MQUINAS ELCTRICAS ROTATIVAS:Introduccin a la Teora General

Jos Manuel AllerUNIVERSIDAD SIMN BOLVAR

Departamento de Conversin y Transporte de Energa

MQUINAS ELCTRICAS ROTATIVAS:INTRODUCCIN A LA TEORA GENERALJos Manuel Aller

c2007 EDITORIAL EQUINOCCIOTodas las obras publicadas bajo nuestro sellohan sido sometidas a un proceso de arbitraje.

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Coordinacin editorial: Carlos Pacheco

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Composicin grfica: Jos Manuel Aller

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ISBN 980-237-223-4

Depsito legal LF: 2442004600958

al profesor Gastn Pesse, quien dedic muchos aos paraensearnos su visin de las mquinas elctricas

ya todos aquellos estudiantes que durante tantos aos han

contribuido y enriquecido este libro con sus valiosas sugerencias

ndice general

I. Fundamentos Generales de las Mquinas Elctricas 11

1. Conversin de Energa Elctrica 131.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Convertidor electromecnico elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Curvas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4. Balance energtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Fundamentos de Conversin 432.1. Energa y coenerga en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2. Balance energtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. Ecuaciones internas del convertidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. Ecuaciones de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5. Generalizacin de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.7. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3. Circuitos Acoplados Magnticamente 813.1. Definiciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2. Ecuaciones de tensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3. Coeficientes de acoplamiento y dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4. El transformador como circuito acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.5. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5

4. Mquinas Elctricas Rotativas 974.1. Caractersticas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2. Bobinas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3. Mltiples pares de polos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4. La mquina generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Clculo del par elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.6. Par elctrico y fuerzas magnetomotrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.7. El campo magntico rotatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.8. La mquina trifsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.9. Transformacin de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.10. Transformacin de coordenadas - dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.11. Ecuaciones generales en coordenadas dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.12. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.13. Ejemplo resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.14. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

II. Mquinas Elctricas Rotativas 133

5. Mquinas de Conmutador 1355.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2. Ecuaciones de las mquinas de conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3. Caractersticas de operacin de las diferentes conexiones . . . . . . . . . . . . 1475.4. Control de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.5. Valores nominales y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.6. Reaccin de armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.7. Saturacin de la mquina de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.8. La conmutacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.9. Prdidas en las mquinas de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.10. Controladores electrnicos de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.11. Mquinas especiales de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.12. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.13. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.14. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6. La Mquina de Induccin 1936.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2. Modelo de la mquina de induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.3. Vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.4. Modelo en rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.5. Ecuaciones de la mquina de induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.6. Caracterstica par-deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.7. Puntos de operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.8. El punto nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.9. Sistema en por unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.10. Determinacin de los parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6

6.11. Condiciones de operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.12. Caractersticas normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.13. Diagrama de crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.14. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.15. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.16. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7. Operacin de la Mquina de Induccin 2597.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.2. Arranque de motores de induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.3. El rotor de jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.4. Corriente de arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.5. Rgimen desequilibrado de las mquinas de induccin . . . . . . . . . . . . . 2687.6. Armnicas temporales en la mquina de induccin . . . . . . . . . . . . . . . 278

7.6.1. Sistema de terceras armnicas 3e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.6.2. Sistema de quintas armnicas 5e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.6.3. Sistema de sptimas armnicas 7e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.6.4. Sistema armnico de orden h he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7.7. Armnicas espaciales en la mquina de induccin . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.8. La mquina de induccin bifsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.9. Anlisis transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2997.10. Control de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

7.10.1. Control tensin-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.10.2. Control por campo orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3087.10.3. Control directo de par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

7.11. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3147.12. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3167.13. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8. La Mquina Sincrnica 3338.1. Descripcin de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358.2. Modelo de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.3. Transformacin a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.4. Transformacin a coordenadas rotricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3438.5. Transformacin de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3448.6. Rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3498.7. Diagrama fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3498.8. Potencia y par elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.9. Convenciones de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3558.10. Valores nominales de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3578.11. Lugares geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3598.12. Circuito equivalente de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3648.13. Curvas en V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.14. Medicin de las reactancias permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3678.15. Anlisis de la mquina sincrnica considerando la saturacin . . . . . . . . . . 3708.16. La mquina sincrnica en el sistema elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7

8.17. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778.18. Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3798.19. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

9. Rgimen Transitorio de la Mquina Sincrnica 3979.1. Transitorios electromagnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

9.1.1. Solucin mediante autovalores-autovectores . . . . . . . . . . . . . . . 3999.1.2. Solucin mediante la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . 401

9.2. Cortocircuito brusco de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4029.3. Interpretacin fsica de las inductancias transitorias . . . . . . . . . . . . . . . 4059.4. Tensin de armadura en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4069.5. Sistema adimensional de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4079.6. Anlisis transitorio con resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4119.7. Constantes de tiempo en circuitos acoplados magnticamente . . . . . . . . . . 4149.8. Anlisis transitorio aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4179.9. Pequeas oscilaciones de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 4199.10. Efecto del devanado amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4249.11. Anlisis subtransitorio aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4269.12. Determinacin de las inductancias transitorias y subtransitorias . . . . . . . . . 4299.13. Rgimen desequilibrado de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . 4329.14. Estabilidad de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4349.15. Diagrama de bloques de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.16. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4419.17. Ejemplo resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4459.18. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

ndice alfabtico 455

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Prefacio

En los ltimos veintiseis aos, en el Departamento de Conversin y Transporte de Energa de laUniversidad Simn Bolvar se ha desarrollado un mtodo eficiente y sistemtico para la docenciade los cursos de Conversin de Energa Elctrica1. Se fundamenta en la experiencia aportadaoriginalmente por el Profesor Gastn Pesse Vidal despus de ms de 45 aos de fructfera laboruniversitaria, unida al trabajo sistemtico de varios profesores de la seccin de Conversin deEnerga Elctrica de este Departamento. Esto ha permitido ampliar la visin de centenares deingenieros electricistas egresados de la Universidad Simn Bolvar, facilitando la incorporacinde los nuevos desarrollos en electrnica de potencia, computacin y sistemas de control.

A diferencia de los mtodos convencionales para el anlisis de las mquinas elctricas, el mtodoque se desarrolla en este texto permite el estudio de los convertidores elctromecnicos medianteuna modelacin generalizada, donde las diferencias se establecen fundamentalmente a partir dela configuracin de las fuentes de alimentacin. El texto utiliza ampliamente el lgebra linealcon la finalidad de simplificar las ecuaciones necesarias para el anlisis permanente y transitoriode las mquinas elctricas e incorpora simultaneamente la concepcin fsica de los fenmenosinvolucrados para permitir una comprensin ms completa de cada tema.

El objetivo general consiste en ofrecer al futuro ingeniero electricista aquellos fundamentos te-ricos y conceptuales necesarios para comprender los principios, analizar y evaluar las diferentescondiciones de operacin de las mquinas elctricas convencionales y permitir su interrelacincon el sistema elctrico de potencia. El texto se orienta fundamentalmente al anlisis de losconvertidores, pero en algunos casos se introducen algunas ideas generales que podran servirde pie a cursos posteriores que desarrollen los temas relativos al diseo y construccin de losconvertidores electromecnicos.

El perfil profesional del ingeniero electricista est en continuo cambio, cada da el desarrollotecnolgico evoluciona rpidamente. Nuevas mquinas y aplicaciones aparecen en el horizonte.Es necesario preparar a las generaciones de ingenieros que estamos formando para que puedanafrontar los retos que se presentan. Por esta razn, es necesario incorporar herramientas moder-nas y conceptos adecuados que flexibilicen el conocimiento de estas tecnologas en continuo

1Mquinas elctricas y controladores electrnicos de potencia.

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desarrollo. Para cumplir con este cometido es indispensable romper con aquellos esquemas con-ceptuales que eran vlidos cuando las mquinas elctricas cumplan una funcin mucho msrestringida. La investigacin metdica y las continuas asesoras profesionales permiten el desa-rrollo de esta visin conceptual de las mquinas elctricas, dentro de los alcances y limitacionesimpuestos por el nivel acadmico a quien van dirigidos este texto2. La incorporacin de arm-nicas en las fuentes, desequilibrios en la red, controladores electrnicos en los accionamientoshan hecho que los conceptos clsicos sean insuficientes para afrontar el reto que representa laindustria actual.

La necesidad permanente de actualizar conocimientos, y la definicin constante de nuevas me-tas y objetivos hacen indispensable la revisin peridica de este material. Con este espritu hasido concebido. Es un deseo que el material contenido en este texto ayude a simplificar la difcillabor del docente en esta rea, y el aun ms complejo proceso de aprendizaje a los estudian-tes de ingeniera elctrica. El estudio de este tema requiere una fuerte conceptualidad fsica ymatemtica, debido a que los fenmenos de conversin electromecnica de la energa requiereninterpretaciones espaciales y temporales simultaneas. Se ha incluido un nmero importante deilustraciones, grficos y diagramas para facilitar la comprensin de aquellas ideas que tienden aser difciles para el estudiante. En esta edicin se han incorporado ejemplos resueltos que ilus-tran los conceptos desarrollados, ejercicios propuestos que permiten desarrollar las habilidadesnecesarias para cumplir con los objetivos de cada tema y un sumario en cada captulo que exponede forma concisa las ideas fundamentales. En varios temas se han incluido pequeos programasdesarrollados mediante herramientas de clculo de alto nivel3 que permiten obtener resultadosprcticos de los modelos y constituyen en si mismos una poderosa herramienta de aprendizaje.

Este libro comienza presentando las bases fundamentales que permiten un anlisis sistemticode las mquinas elctricas: la ley de Lorenz, el principio de los trabajos virtuales y el anlisisde circuitos acoplados magnticamente. Posteriormente se desarrollan en detalle los principiosbsicos de conversin electromecnica, el planteamiento de las ecuaciones diferenciales querigen su comportamiento y las transformaciones necesarias para su solucin eficaz y eficiente.Las mquinas de conmutador, de induccin y sincrnica se presentan a partir de estas ideas yse obtienen modelos para el anlisis en rgimen permanente y transitorio de los convertidoreselectromecnicos. Algunos temas importantes tales como armnicos, saturacin, desequilibrios,limitaciones de diseo, ensayos de laboratorio, estimacin paramtrica y valores esperados sehan incluido a travs de todo el texto.

Quisiera terminar el prlogo a la presente edicin agradeciendo a los innumerables colaborado-res que han contribuido a su realizacin durante todos estos aos, especialmente a las genera-ciones de ingenieros electricistas que permanente, entusiasta y desinteresadamente han revisado,discutido y hecho sugerencias sobre todos los temas desarrollados. Desde su primera publicacinen Internet en el ao 2002, se han incrementado notablemente los comentarios y sugerencias quehan ido enriqueciendo el material.

Prof. Jos Manuel Aller Castro

Valle de Sartenejas, 2006

2Fundamentalmente estudiantes no graduados de ingeniera elctrica3Matlab R, Scilab R y Octave R.

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Parte I

Fundamentos Generales de las MquinasElctricas

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CAPTULO 1

Conversin de Energa Elctrica

En la historia del desarrollo de la humanidad se han buscado muchas fuentes de energa para mo-vilizarse, construir viviendas, arar, segar, procesar los alimentos e iluminar. Hombres y bestiasfueron las primeras fuentes de energa, incluso la esclavitud fue ampliamente justificada durantemilenios con esta finalidad. La lea y el carbn desempearon un papel protagnico durante larevolucin industrial, con la invencin de la mquina de vapor. El desarrollo de la electricidad afinales del siglo XIX permiti el desarrollo de la industria moderna y requiri la conversin dediversas fuentes de energa en energa elctrica y viceversa. En la actualidad el desarrollo de laelectrnica y en especial de la electrnica de potencia, permite el control efectivo y eficiente delos procesos de conversin de energa elctrica.

En este captulo analizaremos los conceptos fundamentales involucrados en la conversin deenerga, los principios bsicos que permiten la conversin electromecnica de energa y las tc-nicas matemticas que permiten analizar el comportamiento de los convertidores electromec-nicos de energa.

1.1. Conceptos bsicos

La energa es uno de los conceptos ms importantes en el estudio de las mquinas elctricas.La energa es la capacidad de realizar un trabajo. La energa se presenta en la naturaleza endiferentes formas. El objetivo de las mquinas elctricas consiste en convertir la energa de unaforma en otra.

En la tabla 1.1 se presenta un resumen de las densidades de energa que pueden ser almacenadasen diversos procesos fsicos.

Se puede observar que los sistemas elctricos y magnticos no son buenos acumuladores deenerga porque las mximas densidades de energa que se pueden obtener con los materialesexistentes en la actualidad, son relativamente pequeas al compararse con la energa por unidad

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Tabla 1.1 Densidades de energa que pueden ser almacenadas en diversos procesos fsicos

1. Gravitacin (100m) 0, 0098 MJ/kg2. Energa Cintica (5000 rpm) 0, 053 MJ/kg3. Campo Magntico (2Wb/m) 0, 0016 MJ/litro4. Campo Elctrico (6, 5MV/m) 0, 006 MJ/litro5. Batera de plomo cido Pb+ 2O PbO2 0, 16 MJ/kg6. Calor de reaccin del combustible fsil 44, 0 MJ/kg7. Calor de combinacin H +H H2 216, 0 MJ/kg8. Energa de Ionizacin 990, 0 MJ/kmol9. Fisin U235 83000 MJ/kg

10. Fusin Deuterio+ Tritio He+ 17, 6MeV 340000 MJ/kg

de peso que puede ser almacenada en una batera o en los combustibles fsiles. Por esta raznes necesario realizar la conversin electromecnica de la energa para obtener energa elctricaen grandes cantidades. La conversin electromecnica de energa permite transmitir, consumir,modificar o transformar la energa electromagntica de una forma en otra, pero no es posiblealmacenarla en cantidades importantes1.

El segundo concepto fsico importante en los fenmenos de conversin de energa es la fuerza.La fuerza en un sistema fsico se manifiesta mediante la presencia de interacciones entre lamateria. An cuando parece que las fuerzas pueden ser de muy diferentes formas y tipos, seconocen en la actualidad slo cuatro fuerzas:

1. Interacciones gravitacionales entre masas (gravitones).2. Interacciones elctricas entre las cargas (electrn-protn-fotn).3. Interacciones nucleares dbiles (bosones intermedios).4. Interacciones nucleares fuertes (protn-neutrn-pin).

Si se asocia a las fuerzas nucleares fuertes de cohesin protn-protn por intercambio de pionesentre protones y neutrones el valor unitario, las interacciones nucleares dbiles de las partculasnucleares con rareza se encuentran en el orden de 1014. Las fuerzas gravitacionales se en-cuentran, en la misma base de comparacin, en el orden de 1037. Las fuerzas de atraccin yrepulsin de cargas elctricas por intercambio de fotones estn en el rango de 102.

El tercer concepto bsico es el de campo. La palabra campo posee la interpretacin geomtricade extensin, superficie o espacio. Sin embargo, en fsica el concepto de campo consiste en ladescripcin del espacio donde se produce algn tipo de fuerzas. El campo gravitatorio es la zonadel espacio donde una masa ejerce su influencia atrayendo a otras masas. El campo elctricose define exactamente igual, pero considerando las interacciones entre las cargas elctricas. Elcampo magntico se define a travs de las fuerzas entre dipolos magnticos. La medicin deun campo se realiza colocando en un punto del espacio una partcula de prueba (masa, carga odipolo magntico) y se mide la fuerza ejercida sobre ella. El cociente entre la fuerza en dicho

1Existen algunas excepciones como pueden ser los voltmetros electrostticos y ciertos sensores de posicin queutilizan el campo elctrico en el proceso de conversin de energa.

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punto y la magnitud de inters de la partcula es la intensidad del campo en el punto. Por ejemplo,si en un punto en la superficie de la tierra se mide la fuerza de atraccin gravitatoria sobre lamasa de prueba m, el dinammetro indicar F = mg, donde g es la aceleracin de gravedad enel punto donde se realiza la medida, y su direccin apunta hacia el centro de la tierra. El campogravitatorio es el cociente entre la fuerza y la masa. En otras palabras la aceleracin de gravedaden cada punto determina el valor de la intensidad del campo gravitatorio. De igual forma, elcampo elctrico es el cociente entre la fuerza elctrica sobre una partcula cargada, y el valor dela carga de esa partcula E = F

q.

Para el fenmeno elctrico se plantea una ecuacin de equilibrio de fuerzas en funcin del campoelctrico E y el campo magntico B de un sistema dado. Esta ecuacin de equilibrio se conocecomo relacin de Lorenz:

F = q (E+ v B) (1.1)

donde:

F es el vector de la fuerza resultante sobre la partcula cargada.

q es la carga elctrica de la partcula.

E es el vector intensidad del campo elctrico.

v es el vector velocidad.

B es el vector densidad de campo magntico.

Figura 1.1 Carga elctrica en un campo elctrico

En la ecuacin 1.1 todas las cantidades vectoriales deben estar referidas a un sistema de re-ferencia nico. Adems, el campo elctrico E y el campo magntico B deben ser producidosexternamente a la carga q. Para que ocurra una interaccin electromagntica sobre la carga qes necesaria la existencia de otras cargas. La figura 1.1 ilustra esta idea. En el punto que ocupala carga q, el campo elctrico E1se debe a las otras cargas presentes en el sistema y no a simisma. En estas condiciones existe una interaccin elctrica entre la carga puntual q y el campoelctrico E1 producido por las cargas distribuidas en las dos placas.

En un convertidor electromagntico de energa es necesario analizar el mecanismo de creacinde campo elctrico E y magntico B. Para este fin se recurre a las ecuaciones de Maxwell y a lascondiciones de contorno impuestas por el equipo.

Para determinar la solucin del campo electromagntico, se parte de las siguientes premisas:

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1. Las partculas elctricas q se desplazan en campos elctricos E y magnticos B.

2. Estos campos son producidos externamente a las cargas, por otras partculas cargadas.

Con las premisas anteriores, las leyes de Maxwell expresadas en su forma diferencial para unpunto cualquiera del espacio son:

E = Bt

(1.2)

H = J + Dt

(1.3)

E = (1.4)

B = 0 (1.5)

y las relaciones constitutivas debidas al medio material:

B = H (1.6)

D = E (1.7)

J = E (1.8)

donde , y pueden ser tensores que dependen del tipo de material y orientacin, pero que enlos casos ms simples son cantidades escalares.

Las ecuaciones 1.2 a 1.5 se pueden escribir en forma integral:L

E dl = t

S

B dS (1.9)

L

H dl =S

J dS+ t

S

D dS (1.10)S

D dS =V

v dv (1.11)

S

B dS = 0 (1.12)

En general, cuando se analizan casos prcticos de los convertidores electromecnicos de ener-ga, la variacin de la densidad del campo elctrico D con respecto al tiempo es despreciablecomparada con la densidad de corriente J. Este trmino representa las corrientes capacitivas de-bidas a las variaciones del campo elctrico y se conoce como corrientes de desplazamiento. Las

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corrientes de desplazamiento son importantes cuando el campo elctrico es muy intenso - altatensin - o cuando su variacin es muy rpida - alta frecuencia -. Ninguna de estas condicioneses frecuente en las mquinas elctricas convencionales en condiciones normales de operacin.

Para resolver las ecuaciones de Maxwell en un problema concreto, se define a las corrientescomo las variables independientes. A partir de ellas se calcula el campo magntico B con lasecuaciones 1.3 y 1.5, el campo elctrico E de la ecuacin 1.2 y las fuerzas electromotrices porintegracin lineal del campo elctrico en la trayectoria de inters. Las condiciones de contornodel sistema fsico relacionan las fuerzas electromotrices con las corrientes que han sido previa-mente consideradas como variables independientes. Este proceso de clculo se utilizar en elprximo captulo para obtener el modelo de un sistema electromecnico simple, pero es total-mente general. La ecuacin 1.4 no se utiliza en este anlisis ya que se supone que en el mediono se encuentran disponibles cargas libres, es decir la densidad de carga es cero.

Figura 1.2 Efecto del cambio del sistema de referencia sobre el campo elctrico

En la figura 1.2 se ilustra un par de conductores idnticos. El primero se desplaza a una velocidadv diferente de cero, en la presencia de los campos E1 y B1. El segundo conductor es idntico alprimero pero el observador se mueve a la misma velocidad v y considera por esta razn que elconductor est en reposo. En esta condicin el observador detecta el campo E2.

Si se introduce una partcula en cada uno de los conductores anteriores cuya carga es q1, en elprimer sistema la fuerza sobre la partcula, de acuerdo con la relacin de Lorenz 1.1, es:

F1 = q1 (E1 + v B1) (1.13)

Si la velocidad es constante, las fuerza F1 es nula y de la ecuacin 1.13 se deduce:

E1 = v B1 (1.14)

En el sistema II, como la velocidad relativa es cero, el observador slo puede atribuir la fuerzaactuante sobre la partcula q1 al campo elctrico E2:

E2 =F2q1

(1.15)

17

Figura 1.3 Conductor en movimiento en presencia de campos elctricos y magnticos

Como los conductores son idnticos en los dos sistemas, a excepcin de su sistema de referencia,se puede establecer la transformacin de Lorenz mediante las expresiones 1.13 y 1.15, debido aque F1 = F2:

E2 = E1 + v B1 (1.16)

La ecuacin 1.16 permite calcular el campo elctrico equivalente de un sistema de referencia so-lidario a los conductores del convertidor electromecnico de energa, conociendo vectorialmenteel campo elctrico y el campo magntico, del sistema fijo y externo al conductor.

En la figura 1.3 se ha esquematizado un segmento conductor al cual se le aplica entre sus ex-tremos el campo elctrico E. El circuito se encuentra inmerso en un campo magntico uniformeB. La densidad de corriente J que circula por el conductor depende de la superposicin de loscampos elctricos aplicados sobre l y de la conductividad del material, segn la relacinconstitutiva 1.8, tambin conocida como ley de Ohm:

J = E = (Eaplicada Einducida) (1.17)

El campo elctrico producido por el movimiento del conductor a la velocidad v en un campomagntico B se calcula segn la ecuacin 1.14, y por lo tanto la expresin 1.17 queda:

J = E = (Eaplicada v B) (1.18)

La expresin anterior determina la densidad de corriente J por el conductor. Una vez conocidala densidad de corriente se puede evaluar el campo elctrico o magntico en cualquier punto delespacio utilizando las ecuaciones de Maxwell 1.2 a 1.5. Conocidos los campos se pueden evaluarlas fuerzas sobre cualquier partcula elctrica cargada o sobre cualquier dipolo magntico. Deesta forma queda resuelto el problema de la conversin electromecnica de la energa.

1.2. Convertidor electromecnico elemental

En general las mquinas elctricas tienen por finalidad transformar la energa mecnica en ener-ga elctrica y viceversa. Cuando la conversin es de energa mecnica en energa elctrica se

18

Figura 1.4 Convertidor electromagntico elemental

dice que la mquina est funcionando como generador y en el caso contrario opera como motor.Tal vez la mquina elctrica ms simple es la que se representa en la figura 1.4. Este dispositi-vo es un convertidor electromagntico elemental y est constituido solamente por un conductorrectilneo, movindose ortogonalmente a un campo magntico uniforme.

En la figura 1.4, el conductor longitudinal se mueve en el interior de un campo magntico B,

siendo:

E es el vector intensidad de campo elctrico.

e es la fuerza electromotriz.

B es el vector densidad de campo magntico.

v es el vector velocidad del conductor lineal.

Las variables anteriores se relacionan a partir de la ecuacin 1.13, considerando que no existecampo elctrico externo:

E = v B (1.19)

Si en la ecuacin 1.19, se supone que el campo magntico B es uniforme en todos los puntos delconductor y la velocidad v es constante, la fuerza electromotriz e de todo el conductor es:

e =

l0

E dl (1.20)

Si al conductor anterior se le conecta una resistencia entre sus extremos, circularn cargas porel conductor y se producir una corriente de valor:

i =e

R(1.21)

En el conductor de la figura 1.5 se produce una fuerza Fe, que se opone al movimiento. Estafuerza puede calcularse a partir de la relacin de Lorenz 1.1, expresada como funcin de lacorriente i por el conductor:

19

Figura 1.5 Corriente circulando por un conductor

Fe = l iB (1.22)La fuerza calculada en la expresin anterior muestra que el sistema se opone a la extraccinde energa. Para obtener la energa, es necesario forzar el movimiento del conductor. Si noacta ninguna otra fuerza que mantenga el movimiento, y si la velocidad es diferente de cero,el sistema tendr un movimiento retardado de aceleracin negativa. El conductor convertir laenerga que estaba inicialmente almacenada en su masa, en prdidas en la resistencia R delcircuito externo. En estas condiciones, la velocidad decae exponencialmente a cero.

Para mantener una velocidad constante en el conductor de la figura 1.5, es necesario aplicaruna fuerza externa al conductor que se oponga a Fe. Esta fuerza es de origen mecnico y sedenomina Fm. En la figura 1.5 se observa el equilibrio de fuerzas necesario para mantenerconstante la velocidad v del conductor.El sistema mecnico entrega potencia al sistema elctrico para mantener la velocidad v, la po-tencia mecnica instantnea entregada por el sistema externo se calcula mediante la relacinsiguiente:

Pm = Fm v (1.23)y la potencia elctrica instantnea en el conductor es:

Pe = e i (1.24)Si se realiza un balance de potencia, considerando que las cantidades vectoriales son ortogonalesentre si, se obtiene el siguiente resultado:

Pm = Fm v = Fe v = i B v l = i E l = i e = Pe (1.25)La ecuacin 1.25 demuestra que la conversin de energa mecnica en energa elctrica ha sidocompleta. En el proceso no hay prdidas debido a que la potencia disipada en la resistencia delcircuito es externa a la mquina.

20

Figura 1.6 Conductor alimentado por una fuente de tensin V

Aadiendo una fuente de tensin al conductor anterior con el conductor inicialmente en reposo,tal como se ilustra en la figura 1.6, la fuente de tensin V hace circular una corriente i por elcircuito. Esta corriente produce, segn la ecuacin 1.22 una fuerza elctrica Fe. Si no actaninguna otra fuerza sobre el conductor, este comienza a moverse con aceleracin.

Cuando el conductor se mueve en un campo magntico, se origina a su vez un campo elctricoE. Como se puede apreciar en la figura 1.6, la fuente de tensin produce una corriente que seopone al campo elctrico E inducido por el movimiento. La corriente se puede calcular como:

i =V eR

(1.26)

De esta forma, en la medida que aumenta la fuerza electromotriz e inducida por el movimientodel conductor, disminuye la corriente en el circuito. Al decrecer la corriente, se reduce la fuerzaelctrica sobre el conductor. El proceso contina hasta que la fuerza elctricaFe se hace cero. Enesta condicin la tensin aplicada por la batera V es igual a la fuerza electromotriz e, inducidapor el movimiento del conductor en el campo magntico y la corriente i se anula.

La velocidad del conductor en que la fuerza elctrica es cero, debido al equilibrio entre la ten-sin aplicada y la fuerza electromotriz inducida por el movimiento, se define como velocidadsincrnica del conductor. En esta situacin:

e = V = l vs B (1.27)

donde vs es la velocidad sincrnica y se calcula de la expresin anterior como:

vs =V

l B (1.28)

Una vez que el conductor alcanza la velocidad sincrnica (V = e ; i = 0), si se aplica una fuerzaresistente al conductor, el sistema comienza a retardarse y la fuerza electromotriz inducida edisminuye, aumenta la corriente en el conductor debido a que la tensin V de la batera supera

21

a la fuerza electromotriz e. La aceleracin o retardo del sistema se puede calcular aplicandoconvenientemente la segunda ley de Newton:

a =dv

dt=

1

M

F =

Fe + FmM

(1.29)

donde: F es la sumatoria de fuerzas aplicadas.

Fe es la fuerza elctrica sobre el conductor.

Fm es la fuerza mecnica resistente.

M es la masa del conductor.

Cuando la fuerza mecnica Fm equilibra a la fuerza elctricaFe, la aceleracin es cero y en eseinstante se cumple que:

Fm = Fe = l B i = l B (V B l v0

R

)(1.30)

De la ecuacin 1.30 se obtiene la velocidad de operacin v0 en funcin de la fuerza mecnicaresistente:

v0 =V FmR

BlB l (1.31)

La velocidad v0 corresponde a la operacin de la mquina cuando las fuerzas elctricas y mec-nicas sobre el conductor estn en equilibrio. Si en este momento se elimina la fuerza resistenteFm, el conductor se acelera en la direccin de la fuerza elctrica Fe hasta alcanzar nuevamentela velocidad sincrnica.

La exposicin anterior permite resumir en seis ecuaciones los principios que rigen la conversinelectromecnica de energa:

E = v B (1.32)

f = iB (1.33)

e =

lo

E dl = E l = v B l (1.34)

F =

lo

f dl = f l = i B l (1.35)

i =V eR

(1.36)

22

dv

dt=

1

MFa =

Fe + FmM

(1.37)

En el sistema de ecuaciones representado por las expresiones 1.32 a 1.37 se destacan los siguien-tes puntos:

1. La ecuacin 1.34 calcula una variable elctrica (e) en funcin de una variable mecnica(v) y el campo (B).

2. La ecuacin 1.35 determina una variable mecnica (F ) en funcin de una variable elc-trica (i) y el campo (B).

3. Las ecuaciones 1.34 y 1.35 dependen del conductor y del campo en el cual est inmerso,por esta razn se denomina las del convertidor electromecnico.

4. Las ecuaciones 1.36 y 1.37 representan las relaciones entre el conductor - mquina elc-trica - y el resto del universo. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de ligazn,ecuaciones de borde, ecuaciones de contorno o ecuaciones de frontera.

1.3. Curvas caractersticas

Para representar la de la fuerza elctrica sobre el conductor en funcin de la velocidad, se puedeutilizar la ecuacin 1.30:

Fe = i B l =(V eR

)B l = V B l

R (B l)

2

Rv (1.38)

La ecuacin 1.38 representa a la fuerza elctrica Fe como una recta en funcin de la velocidad vdel conductor. Cuando el conductor se encuentra en reposo (v = 0), la fuerza elctrica es igualal trmino independiente en velocidad. Si la fuerza elctrica es cero, la velocidad correspondea la velocidad sincrnica de la mquina. Si se opone una fuerza constante de valor conocido,como se observa en la figura 1.7, se determina un punto de equilibrio v0 en la interseccin delas caractersticas elctrica y mecnica. En este caso v0 corresponde a la velocidad en la cual lafuerza elctrica Feequilibra a la fuerza mecnica Fm, y constituye un punto de equilibrio establedebido a que cualquier perturbacin en la velocidad mecnica del sistema tender a ser restituidaa las condiciones previas por las fuerzas actuantes sobre el conductor. Esta interseccin es unpunto de operacin de rgimen permanente para la mquina.

En la figura 1.7 se han marcado dos zonas (1) y (2). En la zona (1), si la mquina arrancaen contra de una fuerza mecnica resistente constante, se acelera hasta alcanzar el punto deoperacin permanente o punto de equilibrio v0 -interseccin de las caractersticas-. Esto ocurredebido a que esta zona de operacin, la fuerza elctrica Fe, siempre es superior a la fuerzamecnica Fm.

Si el sistema se encuentra originalmente en vaco, es decir, operando a velocidad sincrnica, sincarga mecnica y repentinamente se aade una fuerza mecnica resistente, la fuerza elctrica es

23

Figura 1.7 Curva caracterstica de la mquina

Figura 1.8 Fuerza mecnica variable con la velocidad

inferior a la mecnica y ocurre un proceso de retardo en la zona (2) de la figura 1.7. La velocidaddisminuye desde la sincrnica hasta la velocidad de operacin,v0 en el punto de equilibrio.

La fuerza mecnica Fm, depende en general, para un accionamiento fsico, de la velocidad delconductor. En la figura 1.8 se muestra la curva caracterstica de la mquina elctrica anterior,pero sometida a una fuerza mecnica dependiente de la velocidad.

En este caso, al igual que en el anterior, v0 es un punto de equilibrio estable ya que si se aumentaun diferencial la velocidad del conductor por encima de v0, se origina una fuerza retardadora quehace regresar el conductor a la anterior condicin de operacin. Por el contrario, si la velocidaddel conductor disminuye en un diferencial, se produce una fuerza acelerante que incrementa lavelocidad del conductor hasta alcanzar el punto de equilibrio en v0.

Al producirse un cambio en la tensin de la batera que alimenta al convertidor, la velocidadsincrnica de la mquina tambin vara, debido a que esta velocidad se determina cuando existe

24

Figura 1.9 Efecto de la variacin de la tensin de alimentacin

Figura 1.10 Efecto de la variacin del campo B del convertidor

equilibrio entre la tensin de la batera y la fuerza electromotriz inducida en el conductor. Esposible definir en la figura 1.8 una familia de curvas de acuerdo a como se vare la tensin dela fuente. Mediante la variacin de la tensin de la batera se puede controlar la velocidad deoperacin de la mquina.

Tambin se puede controlar la mquina elemental variando la densidad de flujo magntico B. Lavariacin del campo produce un cambio en la pendiente de la curva caracterstica de la mquina,ya que como se observa en la ecuacin 1.38, esta variacin altera la pendiente de la caractersticade forma cuadrtica y el punto de corte en el eje de la fuerza - v = 0 -, de forma lineal. En lafigura 1.10 se ilustra esta situacin y como es posible cambiar el punto de operacin de lamquina mediante variaciones del campo magntico B.

De los dos mtodos analizados para controlar el punto de operacin de la mquina, la varia-cin del campo magntico tiene un inconveniente. Cuando el campo se reduce demasiado, la

25

Figura 1.11 Modos de operacin del convertidor

velocidad sincrnica aumenta considerablemente y se puede producir un fenmeno denominadoembalamiento. El embalamiento es una aceleracin sbita debida a la prdida del campo en unamquina elctrica sin carga. Si la velocidad sube a niveles peligrosos, puede ocurrir deterioro dela mquina por fallas elctricas y mecnicas. En las mquinas elctricas rotativas este problemaes muy grave como se observa del siguiente ejemplo:

Una mquina de 3600 rpm con un radio de 50 cm gira a una velocidad angular de:

= 2pin

f= 377

rad

s

La aceleracin centrpeta que aparece sobre los conductores de la periferia delrotor de la mquina se calculan como:

ac = 2r = 71,061

m

s2

Esta aceleracin es aproximadamente 7252 veces superior a la de gravedad, porlo tanto sobre cada gramo de material en la periferia aparece una fuerza de 7kg tratando de mover el material conductor de sus ranuras. Como la aceleracinvara con el cuadrado de la velocidad angular, si se duplica la velocidad angular,la aceleracin aumenta cuatro veces.

1.4. Balance energtico

En el balance de potencias desarrollado en la ecuacin 1.25 se lleg a la conclusin de que todoel proceso es conservativo en base a que la potencia elctrica desarrollada por la mquina esigual a la potencia mecnica entregada por el sistema externo.

En general, todas las mquinas elctricas son reversibles y su funcionamiento depende del sen-tido en que se transmite la potencia. Si la energa fluye del sistema elctrico al mecnico, la

26

Motor

Pm

Pe

Pm

Pe

Generador

Pm

Pe

Freno prdidas

prdidas prdidas(1) (2) (3)

Figura 1.12 Balance de potencia en los diversos modos de operacin

mquina funciona como motor . Si el flujo de energa es del sistema mecnico al elctrico,el convertidor es un generador. Cuando el sistema elctrico y mecnico inyectan energa a lamquina, y esta energa se consume totalmente como prdidas en el interior de la misma, sedenomina freno a esta condicin. La mquina se puede alimentar indistintamente con energaelctrica o con energa mecnica. En la figura 1.11 se presenta un grfico de la caractersticafuerza-velocidad de la mquina analizada anteriormente, con los diferentes modos de operacinposibles para este convertidor. En la figura 1.12 se muestra un esquema donde se realiza el ba-lance energtico de la mquina en las tres condiciones de operacin posibles, motor, generadory freno.

En la zona (1), la velocidad del conductor es menor que la velocidad sincrnica, la fuerza elec-tromotriz inducida es menor que la tensin aplicada externamente y la corriente tiene signocontrario a la fuerza electromotriz. En estas condiciones el conductor se desplaza en el mismosentido de la fuerza elctrica, es decir, esta fuerza realiza trabajo positivo y por lo tanto se esttransformando energa elctrica en mecnica. La mquina est actuando como un motor. En estazona se satisfacen las siguientes condiciones:

e > 0

e < V

i > 0

En la zona (2), la velocidad del conductor es mayor que la velocidad sincrnica y la fuerzaelectromotriz es mayor que la tensin aplicada, por esta razn la corriente y la fuerza elctricainvierten su sentido. Para encontrar un punto de equilibrio la fuerza mecnica tambin debeinvertir su sentido original. La fuerza mecnica ahora est entregando energa y el sistema secomporta como un generador. Las condiciones que imperan en esta zona de trabajo son:

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e > 0

e > V

i < 0

En la zona (3), tanto la velocidad, como la fuerza electromotriz son negativas. La fuerza mecni-ca est aplicada en el mismo sentido de la velocidad -negativa en esta condicin-, por lo tanto elsistema mecnico entrega energa a la mquina. Simultneamente, la fuente de tensin entregapotencia elctrica a la carga. En esta condicin toda la potencia entregada por el sistema mecni-co y por el sistema elctrico se consume en la resistencia interna del conductor y se produce ungran calentamiento de la mquina. Esta condicin se conoce con el nombre de frenado elctricoy se caracteriza por las siguientes condiciones de operacin:

e < 0

e < V

i > 0

1.5. Sumario

1. La conversin de energa es necesaria para utilizar los diferentes recursos disponibles en lanaturaleza. El campo magntico permite acumular energa con una densidad mayor que ladel campo elctrico, esto ha favorecido el desarrollo de las mquinas elctricas basadas encampo magntico. El campo magntico acumula cantidades muy pequeas de energa alser comparado con las densidades obtenidas en otros procesos fsicos, esto hace necesariala conversin de energa para poder obtener electricidad a partir de estos procesos - tabla1.1 -.

2. Energa, fuerza y campo son conceptos fsico-matemticos de gran utilidad en los proce-sos que involucran conversin de energa.

3. La ley de Lorenz 1.1, las leyes de Maxwell 1.2 a 1.5 y las relaciones constitutivas de lamateria 1.6 a 1.8, constituyen un marco matemtico que permiten determinar el compor-tamiento de los convertidores electromecnicos de energa.

4. El convertidor electromecnico elemental est constituido por un conductor rectilneo mo-vindose ortogonalmente a una velocidad v en un campo magntico B, en estas condicio-nes aparece en cada punto del conductor un campo elctrico constante de valorE = vB.Cuando este conductor se conecta a un circuito elctrico externo, se obtiene una mquinaelctrica que es capaz de comportarse como motor, generador o freno.

5. El sistema formado por las ecuaciones internas y las relaciones con el exterior del conver-tidor, determinan completamente el comportamiento elctrico y mecnico del convertidorelectromecnico. Las ecuaciones internas definen la fuerza electromotriz e, y la fuerza

28

Figura 1.13 Conductor movindose en un campo uniforme

elctrica Fesobre el conductor. Las relaciones externas son la ecuacin de Kirchoff parael sistema elctrico y la segunda ley de Newton para el sistema mecnico.

6. La ecuacin caracterstica, permite obtener el punto de operacin. El punto de operacinest determinado por aquella velocidad donde se alcanza el equilibrio entre las fuerzasactuantes.

1.6. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Conductor movindose en un campo uniforme

En la figura 1.13 se muestra el diagrama esquemtico de un convertidor electromecnico deenerga constituido por una fuente de tensin V = 1,0V y un conductor de masa M = 0, 1 kg,que se mueve ortogonalmente a un campo magntico uniforme B = 1,0T . La resistencia de losconductores est distribuida y depende de la longitud del camino que conecta la fuente con elconductor mvil (R = 1 + 2x). Al movimiento del conductor se opone una fuerza mecnicaFm = 1,0N . En estas condiciones determine:

1. Las ecuaciones diferenciales completas que rigen el comportamiento del convertidor elec-tromecnico.

2. La trayectoria descrita por el conductor mvil s en el instante inicial t = 0, la posicin deeste elemento es x(0) = 1,0 m y parte de la condicin de reposo2.

3. La trayectoria del conductor utilizando mtodos analticos de solucin suponiendo queahora la resistencia es concentrada y de valor constante3 5.

Solucin:

1.- Es necesario determinar tanto las ecuaciones internas4, como las relaciones con el mundoexterno5. Las ecuaciones internas del convertidor son:

2debido a la no-linealidad existente en el modelo matemtico del convertidor utilice un programa para resolvernumricamente este problema

3Las condiciones iniciales coinciden con las indicadas en el punto (2) de este problema.4fuerza electromotriz y fuerza elctrica.5ecuacin de la malla y segunda ley de Newton.

29

e =

l0

E dl = v B l (1.39)

Fe =

l0

f dl = i B l (1.40)

Las ecuaciones que relacionan al convertidor electromecnico con el mundo externo son:

i =V eR

(1.41)

Fe Fm =Ma (1.42)

Sustituyendo las ecuaciones internas 1.39 y 1.40 en las relaciones con el mundo externo 1.41 y1.42 se obtiene:

i =V v B l

R(x)(1.43)

Fe Fm = i B l Fm =Ma (1.44)

Reemplazando el resultado de la expresin 1.43 en la ecuacin 1.44 se obtiene la ecuacindiferencial que determina el comportamiento dinmico del conductor mvil:

Ma =V v B l

R(x)B l Fm = V B l v (B l)

2

R(x)(1.45)

2.- La resistencia de los conductores est distribuida y depende de la posicin x, la ecuacindiferencial que define el comportamiento dinmico del conductor mvil es:

Mx V B l x (B l)2

1 + 2x+ Fm = 0 ;

{x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s

(1.46)

Para resolver el problema planteado en la ecuacin 1.46 es necesario utilizar un mtodo numri-co debido a la dependencia de la posicin en los coeficientes que acompaan a las derivadas deesta variable de estado. La ecuacin 1.46 se puede descomponer en un sistema de dos ecuacionesdiferenciales de primer orden:{

u = 1M

(V Blu(Bl)2

(1+2x) Fm

)x = u

;

{x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s

(1.47)

El sistema de ecuaciones planteado en 1.47 puede ser integrado numricamente. En el listado sereproduce un cdigo fuente MATLAB6 que permite realizar esta operacin. En la figura 1.14 se

6Un cdigo parecido puede ser adaptado para resolver el problema utilizando herramientas de licencia libre ycdigo abierto como pueden ser Octave y Scilab.

30

Algoritmo 1 Rutina para la solucin del problema utilizando el entorno MATLAB%****************************************************************************% Programa para el clculo de la trayectoria de un conductor% que se mueve en un campo magntico uniforme. Matlab%****************************************************************************

global m l B Fm V% Traspaso de variables a la funcin conductor% Definicin de los parmetros y variables de entrada

m=0.1; l=1.0; B=1.0; Fm=.1; V=1;% Condiciones iniciales de las variables de estado

y0=[0 1];% u(0)= 0 m/s x(0)=1.0 mTa=0:.001:10;% Definicin de tiempos y pasos de integracin

% Integracin de las variables de estado por un mtodo Runge-Kutta% con paso variable

[T,X]=ode23(conductor,Ta,y0);% Grfico de las variables de estado

[AX,H1,H2]=plotyy(T,X(:,1),T,X(:,2)) xlabel(tiempo (s),FontName,times)set(get(AX(1),Ylabel),String,velocidad u(t) (m/s),FontName,times)set(get(AX(2),Ylabel),String,posicion x(t) (m),FontName,times)set(H2,LineStyle,:)grid

%*****************************************************************************% Ecuaciones diferenciales del problema 1

function pX=conductor(t,X)global m l B Fm V% Traspaso de variables a la funcin conductor

% Conversin de las variables de estado a definiciones nemotcnicasu=X(1); x=X(2);

% Clculo de las derivadas de las variables de estadopu=((V*B*l-(B*l)^2*u)/(1+2*x)-Fm)/m;px=u;

% Asignacin de las variables de estado al vector de salida de la funcinpX=[pu;px];

%*****************************************************************************

observa el resultado de esta integracin, donde se ha representado la posicin de la pieza mvilen funcin del tiempo para los datos de este problema:

En el listado 2 se presenta un cdigo que resuelve el mismo problema en el entorno de cdigoabierto y libre distribucin Scilab 3.1.1, que est disponible7 para varios sistemas operativosentre los cuales se puede destacar Windows R, Linux, MacOS R y Unix R.El cdigo incluido en el listado 3 resuelve este ejemplo utilizando el programa Octave8, entornosimilar a Matlab, pero cuyo cdigo es abierto y de distribucin libre.

3.- Si la resistencia R no cambia con la posicin x, la ecuacin diferencial que determina elcomportamiento dinmico del convertidor es lineal:

Mx+(B l) 2

Rx V B l

R+ Fm = 0

{x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s

(1.48)

Sustituyendo los valores de los parmetros M y l, as como de las fuentes V , B y Fm en laexpresin 1.48, se obtiene:

7Las diferentes versiones y distribuciones pueden ser descargadas desde el enlace http://www.scilab.org8http://www.octave.org

31

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo (s)

vel

ocid

ad u

(t) (m

/s)

0 2 4 6 8 101

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

posic

ion

x(t) (

m)

u(t)u(t) x(t)

Figura 1.14 Velocidad y posicin del conductor - solucin numrica utilizando Matlab 7.0

Algoritmo 2 Rutina para la solucin del problema utilizando el entorno SCILAB// Ecuaciones diferenciales del problema 1 programado en el entorno Scilab//// Definicin de la funcin conductor

function pX=conductor(t,X)global m l B Fm V // Traspaso de variables a la funcin conductor

// Conversin de las variables de estado a definiciones nemotcnicasu=X(1); x=X(2);

// Clculo de las derivadas de las variables de estadopu=((V*B*l-(B*l)^2*u)/(1+2*x)-Fm)/m;px=u;

// Asignacin de las variables de estado al vector de salida de la funcinpX=[pu;px];endfunction

//********************************************************************// Programa para el clculo de la trayectoria de un conductor// que se mueve en un campo magntico uniforme. Scilab 3.1.1//********************************************************************

global m l B Fm V // Traspaso de variables a la funcin conductor// Definicin de los parmetros y variables de entrada

m=0.1; l=1.0; B=1.0; Fm=.1; V=1;// Condiciones iniciales de las variables de estado

y0=[0;1]; // u(0)= 0 m/s x(0)=1.0 mTa=0:.001:10; // Definicin de tiempos y pasos de integracin

// Integracin de las variables de estado por el mtodo Runge-KuttaX=ode(y0,0,Ta,conductor);

// Grfico de las variables de estadosubplot(121)plot2d(Ta,X(1,:),frameflag=6)xtitle(velocidad [m/s],t [s],u(t))xgrid(2)subplot(122)plot2d(Ta,X(2,:),frameflag=6)xtitle(posicion [m],t [s],x(t))xgrid(2)

//*********************************************************************

32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

velocidad [m/s]

t [s]

u(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.0

1.4

1.8

2.2

2.6

3.0

3.4

3.8

4.2

posicion [m]

t [s]

x(t)

Figura 1.15 Resultados del ejemplo obtenidos en el entorno Scilab-3.0

Algoritmo 3 Rutina para la solucin del problema utilizando el entorno OCTAVE# ***********************************************************************# Programa para el clculo de la trayectoria de un conductor# que se mueve en un campo magntico uniforme. Octave# ***********************************************************************

global m l B Fm V # Traspaso de variables a la funcin conductor# Definicin de los parmetros y variables de entrada

m=0.1; l=1.0; B=1.0; Fm=.1; V=1;# Condiciones iniciales de las variables de estado

y0=[0;1]; # u(0)= 0 m/s x(0)=1.0 mTa=linspace(0,10,200); # Definicin de tiempos y pasos de integracin

# Integracin de las variables de estado por el mtodo Runge-KuttaX=lsode(conductor,y0,Ta);

# Grficos de la velocidad y posicingset nokeygset term postscript colorplot(Ta,X(:,1))grid(); xlabel(tiempo [s]);ylabel(velocidad [m/s])gset output "ej_1_1a_octave.ps"replotplot(Ta,X(:,2))xlabel(tiempo [s]);ylabel(posicion [m/s])gset output "ej_1_1b_octave.ps"replot

# ***********************************************************************function pX=conductor(X,t)global m l B Fm V # Traspaso de variables a la funcin conductor

# Conversin de las variables de estado a definiciones nemotcnicasu=X(1); x=X(2);

# Clculo de las derivadas de las variables de estadopu=((V*B*l-(B*l)^2*u)/(1+2*x)-Fm)/m;px=u;

# Asignacin de las variables de estado al vector de salida de la funcinpX=[pu;px];endfunction

33

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 2 4 6 8 10

v el o

c id a

d [ m

/ s ]

tiempo [s]

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

p os i c

i on

[ m/ s ]

tiempo [s]

Figura 1.16 Resultados del ejemplo utilizando el entorno Octave 2.1.50

x+ 2x = 1 ;

{x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s

(1.49)

La expresin 1.49 se puede resolver ms fcilmente si se sustituye la definicin de la velocidadu:

u+ 2u = 1 ; u(0) = 0,0m

s(1.50)

Aplicando la transformada de Laplace, se obtiene el siguiente resultado:

sU(s) + 2U(s) =1

s(1.51)

U(s) =1

s(s+ 2)=

1

2

(1

s 1s+ 2

)(1.52)

Antitransformando la expresin 1.52 se obtiene la velocidad u(t):

u(t) =1

2

(1 e2t) m

s(1.53)

La posicin se obtiene integrando la solucin 1.53:

x(t) = x(0) +

t0

u()d = 1 +1

2

(t+

1

2e2t 1

2

)(1.54)

En la figura se puede observar esta solucin obtenida numricamente con el programa anterior.

34

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

tiempo (s)

vel

ocid

ad u

(t) (m

/s)

0 2 4 6 8 100

5

10

posic

ion

x(t) (

m)

u(t)

x(t)

Figura 1.17 Velocidad y posicin del conductor en funcin del tiempo - solucin analtica

Ejemplo 2: Rueda de Farady

En la figura 1.18 se muestra el diagrama esquemtico de un convertidor electromecnico deenerga constituido por una rueda metlica cuyos radios conductores unen el eje con la periferia.En cada momento uno de los conductores del dispositivo se encuentra en presencia de un campomagntico uniforme B = 1T . Entre los extremos del conductor activo se aplica una fuente detensin V = 1V . La resistencia equivalente entre el eje y el punto de contacto perifrico es de0, 1. La longitud de cada uno de los radios es de 1,0 m. La mquina mueve un ventilador cuyopar mecnico es proporcional al cuadrado de la velocidad angular Tm = k2m. Si el convertidorgira a la velocidad sincrnica del sistema, se obtiene un par mecnico de 0, 1Nm. Se puedeconsiderar que el nmero de radios de la rueda es prcticamente infinito, de tal forma que siem-pre existe un radio bajo el campo magntico uniforme. La masa de la rueda se puede considerardistribuida y tiene por valor 0, 2 kg. Con estos parmetros determine:

1. Las ecuaciones diferenciales completas que rigen el comportamiento del convertidor elec-tromecnico.

2. El punto de operacin (m, i) cuando se acopla el ventilador al eje de la rueda.

3. Determine la velocidad angular y la corriente en funcin del tiempo, si el dispositivo partedel reposo en el instante inicial, en vaco y cargado con el ventilador.

Solucin:

1.- Al igual que en el ejemplo anterior, en este caso tambin es necesario determinar las ecuacio-nes internas y las relaciones con el mundo externo. Como el movimiento de los conductores es

35

Figura 1.18 Diagrama esquemtico de la rueda de Faraday

Figura 1.19 Diagrama esquemtico del conductor activo

circular, el anlisis dinmico se realiza sobre el balance de par sobre el eje mecnico del dispo-sitivo. Para comprender el problema es necesario analizar en detalle el diagrama del conductoractivo en un determinado instante de tiempo. En la figura 1.19 se han representado esquemti-camente las consideraciones fundamentales.

En la figura 1.19 se puede observar que a la distancia r del eje de giro, el mdulo de la velocidadde giro es u = mr, y el vector sale del plano del papel. Con esa velocidad y el campo B seobtiene en ese mismo punto el campo elctrico E. La circulacin de la corriente i(t) por todo elconductor produce en cada punto del mismo un diferencial de fuerza elctrica dFe = iBdr, yun diferencial de par elctrico d e = rdFe. Con las consideraciones anteriores, las ecuacionesinternas del convertidor son:

e =

l0

E dr = l0

uB dr = l0

mrBdr =1

2mBr

2

]l0

=1

2mBl

2 (1.55)

Te =

l0

de =

l0

r dFe = l0

r iB dr = 12iBr2

]l0

=1

2iBl2 (1.56)

Las ecuaciones externas del convertidor son:

36

V = Ri+ e (1.57)

Te Tm = Jm (1.58)

La inercia de una masa distribuida en una rueda es 12Mr2. Sustituyendo los resultados de las

expresiones 1.55 a 1.57 en la ecuacin diferencial 1.58 se obtiene la ecuacin diferencial quedetermina el comportamiento dinmico del convertidor analizado:

Jm =1

2

(V 1

2mBl

2

R

)Bl2 k2m (1.59)

Reagrupando los trminos en velocidad angular de la ecuacin diferencial 1.59 se obtiene:

Jm +1

4

B2l4

Rm + k

2m =

1

2

V Bl2

R(1.60)

Para determinar el valor del coeficiente k del ventilador es necesario calcular la expresin dela velocidad sincrnica en funcin de los parmetros y variables conocidas, porque un dato delproblema es que a la velocidad sincrnica del sistema, el ventilador requiere 0,1 Nm de parmecnico. Para determinar la velocidad sincrnica es necesario eliminar de la expresin 1.60la contribucin del par mecnico9 y considerar el punto de equilibrio en rgimen permanentepm = 0, as se obtendra lo siguiente:

ms =2V

Bl2= 2,0

rad

s(1.61)

Como se conoce que a esta velocidad el ventilador requiere de par mecnico se puede determinarel coeficiente k de la bomba:

k =Tm2m

=0, 1Nm

(2,0 ms)2

= 0, 025Nm.s2

rad2(1.62)

En valores numricos la ecuacin diferencial 1.60 quedara de la forma siguiente:

m + 25m + 2, 52m = 50 (1.63)

Para poder resolver la ecuacin diferencial 1.63 y obtener el comportamiento dinmico del con-vertidor es necesario incluir la condicin inicial del problema m(0) = m0.

2.- El punto de operacin se determina directamente de la solucin de rgimen permanente dela ecuacin diferencial 1.63, de esta forma:

2, 52m + 25m 50 = 0 m ={

1, 70811, 708

rad

s

9condicin de vaco k2m = 0.

37

La solucin negativa no se considera en este caso, debido a que el ventilador se utiliza paraimpulsar aire y para esto debe girar en sentido positivo. Cuando la velocidad angular de lamquina es conocida se puede determinar la corriente de operacin:

i =V eR

=V 1

2mB l2R

=1, 0 1

21, 708 1 120, 1

= 1, 459A

3.- Si el convertidor se encuentra en vaco, la ecuacin diferencial que determina el compor-tamiento del sistema es lineal. En la parte (1) de este problema fue determinada la velocidadangular sincrnica ms = 2,0 rads , que corresponde en este caso de excitacin constante a unasolucin particular de la ecuacin diferencial. Es necesario superponer la solucin homogneay determinar a partir de las condiciones iniciales, el coeficiente indeterminado correspondiente.De esta forma, la solucin homognea sera:

m + 25m = 0 mh = Ae25t

La solucin general sera:

m(t) = mh(t) + mp(t) = Ae25t + 2, 0

rad

s

Recordando que el sistema parte del reposo, se obtendra la siguiente solucin en la condicinde vaco:

m(t) = 2, 0 (1 e25t) rads

Cuando el ventilador est acoplado al convertidor, la solucin analtica es posible, sin embargola solucin numrica puede ser til en este caso. Un algoritmo semejante al utilizado en elEjemplo No. 1 puede ser adaptado para resolver este nuevo problema. La funcin que calculalas derivadas debera ser programada con la siguiente ecuacin:

m = 50 25m 2, 52mEn la figura 1.20 se han representado las dos soluciones de este problema, en vaco y en carga.

1.7. Ejercicios propuestos

1. Repetir el ejemplo No. 1 con las siguientes variantes:

a) Considerando que la fuerza mecnica es constante de valor 0, 1N .

b) Cambiando la tensin de la fuente V ={1, 0, 1

2, 2}V

c) Asumiendo la densidad de campo magntico B ={14, 12, 34, 54

}T

38

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

0.5

1

1.5

2

tiempo (s)

vel

ocid

ad a

ngul

ar w

(t) c

arga (

rad/s)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

0.5

1

1.5

2

vel

ocid

ad a

ngul

ar w

(t) v

aco

(rad/s

)

carga

vaco

Figura 1.20 Grfico de la respuesta dinmica del convertidor en las dos condiciones de opera-cin, vaco y cargado con el ventilador.

Figura 1.21 Diagrama esquemtico del Ejercicio No. 3

2. Repetir el ejemplo No. 1 suponiendo que la fuente de voltaje es variable en el tiempov(t) =

2V sent, donde: =

{110, 12, 1}

rads

.

3. Repetir el Ejemplo 1 suponiendo que el conductor se desplaza inclinado en los ngulos tal como se ilustra en la figura 1.21. La resistencia del elemento mvil es proporcional asu longitud medida entre los puntos de contacto con los conductores riel.

4. Repetir el Ejemplo No. 2 con las siguientes variantes:

a) Considerando que la carga mecnica es constante de valor 0, 1Nm.

b) Cambiando la tensin de la fuente V ={1, 0, 1

2, 2}

.

39

c) Asumiendo la densidad de campo magntico B ={14, 12, 34, 54

}T .

5. Repetir el Ejemplo No. 2 suponiendo que la fuente de voltaje es variable en el tiempov(t) =

2V sent, donde: =

{110, 12, 1}

rads

.

6. Repetir el Ejemplo No. 2 suponiendo que el campo magntico aumenta linealmente des-de el centro de la rueda hacia la periferia, siendo 0, 5T en el eje y 1, 0T en el otro extremo.

7. Un conductor semicircular de radio 0, 5m rota en un campo magntico que vara sinu-soidalmente en el tiempo a una frecuencia de 100Hz. El conductor tiene una resistenciade 2 y est alimentado por una fuente de corriente alterna de 10V y de la misma fre-cuencia. Si se desprecia la inductancia del conductor, y se considera operacin en rgimenpermanente del convertidor, determine:

a) El par elctrico del convertidor en funcin de su velocidad angular.

b) La velocidad de operacin cuando se acciona una carga mecnica al 75 % del parmximo como motor.

c) La tensin inducida sobre el conductor a una velocidad de 628 rads

.

d) La corriente necesaria en el arranque, en funcin de la posicin inicial del conductor.

8. Un conductor rectilneo de longitud l se mueve perpendicularmente a un campo mag-ntico uniforme de magnitud B. El conductor posee una resistencia R y est excitadomediante una fuente de tensin continua V , que se utiliza para acelerar la mquina has-ta la velocidad de operacin. Esta velocidad se establece cuando el conductor vence unafuerza mecnica uniforme y constante que se opone al movimiento del conductor. En estascondiciones determine:

a) La ecuacin mecnica caracterstica y la velocidad de operacin de la mquina.

b) Las ecuaciones diferenciales completas del convertidor electromecnico.

c) La mxima velocidad que puede adquirir el convertidor cuando se debilita el campoB.

d) Las condiciones que se deben establecer sobre las funciones forzantes para obtenerla operacin del convertidor en la condicin de freno, si originalmente la mquina seencuentra a velocidad constante como motor.

40

Bibliografa

[1] I. Asimov, "Understanding Physics: Light, Magnetic and Electricity," George Allen & Un-win, Vol. 2, 1966.

[2] D. Halliday & R. Resnick, "Fsica," Parte I y II. John Wiley & Sons, 1974.

[3] W. H. Hayt, Jr., "Teora Electromagntica," McGraw-Hill, quinta edicin, segunda edicinen espaol, 1991.

[4] C. T. A. Johnk, "Engineering Electromagnetic Fields & Waves," Wiley International Edition,1975.

[5] J. C. Maxwell, "A Treatise on Electricity and Magnetism," Dover Publications, UnabrigedThird Edition, Volume one and two, 1954.

[6] "Encyclopedia Britannica," William Benton Publisher, Vol. 9, pp. 802-806, 1964.

41

42

CAPTULO 2

Fundamentos de Conversin

En el captulo anterior se analiz el comportamiento dinmico de un convertidor electrome-cnico elemental. El planteamiento de estas ecuaciones fue una tarea realizable con nocionesbsicas de clculo numrico aplicado a unas condiciones geomtricas simples. Las ecuacionesde Maxwell en su forma diferencial y la relacin de Lorenz se aplican infinitesimalmente y es-tn sujetas a condiciones de contorno que no siempre pueden ser integradas directamente, almenos mediante herramientas analticas. Los convertidores electromagnticos prcticos estnconstituidos por muchos conductores y materiales inmersos en campos elctricos y magnti-cos que pueden ser muy difciles de modelar mediante la aplicacin directa de las leyes fsicasfundamentales.

Un vendedor en una ferretera no est obligado a registrar la ganancia unitaria de cada torni-llo que vende, ni a calcular las ganancias totales de un determinado mes sumando cada una deestas ganancias parciales. Desde hace muchos siglos los comerciantes confian en los principiosde contabilidad general para conocer la utilidad obtenida en la actividad econmica que reali-zan. Un mtodo similar a los balances contables permite determinar el comportamiento de losconvertidores electromecnicos, el balance de energa1.

Este captulo presenta las herramientas fundamentales para el anlisis prctico de los converti-dores electromecnicos de energa. Balances de energa, balances de coenerga y el principio delos trabajos virtuales permiten la determinacin de las fuerzas elctricas involucradas en la con-versin electromecnica de energa. El mtodo desarrollado en este captulo permite generalizaruna tcnica que puede ser aplicadada al anlisis de cualquier convertidor electromecnico.

1Tal vez no sea una casualidad que Lavoasier, quien descubriera en el siglo XVIII el principio de conservacin dela masa y figura fundamental en el desarrollo terico de la Qumica, fuese contador de profesin. Ya en el sigloXX Einstein ampli el mbito de este principio al incluir la energa en el balance.

43

Figura 2.1 Mquina elctrica y algunos de sus posibles ejes

2.1. Energa y coenerga en el campo

Un convertidor electromecnico de energa es una mquina elctrica. En general una mquinaelctrica posee varios ejes o puertos por los cuales fluye la energa. Estos ejes pueden ser de dostipos: elctricos o mecnicos. Esquemticamente se representan en la figura 2.1.

En los ejes elctricos de la mquina, las interacciones se analizan conociendo las corrientesy tensiones. En los ejes mecnicos las variables que determinan la condicin de operacin dela mquina son las velocidades y fuerzas, si el movimiento es lineal, o el par2 y la velocidadangular, si el movimiento es rotativo.

La mquina elctrica ms simple requerira al menos un eje elctrico y un eje mecnico. Elesquema bsico de esta mquina se ilustra en la figura 2.2. En esta figura, We es el incrementode energa elctrica que entra en el convertidor por el eje elctrico, Wm es el incrementode energa mecnica que sale por el eje mecnico y Wc es el incremento de energa que sealmacena en los campos elctrico y magntico de la mquina.

En las mquinas elctricas, no toda la energa introducida en los ejes elctricos se entrega enlos ejes mecnicos o viceversa. Es necesario que parte de la energa elctrica se almacene en loscampos electromagnticos del convertidor. En un balance de la energa en la mquina elctricaes necesario tener en cuenta la parte de la energa que fluye hacia y desde los campos elctricosy magnticos. En la figura 2.2 esta energa se representa por Wc.

En el siguiente ejemplo se compara la capacidad de acumular energa que tienen los camposelctrico y magntico respectivamente:

Como se estudia en Teora Electromagntica, la energa acumulada en el campoelctrico viene dada por la expresin:

Wcelct =1

2D E = 1

2

D2

=

1

2E2

2En algunos textos se utiliza la palabra torque, pero esta expresin no pertenece actualmente al idioma Castellano.

44

Figura 2.2 Mquina elctrica con un eje elctrico y un eje mecnico

pero la resistencia dielctrica del aire es aproximadamente 3106 Vm

, y consideran-do que la permitividad del aire es igual a la del vaco, es decir = 8, 85 1012 F

m,

la mxima densidad de energa del campo elctrico en el aire a presin atmosfrica,sin que se produzca arco disrruptivo es:

Wcelct = 39, 82J

m2

La energa almacenada en el campo magntico es:

Wcmag. =1

2B H = 1

2

B2

La permitividad del aire es 0 = 4pi107, y considerando una densidad de flujo de1, 0 Wb

m2, que es un valor frecuentemente encontrado en dispositivos de conversin,

se obtiene una energa de:

Wcmag. = 3, 98 105J

m3

Como se puede observar, los dispositivos magnticos que utilizan densidades deflujo B conservadoras, pueden contener 104 veces la densidad de energa mximadisponible en el campo elctrico de una mquina electrosttica. Por esta razn lasmquinas que utilizan el campo magntico en la conversin de la energa elctricason mucho ms pequeas que una mquina equivalente que utilice campo elctrico.

45

Del principio de conservacin de la energa se determina:

We = Wc +Wm (2.1)

La energa acumulada en el campo no puede ser medida, pero es posible calcularla por la dife-rencia entre la energa elctrica y la mecnica:

Wc = We Wm (2.2)

La energa elctrica se determina a partir de la integral de la potencia elctrica en el tiempo.Esta energa puede ser calculada directamente en el eje elctrico de la mquina a partir de lasmedidas de tensin y corriente instantnea:

We =

t0

Pe()d =

t0

v() i()d (2.3)

Transformando las variables de la expresin anterior se puede reescribir esta ecuacin en unaforma ms conveniente. Considerando que el sistema es conservativo, es decir, no existen pr-didas en elementos resistivos, la tensin v(t) aplicada a la mquina y la fuerza electromotrizinducida son iguales, y por lo tanto:

v(t) = e(t) =d

dt(2.4)

En este caso, a partir de 2.3 y 2.4 se determina que:

We =

t0

v() i()d = t0

d

dt i()d =

(t)(0)

i(x, )d (2.5)

La ecuacin 2.5 indica que para obtener la energa elctrica que fluye por la mquina es necesarioconocer solamente la dependencia de la corriente i(x, ) con respecto al flujo y a la posicinx del convertidor.

Para determinar la variacin de la energa mecnica es necesario conocer la velocidad y la fuerzaen funcin del tiempo:

Wm =

t0

Pm()d =

t0

F () x()d (2.6)

Realizando cambio de variables sobre la ecuacin 2.6, se obtiene:

Wm =

t0

F () dxd

d =

x(t)x(0)

F (x, )dx (2.7)

Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electroimn que seilustra en la figura 2.3. En esta figura se ha representado un grfico de la relacin existente entrelos enlaces de flujo y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posicin relativa

46

Figura 2.3 Diagrama i de un electroimn elemental

del yugo del electroimn. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuye lareluctancia y se incrementan los enlaces de flujo .

En el grfico i, la regin sombreada representa la integral de la corriente i() con respecto a para una posicin x fija. Como se ha determinado en la ecuacin 2.5, esta regin representa lavariacin de la energa elctrica en un circuito magntico que se energiza manteniendo constantela posicin del yugo (x).

En un sistema conservativo, la energa es una funcin de estado. Esto quiere decir que en estossistemas el incremento de energa acumulada no depende de la trayectoria utilizada para alcan-zar un determinado estado, sino del valor de las variables en los estados iniciales y finales delproceso.

Para determinar la energa acumulada en el campo, es necesario calcular la diferencia entrelas energas elctrica y mecnica del sistema despus del proceso. Si el sistema mecnico estdetenido, no existe variacin en la energa mecnica del convertidor y por lo tanto toda la energaelctrica que entra en la mquina se convierte en energa acumulada en el campo, entonces:

We =

(t)(0)

i(x, )d = Wc, si x = cte (2.8)

La ecuacin 2.8 se puede integrar por partes y se obtiene:

Wc = i(x, ) |(t)(0) i(t)i(0)

(x, i)di (2.9)

En la ecuacin 2.9, el trmino integral de define como coenerga en el campo y se expresa comoW

c . En la figura 2.4 se observa que la coenerga es el rea bajo la caracterstica i.

En la figura 2.4 se observa que un sistema electromecnico donde la posicin x es constantecumple la siguiente relacin:

i = Wc +W c (2.10)

47

Figura 2.4 Energa y coenerga en el campo

Figura 2.5 Convertidor electromecnico lineal

De las definiciones anteriores de energa y coenerga en el campo magntico se destacan lassiguientes observaciones:

1. Para la energa, el enlace de flujo es la variable independiente, y la corriente i es lavariable dependiente.

2. Para la coenerga, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo es lavariable dependiente.

Si el sistema fsico es lineal, es decir, si la relacin entre los enlaces de flujo y la corriente idel convertidor electromecnico es proporcional, la energa y la coenerga son iguales, esto sepuede observar en la figura 2.5.

48

Figura 2.6 Electroimn en un sistema mecnico

En la figura 2.6, se ilustra un electroimn cuyo yugo est conectado a un sistema mecnicoconstituido por un resorte unido slidamente en un extremo al propio yugo y en el otro extremoa un sistema en reposo. Los valores de la posicin del yugo y de los enlaces al inicio del proceso,en el instante de tiempo t son:

x(0) = x0 x(t) = xf(0) = 0 (t) = f

Para calcular el incremento de energa acumulada en el campo hasta el instante de tiempo t esnecesario considerar que en el proceso real vara la potencia elctrica y la potencia mecnica.Es posible realizar un experimento terico para determinar la energa acumulada en el campo.Dicho experimento comprende dos fases:

1. Desplazamiento de la pieza mvil desde x(0) a x(t) con el circuito elctrico desenergi-zado, es decir, con i(0) = 0. En estas condiciones la fuerza elctrica Fe es cero y no esnecesario consumir energa mecnica para desplazar el yugo a la posicin final x(t).

2. Se fija la posicin final de la pieza mvil y se incrementan los enlaces de flujo desde elvalor 0 hasta f .

En las condiciones del experimento terico anterior, para determinar la variacin de la energa enel campo de la mquina es suficiente evaluar la integral de la corriente con respecto a los enlacesde flujo cuando la pieza mvil est en su posicin final xf . La trayectoria real depende de lamquina y de las condiciones de frontera o ligazn, pero en cualquier caso es posible evaluarla energa almacenada en el campo. En la figura 2.7 se presenta grficamente el experimentoterico realizado para la determinacin de la energa en el campo. De esta forma, la evaluacinse reduce a determinar el rea sombreada en la figura.

Mediante el convertidor electromecnico ilustrado en la figura 2.6, se puede realizar un anlisisms complejo de los procesos involucrados. Considerando que inicialmente el yugo se encuentrafijo en la posicin x, al cerrar el interruptor, la corriente aumenta exponencialmente cuando elsistema tiene un comportamiento lineal :

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Figura 2.7 Determinacin de la energa en el campo

= L i (2.11)La ecuacin de mallas correspondiente a la red elctrica es:

v = R i+ e = R i+ ddt

(2.12)

Sustituyendo la expresin 2.11 en la ecuacin 2.12 se obtiene la ecuacin diferencial que rige elcomportamiento de la corriente elctrica en el circuito:

v = R i+ L didt

(2.13)

La solucin en el tiempo de la ecuacin diferencial 3.14 es una corriente exponencial cuyo valoren rgimen permanente es:

if =v

R(2.14)

El conocimiento de la trayectoria de la corriente en funcin del tiempo no es necesaria por lasconsideraciones realizadas previamente relativas a las funciones de estado.

Una vez que la corriente i aumenta hasta su valor final if , con la posicin x1 fija, se permiteel movimiento de la pieza hasta una segunda posicin x2. Despus que finalizan los procesostransitorios, el sistema alcanza el rgimen permanente en la segunda posicin con una corrientei igual a la primera, debido a que en rgimen permanente no varan los enlaces de flujo. En lafigura 2.8 se muestra la trayectoria seguida por la corriente.

En al figura 2.8 se han marcado dos trayectorias tentativas de la corriente cuando la pieza mvilpasa de la posicin x1 a la x2. Para determinar la trayectoria correcta - (A) (B) -, se deberecordar que:

i =V eR

(2.15)

El paso de x1 a x2 requiere del incremento de los enlaces de flujo y por lo tanto la derivada

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Figura 2.8 Trayectoria de la corriente en una energizacin con desplazamiento

de estos enlaces (e), es positiva durante el proceso transitorio, por esta razn inicialmente lacorriente i disminuye y la trayectoria se ajusta al caso (A). Cuando la pieza alcanza la posicinfinal, el enlace en rgimen permanente no vara y la corriente regresa a su valor inicial.

El proceso seguido por el convertidor ilustrado en la 2.8 es el siguiente:

Originalmente el sistema est desenergizado, la pieza mvil se encuentra en la posi-cin inicial x1 y al cerrar el interruptor que alimenta el magneto, aumenta la corrien-te hasta el valor if . En ese momento se permite la reduccin de la posicin del yugohasta x2 por efecto de la fuerza electromagntica y finalmente se abre el interruptordel circuito elctrico para desenergizar el sistema. El rea sombreada en la figura2.8 representa la energa elctrica que el convertidor cede al sistema mecnico.

Otra posibilidad es que el dispositivo mvil se encuentre inicialmente en la posi-cin x2, se energice el circuito, se desplace la pieza mvil hasta la posicin x1 yfinalmente se desenergice el circuito. En este caso, la trayectoria se representa en lafigura 2.9. Al desplazar la pieza mvil desde la posicin inicial a la posicin final,es necesario reducir los enlaces de flujo y por esta razn se induce en el circuitoelctrico una fuerza electromotriz negativa que aumenta transitoriamente la corrien-te, para regresar nuevamente al valor primitivo if, cuando cesa la variacin de losenlaces de flujo.

Ahora bien, si en la primera condicin analizada, se desea desplazar el yugo desde la posicin x2a x1, manteniendo constante la corriente, es necesario mover la pieza muy lentamente, para quevaren los enlaces de flujo, pero su derivada sea prcticamente cero. A medida que el dispositivose cierra con mayor velocidad, las trayectorias se muestran en la figura 2.10.

La trayectoria D corresponde a un yugo que se cierra a velocidad infinita, es decir la pieza pasade la posicin x1 a la x2 en un tiempo cero. En esta situacin lmite, ni el flujo ni el tiempohan variado al pasar de la posicin x1 a x2 y por lo tanto la derivada del enlace de flujo conrespecto al tiempo tiene un valor finito que permite que la corriente en el circuito elctrico vareinstantneamente desde i0 a ix, como se observa en la figura 2.10.

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Figura 2.9 Movimiento de apertura del yugo

Figura 2.10 Desplazamiento del yugo a diferentes velocidades

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Figura 2.11 Apertura del yugo a velocidad cero e infinita

Si la pieza mvil sigue la segunda trayectoria, es decir, se mueve de la posicin x2 a x1 y todoesto a velocidad prcticamente cero, el recorrido se efecta a corriente constante. En la figura2.11 se puede observar el proceso cuando el yugo se desplaza a una velocidad tericamenteinfinita.

Si la velocidad de la pieza es teoricamente infinita, la corriente crece considerablemente debidoa que la fuerza electromotriz es negativa y se superpone a la tensin aplicada por la fuente.Cuando la saturacin del circuito magntico es muy intensa, los picos de corriente que aparecenen la operacin del electroimn pueden ser de gran magnitud.

2.2. Balance energtico

Mediante el diagrama de la figura 2.12 se puede realizar un balance energtico del procesodescrito en la seccin anterior.

La operacin del electroimn se divide en tres trayectorias:

1. Trayecto O A: Desde que se cierra el interruptor, energizando el circuito elctrico conel yugo en la posicin x1.

2. Trayecto AB: Cuando se permite el movimiento mecnico de la pieza hasta alcanzar laposicin x2.

3. Trayecto B O: Representa la apertura del interruptor para desenergizar el sistema.

A partir de la ecuacin 2.5 se puede calcular el incremento de energa elctrica por tramos de lasiguiente forma:

WeOA =

10

i(x1, )d = OAD (2.16)

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Figura 2.12 Balance energtico del electroimn

WeAB =

21

i(x, )d = DABC (2.17)

WeBO =

22

i(x2, )d = BCO (2.18)

La energa acumulada en el campo viene determinada por:

WcOA = OAD (2.19)

La ecuacin 2.19 determina la energa acumulada en el campo, debido a que en este proceso laposicin se mantiene constante y la variacin de energa mecnica Wm es nula. Toda la energaelctrica se almacena en el campo del convertidor. De las otras trayectorias se deduce que:

WcAB = WcB WcA = OBC OAD (2.20)

WcBO = BCO = WeBO (2.21)

El clculo del incremento de energa mecnica, se obtiene de las diferencias entre los incre-mentos de energa elctrica y energa acumulada en el campo del convertidor durante todo eltrayecto:

Wm = We Wc (2.22)

donde:We = WeOA +WeAB +WeBO = OAD +DABC BCO (2.23)

Wc = WcOA +WcAB +WcBO = OAD +OBC OAD BCO (2.24)De las ecuaciones 2.22, 2.23 y 2.24 se obtiene:

Wm = (OAD +DABC BCO) (OAD +OBC OAD BCO) == DABC +OAD OBC == OABO (2.25)

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Figura 2.13 Trabajo mecnico negativo

La expresin anterior indica que el incremento en la energa mecnica en el proceso es igual alrea encerrada en la trayectoria OABO, que es precisamente la regin sombreada en el esquemade la figura 2.12. En este caso, la energa mecnica realiza un trabajo positivo porque la fuerzasobre el yugo y el desplazamiento tienen la misma direccin. Si inicialmente el convertidor tieneel yugo muy cerca del electroimn y se alejan estas dos piezas, el trabajo mecnico realizadoes negativo, ya que en este caso la fuerza sobre la pieza mvil tiene direccin opuesta a sudesplazamiento. En la figura 2.13 se muestra esta condicin. El rea sombreada corresponde alincremento de la energa mecnica, y el sentido del recorrido, dete