MEF103A+-+Diapo+06+_Probabilidades+II_
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ProbabilidadesDefinicin y propiedades
Bioestadstica
MEF103A
Segundo Semestre 2015
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Tabla de Contenidos
1. Probabilidad Condicional
2. Independencia
3. Ley de Probabilidades Totales
4. Teorema de Bayes
MEF103ASegundo Semestre 2015
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
Introduccin
( )Nmerode casos favorables a A
P ANmerode casos totales
De acuerdo a la definicin clsica de probabilidad, paraun evento A, la probabilidad de que A ocurra se obtienecomo:
-
Actividad. Se lanza un dado y se observa el resultado.Sea A= obtener un nmero impar.
B= obtener un nmero menor a 6.
Calcule P(A), P(B) y P(A B). Cul es la probabilidad de obtener un nmero impardado que obtuve un nmero inferior a 6? Calculeusando casos favorables / casos totales. A partir de las probabilidades anteriores, cmo sepuede obtener P(A condicionado en B)?
Segundo Semestre 2015 MEF103A
Introduccin
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Sean y dos eventos contenidos en el espaciomuestral , con () > 0. Se define la probabilidadcondicional de dada la ocurrencia del evento como:
Si ambos eventos son posibles, entonces se tiene que:
() = () (|)() = () (|)
)(
)()|(
BP
BAPBAP
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Probabilidad Condicional
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Ejemplo 1. La siguiente tabla muestra ladistribucin de peso (en grupos) segn sexo de unapoblacin de inters
Grupo Hombres Mujeres Total
83 24 4 28
Total 60 64 124
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Probabilidad Condicional
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
Probabilidad Condicional
En el Ejemplo 1, cul es la probabilidad de pesar entre67 y 75 kilos en las mujeres?
Definamos los siguientes eventos:
A: El peso es entre 67 y 75 kilosB: El sexo es mujer
Notemos que se pide (|), qu necesitamos?
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
Probabilidad Condicional
Notas:
P(A) se llama probabilidad a priori
P(A|B) corresponde a la probabilidad a posteriori
( )( \ )
( )
( )( \ )
( )
P A BP A B
P B
P A BP B A
P A
( \ ) ( )( \ )
( )
P B A P AP A B
P B
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
Probabilidad Condicional
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
< 3000 grs >= 3000 grs.
Hombres 54 396
Mujeres 48 352
Independencia
Considere la siguiente tabla de Peso del RN
Cul es la probabilidad de pesar menos de 3000 grs.?Y si el RN es un nio?
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
Independencia
Dos eventos y se dice que son estadsticamenteindependientes si la ocurrencia de un evento no dependede la ocurrencia o no ocurrencia del otro. Es decir,
= o
(|) = ()
A partir de la definicin de probabilidad condicional, setiene que si y son dos eventos posibles eindependientes, entonces
( ) = () ()
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Independencia
Para los datos del Ejemplo 1.
Son los eventos y , definidos anteriormente,independientes?
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Consider eventos posibles 1, 2, , colectivamenteexhaustivos y mutuamente excluyentes, es decir,
4321 BBBB
433121 ... BBBBBB
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Ley de Probabilidades Totales
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Formalmente, consideremos los eventos posibles1, 2, 3, , , tales que:
=1
= =
Luego, para cualquier evento A se cumple que:
() = =1
)()
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Ley de Probabilidades Totales
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Luego,
= |1 1 + |2 2 + |3 3 + |4 4
.
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Ley de Probabilidades Totales
Si es un evento contenido en el espacio muestraltenemos que:
-
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Ejemplo 3, definamos los siguientes eventos :
: tener dificultad de aprendizaje: haber tenido educacin preescolar: no haber tenido educacin preescolar
Cul es la probabilidad de tener dificultad deaprendizaje? Si no conozco directamente, puedointentar averiguar la probabilidad de presentar dificultadde aprendizaje dado si el sujeto tuvo educacinpreescolar o no.
Ley de Probabilidades Totales
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Segundo Semestre 2015 MEF103A
Ley de Probabilidades TotalesEjemplo 3
Supongamos que se cuenta con la siguienteinformacin: se sabe que un 5% de los nios queasisten a enseanza pre-escolar presentan problemasde aprendizaje, en cambio un 15% de los que noasisten presentan problemas de aprendizaje. Se sabeadems que un 40% de los nios no asiste aenseanza pre-escolar.
Cul es la probabilidad de presentar problemas deaprendizaje?
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El Teorema de Bayes permite calcular probabilidadesinversas.
Ejemplo 4.Diamond y Forrester (1979) usaron la regla de Bayes paradiagnosticar enfermedad coronaria a las arterias. De unexamen mdico, determinaron cuntas arteriascoronarias (0, 1, 2 o 3) estaban calcificadas. Denotaroncomo 0, 1, 2y 3 a estos eventos y como
+ y si lapersona haba muerto o no.
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Teorema de Bayes
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Un estudio clnico revel los siguientes resultados:
Supongamos que llega un paciente (hombre, 34 aos) condolor en el pecho. De los registros mdicos se sabe que
(|+) (|
)0 0,42 0,96
1 0,24 0,02
2 0,20 0,02
3 0,14 0,00
i
05,)( DP
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Teorema de Bayes
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Supongamos que el examen mdico no muestra arteriascalcificadas. Bajo estas condiciones, cul es laprobabilidad de que el paciente muera?
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Teorema de Bayes
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Definicin formal, consideremos los eventos posibles1, 2, 3, , , tales que:
=1
= =
Luego, para cualquier evento posible se cumple que:
= ()
=1 )()
Segundo Semestre 2015 MEF103A
Teorema de Bayes
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0 0,42 0,96
1 0,24 0,02
2 0,20 0,02
3 0,14 0,00
Ejemplo 4
Cul es la probabilidad deque el paciente muera?
)|( DTP ii
05,)( DP
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Teorema de Bayes
)|( DTP i
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Ejercicio 5.
Para aumentar las chances de diagnosticar correctamente unaenfermedad, se mide (con un test) la concentracin de ciertasustancia en la sangre. Los resultados se muestran en la siguientetabla:
T+: alta concentracin en sangre (test positivo)T-: baja concentracin en sangre (test negativo)D+: intoxicacin (enfermedad presente)D-: no intoxicacin (enfermedad ausente)
D+ D- Total
T+ 25 14 39
T- 18 78 96
Total 43 92 135
Segundo Semestre 2015 MEF103A
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Ejercicio 5.
Qu informacin nos entregaconvertir las frecuencias enproporciones (relativas al total)?
Notemos:-Hay dos eventos: la enfermedad(que puede estar presente oausente) y el resultado del test(positivo o negativo).Para el evento de la enfermedad: de qu partes secompone ?
D+ D- Total
T+ 25 14 39
T- 18 78 96
Total 43 92 135
D+ D- Total
T+ 0,185 0,104 0,289
T- 0,133 0,578 0,711
Total 0,319 0,681 1,000
)(DP )(DP ))(( cDPSegundo Semestre 2015 MEF103A
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Ejercicio 5. D+ D- TotalT+ 25 14 39
T- 18 78 96
Total 43 92 135
D+ D- Total
T+ 0,185 0,104 0,289
T- 0,133 0,578 0,711
Total 0,319 0,681 1,000
( )P D T
)|( TDP
)|( DTP
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Ejercicio 5.
Usando definicin de prob.condicional:
Usando teorema de Bayes:
Usando ley de probabilidades totales:
D+ D- Total
T+ 0,185 0,104 0,289
T- 0,133 0,578 0,711
Total 0,319 0,681 1,000
)(DP
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)|( TDP
)|( TDP
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Ejercicio 6.
Suponga que el nivel socio-econmico (NSE) se clasificanen tres niveles: Bajo (B), Medio (M) y Alto (A). denotarel evento que el padre tiene un NSE alto, que el hijotiene un NSE alto, etc.
Cmo se interpreta la celda con probabilidad 0,25?
1A
2A
A2 M2 B2
A1 0,45 0,48 0,07
M1 0,05 0,70 0,25
B1 0,01 0,50 0,49
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Ejercicio 6.
Cul es la probabilidadde que un hijo sea de NSEMedio?
Suponga la siguiente distribucin de NSE para el padre:NSE alto es el 10%, en el NSE medio el 40% y en el bajo el50%?
A2 M2 B2
A1 0,45 0,48 0,07
M1 0,05 0,70 0,25
B1 0,01 0,50 0,49
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Resumen
Probabilidad Condicional :
Independencia: = ( ) = () ()
Ley de Probabilidades totales:
() = =1
)()
)(
)()|(
BP
BAPBAP
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Resumen
Teorema de Bayes:
= ()
=1 )()