I.2 Convertidor electromecánico elemental

Figura 1.4 Convertidor electromagnético elemental

espacio utilizando las ecuaciones de Maxwell 1.2 a 1.5. Conocidos los campos se pueden evaluarlas fuerzas sobre cualquier partícula eléctrica cargada o sobre cualquier dipolo magnético. Deesta forma queda resuelto el problema de la conversión electromecánica de la energía.

I.2 CONVERTIDOR ELECTROMECÁNICO ELEMENTAL

En general las máquinas eléctricas tienen por finalidad transformar la energía mecánica en ener-gía eléctrica y viceversa. Cuando la conversión es de energía mecánica en energía eléctrica sedice que la máquina está funcionando comogeneradory en el caso contrario opera comomotor.Tal vez la máquina eléctrica más simple es la que se representa en la figura 1.4. Este dispositi-vo es unconvertidor electromagnético elementaly está constituido solamente por un conductorrectilíneo, moviéndose ortogonalmente a un campo magnético uniforme.

En la figura 1.4, el conductor longitudinal se mueve en el interior de un campo magnéticoB:

E es el vector intensidad de campo eléctricoe es la fuerza electromotrizB es el vector densidad de campo magnéticov es el vector velocidad del conductor lineal

Las variables anteriores se relacionan a partir de la ecuación 1.13, considerando que no existecampo eléctrico externo:

E = v×B (1.19)

Si en la ecuación 1.19, se supone que el campo magnéticoB es uniforme en todos los puntos delconductor y la velocidadv es constante, la fuerza electromotrizede todo el conductor es:

e=

∫ l

0E ·dl (1.20)

Si al conductor anterior se le conecta una resistencia entre sus extremos, circularán cargas porel conductor y se producirá una corriente de valor:

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Figura 1.5 Corriente circulando por un conductor

i =eR

(1.21)

En el conductor de la figura 1.5 se produce una fuerzaFe, que se opone al movimiento. Estafuerza puede calcularse a partir de larelación de Lorenz1.1, expresada como función de lacorrientei por el conductor:

Fe = l · i ×B (1.22)

La fuerza calculada en la expresión anterior muestra que el sistema se opone a la extracciónde energía. Para obtener la energía, es necesario forzar el movimiento del conductor. Si noactúa ninguna otra fuerza que mantenga el movimiento, y si la velocidad es diferente de cero,el sistema tendrá un movimiento retardado de aceleración negativa. El conductor convertirá laenergía que estaba inicialmente almacenada en su masa, en pérdidas en la resistencia R delcircuito externo. En estas condiciones, la velocidad decae exponencialmente a cero.

Para mantener una velocidad constante en el conductor de la figura 1.5, es necesario aplicar unafuerza externa al conductor que se oponga aFe. Esta fuerza es de origen mecánico y se denominaFm. En la figura 1.5 se observa elequilibrio de fuerzasnecesario para mantener constante lavelocidadv del conductor.

El sistema mecánico entrega potencia al sistema eléctrico para mantener la velocidadv, la po-tencia mecánica instantánea entregada por el sistema externo se calcula mediante la relaciónsiguiente:

Pm = Fm ·v (1.23)

y la potencia eléctrica instantánea en el conductor es:

Pe = e· i (1.24)

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I.2 Convertidor electromecánico elemental

Figura 1.6 Conductor alimentado por una fuente de tensión V

Si se realiza unbalance de potencia, considerando que las cantidades vectoriales son ortogonalesentre sí, se obtiene el siguiente resultado:

Pm = Fm ·v = Fe ·v = i ·B ·v· l = i ·E · l = i ·e= Pe (1.25)

La ecuación 1.25 demuestra que la conversión de energía mecánica en energía eléctrica ha sidocompleta. En el proceso no hay pérdidas debido a que la potencia disipada en la resistencia delcircuito es externa a la máquina.

Añadiendo una fuente de tensión al conductor anterior con el conductor inicialmente en reposo,tal como se ilustra en la figura 1.6, la fuente de tensiónV hace circular una corrientei porel circuito. Esta corriente produce, según la ecuación 1.22 una fuerza eléctricaFe. Si no actúaninguna otra fuerza sobre el conductor, este comienza a moverse con aceleración.

Cuando el conductor se mueve en un campo magnético, se origina a su vez un campo eléctricoE. Como se puede apreciar en la figura 1.6, la fuente de tensión produce una corriente que seopone al campo eléctricoE inducido por el movimiento. La corriente se puede calcular como:

i =V −e

R(1.26)

De esta forma, en la medida que aumenta la fuerza electromotrize inducida por el movimientodel conductor, disminuye la corriente en el circuito. Al decrecer la corriente, se reduce la fuerzaeléctrica sobre el conductor. El proceso continúa hasta que la fuerza eléctricaFe se hace cero. Enesta condición la tensión aplicada por la bateríaV es igual a la fuerza electromotrize, inducidapor el movimiento del conductor en el campo magnético y la corrientei se anula.

La velocidad del conductor en que la fuerza eléctrica es cero, debido al equilibrio entre la ten-sión aplicada y la fuerza electromotriz inducida por el movimiento, se define como velocidadsincrónica del conductor. En esta situación:

e= V = l ·vs ·B (1.27)

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Dondevs es la velocidad sincrónica y se calcula de la expresión anterior como:

vs =V

l ·B (1.28)

Una vez que el conductor alcanza la velocidad sincrónica(V = e; i = 0), si se aplica una fuerzaresistente al conductor, el sistema comienza a retardarse y la fuerza electromotriz inducidaedisminuye, aumenta la corriente en el conductor debido a que la tensiónV de la batería superaa la fuerza electromotrize. La aceleración o retardo del sistema se puede calcular aplicandoconvenientemente lasegunda ley de Newton:

a =dvdt

=1M ∑F =

Fe+Fm

M(1.29)

Donde:

∑F es la sumatoria de fuerzas aplicadas

Fe es la fuerza eléctrica sobre el conductor

Fm es la fuerza mecánica resistente

M es la masa del conductor

Cuando la fuerza mecánicaFm equilibra a la fuerza eléctricaFe, la aceleración es cero y en eseinstante se cumple que:

Fm = Fe = l ·B · i = l ·B ·(

V −B · l ·v0

R

)

(1.30)

De la ecuación 1.30 se obtiene la velocidad de operaciónv0 en función de la fuerza mecánicaresistente:

v0 =V − Fm·R

B·lB · l (1.31)

La velocidadv0 corresponde a la operación de la máquina cuando las fuerzas eléctricas y mecá-nicas sobre el conductor están en equilibrio. Si en este momento se elimina la fuerza resistenteFm, el conductor se acelera en la dirección de la fuerza eléctricaFe hasta alcanzar nuevamentela velocidad sincrónica.

La exposición anterior permite resumir en seis ecuaciones los principios que rigen la conversiónelectromecánica de energía:

E = v×B (1.32)

f = i ×B (1.33)

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I.3 Curvas características

e=∫ l

oE ·dl = E · l = v·B · l (1.34)

F =

∫ l

of ·dl = f · l = i ·B · l (1.35)

i =V −e

R(1.36)

dvdt

=1M

Fa =Fe+Fm

M(1.37)

En el sistema de ecuaciones representado por las expresiones 1.32 a 1.37 se destacan los siguien-tes puntos:

1. La ecuación 1.34 calcula una variable eléctrica(e) en función de una variable mecánica(v) y el campo(B).

2. La ecuación 1.35 determina una variable mecánica(F) en función de una variable eléctrica(i) y el campo(B).

3. Las expresiones 1.34 y 1.35 dependen del conductor y del campo en el cual está inmerso,por esta razón se denominan lasecuaciones internasdel convertidor electromecánico.

4. Las ecuaciones 1.36 y 1.37 representan las relaciones entre el conductor –máquina eléctri-ca– y el resto del universo. Estas ecuaciones se denominanecuaciones de ligazón,ecua-ciones de borde, ecuaciones de contornoo ecuaciones de frontera.

I.3 CURVAS CARACTERÍSTICAS

Para representarla curva característicade la fuerza eléctrica sobre el conductor en función dela velocidad, se puede utilizar la ecuación 1.30:

Fe = i ·B · l =

(

V −eR

)

·B · l =V ·B · l

R− (B · l)2

Rv (1.38)

La ecuación 1.38 representa la fuerza eléctricaFe como una recta en función de la velocidadvdel conductor. Cuando el conductor se encuentra en reposo(v = 0), la fuerza eléctrica es igualal término independiente en velocidad. Si la fuerza eléctrica es cero, la velocidad correspondea la velocidad sincrónica de la máquina. Si se opone una fuerza constante de valor conocido,como se observa en la figura 1.7, se determina un punto de equilibriov0 en la intersección delas características eléctrica y mecánica. En este casov0 corresponde a la velocidad en la cual lafuerza eléctricaFe equilibra a la fuerza mecánicaFm, y constituye un punto de operación establedebido a que cualquier perturbación en la velocidad mecánica del sistema tenderá a ser restituida

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Figura 1.7 Curva característica de la máquina

a las condiciones previas por las fuerzas actuantes sobre el conductor. Esta intersección es unpunto de operación de régimen permanente para la máquina.

En la figura 1.7 se han marcado dos zonas(1) y (2). En la zona (1), si la máquina arrancaen contra de una fuerza mecánica resistente constante, se acelera hasta alcanzar el punto deoperación permanente o punto de equilibriov0 –intersección de las características. Esto ocurredebido a que esta zona de operación, la fuerza eléctricaFe, siempre es superior a la fuerzamecánicaFm.

Si el sistema se encuentra originalmente en vacío, es decir, operando avelocidad sincrónica, sincarga mecánica y repentinamente se añade una fuerza mecánica resistente, la fuerza eléctrica esinferior a la mecánica y ocurre un proceso de retardo en la zona (2) de la figura 1.7. La velocidaddisminuye desde la sincrónica hasta lavelocidad de operación v0 en el punto de equilibrio.

La fuerza mecánicaFm depende en general, para un accionamiento físico, de la velocidad delconductor. En la figura 1.8 se muestra la curva característica de la máquina eléctrica anterior,pero sometida a una fuerza mecánica dependiente de la velocidad.

En este caso, al igual que en el anterior,v0 es un punto de equilibrio estable ya que si se aumentaun diferencial la velocidad del conductor por encima dev0, se origina una fuerza retardadora quehace regresar el conductor a la anterior condición de operación. Por el contrario, si la velocidaddel conductor disminuye en un diferencial, se produce una fuerza acelerante que incrementa lavelocidad del conductor hasta alcanzar el punto de equilibrio env0.

Al producirse un cambio en la tensión de la batería que alimenta al convertidor, la velocidadsincrónica de la máquina también varía, debido a que esta velocidad se determina cuando existeequilibrio entre la tensión de la batería y la fuerza electromotriz inducida en el conductor. Enla figura 1.8 es posible definir una familia de curvas de acuerdo a como se varíe la tensión dela fuente. Mediante la variación de la tensión de la batería se puede controlar lavelocidad deoperaciónde la máquina.

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I.3 Curvas características

Figura 1.8 Fuerza mecánica variable con la velocidad

Figura 1.9 Efecto de la variación de la tensión de alimentación

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Figura 1.10Efecto de la variación del campo B del convertidor

También se puede controlar la máquina elemental variando la densidad de flujo magnético B. Lavariación del campo produce un cambio en la pendiente de la curva característica de la máquina,ya que como se observa en la ecuación 1.38, esta variación altera la pendiente de la característicade forma cuadrática y el punto de corte en el eje de la fuerza –(v = 0)–, de forma lineal. En lafigura 1.10 se ilustra esta situación y como es posible cambiar el punto de operación de lamáquina mediante variaciones del campo magnético B.

De los dos métodos analizados para controlar el punto de operación de la máquina, la varia-ción del campo magnético tiene un inconveniente. Cuando el campo se reduce demasiado, lavelocidad sincrónica aumenta considerablemente y se puede producir un fenómeno denominadoembalamiento. Elembalamientoes una aceleración súbita debida a la pérdida del campo en unamáquina eléctrica sin carga. Si la velocidad sube a niveles peligrosos, puede ocurrir deterioro dela máquina por fallas eléctricas y mecánicas. En las máquinas eléctricas rotativas este problemaes muy grave como se observa del siguiente ejemplo:

Una máquina de 3.600 rpm con un radio de 50 cm gira a una velocidad angularde:

ω = 2πnf

= 377rads

La aceleración centrípeta que aparece sobre los conductores de la periferia delrotor de la máquina se calcula como:

ac = ω2r = 71.061ms2

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I.4 Balance energético

Figura 1.11Modos de operación del convertidor

Esta aceleración es aproximadamente7.252veces superior a la de gravedad, porlo tanto sobre cada gramo de material en la periferia aparece una fuerza de 7kgtratando de mover el material conductor de sus ranuras. Como la aceleración varíacon el cuadrado de la velocidad angular, si se duplica la velocidad angular, laaceleración aumenta 4 veces.

I.4 BALANCE ENERGÉTICO

En elbalance de potenciasdesarrollado en la ecuación 1.25 se llegó a la conclusión de que todoel proceso es conservativo sobre la base de que la potencia eléctrica desarrollada por la máquinaes igual a la potencia mecánica entregada por el sistema externo.

En general, todas las máquinas eléctricas son reversibles y su funcionamiento depende del sen-tido en que se transmite la potencia. Si la energía fluye del sistema eléctrico al mecánico, lamáquina funciona comomotor. Si el flujo de energía es del sistema mecánico al eléctrico, elconvertidor es ungenerador. Cuando el sistema eléctrico y mecánico inyectan energía a la má-quina, y esta energía se consume totalmente como pérdidas internas, esta condición se denominafreno. La máquina se puede alimentar indistintamente con energía eléctrica o con energía mecá-nica. En la figura 1.11 se presenta un gráfico de la característica fuerza-velocidad de la máquinaanalizada anteriormente, con los diferentes modos de operación factibles para este convertidor.En la figura 1.12 se muestra un esquema donde se realiza el balance energético de la máquinaen las tres condiciones de operación posibles: motor, generador y freno.

En la zona(1), la velocidad del conductor es menor que la velocidad sincrónica, la fuerza elec-tromotriz inducida es menor que la tensión aplicada externamente y la corriente tiene signocontrario a la fuerza electromotriz. En estas condiciones el conductor se desplaza en el mismosentido de la fuerza eléctrica, es decir, esta fuerza realiza trabajo positivo y por lo tanto se estátransformando energía eléctrica en mecánica. La máquina está actuando como un motor. En estazona se satisfacen las siguientes condiciones:

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Motor

Pm

Pe

Pm

Pe

Generador

Pm

Pe

Freno pérdidas

pérdidas pérdidas(1) (2) (3)

Figura 1.12Balance de potencia en los diversos modos de operación

e > 0

e < V

i > 0

En la zona(2), la velocidad del conductor es mayor que la velocidad sincrónica y la fuerzaelectromotriz es mayor que la tensión aplicada, por esta razón la corriente y la fuerza eléctricainvierten su sentido. Para encontrar un punto de equilibrio la fuerza mecánica también debeinvertir su sentido original. La fuerza mecánica ahora está entregando energía y el sistema secomporta como un generador. Las condiciones que imperan en esta zona de trabajo son:

e > 0

e > V

i < 0

En la zona(3), tanto la velocidad, como la fuerza electromotriz son negativas. La fuerza mecá-nica está aplicada en el mismo sentido de la velocidad –negativa en este caso–, por lo tanto elsistema mecánico entrega energía a la máquina. Simultáneamente, la fuente de tensión entregapotencia eléctrica a la carga. En esta condición toda la potencia entregada por el sistema mecá-nico y por el sistema eléctrico se consume en la resistencia interna del conductor y se produceun gran calentamiento de la máquina. Este estado se conoce con el nombre de frenado eléctricoy se caracteriza por las siguientes condiciones de operación:

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