Maquinas Electricas

CAPÍTULO 1 ____________________________________________________________ 1 FUNDAMENTOS ANALÍTICOS PARA LAS MÁQUINAS DE CAMPO GIRATORIO ..................... 1-2

Introducción ...................................................................................................................................................1-2 1.1 IDEALIZACIONES PARA LA FORMULACIÓN DEL MODELO ................................................................... 1-3 1.2 EL MODELAMIENTO DEL CAMPO UNIDIMENSIONAL EN EL ENTREHIERRO ........................................... 1-3 1.3 ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIAS DE LA ARMADURA.................................................................. 1-6

1.3.1 Inductancias propias de la armadura ................................................................................... 1-8 1.3.2 Inductancias mutuas entre las fases de la armadura......................................................... 1-10 1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura .......................................... 1-11 1.3.4 Inductancia propia del campo............................................................................................. 1-12 1.3.5 Inductancias propias y mutuas de devanados equivalentes en el rotor............................. 1-13 1.3.6 Enlaces de flujo resultantes................................................................................................ 1-14

1.4 ECUACIONES DE EQUILIBRIO ELÉCTRICAS ................................................................................... 1-15 1.4.1 Devanado de armadura...................................................................................................... 1-15 1.4.2 Devanados del rotor ........................................................................................................... 1-16

1.5 DIAGONALIZACIÓN Y COMPONENTES SIMÉTRICAS ........................................................................ 1-16 1.5.1 Diagonalización de matrices............................................................................................... 1-17 1.5.2 Transformación de tensiones y corrientes de fase a componentes simétricas.................. 1-20

1.6 FASORES ESPACIALES ............................................................................................................... 1-23 1.7 TRANSFORMACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO A COORDENADAS FIJAS AL ROTOR ............ 1-27

1.7.1 Cambio de coordenadas fijas a coordenadas móviles....................................................... 1-27 1.7.2 Las ecuaciones de Park ..................................................................................................... 1-29

1.8 EL MOMENTO ELECTROMAGNÉTICO ............................................................................................ 1-30 1.8.1 Ecuación de equilibrio mecánica ........................................................................................ 1-33

1.9 CASO PARTICULAR: LA MÁQUINA ISOTRÓPICA SIMÉTRICA ............................................................. 1-34 1.10 EXCITACIÓN ASIMÉTRICA Y COMPONENTES SIMÉTRICAS............................................................... 1-35 1.11 APÉNDICE 1 .............................................................................................................................. 1-38 1.12 APÉNDICE 2 .............................................................................................................................. 1-40 1.13 APÉNDICE 3 .............................................................................................................................. 1-44

Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio ___________________________________________________________________________

1-2

1 Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio

Introducción Máquinas asincrónicas y sincrónicas trifásicas se conocen genéricamente como máquinas de campo giratorio. Ambos tipos de máquinas poseen un estator provisto de un devanado trifásico simétrico mediante el cual producen una distribución espacial periódica de fuerza magnetomotriz en el entrehierro. En el caso de la máquina asincrónica y de la máquina sincrónica de rotor cilíndrico el entrehierro se considera constante, mientras que en el caso de la máquina sincrónica de polos salientes el entrehierro es una función periódica de la coordenada tangencial. El comportamiento característico de ambos tipos de máquina está determinado por sus rotores. Mientras que el rotor de la máquina asincrónica está equipado con un devanado simétrico cortocircuitado (jaula) el rotor de la máquina sincrónica está provisto de un devanado de campo alimentado por una fuente de corriente continua. De las semejanzas señaladas se desprende la conveniencia de un tratamiento analítico común para ambos tipos de máquina, caracterizadas mediante las inductancias propias y mutuas de sus respectivos devanados. Para las inductancias de la máquina se determinan expresiones analíticas a partir de un modelo unidimensional para el campo en el entrehierro, aproximando las distribuciones espaciales de la fuerza magnetomotriz y de la permeancia mediante los primeros términos de sus desarrollos en series de Fourier. En los párrafos siguientes se formulan las ecuaciones de equilibrio eléctricas y mecánica para las máquinas de campo giratorio a partir de principios básicos. Estas ecuaciones tienen la forma de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que en el caso general obligará a usar métodos numéricos en su resolución. La disponibilidad de computadoras ha removido esta barrera del pasado y permite analizar todo tipo de comportamiento dinámico de estas máquinas. En el importante caso particular en que la velocidad de la máquina es constante es posible, si se utilizan variables sustituto elegidas convenientemente, describir la máquina mediante ecuaciones diferenciales lineales, con la ventaja de poder lograr soluciones analíticas y poder apreciar a través de ellas la influencia de los diferentes parámetros sobre los resultados. La simetría del devanado de armadura de las máquinas trifásicas, hace conveniente el uso de variables sustituto complejas, las así llamadas componentes simétricas de los valores instantáneos. Estas producen una notable simplificación matemática y con la


1-3

ventaja adicional de permitir, a través de su interpretación como fasores espaciales, la representación de las magnitudes distribuidas sinusoidalmente en el espacio mediante fasores en el plano complejo.

1.1 Idealizaciones para la formulación del modelo Se supone que el campo en el entrehierro es unidimensional, es decir, que es homogéneo en dirección axial y que la componente radial de la inducción sólo es función de la coordenada tangencial 1. El fierro, tanto del estator como del rotor, es ideal, es decir, se supone que su permeabilidad es infinita y que las pérdidas en el fierro son despreciables. El estator es cilíndrico, provisto de ranuras distribuidas regularmente en las que está alojado un devanado trifásico simétrico que carece de ramas en paralelo y está conectado en estrella sin neutro. El rotor puede ser anisotrópico. Los polos salientes tienen forma tal que el entrehierro a lo largo de la zapata polar es constante. La permeancia del espacio interpolar se supone nula. Solamente se considera a las componentes fundamentales de las distribuciones espaciales de densidad lineal de corriente, fuerza magnetomotriz e inducción. Para la representación analítica de la permeancia del entrehierro sólo se considera el valor medio y la segunda armónica de su desarrollo en serie de Fourier.

1.2 El modelamiento del campo unidimensional en el entrehierro El campo magnético en el entrehierro de la máquina se debe a las corrientes del devanado de armadura, alojado en ranuras, y a las corrientes en los circuitos del rotor. Para describir analíticamente el campo producido por el devanado de armadura resulta conveniente partir de un modelo electromagnético para una ranura. La figura 1.2.1 muestra esquemáticamente los detalles de una ranura del estator que aloja a Nr conductores, por cada uno de los cuales circule la corriente i. El ancho de la ranura sea br y la permeabilidad del fierro sea infinita.

1 Apéndice 2


1-4

La aplicación de la ley de Ampere a lo largo del camino de integración indicado en la figura 1.2.1 permite determinar directamente la intensidad del campo magnético Hr entre las cabezas de los dientes bajo el supuesto que su valor sea independiente de la coordenada tangencial x:

r

rr b

iNH = (1.2.1)

Por otra parte, para satisfacer las condiciones de contorno, la componente tangencial del campo en el entrehierro frente a la abertura de la ranura tiene que ser igual a Hr, es decir,

tr HH = . (1.2.2)

Esta condición de contorno también es satisfecha por una capa de corriente axial de densidad lineal a=Ht y ancho tangencial br, ubicada en el lugar de la ranura en reemplazo de esta. Como la capa de corriente equivalente de densidad lineal

r

r

biNa= (1.2.3)

produce el mismo campo en el entrehierro que la corriente en la ranura, se puede pensar a la superficie ranurada del estator reemplazada por una superficie lisa provista

Rdx

a(x)

x x+dxR

H(x+dx)H(x)δ(x) δ(x+dx)

∞→µ fe

Figura 1.2.2 Modelo para la determinación del campo unidimensional en el entrehierro asociado a una capa de corriente

Figura 1.2.1 Relativo al modelo electromagnético de una ranura, visto desde el entrehierro

yugo

diente

ranura

entrehierro

br

coord. radial

coord. tangencial

∞→µ fe

br

Capa de corrienteequivalente a(x)


1-5

de capas de corriente axial de densidad a y de ancho tangencial br. Este modelo no sólo permite simplificar notablemente la determinación del campo en el entrehierro, sino también resultará muy útil a la hora de determinar el momento electromagnético desarrollado por la máquina. Considérese ahora la situación ilustrada en la figura 1.2.2, donde una de las superficies limítrofes del entrehierro está provista de una capa de corriente de densidad lineal a(x). La aplicación de la ley de Ampere al camino de integración indicado permite anotar

∫ =⋅ Rdx)x(asdHrr

, (1.2.4) y si se supone que la permeabilidad del fierro es infinita, la integral se reduce a

Rdx)x(a)x()x(H)dxx()dxx(H =δ−+δ+ . (1.2.5) Desarrollando el primer miembro de (1.2.5) en serie de Taylor y despreciando los términos diferenciales de segundo orden queda

Rdx)x(adxx

)x(Hdxx

)x(H)x( =∂δ∂

+∂

∂δ , (1.2.6)

que equivale a ( ) )x(Ra)x()x(Hx

=δ⋅∂∂ . (1.2.7)

Pero )x(f)x()x(H =δ⋅ , (1.2.8) por lo que rige la siguiente relación general entre fuerza magnetomotriz en el entrehierro y densidad lineal de corriente:

∫ += )t(Cdx)x(aR)x(f . (1.2.9) De aquí se desprende que toda distribución espacial de fmm puede ser asociada una distribución espacial de densidad lineal de corriente y esta puede ser considerada como origen de aquella. Si ahora se define la permeancia por unidad de superficie como

)x()x(

δµ

=Λ 0 , (1.2.10)

se puede reescribir la relación (1.2.8) en términos de la inducción en el entrehierro como


1-6

)x(f)x()x(B ⋅Λ= , (1.2.11) de donde se desprende que la inducción en el entrehierro, correspondiente a una coordenada tangencial x cualquiera, se logra como el producto de la fmm por la permeancia correspondientes a esa coordenada. La aplicación de estas relaciones permite la determinación sistemática del campo en el entrehierro, a partir de la distribución de la densidad lineal de corriente correspondiente a una ranura y la aplicación del principio de superposición2.

1.3 Enlaces de flujo e inductancias de la armadura La figura 1.3.1a muestra esquemáticamente un corte transversal en desarrollo a través de la máquina con entrehierro variable, a lo largo de un doble paso polar. Las figuras 1.3.1b, 1.3.1c y 1.3.1d muestran las distribuciones idealizadas ( ∞→q ) para la densidad lineal de corriente y la fmm correspondientes a la fase a y para la permeancia en el entrehierro, donde para esta última se supuso, para obtener relaciones analíticas más simples, que la permeancia en el espacio interpolar es nula. Para las distribuciones espaciales periódicas de la fmm y de la permeancia rigen, respectivamente, los siguientes desarrollos en serie de Fourier:

∑ν

ν ν= xcosF)x(f con )g(p 12 +=ν y ...,,,,g 3210= (1.3.1)

y

)p

x(cos)x( γ−λΛ+Λ=Λ ∑

λλ0 con pg2=λ y ...,,,g 321= (1.3.2)

De acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior, la inducción en el entrehierro correspondiente a una coordenada x se calcula como:

)x(f)x()x(b ⋅Λ= . (1.3.3) Si, de acuerdo con las suposiciones iniciales, se limita el análisis a la fundamental de la onda de fmm y a los primeros dos términos de la distribución de permeancia, el correspondiente reemplazo de (1.3.1) y (1.3.2) en (1.3.3) resulta en

( )[ ]γ−±Λ+Λ= 2221

20 xppcosFpxcosF)t,x(b ppp , (1.3.4) donde el último término debe considerarse dos veces, una vez con signo (+) y otra vez con signo (-). 2 Apéndice 1


1-7

Al considerar el signo (+) resulta un término con triple número de polos. Este término se ignorará en adelante, ya que corresponde a un campo de triple número de polos que da lugar a una tercera armónica en la tensión de fase, la que, debido a la conexión en estrella (con neutro aislado) del devanado de armadura, no aparece en la tensión de línea. Queda entonces

)pxcos(FpxcosF)t,x(b ppp γ−Λ+Λ= 2221

0 , (1.3.5) donde el segundo término, que desaparece si el entrehierro es constante, tiene su origen en la anisotropía magnética del rotor.

xc xb x

3iaN1/πR

iaN1/2p

µ0/δ"

γ/p

γ/p

π/p

aa

fa

Λ

a a'

π/3p

bc c'b'

Figura 1.3.1 Modelo esquemático en corte de la máquina sincrónica

a

b

c

d

απ/p

x2

• ⊗


1-8

Para la amplitud de la componente fundamental de la onda de fmm se había obtenido en una oportunidad anterior3 la expresión

piNfF ad

p 24 11

π= (1.3.6)

y los coeficientes de Fourier de la onda de permeancia definida en la figura 1.3.1d se calculan como

( ) αδ ′′µ

=δ ′′µ

π=Λ

π=Λ ∫∫

απ+

γ

γ

π

0p2p

p

0p

2

00 dx4

2pdxx

2p (1.3.7)

y

( ) ( ) αππδ ′′

µ=γ−Λ

π=Λ ∫

απ+

γ

απ−

γ

sendxpxcosxp pp

pp

p2222 0

2

2

2 (1.3.8)

donde δ ′′ es el entrehierro efectivo4 sobre la zapata polar y απ/p es el ancho de esta. Al reemplazar estas relaciones en (1.3.5) se obtiene la siguiente expresión para la fundamental de la onda de inducción producida por la corriente en la fase a:

( )

γ−απ

π+α

δ ′′µ

π= 21

24 011 pxcossenpxcosi

pNf)t,x(b a

d . (1.3.9)

1.3.1 Inductancias propias de la armadura Para calcular el flujo enlazado por la fase a del estator debido a esta distribución de inducción se recurre convenientemente al devanado concentrado equivalente de paso completo. Así,

( ) ad

p

p

daa icossenRlpfNlRdxt,xbfN

γ

παπ

+α

δ ′′µ

π==ψ ∫

π+

π−

242

112

2

011 (1.3.10)

Según definición, la inductancia propia es el factor de proporcionalidad entre este enlace de flujo y la corriente ia : 3 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Capítulo 4 4 el entrehierro efectivo considera tanto el efecto de las ranuras mediante el factor de Carter como el efecto de la saturación de dientes y yugos


1-9

γ

παπ

+α

δ ′′µ

π=

ψ= 24

2110 cossen

pfNRl

iL d

a

aaaa . (1.3.11)

Para un rotor isotrópico desaparece el espacio interpolar, 1=α , la inductancia propia se hace independiente de la posición angular del rotor (γ) y toma el valor constante

( )21120

1

4daam fN

pRlLL

δ ′′µ

π==

=α. (1.3.12)

Se aprecia que, como consecuencia de la anisotropía, la inductancia propia de una fase del devanado de armadura varía periódicamente entre un valor máximo

44 344 21d

mad

c

senLL

παπ

+α= (1.3.13)

que se produce cuando el eje de simetría del polo (eje d) está alineado con el eje magnético de la fase a, ( )π=γ ,0 , y un valor mínimo

44 344 21q

maq

c

senLL

παπ

−α= , (1.3.14)

que se produce cuando el eje de simetría del espacio interpolar (eje q) coincide con el eje magnético de la fase a ( )232 ππ=γ , . Las expresiones específicas para los coeficientes cd y cq dependen de la forma en que se modele el entrehierro. De las relaciones (1.3.13) y (1.3.14) se desprende que la inductancia propia varía alrededor de un valor medio

21aqad

m

LLLL

+=α= (1.3.15)

y que la amplitud de la variación es

22aqad

m

LLLsenL

−=

παπ

= , (1.3.16)

de manera que la relación (1.3.11) para la inductancia propia de la fase a puede ser rescrita como


1-10

γ+= 221 cosLLLaa . (1.3.17) Las expresiones para las inductancias propias de las fases b y c son similares, sólo hay que considerar que 32π−γ=γ b y que 32π+γ=γ c . Así se establece que

π

+γ+=32221 cosLLLbb (1.3.18)

y que

π

−γ+=32221 cosLLLcc . (1.3.19)

1.3.2 Inductancias mutuas entre las fases de la armadura La determinación de las inductancias mutuas entre fases del devanado de armadura requiere la determinación del flujo enlazado por una fase (p.ej. a) debido a la corriente en otra fase (p.ej. b). Para la onda de inducción producida por la fase b vale una expresión similar a (1.3.9) si se reemplaza ia por ib, x por xb y γ por γb, donde xb y γb se miden desde el eje magnético de la fase b.

pxxb 3

2π−= y

pb 32π

−γ=γ .

El flujo enlazado por la fase a se determina integrando la expresión para la inducción entre los límites correspondientes a la bobina concentrada equivalente de paso completo de la fase a expresados en términos de la coordenada xb

( ) bm

p

p

bbbdab icossenLlRdxt,xbfN

π

−γπαπ

+α

−==ψ ∫

π

π 322

2

611

65

11 . (1.3.20)

La inductancia mutua entre las fases a y b se determina como

π

−γ+−=ψ

=322

2 21 cosLL

iL

b

abab . (1.3.21)

Para determinar la inductancia mutua entre las fases a y c se procede en forma análoga, considerando las relaciones


1-11

pxxc 3

2π+= y

pc 32π

+γ=γ .

Así se obtiene para el flujo enlazado por la fase a

( ) cm

p

p

cccdac icossenLlRdxt,xbfN

π

+γπαπ

+α

−==ψ ∫

π

π 322

2

67

6

11 (1.3.22)

y para la inductancia mutua entre las fases a y c

π

+γ+−=ψ

=322

2 21 cosLL

iL

c

acac . (1.3.23)

Para la inductancia mutua entre las fases b y c vale

γ+−= 22 2

1 cosLLLbc . (1.3.24)

Excepto en el caso de la máquina de reluctancia, el rotor de las máquinas de campo giratorio está provisto de devanados (trifásico o jaula para la máquina asincrónica, campo y jaula de amortiguación para la máquina sincrónica). En lo que a la fundamental de la onda de fmm producida por cada uno de estos devanados se refiere, estos devanados pueden pensarse reemplazados por devanados concentrados bifásicos equivalentes centrados en los ejes de simetría d y q, como se ilustra esquemáticamente en la figura 1.3.2.

1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura Desde el punto de vista del campo en el entrehierro, el devanado de campo se puede considerar como un devanado concentrado acortado de paso p/απ cuyo eje magnético coincide con el eje d. Con las denominaciones y referencias de la figura 1.3.1 el flujo enlazado por el campo debido a la distribución de inducción producida por la corriente en la fase a se calcula como:

( )∫

απ+

γ

απ−

γ

=ψpp

pp

affa lRdxt,xbN2

2

(1.3.25)

amd

ffa icossenLsen

NfN

adL

⋅γ

παπ

+α

απ

=ψ

44 344 21211

. (1.3.26)


1-12

Si se tiene presente que ( ) ( )( )212 /cossenfdf πα−=απ= corresponde al factor de cuerda del devanado de campo y se define la relación de transformación

111

d

dfff fN

fN=ξ (1.3.27)

se tiene que la inductancia mutua entre campo y fase a vale

γ= cosLL ffa 1 (1.3.28) donde adff LL 11 ξ= (1.3.29) corresponde al valor máximo de la inductancia mutua entre una fase del estator y el devanado de campo. Para las otras dos fases se obtiene respectivamente

π

−γ=32

1 cosLL ffb (1.3.30)

y

π

+γ=32

1 cosLL ffc . (1.3.31)

1.3.4 Inductancia propia del campo Para determinar la inductancia propia del devanado de campo resulta conveniente introducir una coordenada x2, fija respecto al rotor, cuyo origen coincide con el eje de simetría del polo (d). (figura 1.3.1)

Como p

xx γ−=2 , (1.3.32)

se tiene que en términos de la nueva coordenada la expresión para la permeancia (1.3.2) toma la forma

2202 2 xpcos)x( pΛ+Λ=Λ (1.3.33) La distribución de fmm del devanado de campo viene dada por

Figura 1.3.2 Corte transversal a través de la máquina y representación esquemática de los devanados del rotor

q

d

γ/p

iQ if

iD

ia

x2


1-13

( ) 222 24 pxcosFpxcosi

pfNxf fpfdff

f =π

= (1.3.34)

En consecuencia, la componente fundamental de la distribución de inducción toma la forma similar a (1.3.5)

2fpp221

2fp02f pxFpxFxb coscos)( Λ+Λ= , (1.3.35) a partir de la cual se calcula el enlace de flujo del devanado de campo asociado a la componente fundamental del campo en el entrehierro como

( ) fdff

p

p

fdffff isenRlpfNlRdxxbfN

παπ

+α

δ ′′µ

π==ψ ∫

π+

π−

22

2

02

4 . (1.3.36)

La inductancia propia del campo, o enlace de flujo por unidad de corriente, vale

παπ

+α

δ ′′µ

π=

ψ=

senpfNRl

iL dff

f

ffff

204 . (1.3.37)

1.3.5 Inductancias propias y mutuas de devanados equivalentes en el rotor En el caso en que el rotor esté equipado con una jaula, circularán corrientes por las barras si varía el flujo enlazado por esta. Supóngase que la jaula de amortiguación sea ideal: sin resistencias y sin dispersión. Entonces, de acuerdo con la regla de Lenz, las corrientes en las barras de la jaula tienen una distribución tal que tienden a anular a su causa, la distribución de fmm del estator. Si esta se descompone en componentes centradas en los ejes d y q respectivamente, la reacción de la jaula también puede concebirse producida por dos distribuciones de corriente ortogonales entre sí, como se ilustra en la figura 1.3.3. Estas distribuciones alternativamente pueden pensarse creadas por un devanado equivalente formado por dos bobinas equivalentes cortocircuitadas cuyos ejes magnéticos están centrados respectivamente en los ejes de simetría d y q, como se indica en la figura 1.3.2. Las expresiones para las inductancias propias y mutuas asociadas a estos devanados equivalentes son similares a las de las inductancias propias y mutuas del campo. Las inductancias propias son constantes y las inductancias mutuas con la fase a del estator tienen la forma:

γ= cosLL DaD 1 γ−= senLL QaQ 1


1-14

( )3

21

π−γ= cosLL DbD ( )32

1π−γ−= senLL QbQ (1.3.38)

( )3

21

π+γ= cosLL DcD ( )32

1π+γ−= senLL QcQ

La determinación de expresiones analíticas como función de la geometría no interesa en este contexto y debe ser pospuesta a la discusión de la teoría del motor asincrónico de jaula simple.

1.3.6 Enlaces de flujo resultantes Los enlaces de flujo y las correspondientes inductancias determinadas en los párrafos anteriores corresponden al campo fundamental en el entrehierro producido por las corrientes del estator y del rotor. Adicionalmente los devanados enlazan flujos de dispersión que deben ser considerados mediante sendas inductancias de dispersión. El enlace de flujo resultante para cada devanado se obtiene sumando los enlaces de flujo parciales.

iQ

iD

-f1d-f1q

fQ

fD

zapata polar barra anillo

Figura 1.3.3 Relativo al reemplazo de la jaula de amortiguación por dos devanados ortogonales equivalentes.

eje d eje q


1-15

En términos de las corrientes e inductancias queda:

fafQaQDaDcacbabaaaaa iLiLiLiLiLiLiL ++++++=ψ σ1 (1.3.39)

fbfQbQDbDcbcababbbbb iLiLiLiLiLiLiL ++++++=ψ σ1 (1.3.40)

fcfQcQDcDacabcbccccc iLiLiLiLiLiLiL ++++++=ψ σ1 (1.3.41)

QfQDfDcfcbfbafaffffff iLiLiLiLiLiLiL ++++++=ψ σ (1.3.42)

ccDbbDaDaffDDDDDDD iLiLiLiLiLiL +++++=ψ σ (1.3.43)

ccQbbQaQaQQQQQQ iLiLiLiLiL ++++=ψ σ (1.3.44) Una vez conocidos los enlaces de flujo de cada devanado se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio para estos aplicando la ley de Faraday.

1.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas

1.4.1 Devanado de armadura Para un observador fijo respecto al devanado la ley de Faraday tiene la forma

dtdiRv i

iiψ

+= 1 con c,b,ai = (1.4.1)

Los enlaces de flujo se expresan convenientemente en términos de las corrientes y de las inductancias propias y mutuas ((1.3.39) – (1.3.41)). Debido a la dependencia de las inductancias de la posición angular del rotor (γ), se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que se aprecia más claramente al escribirlas en forma desarrollada. Así,

( )

( )[ ]γ−γ++

γ

−+γ+++= σ

senLicosLiLidtd

seniicosidtdL

dtdi)LL(iRv

QQffDD

cba

aaa

111

2111 23

223

23

. (1.4.2)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]32

132

11

32

32

2111 23

223

23

ππ

ππσ

−γ−−γ++

−γ

−+−γ+++=

senLicosLiLidtd

seniicosidtdL

dtdi)LL(iRv

QQffDD

acb

bbb

(1.4.3)


1-16

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]32

132

11

32

32

2111 23

223

23

ππ

ππσ

+γ−+γ++

+γ−

++γ+++=

senLicosLiLidtd

seniicosidtdL

dtdi)LL(iRv

QQffDD

bac

ccc

(1.4.4)

1.4.2 Devanados del rotor La aplicación de (1.4.1) a los devanados del rotor permite obtener:

( ) ( )

γ−

+γ++++= σ seniicosidtdL

dtdiL

dtdiLLiRv cb

afD

fDf

ffffff 323

1 (1.4.5)

( ) ( )

γ−

+γ++++= σ seniicosidtdL

dtdiL

dtdiLLiRv cb

aDf

fDD

DDDDDD 323

1 (1.4.6)

( ) ( )

γ−

+γ−++= σ cosiisenidtdL

dtdi

LLiRv cbaQ

QQQQQQQ 32

31 (1.4.7)

En términos de las variables reales, medibles en los respectivos terminales, este sistema de seis ecuaciones diferenciales nolineales ((1.4.1) - (1.4.7)) no tiene solución analítica conocida y para su integración es necesario recurrir a métodos numéricos. Sin embargo, a través de la introducción de variables sustituto complejas para las variables del estator no sólo es posible simplificar las ecuaciones de equilibrio, sino que también es posible linealizarlas para el importante caso particular en que la velocidad del rotor sea constante. Estas ideas se desarrollan en el párrafo siguiente.

1.5 Diagonalización y componentes simétricas Los sistemas de potencia trifásicos compuestos por máquinas rotatorias, transformadores y líneas de transmisión en general exhiben acoplamientos eléctricos y magnéticos entre las tres fases. En la descripción matemática de estos sistemas mediante matrices el acoplamiento entre los devanados de las fases se manifiesta en términos no nulos fuera de la diagonal principal de la matriz que relaciona los vectores de tensión y de corriente. Desaparece la posibilidad de un análisis por fase. Mediante una técnica del álgebra lineal es posible diagonalizar estas matrices y lograr una descripción alternativa más simple del sistema en términos de variables substituto.


1-17

1.5.1 Diagonalización de matrices5 Si la matriz de impedancias es cuadrada, regular, con valores propios (λi) todos distintos, siempre será posible llevarla a la forma diagonal mediante la transformación

Λ=− TZT 1 (1.5.1) donde [ ]321 λλλ= ,,diagΛ (1.5.2) y [ ]321 XXXT ,,= (1.5.3) es la matriz de transformación, formada por los vectores propios (Xi) de la matriz Z. Considérese ahora el caso particular de las matrices cíclicas

=

ACBBACCBA

Z . (1.5.4)

De la ecuación característica

( )( )

( )0=

λ−λ−

λ−

ACBBACCBA

det (1.5.5)

se obtiene (mediante la fórmula de Cardano) los valores característicos

CaBaA ++=λ 21 (1.5.6)

CaBaA 2

2 ++=λ (1.5.7)

CBA ++=λ3 (1.5.8) con 32 /jea π= . (1.5.9) En este contexto el término impedancia se debe entender como sinónimo de resistencia o reactancia, por lo que los coeficientes A, B, C de la matriz Z son números reales. En consecuencia, de los tres valores propios uno es real y los otros dos son complejos conjugados.

5 A. Mary Tropper – Matrix theory for electrical engineering students - Queen Mary College U.L. 1962


1-18

Los vectores propios se determinan sustituyendo sucesivamente los diferentes valores propios en ( ) 0=λ− ii XIZ (1.5.10) ( )

( )( )

0

3

2

1

=

⋅

λ−λ−

λ−

i

i

i

i

i

i

XXX

ACBBACCBA

. (1.5.11)

Así, por ejemplo, al reemplazar λi=λ1=A+a2B+aC se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: ( )

( )( ) 0

00

32

21

322

1

3212

=+−+

=++−

=+++−

XaCBaXCXBXCXaCBaXCXCXBXaCBa

(1.5.12)

Al multiplicar la segunda de estas ecuaciones por B y la tercera por C y restar la tercera de la segunda queda: ( ) ( ) 3

2222

222 XaCBCaBXCaBCBa ++=++ , (1.5.13) ecuación que es satisfecha por X2=a y X3=1, pero también por X2=a2 y X3=a y por X2=1 y X3=a2. Si se reemplaza el correspondiente par de valores para X2 y X3 en la primera ecuación, se obtiene los siguientes valores para X1: X1=a2 para X2=a y X3=1 X1=1 para X2=a2 y X3=a X1=a para X2=1 y X3=a2. Se aprecia que hay tres vectores propios:

=1

2

11 aa

,X

=

aa,

221

1X

=

231 1

a

a

,X , (1.5.14)

que son linealmente dependientes, ya que están relacionados por el factor a. En forma similar se logra para λi=λ2=A+aB+a2C los vectores propios:


1-19

=

1

212 a

a

,X

=

222

1

aa,X

=a

a

, 1

2

32X . (1.5.15)

Para el tercer valor propio λi=λ3=A+B+C se logra el vector propio

[ ]1113 =′X . (1.5.16) Cualquier combinación de vectores propios X1, X2 y X3 sirve para formar la matriz de transformación T. La elección de X1,2 , X2,2 y X3 lleva a la forma usual de la matriz de transformación compleja :

=

11111

2

2

aaaaT (1.5.17)

y de su inversa

=−

11111

31 2

2

1 aaaa

T . (1.5.18)

Cuando se normalizan los vectores propios, exigiendo que la norma sea igual a la unidad,

1=⋅∗ii ' XX (1.5.19)

la correspondiente matriz de transformación y su inversa toman la forma

=

11111

31

2

2

aaaaT y

=−

11111

31 2

2

1 aaaa

T (1.5.20)

y la matriz de transformación se conoce como matriz modal. Nótese que en este caso la transpuesta de la conjugada es igual a la inversa, T*’=T-1, es decir, T es una matriz ortogonal. Aunque esta segunda forma es matemáticamente más apropiada y presenta ventajas analíticas, el peso de la tradición ha mantenido el uso de la forma no normalizada. Se puede comprobar trivialmente que el uso de estas matrices diagonaliza la matriz de impedancias con las características indicadas inicialmente:


1-20

Λ=

λλ

λ=

=++

++

++−

3

2

11 2

2

CBACaaBA

aCBaA

TZT . (1.5.21)

1.5.2 Transformación de tensiones y corrientes de fase a componentes simétricas Un aparato o parte de un sistema trifásico simétrico queda descrito en términos de las variables trifásicas de tensión y de corriente en sus terminales por la relación

IZV = , (1.5.22) donde V e I son los vectores cuyas componentes son respectivamente las tensiones y corrientes de fase y Z es la matriz (3x3) de impedancia operacional . Si se reemplaza la matriz Z en términos de la correspondiente matriz diagonalizada (o transformada) Λ=ZT queda

ITZTV 1−= T . (1.5.23) Premultiplicando esta ecuación por T-1 , toma la forma

ITZVT 11 −− = T , (1.5.24) que puede ser reinterpretada en términos de las variables transformadas VT=T-1V e IT=T-1I (1.5.25) como

TTT IZV = , (1.5.26) ecuación equivalente a la original, que relaciona las nuevas variables VT e IT mediante una matriz diagonal. Las nuevas variables están desacopladas y se conocen como las componentes simétricas6. Nótese que la transformación

⋅

=

c

b

a

iii

aaaa

iii

11111

31 2

2

0

2

1

(1.5.27)

6 W.V.Lyon , Transient analysis of alternating current machinery – J.Wiley 1954


1-21

no impone restricción alguna sobre la dependencia del tiempo de las corrientes originales (ia, ib, ic), por lo que vale también para los valores instantáneos. Los valores instantáneos de las corrientes de fase son números reales, por lo que en ese caso la componente de secuencia negativa

( )cba aiiaii ++= 22 3

1 (1.5.28)

es igual al valor conjugado de la componente de secuencia positiva

( )cba iaaiii 21 3

1++= , (1.5.29)

es decir, •= 12 ii . (1.5.30) La componente simétrica de los valores instantáneos de secuencia negativa contiene la misma información que la componente de secuencia positiva. Para un devanado conectado en estrella sin neutro la corriente de secuencia cero es nula

( ) 031

0 =++= cba iiii , (1.5.31)

por lo que las tres corrientes trifásicas reales pueden ser expresadas por una sola corriente compleja 1i . Sobre este aspecto se volverá más adelante al definir el concepto de fasor espacial.

El uso de la forma ortogonal de la matriz de transformación, es decir de la matriz modal, tiene como consecuencia que la fórmula para la potencia es invariante bajo la transformación:

( ) ( )TTTT

TTPVIVTTIVTITVI

'''''

***

***

==

== (1.5.32)

o ∑∑==

==021 ,,j

jj

,c,b,ai

ii ivivP . (1.5.33)

La potencia total es igual a la suma de las potencias asociadas a cada par de variables de secuencia. Esta propiedad

V a2

V c1 Vb1

V a1

V a

V c0

V b0

V a0

V c2 Vb2

V c

V b

Figura 1.5.1 Formación de un sistema asimétrico a partir de sistemas simétricos de secuencia positiva, negativa y cero


1-22

es especialmente útil en el análisis del funcionamiento de máquinas trifásicas con excitación asimétrica. Al emplear alternativamente la forma no normalizada de la matriz de transformación, la fórmula para la potencia no es invariante bajo la transformación, apareciendo un factor numérico:

∑∑==

==021

3,,j

jj

,c,b,ai

ii ivivP . (1.5.34)

Si bien en principio las componentes simétricas son variables sustituto complejas que facilitan el análisis de sistemas simétricos, para el caso particular de excitación sinusoidal, la interpretación en términos de fasores, permite establecer una relación entre componentes simétricas y componentes de fase, que es de gran utilidad para la determinación experimental de las impedancias de secuencia. Para el análisis de sistemas con excitación sinusoidal las variables se reemplazan usualmente por los correspondientes valores efectivos complejos. Un sistema de tensiones asimétrico queda representado en el plano complejo por una estrella de tensiones asimétrica. En virtud de la relación entre componentes simétricas y componentes de fase se tiene que:

++++++

=

++++++

=

⋅

=

021

021

021

022

1

0212

021

0

2

1

2

2

11111

ccc

bbb

aaa

c

b

a

aaaa

aaaa

VVVVVVVVV

VVVVVVVVV

VVV

VVV

T4434421

(1.5.35)

Se aprecia que cada una de las tensiones asimétricas Va, Vb, Vc puede pensarse obtenida a partir de la superposición de las componentes correspondientes a tres sistemas simétricos: un sistema de secuencia positiva, un sistema de secuencia negativa y un sistema de secuencia cero. Cada uno de estos sistemas representa en el dominio trifásico a la respectiva componente de secuencia. Los elementos Z1, Z2 y Z0 de la matriz de impedancia diagonalizada se conocen respectivamente como las impedancias de secuencia positiva, de secuencia negativa y de secuencia cero y pueden ser obtenidas a partir de mediciones simultáneas de tensión, de corriente y de potencia, si se excita el sistema físico con el sistema de tensiones simétrico correspondiente a la respectiva variable de secuencia. La medibilidad de los parámetros y la posibilidad de realizar un análisis por fase han contribuido al uso generalizado de la transformación de las componentes simétricas como herramienta analítica.


1-23

1.6 Fasores espaciales7 Las componentes simétricas son esencialmente magnitudes complejas abstractas que simplifican la descripción matemática del problema. Con ese objetivo son usadas como variables sustituto en el análisis de redes estáticas, transformadores y máquinas rotatorias, cuyas matrices de impedancia son simétricas o cíclicas. En el caso de máquinas rotatorias, la simetría inherente de los devanados y la sinusoidalidad de los campos en el entrehierro permiten interpretar estas magnitudes complejas formalmente como entes espaciales.

x1

x2

x1

x2

ℜ

ℑ

Figura 1.6.1 Relación entre una función sinusoidal y surepresentación simbólica en el plano complejo

0

Para concretar esta idea, considérese primeramente una distribución sinusoidal cualquiera y su representación simbólica en el plano complejo mediante un fasor (figura 1.6.1). Esta transformación, tan ampliamente utilizada en el análisis de redes de corriente alterna, no está de ninguna manera limitada a magnitudes que varían sinusoidalmente en el tiempo. También puede aplicarse a magnitudes que varían sinusoidalmente en el espacio, como las distribuciones de fuerza magnetomotriz asociadas a los devanados distribuidos. El módulo del fasor corresponde en ese caso a la amplitud de la distribución de fmm y su argumento indica el desplazamiento angular del máximo de la distribución respecto a cierta referencia. Considérese ahora un corte transversal de la máquina de un par de polos (figura 1.6.2) e imagínese un plano de Gauss superpuesto de manera que el eje real coincida con el eje magnético de la fase a. La distribución de fmm de cada fase puede representarse en el plano complejo mediante un fasor espacial cuyo módulo es proporcional al valor instantáneo de la corriente en la fase y cuyo argumento corresponde a la ubicación del eje magnético de la fase representada.

7 Karl P. Kovacs Transient Performance of Electrical Machines – Elsevier 1984.


1-24

En la figura 1.6.2 se muestran los fasores espaciales de las tres fases para el instante en el que las corrientes en las fases a y b son positivas y la corriente en la fase c es negativa. La suma de los tres fasores define el fasor espacial resultante

( )cbas iaaiiki 2++=r

con ºa 1201∠= (1.6.1) cuyo argumento indica la posición angular de la amplitud de la onda de fmm resultante y cuyo módulo es proporcional a la amplitud de esa onda de fmm. El factor k es arbitrario y su valor se suele fijar convenientemente exigiendo que la proyección del fasor resultante sobre el eje de la fase a corresponda al valor instantáneo de la corriente en esa fase { } ( ) acbas iiiiki ≡−−=ℜ 2

121

r , (1.6.2)

pero 0=++ cba iii , por lo que

aa iik =23 y 3

2=k (1.6.3)

ℜ

ℑ

a a2

ia

ic=a2ic

ib=aib

γ

ic

ib

ic

ib

3/2is

ic<0

Figura 1.6.2 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina. Representación de distribuciones sinusoidales en el espacio como fasores espaciales


1-25

Por lo tanto el fasor espacial de la corriente (fmm) queda definido en el sistema de referencia fijo respecto al estator como

( )cbas iaaiii 2

32

++=r

. (1.6.4)

La similitud de esta expresión con (1.5.29) permite asociar formalmente el fasor espacial con la componente de secuencia positiva de las componentes simétricas de los valores instantáneos a través de la relación:

12 ii s =r

(1.6.5) y traspasar a esta última la interpretación física del primero. Considérese ahora la introducción de un nuevo sistema de referencia, fijo respecto al rotor, tal que su eje real coincida con el eje de simetría de los polos (eje d) y su eje imaginario con el eje de simetría del espacio interpolar (eje q). En relación con este nuevo sistema de referencia, la distribución espacial sinusoidal de fmm, representada por el fasor espacial r,si

r= id+jiq en la figura 1.6.3, puede ser

considerada creada por dos corrientes ficticias id e iq que circulan por un devanado bifásico simétrico ficticio ubicado en los ejes d y q. En relación con el sistema fijo al estator si

r está descrito por la expresión

1jpx

ss eiirr

= , (1.6.6) mientras que respecto al sistema fijo al rotor (d,q) el mismo fasor está descrito por

( ) γ−γ− == js

pxjsr,s eieii

rrr1 . (1.6.7)

Al expresar en (1.6.7) los fasores espaciales en términos de sus respectivas componentes se tiene que:

( ) γ−++=+ jcbaqd eiaaiijii 2

32 (1.6.8)

y al igualar respectivamente las partes reales y las partes imaginarias de ambos miembros de esta ecuación compleja se logra:


1-26

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

π+γ−π−γ−γ−π+γπ−γγ

=

c

b

a

q

d

iii

/sen/sensen/cos/coscos

ii

32323232

32 . (1.6.9)

Se aprecia que se trata de una transformación singular. La distribución espacial de fmm está definida unívocamente por las corrientes bifásicas, pero no por las corrientes trifásicas. Para apreciar esta situación considérese que

0iii aa +′= , 0iii bb +′= , 0iii cc +′= con 0=′+′+′ cba iii (1.6.10)

con lo que ( ) ( ) ( ) 0222

01

32

32

32 iaaiaiaiiaaiii cbacbas 43421

r+++′+′+′=++= . (1.6.11)

Una eventual corriente por el neutro (3i0) no contribuye al campo fundamental en el entrehierro, por lo que no puede ser obtenida a partir de éste y debe ser especificada adicionalmente a través de

( )cba iiii ++=31

0 , (1.6.12)

ℜ

ℑ

q

d

iq

γ

i q

i sr

Figura 1.6.3 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina. Representación del fasor espacial en un sistema de referencia (d,q) fijo al rotor

id

id

ℑr

ℜr

px1


1-27

que corresponde a la componente de secuencia cero de las componentes simétricas. Con esta consideración adicional la transformación de un sistema trifásico a uno bifásico resulta biunívoca y toma la siguiente forma matricial en términos de las componentes reales:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

π+γ−π−γ−γ−π+γπ−γγ

=

c

b

a

q

d

iii

////sen/sensen

/cos/coscos

iii

2121213232

3232

32

0

(1.6.13)

Al comparar las relaciones (1.6.13) y (1.6.7), que describen el mismo cambio de coordenadas se aprecia algunas de las ventajas del uso de variables complejas como: relaciones más compactas, visualización simple de la transformación y su interpretación como un giro en el plano complejo, uso de funciones exponenciales en lugar de funciones armónicas. A estas razones más bien formales se agrega otra más conceptual: la componente simétrica de los valores instantáneos y su interpretación como fasor espacial representa una expresión analítica muy conveniente del campo giratorio. La interpretación formal de la variable compleja abstracta como fasor espacial ha dado importantes impulsos a la técnica del control de máquinas trifásicas mediante convertidores estáticos. El uso de variables de estado complejas permite visualizar ventajosamente el comportamiento dinámico de máquinas trifásicas mediante diagramas de flujo de señales complejas8 y, a través de ellos, permite apreciar el efecto de los controles externos sobre los procesos internos de la máquina.

1.7 Transformación de las ecuaciones de equilibrio a coordenadas fijas al rotor

1.7.1 Cambio de coordenadas fijas a coordenadas móviles En términos del fasor espacial las tres ecuaciones reales (1.4.2), (1.4.3) y (1.4.4) se reducen a sólo una ecuación compleja:

( )dt

diRvaavvv sscbas

ψ+=++=

rrr1

2

32 . (1.7.1)

Con

( ) ( ) ( ) γγγ∗σ +++++=ψ+ψ+ψ=ψ j

QQj

ffDDj

sGsGcbas eLijeLiLieiLiLLaa 1112

2112

32 rvr (1.7.2)

8 J. Holtz: The Representation of AC Machine Dynamics by Complex Signal Flow Graphs, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 42, No. 3, 1995, pp. 263-271.


1-28

se logra la expresión compleja

( ) ( ) ( )[ ]γγγ∗σ ++++++= j

QQj

ffDDj

sGs

Gss eLijeLiLidtdei

dtdL

dtidLLiRv 111

22111

rr

rr , (1.7.3)

de la cual se pueden obtener los valores instantáneos

{ } ( )∗+=ℜ= sssa vvvvrrr

21 (1.7.4)

{ } ( )∗+=ℜ= sssb vavavav

rvr 2212 (1.7.5)

{ } ( )∗+=ℜ= sssc vavavav

rrv 221 . (1.7.6)

Para simplificar, se han introducido convenientemente en (1.7.2) las inductancias de campo giratorio

11 23 LLG = y 22 2

3 LLG = . (1.7.7)

La introducción de un sistema de referencia fijo al rotor implica, de acuerdo con (1.6.7), reemplazar en (1.7.3)

γ= jr,ss eii

rr. y γ= j

r,ss evvrr

. (1.7.8) En consecuencia, en el sistema de referencia fijo al rotor la ecuación de equilibrio del estator toma la forma

( )[ ]QQDDffr,sGr,sGr,sr,s iLjiLiLiLiLLdtd

dtdjiRv 1112111 +++++

+

γ+= ∗

σ

rrrr (1.7.9)

r,sr,sr,s dtd

dtdjiRv ψ

+

γ+=

rrr1 (1.7.10)

con ( )[ ]QQDDffr,sGr,sGr,s iLjiLiLiLiLL 111211 +++++=ψ ∗σ

rrr . (1.7.11) Se puede apreciar que el cambio del sistema de referencia por otro, fijo al rotor, no sólo simplifica la apariencia de la ecuación, sino que también la hace lineal para el caso en que la velocidad angular del rotor es constante, lo que permite su eventual integración mediante procedimientos analíticos (p. ej. mediante la transformación de Laplace). La estructura de la relación (1.7.10) es similar a la de la relación (1.7.1). Sólo que en lugar de la variables referidas al estator aparecen las variables referidas al rotor y que en lugar del operador diferencial d/dt aparece el operador (jdγ/dt+d/dt), donde dγ/dt es la velocidad relativa entre el nuevo sistema de coordenadas y las bobinas del estator (fijas al antiguo sistema de coordenadas).


1-29

1.7.2 Las ecuaciones de Park La integración de la ecuación de equilibrio (1.7.9) hace necesario expresar las variables complejas en términos de sus partes real e imaginaria, es decir, proyectar el fasor espacial sobre los ejes real e imaginario, centrados respectivamente con el eje de simetría del polo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q), según se indica en la figura 1.6.3. Para ello se substituye:

qdr,s jvvv 11 +=r

e qdr,s jiii 11 +=r

(1.7.12) en (1.7.9) donde, al separar partes real e imaginaria, queda:

( )QQqqf

fD

Dd

ddd iLiLdtd

dtdiL

dtdiL

dtdiLiRv 11111

11111 +

γ−+++= (1.7.13)

( )ffDDddQ

Qq

qqq iLiLiLdtd

dtdi

Ldt

diLiRv 11111

11111 ++

γ+++= (1.7.14)

donde 2111 GGd LLLL ++= σ (1.7.15) 2111 GGq LLLL −+= σ (1.7.16) son respectivamente las inductancias propias de un devanado ficticio centrado en el eje d y de un devanado ficticio centrado en el eje q. El sistema formado por las ecuaciones (1.7.13) y (1.7.14) y las ecuaciones correspondientes a los circuitos del rotor:

dtdiL

dtdiL

dtdiLiRv D

fDd

ff

ffff +++= 11 (1.7.17)

dtdiL

dtdiL

dtdiLiRv f

Dfd

DD

DDDD +++= 11 (1.7.18)

dtdi

Ldtdi

LiRv qQ

QQQQQ

11++= , (1.7.19)

donde ff LL 11 23

= , DD LL 11 23

= y QQ LL 11 23

= (1.7.20)

son las inductancias de campo giratorio. Las ecuaciones (1.7.13), (1.7.14), (1.7.17), (1.7.18) y (1.7.19) se conocen en la literatura como ecuaciones de Park9. Ellas constituyen la base de la teoría clásica de los dos ejes. 9 R.H.Park – Two-reaction theory of synchronous machines – Transactions AIEE 1929 pg.716-727


1-30

En el caso particular en que la velocidad del rotor es constante, dtdγ es constante y las ecuaciones de Park se hacen lineales y pueden ser integradas analíticamente. Sobre este punto se volverá más adelante.

1.8 El momento electromagnético Para la determinación del momento electromagnético desarrollado por la máquina se recurre convenientemente a las fuerzas de Lorentz, punto de vista cuya validez formal ya se demostró en otra oportunidad10. Supóngase al devanado de armadura reemplazado por una capa de corriente de densidad lineal a(x) A/m. La inducción resultante en el entrehierro sea b(x). Entonces, con las referencias de la figura 1.8.1, la fuerza tangencial sobre un elemento diferencial de longitud axial l de la superficie interior del estator vale

dxRl)x(a)x(bdf −= (1.8.1) y el momento diferencial correspondiente está dado por

dx)x(a)x(blRdTs2−= . (1.8.2)

El momento electromagnético resultante sobre el estator se logra integrando (1.8.2) a lo largo de la periferia interior del estator

∫π

−=2

0

2 dx)x(a)x(blRTs . (1.8.3)

En virtud de la tercera ley de Newton (actio equal reactio), el momento que actúa sobre el rotor es igual y opuesto al que actúa sobre el estator, de manera que

∫π

=2

0

2 dx)x(a)x(blRT . (1.8.4)

La distribución de inducción resultante se obtiene superponiendo las distribuciones de los devanados individuales

)x(b)x(b)x(b)x(b)x(b)x(b)x(b QDfcba +++++= , (1.8.5) 10 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Capítulo 5

x, f

b(x)

R

a(x)

Figura 1.8.1 Referencias positivas para las variables electromagnéticas y mecánicas


1-31

expresadas en términos de las corrientes y la geometría, como se obtuvo en (1.3.9) y (1.3.35).

( )[ )pxcos(i)pxcos(ipxcosipfN)x(b cbad

32

32011

24 ππ ++−+α

δ ′′µ

π=

( ))pxsen(i)pxcos(i)pxcos(i QQDDff γ−ξ+γ−ξ+γ−ξα+ 111

( )( )pxcos(i)pxcos(ipxcosisencba 3

23

2 222 ππ −γ−++γ−+γ−παπ

+

)])pxsen(i)pxcos(i)pxcos(i QQDDff γ−ξ+γ−ξ+γ−ξ+ 111 (1.8.6)

Los coeficientes QDf y, 111 ξξξ son relaciones de transformación definidas análogamente a (1.3.27). Si se expresa las corrientes en términos del fasor espacial mediante las relaciones equivalentes a (1.7.4) a (1.7.6) y las funciones trigonométricas en términos de funciones exponenciales (Euler), se obtiene

( ) ( ) ( )( ) ++

αξ++α

δ ′′µ

π= γ−−γ−−∗ pxj

fpxj

ffjpx

sjpx

sd eieieieipfN)x(b

243

24 1011

rr

( ) ( )( ) ( ) ( )( )γ−−γ−γ−−γ− −αξ

++αξ pxj

Qpxj

QQpxj

Dpxj

DD eiei

jeiei

2211

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) +

ξ++

παπ

+ γ−−γ−γ−−∗γ− pxjf

pxjf

fpxjpxjs eieieieisen

243 12

12

r

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

−

ξ++

ξ+ γ−−γ−γ−−γ− pxj

Qpxj

QQpxj

Dpxj

DD eiei

jeiei

2211 (1.8.7)

La distribución de densidad lineal de corriente resultante se obtiene superponiendo las distribuciones de las tres fases del estator

)x(a)x(a)x(a)x(a cba ++= (1.8.8) De la distribución rectangular de densidad lineal de corriente de la figura 1.3.1b sólo se considera la fundamental, ya que la distribución de inducción también fue limitada a esa componente. Para la fase a vale entonces

pxsenA)x(a apa −= (1.8.9) con


1-32

ad

p

p

aap iRfNdxpxsen)x(apA

π=

π−= ∫

π

π−

112 (1.8.10)

coeficiente de Fourier para la fundamental. Para las fases b y c valen relaciones similares, desplazadas en 32π y 32π− respectivamente. El reemplazo de estas relaciones en (1.8.8) y la posterior introducción del fasor espacial y de funciones exponenciales en lugar de las trigonométricas conduce a la siguiente expresión para la densidad lineal de corriente resultante:

( )jpxs

jpxs

d eieiRfNj)x(a −∗ −

π−=

rr

432 11 (1.8.11)

Al reemplazar (1.8.7) y (1.8.11) en (1.8.4) e integrar esa expresión se logra

( ){ } ( ){ }γ−γ−γ− ξ+ξ+ξ+ℑ+ξ+ξ+ξℑ= jsQQDDff

jssG

jsQQDDffG eiijiieiipLeiijiipLT

rrrr111

223

21111 (1.8.12) que se reduce a

( ){ }γ−γ− +++ℑ= jsQQDDff

jssG eiijLiLiLeiiLpT

rrr111

222

3 (1.8.13)

donde

( )2111 32

GGff LLL +ξ= , ( )2111 32

GGDD LLL +ξ= y ( )2111 32

GGQQ LLL −ξ= (1.8.14)

son los valores máximos de las inductancias mutuas entre los respectivos devanados del rotor y una fase del estator. Como la parte imaginaria de ∗

ss iirr

es cero, la ecuación (1.8.13) no es alterada al incluir ( ) ∗

σ+ ssG iiLLrr

11 en el paréntesis llave de (1.8.13), expresión que de esa manera toma la forma

( ) ( ){ }γ−γ−∗σ +++++ℑ= j

sQQDDffj

ssGssG eiijLiLiLeiiLiiLLpTrrrrr

1112

21123 (1.8.15)

que, al considerar la expresión (1.7.2) para el fasor espacial del enlace de flujo de la armadura:

( ) ( ) γγγ∗σ +++++=ψ j

QQj

ffDDj

sGsGs eLijeLiLieiLiLL 1112

211

rvr , puede rescribirse en forma compacta como


1-33

{ }ss ipTrr ∗ψℑ=

23 (1.8.16)

ó

{ }∗ψℑ−= ss ipTrr

23 . (1.8.17)

Para la teoría de los dos ejes se prefiere una expresión para el momento en términos de las componentes real e imaginaria de las variables. Considerando que

( ) γψ+ψ=ψ jqds ej 11

r e ( ) γ+= jqds ejiii 11

r (1.8.18)

se obtiene finalmente

[ ]dqqd iipT 111123

ψ−ψ= , (1.8.19)

donde DDffddd iLiLiL 11111 ++=ψ y QQqqq iLiL 1111 +=ψ son los enlaces de flujo de los devanados de armadura ficticios que giran con el rotor y cuyos ejes magnéticos coinciden respectivamente con los ejes de simetría d y q del rotor. Con las referencias de la figura 1.8.1, el momento desarrollado como motor es positivo.

1.8.1 Ecuación de equilibrio mecánica El movimiento del rotor de la máquina está condicionado por la ecuación de D'Alambert del equilibrio de los momentos, que establece que la suma de los momentos sobre el eje es igual a la inercia por la aceleración angular:

mTTdtd

pJ

−=γ2

2

(1.8.20)

donde T es el momento electromagnético, Tm el momento mecánico aplicado al eje y J el momento de inercia. Esta ecuación, conjuntamente con las ecuaciones de Park forma un sistema de ecuaciones diferenciales que describe completamente el comportamiento dinámico de la máquina de campo giratorio.


1-34

1.9 Caso particular: la máquina isotrópica simétrica La máquina asincrónica11 se caracteriza constructivamente por un entrehierro constante a lo largo de la periferia (α=1, LG2=0) y un devanado del rotor simétrico (LD1=LQ1≡Lrs, L1d=L1q≡Ls, L1D=L1Q≡Lsr, LD=LQ≡Lr, if=0). Para esas condiciones las ecuaciones de Park se reducen en una (desaparece el devanado de campo) y toman una forma más simétrica:

( )QDqdD

Dd

ddd iLiLdtd

dtdiL

dtdiLiRv 1111

11111 +

γ−++= (1.9.1)

( )DDddQ

Dq

dqq iLiLdtd

dtdi

Ldt

diLiRv 1111

11111 +

γ+++= (1.9.2)

dtdiL

dtdiLiRv d

DD

DDDD1

1++= (1.9.3)

dtdi

Ldtdi

LiRv qD

QDQDQ

11++= (1.9.4)

Al pasar a la notación compleja en términos de los fasores espaciales

qdr,s jvvv 11 +=r

e qdr,s jiii 11 +=r

(1.9.5)

QDr jvvv +=r

e QDr jiii +=r

(1.9.6) las ecuaciones (1.9.1) y (1.9.2) se reducen a una sola ecuación compleja

( )rDr,sdr

Dr,s

dr,sr,s iLiLdtdj

dtidL

dtid

LiRvrr

rrrr

11111 +γ

+++= , (1.9.7)

la que, referida a coordenadas fijas al estator, toma la forma:

( )dteidL

dtidLiRv

jr

srs

ssss

γ

++=

rrrr

(1.9.8)

Por otra parte, las ecuaciones para el rotor (1.9.3) y 1.9.4) se reducen a:

( )dteidL

dtidLiRv

js

rsr

rrrr

γ−

++=

rrrr

, (1.9.9)

11 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Cap. 8.


1-35

donde se han modificado convenientemente los índices de las resistencias e inductancias. En términos de los fasores espaciales la descripción de la máquina isotrópica simétrica se reduce a un par de circuitos acoplados inductivamente y la expresión para el momento electromagnético (1.8.16) toma correspondientemente la forma:

{ }γ∗ℑ−= jrssr eiiLpTrr

23 . (1.9.10)

1.10 Excitación asimétrica y componentes simétricas

Si se hace abstracción de los campos de origen paramétrico, la alimentación simétrica impone en el entrehierro de la máquina un campo giratorio de amplitud constante que se desplaza con velocidad angular constante ω1/p. Este campo puede ser representado en el plano complejo por un fasor espacial que gira con velocidad sincrónica y cuyo extremo recorre una circunferencia. De aquí que suele hablarse de un campo giratorio circular. Considérese ahora la alimentación de la máquina con un sistema de tensiones asimétrico con las siguientes tensiones de fase:

( )aaa tcosVv ϕ+ω= 12 (1.10.1) ( )bbb tcosVv ϕ+ω= 12 (1.10.2) ( )ccc tcosVv ϕ+ω= 12 (1.10.3)

Si se reemplazan estas expresiones en la correspondiente al fasor espacial:

( )cbas vaavvv 2

32

++=r

(1.10.4)

y se consideran las relaciones de Euler, se logra:

( ) ( )[ ]tj*c

*b

*a

tjcbas eaaeaav 11 22

32 ω−ω +++++= VVVVVV

r (1.10.5)

tjtjs eev 11

1211 22 ω−∗ω += VVr

(1.10.6)

donde12 ( )cba aa VVVV 211 3

1++= (1.10.7)

12 Notación: en V11 y V12 el primer índice se refiere al devanado (1,2) y el segundo a la secuencia (1,2,0)


1-36

y ( )cba aa VVVV ++= 212 3

1 (1.10.8)

corresponden, respectivamente, a las componentes de secuencia positiva y de secuencia negativa de los valores efectivos complejos. Estas son distintas entre sí y no deben ser confundidas con las componentes simétricas de los valores instantáneos. De (1.10.6) se desprende que un sistema asimétrico puede ser considerado como una superposición de dos sistemas simétricos de secuencia invertida, cuyos respectivos fasores espaciales, que en general tendrán amplitudes distintas, giran en direcciones opuestas. El fasor suma es de amplitud variable y su extremo describe una elipse en el plano complejo, según ilustra la figura 1.10.1. De aquí nace la costumbre de hablar de campos giratorios elípticos al referirse a campos creados por sistemas asimétricos. Para los fasores espaciales de la corriente y del enlace de flujo del estator valen expresiones similares a (1.10.6).

tjtj eei 1112111 22 ω−∗ω += II

r (1.10.9)

tjtj ee 11

12111 22 ω−∗ω Ψ+Ψ=ψr (1.10.10)

Al reemplazar los fasores espaciales para la corriente (1.10.9) y para el enlace de flujo (1.10.10) en la expresión general para el momento (1.8.16)

{ }1123

ψ⋅ℑ−=rr

*ipT (1.8.16a)

se logra la siguiente expresión para el momento en términos de las componentes simétricas de los valores efectivos complejos

{ } { } ( ){ }tjepppT 121211111212121111 333 ω∗∗ Ψ−Ψℑ−Ψℑ+Ψℑ−= IIII

. (1.10.11) Se aprecia que como consecuencia de la asimetría en la excitación aparece un torque medio frenante, el torque de secuencia negativa, y un torque oscilatorio cuya frecuencia es igual al doble de la frecuencia de la red. La componente oscilatoria se debe a la interacción de los campos de secuencia positiva y de secuencia negativa, es característica del funcionamiento asimétrico y se traduce en vibraciones mecánicas que se transmiten a través del anclaje de la máquina a la fundación.

Figura 1.10.1 Campo giratorio elíptico como superposición de dos campos circulares

11,vr

21,vr

1vr


1-37

Si se consideran solamente las componentes del momento cuyo valor medio no es cero, se puede concebir al momento resultante como el momento producido por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente y alimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuencia positiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa. Esta idea se usará al analizar el funcionamiento asimétrico de la máquina asincrónica y de la máquina sincrónica, oportunidad en que se incluirán las características constructivas de estas máquinas.


1-38

1.11 Apéndice 1 Para la descripción analítica de la capa de corriente correspondiente a una ranura de ancho tangencial br, ubicada en el radio R, definida por la función discontinua de período 2π

( )

−π≤≤+π

+π≤≤−π=

Rbx

Rbpara

Rbx

Rbpara

biN

xarr

rr

rr

22

220

22

22

(A1.1)

cuyo origen (x=0) está en el centro de la ranura, se recurre convenientemente al desarrollo en series de Fourier en notación compleja:

( ) ∑+∞

−∞=ν

νν= xj

r eCxa (A1.2)

con ( )

Rb

Rbsen

biNdxe

biNdxexaC

r

r

r

Rb

Rb

xj

r

xjr

r

r

2

221

21

21 2

2

ν

ν

π=

π=

π= ∫∫

+

−

νπ+

π−

νν (A1.3)

Al sustituir la relación de Euler queda:

( ) ( ) ( )( )xsenjxcos

Rb

Rbsen

biNxa

r

r

rr ν−ν

ν

ν

π= ∑

∞+

−∞=ν

2

221

, (A1.4)

expresión que se reduce a

( ) ( )xcos

Rb

Rbsen

biN

biNxa

r

r

rrr ν

ν

ν

π+

π= ∑

∞+

=ν 1

2

2121

, (A1.5)

ya que en la sumatoria, para el mismo valor absoluto de ν, los términos con seno se anulan, mientras que los términos con coseno se duplican para 1≥ν . Para ν=0 resulta el término constante. En el caso de ranuras infinitamente estrechas

rb b

iNClímr π

=ν→ 21

0 (A1.6)


1-39

y la expresión para la densidad lineal de corriente toma la forma de un impulso de Dirac con el desarrollo

( ) ( )∑∞

=ν

νπ

+π

=1

121 xcos

biN

biNxa

rrr . (A1.7)

En este punto conviene recordar que un devanado siempre está formado por bobinas y que una bobina consta de dos lados, alojados en ranuras desplazadas relativamente en (π-α) y que la corriente en esas ranuras tiene sentido opuesto. En consecuencia, para un devanado los términos constantes se anulan siempre y es conveniente ignorarlos y definir

( ) ( )∑∞

=ν

νπ

=1

1 xcosbiNxa

r

(A1.8)

y usar esta expresión para calcular la distribución de fmm correspondiente a una ranura

( ) ( ) ( )∫ +=x

fdxxaRxf0

0 (A1.9)

( ) ( ) ( )01

fxseniNxf +νν

π= ∑

∞

=ν

. (A1.10)

Con entrehierro constante esta fmm no puede producir flujo unipolar, por lo que

( )∫π

=δµ 2

0

0 0dxxf , lo que implica que f(0)=0 y que (A1.11)

( ) ( )∑∞

=ν νν

π=

1

xseniNxf , (A1.12)

lo que corresponde a una distribución de “diente de sierra”13. A esta última expresión se le da convenientemente la forma compleja

( ) ∑±∞

±=ν

ν−

νπ=

12

xjeiNjxf (A1.13)

que resulta más apropiada para una posterior aplicación del principio de superposición.

13 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Cap. 4.2


1-40

1.12 Apéndice 2

Determinación analítica del campo en el entrehierro para un caso simple

Sean dos cilindros de fierro concéntricos de permeabilidad infinita. El cilindro exterior (estator) tenga un radio interior R1 y el cilindro interior (rotor) tenga un radio exterior R2. El campo en el entrehierro sea homogéneo en la dirección axial. Sobre la superficie interior del estator haya una capa de densidad lineal de corriente distribuida sinusoidalmente como función de la coordenada tangencial:

xsenAa ν= νν (A2.1) El campo magnético en el entrehierro sólo tendrá componentes en la dirección radial (r) y en la dirección tangencial (x). De ( ) 0=Hrot

r se desprende entonces que

( ) ( ) 011=

∂∂

−∂∂

= rxz Hxr

Hrrr

Hrotr

(A2.2)

y de ,)B(div 0=

r con HB

rr0µ= que

( ) ( ) 011=

∂∂

+∂∂

xr Hxr

Hrrr

(A2.3)

De (A2.2) y (A2.3) se logra ( ) ( ) ( ) 032

22

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

xxxx HHr

rHr

rHx

(A2.4)

que debe cumplir con las condiciones de contorno:

ν= aHx para r=R1 (A2.5) 0=xH para r=R2. (A2.6)

Postulando ahora que ( ) ( )xXrR)x,r(Hx ⋅= , se logra la separación en dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

( ) 22

21ν−=X

dxd

X (A2.7)

y


1-41

( ) ( ) 22

22 31

ν=

++ RR

drdrR

drdr

R (A2.8)

cuyas soluciones son respectivamente:

( )xsenX ν= (por (A2.1)) (A2.9) y

( )12

11

+ν−−ν += rCrCR . (A2.10) Las constantes de integración se logran a través de las dos condiciones de contorno (A2.5) y (A2.6):

( )112

111

+ν−−νν += RCRCA (A2.11)

( )1

221

210 +ν−−ν += RCRC (A2.12)

de donde se despeja

12

2

1

22

11

1

−

=

ν

ν−+ν

ν

RR

RRAC (A2.13)

y

12

2

1

11

2

−

−=

ν

+ν

ν

RR

RAC (A2.14)

La componente radial del campo en el entrehierro se obtiene a partir de (A2.2) como

( ) 3CdxHrr

H xr +∂∂

= ∫ (A2.15)

Como la capa de corriente es axial (z), no puede producir flujo unipolar, por lo que el flujo neto a través del manto de los cilindros debe ser nulo, es decir,

∫π

=µ2

00 0dxrlHr , (A2.16)

lo que implica que C3=0. La evaluación de la ecuación (A2.15) permite obtener


1-42

( )[ ] ( )xcosrrR

RR

RAHr ν+

−

ν

ν−= +ν−−νν−

ν

+ν

ν112

22

2

1

11

1

. (A2.17)

Introduciendo la nueva variable ( )210 RR −≤δ′≤ mediante la relación

δ′+=δ′+=

222 1

RRRr , (A2.18)

se logra la relación aproximada:

( )xcosR

RR

RR

AHr ν

δ′−

−

ν

ν−=

ν

+ν

ν2

2

2

1

1

2

1

1

1

2 (A2.19)

Se puede apreciar que para entrehierros δ=R1-R2 pequeños el valor del paréntesis cuadrado es siempre muy próximo a la unidad, por lo que la componente radial del campo en el entrehierro puede ser considerada independiente de la coordenada radial. Por ejemplo, para un motor asincrónico de 110kW se tiene δ=0,85mm y R2=300mm, con lo que el error sería inferior a 0,3%. Al introducir el entrehierro δ en forma explícita en (A2.19) queda

( )xcosR

R

RAHr ν

δ′−

−

δ+

δ+

ν

ν−=

ν

+ν

ν2

2

2

1

2 1

11

12

y como 12

<<δ

R, el desarrollo de los paréntesis redondos en series de potencia

truncadas después del segundo término permite anotar

( ) ( )xcosRAR

Hr νδν

δ+ν+−= ν 2

2

11 .


1-43

Para entrehierros pequeños y números de pares de polos ν bajos el paréntesis cuadrado de esta última relación es prácticamente igual a la unidad, por lo que la componente radial del campo en el entrehierro queda expresada por

( )xcosRAHr νδν

−= ν 2 . (A2.20)

Como resultado del análisis precedente la componente fundamental del campo radial en el entrehierro puede ser modelada como un campo unidimensional (independiente de r).


1-44

1.13 Apéndice 3

"Entrehierro equivalente y factor de Carter".

Al modelar el campo en el entrehierro suele reemplazarse el entrehierro físico y las superficies ranuradas del estator y del rotor por una situación equivalente consistente en dos superficies lisas y un entrehierro ficticio. Supóngase que en el entrehierro se enfrenten, en lugar de dos superficies lisas, una superficie lisa con otra ranurada (figura A.3.1 a ). Como consecuencia de la presencia de las ranuras la inducción en el entrehierro frente a estas disminuirá en relación con el valor que tendría para un entrehierro constante.

El flujo que atraviesa el entrehierro a lo ancho de un paso de ranura corresponde al área bajo la distribución espacial de la inducción (figura A.3.1 b) y es posible concebir una distribución de inducción rectangular ficticia equivalente

τ r

br

τ r -ybr yb r

τ r/2 x 1

B(x1)

con ranura

modelo

a)

b)

Figura A.3.1 Relativo a la derivación del factor de Carter a) Entrehierro con ranurasb) Variación de la inducción y su modelo

δ


1-45

τ≤<

−τ

−τ

+≤≤

−τ

−

−τ−<≤

τ−

=

220

22

220

1

1

1

1

rrr

rrrr

rrr

xybpara

ybxybparaB

ybxpara

)x(B (A3.1)

donde B corresponde al valor de la inducción sin ranuras e y es un parámetro cuyo valor es tal que el área bajo la distribución ficticia sea igual al área bajo la distribución de inducción que reemplaza (igualdad de las áreas achuradas en la figura A.3.1 b). Para una ranura de profundidad infinita rodeada de fierro de permeabilidad infinita CARTER logró una solución analítica para la distribución de campo resultante y a partir de esta la siguiente expresión para el parámetro y:

( ) ( ) ( )

δ=χ

+δ=

χ+χ

≈

χχ+

−χπ

=χχχπ

= ∫χ

25252

21lnarctg2arctg12 2

0

r

r

r bconb

by

dy (A3.2)

Esta relación también vale con buena aproximación para ranuras reales y está representada gráficamente en la figura A.3.2 como función de la razón del ancho de la apertura de la ranura al ancho del entrehierro.

Figura A.1.2 Coeficiente de Carter y(br /δ )

br/δ

y


1-46

El flujo por paso de ranura asociado a la distribución ficticia del modelo de la figura A3.2b cruza el entrehierro a través de la superficie ( )rr yblS −τ= , donde l es la longitud axial del paquete de chapas, lo que permite definir la permeancia equivalente para el entrehierro como

( )c

r

r

rrr

klyblSδτ

µ=τδ

τ−τµ=

δµ=Λ 000 , (A3.3)

expresión que puede reinterpretarse como la permeancia asociada a una sección

rlS τ=′ y a un entrehierro efectivo δ=δ′ ck . Para los efectos de la determinación del flujo fundamental en el entrehierro la superficie ranurada puede pensarse reemplazada por una superficie lisa, si simultáneamente el entrehierro real se considera incrementado mediante el factor de Carter

( )rrrr

rc byyb

kτ−

=−ττ

=1

1 > 1 . (A3.4)

En el caso normal en máquinas asincrónicas, donde tanto el estator como el rotor están provistos de ranuras, el factor de Carter resultante se determina como el producto de los factores calculados independientemente para el estator y para el rotor:

21 ccc kkk ⋅= . (A3.5)

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