Mate Financiera Trabajo

7/23/2019 Mate Financiera Trabajo

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1. PROBABILIDADES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE CONTABILIDADRUMBO A LA ACREDITACIN

CICLO IV

CURSO: MATEMTICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES

TRABAJO DE UNIDAD

Presentado por:

FRANKLIN A. GUERRA PERZ

ELLIANA B. RIOFRIO MARTINEZ

LESLI K. VELASQUEZ SILVA

Docente Coordinador:

Apol!"# R$%o Z"p"&".

SEMESTRE '()*+ II

T,-/$ + P/#0

'()*


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La probabilidad y la estadstica son, sin duda, las ramas de las Matemticas

que estn en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en

todos los aspectos y ciencias, especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que

aquellas variables que influyen en dicas ciencias, econ!micas, demogrficas,suelen tener carcter aleatorio, es decir, no son deterministas, y se fundamentan

en predicciones a partir de datos conocidos" #odo aquello que implique

predicci!n nos lleva al terreno de la probabilidad"

1.1.Experimentos aleatorios

$n todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos

predeterminados, es decir, tales que podemos decir el resultado de dicos

acontecimientos antes de que finalice o incluso de que comience" #al es el caso

de%

&" #irar una piedra desde un edificio 'sabemos que se caer("

)" Calentar un ca*o de agua 'sabemos que la temperatura sube("

+" olpear una pelota 'sabemos que se va a mover, e incluso conociendo

fuer*as que act-an etc", podemos conocer precisamente donde caer("

#ales acontecimientos o e.perimentos de los que podemos predecir el resultado

antes de que se realicen se denominan e.perimentos deterministas"

Sin embargo, analicemos otro tipo de e.perimentos, muco ms interesantes

desde el punto de vista matemtico%

Imaginemos que lan*amos un dado al aire 'normal, de / caras y no trucado("

01odemos predecir el resultado que vamos a obtener2" $videntemente no" $ste

es un e.perimento que no es determinista" 3 este tipo de e.perimentos, en los


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cuales no se puede predecir el resultado antes de reali*ar el e.perimento se les

denomina e.perimentos aleatorios"

Otros e4emplos de e.perimentos aleatorios pueden ser%

#irar una moneda al aire y observar qu5 lado cae acia arriba, rellenar una

quiniela de f-tbol, 4ugar una partida de p!6er y, en general, cualquier 4uego en el

que intervenga el a*ar"

1.2.Definiciones bsicas

La teora de probabilidades se ocupa de asignar un cierto n-mero a cada posible

resultado que pueda ocurrir en un e.perimento aleatorio, con el fin de

cuantificar dicos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro o

relaciones parecidas" Con este fin, introduciremos algunas definiciones"

EXPERIMENTO A A!AR

Se dice que un e.perimento aleatorio 'al a*ar( cuando se cumplen las siguientes

condiciones%

a( $l e.perimento se puede repetir indefinidamente ba4o anlogas

condiciones, pudi5ndose obtener resultados distintos en cada prueba"

b( $n cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al con4unto de todos

los resultados posibles del e.perimento"

c( 3ntes de reali*ar una nueva prueba del e.perimento no se puede predecir

el resultado que se obtendr"

d( La frecuencia relativa de cada resultado de un e.perimento aleatorio

tiende e.perimentalmente a apro.imarse a un valor fi4o, es decir, aparece

un modelo de regularidad estadstica"

E"emplos:


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Lanzar una moneda al aire.

Abrir un libro al azar y anotar la pgina de la izquierda.

E#PA$IO M%E#TRA

Se llama espacio muestral al con4unto de todos los resultados simples posibles

de un e.perimento aleatorio" $l espacio muestral lo designaremos por E'o bien

por la letra griega 7(" Cada elemento del espacio muestral $ lo llamaremos

punto muestral"

E"emplos&

1.- Lanzar una moneda al aire y anotar los resultados.

E= {cara(c! cruz ("#

$.- Lanzar dos monedas al aire:

E= {cc! c"! "c! ""#

%.- Lanzar dos dados al aire y sumar los n&meros que salen:

E= {$! %! '! ! )! *! +! ,! 1! 11! 1$#

SUCESO ALEATORIO

SUCESO ALEATORIO

$s cualquier subcon4unto del espacio muestral"

E"emplo&

irar un dado un suceso ser/a que saliera par! otro! obtener m&ltiplo de %! y

otro! sacar .

UN 1ER EJEMPLO COMPLETO


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8na bolsa contiene / bolas, las cuales + son blancas y + negras" Se e.traen

sucesivamente tres bolas" Calcular%

1. $l espacio muestral"$ 9 :'b, b, b(; 'b, b, n(; 'b, n, b(; 'n, b, b(; 'b, n, n(; 'n, b, n(; 'n, n, b(; 'n, n, n( de ellos poseen e.periencia laboral

y ?@ disponen de un ttulo universitario"

0Cul es la probabilidad de que se eli4a a una persona que tenga e.periencia

laboral y un ttulo universitario23 9 e.periencia laboral

= 9 ttulo universitario

3 = 9 &@ 'ya que ?@ A +> 9 B> que sobre pasan en &@ a los /> entrevistados(

1robabilidad '3 =( 9 &@ /> 9 @"&>+D


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1.'. Tambi(n tenemos al)*nas re)las&

1. REGLA GENERAL DE LA ADICIN DE PROBABILIDADES PARA

EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si 3 y = son dos eventos no mutuamente e.cluyentes 'eventos intersecantes(, es

decir, de modo que ocurra 3 o bien = o ambos a la ve* 'al mismo tiempo(,

entonces se aplica la siguiente regla para calcular dica probabilidad%

$n donde%

$l conectivo l!gico EoF corresponde a la Euni!nF en la teora de con4untos 'o 9

("

$l conectivo EyF corresponde a la Eintersecci!nF en la teora de con4untos 'y 9

("

$l espacio muestral 'S( corresponde al con4unto universo en la teora de

con4untos"

E"emplo& 0ea Ael suceso de sacar un As de una baraa estndar de $ cartas y

2 sacar una carta con coraz3n roo. 4alcular la probabilidad de sacar un As o

un coraz3n roo o ambos en una sola e"tracci3n.

Soluci!n%


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3 y = son sucesos no mutuamente e.cluyentes porque puede sacarse el as de

cora*!n ro4o" Las probabilidades son%

Geempla*ando los anteriores valores en la regla general de la adici!n de

probabilidades para eventos no mutuamente e.cluyentes se obtiene%

REGLA PARTICULAR O ESPECIAL DE LA ADICIN DE

PROBABILIDADES PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si 3 y = son dos eventos mutuamente e.cluyentes 'eventos no intersecantes(, es

decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos e.cluye la del otro, no pueden

ocurrir a la ve*, o cuando no tienen ning-n punto muestral en com-n 3 = 9 ,

entonces se aplica la siguiente regla para calcular dica probabilidad%

$n donde%

$l conectivo l!gico EoF corresponde a la Euni!nF en la teora de con4untos 'o 9

("

$l espacio muestral 'S( corresponde al con4unto universo en la teora de

con4untos"


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E"emplo: En una urna e"iste 1 bolas numeradas del 1 al 1. 56u7

probabilidad e"iste de sacar en una sola e"tracci3n una bola enumerada con un

n&mero impar o con un n&mero m&ltiplo de '8

Soluci!n%

$spacio muestral 9 S 9 :&, ), +, ?, >, /, B, D, H, &@


9/44

b( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C con doctorado o

diplomado2

c( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C con maestra o

doctorado2d( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C con alguna de las +

especialidades2

Soluci!n%

3 9 :.. C1C con iplomado

H >H

/@Maestra


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c( =C 9 :.. . = J . C

1'3=C( 9 )>/@ A &D/@ A )D/@ A >/@ K &?/@ K //@ K &@/@

1'3=C( 9 )+)@ 9 @"BB BB

)" $n un grupo de >@ C1C, )@ laboran en el sector p-blico, )> en el sector

privado, &D de manera independiente" 3dems &@ laboran en el sector

p-blico y privado, D laboran en el sector p-blico y de manera

independiente, / laboran en el sector privado y de manera independiente"

) laboran en el sector p-blico, en el sector privado y de manera

independiente"

e( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector p-blico o

privado2

f( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector p-blico o

labora de manera independiente2

g( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector privado o

labora de manera independiente2

( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un C1C del sector p-blico,

sector privado y labora de manera independiente2


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Soluci!n%

3 9 :.. C1C del sector p-blico

C 9 :.. C1C independiente>@ A &D>@ K &/>@

1'3C( 9 +B>@ 9 @"B? B?

( 3=C 9 :.. . 3 J . = J . C


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1'3=C( 9 )@>@ A )>>@ A &D>@ A )>@ K &@>@ K D>@ K />@

1'3=C( 9 ?&>@ 9 @"D) D)

+" $n una empresa se presentaron +@ personas para ocupar las vacantes de

empleo disponibles, de las personas &@ son contadores, &) son

economistas, &D son administradores" 3dems > son contadores y

economistas, / son economistas y administradores, / son contadores y

administradores" ? son contadores, economistas y administradores"

i( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un contador o economista2

4( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un contador o administrador2

6( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un economista o administrador2

l( 0Cul es la probabilidad de elegir al a*ar un contador o economista o

administrador2

Soluci!n%

$conomistas% &)Contadores% &@ >+ &

?

) )

&@


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A = {x/x contadores}; n (A) = 10

B = {x/x economistas}; n (B) = 12

C = {x/x administradores}; n (C)= 1

a) AB = {x/x / x A ! x B}; n(AC) = "

#(AC) = 10/$0 % 12/$0 & "/"0#(AC) = 1'/$0 = 0"' "'

*) AC = {x/x / x A ! x C}; n(AC) = +

#(AC) = 10/$0 % 1/$0 & +/$0#(AC) = 11/1" = 0'$ '$

c) BC = {x/x / x B ! x C}; n(AC) = +

#(AC) = 12/$0 % 1/$0 & +/$0#(AC) = ,/" = 0 0

d) ABC = {x/x / x A ! x B ! x C}; n(ABC) = ,

#(ABC) = 10/$0 % 12/$0 % 1/$0 & "/$0 & +/$0 & +/$0 % ,/$0#(ABC) = -/10 = 0-0 -0

3dministradores% &D +@


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2. PROBABILIDAD CONDICIONAL

&" $n una empresa, el )@ de los traba4adores son mayores de ?> aNos, el D

desempeNa alg-n puesto directivo y el / es mayor de ?> aNos y

desempeNa alg-n puesto directivo"

a( 0u5 porcenta4e de traba4adores tiene ms de ?> aNos y no desempeNa

ning-n cargo directivo2

b( 0u5 porcenta4e de traba4adores no es directivo ni mayor de ?> aNos2

c( Si la empresa tiene &>@ traba4adores, 0cuntos son directivos y no tiene ms

de ?> aNos2

Solucin:

Se tienen las siguientes probabilidades%

1 'mayor de ?> aNos( 9 1'A?>( 9 @,)@ 1'P?>( 9 @,D@

1 'ser directivo( 9 1'( 9 @,@D

1 'ser directivo y mayor de ?> aNos( 9 1 'A?>( 9 @,@/ 1'P?>( 9 @,@)

a) Po la !o"a"ili#a# con#iciona#a $% &i%n%:

1 'irectivo en el supuesto de ser mayor de ?> aNos( 9 1 '?>( 9 '1 '?>((1

'?>( 9 @"@/@")@ 9 @"+@

$n consecuencia%

1'no ser directivo en el supuesto de ser mayor de ?> aNos( 9 1'Qo A?>( 9 & P

1'A?>( 9 & P @,+@ 9 @,B@

1or otra parte%

1 'A?>Qo ( 9 1'A?>( R 1'Qo A?>( 9 @,)@ R @,B@ 9 @,&?


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El 14 ' #% lo$ &a"a(a#o%$ #% %$a %!%$a &i%n% *$ #% 4+ a,o$ - no %$

#i%c&io.

") Coo an&%$:1'irectivo en el supuesto de ser menor de ?> aNos( 9 1'P?> 9 '1'P?>(1'P

?>( 9 @"@)@"D@ 9 @"@)>

Luego%

1'Qo ser directivo en el supuesto de ser menor de ?> aNos( 9 1'Qo P?>( 9 & P

@,@)> 9 @,HB>

1or tanto%

1'Qo ?>( 9 1'P?>Qo ( 9 1'P?>( R 1'Qo P?>( 9 @,D@ R @,HB> 9 @,BD

El /0 ' #% lo$ &a"a(a#o%$ #% %$a %!%$a &i%n% %no$ #% 4+ a,o$ - no %$

#i%c&io.

c) Si la %!%$a &i%n% 1+ &a"a(a#o%$ coo PD4+) 5 2 6a"7a

1+ 8 2 5 3 #i%c&io$ con no *$ #% 4+ a,o$.

)" $n el departamento de lcteos de un supermercado se encuentran

me*clados y a la venta &@@ yogures de la marca 3, /@ de la marca = y ?@

de la marca C" La probabilidad de que un yogur est5 caducado es @,@&

para la marca 3; @,@) para la marca = y @,@+ para la marca C" 8n

comprador elige un yogur al a*ar"

a 4alcular la probabilidad de que el yogur est7 caducado.


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b 0abiendo que el yogur elegido est caducado! 5cul es la probabilidad de

que sea de la marca 28

Solucin:Con los datos del problema se puede construir la siguiente tabla"

Marca 3 Marca = Marca C #otal-mero &@@ /@ ?@ )@@

1robabilidad de estar

caducado @ @& @ @) @ @+Q-mero esperado de

R 9 R 9 R 9

Con esto, y como puede leerse directamente en la tabla%

a) 1'un yogur est5 caducado( 9 1'marca 3(1'caducadomarca 3( A

1'marca =(1'caducadomarca =( A 1'marca C(1'caducadomarca C(

1'un yogur est5 caducado( 9 &@@)@@@"@& A /@)@@@"@) A ?@)@@@"@+ 9

+"/)@@ 9 @"@&D

") 1'marca=cadudado( 9 '1'marca=(1'caducadomarca=((1'caducado( 9

'/@)@@@"@)('+"/)@@( 9 &")+"/ 9 &+ 9 @"++

+" $l estudio sobre los cr5ditos concedidos por un banco multinacional el

pasado aNo revela que el ?) de dicos cr5ditos se a concedido a

clientes espaNoles, el ++ a clientes del resto de la 8ni!n $uropea y el )>

a clientes del resto del mundo" e esos cr5ditos, los cr5ditos

ipotecarios suponen, respectivamente, el +@ , el )? y el &? "

$legido un cliente al a*ar que a recibido un cr5dito, 0cul es la

probabilidad de que el cr5dito concedido no sea ipotecario2


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Solucin:

Si se denota por $S, 8$ y GM los sucesos Ecliente espaNolF, Edel resto de la8ni!n $uropeaF

y Edel resto del mundoF, respectivamente; y por T el suceso Eel cr5dito es

ipotecarioF se tiene%

1'$S( 9 @,?); 1'8$( 9 @,++; 1'GM( 9 @,)>

#enemos tambi5n las siguientes probabilidades condicionadas%

1'T$S( 9 @,+@; 1'T8$( 9 @,)?; 1'TGM( 9 @,&?

Con esto%

1'T( 9 1'$S( R 1'T$S( A 1'8$( R 1'T8$( A 1'GM( R 1'TGM( 9 @,?) R @,+@ A

@,++ R @,)? A @,)> R @,&? 9 @,)?@)

$n consecuencia, la probabilidad de que el cr5dito concedido no sea ipotecario

es%

1'Qo T( 9 & P 1'T( 9 & P @,)?@) 9 @,B>HD

Qota% 1uede convenir acer un diagrama de rbol como el siguiente"


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1'no T( 9 @,?) R @,B@ A @,++ R @,B/ A @,)> R @,D/ 9 @,B>HD

3. LEY DE MULTIPILCACION

1. 9n lote contiene $ art/culos de los cuales 1$ son deectuosos y +

no deectuosos son inspeccionados uno por uno. 0i los art/culos

son seleccionados al azar sin reempla+amiento! calcular la

probabilidad de que:

a Los primeros dos art/culos sean deectuosos

b Entre los tres primeros art/culos! dos sean buenos

c El tercer art/culo es deectuoso

d 0i se tiene la siguiente regla: se acepta el lote de $ art/culos si al

obser;ar ' art/culos m"imo uno es deectuoso! calcular la probabilidad

de rec


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c" $l evento de inter5s

es y su probabilidad es

#" Como no se reca*a el lote cuando es.ista defectuoso y defectuoso,

entonces

Luego

Geca*ar 3ceptar

4. PROBABILIDAD TOTAL

&" 8na compaNa de transporte p-blico tiene tres lneas en una ciudad,

de forma que el ?> de los autobuses cubre el servicio de la lnea &, el )>

cubre la lnea ) y el +@ cubre el servicio de la lnea +" Se sabe que la

probabilidad de que, diariamente, un autob-s se avere es del ), + y &

respectivamente, para cada lnea"

a( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s sufra una avera

b( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s no sufra una avera

c( 0e qu5 lnea de transporte es ms probable que un autob-s sufra una avera2


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Solucin:

a( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s sufra una avera

$mpleando la f!rmula de probabilidad total se obtiene%


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b( Calcular la probabilidad de que, en un da, un autob-s no sufra una avera

$mpleando la f!rmula de probabilidad total se obtiene%

c( 0e qu5 lnea de transporte es ms probable que un autob-s sufra una avera2

Se debe calcular las tres probabilidades posteriores empleando el #eorema de

=ayes

La probabilidad de que sea de la lnea &, sabiendo que sufre una avera es%

La probabilidad de que sea de la lnea ), sabiendo que sufre una avera es%


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La probabilidad de que sea de la lnea +, sabiendo que sufre una avera es%

$ntonces, sabiendo que el autob-s sufre una avera, lo ms probable es que sea

de la lnea &, ya que esta probabilidad

$. En un saquito @"

") 9%#%% probabilidad del +@

c) Ro(a% probabilidad del )@"

Seg-n el color de la papeleta elegida, podrs participar en diferentes sorteos"

3s, si la papeleta elegida es%

a) Aailla% participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del ?@"

") 9%#%% participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del /@

c) Ro(a% participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del D@"

Con esta informaci!n, ;u< !o"a"ili#a# &i%n%$ #% =ana %l $o&%o %n %l ;u%

!a&ici!%$>:


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&"P Las tres papeletas forman un sistema completo% sus probabilidades suman

&@@

)"P 3plicamos la f!rmula%

Luego,

1 '=( 9 '@,>@ @,?@( A '@,+@ @,/@( A '@,)@ @,D@( 9 @,>?

1or tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del >?"

%. Van a cambiar a tu 4efe y se bara4an diversos candidatos%

a) Calo$, con una probabilidad del /@

") Juan, con una probabilidad del +@

c) Lui$, con una probabilidad del &@

$n funci!n de quien sea tu pr!.imo 4efe, la probabilidad de que te suban el

sueldo es la siguiente%

a) Si $al% Calo$:la probabilidad de que te suban el sueldo es del >"

") Si $al% Juan:la probabilidad de que te suban el sueldo es del )@"

c) Si $al% Lui$:la probabilidad de que te suban el sueldo es del /@"

$n definitiva, cu*l %$ la !o"a"ili#a# #% ;u% &% $u"an %l $u%l#o>%

&"P Los tres candidatos forman un sistema completo

)"P 3plicamos la f!rmula%


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1 '=( 9 '@,/@ @,@>( A '@,+@ @,)@(

A '@,&@ @,/@( 9 @,&>

1or tanto, la probabilidad de que tesuban el sueldo es del &>"

1.4 DISTRIBUCIONES PROBABILSTICASA.DISTRIBUCION BINOMIAL

o 0eg&n el inorme del proesor Augusto 2urneo el % de los alumnos

del 'to ciclo de contabilidad desaprueban su curso despu7s de

ara una muestra aleatoria de 1 alumnos:

54ul es la probabilidad de que ninguno salga desaprobado8

54ul es la probabilidad de que ) salgan desaprobados8

54ul es la probabilidad de que a lo ms sean $ desaprobados8

54ul es la probabilidad de que salgan desaprobados entre 1 y %

(?nclusi;e8

,-rm*las a *tili+ar&

>(@ = CxNP

XQ

NX

Datos

N&n&mero de ensayos

P&probabilidad de aprobados

& desaprobados! complemento = (1-

p


25/44

BCE CxN=

N !

X ! (NX)!

/$*l es la probabili0a0 0e *e nin)*no sal)a 0esaproba0o

> ( = C0150.3

00.7

150

C015=

15 !

0 !(150)!=1

> ( = 110.715=0.0047476 = .'*

-Interpretaci-n&>robabilidad de que ninguno salga desaprobado es del.'*

/$*l es la probabili0a0 0e *e 3 sal)an 0esaproba0os

>(' = C6150.3

60.7

156

C615

=

15 !

6 ! (156)!=

> (' = 50050.360.79= .1'*$ = 1'.*$

- Interpretaci-n& >robabilidad de que ) salgan desaprobado es del

1'.*$

/$*l es la probabili0a0 0e *e a lo ms sean 2 0esaproba0os

Para x45

> ( = C0150.3

00.7

150


26/44

C015=

15 !

0 !(150)!=1

> ( = 110.715=0.0047476 = .'*

Para x41

> (1 = C1150.3

10.7

151

C115=

15!

1 !(151)!=15

> (1 = 150.310.714= .% = %.

Para x42

> ($ = C(215)0.320.7152

C2

15= 15!

2 !(152)!= 1

> ($ = 1050.320.713= .,1 = ,.1

Entonces&>( D >(1 D >($ = .'* D %. D ,.1 = 1$.)* apro".

- Interpretaci-n&>robabilidad de que a lo ms $ salgan desaprobado es

del 1$.)*

/$*l es la probabili0a0 0e *e sal)an 0esaproba0os entre 1 6 2

7Incl*si8e9

a tenemos los datos de > (1! > ($! solo basta sumarlos:

> (1 = 150.31

0.714

= .% = %.


27/44

> ($ = 1050.320.713= .,1 = ,.1

Entonces: > (1 D > ($ = %. D ,.1 = 1$.$

- Interpretaci-n&>robabilidad de que salgan desaprobado entre 1 y $ es

del 1$.$

B.DISTRIBUCION DE POISSON

o La probabilidad de que el seFor Gicardo Hlores gane las elecciones

regionales = %(.% = ,

/$*l es la probabili0a0 0e *e )ane : 8otos al enc*estar '555

personas

H (=e995

5! = .)* = ).*

@ = = ,

> = .%


28/44

- Interpretaci-n&La probabilidad de que gane ;otos al encuestar a %

personas es del ).,*

/$*l es la probabili0a0 0e *e )ane 2 8otos

H ($=e992

2! = .', = .',

- Interpretaci-n&La probabilidad de que gane $ ;otos es del .'*

C.DISTRIBUCION NORMAL

o En el e"amen de 4ontabilidad 0uperior la nota promedio ue 1 y la

;arianza $. (=

54ul es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya nota

sea que 118

54ul es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya nota sea

que 1%.8

#ol*ci-n&

/$*l es la probabili0a0 0e seleccionar al a+ar *n al*mno c*6a nota

sea que 11


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11

x

P (x 11)=P

P (x 11)=P(Z 11105

)

P (x 11)=P(Z 1110

5)

P (x 11 )=P(Z1

5)

P (x 11 )=P(Z 0.2)

P (x 11 )=0.5793

- Interpretaci-n& la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya

nota sea que 11 es del *.,%

/$*l es la probabili0a0 0e seleccionar al a+ar *n al*mno c*6a nota

sea *e 15.:

10.5

x

P (x 10.5 )=P

P (x 10.5 )=P(Z10.510

6)

P (x 10.5 )=P(Z10.510

6)

P (x 10.5 )=P(Z0.5

5)

P (x 10.5 )=P(Z0.1)

P (x 10.5 )=0.5398

P (x 10.5 )=1P(Z 0.1)

P (x 10.5 )=10.5398

P (x 10.5 )=0.4602


30/44

- Interpretaci-n& la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya

nota sea que 1. es del ').$

TA;A# DE MORTAIDAD

Tablas 0e Mortali0a0& Antece0entes


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Los registros de mortalidad a los que tena acceso raunt indicaban la causa de

la muerte y el se.o de los difuntos, pero no su edad" raunt registr! la

proporci!n de personas que moran de enfermedades infantiles, aNadiendo la

mitad de las que moran de enfermedades como sarampi!n o viruela, yconcluyendo que +/ de cada &@@ personas moran antes de los / aNos" $sto

proporciona la segunda fila de su tabla de mortalidad" La ip!tesis de que casi

nadie sobreviva a los B/ aNos lo proporciona su -ltima fila"

raunt no e.plica de donde obtuvo las filas intermedias" 8n gran n-mero de

investigadores de an planteado este problema, y algunos an llegado a la

conclusi!n que invent! los datos" Otros 'Tac6ing, &HH>( aventuran la ip!tesis

de que raunt llevo a cabo una interpolaci!n entre los / y los B/ aNos siguiendo

una ley e.ponencial

$l supuesto de una fuer*a de mortalidad constante fue asumido por otros

famosos cientficos, como Uan de itt y Uan Tudde, quienes construyeron tablas

de mortalidad despu5s de raunt" $ste supuesto tuvo gran importancia en los

comien*os de la Matemtica 3ctuarialF"

ELa primera tabla de mortalidad desarrollada de una manera l!gica, la tabla de

mortalidad de Talley, se public! en &/H+ y estaba basada en los registros de

muerte y nacimiento de la ciudad de =reslau durante los aNos de &/DB a &/H&"

1ara la preparaci!n de esta tabla se asumi! que la poblaci!n de =reslau abapermanecido estable 'por e4emplo, que el n-mero completo de la poblaci!n al

igual que la edad y el g5nero no cambiaban en mucas


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d5cadas( y esta suposici!n no era del todo correcta, por lo tanto, la tabla de

mortalidad resultante era imprecisaF"

ELa primera tabla de mortalidad elaborada cientficamente y considerada correcta se

bas! tanto en la informaci!n de la poblaci!n como en la muerte clasificada por edad

siendo elaborada por Milne y publicada en &D&>" $sta tabla de mortalidad se

sustentaba en la e.periencia de mortalidad de dos parcelas en la ciudad de Calisle,

Inglaterra, durante el perodo de &BBH a &BDB"

E8n gran n-mero de tablas de mortalidad an sido publicadas desde entonces" $n los

primeros aNos la mayora de 5stas pertenecan a pases europeos, en particular los

escandinavos, pero oy en da las tablas de mortalidad estn disponibles para casi

todos los pases del mundo y cada continente es igualmente representadoF

Nat*rale+a 6 %so 0e las Tablas 0e Mortali0a0.

8na tabla de mortalidad est diseNada esencialmente para medir la mortalidad, pero

es empleada por una gran variedad de especialistas de distintas maneras" $s utili*a

por proveedores de la salud, dem!grafos, actuarios y en mucos estudios de

longevidad, fertilidad, migraci!n y crecimiento de la poblaci!n, as como en la

reali*aci!n de proyecciones del tamaNo y caractersticas de la poblaci!n y estudios

de la viude*, orfandad, entre otras"

$l m5todo ms com-nmente utili*ado para la construcci!n de una #abla de

Mortalidad es aquella que es generada a trav5s de las tasas de mortalidad especficas

y los valores resultantes son utili*ados para la medici!n de la mortalidad,

supervivencia y e.pectativa de vida" ico m5todo es el que utili*aremos en el

presente traba4o"


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Las tablas de vida son, en esencia, una forma de combinar las tasas de mortalidad en

una poblaci!n a diferentes edades y son utili*adas principalmente para el medir el

nivel de mortalidad de una determinada poblaci!n" 8na de las venta4as ms

importantes en comparaci!n con otros m5todos para la medici!n de la mortalidad es

que las tablas de vida no refle4an los efectos de la distribuci!n de edad de cierta

poblaci!n y que no requieren la adopci!n de una poblaci!n estndar" Otra venta4a de

estas tablas es que permiten la reali*aci!n de coortes de edad, eliminando la tediosa

tarea de recompilar estadsticas de muerte anuales para las coortes de edad a-n

cuando estas -ltimas son variables"

Tipos 0e Tablas 0e Mortali0a0

Las tablas de mortalidad difieren entre s de acuerdo a su aNo de referencia, la edad y

el n-mero de factores comprendidos en la tabla" Se pueden distinguir dos tipos de

tablas de mortalidad en base al aNo de referencia de la tabla%

&(#abla de Mortalidad 3ctual;

)(#abla de Mortalidad enerada o de Coorte"

$l primer tipo de tabla se basa en la e.periencia sobre un perodo corto de tiempo,

por e4emplo, un aNo, tres aNos o un perodo nter censal, en el cual la mortalidad a

permanecido ms o menos igual" 3 menudo, las estadsticas de muerte utili*adas para

una tabla de mortalidad actual se relacionan con los periodos de uno a tres aNos, y

los datos de poblaci!n utili*ados se relacionan al punto medio de este perodo" $ste

tipo de tabla, por lo tanto, representa la e.periencia de mortalidad de una poblaci!n

en un breve periodo de tiempo y no representa la e.periencia de mortalidad de una

coorte actual" $n cambio, asume una coorte ipot5tico que se somete a las tasas de

muerte relacionadas con la edad que son observadas en este perodo" 1or lo tanto,


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una tabla de mortalidad actual se puede ver como un retrato de la mortalidad

reciente" $sto representa una e.celente descripci!n resumida sobre la mortalidad en

un aNo o en un perodo corto"

$l segundo tipo de tabla de mortalidad, la tabla de mortalidad generada o de coorte,

se basa en las tasas de mortalidad e.perimentadas por una coorte relacionada con el

nacimiento" 1or e4emplo, las personas nacidas en &H@@" e acuerdo a este tipo de

tabla, la e.periencia de mortalidad de las personas en este coorte se observa desde

el momento de en qu5 nacen cada una de las personas de esta coorte asta que cada

miembro del grupo muera" Obviamente, los datos observados en largos perodos de

aNos se necesitan para completar una sola tabla y no es posible construir tablas de

mortalidad generadas a partir de las coortes de nacimientos en este siglo

basndose en los datos actuales"

$ste tipo de tabla es muy -til para las proyecciones de mortalidad, para los estudios

sobre las tendencias de mortalidad, y para la medici!n de fertilidad y reproducci!n"

Las tablas de vida se clasifican de dos maneras de acuerdo al intervalo en el cual los

datos son presentados%

#abla de Vida Completa;

#abla de Vida 3breviada"

8na tabla de vida completa contiene la informaci!n de cada aNo desde la edad de

nacimiento asta el -ltimo aNo de edad aplicable" $n algunas ocasiones, los valores

bsicos de una tabla de mortalidad completa se presentan -nicamente en perodos de

> aNos para poder economi*ar espacio"


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1or otro lado, una tabla abreviada, contiene la informaci!n en intervalos de > o &@

aNos de edad" $stos valores son lo suficientemente precisos para la mayora de los

prop!sitos y, por lo tanto, la tabla abreviada es menos complicada de elaborar"

#ambi5n se puede distinguir una tabla de mortalidad estndar que concierne

e.clusivamente la e.periencia general de mortalidad de una coorte de edad y una

tabla de decrementos m-ltiples, que describe los efectos separados y combinados de

ms de un factor" $stas tablas de decrementos m-ltiples se presentan de varias

formas" $l factor de mortalidad puede aplicarse en t5rminos de las tasas del

componente de muerte, por e4emplo, la causa de muerte, o tambi5n puede

combinarse con cambios de una o ms caractersticas socioecon!micas de la

poblaci!n" se subdivide dentro de las diferentes causas o grupos de causas de

muerteF"

$n 1er- 'al igual que en varios pases de la regi!n(, una aplicaci!n importante de la

tabla de vida se da en los sistemas de pensiones 'tanto p-blicos como privados( y en

el sistema asegurador" 1or e4emplo, las tablas de mortalidad son utili*adas para%

i( estimar las reservas actuariales que garanti*an el pago de las obligaciones

previsionales del Sistema 1-blico de 1ensiones 'L QW &HHH@ y L QW

)@>+@(,

ii( ii( efectuar los clculos del otorgamiento de pensiones y del capital

asegurado que administran los seguros de rentas vitalicias y los seguros de

invalide* y sobrevivencia en el caso del Sistema 1rivado de 1ensiones

'S11( y,

iii( iii( determinar las primas de seguros de vida y la constituci!n de las

reservas t5cnicas en el caso del sistema asegurador"

3ctualmente, sin embargo no e.isten tablas de mortalidad que refle4en el verdadero

comportamiento demogrfico de la poblaci!n peruana que pertenece al sistema


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previsional ni de los asegurados de vida" ebido a ello, la regulaci!n contempla, en

todos los casos, la utili*aci!n de tablas alternativas de otros pases&"

$n el caso del S11, la Superintendencia de =anca Seguros y 3dministradoras

1rivadas de Xondos de 1ensiones 'S=S(, desde &HH+, e.ige la utili*aci!n de las

mismas tablas de mortalidad que son utili*adas para el sistema previsional cileno

como respuesta a la falta de informaci!n propia)" $n el caso del Sistema 1-blico de

1ensiones, la Oficina de Qormali*aci!n 1revisional 'OQ1( tambi5n a venido

traba4ando en base a dicas tablas para desarrollar y actuali*ar las valuaciones

actuariales de los compromisos que tiene el $stado con los pensionistas y personal

activo del Sistema Qacional de 1ensiones SQ1 'L QW &HHH@( y del L QW )@>+@+"

1or su parte, en el caso del mercado asegurador, la regulaci!n posibilita a las

compaNas de seguros de vida determinar sus tarifas y reservas t5cnicas sobre la base

de tablas de mortalidad de otros pases elegidas discrecionalmente por ellas,

reali*ando Pen algunos casosP a4ustes a dicas tablas de acuerdo a lo que ellas

consideran se adecua me4or a la e.periencia de su cartera asegurada"

& $n 3rgentina se utili*a la 3MB& desarrollada sobre la base de e.periencia de

rentistas de $stados 8nidos; en Colombia se utili*a la ISSH@ preparada usando

la informaci!n acumulada por el sistema p-blico de pensiones; finalmente en

M5.ico se utili*a la $MSS3PHB con informaci!n del Instituto Me.icano de

Seguridad Social"

) #ablas de Mortalidad Cilenas GVPD>, MIPD> y =PD> de &HD> aprobadas por la

Superintendencia de =anca y Seguros y 3dministradoras 1rivadas de Xondos de

1ensiones mediante Gesoluci!n S=S QW +@HPH+PS=S del &D de 4unio de &HH+"

Gecientemente, mediante Gesoluci!n S=S QY +>?P)@@/PS=S del )& de mar*o de

)@@/, se a aprobado el uso obligatorio de tablas de mortalidad actuali*adas al


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)@@? de rentistas vitalicios obtenidas con base a las tablas de mortalidad

cilenas GVP)@@?"

Las tablas de mortalidad se clasifican de acuerdo al periodo de tiempo que

comprenden y seg-n el intervalo de edades en la presentaci!n de los datos" Seg-n el

primer criterio, se tendra%

Tablas 0e )eneraciones.

Se observa a una generaci!n a trav5s del tiempo asta la desaparici!n de su -ltimo

miembro, con lo cual se sabe el n-mero e.acto de defunciones que ocurre a cada

edad y as la probabilidad de muerte" 3s, los miembros de la generaci!n estn

e.puestos a las condiciones de mortalidad que ay en cada aNo de sus vidas" Si bien

este tipo de tabla seNala los verdaderos valores de la mortalidad de una generaci!n,

su utili*aci!n es escasa dado que demanda el seguimiento de toda una generaci!n a

trav5s del tiempo, un eco poco prctico"

Tablas 0e contemporneos.

$stas tablas son las ms populares" Se construyen sobre la base de la e.periencia de

mortalidad observada para toda la poblaci!n real durante un aNo o un periodo corto

de aNos, generalmente de dos o tres aNos" $n este sentido, se crea una generaci!n

ipot5tica asumi5ndose que 5sta vive en las condiciones de mortalidad de la

poblaci!n del periodo de estudio" $n una tabla de contemporneos se castiga con una

mayor mortalidad a los miembros de la generaci!n en vista que la tabla se construy!

alrededor del aNo de inicio de la generaci!n y no se pueden incorporar las me4oras en

la mortalidad de los individuos a trav5s del tiempo 'ubln y Spiegelman, &HB@("

e acuerdo al intervalo de edades, las tablas se clasifican en%


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Tablas completas.

Son tablas con informaci!n para cada una de las edades puntuales"

Tablas abre8ia0as.

Muestran los datos s!lo para ciertas edades, por lo general quinquenales aunque

distinguiendo por edades simples durante los primeros > aNos de vida de las

personas, dado que en este periodo se producen cambios importantes en la

mortalidad"

PRIN$IPAE# ,%N$IONE# DE A TA;A DE MORTAIDAD

$ol*mna x E0a0 x

$sta columna contiene las edades desde & asta HH aNos" La edad . se refiere a las

personas nacidas ace . aNos" 3l decir que una persona est viva en su .P5simo

aniversario, esto significa que est viva en el perodo de &) meses, al principio de los

cuales tena .P& aNos"

$ol*mna lx N=mero 0e 8i8os lx

$n esta columna aparece el n-mero de personas que estn viva, al comien*o del aNos

en que cumplan la edad seNalada en la columna" $l subndice del smbolo especifica

la edad" 3s l)B9H++ /H), significa que a la edad de )B aNos estn vivas H++ /H)

personas del &@@@ @@@ que iniciaron la tabla"

$ol*mna 0x N=mero 0e m*ertos 0x

$n esta columna se indica el n-mero de personas que an puerto, entre la edad . y la

edad .A&" 3s d&>9) @/H, indica que ) @/H personas mueren entre &> y &/ aNos"

Obs5rvese que d.9 l. P l.A&


39/44

.x

x1

x

$ol*mna x >Probabili0a0 an*al 0e morir?

$n esta columna se indican los valores de q. que es la probabilidad de que una

persona de edad . muera antes de cumplir la edad .A&" as q+@9@,@@+>/, indica la

probabilidad que tiene una persona de +@ aNos, de morir antes de cumplir +& aNos de

edad"

$ol*mna px >Probabili0a0 an*al 0e 8i8ir?

$n esta columna se indican los valores de p. que es la probabilidad de que una

persona de edad . viva asta la edad .A&" 3s, p+@9@"HH/?? indica la probabilidad

que tiene una persona de +@ aNos de vivir asta cumplir +& aNos" e acuerdo con lo

dico en &>"), p.Aq.9&"

3s, p+@Aq+@9@,HH/??A@,@@+>/9&"

e acuerdo con la definici!n de probabilidad, se tiene%

q =d

x

=lx...l

x+1

lx

lx

EJEMPLO0Cuntas personas entre & @@@ @@@ que tienen & aNo llegarn vivas a la edad de >@

aNos2

>ara e;aluar la respuesta utilizaremos la tabla de mortalidad descrita en el ane"o ?

ubicndonos en la columna n&mero de ;i;os ?" ! interceptndolo con la columna

edad ( solicitada:

l50

x


40/44

=810 900


41/44

nx.

x n

x

PRO?A?ILIDAD DE 9IDA@ MUERTE PARA PERODOS MA@ORES A UN

ABO

1ara e.presar estos valores se utili*an los siguientes smbolos%

np

.

9 1robabilidad de que una persona de edad . viva por lo menos n aNos; o sea, o

que

est5 viva a la edad .An

nq.

n&

q.

9 1robabilidad de que una persona de edad . muera, antes de cumplir .An aNos"

9 1robabilidad de que una persona de edad . muera, entre las edades '.An( y

'.AnA6(

e a por la f!rmula de probabilidad se tiene%

EJEMPLO:

Tallar la probabilidad de que un ombre de >@ aNos viva, por lo menos, >+ aNos%

3p50=

778 981= 0,9060637

810 900


42/44

n/1x

= x%n

x

1robabilidad de que una persona de edad . muera entre las edades .An y .AnA6, por

la definici!n de probabilidad se tiene%

EJEMPLO:

0Cul es la probabilidad de que una persona de ?@ aNos muera, entre los >@ y los >>

aNos2

10/50q0=l50l55

l0

10 / 50

q0 =

810 900 1 75 191=0,06198883 3!


43/44


44/44

A3A4CA5 647A7C438A5 9 AC:A84A35

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