7/24/2019 MCD1_U4_A3

1/13

Actividad 3. Mximo y mnimos y grfica de una funcin

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de mximos y mnimos, as como su

representacin grfica de una funcin.

1. e desea inscribir un cilindro circular recto de volumen mximo dentro de un conocomo lo muestra la siguiente figura!

"allar las dimensiones de dic#o cilindro.

$l cilindro tiene un radio r y una altura h .

%a frmula para calcular el volumen es!

V=hr2

$l #ec#o de estar inscrito en el cono #ace &ue a cada radio del cilindro le corresponde

una 'nica altura y viceversa.

r=10h=0

r=0h=24

i se incrementa el r en 1( disminuye # en )*

i incrementamos r en x disminuye # en24x

10

h=2424 r

10=24024 r

10=

12012 r5

7/24/2019 MCD1_U4_A3

2/13

%uego podemos poner el volumen solo en funcin del radio!

V(r )= [ 12012r5 ]r2=(5 )(120r 212r 3)

+erivamos e igualamos a ( para calcular el mximo!

V '(r )=(5 ) (240r36 r2)=0

240r36r2=0

r (24036 r )=0

na solucin es r=0

- la otra

24036r=0

r=240

36=

20

3

%a segunda derivada es!

V ' '(r )=(5)(24072 r )

V ' '(0)=240

5>0 $s mnimo

V' '( 203)=(5 )(24072203)=

(5 )(7201440 )3

=(5 ) 7203

7/24/2019 MCD1_U4_A3

3/13

h=12012r

5=

(12012 203)5

=12080

5=8

Rpta. r=20

3=6.6666

h=8

). +ada la funcin

2( 3)f x x x=

y el punto

( )0 5, 5P = #allar el punto sobre la grfica

de

( )f x

&ue est ms cerca de0P

.

%os puntos de la funcin tienen la forma!

(x , x23x)

u distancia al punto (5,5) es!

(x5)2+(x23x+5)2

uprimimos la ra/ para #acer el clculo!

f(x)=(x5)2+(x23x+5)2

+erivamos e igualamos a cero!

f '(x)=2(x5)+2(x23x+5)(2x3)=0

2x10+4x36x212x2+18x+20x30=0

4x318x2+40x40=0

2x39x2+20x20=0

7/24/2019 MCD1_U4_A3

4/13

upondremos &ue tiene solucin entera. $ntonces ser divisor de20

2=10 y podr

ser {1,1,2,2,5,5,10,10 }

0ara x1 29+2020=7

0ara x=1 292020=51

0ara x=2 1636+4020=0

x=2 $s una solucin, veamos si #ay otras dividiendo por divisin sint2tica.

292020

24102025100

2x25x+10 Al parecer tiene races reales, el discriminante es

2580=55 egativo, no #ay races

olo x) puede ser el mnimo.

%a derivada segunda es!

f ' '(x)=12x236x+40

f ' '(2)=4872+40=16 0ositiva, es un mnimo.

%as coordenadas del punto ms cercano son!

(2,223 2)

Po=(2,2)

3. "allar dos n'meros cuya suma de cuadrados es igual a100

y cuyo producto sea

mximo.

ean x y y los dos n'meros.

omo

x+y=100

4enemos &ue!

y=100x

7/24/2019 MCD1_U4_A3

5/13

%os dos n'meros son!

x ,100x

u producto es!

f(x)=x (100x)=100xx2

alculemos el mximo de esa funcin derivando e igualando a cero!

f '(x)=1002x=0

100=2x

x=50

$s un mximo por&ue la derivada segunda es negativa.

f ' '(x)=2

$l valor de y es!

y=10050=50

%os dos n'meros son el mismo 5( y 5(.

*. $n un ro de

250m

de anc#o estn ubicados dos puntosA

yB

uno frente a otro y

del mismo lado deB

#ay un tercer puntoC

ubicado a500m

de tal forma &ue el

segmentoAB

es perpendicular aBC

. na compa6a de energa el2ctrica &uiere

tender un cable desdeA

#astaC

parando por el puntoD

, como lo muestra a

figura!

7/24/2019 MCD1_U4_A3

6/13

i el costo por metro del cable ba7o tierra es30%

ms barato &ue el cable ba7o el agua.

8mo se debe tender el cable para &ue el costo sea mnimo9

AB=250

BC=500

ea x la distancia BD

%os metros ba7o el agua sern

(AB2+BD2)=(250+x

2)=(62500+x2)

%os metros ba7o tierra sern 500x

i al metro ba7o agua le damos un precio de 1, el metro ba7o tierra vale (.:$l costo total es!

c (x)=(62500+x2)+0.7 (500x )

+erivamos e igualamos a cero para #allar los extremos relativos!

c'(x )=

x

(62500+x2 )0.7=0

x(62500+x2 )

=0.7

x=0.7 (62500+x2)

$levamos al cuadrado!

x2=0.49(62500+x2)

x2

(10.49)=30625

x2=

30625

0.51=60049.01961

x=(60049.01961)=245.0499147m

7/24/2019 MCD1_U4_A3

7/13

A ra/n de &ue!

x=0.7 (62500+x2)

"ay un 'nico extremo relativo y tiene &ue ser mnimo por&ue #ay puntos donde el costo

se puede elevar tanto como &ueramos.

$l punto + est a 245.0499147m de ;

5. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva

3( 4)f x x x=

.

%a funcin es un polinomio, luego est definido en todo R , es continua y no tiene

asntotas. 4iene simetra central por ser todos los t2rminos impares con lo cual

f(x )=f(x )

%os cortes con el e7e x son!

x34x=0

x (x24)=0

x=0,2y 2

$l corte con el e7e y es y=0 !

%a derivada primera es!

f '(x)=3x24

%os puntos crticos son!

3x2=4

x2=

4

3

7/24/2019 MCD1_U4_A3

8/13

x=2

3y 2

3

%a derivada segunda es!

f ' '(x)=6

x

$n2

3 es f

7/24/2019 MCD1_U4_A3

9/13

?. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva

( )( ) sen 2f x x x=

$s una funcin continua, tiene un corte con los e7es en el punto =(, (> y los otros son

difciles de calcular. o tiene asntotas de ning'n tipo.@eamos los mximos, mnimos, /onas de crecimiento y decrecimiento, para ello la

derivamos e igualamos a cero.

f '(x)=12cos(2x)=0

2cos(2x)=1

cos (2x )=1

2

2x=3

,5 3

, 7 3

, 113

x=

6,5

6,7

6,11

6

$n tomamos x=0 entonces f '(x)=12=1 f es decreciente

$n (

6,5

6) tomamos x=

2 entoncesf '(x)=1+2=3 f es creciente

$n (5

6,7

6) tomamos x= entonces f '(x)=12=1 f es decreciente

$n (7

6,11

6) tomamos x=

3

2 entoncesf '(x)=1+2 f es creciente

$n tomamos x=2 entonces f '(x)=12=1 f es decreciente

f ' '(x)=4 sen(2x)

4 sen(2x )=0

sen(2x)=0

2x=0, ,2 ,3

7/24/2019 MCD1_U4_A3

10/13

x=0,

2, ,

3

2

$n tenemos f ' '(x)=4 sen(2x)>0 f cncava es #acia arriba

$n ( 2 , ) tenemos f ' '(x)=4 sen(2x)06 es mnimo f ( 5 6)=4 sen( 53 )07 8 esmnimo f ( 116)=4 sen( 113 )

7/24/2019 MCD1_U4_A3

11/13

:. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva

4 24( ) 4f x x x= +

+erivamos la primera derivada!

f (x )=4x3

8x=4x(x2

2)

+espu2s derivamos la segunda derivada!

f (x )=12x28=4(3x32)

Aplicando!

f (x )=04x(x22 )=0

%os n'meros crticos son x=0,2,2

%os valores de la segunda derivada!

f (0 )=8

7/24/2019 MCD1_U4_A3

12/13

. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva

1(

1)

xf

xx

+=

.

$s una funcin definida en todo R menos en x=1 .

4iene el corte con el e7e x en x=1

- el corte con el e7e y en y= 1

1=1

4iene asntota vertical en x=1

%a derivada es!f (x )=

(x1x1)

(x1 )2 =

2

(x1 )2

$s siempre negativa, siempre es decreciente y no tiene mximos ni mnimos relativos.

%a derivada segunda es!

f (x )=2 2 (x1)

(x1 )4=

4 (x1 )

(x1 )4

4 (x1)=0

(x1)=0

x=1

$n(,1)

por e7emplox=0 f ' '(0)=4

es cncava #acia aba7o.

$n (1,) por e7emplo x=2 f ' '(0)=4 es cncava #acia arriba.

%a grafica es la siguiente!

7/24/2019 MCD1_U4_A3

13/13