capitalizaciones). Para que entonces la

fórmula general quede constituida de la siguiente manera:

M = C ( 1 + T ) nm m

Por lo tanto, si el período de capitalización fuese mensual para un plazo

de dos años, la fórmula aparecería como sigue:

M = C ( 1 + T ) 24 12

En tanto que fuese diaria, en el mismo plazo, entonces la fórmula sería:

M = C ( 1 + T ) 720 360

47

Para una mejor comprensión de este concepto vamos a subsistir los datos

correspondientes a una inversión de $2,000.00 pesos a un año, con tasa del 24%

anual capitalizable semestralmente y determinar el monto al final del período.

M = C ( 1 + .24 ) 2 2

M = 2,000 x 1.2544

M = $2,508.80

Si modificamos el plazo de capitalización a trimestres entonces se obtiene

un monto de:

M = 2,000 ( 1 + .24 ) 4 4

M = 2,000 x 1.262477

M = $2,524.95

En cambio si se considera que la capitalización es mensual, el resultado

es el siguiente:

M = 2000 ( 1 + .24) 12 12

M = 2,000 x 1.2682413

M = $2,536.48

48

En tanto que si la capitalización es diaria, partiendo de la base de que

tomaremos el año estimado de 360 días, obtenemos el siguiente resultado:

360M = 2,000 ( 1 + .24 ) ----- 360

M = 2,000 x 1.271148

M = $2542.29

Lo que nos permite observar que mientras mayor sea la frecuencia de la

capitalización, mayor será el monto obtenido. Lo cual sucede en función a la

existencia implícita de una tasa de interés que crece a medida que se acorta el

período de capitalización

Además del procedimiento de capitalización períodica, que podemos

denominar de naturaleza discreta, en donde siempre se tiene un intervalo, por

pequeño que éste sea; también existe un procedimiento, llamado continuo, en

donde la frecuencia de la capitalización es constante y sin intervalos.

En virtud de su característica, la capitalización continua sólo puede ser

calculada en base a logaritmos, siendo el procedimiento más empleado el que se

basa en los llamados logaritmos neperianos, que vamos a denominar con la literal

e, y cuya base corresponde al valor de 2.71828.

La fórmula utilizada para poder determinar una capitalización continua es

la siguiente:

49

TxNM = C ( e)

En donde:

e = 2.71828

M = monto

T = tasa

N = tiempo

C = capital

Pasemos ahora a determinar el valor del monto, con capitalización

continua, del mismo ejemplo que hemos venido utilizando para la capitalización de

tipo discreto, en donde el capital tiene un valor de $2,000.00, la tasa es del 24%

anual y el tiempo es un año.

.24 x 1M = 2,000 ( 2.71828)

M = 2,000 x 1.271249

M = $2,542.50

Como se podrá observar, bajo este procedimiento, el monto es

ligeramente mayor que en la capitalización discreta diaria, pero sólo por 21

centavos. Aunque el efecto será mayor en la medida que aumenten la tasa y el

tiempo.

50

TASA EFECTIVA EN EL INTERES COMPUESTO

Como consecuencia del aspecto de capitalización, y tal como ha quedado

demostrado en los ejemplos anteriores, al aumentar el monto en función a la

mayor frecuencia en el cálculo de intereses, queda claro que la tasa de

rentabilidad se incrementa mientras más frecuentemente se capitalicen los

intereses al principal.

Por lo consiguiente, se puede hablar de una tasa efectiva, que siempre será

mayor que la tasa nominal, en tanto que la capitalización de intereses se efectúe

con una frecuencia mayor a una vez al año.

A efecto de poder determinar el valor de la tasa efectiva en el interés compuesto,

se puede utilizar la siguiente fórmula:

m Tn Te = (( 1 + ----- ) - 1 ) x 100 m

En donde:

Te = tasa efectiva en el interés compuesto

Tn = tasa nominal

m = frecuencia de la capitalización

Pasemos ahora a resolver un ejemplo:

Con una tasa nominal del 25%, que se capitaliza en forma trimestral, y se desea

conocer cual es la tasa efectiva que se puede ganar, bajo el entendido de que la

inversión correspondiente se va a reinvertir durante todo un año.

51

Por lo tanto:

4 .25 Te = (( 1 + ------ ) – 1 ) x 100 4

Te = 27.44%

Como se puede apreciar, la tasa efectiva es superior en un 2.44% que la tasa

nominal. Es decir, 244 puntos base mayor.

Como puntos base debemos entender la división que se hace de un 1% entre

cien, lo cual facilita en términos bancarios y financieros el manejo de las fracciones

de porcentajes.

Pasemos ahora a determinar, bajo el mismo ejemplo, con tasa nominal del 25%, la

tasa efectiva, para otras frecuencias de capitalización comunes.

Para semestres:

2 Te = (( 1 + .25 ) - 1 ) x 100 ---- 2

Te = 26.56%

Para meses:

12 Te = (( 1 + .25 ) - 1 ) x 100 -----

52

12

Te = 28.07%

Para días: (considerando el año de 360 días)

360 Te = (( 1 + .25 ) - 1 ) x 100 ----- 360

Te = 28.39%

En forma continua:

En donde tenemos que emplear la fórmula siguiente:

T Te = (( e ) - 1 ) x 100


.25 Te = ( 2.71828) - 1 ) x 100

Te = 28.40%

En resumen vamos a listar las diferentes tasas efectivas, para una tasa nominal

del 25%, y diversos periodos de capitalización. Para entonces poder apreciar de

una mejor manera, la magnitud de sus cambios a medida que aumenta la

frecuencia de la capitalización.

Frecuencia de capitalización Tasa nominal Tasa efectiva

53

Anual 25% 25.00%

Semestral 25% 26.56%

Cuatrimestral 25% 27.14%

Trimestral 25% 27.44%

Mensual 25% 28.07%

Semanal 25% 28.33%

Diaria 25% 28.39%

Continua 25% 28.40%

En donde se puede observar que al igual que con el monto, la tasa efectiva se

incrementa, aunque en una proporción decreciente, a medida que la frecuencia de

la capitalización aumenta.

VALOR TERMINAL

Este es otro nombre con que se conoce al monto calculado en base al

interés compuesto y en esencia corresponde al importe final que se obtiene en

función a un capital, tasa, plazo y frecuencia de capitalización.

En virtud de que el valor terminal corresponde a un crecimiento de tipo

exponencial de la cantidad inicial, como ya se dijo, mientras mayores sean la tasa

de interés y el plazo más se magnificará el valor terminal, afectado también en

buena medida por la frecuencia de las capitalizaciones.

Como ejemplo de lo anterior, vamos a suponer que algún antepasado de

nosotros hubiese depositado hace 200 años, 1,000 unidades de una moneda que

no se hubiese visto mayormente afectada por problemas inflacionarios o

54

devaluatorios, digamos la libra esterlina. Y que estas mil libras se hubiesen podido

depositar ganando una tasa de interés del 6% capitalizable semestralmente.

Para conocer cual sería el valor terminal de esas 1,000 libras en la

actualidad, tendríamos que aplicar la fórmula ya conocida del monto en función al

interés compuesto, que se substituirá como sigue:

M = 1,000 (1 + .06) 200 x 2 = 1,000 (1.03)400

2

M = 136,423,718.00 libras esterlinas

Que son $2,433,048,799.00 pesos, según cotización de fines de

septiembre de 1998.

RESUMEN:

En la sección anterior de esta unidad, relativa a los conceptos de interés

compuesto, capitalización y valor terminal, hemos examinado los elementos y

características principales de este tipo de tasas de interés.

En esencia el interés compuesto, desde una perspectiva bancaria, se

refiere a la actividad de captación de fondos, dado que el premio que se les paga

a los ahorradores se determina con este enfoque, siempre y cuando no exista un

retiro del interés ganado. Porque de otra forma, el ahorro sólo genera un interés

simple.

El interés compuesto, a diferencia del interés simple, agrega al capital

inicial el importe de los intereses ganados, a efecto de determinar un nuevo

cálculo de intereses. Por lo tanto, el crecimiento del capital tiene un impacto de

tipo exponencial.

55

La magnitud del crecimiento exponencial va en función a los factores tasa

y tiempo, así como de la frecuencia de capitalizaciones. Por capitalización

entendemos la suma del interés al capital, para fines de un nuevo cálculo de

intereses.

Al hablar de capitalización, su frecuencia determina un cambio en la tasa

nominal de interés, que podemos denominar como tasa efectiva, que también se

va a incrementar a medida que el número de capitalizaciones en un periodo sea

mayor.

REVISION DE AVANCE. Unidad 1. Sección 3

Instrucciones: Seleccione la respuesta correcta, o bien, resuelva el

planteamiento que se presenta, a las preguntas que a continuación se indican.

Pregunta 1.- A diferencia del interés simple, en el interés compuesto la

base del capital siempre es:

a) Igual

b) Diferente

c) Decreciente


Pregunta 2.- En el interés compuesto el crecimiento del capital es:

a) Lineal

b) Logarítmico

56

c) Exponencial

d) Inverso

Pregunta 3.- La base para el cálculo del interés compuesto es:

a) El monto

b) El capital inicial

c) El promedio del capital


Pregunta 4.- Las operaciones de captación se basan para fijar su

rendimiento en el:

a) Interés simple

b) Interés compuesto

c) Valor presente


Pregunta 5.- Una cantidad de 300 puntos base equivale a un:

a) 300 %

b) 30%

c) 3%

d) .3%

Pregunta 6.- Por capitalización debemos entender el cálculo de intereses

en donde:

a) El capital permanece constante

57

b) La tasa cambia de periodo a periodo

c) El capital disminuye en forma constante

d) Los intereses se suman al capital

Pregunta 7.- En el concepto de interés compuesto, la tasa efectiva se

incrementa a medida que:

a) Disminuye la frecuencia de la capitalización

b) Incrementa la frecuencia de la capitalización

c) Disminuye la tasa nominal


Pregunta 8.- ¿Con que tipo de capitalización se obtiene un monto mayor?

a) Semanal

b) Mensual

c) Trimestral

d) Semestral

Pregunta 9.- A efecto de modificar la fórmula del interés compuesto, en

función a una secuencia de capitalizaciones, se debe hacer el cambio siguiente:

a) Dividir la tasa nominal entre el número de capitalizaciones

b) Elevar la tasa nominal a un exponente igual al número de

capitalizaciones.

c) Multiplicar el tiempo por la frecuencia de las capitalizaciones


Pregunta 10.- El valor terminal de una inversión se incrementará en forma

considerable a medida que:

58

a) Aumenten tasa y tiempo

b) Aumente sólo la tasa

c) Aumente sólo el tiempo


Pregunta 11.- Si se tiene un depósito a plazo de 3 meses, por la cantidad

de $50,000.00, y el mismo se invierte a la tasa del 22% anual, capitalizable en

forma mensual. ¿Cuál sería el monto al final del periodo?


Pregunta 12.- Si una persona deposita la cantidad de $2,000,000.00 en

una cuenta de ahorros, que paga el 8% anual y que capitaliza intereses en forma

anual, con el propósito de retirarlos dentro de 5 años. Diga que valor tendrá

acumulado al término del periodo.

Respuesta: ____________

Pregunta 13.- Determine en que tiempo se puede triplicar un capital que

se invierte a la tasa del 20% anual, si los intereses se capitalizan semestralmente.

Respuesta: ____________

Pregunta 14.- Diga que interés se gana con una inversión de $18,500.00,

que se depositan durante 125 días, a la tasa anual del 20%, capitalizable en forma

diaria, si utilizamos el concepto de año estimado.


Pregunta 15.- A una tasa nominal del 32% que se capitaliza en forma

mensual le corresponde una tasa efectiva del:

59


Pregunta 16.- Si el valor actual de una Udi es de 2.143456, y se estima

que la inflación va a aumentar en un 3% para el mes siguiente. Indique cuál será

el valor de la Udi dentro de 12 días.


Pregunta 17.- Calcule la tasa de interés a la que se puede duplicar un

capital en 2 años, con capitalización anual.


Pregunta 18.- ¿Qué tasa efectiva es mayor, entre una tasa nominal del

12% capitalizable en forma semestral, y una tasa nominal del 11.75% capitalizable

en forma mensual?

Respuesta: ____________

Pregunta 19.- Si se desea tener $10,000.00 dentro de 5 años, diga cuanto

se tiene que depositar en la actualidad para alcanzar esa cantidad, bajo la premisa

de que la inversión va a generar una tasa de interés anual del 25%, capitalizable

en forma mensual.


Pregunta 20.- ¿Cuál es la tasa efectiva anual que se gana por una

inversión de $75,000.00, a un año, a la tasa del 30%, capitalizable en forma

continua?

60



Pregunta 1: b

Pregunta 2: c

Pregunta 3: a

Pregunta 4: b

Pregunta 5: c

Pregunta 6: d

Pregunta 7: b

Pregunta 8: a

Pregunta 9: d

Pregunta 10: a

Pregunta 11: $52,800.72

Pregunta 12: $2,938,656.15

Pregunta 13: 12 semestres o seis años

Pregunta 14: $1,330.00

Pregunta 15: 37.14%

Pregunta 16: 2.168950

Pregunta 17: 41.42%

Pregunta 18: 11.75%

Pregunta 19: $2,902.08

Pregunta 20: 34.985%

61

SECCION 4

OTRAS APLICACIONES DEL MANEJO DE TASAS DE INTERES

A continuación vamos a revisar el empleo de herramientas adicionales en el

manejo de las tasas de interés, desde una perspectiva de crédito e inversión, tales

como la determinación de tasas reales, equivalentes, globales y sobre saldos

insolutos. Para cuyo efecto iniciaremos el proceso con el procedimiento de ajuste

a las tasas nominales en función al crecimiento de la inflación.

EFECTO DE FISHER Y LA TASA REAL

El mismo señala la relación existente entre tasas de interés y tasa de

inflación anticipada o conocida y establece que las tasas nominales deben

modificarse en la medida en que sea necesario para poder reflejar el impacto de

los cambios en los niveles de precios de un país, para dar así lugar a la

determinación de una tasa real. Producto de descontar a la tasa nominal la tasa de

inflación.

Aunque debe tenerse cuidado en no realizar una simple resta aritmética

de la tasa nominal menos la tasa de inflación, ya que por tratarse la inflación de un

efecto acumulado, se estará determinando una tasa real de mayores

proporciones.

Po = Nivel inicial de precios

P1 = Nivel subsecuente de precios.

Tr = Tasa de interés real

T = Tasa de interés nominal

62

Po = Tasa de crecimiento de la InflaciónP1

Conviene aclarar aquí , que los valores de Po y P1 deben de estar dados por un

indicador de la inflación, generalmente el Indice Nacional de Precios al

Consumidor, relativo a los periodos que se están analizando.

Tales elementos se conjugan en el planteamiento de las fórmulas siguientes:

Tr = ( ( 1 + T ) ) – 1

T = ( ( 1 +Tr ) ) - 1

Su utilización práctica se puede visualizar con mayor claridad mediante los

ejemplos que a continuación se muestran.

Si en función a un periodo de un año se espera que el índice de precios se

eleve en un 10% y la tasa de interés real es de 7%, la tasa nominal será la

siguiente.

110T = ( (1.07) (--------- ) ) – 1 = .177 = 17.7%

100

En cambio, si se tiene una tasa nominal de crecimiento de las ventas del

12% y se conoce que el índice de precios se incrementó en un 10%, la tasa real

es la siguiente:

Tr = ( (1.12) x ) – 1

63

P1Po

P1Po

100110

Tr = ( (1.12) (.9090909) ) – 1

Tr = 1.018 – 1

Tr = 0.18 o 1.8%

Otro procedimiento para poder determinar la tasa real en función a un

nivel determinado de inflación, consiste en dividir la tasa nominal entre la tasa de

inflación, aumentados ambos valores por la unidad. De la manera siguiente:

( 1 + T ) Tr = ( ------------ -1 ) x 100 ( 1 + Ti )

En donde:

Tr = tasa real

T = tasa nominal

Ti = tasa de inflación

Al respecto, para poder determinar la tasa de inflación, debemos conocer el valor

inicial y final, de acuerdo con el periodo, del Indice Nacional de Precios al

Consumidor, y dividir el más reciente entre el más antiguo.

Por ejemplo, si el índice de precios para el mes de diciembre de 1995, según el

INPC, es de 156.9150 y el de diciembre de 1996, es de 200.3880, entonces el

crecimiento de la inflación por 1996 será el siguiente:

200.3880 Ti = ( -------------- - 1 ) x 100 156.9150

Ti = 27.70%

64

Vamos ahora a resolver el ejemplo anteriormente presentado para ver que se llega

al mismo resultado, en donde se sabe que la inflación se incrementó en un 10% y

que la tasa nominal de crecimiento en ventas fue del 12%.

1 + .12 Tr = (( ------------ ) - 1 ) x 100

1 + .10

Tr = 1.8%

Por otra parte, si despejamos esta última fórmula, en función a poder determinar la

tasa nominal, partiendo de una tasa nominal y de una tasa de inflación, conocidas

o estimadas, la misma quedaría como sigue:

T = ((( 1 + Tr ) ( 1 + Ti )) – 1 ) x 100

Con lo que para nuestro ejemplo tenemos el siguiente resultado:

T = ((( 1.018 ) ( 1.10 )) – 1 ) x 100

T = 12%

Un ejemplo adicional del empleo de estas fórmulas puede darse en

función de paridades entre divisas de diferentes países. Al respecto tomemos el

caso del dólar norteamericano y el peso en nuestro país, en donde las tasas de

inflación para 1998 se estiman en 2.5% y 18%, en tanto que las tasas de interés

65

nominales respectivas son de 5% y 22%. Al respecto se deben calcular las

perspectivas para los inversionistas.

Tr (Mex) = ( ( 1 + .22 ) 100 ) – 1118

Tr (Mex) = .033898 = 3.39%

Tr (US) = ( ( 1 + .04) 100 ) – 1 102.5

Tr (US) = .02439 = 2.44%

Es decir, que resulta mas atractivo invertir en México dado que su tasa

real a corto plazo es superior en 95 puntos base, que la existente en los Estados

Unidos

TASAS EQUIVALENTES

El conocer este tipo de tasa resulta muy útil para fines de precisar la

relación existente entre tasas nominales y tasas efectivas y así poder determinar

una tasa que iguala en términos porcentuales a la aplicación de cualquiera de

ellas. Es decir, que hace indiferente el empleo de una tasa nominal o efectiva en

función al costo del crédito, o la inversión, ya que su importe equivaldrá a lo

mismo independientemente de la opción que se seleccione.

66

En el interés simple:

Un primer ejemplo, se base en el concepto de interés simple y toma en

consideración que la tasa equivalente se calcula partiendo de la base de que los

plazos son iguales, en función de las fórmulas y literales siguientes.

En donde:

TV = Tasa con interés al vencimiento

TA = Tasa con interés anticipado

TA = 100 x TV100 + TV

TV = 100 + TA100 – TA

Con las que podemos efectuar un ejercicio que nos convierta una tasa de

interés nominal de 20%, al vencimiento (TV) a una tasa equivalente, anticipada

(TA).

TA = 100 x 20 = 16.67%100 + 20

Esto significa que para efecto de hacer equivalente una tasa nominal del

20% cuando los intereses se cobran por anticipado, se tendría que cobrar una

tasa del 16.67% de tasa efectiva.

La comprobación de lo anterior lo tenemos aplicado la fórmula del interés

vencido para los mismos datos:

67

TV = 100 x 16.67 = 20.00%100 – 16.67

O lo que es lo mismo, si tuviésemos un préstamo de $10,000.00 , con

interés pagadero al vencimiento y a la tasa nominal del 20%. Para el supuesto de

que los intereses se cobrasen por anticipado, se tendría que cargar una tasa

efectiva del 16.67% de interés, a efecto de hacer indistintas ambas alternativas. Lo

que puede comprobarse de la manera siguiente:

Importe del préstamo 10,000

Menos: Intereses al 16.67% 1,667

Cantidad recibida 8,333

Tasa de interés efectiva 1,667 = .20 = 20% 8,333

De otra forma, la tasa de interés cobrada, al descontar los intereses por

anticipado sería la siguiente:

Importe del préstamo 10,000

Menos: Intereses al 20% 2,000

Cantidad recibida 8,000

Tasa de intereses efectiva 2,000

8,000

Una forma adicional de determinar la tasa equivalente, en préstamos directos,

cuando se tiene la alternativa de cobrar los intereses anticipados, o al vencimiento,

si además conocemos el plazo del préstamo, es mediante el empleo de la fórmula

siguiente:

68

= .25 = 25%

1 TA = ----------------- 1 N ----- + ------ TV 360

En donde:

TA = tasa con interés anticipado, como tanto por uno

TV = tasa con interés al vencimiento, como tanto por uno

N = tiempo expresado en días

O bien, si conocemos la tasa anticipada, (TA), y queremos llegar a la tasa

equivalente al vencimiento (TV), podemos emplear esta otra fórmula:

1 TV = ----------------------- 1 N ------- - -------- TA 360

A continuación vamos a resolver un ejemplo, en donde se tiene un préstamo, por

$15,000.00 a 65 días, con el interés al vencimiento a la tasa del 36% anual, y se

desea conocer la tasa equivalente, bajo el supuesto de que el interés se cobrase

por anticipado.

Substituyendo:

1 TA = -------------------- = .338028 1 65 ------- + ------- .36 360

69

TA = 33.8028%

Vamos a comprobar el anterior resultado:

1º. Bajo el supuesto de que el interés se cobra al vencimiento:

.36 I = 15,000 x ------ x 65 360

I = $975.00

975 T = ------------------- 15,000 x 65 ----- 360

T = .36 = 36%

2º. Bajo el supuesto de que el interés se cobra por anticipado:

.338028 I = 15,000 x ------------ x 65 360

I = $915.49

915.49 T = ------------------------ 14,084.51 x 65 ------ 360

T = .36 = 36%

70

Con lo cual se puede concluir que las tasas del 36% al vencimiento, y del

33.8028% por anticipado, son equivalentes.

APLICACIÓN ADICIONAL DEL INTERES SIMPLE EN PRÉSTAMOS CON

INTERESES ANTICIPADOS

Otro aspecto que suele presentarse en materia de préstamos, consiste en la

solicitud del cliente en cuanto a recibir un importe neto independiente de la tasa de

interés y comisión correspondientes al préstamo, bajo el supuesto de que estos

últimos se cobran por anticipado.

Para tal efecto hay que considerar dos elementos que inciden en una

correcta determinación del importe respectivo:

1° Deben hacerse similares el “por ciento” y el “por millar” relativos al

interés y la comisión respectivamente, en términos del tanto por uno.

2º. Se calcula un factor de ajuste o corrección, que permite modificar el

importe original del préstamo, para una vez restados el interés y la comisión, se

llegue al valor neto deseado.

Por ejemplo, considerando un préstamo de $20,000.00 con una tasa de

interés del 24% anual para un préstamo quirografario a 28 días. La primera cifra

debe dividirse entre 100 multiplicando por 360 para así tener la tasa diaria y

después multiplicar el cociente por 28 días para llegar a la tasa del plazo de

crédito.

Tasa Diaria = = 0.0006666 x 28 = .0186666

A continuación se determina un factor de corrección en función a la tasa

de interés y préstamo, de conformidad con la fórmula siguiente:

Factor = 360 = 360 = 360 = 1.0190217

71

24100 x 360

360 – (TxN) 360 – (.24 x 28) 353.28

En donde:

T = tasa de interés, expresada como tanto por uno

N = tiempo, expresado en días

A continuación, el factor de corrección debe multiplicarse por el importe

del valor neto que se desea obtener, para determinar el monto del crédito:

M = 20,000 x 1.0190217 = $20,380.43

Lo cual se puede comprobar de la manera siguiente:

Importe del préstamo = $20,380.43

Menos; Intereses con tasa efectiva 0.018666 = 380.43

Valor neto recibido = $20,000.00

Para el caso de incluirse también una comisión, el factor de ajuste debe

modificarse de la siguiente manera para tomar en cuenta este nuevo elemento:

Factor = 360 (360 – (TxN)) – (Cx360)

En donde C = comisión expresada como tanto por uno, para este caso del

2 al millar:

Factor = 360 = 360 = 1.0211027 (360 – (.24 x 28)) – (.002 x 360 352.56

Importe del préstamo = 20,000 x 1.0211027 = $20,422.05

Que al restar los intereses = 20,422.05 x .24 x 28/360 = 381.211

72

Y la comisión de 2 al millar= 20,422.05 x .002 = 40.84

Se obtiene el importe del préstamo $20,000.00

TASAS EQUIVALENTES EN EL INTERES COMPUESTO

Una primera aplicación se utiliza, en aquellos casos en que se parte de

una tasa de interés conocida a un plazo diferente. Por ejemplo, dado que se tiene

una tasa de interés nominal de 3% mensual, se quiere conocer la tasa semestral

que le sea equiparable.

Para tal efecto se tiene que partir del empleo de la fórmula siguiente y

literales correspondientes:

T = Tasa nominal

Te = Tasa equivalente

N = Plazo conocido

Ne = Plazo propuesto

Ne ------ NTe = ( ( 1 + T ) - 1) x 100

100

Resolviéndola con los datos propuestos se tiene entonces el resultado

siguiente:

6 ------- 1

Te = ( ( 1 + 3 ) - 1) x 100 100

73

Te = ( ( 1.03)6 - 1) x 100 = (1.19405522 – 1) x 100

Te = 19.41%

Como comprobación de lo anterior, vamos a comparar el monto o valor

terminal de cada una de las opciones, considerando una inversión inicial de

$5,000.00 pesos y un plazo de un año.

En el primer caso se tiene una tasa del 3% mensual y por lo tanto el valor

terminal tiene que calcularse en función a 12 períodos de capitalización como

sigue:

M = C (1 + t)n = 5,000 (1.03)12

M = $7,129.00

Para el caso de capitalización semestral se substituye este número de

períodos en la fórmula general;

M = 5,000 (1.1941)2

M = $7,129.00

Obteniéndose el mismo resultado

Una aplicación que puede emplearse en función a esta fórmula consiste

en el cálculo del monto y tasa efectiva anual en instrumentos del mercado del

dinero, tales como el papel comercial. Para cuyo efecto vamos a considerar que

se tiene una inversión de $6,000.00 en éstos instrumentos a 28 días y con una

tasa anual del 24%

74

Lo primero que se tiene que hacer al respecto es convertir la tasa nominal

a tasa del periodo (Tp), para un periodo de 28 días, de la manera siguiente:

Tp = X N = x 28 = 1.87 = .0187 como tanto por uno

A continuación se substituye en la fórmula general:

Te = ( (1.0187) – 1) x 100 = (1.2690 – 1) x 100

Te = 26%

La comprobación de lo anterior se obtiene calculando el monto de la

inversión por los dos métodos:

1º. Con la tasa del periodo del 1.8% para 28 días.

M = 6,000 x (1.0187) = 6,112.00

2º Con la tasa anual del 26%

M = 6,000 (1 + .26 )28 = 6,122.00 360

Otra aplicación de tasas equivalentes, en el interés compuesto, se da en

función a la necesidad de conocer tasas inherentes a períodos de capitalización

diferentes. Por ejemplo, la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente a

una tasa del 30% capitalizable cuatrimestralmente.

Para tal efecto se puede utilizar la fórmula siguiente:

75

36028

1m

T360

24360

Te = m ( (1 + T1) - 1)

En donde T1 = (1 + T )m – 1 m

Que sustituyendo queda de la forma siguiente:

T1 = (1 + 0.30 )3 – 1 = 0.331 3

Te = 12 ( (1 + 0.331) - 1)

Te = .288 = 28.8%

Si queremos comprobar el resultado anterior lo que tenemos que hacer es

considerar una cifra de inversión, por ejemplo, $1,000.00 pesos y determinar el

valor terminal con ambas tasas.

Con tasa cuatrimestral de 30%:

M = 1,000 (1 + .30 )3 = 1,000 x 1.33 = $1,330.003

Con tasa mensual del 28.8%

M = 1,000 (1 + .288 )12 = 1,000 x 1.33 = $1,330.003

76

112

Una aplicación más de tasas equivalentes está dada en base a tasas de

descuento en cuanto a un valor al vencimiento y tasas de rendimiento, relativas al

precio de adquisición de un instrumento del mercado de dinero, por ejemplo,

certificados de tesorería (cetes).

Para este fin se debe hacer una conversión de tasa descontada a tasa de

interés equivalente, mediante el empleo de la fórmula siguiente:

Te = D x 360 PC PV

En donde:

D = Descuento en pesos

PC = Precio de compra

PV = Período para el vencimiento.

Por ejemplo: Calcular la tasa equivalente, de rendimiento, de un Cete con

valor nominal de $10,000.00 a 91 días y una tasa de descuento del 11.54%.

Cálculo del descuento = 10,000 x .1154 (360) = $291.71 91

Substituyendo en la fórmula:

Te = 291.71 x 360 = .03 x 3.9560 = .1186 9,708.29 91

Tasa equivalente = 11.86%

77

INTERESES SOBRE SALDOS INSOLUTOS

El mismo se refiere básicamente a situaciones de préstamos en los que se

efectúan pagos parciales a cuenta de principal, en los que se deduce la porción

correspondiente al pago para fines del cálculo de los nuevos intereses. De donde

se deriva el término de saldo insoluto que significa el tomar como base la porción

pendiente de pago para la determinación del interés de cada período.

Dado que todo pago bajo este procedimiento afecta una parte de capital y

otra de interés, como premisa básica es necesario que los pagos parciales sean

superiores al importe del interés, para efecto de que exista una disminución del

principal y el adeudo pueda ser cubierto.

A manera de ilustración vamos a realizar un ejemplo:

Un cliente solicita un préstamo refaccionario por $180,000.00 pesos al

24% anual con abonos semestrales. Suponiendo para efecto de simplificar el

ejemplo que los pagos deben ser por la sexta parte del adeudo más los intereses

correspondientes:

Cálculo del primer pago:

Capital = 180,000

Porción a pagar por semestre = 1/6 de 180,000 = 30,000

Intereses = 180,000 x .12 = 21,600

Importe del primer pago = 51,600

78

Cálculo del segundo pago:

Capital inicial = 180,000

Menos: Porción correspondiente al principal del primer pago = 30,000

Base para el cálculo de intereses del segundo pago = 150,000

Intereses = 150,000 x .12 = 18,000

Importe del segundo pago = capital más intereses = 48,000

Cálculo del tercer pago:

Capital remanente o insoluto = 120,000

Intereses = 120,000 x .12 = 14,400

Importe del tercer pago = capital mas interés = 44,400

Y así sucesivamente, hasta la liquidación total del préstamo al final del

sexto período.

INTERES GLOBAL CON PAGOS PERIODICOS

Este tipo de interés se refiere a la determinación del costo de un crédito en

el que se hagan pagos parciales, sin considerar en su cálculo los importes que se

cubren a cuenta del principal.

En esencia este tipo de interés se debe considerar sobre una tasa inferior

a la correspondiente al método de saldos insolutos y en los casos en que llega a

79

emplearse por lo general se hace para facilitar el cálculo de los intereses y su

separación en los pagos de la parte correspondiente al principal.

Su cálculo se reduce a determinar un porcentaje global sobre el importe

del crédito, para después sumar los intereses al mismo y con posterioridad dividir

el monto entre el número de pagos deseados.

En términos de fórmula, la misma corresponde a la del interés simple:

I = C x T x N

M = C + I

Pagos parciales = M NP

NP = Número de pagos

Como ejemplo de lo anterior podemos considerar el caso del crédito para

la compra de un auto por valor de $60,000.00 a dos años, enganche de 20%, una

tasa global del 36% y pagos periódicos mensuales.

Valor del auto = 60,000

Menos, Enganche 20% = 12,000

Importe de crédito = 48,000

Cálculo de intereses...

36% sobre 48,000 = 17,280

Pagos mensuales = 17,280 + 48,000 = $2,720.0024

RESUMEN:

80

Dentro de los conceptos del interés simple y el interés compuesto, es factible

encontrar una serie de aplicaciones relativas al manejo de las tasas, que son útiles

para fines de las operaciones básicas de un Banco, la colocación y la captación de

fondos.

Una de ellas se refiere a la determinación de tasas reales, en función a la

existencia de tasas nominales, que se descuentan en razón al incremento

conocido o estimado de la inflación.

También hemos examinado el cálculo de tasas equivalentes, que se pueden

precisar en base, tanto al interés simple, como al interés compuesto. En aspectos

tales como la modalidad de pago del interés, o bien, la presencia de periodos o

tasas diferentes de capitalización.

Asimismo, revisamos las aplicaciones de tasas de interés, relativas a créditos

donde se determinan los intereses sobre una base decreciente, denominada

pagos insolutos y efectuamos el cálculo del interés sobre una base global; que

suelen utilizarse en ciertos tipos de créditos al consumo.

REVISION DE AVANCE: Unidad 1, sección 4.

Instrucciones.- Seleccione la respuesta correcta, o determine el resultado, de las

preguntas que a continuación se presentan.

Pregunta 1.- Para fines de poder determinar una tasa real, se requiere contar con

los dos elementos siguientes:

a) Tasa de crecimiento nominal y tasa de crecimiento efectiva

b) Tasa de crecimiento nominal y tasa de crecimiento equivalente

81

c) Tasa de crecimiento nominal y tasa de crecimiento de la inflación

d) Tasa de crecimiento de la inflación y tasa de crecimiento efectiva

Pregunta 2.- La tasa de descuento siempre será _________ a la tasa de

rendimiento.

a) Superior

b) Inferior

c) Igual


Pregunta 3.- En el cálculo del interés sobre saldos insolutos, conforme transcurre

el tiempo, el interés:

a) Disminuye

b) Aumenta

c) Permanece igual

d) Sólo cambia, si se modifica la tasa

Pregunta 4.- A efecto de poder determinar un valor neto, en préstamos a corto

plazo, donde se requiere descontar el interés por anticipado y disminuir un cobro

por comisión, se debe considerar el siguiente elemento:

a) Cálculo del monto

b) Determinación de un factor de corrección

c) Estimación del efecto inflacionario


82

Pregunta 5.- Para poder determinar una tasa nominal, se deben conocer

previamente:

a) La tasa equivalente y la tasa de inflación

b) La tasa de inflación y la tasa efectiva

c) La tasa real y la tasa de inflación

d) La tasa real y la tasa efectiva

Pregunta 6.- Si las ventas de una empresa aumentaron de $465,000.00 en 1994,

a $ 716,300.00 en 1995. En tanto que el INPC de diciembre de 1994 fue de

103.2566 y el INPC de diciembre de 1995 fue de 156.9150. ¿Cuál fue el

crecimiento real de sus ventas por 1995?


Pregunta 7.- A una tasa de interés al vencimiento del 33%, en un préstamo a 92 días, le corresponde una tasa equivalente, por anticipado de:


Pregunta 8.- Determine el importe que deberá tener un préstamo quirografario, a 85 días, con una tasa de interés anual del 29%, y comisión del 1%; si se desea obtener un valor líquido de $50,000.00


Pregunta 9.- Si se tiene una tasa nominal del 2% mensual, determine cual sería la tasa trimestral equivalente.


Pregunta 10.- Bajo un esquema de crédito en el que el interés se determina sobre saldos insolutos, para el caso de un préstamo por $100,000.00, a pagar en 5 años, con amortizaciones semestrales iguales de capital y una tasa de interés del 28%. ¿Cuál sería el pago de la cuarta amortización, incluido el principal y los intereses?.

Respuesta: ____________

83


Pregunta 1: c

Pregunta 2: b

Pregunta 3: a

Pregunta 4: b

Pregunta 5: c

Pregunta 6: 1.37%

Pregunta 7: 30.43%

Pregunta 8: $54,257.72

Pregunta 9: 6.1208%

Pregunta 10: $19,800.00

84

UNIDAD IIUNIDAD II

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

OBJETIVOS DE LA UNIDAD:

Expresar la importancia del concepto del valor del dinero en función al transcurso

del tiempo.

Examinar características, diferenciación y ejemplos de aplicación de los términos

de valor presente y valor futuro.

Determinar el empleo del concepto de anualidades, en situaciones crediticias y de

inversión.

INTRODUCCION

Una característica fundamental del dinero es su poder de compra y por lo

tanto se considera necesario que se tenga que pagar por su utilización, es decir,

que debe tener un costo.

Tal costo puede ser explícito, que como ya se dijo se refiere al pago de un

interés que demanda todo aquel que otorga un préstamo. Pero también puede ser

implícito, o derivado del beneficio que se pierde al no hacer uso del mismo por

tenerlo prestado. Al cual se le conoce generalmente con el término de “costo de

oportunidad”, que significa el rendimiento no obtenido, o que se dejó de ganar; y

que también suele referírsele como el costo de la segunda mejor alternativa.

85

Para el caso de créditos el costo de oportunidad equivale a la tasa más

alta de rendimiento que los fondos hubiesen generado si les hubiese dado otro

destino.

Por consiguiente se debe de partir de la premisa básica de que existe un

costo continuo por el uso del dinero. Mismo que se asocia directamente con el

tiempo y por consecuencia no debe considerarse o expresarse en forma

independiente.

De hecho el concepto de que el dinero tiene un valor en el tiempo

representa uno de los elementos básicos en que descansa el desarrollo de la

teoría financiera. El precepto que establece que “un peso actual tiene un mayor

valor que un peso futuro”, se deriva del hecho de que ese peso es susceptible de

generar un interés si se llegase a invertir. Aunque también se ve influido por el

elemento de pérdida en el poder de adquisitivo, es decir, se combinan el concepto

de costo de oportunidad y costo de poder de compra.

En realidad el valor de dinero en el tiempo tiene una relación directa con el

concepto de interés compuesto que fue expresado en una sección anterior. El

mismo puede verse desde dos perspectivas.

a) En función a la acumulación de una suma en el tiempo, por el transcurso del

mismo y en base a una tasa de interés, a lo que se denomina valor futuro (VF).

b) En función al valor que tiene en la actualidad una acumulación futura (VF) y en

base a una tasa de interés, a lo que se denomina valor presente (VP).

Resulta conveniente mencionar que en ambas situaciones los valores

respectivos se verán modificados en razón a la mayor o menor frecuencia de los

períodos de capitalización.

86

SECCION 1

VALOR FUTURO

En esencia este concepto significa la cantidad a la cual crecerá un peso

depositado a una tasa de interés compuesto en función a un número específico de

períodos.

CALCULO DEL VALOR FUTURO

Como una derivación del concepto de interés compuesto, el valor futuro,

que anteriormente habíamos denominado como valor terminal, utiliza la misma

fórmula para fines de su determinación, que es:

VF = C (1 + T)n

En donde:

VF = valor futuro

C = capital

T = tasa de interés, expresada como tanto por uno

N = tiempo

Para el caso de capitalización anual.

O bien:

VF = C (1 + T )mn

m

Para el caso de capitalizaciones mas frecuentes a la anual.

87

En donde m = a la frecuencia de la capitalización en un año.

Así tenemos que para el caso de una inversión en un instrumento a largo

plazo, 3 años, por un importe de $25,000.00 pesos y a la tasa del 25%

capitalizable anualmente, el valor futuro de la misma sería el siguiente:

VF = 25,000 (1.25)3

VF = 25,000 x 1.953125

VF = $48,828.13

Es decir, que $25,000.00 pesos depositados a un período de 3 años a la

tasa del 25% tendrían un valor futuro de $48,828.13

En tanto que si en la misma inversión, el interés se capitaliza en forma

mensual, tendríamos el resultado siguiente:

3 x 12 VF = 25,000 ( 1 + .25 ) ---- 12

VF = $52,518.75

Hasta ahora, hemos visto el cálculo del valor futuro, bajo la perspectiva de

que el capital se invierta al principio del primer periodo. Sin embargo, existe la

alternativa de que la inversión se realice al finalizar el primer periodo, para cuyo

caso se requiere realizar una modificación a la fórmula original, para quedar como

sigue:

(N – 1)VF = C ( 1 + T )

88

DETERMINACION DE CAPITAL, TASA Y TIEMPO

Al igual que en el interés compuesto, la fórmula general del valor futuro

puede ser despejada, a efecto de poder llegar a determinar el valor de cualquier

de las variables, conociendo las tres restantes.

Para el capital:

VFC = --------------- N ( 1 + T )

Para la tasa:

VFT = ( Raíz n de -------- ) - 1 C

Para el tiempo:

VF Logaritmo ------ CN = -------------------------

Logaritmo ( 1 + T )

Bajo el supuesto de que el interés se capitalice en un año con una frecuencia mayor a 1, entonces las fórmulas anteriores tendrían que modificarse de la manera siguiente:

Para el capital:

89

VF C = ---------------------- N x m ( 1 + T ) ---- m

Para la tasa:

VF T = ((Raíz Nm de: ----------- ) – 1 ) x m C

Para el tiempo:

VF Logaritmo ----- C N = --------------------------- Logaritmo ( 1 + T ) ---- m -------------------------- m

A continuación, y tomando los datos del ejercicio anterior, donde se tiene un capital de $25,000.00, que se invierte a 3 años, a la tasa del 25% capitalizable en forma mensual. Sobre el cual ya sabemos que su valor futuro es de $52,518.75. Vamos a determinar el capital, tasa y tiempo respectivos.

Para el capital:

52,518.75 52,518.75 C = ------------------------- ; C = ------------------ 3 x 12 36 ( 1 + .25 ) (1.020833) ----- 12

90

C = $25,000.00

Para la tasa:

52,518.75 T = ((Raíz 36 de: -------------- ) – 1 ) x 12 ; T = (1.02083 – 1) x 12 25,000.00

T = .25 = 25%

Para el tiempo:

52,518.75 Logaritmo --------------- 25,000.00 .322374 T = --------------------------------- ; T = -------------- Logaritmo ( 1 + .25 ) .008955 ----- -------------- 12 12 --------------------------------

12

T = 3

RESUMEN:

El valor futuro representa uno de los dos componentes básicos del valor del dinero en el tiempo y deriva sus características y componentes del concepto del interés compuesto.

El mismo está básicamente orientado a la determinación del importe en que se transforma un valor actual, en un tiempo establecido y a una tasa de interés específica.

Al igual que en el interés compuesto, el valor futuro se ve afectado por el factor de capitalización, que incrementa su importe en la medida en que el periodo de acumulación de intereses se aumente.

En síntesis, el concepto de valor futuro, equivale a los términos del monto o del valor terminal en el interés compuesto.

91


Instrucciones: Responda a las siguientes preguntas de conformidad con lo solicitado, y resuelva los ejercicios que a continuación se presentan:

Señale con la letra V si los planteamientos siguientes son verdaderos, o con la letra F, si considera que los mismos son falsos:

Pregunta 1.- En el concepto de valor futuro, el crecimiento del capital tiene una naturaleza lineal. ______

Pregunta 2.- Para incorporar la capitalización de intereses en el valor futuro, se debe modificar la tasa y el tiempo. ______

Pregunta 3.- El valor futuro se va a incrementar a medida que la frecuencia de la capitalización aumente. ________

Pregunta 4.- El valor futuro es diferente al monto en el interés compuesto. ________

Pregunta 5.- Las operaciones de captación deben basarse en el concepto de valor futuro. ________

Resuelva los ejercicios siguientes:

Pregunta 6.- Si un cliente deposita en una cuenta maestra la cantidad de $7,500.00, al inicio del año, y mantiene durante 5 años su inversión, a las tasas anuales, del 18% los primeros dos años y del 24% los tres restantes, con capitalización anual de intereses. ¿Cuánto tendría acumulado al término de los 5 años?.

Respuesta: ____________

Pregunta 7.- ¿Cuánto se gana de intereses, por un depósito de $30,000.00 durante 7 meses, de enero a julio, a la tasa anual del 26%, capitalizable en forma diaria?

92

Respuesta: ____________

Pregunta 8.- ¿Qué capital se tendrá que invertir, a la tasa del 31% anual, capitalizable en forma mensual, durante 4 años, si se desea obtener al final del periodo la suma de $50,000.00?

Respuesta: ____________

Pregunta 9.- ¿En que tiempo se podrá obtener un valor futuro de $125,000.00, si se invierten $50,000.00, a la tasa del 18% anual, capitalizable en forma trimestral?

Respuesta: _____________

Pregunta 10.- Determine la tasa, capitalizable mensualmente, a la que un depósito de $33,000.00 se convierte en un monto de $60,000.00, en un plazo de 3 años.

Respuesta: ____________

CLAVE DE RESPUESTAS: Unidad 2, Sección 1

Pregunta 1: F

Pregunta 2: V

Pregunta 3: V

Pregunta 4: F

Pregunta 5: F

Pregunta 6: $19,910.87

Pregunta 7: $4,961.70

Pregunta 8: $14,698.85

93

Pregunta 9: 5.2 años

Pregunta 10: 20.09%

SECCION 2

VALOR PRESENTE

Está representado por el importe equivalente a un peso en la actualidad,

de un peso recibido en el futuro, dada una tasa de descuento, que ha de referirse

a aquella a la cuál pudiesen invertirse los recursos. El valor presente puede

también definirse como la cantidad que debe invertirse en forma inmediata en la

actualidad para que una vez incrementada en el tiempo a una tasa determinada

llegue a representar un peso futuro

En otros términos, por valor presente debe entenderse precisamente el

inverso del valor futuro y por lo tanto se determinación se alcanza empleando el

inverso de la fórmula que hemos utilizado para valor futuro a interés compuesto,

ya que se trata de precisar a cuanto equivale en el presente un beneficio futuro.

Por lo tanto:

VF = C o VF ( 1 ) = VF (1 + T)n (1 + T)n

Siendo así, podemos desear conocer, por ejemplo, a cuanto equivale en la

actualidad una inversión que se estima ha de valer $48,828.00 pesos dentro de

tres años, si la tasa de interés prevaleciente es del 25%.

94

Por lo tanto:

VF = 48,828

T = .25 (tasa de descuento expresada como tanto por uno)

N = 3

VP = ?

VP = 48,828 48,828 = 25,000(1.25)3 1.953125

Al igual que en el valor futuro, el valor presente también puede determinarse en

función a una capitalización de intereses mayor a 1, dentro de un periodo de un

año.

Para tal efecto, es necesario modificar la fórmula general, en función a la tasa y al

tiempo, dividiéndola y multiplicándola, respectivamente, por el valor de la

frecuencia de la capitalización (m), para quedar como sigue:

VF VP = ------------------------ (N x m)

( 1 + T ) ---- m

Fórmula que vamos a emplear para resolver el ejemplo anterior, considerando que

los intereses se capitalizan en forma trimestral. Por lo tanto:

VF = 48,828

T = .25

N = 3

95

m = 4

VP = ?

48,828 48,828 VP = ----------------------- ; VP = ----------------- ( 3 x 4) 2.069890

( 1 + .25 ) ----- 4

VP = $23,589.66

Como se podrá observar, la cantidad anterior resulta inferior al valor presente

determinado, de $25,000.00 cuando la capitalización de intereses fue anual.

Resultado que resulta consistente con el hecho de que el valor presente es el

inverso del valor futuro, y por lo consiguiente, mientras en el valor futuro, a mayor

frecuencia en la capitalización se obtiene una cifra más alta como valor terminal;

en el valor presente, a mayor frecuencia en la capitalización se obtendrá una cifra

menor como dicho valor.

CALCULO DEL VALOR PRESENTE

El valor presente también puede referirse a un valor futuro que se genere al

principio o al final de cada periodo. En el último caso, se empleará la fórmula

general ya referida, en tanto que si el valor futuro se genera al inicio de cada

periodo, entonces la referida fórmula deberá substituirse por la siguiente:

VF

96

VP = ------------------------ (N - 1) ( 1 + T )

Veamos a continuación, para el caso del valor futuro de $48,828.00, a la tasa del

25% y que se recibe al inicio del tercer año:

48,828 VP = -------------------- (3 – 1) ( 1 + .25 )

VP = $31,249.92

Cifra que resulta superior a la anteriormente determinada, en virtud de que el valor

futuro se generó sólo en dos años en lugar de tres.

Otra característica relevante del valor presente que vale la pena mencionar, es el

decrecimiento de tipo exponencial que el valor futuro sufre, en función al impacto

de las variables tiempo y tasa. Mismo que, como inverso del valor futuro, será de

gran magnitud en la medida que el tiempo y la tasa sean considerables.

A efecto de poder visualizar el impacto del referido decrecimiento, vamos a

calcular un ejemplo que nos permita hacerlo de manera muy clara.

Para tal propósito, ¿cuál es el valor presente de $100,000,000.00 de pesos que

se piensan obtener dentro de 50 años, a una tasa de interés anual de descuento

del 40%, capitalizable en forma mensual?.

Por lo tanto:

100,000,000 100,000,000

97

VP = ----------------------------- ; VP = ---------------------- (50 x 12) 350,157,528 ( 1 + .40 ) ------ 12

VP = $0.28

Con lo que podemos concluir que el valor presente de cien millones de pesos, que

se reciban dentro de 50 años, a la tasa de descuento del 40% anual, capitalizable

en forma mensual es de sólo 28 centavos.

DETERMINACION DEL VALOR FUTURO, TASA Y TIEMPO

La fórmula general del valor presente puede también ser despejada en sus

principales componentes, a efecto de llegar de determinar el valor de la tasa, el

tiempo y el valor futuro.

Expresemos a continuación las ecuaciones correspondientes:

Para el valor futuro: (VF)

N VF = VP ( 1 + T )

Para el tiempo: (N)

VF Logaritmo ------ VP N = --------------------------- Logaritmo ( 1 + T)

98

Para la tasa: (T)

VF T = (Raíz N de: ---------- ) - 1 VP

Procedamos ahora a calcular los valores de la tasa, tiempo y valor futuro, del

ejemplo en donde, ya conocemos que la tasa es del 25%, el tiempo son 3 años, el

valor futuro será de $48,828.00 y el valor presente es de $25,000.00.

Para el valor futuro:

3 VF = 25,000 ( 1 + .25 )

VF = $48,828.00

Para la tasa:

48,828 T = (Raíz 3 de: ----------- ) - 1 25,000

T = .25 = 25%

Para el tiempo:

99

48,828 Logaritmo ----------- 25,000 N = ----------------------------- Logaritmo ( 1 + .25 )

N = 3

RESUMEN:

El concepto de valor presente está representado por el valor actual de un beneficio

futuro, o valor futuro, que se determina en función al tiempo y al empleo de una

tasa de descuento.

En esencia el valor presente es el inverso del valor futuro y como tal, para fines de

su determinación, todo lo que se necesita es dividir la unidad entre la fórmula del

valor futuro.

Al igual que en el valor futuro, el valor presente se ve modificado en función a la

frecuencia de la capitalización de los intereses, aunque el resultado será

inversamente proporcional al del valor futuro, a mayor frecuencia de

capitalizaciones, menor será el valor presente.

Un aspecto de gran relevancia en el concepto del valor presente, se relaciona con

el hecho de que su importe decrece en forma exponencial, a medida que el tiempo

y la tasa aumenten.


Instrucciones.- Responda a las preguntas y solucione los planteamientos que a

continuación se expresan:

100

Preguntas 1 a 5:

Relacione las dos columnas siguientes

A.- Valor presente 1.- _______ Representa el inverso

del valor presente

B.- Tasa de descuento 2.- ________ Modifica a la tasa y al

tiempo

C.- Valor terminal 3.- ________ Propiedad del valor

presente

D.- Decrecimiento exponencial 4.- ________ Inverso del valor

futuro

E.- Frecuencia de capitalización 5.- ________ Equivalente a costo

de oportunidad

101

Pregunta 6.- ¿Cuál será el valor actual de una cantidad de $75,600.00 que se

recibirá dentro de 6 años, si la tasa de descuento es del 22% anual?.


Pregunta 7.- ¿Qué alternativa será más conveniente, recibir $28,000.00 dentro de

9 años, ó $12,000.00 dentro de 5 años, si la tasa de interés es del 25% anual,

capitalizable mensualmente?

Respuesta: _________

Pregunta 8.- Diga a que tasa de descuento, un valor futuro de $25,000.00 se

convierte en un valor presente de $12,500.00, en un plazo de 6 años, con

capitalización anual de intereses.


Pregunta 9.- Indique en que tiempo un valor futuro de $40,000.00 se convierte en

un valor presente de $10,000.00, si la tasa de descuento es del 20%, capitalizable

anualmente.


Pregunta 10 .- La promesa de obtener $1,000,000.00 dentro de 20 años, si

pudiésemos ganar una tasa de interés del 30% anual, capitalizable en forma

trimestral, equivale en la actualidad a la cantidad de:


102


Pregunta 1: C

Pregunta 2: E

Pregunta 3: D

Pregunta 4: A

Pregunta 5: B

Pregunta 6: $22,927.82

Pregunta 7: $12,000.00 en 5 años

Pregunta 8: 12.25%

Pregunta 9: 7.6 años

Pregunta 10: $3,071.30

APENDICE DE LAS SECCIONES DE VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE

EMPLEO DE TABLAS

Tanto el valor futuro como el valor presente se pueden determinar con

cierta facilidad mediante el uso de una calculadora que cuente con la función de

elevar a potencias, lo cual es todavía mucho más sencillo si se cuenta con una

calculadora financiera programada. Sin embargo, cuando la incógnita es la tasa o

el interés, el despeje mismo de la fórmula y su determinación con una calculadora

103

simple se puede convertir en algo complejo a lo que no hay precisamente

necesidad de dedicar mucho tiempo.

Por lo mismo existen ya publicadas, o se pueden elaborar tablas de valor

futuro, simples o por anualidades, concepto este último que veremos a

continuación, que contienen ya el cálculo de la fórmula según sea el caso y que

sólo requieren de una sencilla multiplicación por el capital, para tener el valor

deseado.

Veamos a continuación una representación de tablas, para unas cuantas

tasas y períodos.

VALOR FUTURO DE UN PESO

Tasas

Períodos 5% 10% 15% 20% 25% 30%

1 1.0500 1.1000 1.1500 1.2000 1.2500 1.3000

2 1.1025 1.2100 1.3225 1.4400 1.5625 1.6900

3 1.5676 1.3310 1.5209 1.7280 1.9531 2.1970

Factores que se obtienen de substituir en la fórmula del interés compuesto

la porción representada por (1+T) elevada a la n potencia. Que en este caso, por

ejemplo para determinar el factor del 25% a tres años se obtiene al multiplicar 1.25

x 1.25 x 1.25, que es igual a 1.9531. Mismo que coincide con la resolución que

empleamos en el último ejercicio presentado.

Con lo cual, si queremos conocer el valor futuro de un mil pesos invertidos

al 30%, todo lo que tenemos que hacer es multiplicar $1,000.00 por un factor de

2.1970, que se localiza en el punto de intersección de 3 períodos con la tasa del

30%, para así determinar un valor futuro de $2,197.00

104

En el caso del valor presente, el valor de las tablas está dado por el valor

de un peso en función a:

Por lo que la tabla para los mismos períodos y tasas señaladas para el

valor futuro quedaría como sigue:

VALOR PRESENTE DE UN PESO

Tasa

Períodos 5% 10% 15% 20% 25% 30%

1 .9524 .9091 .8696 .8333 .8000 .7692

2 .9070 .8264 .7561 .6944 .6400 .5917

3 .8638 .7513 .6575 .5787 .5120 .4552

Con lo que si quisiéramos conocer el valor presente a la tasa del 30% de

$2,197.00 obtenidos dentro de 3 años, sólo tendríamos que seleccionar el factor

que se encuentra en el punto de intersección de tres períodos al 30% para

multiplicarlo por la referida cantidad.

VP = VF x factor

VP = 2,197 x .4552 = $1,000.00

Para aquellos casos en que las tablas no contengan la tasa deseada, se

puede realizar una interpolación lineal, que arroja un resultado aceptable, aunque

no exacto, y que se basa en la fórmula siguiente:

Fd = ( ) (Fp – Fa) + Fa

105

1(1 + T)n

tn – tatp - ta

En donde:

tn = tasa no incluida en la tabla

ta = tasa anterior

tp = tasa posterior

Fa = factor anterior

Fp = factor posterior

Fd = factor desconocido

Por consiguiente, considerando que necesitamos conocer el factor de

valor presente para una tasa del 8 ¼%, es decir, 8.25%; se procede a substituir en

la fórmula de la manera siguiente.

Fd = ( ) (.422 – .463) + 463

Fd = ( ) ( -.041) + .463

Fd = .463

DETERMINACIÓN DE TASAS DE INTERÉS MEDIANTE TABLAS

En diversas ocasiones, cuando se estudian o analizan situaciones

financieras relativas al otorgamiento de créditos, sobre todo en el aspecto de

financiamiento a proyectos, se enfrenta la circunstancia de que se conocen los

flujos de efectivo y los valores presentes a ellos asociados, pero se desconoce la

tasa de interés relativa.

Por ejemplo, si el Banco le presta a un cliente $10,000.00 pesos, y el

mismo firma un pagaré comprometiéndose a liquidar $17,623.00 al final de un

106

8.25 – 89 - 8

.251

plazo de 5 años, la forma de determinar la tasa a que se está pagando el interés

que suma $17,623.00 es la siguiente:

Si conocemos que la fórmula del valor futuro es igual a: C (1+T)n y

sabemos también que 1 más T a la eneava potencia se encuentra como factor en

las tablas de valor futuro de 1 peso, re arreglando la fórmula puede quedar como

sigue:

FVP =

En donde FVP = Factor de valor presente

Para nuestro caso hacemos entonces la sustitución correspondiente:

FVP = = 1.7623

Factor con el cual acudimos a las tablas y buscamos en la columna de

períodos el correspondiente al número 5. A continuación recorremos ese renglón

hacia la derecha hasta encontrar el factor de 1.7623 o el número más cercano al

mismo y una vez localizado se observa la columna en cuanto a tasa a que

corresponder, la cual es aquella a la que se prestó dinero. En esta ocasión el

factor coincide exactamente con lo expresado en la tabla y este corresponde a una

tasa del 12%.

Habrá ocasiones en que el factor buscado se ubique a la mitad de dos

factores en las tablas, a efecto de lo cual será necesario realizar una interpolación

de las cifras.

107

VFC

17,62310,000

El mismo enfoque se aplica para calcular la tasa de interés implícita en

una anualidad, a diferencia de que la tabla que necesitamos utilizar para su

determinación es la correspondiente al valor futuro de una anualidad.

Por ejemplo, si el Banco efectúa un préstamo de $24,018.00 a una

empresa y esta se obliga a realizar pagos periódicos de $10,000.00 al final de los

tres próximos años, la tasa de interés que se les está cobrando se puede calcular

como sigue con la ayuda de las tablas:

VFA =

En donde VFS = Valor futuro de una anualidad

VFA = = 2.4018

Factor que al buscarlo en la tabla de anualidades a valor futuro, de la

misma manera que en el ejemplo anterior; nos dice que corresponde también a

una tasa de 12%.

Las tablas de valor futuro también nos permiten calcular de una manera

muy fácil y simple tasas nominales de crecimiento, cuando se tiene más de un

período de por medio.

Al respecto es frecuente observar que se comete el error de calcular el

porcentaje de crecimiento en función a una comparación del primero con el último

ejercicio, dividiendo el resultado entre el número de períodos. Lo cual es

incorrecto, ya que el período base para el cálculo de un crecimiento es el período

inmediato anterior y no el más lejano.

Por ejemplo, si una empresa solicitante de crédito nos muestra en sus

estados de resultados comparativos que sus ventas se aumentaron de

108

VPA

24,01810,000

$2,508,000.00 a $3,946,000.00 en 4 años, para conocer su crecimiento nominal

anual todo lo que tenemos que hacer es lo siguiente:

FC =

En donde:

FC = factor de crecimiento

UP = último período

PP = primer período

Substituyendo, y eliminando tres ceros del numerador y denominador,

tenemos entonces el resultado siguiente:

FC = = 1.5733

Que corresponde a un crecimiento anual en ventas durante los últimos 4

años del orden del 12%

Lo señalado para valor futuro y anualidades a valor futuro también aplica

para fines de determinación de tasas de interés en lo relativo a valor presente y

anualidades a valor presente, la única modificación obvia es que en estos últimos

casos se emplean las tablas correspondientes a estos últimos conceptos.

DETERMINACIÓN DE PERÍODOS MEDIANTE TABLAS

Por lo que toca a la determinación de plazos desconocidos con ayuda de

las tablas, este aspecto de hecho se explica con la aplicación de los ejemplos ya

presentados, excepto que en este caso la incógnita sería el número de períodos y

109

3,9462,508

UPPP

no la tasa de interés, pero de cualquier forma se sigue empleando la misma

formula y tabla.

Por ejemplo, bajo la situación del préstamo por $10,000.00 sobre los

cuales se van a liquidar $17,623.00 a una tasa del 12%, a efecto de poder

determinar el número de años en la operación que se va a llevar a cabo se

procede como sigue:

VF = = 1.7623

Entonces se busca en las tablas de valor futuro de un peso en la columna

del 12% en forma descendente, hasta que se localiza en factor mas cercano a

1.7623, en este caso coincide con exactitud en cuanto a cifra, y una vez localizado

se recorre la columna hacia la izquierda hasta el final donde se ubica el número de

períodos, que será al que estará contratado el préstamo, en este caso 5

Una aplicación más está dada en el campo de captación de fondos en

base a determinar períodos de crecimiento en función a determinadas tasas de

interés.

Por ejemplo, si se desea conocer en que número de años puede

duplicarse un capital invertido a la tasa del 20%, todo lo que tiene que hacerse es

acudir a la tabla de valor futuro de un peso y localizar la columna del 20%. Acto

seguido, se recorre la misma hacia abajo y se busca el factor mas cercano a

2,000, el cual corresponde precisamente a una duplicación de un peso, una vez

localizado, se recorre el renglón hacia la izquierda hacia la última columna, la de

los períodos, y ahí se localiza el plazo deseado. En este caso corresponde a 4

años.

110

17,62310,000

Bajo el supuesto de que el período de capitalización sea inferior a un año,

entonces se procede a dividir la tasa entre el número de capitalizaciones, por

ejemplo, considerando el caso anterior, supongamos que la capitalización es

trimestral.

Entonces tenemos que dividir el 20% entre 4, lo cual nos arroja una tasa

del 5% que es la columna en la cual buscamos hacia abajo el factor que mas se

acerque a 2.000, mismo que encontramos en 15 períodos , aunque cabe aclarar

que estos son trimestrales. Los que si queremos convertir en años, nos dicen que

el capital se duplica en 3 años y 9 meses.

SECCION 3

ANUALIDADES

Pueden referirse tanto al concepto de valor futuro como de valor presente

y en esencia significan la incorporación en los cálculos de una cantidad constante

para cada período.

En materia de valor futuro las anualidades están representadas por la

existencia de una serie de pagos que importan una cantidad fija en función a un

número específico de años, efectuados al final de cada período, en cuyo caso se

les denominan anualidades regulares o vencidas, en cambio, si los referidos

pagos se efectúan al principio de cada período, entonces se estará hablando de

una anualidad anticipada.

ANUALIDAD A VALOR FUTURO

En esencia este tipo de anualidad quiere decir una sumatoria a interés

compuesto, que estará dada por los valores agregados de cada período, mediante

el empleo de la fórmula siguiente:

111

M = A x ( (1 + T)n )

Entendiendo como A el importe de cada anualidad, y

M = valor futuro de las anualidades

= sumatoria

Por lo tanto si se quisiera conocer cual sería el valor futuro de tres

depósitos anuales de $1,000.00 pesos cada uno al principio de cada año, a una

tasa de 20% anual, se procedería como sigue:

M = 1,000 (1.20) + 1,000 (1.20)2 +1,000 (1.20)3

M = 1,200 + 1,440 + 1,728 = $4,368.00

Una ecuación adicional, que podemos utilizar y que nos genera el mismo resultado es la siguiente:

(N + 1) ( 1 + T ) - 1 M = A (-------------------------- - 1) T

1.0736 M = 1,000 ( ----------- -1 ) = $4,368.00 .20

En tanto que si la anualidad es vencida, entonces la fórmula es la siguiente:

N ( 1 + T ) - 1 M = A ( --------------------) T

El ejemplo anterior, también puede ser resuelto con la ayuda de tablas de

anualidades a valor futuro de un peso, que se construyen como las tablas de que

112

se habló con anterioridad a excepción de que los factores en las mismas son

acumulativos, para poder reflejar el sentido acumulativo de una anualidad

Por ejemplo, para el caso que nos ocupa, si recurrimos a las tablas de una

anualidad o valor futuro, en el punto de intersección de 3 períodos a 20%, el factor

considerado es el correspondiente a la suma de los valores de los tres primeros

períodos de la tabla a valor futuro mostrada con anterioridad, que sería igual a

4.368, factor que al multiplicarse por el importe de una anualidad, 1,000 arrojaría

los $4,368.00 obtenidos mediante el empleo de la fórmula.

Bajo el supuesto de que la anualidad se cubriese al final de cada período,

entonces simplemente se correría para fines del uso de la tabla un lugar hacia

abajo, en tanto que en el primer año el factor sería de 1,000, para reflejar que el

valor de la anualidad permanece constante en el primer período. Es decir, que

tendríamos un factor en la tabla compuesto de la manera siguiente:

Primer período 1.000

Segundo período 1.200

Tercer período (1.2 x 1.2) 1.440

Factor en la tabla de anualidades 3.640

O bien, modificaríamos la fórmula original, restando una unidad al exponente que

representa al tiempo, para quedar como sigue:

(N – 1) M = A x ( ( 1 + T ) )

= Sumatoria

1-1 2-1 3-1

113

M = 1,000 ( 1 + .20 ) + 1,000 ( 1 + .20 ) + 1,000 ( 1 + .20 )

M = (1,000 x 1) + (1,000 x 1.20) + (1,000 x 1.440)

M = $3,640.00

O bien, empleamos la fórmula alterna antes señalada:

3 ( 1 + .20 ) - 1 M = 1,000 ( ---------------------) .20

M = $3,640.00

Si la incógnita que queremos conocer es el importe de la anualidad (A), es

necesario despejar la ecuación general, para quedar como sigue:

M M A = ----------------------------- (vencida) ; A = --------------------- (anticipada) N ( N – 1) ( 1 + T ) (1+T)

O la fórmula equivalente:

Para anualidades anticipadas:

M

A = ------------------------- N + 1 ( 1 + T ) - 1 -------------------------- - 1 T

114

Para anualidades vencidas:

M A = --------------------- N ( 1 + T ) - 1 ---------------------- T

Otra aplicación que se le puede dar al cálculo de anualidades a valor

futuro consiste en la determinación de fondos de amortización para el pago de

deudas o créditos.

Por ejemplo, vamos a determinar el importe que debe depositarse

anualmente a efecto de liquidar un crédito a 3 años por un importe de $50,000.00

pesos a la tasa de 20% que no va a liquidarse sino hasta su vencimiento, con

capital e intereses, considerando que la inversión va a poder colocarse al 12%

anual.

En primer término tenemos que considerar el valor futuro del préstamo a

tres años. Para tal efecto recurrimos al factor a tres años a 20% de la tabla de

valor futuro de un peso, que nos dice que es 1.7280, mismo que procedemos a

multiplicar por el importe del préstamo.

VF = 50,000 x 1.7280 = $86,400.00

También podemos utilizar la fórmula del valor futuro, para llegar a

dicho monto.

N VF = C ( 1 + T )

3VF = 50,000 ( 1 + .20 )

VF = $86,400.00

115

A continuación dividimos el monto acumulado del préstamo más intereses

entre el factor de una anualidad a valor futuro a tres años para depósitos vencidos,

que es igual a 3.3744

A = = $25,604.55

Pudiendo también emplear la fórmula para la determinación de una

anualidad vencida a valor futuro,

VF A = -------------------- N ( 1 + T ) - 1 --------------------- T

86,400 86,400 A = --------------------------- ; A = --------------------- 3 3.3744 ( 1 + .12 ) - 1 ---------------------------- .12

A = $25,604.55

Cifra que podemos demostrar mediante una tabla de amortización, en la

que se obtiene el importe acumulado que se desea:

Año Inversión Base Intereses Fondo

116

86,4003.3744

Acumulado1 25,605 25,605

2 25,605 25,605 3,073 54,281

3 25,605 54,281 6,514 86,400

Para el caso de la determinación del valor futuro, de una serie de anualidades,

las fórmulas a emplearse son las siguientes:

En donde:

VFA = valor futuro de las anualidades

A = importe de cada anualidad

T = tasa de interés expresada como tanto por uno

N = tiempo, o número de periodos


N ( 1 + T ) - 1 VFA = A -------------------- T


(N + 1) ( 1 + T ) -1 VFA = A (------------------------- - 1 ) T

117

Resolvamos ahora un ejemplo, relativo a las dos fórmulas anteriores:

En donde se deposita una cantidad anual de $1,000.00, a la tasa anual del 18%,

durante 20 años, y se desea conocer el valor futuro acumulado de tales

anualidades.

Con anualidades vencidas:

20 ( 1 + .18 ) - 1 VFA = 1,000 ( ----------------------- ) .18

VFA = $146,627.97

Con anualidades anticipadas:

( 20 + 1) ( 1 + .18 ) - 1 VFA = 1,000 ( ---------------------------- - 1 ) .18

VFA = $173,021.00

Para el caso de que la capitalización de intereses se realice con una frecuencia

mayor a 1, en un plazo de un año, se tendrán que ajustar los valores de tasa y

tiempo, en función a la periodicidad de las capitalizaciones. Como sigue:


118

(N x m) (1 + T ) - 1 ----- m VFA = A (---------------------------) T ----- m


(N x m) + 1 (1 + T) - 1 ---- m VFA = A ( (----------------------------------) – 1) T

----- m

Veamos un ejemplo, de determinación del valor futuro, para el caso de

anualidades vencidas, por un importe de $2,500.00, cada mes, durante 2 años, a

la tasa anual del 30%, capitalizable en forma mensual.

2 x 12 (1 + .30) - 1 ----- 12 .808726 VFA = 2,500 ( ---------------------------) ; VFA = 2,500 ( ------------- ) .30 .025 ------ 12

VFA = $80,872.60

119

ANUALIDAD A VALOR PRESENTE

Representa el valor actual del total de pagos a recibirse en fechas

diferentes en el futuro a una tasa determinada de interés.

La fórmula que nos permite conocer este valor es precisamente el inverso

de la empleada para anualidades vencidas a valor futuro, que puede re arreglarse

para quedar como sigue:

VAA =

En donde:

VAA = Valor actual de las anualidades

A = Anualidad de cada periodo

T = Tasa de interés, expresada como tanto por uno

N = Tiempo o número de periodos

= Sumatoria

Para anualidades anticipadas, la ecuación anterior se va a modificar de la

manera siguiente:

A VAA = ------------------- (N –1) (1 + T)

Aunque para ambos casos, también se pueden utilizar las siguientes

ecuaciones:

Para el valor actual de las anualidades vencidas:

120

A(1 + T)n

-N 1 – ( 1 + T )VAA = A ( ---------------------) T

Para el valor actual de las anualidades anticipadas:

(- N + 1) 1 – ( 1+ T )VAA = A ( ------------------------------) + 1 T

En tanto que para calcular el valor de una anualidad vencida podemos

utilizar la ecuación siguiente:

VAA A = ---------------------- - N 1 - ( 1 + T ) ----------------------- T

Mientras que para el caso de una anualidad anticipada, emplearemos la

fórmula siguiente::

A VAA = ---------------------------------- (- N + 1)

1 - ( 1 + T ) ( --------------------------...) + 1

T

121

Recordemos que para elevar a una potencia negativa, es necesario

elevar en primer término a la potencia y con posterioridad utilizar el inverso de tal

cantidad, para realizar la operación correspondiente.

-4Por ejemplo para multiplicar 500 x (1.20)

1.- Se eleva a la cuarta potencia 1.20 = 2.0736

2.- A esta cantidad (2.0736) se le determina su inverso, que es igual a

dividir la unidad entre dicha cantidad = .4823

3.- Finalmente este último resultado .4823 se multiplica por 500, para así

obtener un total de 241.1265

Vamos a continuación a determinar la cantidad que es necesario pagar

anualmente, en forma vencida, para liquidar un préstamo refaccionario de

$10,000.00 a tres años y a la tasa del 20% anual, con capitalización anual de

intereses.

10,000 10,000 A = ------------------------ ; A = ------------------- - 3 2.106481 1 – ( 1 + .20 ) ------------------------ .20

A = $4,747.25

Cifra que podemos comprobar, si construimos una tabla de amortización que

refleje anualmente la liquidación del préstamo:

122

Año Capital inicial Intereses Amortización Saldo

1 10,000.00 2,000.00 2,747.25 7,252.75

2 7,252.75 1,450.55 3,296.70 3,956.05

3 3,956.05 791.21 3,956.04 .01

Al respecto, conviene hacer notar que la generalidad de los préstamos a

mediano y largo plazo, hipotecarios, de avío y refaccionarios se liquidan sobre la

base de una amortización, misma que persigue el pago gradual del financiamiento

a lo largo de su vigencia, en vez de efectuarlo hasta la fecha de su vencimiento.

Lo cual protege tanto al Banco como a quien recibe el crédito y por lo tanto

disminuye el riesgo inherente al préstamo al inducir a que el deudor efectúe las

previsiones necesarias para la cobertura oportuna de su obligación.

Una amortización es particularmente importante cuándo el destino del

crédito se aplica a la adquisición de activos fijos específicos, ya que el programa

de pagos deberá estar relacionado con la vida útil del equipo de que se trata, en

virtud de que los mismos se derivan de los flujos de efectivo resultantes de la

utilización de tales activos.

Sin embargo, si deseamos simplificar los referidos cálculos, todo lo que

tenemos que hacer es utilizar las tablas correspondientes al valor presente de una

anualidad, ya sea vencida o anticipada. Para cuyo efecto, si nos referimos al

ejemplo anterior, nada mas se tiene que dividir el importe del préstamo entre el

factor de la tabla que se ubica en la intersección de 3 períodos con la tasa del

20%; misma que contendría la siguiente cifra: 2.1065, que resulta de sumar los

factores de los tres períodos de la tabla de valor presente de un peso: .833

+ .6944 + .5787 = 2.1064

Importe de cada anualidad = =$4,747.25

123

10.0002.1064

Lo anterior se puede demostrar mediante la construcción de su tabla de

amortización:

Año Pagos Intereses Abono a principal

Saldo al final del año

0 10,000

1 4,747 2,000 2,747 7,253

2 7,747 1,451 3,297 3,956

3 4,747 791 3,956 0

En forma básica y mediante el empleo de tablas se pueden resolver

problemas de carácter financiero, convirtiendo una suma dada de dinero a su valor

equivalente en un punto diferente, y en el caso de anualidades en puntos

diferentes, en el tiempo. Para realizar esta conversión es necesario aplicar a la

cantidad deseada el factor referido a un período y tasa determinada.

En esencia existen seis factores de conversión que son los siguientes:

a) Valor presente a valor futuro

b) Valor futuro a valor presente

c) Anualidad a valor futuro

d) Valor futuro a anualidad

e) Anualidad a valor presente

f) Valor presente a anualidad

124

Para concluir esta sección, resulta necesario mencionar, que las anualidades a

valor presente también se pueden calcular, cuando existe un factor de

capitalización, en un periodo de un año, superior a la unidad. Para ello es

necesario, al igual que con el valor futuro, modificar los valores de la tasa y el

tiempo, en función al número de capitalizaciones.

Con ello la fórmula general de las anualidades a valor presente queda como sigue:

Para el caso de pagos vencidos:

VAA A = ---------------------------- - N x m 1 - (1 + T) ---- m --------------------------- T ----- m

Para pagos anticipados:

VAA A = ------------------------------------- (- N x m) + 1 1 – (1+T) ---- m ------------------------------- + 1 T ----- m

Con esta misma fórmula vamos a resolver un ejercicio relativo a un préstamo para

un automóvil que cuesta $100,000.00, que se va a pagar a 5 años, con

amortizaciones mensuales anticipadas iguales (anualidades), a la tasa del 20%

anual, capitalizable en forma mensual. Donde se desea saber cuál va a ser el

importe del pago mensual.

125

100,000 100,000 A = ----------------------------------------- ; A = ------------------------- (- 5 x 12) + 1 - 59

1 - (1 + .20 ) 1 - (1.016667) ------ ------------------------- + 1 12 .0166667 ----------------------------------- + 1 .20 ----- 12

100,000 A = ---------------------- 38.373563

A = $2,605.96

Que significa que se tendría que cubrir una mensualidad anticipada de $2,605.96,

durante 60 meses para poder liquidar el referido crédito de $100,000.00

RESUMEN:

El concepto de anualidades se refiere al pago periódico de una cantidad, durante

un lapso determinado. Mismo que puede ser definido en función del valor futuro y

valor actual, resultando inversos el uno del otro.

Ambas perspectivas pueden ser determinadas en función a pagos vencidos o

anticipados, así como a una frecuencia de capitalización específica.

El valor futuro de una serie de anualidades se emplea para fines de lograr una

acumulación requerida de capital, en base a una tasa de interés y un plazo

establecidos.

El importe de una anualidad a valor futuro es útil para poder precisar la cantidad

que hay que aportar periódicamente para llegar a una suma deseada.

126

El valor presente de una serie de anualidades, se utiliza desde una perspectiva de

crédito, permite conocer el valor actual de una serie de beneficios futuros,

constantes.

El importe de una anualidad a valor presente nos permite saber cuál es la cifra que

hay que liquidar periódicamente, a efecto de poder amortizar un crédito a plazo, a

una tasa dada.


Instrucciones.- Seleccione la alternativa que considere correcta a las preguntas que se señalan a continuación y en seguida resuelva los ejercicios que se indican.

Pregunta 1.- Una anualidad está representada por un pago periódico que puede importar una cantidad:

a) Igualb) Crecientec) Decreciented) Todas las anteriores

Pregunta 2.- El valor futuro de una serie de anualidades será siempre una cantidad _________ que la suma aritmética de cada uno de los pagos o aportaciones.

a) Igualb) Mayorc) Menord) Todas las anteriores

Pregunta 3.- El valor presente de una serie de anualidades será siempre _________ que la suma aritmética de los pagos o aportaciones.

a) Inferiorb) Superiorc) Igual

127


Pregunta 4.- Mediante la alternativa de pagos vencidos en un concepto de anualidades a valor futuro, el importe de una anualidad será ___________ que en el enfoque de pagos anticipados.

a) de mayor valorb) de igual valorc) de menor valord) de valor inverso

Pregunta 5.- Para fines de determinar el importe de las amortizaciones de un crédito a largo plazo podemos emplear como instrumento de cálculo:

a) Anualidades a valor futurob) Anualidades a valor presentec) Valor futuro de una anualidadd) Valor presente de una anualidad

Pregunta 6.- Si se desea acumular una cantidad de $10,000,000.00 en 5 años, mediante depósitos iguales mensuales vencidos, que generan una tasa del 48% anual, capitalizable en forma mensual. Indique cuál debe ser el importe de cada depósito.

Respuesta: _____________

Pregunta 7.- ¿Cuál será el importe de cada mensualidad que tiene que pagarse, mediante pagos iguales, en forma vencida, durante un plazo de 2 años, a efecto de poder liquidar un préstamo por $100,000.00, a la tasa del 30% anual, capitalizable mensualmente?

Respuesta: _____________

Pregunta 8.- Diga cual es la amortización a capital que se va a realizar en el segundo mes de la pregunta anterior.

Respuesta: ______________

Pregunta 9.- Determine el valor futuro de 120 anualidades mensuales, anticipadas, de $1,000.00 cada una, invertidas a la tasa del 21% anual, capitalizable en forma mensual.


Pregunta 10.- ¿A que cantidad de préstamo corresponde una anualidad vencida de $25,480.00, que se liquida en forma anual durante 7 años, a la tasa de interés del 40% anual, capitalizable anualmente?

128



Pregunta 1: a

Pregunta 2: b

Pregunta 3: a

Pregunta 4: c

Pregunta 5: b

Pregunta 6: $42,018.45

Pregunta 7: $5,591.28

Pregunta 8: $3,168.56

Pregunta 9: $408,115.38

Pregunta 10: $57,657.13

129

UNIDAD IIIUNIDAD III

APLICACIONES DIVERSASAPLICACIONES DIVERSAS

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Examinar los métodos más usuales que se emplean para la evaluación económica de proyectos, en función del valor del dinero en el tiempo.

Diferenciar modalidades de amortización y reestructuración de préstamos a largo plazo.

Emplear conceptos derivados del uso de tasas de interés en el análisis de instrumentos del mercado de dinero.

INTRODUCCION

En esta unidad vamos a utilizar instrumentos y métodos explicados en los apartados anteriores de este material, a efecto de ampliar la gama de aplicaciones a aspectos adicionales que están relacionados con las funciones de captación y colocación de recursos por parte de un Banco.

Los elementos de evaluación económica están íntimamente ligados con el financiamiento a proyectos de inversión, en tanto que la construcción de tablas de amortización competen básicamente a los préstamos a plazo y una subsecuente determinación de capacidad de pago. En tanto que el análisis de la rentabilidad de los instrumentos del mercado de dinero, es base de una adecuada selección de alternativas de captación del ahorro. Mientras que la definición correcta del interés efectivo en función a descuentos por parte de proveedores, puede representar una buena oportunidad de negocio en materia de substitución de deuda a corto plazo.

130

SECCION 1

METODOS DE EVALUACION ECONOMICA DE PROYECTOS

VALOR PRESENTE NETO

Toda vez que ya se ha visto el concepto de valor presente, su

determinación e implicaciones en función al valor del dinero en el tiempo, cabe

asegurar que el término neto considera la misma mecánica, en cuanto a evaluar

flujos de efectivo, salvo que considera la disminución de aquellos que representan

entradas de los que implican una salida.

En otras palabras, por valor presente neto se entiende el valor actual de

las entradas una vez que se ha disminuido el importe de la inversión.

Esta técnica es muy usada en materia de evaluación de proyectos o

alternativas de inversión, aunque también empieza a ser considerada al juzgar los

beneficios que genera la concesión de créditos.

Su determinación se basa en una sumatoria de la fórmula del valor

presente para cada período y al resultado de ello se le resta el importe de la

inversión

Por lo tanto:

VPN = C – inversión

131

1(1 + T)n

La generación de los flujos de efectivo debe considerar exclusivamente el valor

neto de los mismos, para cuyo efecto es necesario tomar en cuenta el impacto de

los impuestos, que se deducen para poder determinar la utilidad neta, y de las

afectaciones virtuales en los resultados, como viene a ser la depreciación, que se

agregan a la utilidad neta, para así llegar a un flujo de efectivo neto.

Veamos en relación a lo anterior un ejemplo:

Sobre una empresa que obtiene ingresos por $58,000.00, erogaciones por

$40,000.00, de las cuales $5,000.00 son producto de la depreciación de su

maquinaria por el ejercicio, y que además grava sus utilidades a la tasa impositiva

del 34%. Se desea conocer su flujo de efectivo neto por el ejercicio.


Ingresos = $58,000.00

Menos: Egresos = 40,000.00

-------------------

Utilidad antes de impuestos = 18,000.00

Menos: Impuestos 34% = 6,120.00

-------------------

Utilidad neta = 11,880.00

Más: Depreciación 5,000.00

--------------------

Flujo de efectivo neto = $16,880.00

==========

Vamos ahora a resolver un ejemplo para que se pueda apreciar el empleo

de la fórmula del valor presente neto. Al respecto se desea determinar si una

132

alternativa de inversión de $50,000.00 pesos a tres años es recomendable,

considerando que la misma va a generar rendimientos, al final de cada periodo, de

$16,000.00, $18,000.00 y $20,000.00 respectivamente, en función a que el costo

del dinero se estima en el 15% anual.

Datos que substituimos en la fórmula señalada.

VPN = + + = - 50,000

VPN = (13,913.04 + 13,610.58 + 13,150.32) - 50,000.00

VPN = ($9,326.06)

Por ser un valor negativo el proyecto de inversión debería ser rechazado,

ya que los rendimientos que genera no cubren el costo del dinero, o posiblemente

el costo de oportunidad de otra inversión, si se considera que el 15% representa

este concepto.

Por el contrario, todo proyecto que muestre un valor presente neto positivo

debe en principio ser aceptado.

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO

La misma se define como la tasa de interés que iguala al valor presente de

los flujos de efectivo futuros, con el costo del desembolso inicial.

Esta tasa es también muy utilizada para fines de evaluación de proyectos

y llega incluso a recibir el nombre de “eficiencia marginal de capital”. La misma se

basa en la fórmula de valor presente y en virtud a que en esta se debe tratar de

133

16,000(1.15)1

18,000(1.15)2

20,000(1.15)3

despejar T, que es la tasa de interés; por ser una ecuación indeterminada en

función a los períodos, sólo puede resolverse mediante un proceso iterativo, o de

prueba y error, o tanteos, hasta llegar a alcanzar la tasa que iguala la inversión

con el valor presente de los flujos.

En sí la fórmula para el cálculo de la tasa interna de rendimiento puede ser

expresada como sigue:

TIR = - Inversión = 0

La tasa interna de retorno puede ser resuelta por medio de las tablas de

valor presente para una anualidad, siempre que los flujos de efectivo sean iguales

para cada período, mediante el procedimiento de dividir la inversión entre el flujo

anual, lo cual arroja un factor que se compara en el número de años del proyecto,

con los factores que se muestran en la tabla y aquel que más se le asemeje será

la tasa interna de retorno aproximada.

En caso contrario se tiene que llegar a las iteraciones para fines de su

determinación.

Vamos a resolver un breve ejemplo para fines de poder apreciar su

mecánica: Al respecto consideramos un proyecto a dos años con una inversión de

$5,000.00, que genera $2,000.00 el primer año y $4,000.00 el segundo. Por lo

tanto la determinación de la tasa interna de rendimiento sería como sigue:

TIR = + - 50,000

Substituyendo T por el 20% obtenemos los valores siguientes:

TIR = +

134

flujos(1 + T)n

2,000(1 + T)1

4,000(1 + T)2

2,0001.20

4,0001.44

TIR = (1,666.67 + 2,777.78 – 5,000) = ($555.55)

Que es un valor negativo, por lo tanto se debe probar nuevamente con

una tasa menor.

Como referencia, al obtenerse un valor positivo se debe incrementar la

tasa que se va a probar, ya que mientras mayor sea la tasa menor será el flujo de

efectivo, y de ser negativa, como en este caso, se debe reducir, ya que mientras

menor sea la tasa mayor será el flujo de efectivo.

Con un 15%:

TIR = + - 5,000

TIR = (1,739.13 +3,024.57 – 5,000) = ($236.29)

Por lo que debe reducirse una vez más la tasa de descuento, ahora vamos

a probar con el 6%

TIR = (1,887.79 +3,559.99 – 5,000) = $447.78

Por tratarse de una tasa positiva ahora debemos incrementar la tasa de

descuento, aunque hasta ahora ya sabemos que se encuentra entre 6% y 15%.

En resumen y después de varios intentos se llegaron a igualar los flujos

con la inversión al 11.65%.

En calcular en forma manual una tasa interna de retorno, con mas de dos

dígitos resulta poco práctico y laborioso, aún con la ayuda de las tablas de valor

presente, por lo que se recomienda el empleo de equipo de computo para ello, la

generalidad de la hojas de cálculo, como Lotus y Excel ya traen integrada la

135

2,000(1 + .15)1

4,000(1 + .15)2

función, o bien, mediante el uso de calculadoras financieras que ya traen también

integrada la función.

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO MODIFICADA

En virtud de que el concepto de tasa interna de rendimiento implica en su

concepción matemática el problema de generar más de una tasa cuando se

presentan cambios en los signos de los flujos de efectivo, se desarrolló este nuevo

concepto que se basa en los tres pasos siguientes:

1° Se descuentan todas las salidas de flujos de efectivo a la tasa del costo del

capital, independientemente del período en que se produzca.

2° Se llevan a valor terminal todos los flujos de efectivo positivos a la tasa del

costo de capital.

3° Se encuentra la tasa de descuento, es decir, la tasa interna de retorno que

iguala el valor terminal de los ingresos de proyecto con el valor presente de

los egresos.

Para el ejemplo anteriormente presentado, la tasa interna de rendimiento

modificada, considerando un costo de capital del 10% sería la siguiente:

1º. 2,000 al 10% a 1 año = 2,200

4,000 al 10 % a 1 año = 4,000

$6,200

Los $4,000.00 del segundo periodo no generan interés alguno por

haberse recibido al finalizar el periodo.

2º. 5,000 de inversión a valor presente = $5,000.00

136

3º. TIR modificada = 11.35%

Que se deriva de igualar un flujo de entrada por $6,200.00 que se obtiene

al término del segundo año, con la inversión de $5,000.00 que se desembolsa en

el presente.

Tasa (11.35%) ligeramente inferior a la obtenida con el método de tasa

interna normal de 11.65%.

RESUMEN:

El concepto de valor del dinero en el tiempo tiene una aplicación relevante

como parte de la evaluación económica de proyectos, en la cuál técnicas tales

como el valor presente neto, la tasa interna de rendimiento y la tasa interna de

rendimiento modificada, suelen utilizarse como elementos básicos en el proceso

de decisión correspondiente a la aceptación o rechazo de todo proyecto.

En el terreno bancario, en donde el financiamiento a proyectos representa

una área de negocios importante, aunque también de mucho riesgo, el

conocimiento de la esencia y naturaleza de las técnicas de evaluación económica

referidas, permite contar con un elemento relevante al juzgar la futura capacidad

de recuperación del crédito.

Tanto el valor presente neto, como la tasa interna de rendimiento, en sus

dos modalidades muestran resultados consistentes en cuanto a la selección de un

proyecto, con la diferencia de que la primera técnica está referida a un valor

absoluto, en tanto que la segunda se mide en valor relativo.

137


Instrucciones.- Responda a las preguntas que se plantean a

continuación, seleccionando la alternativa correcta, o resolviendo el planteamiento

respectivo.

Pregunta 1.- A la diferencia entre el valor de la inversión y la suma de los

flujos descontados de un proyecto se le conoce como:

a) Tasa interna de rendimiento

b) Periodo de recuperación

c) Valor presente neto

d) Tasa interna de rendimiento modificada

Pregunta 2.- La tasa que iguala el valor presente de los flujos futuros, con

el flujo de inversión se denomina:

a) Tasa de equilibrio

b) Tasa interna de rendimiento

c) Tasa real

d) Tasa equivalente

Pregunta 3.- La diferencia básica entre tasa interna de rendimiento y tasa

interna de rendimiento modificada radica en que en ésta última se elimina el efecto

de:

a) Posible existencia de tasas múltiples

b) Tasas decrecientes

c) La inflación


138

Pregunta 4.- Para poder determinar la tasa interna de rendimiento, se

requiere efectuar las operaciones siguientes:

a) Interpolaciones

b) Iteraciones

c) Despejes de la variable tasa


Pregunta 5.- Si el valor presente neto es positivo, y estamos tratando de

determinar la tasa interna de rendimiento, el ajuste que tenemos que hacer en la

tasa de descuento es de:

a) Aumentarla

b) Disminuirla

c) Dejarla igual


Pregunta 6.- Si se invierten $250,000.00 al inicio de un proyecto durante 6

años y se obtienen rendimientos de ($50,000.00) en el primer año, y de

$80,000.00 en cada uno de los siguientes 5 años, diga cuál es el valor presente

neto de la inversión, si se considera una tasa de descuento del 15% para todos los

periodos.

Respuesta: _____________

139

Pregunta 7.- Determine la tasa interna de rendimiento de una inversión

inicial de $10,000.00, que genera flujos de efectivo de $5,000.00 en los cuatro

años siguientes.

Respuesta: ______________

Pregunta 8.- En los mismos términos de la pregunta anterior, calcule la

tasa interna de rendimiento modificada, si los flujos positivos generados de

$5,000.00 cada año se reinvierten a la tasa del 12% anual.

Respuesta: _____________

Pregunta 9.- En una empresa que tiene ingresos por $85,000.00, egresos

por $50,000.00, incluido un gasto por depreciación de $10,000.00 y una tasa de

impuestos del 40%, su flujo de efectivo neto será de:

Respuesta: _______________

Pregunta 10.- Si contamos con dos alternativas de inversión, a 3 años,

que generan los flujos de efectivo que se muestran en la siguiente tabla, y la tasa

de descuento es del 25% anual para ambas, diga cual es la más conveniente en

función a su valor presente neto.

Proyecto Inversión Año 1 Año 2 Año 3

A 35,000 18,000 20,000 25,000

B 35,000 0 0 80,000

Respuesta: _____________

140


Pregunta 1: c

Pregunta 2: b

Pregunta 3: a

Pregunta 4: b

Pregunta 5: b

Pregunta 6: ($60,284.86)

Pregunta 7: 34.90%

Pregunta 8: 24.33%

Pregunta 9: $31.000.00

Pregunta 10: B = $5,960.00

141

SECCION 2

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS

Introducción:

Esta aplicación del concepto de anualidades se refiere básicamente a

créditos cuya liquidación se efectúa en función a un sistema de pagos periódicos,

de los cuales una porción se considera como interés y el remanente se aplica al

principal, para efecto de ir reduciendo el mismo y por lo general servir de base al

cálculo del interés para el próximo período.

En términos de amortización de créditos el procedimiento puede revestir

numerosas modalidades, tantas como prácticamente se desea.

pagos crecientes y tasas variables

pagos adicionales al contratado

pagos nivelados y tasas variables

pagos fijos y tasa fija

Estas son tan sólo algunas de las modalidades que se pueden plantear

bajo este esquema de liquidación de un crédito; otras pueden considerar pagos

decrecientes, interés global, mensualidades y anualidades, pagos crecientes

combinados con decrecientes, plazos de gracia.

En realidad lo importante a conocer en este concepto, es el manejo que en

forma general se le da a los pagos periódicos para efecto de determinar el cálculo

de intereses, la separación en cuanto a los importes que se aplican a intereses y

principal, y la base que se debe tomar para fines de cálculos subsecuentes.

142

Con lo anterior en mente vamos a realizar algunos ejercicios que nos

permitan percibir con detalle la construcción de las tablas de amortización de

préstamos bajo sus principales modalidades.

CONSTRUCCION DE TABLAS DE AMORTIZACION

En virtud de que ya se vio en la sección de anualidades la construcción de

una tabla con pagos periódicos iguales y tasa fija, no vamos a considerar esta

opción, sino que pasaremos a determinar una opción con pagos crecientes y tasa

fija. Al respecto la alternativa de emplear tasas variables lo único que se modifica

es el cálculo del monto del pago al hacer intervenir la nueva tasa

Para este ejemplo vamos a considerar un crédito a 3 años con pagos

trimestrales por $ 60,000.00 y una tasa de interés trimestral de 15%.

Por lo tanto se construye la tabla siguiente:

En donde el importe del pago crece a la tasa del 15% trimestral, los

intereses se calculan sobre la base, y el abono al principal se obtiene restando al

importe del pago los intereses generados por período.

Período Base Importe del pago

Intereses Abono a principal

Saldo

1 60,000 5,750 9,000 (3,250) 63,250

2 63,250 6,613 9,488 (2,875) 66,125

3 66,125 7,605 9,919 (2,314) 68,439

4 68,439 8,746 10,266 (1,520) 69,959

5 69,959 10,057 10,494 (437) 70,396

6 70,396 11,566 10,559 1,007 69,389

7 69,389 13,301 10,408 2,893 66,496

8 66,496 15,296 9,974 5,322 61,174

143

9 61,174 17,590 9,176 8,414 52,570

10 52,570 20,229 7,914 12,315 40,445

11 40,445 23,263 6,067 17,196 23,249

12 23,249 26,753 3,487 23,226 (17)

Otra opción consiste en efectuar pagos decrecientes con abono constante

a capital para cuyo fin vamos a considerar los mismos datos del ejemplo anterior y

construir la tabla correspondiente.

En donde el abono a capital constante se obtiene de dividir el importe del

crédito entre el número de pagos, y el importe del pago corresponde a la cifra de

los intereses del período sumada a la cantidad de abono al principal.

Período Base Importe del pago

Intereses Abono a capital

Saldo

1 60,000 14,000 9,000 5,000 55,000

2 55,000 13,250 8,250 5,000 50,000

3 50,000 12,500 7,500 5,000 45,000

4 45,000 11,750 6,750 5,000 40,000

5 40,000 11,000 6,000 5,000 35,000

6 35,000 10,250 5,250 5,000 30,000

7 30,000 9,500 4,500 5,000 25,000

8 25,000 8,750 3,750 5,000 20,000

9 20,000 8,000 3,000 5,000 15,000

10 15,000 2,250 7,250 5,000 10,000

11 10,000 1,500 6,500 5,000 5,000

12 5,000 750 5,750 5,000 0

144

Una característica más que puede considerarse en cualquier sistema de

pagos periódicos, consiste en otorgar un plazo de gracia para el pago del

principal, pero sin dejar de cubrir los intereses respectivos

En la misma, suponiendo los mismos datos del ejemplo empleado, para

pagos iguales y dos períodos de gracia, se procede como sigue:

1° Se calcula el importe de los intereses para cada período de gracia, en este

caso $9,000.00 por cada uno y los mismos se liquidan.

2° Al partir del tercer período se formula el resto de la tabla de amortización,

empleando para ello la fórmula de anualidades a valor presente para 10

períodos y el factor correspondiente al 15%.

VPA = = $11,955.04

También se puede llegar al mismo resultado utilizando la fórmula de anualidades

vencidas a valor presente, de la siguiente manera:

60,000 60,000 A = ---------------------- ; A = ----------------- - 10 5.0188 1 – (1 + .15) ------------------------ .15

A = $ 11,955.04

145

60,0005.0188

A continuación construimos la tabla correspondiente:

Período Base Importe Intereses Abono a principal

Saldo

1 60,000 9,000 9,000 0 60,000

2 60,000 9,000 9,000 0 60,000

3 60,000 9,000 9,000 2,955 57,045

4 57,045 11,955 8,557 3,398 53,647

5 53,647 11,955 8,047 3,908 49,739

6 49,739 11,955 7,461 4,494 45,245

MODELOS DE REESTRUCTURACION DE ADEUDOS

Aunque existen muchos y muy diversos procedimientos de reestructuración de

préstamos, vamos a abordar sólo dos de los más conocidos y utilizados: En

Unidades de Inversión (Udi’s) y a Valor Presente.

REESTRUCTURACION EN UDI’S

Este procedimiento consiste en un sistema de pagos que se basa en una tasa real

y que difiere en el tiempo, acumulando al adeudo, el impacto de la inflación.

A efecto de poder construir la tabla de amortización correspondiente, se requiere

conocer el valor de la Udi al momento de la reestructuración, el importe de una

tasa real de interés y por supuesto el plazo, periodicidad de pago y monto del

adeudo. Con toda esta información se procede a formular la referida tabla,

mediante el procedimiento siguiente:

146

1.- Se divide el monto del adeudo entre el valor de la Udi, a efecto de determinar el

número de Udi’s.

2.- Se divide el número de Udi’s entre el número de pagos por realizar, para

conocer la cantidad de Udi’s relativa a cada pago.

3.- El total de Udi’s adeudadas se multiplica por la tasa real anual, y el resultado

se divide entre el número de pagos en un año, para saber el interés que

corresponde en Udi’s a cada pago.

4.- Se suman la amortización por periodo en Udi’s y el interés real en Udi’s, para

determinar el pago total en Udi´s

5.- Se multiplica el pago total en Udi’s por el valor estimado de la Udi en la fecha

de pago, para conocer el importe a pagar en pesos por el periodo.

6.- Del total de Udi’s se resta la amortización en Udi’s, para determinar el nuevo

saldo el Udi’s.

7.- Se multiplica el nuevo saldo en Udi’s, por el valor estimado de la Udi para

conocer el remanente pendiente de pago en pesos.

Vamos a continuación a ejemplificar la construcción de una tabla de amortización

en Udi’s, de conformidad con los siguientes datos:

Un adeudo de $150,000.00, a pagar en un plazo de 5 años, sin periodo de gracia,

con amortización mensual, a la tasa real anual del 8%, con un valor inicial de la

Udi de 2.286754 y un crecimiento estimado de la inflación por el año del 18%.

150,0001.- ---------------- = 65,595 Udi’s

147

2.286754

65,5952.- --------------- = 1,093 Udi’s mensuales a amortizar 60

.083.- 65,595 x -------- = 437 Udi´s de interés en el primer mes 12

4.- 1,093 + 437 = 1,530 Udi’s a pagar en el primer mes

5.- a) Valor estimado de la Udi para el primer mes es igual a la tasa de creci-

miento mensual promedio, a interés compuesto, de la inflación, multipli-

cada por el valor inicial de la Udi más 1.

T = (Raíz 12 de 1.18) – 1 = .013888

Valor estimado de la Udi para el mes 1 = 2.286754 x 1.013888 = 2.318512

b) Importe del pago del primer mes = 1,530 x 2.318512 = $3,547.32

6.- 65,595 – 1,093 = 64,502 de nuevo saldo de principal en Udi’s

7.- 64,502 x 2.318512 = $149,548.66 remanente de capital a pagar en pesos

Y bajo el mismo procedimiento se calcularían los 59 meses restantes.

Veamos ahora como queda la tabla de amortización para los primeros tres meses

de la reestructuración, con valores exclusivamente en Udi´s

Mes Udi’s inicial Amortiz. Intereses Pago total Saldo final

148

1 65,595 1,093 437 1,530 64,502

2 64,502 1,093 430 1,523 63,409

3 63,409 1,093 423 1, 516 62,316

Mientras que el total a pagar en pesos y el saldo del adeudo en pesos por los

primeros tres meses quedarían como sigue:

Mes Pago Udi’s Saldo Udi’s Valor Udi Pago en $ Saldo en $

1 1,530 64.502 2.318512 3,547.32 149,548.66

2 1,523 63,409 2.350711 3,580.13 149,056.23

3 1,516 62,316 2.383358 3,613.17 148,521.33

La ventaja de este esquema de reestructuración radica en que al efectuarse los

pagos de intereses en una base real, el destino inicial de recursos es reducido,

pero para que funcione en el mediano y largo plazo, debe descansar en el hecho

de que la inflación no muestre una tendencia al crecimiento y de preferencia vaya

disminuyendo. De otra manera el principal adeudado aumentaría en forma

exponencial, con los efectos devastadores que ya hemos comentado en la unidad

correspondiente de este material.

REESTRUCTURACION A VALOR PRESENTE

149

Este otro procedimiento se fundamenta, como su nombre lo señala, en el valor

actual de los pagos efectuados, que se realizan en función a una tasa nominal que

toma en consideración una tasa real y la tasa de inflación estimada. Para con ello

derivar pagos de referencia, que generalmente no cubren en un principio el pago

total de intereses, por lo que obligan a una capitalización parcial de los mismos,

pero que con posterioridad empiezan a amortizar capital, para llegar a liquidar al

final del plazo el total del adeudo.

El esquema correspondiente se determina de conformidad con los pasos

siguientes:

1.- Se establece el plazo en el que habrá de liquidarse el adeudo y el importe de

la amortización por cada periodo.

2.- Se calcula la tasa nominal, en función a las tasas real y de inflación estimadas.

3.- Se determina un primer valor de referencia que es igual a la cantidad que se va

a liquidar en cada periodo y que se calcula en función a la fórmula del valor fu-

turo, a la tasa nominal y tomando como capital la parte proporcional del adeudo

que se va a amortizar.

4.- Se calculan los intereses del periodo, en función al saldo inicial del principal

adeudado y en base a la tasa nominal de intereses.

5.- Se resta el valor de referencia del interés del periodo, si este es superior se

capitaliza la diferencia, en caso contrario, el importe de la diferencia se amor-

tiza a capital.

6.- Se vuelve a determinar un valor de referencia para el segundo periodo, en fun-

ción al valor futuro del siguiente pago y se repiten los pasos 4 y 5 hasta la con-

150

clusión del plazo establecido.

Veamos ahora un ejemplo de aplicación del referido esquema:

Para ello consideremos un crédito por $100,000.00 que se va a amortizar en 5

años, a una tasa real del 10% y una tasa estimada de inflación del 40%.

100,0001.- ------------- = 20,000 de amortización anual 5

2.- ((1.10 x 1.40) – 1 ) x 100 = 43% de tasa nominal

13.- 20,000 x ( 1 + .43 ) = $28,600.00 valor de referencia del primer periodo

4.- 100,000 x .43 = $43,000.00 de intereses por el primer año

5.- 28,600.00 – 43,000.00 = -$14,400.00 que se capitalizan

26.- ( 2º.periodo) :20,000 x ( 1 + .43 ) = $40,898.00 de valor de referencia

4.- (2º. periodo): 114,400 x .43 = $49,192.00 de intereses del segundo periodo

5.- (2º.. periodo) : 40,898.00 – 49,192.00 = -$8,294.00 que se capitalizan

36.- (3er. periodo) : 20,000 x ( 1 + .43 ) = $58,484.14 de valor de referencia

4.- (3er. periodo): 122,694 x .43 = $52,758.42 de intereses del tercer periodo

5.- (3er. periodo): 58,484.14 – 52,758.42 = $5,725.72 que se amortizan a capital

151

Y así sucesivamente, hasta concluir el 5º. periodo en que se liquida el adeudo,

como se muestra en la tabla siguiente:

Periodo Valor refer. Intereses Capitalizac. Amortizac. Saldo

0 100,000.00

1 28,600.00 43,000.00 14,400.00 114,400.00

2 40,898.00 49,192.00 8,294.00 122,694.00

3 58,484.14 52,758.42 5,725.72 116,968.28

4 83,632.32 50,296.36 33,335.96 83,632.32

5 119,594.22 35,961.90 83,632.32 0.00

En forma similar al procedimiento con Udi’s, el método de valor presente permite

que los pagos iniciales sean moderados, pero conforme transcurre el tiempo, y si

la inflación no disminuye, o inclusive aumenta, los pagos finales se transforman en

cantidades muy considerables y difíciles de poder liquidarse.

RESUMEN

Los elementos derivados del concepto de anualidades, tanto a valor futuro, como

a valor presente nos sirven para fines de poder determinar los periodos y

características de amortización de créditos a largo plazo.

Aunque existen muchas modalidades que pueden observarse al construir tablas

de amortización de adeudos, los aspectos básicos se refieren al importe de la

anualidad, la magnitud de la tasa de interés, su capitalización, la periodicidad de

las amortizaciones y la posible existencia de uno o más periodos de gracia, en

donde sólo se liquida el interés, más no el principal.

152

El contexto de las anualidades también es útil para fines de reestructuración de

adeudos, y en este material hemos examinado dos de los principales esquemas

existentes en nuestro medio, el basado en Unidades de Inversión (Udi’s) y el

relativo a pagos a valor presente. Ambos esquemas resultan convenientes para

los deudores, bajo la premisa de que la inflación tienda a disminuir.

Bajo un esquema de reestructuración, todo pago que no cubra la totalidad de

intereses causados, debe ser capitalizado, por la diferencia, a efecto de una nueva

determinación de intereses.

REVISION DE AVANCE: Unidad 3, Sección 2.

Instrucciones.- Selecciones la alternativa que represente la respuesta correcta a

las preguntas planteadas, y conteste los ejercicios que se describen a

continuación:

Pregunta 1.- En una tabla de amortización de un crédito, con pagos iguales o

nivelados, se muestra el siguiente efecto:

a) Aumento del interés y disminución de la amortización del principal

b) Disminución del interés y disminución de la amortización del principal

c) Disminución del interés y aumento de la amortización del principal


Pregunta 2.- Bajo un esquema de otorgamiento de un periodo de gracia, se

observa que durante tal periodo:

a) Sólo se pagan intereses

b) Se amortiza sólo capital

c) Se amortizan capital e intereses


153

Pregunta 3.- Cuándo se efectúan amortizaciones iguales a capital, el interés, con

el transcurso del tiempo, tiende a:

a) Aumentar

b) Disminuir

c) Permanecer igual

d) Se incrementa al principio, pero después disminuye.

Pregunta 4.- En un esquema de reestructuración de Udi’s los pagos periódicos a

capital e intereses, deben efectuarse a tasa:

a) Nominal

b) Real

c) Efectiva

d) Del índice nacional de precios al consumidor

Pregunta 5.- En una reestructuración a valor presente, si el valor de referencia es

superior al importe de los intereses, el diferencial deberá:

a) Liquidarse al vencimiento del préstamo

b) Capitalizarse

c) Eliminarse del cálculo del próximo valor de referencia

d) Amortizarse

Pregunta 6.- Determine el importe de la mensualidad correspondiente al tercer

periodo, de un préstamo por $50,000.00, a 3 años, con pagos mensuales iguales y

vencidos, a capital, a la tasa del 20% anual.

Respuesta: _____________

154

Pregunta 7.- En un préstamo para la compra de un automóvil de $60,000.00, a 5

años, con pagos mensuales y a la tasa del 28% anual, calcule el importe de la

mensualidad, si consideramos que los pagos van a ser iguales en todos los

meses.

Respuesta: ____________

Pregunta 8.- En un esquema de reestructuración a 5 años, con pagos anuales y

a valor presente. Si consideramos que el importe del adeudo es de $250,000.00,

una tasa real 7% e inflación prevista del 15%, se solicita determinar el valor de

referencia del 3er. periodo.

Respuesta: _____________

Pregunta 9.- En relación con la pregunta anterior, estime cuál será el saldo final

del capital adeudado al finalizar el segundo periodo.

Respuesta: ______________

Pregunta 10.- En función a un esquema de reestructuración en Udi´s de un

préstamo por $125,000.00, a liquidarse en 8 años, mediante pagos mensuales. En

donde la tasa real es del 9% anual, el valor de la Udi inicial es de 2.223567, y se

estima que la inflación va a incrementarse en un 16% anual. Indique cual será el

valor en pesos del primer pago mensual.

Respuesta: _______________

155

CLAVE DE RESPUESTAS: Unidad 3, Sección 2

Pregunta 1: c

Pregunta 2: a

Pregunta 3: b

Pregunta 4: b

Pregunta 5: d

Pregunta 6: $2,175.92

Pregunta 7: $1,868.15

Pregunta 8: $93,156.86

Pregunta 9: $227,119.54

Pregunta 10: $2,269.25

156

SECCION 3

OTRAS APLICACIONES EN CUANTO A ASPECTOS DE COLOCACION Y

CAPTACION

TASA EFECTIVA DE DESCUENTO POR PRONTO PAGO

Las reducciones por pago anticipado o en efectivo representan una

reducción en el precio dentro de un período específico. Los costos que implica el

no aprovechar los descuentos por pronto pago generalmente exceden a la tasa de

interés, nominal o efectiva a la que se puede pedir prestado. Situación que explica

el porque algunas empresas que aparentemente no requieren de financiamientos

a corto plazo en función a la sincronización de un ciclo de conversión de activos,

lleguen a solicitar préstamos. Las mismas se han dado cuenta de que el crédito

comercial, o financiamiento espontáneo, puede llegar a ser un instrumento muy

caro, si no se aprovechan los descuentos ofrecidos por los proveedores, en

función a que los pagos se hagan en forma anticipada a su vencimiento normal.

Al pedir prestado una empresa, para aprovechar sus descuentos por

pronto pago, se reduce el período durante el cual sus cuentas por pagar

permanecen en sus registros. Por lo mismo los plazos disminuyen en proporción a

la magnitud de los descuentos que les ofrecen sus proveedores

Los plazos de crédito señalan generalmente la cantidad de descuento que

se ofrece, la fecha de vigencia y de vencimiento.

Por lo general se expresan, a manera de ejemplo, de la siguiente forma

5/10/30/N. Que significa que si se paga dentro de los 10 primeros días de la

facturación se concede el 5% por concepto de pronto pago, pero que si se paga

entre el del día 11 al día 30, se paga el valor neto de la factura.

157

La fórmula que se utiliza para determinar el costo, o beneficio,

dependiendo del lado que se le vea, es la siguiente:

T = ( x ) x 100

Entendiéndose por:

D = porcentaje de descuento

N = número de días del plazo sin descuento

T = tasa de interés

Por lo tanto, para ejemplo arriba citado la tasa de interés sería la siguiente:

T = ( x ) x 100 = 96.05%

La cifra anterior se produce en razón a que el no aprovechar el descuento

por pronto pago significa el pago de un 5% extra por el uso del dinero durante 20

días adicionales.

Que se traduce en un costo de oportunidad del 96.05%, por retrasar el

pago hasta el 30avo día.

Si adicionalmente se relaciona la oportunidad del descuento por pronto

pago con el concepto de tasa efectiva anualizada, a interés compuesto, producto

de una capitalización, ya explicado con anterioridad, se tiene que la tasa efectiva

de una decisión de esta naturaleza significa, para este ejemplo, lo siguiente:

T = (1 + )18.25 - 1 = 154.99%

158

D100 - D

365N

5100 - 5

365N

.960518.25

Es decir, una tasa efectiva del 155%, que es muy superior al

financiamiento más caro que se pueda encontrar en la actualidad en el país.

Aún con un simple descuento del 2% a 10 días y neto a 30 días, la tasa

efectiva se elevaría al 44.56%.

RENDIMIENTO DE INSTRUMENTOS EN EL MERCADO DE DINERO

Esta aplicación se refiere a la determinación de la tasa de interés que

producen alternativas de inversión en el mercado financiero a corto plazo,

fundamentalmente certificados de la tesorería (cetes), papel comercial y

aceptaciones bancarias

Instrumentos cuyo rendimiento se obtiene en base al diferencial existente

entre el precio descontado al que se adquieren y su valor nominal al que se

redimen a su vencimiento, ya que los mismos no contienen una tasa implícita de

rendimiento, sino una tasa de descuento.

Por ejemplo, un Cete con valor nominal de $10.00 a 90 días que se

adquiere un día después de su fecha de emisión con un descuento de $0.30, es

decir, a $9.70, rendirá su vencimiento la tasa que a continuación se va a

determinar.

La fórmula general que se debe emplear es la siguiente:

Tr = x 100

En donde:

159

(VN – VA) x 360VA x N

VN = Valor nominal

VA = Valor de adquisición

Tr = Tasa de rendimiento

N = Plazo

Que substituyendo nos arroja el resultado siguiente:

Tr = x 100

Tr = 12.37%

Cuyo significado es que la tasa anualizada de rendimiento del cete a 90

días es del 12.37%.

Ahora bien, desde el punto de vista de un inversionista, y suponiendo que

el mismo puede ser capaz de reinvertir el importe obtenido al final del vencimiento

en otro Cete con el mismo descuento, se tendría que calcular la tasa efectiva del

mismo en función a la fórmula que se expresa a continuación;

Te = ( - 1) x 100

Te = ( - 1) x 100

Te = 12.96%

Respecto al ejercicio anterior, también podemos utilizar la fórmula de la tasa

efectiva, en función al número de capitalizaciones, siguiente:

m

160

(10.00 – 9.70) x 3609.70 x 90

VNVA

360

n

10.00 4

9.70

Te = (( 1 + Tr ) - 1 ) 100 ----- m

En donde:

Tr = tasa de rendimiento

Te = tasa efectiva

m = número de capitalizaciones en un año

Substituyendo:

4 Te = (( 1 + .1237 ) - 1) x 100 -------- 4

Te = 12.96%

Que es el mismo resultado, al obtenido con la fórmula anterior.

Por otra parte, si lo que se conoce es la tasa de descuento, el número de

días para su vencimiento y el valor nominal del título, se puede emplear la

siguiente fórmula para efecto de determinar su precio de adquisición.

VA = VN - VN x Td x N 360

En donde:

Td = tasa de descuento, expresada como tanto por uno

VA = valor de adquisición

VN = valor nominal

161

N = plazo o tiempo

Por lo tanto:

10 x .12 x 90 VA = 10.00 - (-------------------) ; VA = 10.00 - .30 = $9.70 360

En tanto que la tasa de descuento se obtiene por:

Td = ( x ) x 100

Por lo que al substituir:

Td = (.03 x 4) x 100

Td = 12%

La misma mecánica se sigue para fines de determinación del papel

comercial y aceptaciones bancarias, así como de cualquier otro instrumento del

referido mercado de dinero que se opere a descuento.

162

VN – VA VN

360 N

RESUMEN:

La determinación de la tasa efectiva de descuentos por pronto pago se

deriva del empleo de los conceptos de interés simple y compuesto, en forma

combinada.

El conocimiento de la referida tasa resulta de una utilidad relevante, para

efecto de poder determinar costos de oportunidad del financiamiento, y por

consecuencia, de la posibilidad de efectuar substitución de deuda a corto plazo.

Por su parte, los mecanismos de determinación de tasas, en función al

interés simple y compuesto, se pueden emplear en el manejo de instrumentos del

mercado de dinero, tales como cetes, papel comercial y aceptaciones bancarias;

para fines de decisión.

Las tasas de descuento, de rendimiento y efectivas constituyen la esencia

del manejo de instrumentos de deuda, en donde los títulos se compran por debajo

de su valor nominal y por lo tanto, su rendimiento está basado en el diferencial

entre precio de adquisición y valor de redención, incluido el efecto del plazo

respectivo.


Instrucciones.- Seleccione la alternativa que considere correcta a las

preguntas siguientes y determine el resultado de los ejercicios que se plantean

Pregunta 1.- En una operación de descuento por pronto pago, la tasa de

interés efectiva se determina en base a los elementos siguientes:

163

a) Diferencia en periodos con descuento y sin descuento

b) Tasa de interés del descuento

c) Frecuencia de capitalizaciones del diferencial de periodos en un año


Pregunta 2.- Cuando se adquiere un instrumento del mercado de

dinero, como lo es el papel comercial, la tasa de descuento es ___________ a la

tasa de rendimiento, y la tasa de rendimiento es _________ a la tasa efectiva.

a) mayor y mayor

b) mayor y menor

c) menor y mayor

d) menor y menor

Pregunta 3.- Al aprovechar un descuento por pronto pago que

establece un 4% de descuento si se liquida el adeudo dentro de los 10 primeros

días de su emisión, con un plazo de pago de 30 días. Indique cuál es la tasa

efectiva de rendimiento anual, a interés compuesto, que se obtiene.

Respuesta: _____________

Pregunta 4.- Al adquirir un cete, con vencimiento a 28 días y con

valor nominal de $10.00, en la cantidad de $9.55, diga cual es su tasa efectiva de

rendimiento, bajo el supuesto de que durante un año se va a poder seguir

adquiriendo al mismo precio.

Respuesta: _______________

Pregunta 5.- Si sabemos que la tasa de rendimiento de una

aceptación bancaria, a un plazo de 90 días, con valor nominal de $100.00, es del

31.25% anual. ¿Cuál será su tasa de descuento?

164

Respuesta: _______________


Pregunta 1: d

Pregunta 2: c

Pregunta 3: 108.51%

Pregunta 4: 80.76%

Pregunta 5: 28.9855%

165

APENDICE I

RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS CONTENIDOS EN LAS

REVISIONES DE AVANCE

UNIDAD 1, SECCION 1

Pregunta 11.-

Respuesta = 7,100 – 6,500 = $600.00

Pregunta 12.-

750 Respuesta = ------------- = .50 = 50% 1,500 x 1

Pregunta 13.-

Respuesta = 12,600 + 850 = $13,450.00

Pregunta 14.-

2,758Respuesta = ------------ = $22,893.33 .24 ------ x 180 360

166

Pregunta 15.-

.28Respuesta = 75,000 x ------ x 90 = $5,178.08 365

Pregunta 16.-

4,376.00Respuesta = -------------------- = .6295 = 62.95% 38,500 x 65 ----- 360

Pregunta 17.-

72Respuesta = ------------------ = 120 dias 1,800 x .12 ----- 360

Pregunta 18.-

2,475Respuesta = --------------------------- = $2,262.86 ( 1 + (.1875 x 180)) ------- 360

Pregunta 19.-

67,679Respuesta = ------------------- = 321 días 245,000 x .31 ------

167

360

Pregunta 20.-

.36Respuesta = 32,875 x ----- x 91 = $2,991.63 360

UNIDAD 1, SECCION 2

Pregunta 6.-

Respuesta = 56,000 – 7,500 = $48,500.00

Pregunta 7.-

.25 Respuesta = 1.- interés = 60,000 x ------- x 75 = $3,125.00 360

2.- valor líquido = 60,000 – 3,125 = 56,875

3,125 3.- Tasa = -------------------- = .2637 = 26.37% 56,875 x 75 ----- 360

Pregunta 8.-

1,000 Respuesta = ------------------ = 129 días .28

168

10,000 x ------ 360

Pregunta 9.-

.25 Respuesta = 1.- interés = 36,760 x ------ x 120 = $3,063.33 360

2.- Valor líquido = 36,760 – 3,063.33 = $33,696.67

Pregunta 10.-

80,000 Respuesta = ------------------ = $87,577.92 1 – (.35 x 89 ) ------ 360

UNIDAD 1, SECCION 3

Pregunta 11.-

3Respuesta = 50,000 x ( 1 + .22 ) = $52,800.72 ------ 12

169

Pregunta 12.-

5 Respuesta = 2,000,000 x ( 1 + .08 ) = $2,938,656.15

Pregunta 13.-

3.00 Logaritmo -------- 1.00 .477121Respuesta = ------------------------------- = ------------- = 11.5 semestres = Logaritmo ( 1 + .20 ) .041393 ------ 2

= 6 años aproximadamente

Pregunta 14.-

125Respuesta = 1.- 18,500 x ( 1 + .20 ) = $19,830.00 de monto ------ 360

2.- 19,830 – 18,500 = $1,330.00 de intereses

Pregunta 15.-

12Respuesta = (( 1 + .32 ) - 1) x 100 = 37.14% ------ 12

Pregunta 16.-

170

1.03Respuesta = 1.- tasa = (Raíz 30 de -------- ) – 1 = .000986 crecimiento

1.0 diario

12

2.- .Crecimiento en 12 días = 2.143456 (1 + .000986)

3- Valor de la Udi dentro de 12 días = 2.168950

Pregunta 17.-

2.00Respuesta = (Raíz 2 de: --------- ) – 1 = .4142 = 41.42% 1.00

Pregunta 18.-

2Respuesta = 1.- ( ( 1 + .12 ) - 1) x 100 = 12.36% ------ 2

12 2.- (( 1 + .1175 ) - 1) x 100 = 12.4039 -------- 12

3.- La mejor opción es la tasa del 11.75%

Pregunta 19.-

10,000Respuesta = --------------------------- = $2,902.08 (5 x 12) ( 1 + .25 ) ------ 12

171

Pregunta 20.-

.30Respuesta = ( 2.71828 - 1 ) x 100 = 34.985%

UNIDAD 1, SECCION 4

Pregunta 6.-

716,300 Respuesta = 1.- ( -------------- - 1 ) x 100 = 54.043% crecimiento nominal 465,000

156.9150 2.- ( ---------------- - 1 ) x 100 = 51.966 inflación 103.2566

1.5404 3.- ( ---------------- - 1 ) x 100 = 1.37% crecimiento real 1.51966

Pregunta 7.-

1 Respuesta = -------------------- = .3043 = 30.43% 1 92 ----- + ------ .33 360

Pregunta 8.-

172

360 Respuesta = 1.- ----------------------------------------- = 1.085154 factor de ((360 – (.29 x 85) – (360 x .01) ajuste

2.- 50,000 x 1.085154 = $54,257.72

Pregunta 9.-

3 ------ 1 Respuesta = ( 1 + .02 ) - 1 ) x 100 = 6.1208%

Pregunta 10.-

Respuesta = 10,000 de capital más 9,800 de intereses = $19,800.00

UNIDAD 2, SECCION 1

Pregunta 6.-

2 Respuesta = 1.- 7,500 x ( 1 + .18 ) = $10,443.00

3 2.- 10,443.00 x ( 1 + .24 ) = $19,910.87

Pregunta 7.-

212 Respuesta = 30,000 x ( 1 + .26 ) = $34,961.70 – 30,000 = $4,961.70 ------

173

360

Pregunta 8.-

50,000 Respuesta = --------------------- = $14,698.85 4 x 12 (1 + .31) ----- 12

Pregunta 9.-

125,000 Logaritmo ------------- 50,000 .397940 Respuesta = -------------------------------- = -------------- = 20.8 trimestres Logaritmo ( 1 + .18 ) .019116 ------ 4

= 5.2 años

Pregunta 10.-

60,000 Respuesta = (Raíz 36 de: ------------ ) – 1 = .016745 x 12 meses = .2009 = 33,000

= 20.09%

174

UNIDAD 2, SECCION 2

Pregunta 6.-

75,600 Respuesta = ------------------- = $22,927.82 6 ( 1 + .22 )

Pregunta 7.-

28,000 Respuesta = 1.- ------------------------- = $3,020.19 9 x 12 ( 1 + .25 ) ----- 12

12,000 2.- ------------------------ = $3,482.50 5 x 12 ( 1 + .25 ) ----- 12

Por lo tanto la mejor alternativa son $12,000.00 en 5 años

Pregunta 8.-

25,000 Respuesta = (Raíz 6 de: --------------- ) – 1 = .1225 = 12.25% 12,500

175

Pregunta 9.-

40,000 Logaritmo ---------- 10,000 .602060 Respuesta = --------------------------- = ------------ = 7.6 años Logaritmo ( 1 + .20) .079181

Pregunta 10.-

1,000,000 Respuesta = ----------------------- = $3,071.30 20 x 4 ( 1 + .30 ) ----- 4

UNIDAD 2, SECCION 3

Pregunta 6.-

10,000,000 Respuesta = ---------------------------- = $42,018.45 5 x 12 ( 1 + .48 ) - 1 ----- 12 ---------------------------- .48 -------

Pregunta 7.-

100,000 Respuesta = -------------------------------- = $5,591.28 - 2 x 12 1 - ( 1 + .30 )

176

----- 12 --------------------------------- .30 ----- 12

Pregunta 8.-

.30 Respuesta = 100,000 x ----- x 1 = $2,500.00 de intereses primer mes

12

5,591.28 – 2,500.00 = $3,091.28 amortización a capital primer

mes

100,000–3,091.28= $96,908.72 capital para el segundo mes

.30

96,908.72 x ------ x 1 = $2,422.72 intereses segundo mes

12

5,591.28 - 2,422.72 = $3,168.56 amortización a capital del

segundo mes

Pregunta 9.-

120 + 1

Respuesta = 1,000 x (( 1 + .21 ) -1 ) = $408,115.38

-----

12

---------------------------- - 1

177

.21

------

12

Pregunta 10.-

- 7

Respuesta = 25,480 x ( 1 - ( 1 + .40 )

-------------------------- = $57,657.13

.40

UNIDAD 3, SECCION 1

Pregunta 6.-

(50,000) 80,000 80,000 80,000 80,000 80,000

Respuesta = ( ------------ + ----------- + --------- + --------- + ---------- + ----------- ......

1 2 3 4 5 6

(1+.15) (1+.15) (1+.15) (1+.15) (1+.15) (1+.15)

- 250,000 =

Respuesta = ( (43,478.26) + 60,491.49 + 52,601.29 + 45,740.26 +

39,774.13 + 34,586.21) – 250,000.00 = (60,284.86)

En virtud de que el valor presente neto es negativo, el

Proyecto debe de rechazarse.

178

Pregunta 7.-

Respuesta = Sólo se puede resolver mediante tanteos:

A la tasa del 40% muestra un valor presente neto de - $753.90

A la tasa del 30% el valor presente neto es de $831.20

Por lo tanto la tasa interna de rendimiento se encuentra entre el

30 y 40%

A la tasa del 35% el VPN es de -$15.26

A la tasa del 34% el VPN es de $144,75

Por lo tanto la tasa interna de rendimiento se encuentra entre el

34% y el 35%, aunque más cercana a este último.

Finalmente se pudo determinar que la TIR es del 34.90%

Pregunta 8.-

3

Respuesta = 1º. 5,000 x ( 1.12) = 7,025

2

5,000 x (1.12) = 6,272

1

179

5,000 x (1.12) = 5,600

0

5,000 x (1.12) = 5,000

-------------

Flujo total al año 4 = 23,897

23,897

Tasa = (Raíz 4 de: --------- ) – 1 = .2433

10,000

Tasa interna de rendimiento modificada = 24.33%

Pregunta 9.-

Respuesta = Ingresos 85,000

Menos: Egresos 50,000

------------

Utilidad antes de impuestos 35,000

Menos: Impuestos 40% 14,000

-----------

21,000

Mas: Depreciación 10,000

----------

Flujo de efectivo neto 31,000

Pregunta 10.-

18,000 20,000 25,000

Respuesta = A.- ( ---------- + ---------- + ----------- ) – 35,000 =

1 2 3

(1.25) (1.25) (1.25)

180

A = (14,400 + 12,800 + 12,800 ) – 35,000 = $5,000.00

80,000

B = (------------ ) – 35,000 = 40,960 – 35,000 = $5,960.00

3

(1.25)

Por lo consiguiente el proyecto B es más recomendable

UNIDAD 3, SECCION 2

Pregunta 6.-

50,000

Respuesta = ----------- = $1,388.88 amortización mensual a capital

36

3ª. Mensualidad

Base de capital = (50,000 –1,388.88 –1,388.88) = $47,222.32

.20

Intereses = 47,222.32 x --------- x 1 = $787.04

12

Amortización = 1,388.88 + 787.04 = $2,175.92

Pregunta 7.-

60,000

Respuesta = ------------------------- = $1,868.15

-5 x 12

1 – (1+.28 )

181

-----

12

---------------------------

.28

-------

12

Pregunta 8.-

Respuesta = Tasa nominal = ((1.15 x 1.07) – 1 ) x 100 = 23.05%

250,000

Base de capital = -------------- = 50,000

5

3

Valor de referencia = 50,000 x (1.2305) = $93,156.86

Pregunta 9.-

Respuesta = 1er. periodo:

1

Valor de referencia = 50,000 x (1.2305) = $61,525.00

Intereses = 250,000 x .2305 = $57,625.00

Amortización = Valor de referencia = 61,525.00 – Intereses 57,625.00 = $3,900.00

Saldo del capital = 250,000.00 – 3,900.00 = $246,100.00

2º. Periodo

2

Valor de referencia = 50,000 x (1+.2305) = $75,706.51

182

Intereses = 246,100 x .2305 = $56,726.05

Amortización = 75,706.51 – 56,726.05 = $18,980.46

Saldo del capital = 246,100.00 – 18,980.46 = $227,119.54

Pregunta 10.-

125,000

Respuesta = 1º. -------------- = 56,216 Udi’s

2.223567

56,216

2º. ------------- = 586 Udi’s de amortización mensual

96

.09

3º. 56,216 x --------- = 422 Udi’s por intereses del primer mes

12

4º . 586 + 422 = 1,008 Total de Udi’s del primer pago

5º. Tasa de inflación mensual

T = (Raíz 12 de: 1.16) – 1 = .01244514

Crecimiento del valor de la Udi en un mes:

183

2.223567 x 1.01244514 = 2.251240

6º. Importe del pago en pesos en el primer mes

1,008 x 2.251240 = $2,269.25

UNIDAD 3, SECCION 3

Pregunta 3.-

4 360

Respuesta = (--------- x -------) = .75

96 20

18

(( 1 + .75 ) - 1) x 100 = 108.51%

------

18

Pregunta 4.-

.45

Respuesta = ------------------ = .605834

9.55 x 28

------

360

12.857

(( 1 + .605834 ) - 1) x 100 = 80.76%

----------

184

12.857

Pregunta 5.-

1

Respuesta = ------------------- = .289855 = 28.9855%

1 90

------- + ------

.3125 360

185

GLOSARIO DE TERMINOS

Amortización.- Proceso de liquidación de un préstamo, mediante una serie de

pagos que cubren principal e intereses.

Anualidad.- Serie de pagos, por lo general iguales, realizados a intervalos

regulares, para fines de acumulación de un capital, o del pago de un crédito.

Capital.- Principal de toda operación de crédito o inversión.

Capitalización.- Proceso de añadir el interés al principal a intervalos regulares,

para fines de un nuevo cálculo de intereses.

Descuento.- Designación que se hace del interés, para fines de restarlo al capital,

en operaciones de interés simple.

Interés.- Costo o beneficio por el uso del dinero.

Interés al vencimiento o vencido.- Importe que se liquida, junto con el principal,

al vencimiento de un crédito.

Interés anticipado.- Costo o beneficio del dinero que se cobra por adelantado,

descontándolo del principal, para así llegar a un valor líquido.

Interés compuesto.- Costo o beneficio por el uso del dinero, en cuyo cálculo se

añade el interés al principal, para fines de un nuevo cálculo de intereses.

Interés simple.- Costo o beneficio del uso del dinero, que se determina en función

a un capital constante.

186

Intereses sobre saldos insolutos.- Costo o beneficio que se determina después

de deducir las amortizaciones a cuenta de principal.

Monto.- Cantidad resultante de acumular al capital los intereses devengados.

Periodo de capitalización.- Intervalo regular para el que se calcula el interés y

que se añade al principal.

Tasa activa.- Porcentaje de interés que se cobra sobre operaciones de colocación

de recursos por parte de un Banco.

Tasa de descuento.- Porcentaje que se aplica a operaciones de crédito, en donde

el interés se deduce del capital, a efecto de entregar un valor líquido al cliente.

También es aplicable en operaciones del mercado de dinero, para poder

determinar el valor de adquisición de los títulos respectivos.

Tasa efectiva.- Porcentaje verdadero de rentabilidad, que se genera en función al

uso de un capital, en el interés simple, o de la frecuencia de las capitalizaciones,

en el interés compuesto.

Tasa equivalente.- Porcentaje que iguala la tasa nominal con la tasa efectiva.

Tasa interna de rendimiento.- Tasa de interés que iguala el valor actual de los

flujos de efectivo con el importe de la inversión.

Tasa interna de rendimiento modificada.- Ajuste a la tasa interna de

rendimiento, en función a la eliminación del posible efecto de la existencia de

tasas múltiples.

Tasa nominal.- Porcentaje de interés expresado en un contrato o documento.

187

Tasa pasiva.- Porcentaje de interés que se paga a los ahorradores por parte del

Banco.

Tasa real.- Porcentaje resultante de ajustar una tasa nominal en función a una

tasa de inflación.

Valor futuro.- Importe que alcanza en el tiempo un capital actual, invertido a una

tasa determinada a interés compuesto y a un plazo específico.

Valor líquido.- Importe neto que se entrega por concepto de un préstamo, cuando

se deducen los intereses y la comisión por anticipado.

Valor presente.- Resultado de descontar un beneficio futuro, a una tasa de

descuento determinada, para llegar a una cifra actual.

Valor presente neto.- Resultado de restar a los flujos futuros de efectivo,

descontados a una tasa de interés determinada, el importe de la inversión.

188

INDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCION: Matemáticas Financieras

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL CURSO

UNIDAD 1: TASAS DE INTERES

Objetivos de la Unidad

Sección 1.- Interés Simple

Introducción

Concepto y determinación del Interés Simple

Determinación del Capital, Tasa y Tiempo

Alternativas en cuanto a Plazo y Año

Monto en el Interés Simple

Resumen

Revisión de Avance: Unidad 1, Sección 1

Clave de Respuestas

Sección 2.- Operaciones de Descuento

Introducción

Interés Anticipado e Interés al Vencimiento

Tasa Nominal y Tasa Efectiva en el Interés Simple

Resumen


Clave de Respuestas

Sección 3.- Interés Compuesto

Introducción

189

Capitalización

Tasa Efectiva en el Interés Compuesto

Valor Terminal

Resumen


Clave de Respuestas

Sección 4.- Otras Aplicaciones del Manejo de Tasas de Interés

Introducción

Efecto de Fisher y la Tasa Real

Aplicación Adicional del Interés Simple en Préstamos con

Intereses Anticipados

Tasas Equivalentes

Intereses Sobre Saldos Insolutos

Interés Global con Pagos Periódicos

Resumen


Clave de Respuestas

UNIDAD 2.- VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO


Introducción

Sección 1.- Valor Futuro

Introducción Cálculo del Valor Futuro

Determinación de Capital, Tasa y Tiempo

Resumen


Clave de Respuestas

Sección 2.- Valor Presente

Introducción

Cálculo del Valor Presente

Determinación del Valor Futuro, Tasa y Tiempo

Resumen

190


Clave de Respuestas

Apéndice a las Secciones de Valor Futuro y Valor Presente

Empleo de Tablas

Determinación de Tasas de Interés Mediante Tablas

Determinación de Periodos Mediante Tablas

Sección 3.- Anualidades

Introducción

Anualidad a Valor Futuro

Anualidad a Valor Presente

Resumen


Clave de Respuestas

UNIDAD 3.- APLICACIONES DIVERSAS


Introducción

Sección 1.- Métodos de Evaluación Económica de Proyectos

Valor Presente Neto

Tasa Interna de Rendimiento

Tasa Interna de Rendimiento Modificada

Resumen


Clave de Respuestas

Sección 2.- Amortización de Préstamos

Introducción

Construcción de Tablas de Amortización

Modelos de Reestructuración de Adeudos

Reestructuración en Udi’s

Reestructuración a Valor Presente

Resumen


191

Clave de Respuestas

Sección 3.- Otras Aplicaciones en Cuanto a Aspectos de Coloca-

ción y Captación.

Tasa Efectiva de Descuento por Pronto Pago

Rendimiento de Instrumentos en el Mercado de Dinero

Resumen


Clave de Respuestas

APENDICE I.- Resolución de Ejercicios Contenidos en las Revisiones

de Avance.

192

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