Método de elementos finitos introduccion e historia
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Integrantes:
Jairo Cayambe
Geovanny Córdova
10 Ing. Civil “B”
El método de los elementos finitos es un método numérico
para resolver problemas de ingeniería y matemática física.
Los típicos problemas del área de interés de ingeniería y
matemática física se puede resolver mediante el uso del
método de elementos finitos, incluye análisis
estructural, transferencia de calor, flujo de
líquidos, transporte de masas, y potencial electromagnético.
Para los problemas relacionados con geometrías
complicadas, cargas y propiedades de material, generalmente
no es posible obtener soluciones analíticas matemáticas.
Las soluciones analíticas son dados por una expresión
matemática que da los valores de las cantidades
desconocidos deseadas en cualquier ubicación en un cuerpo
(aquí la estructura total o sistema físico de interés) y por
tanto válida para un número infinito de lugares en el cuerpo.
Estas soluciones analíticas requieren generalmente la
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias o
parciales, las cuales, debido a las geometrías
complicadas, cargas y propiedades de materiales, no son
usualmente obtenibles. Por lo tanto tenemos que confiar en
los métodos numéricos, como el método de los elementos
finitos, para encontrar soluciones aceptables.
Estos métodos numéricos dan valores aproximados de las
incógnitas en números discretizados de puntos en el
continuo. Por lo tanto este proceso de modelado de un
cuerpo mediante su división en un sistema equivalente de
cuerpos más pequeños o unidades (elementos finitos)
interconectadas en puntos comunes a dos o más elementos
(puntos nodales o nodos) y / o líneas de límite y / o
superficies se denomina discretización.
En el método de elementos finitos, en lugar de resolver el
problema para todo el cuerpo en una sola operación, se
formulan las ecuaciones para cada elemento finito y
combinarlos para obtener la solución de todo el cuerpo.
En pocas palabras, la solución para los problemas
estructurales típicamente se refiere a la determinación de los
desplazamientos en cada nodo y las tensiones dentro de cada
elemento que componen la estructura que se somete a las
cargas aplicadas. En problemas no estructurales, las
incógnitas nodales pueden, por ejemplo, ser temperaturas o
presiones de líquido debido a los flujos térmicos o fluido.
Este primer capítulo presenta una breve historia de el
desarrollo del método de elementos finitos. Como verán en
este relato histórico que el método se ha convertido en una
práctica para la solución de problemas de ingeniería sólo en
los últimos 50 años (en paralelo con los desarrollos
asociados a la moderna de alta-velocidad de la computadora
electrónica digital).
Esta historia es seguida por una introducción a la notación de
matriz, y luego se describe la necesidad de métodos de
matriz (como hecho práctico por el desarrollo de la
computadora digital moderna) en la formulación de las
ecuaciones de solución. En esta sección se analiza tanto el
papel de la computadora digital en la solución de los grandes
sistemas de ecuaciones algebraicas simultáneas asociadas a
problemas complejos y el desarrollo de programas de
ordenador numerosos basado en el método de los elementos
finitos.
Esta descripción incluye la discusión de los tipos de
elementos disponibles para una solución de elementos finitos
Varias aplicaciones representativas son luego presentados
para ilustrar la capacidad del método para resolver los
problemas, tales como las que implican geometrías
complicadas, varios materiales diferentes, y las cargas
irregulares.
En esta sección se presenta una breve historia del método de
los elementos finitos aplicado a las áreas estructurales y no
estructurales de la ingeniería y de la física matemática. Las
referencias citadas aquí están destinados a aumentar esta
breve introducción al contexto histórico
El desarrollo moderno del método de los elementos finitos se
inició en la década de 1940 en el campo de la ingeniería
estructural con el trabajo de Hrennikoff en 1941 y McHenry
en 1943, que utilizaron una red de línea (unidimensional)
elementos (barras y vigas) para la solución de las tensiones
en sólidos continuos. En un artículo publicado en 1943, pero
no ampliamente reconocido durante muchos años, Courant
propuso la creación de la solución de las tensiones en una
forma variada. Luego se introdujo la interpolación por partes
(o forma) sobre las funciones triangulares subregiones que
componen el conjunto de la región como un método para
obtener soluciones numéricas aproximadas .
En 1947 Levy desarrolló la flexibilidad o el método de la
fuerza, y en 1953 su obra sugiere que otro método (el
método de desplazamiento o rigidez) podría ser una
alternativa prometedora para su uso en el análisis de
estructuras estáticamente redundantes. Sin embargo, sus
ecuaciones eran engorrosos para solucionar con la mano, y
por lo tanto el método se hizo popular con la llegada de la
computadora digital de alta velocidad.
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollado métodos matriciales
de análisis estructural utilizando los principios de la energía.
Este hecho ilustra el importante papel que jugaría principios
de la energía en el método de elementos finitos. El primer
tratamiento de elementos bidimensionales era por Turner et
al. en 1956.
Estos datos proceden matrices de rigidez para elementos
barra, elementos viga y elementos bidimensionales
triangulares y rectangulares en tensión plana y describió el
procedimiento
Un piso rectangular- vigas de plata- elementos de matriz
rígida fue desarrollado por Melosh en 1961. Este fue seguido
por el desarrollo de las curvas-flexión de cascara-elementos
de matriz rígida por cascaras asimétricas y presiones por
Grafton y Strome en 1963.
La extensión del método de elementos finitos a problemas
en tres dimensiones con el desarrollo de una matriz tetraedro
rígido fue hecho por Martín en 1961, por Gallagher en 1962
y Melosh en 1963.
Adicionalmente los elementos en tres dimenciones fueron
estudiados por Argyris en 1964.
En especial los casos de solidos asimétricos fue considerado
por Clough, Rashid y Wilson en 1965.
En 1965 Archer considero el analices dinámico en el
desarrollo de la matriz consistencia-masa, el cual es
aplicable para el análisis del sistema de distribución de
masas como as barras y vigas en análisis de estructuras.
Con Melosh en 1963 la realización de el método de
elementos finitos fue configurado en términos de variación
de formulación., empezó a ser usado para resolver
aplicaciones no estructurales.
La extensión de l método fue posible por la adaptación de
ponderación residual de método, primero por Szabo y Lee en
1969 para derivar la previa ecuación elativa conocida usada
en análisis estructural y luego por Zienkiewicz y Parekh en
1970 para la transición de problemas de campo. Fue
reconocido que cuando una formula directa y variación de
formulaciones son difíciles o no posibles para usar, el
método de ponderación residual puede a veces ser apropiado.
En 1976 Belytschko consideró los problemas asociados con
longitud-desplazamiento no lineal de comportamiento
dinámico, y mejoro las técnicas numéricas para resolver la
resultante de un sistema de ecuaciones.
Desde el inicio de 1950 al presente, hemos hechos grandes
avances en la aplicación del método de elementos finitos
para resolver problemas de ingeniería complicados. Los
ingenieros, matemáticos y otros científicos continuaran
indudablemente a desarrollar nuevas aplicaciones
