UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

Nombre: Johana Reyes Rojas

Profesor: Saúl Ángel Cuevas

Asignatura: Introducción al algebra superior

Actividad 3 Relaciones y funciones

Fecha: 5 de febrero de 2014

Actividad 3. Relaciones y funciones

Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente:

Si A={a ,b ,d , e , f },B={1,2,3,4,5 },C={3,7,9}, D={a , e , i}

calcula A×B ,B× A , A×∅ , A × A ,B×B , ( A∪D )×B , A×(B∪C)

A×B = (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) (a,5) (b,1) (b,2) (b,3) (b,4) (b,5) (d,1) (d,2) (d,3) (d,4) (d,5) (e,1) (e,2) (e,3) (e,4) (e,5) (f,1) (f,2) (f,3) (f,4) (f,5)

B× A = (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) (5,a) (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) (5,b) (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) (5,d) (1,e) (2e) (3e) (4e) (5e) (1f) (2f) (3f) (4f) (5f)

A×∅ = ∅

A× A = (a,a) (b,b) (d,d) (e,e) (f,f)

B×B = (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5)

( A∪D )×B = (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) (a,5) (b,1) (b,2) (b,3) (b,4) (b,5) (d,1) (d,2) (d,3) (d,4)

(d,5) (e,1) (e,2) (e,3) (e,4) (e,5) (f,1) (f,2) (f,3) (f,4) (f,5) (i,1) (i,2) (i,3) (i,4) (i,5)

A×(B∪C ) = (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) (a,5) (a,7) (a,9) (b,1) (b,2) (b,3) (b,4) (b,5) (b,7) (b,9)

(d,1) (d,2) (d,3) (d,4) (d,5) (d,7) (d,9) (e,1) (e,2) (e,3) (e,4) (e,5) (e,7) (e,9) (f,1) (f,2) (f,3) (f,4) (f,5) (f,7) (f,9)

1) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de A×B, el dominio de R se define como el subconjunto

{x∈ A /∃ y∈B ,tal que (x , y)∈R } y al conjunto B se le llama el contradominio de la

relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface:

{b∈B/∃a∈ A ,tal que(a ,b)∈R } Como notación se suele escribir (a ,b )∈R ,aRb. Si

A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) Sea D la relación definida sobre el conjunto N= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} como

(a ,b )∈D si a divide a b. Escribe explícitamente los miembros de D, así como el

dominio, contradominio e imagen de D.

1) Una pareja ordenada (a ,b) cumple la siguiente propiedad (a ,b)=(c ,d) si y sólo si

a=c y b=d, definimos el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como

A×B={(a ,b)/a∈ A y b∈B }. Resuelve lo siguiente:

D = (2,2) (2,4) (2,6) (2,8) (2,10) (2,12) (3,3) (3,6) (3,9) (3,12) (4,4) (4,8) (4,12) (5,5) (5,10) (6,6) (6,12)

Dominio (2,3,4,5,6)Contradominio ( 4,6,8.9.10,12)

IMAGEN

Imagen = (4,6,8,10,12)

b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como (a ,b )∈R si a y b dejan el

mismo residuo cuando se dividen entre 3. Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación.

N = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Relacion = (1,1) (1,4) (1,7) (2,2) (2,5) (2,8) (3,3) (3,6) (3,9) (4,1) (4,4) (4,7) (5,5) (5,8) (6,3) (6,6) (6,9) (7,1) (7,4) (7,7) (8,2) (8,5) (8,8) (9,3) (9,6)

Dominio = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Contradominio = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Imagen: (3,4,5,6,7,8,9)

3. Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si a Ra ∀a∈ A, se dice que es

simétrica si (a ,b )∈R⟹ (b ,a)∈ R, se dice que es transitiva si

(a ,b ) y (b , c )∈ R⟹ (a , c )∈R. Contesta lo siguiente:

a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas.

Reflexiva: Cumple la propiedad cuando todo elemento del conjunto A esta relacionado consigo mismo.

Por ejemplo: sea A= (1,2,3,4)R = (1,1) (1,3) (2,2) (3,2) (3,3) (4,3) (4,4)

Simetrica; Cumple la propiedad cuando para cada par (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ R.

Si (a,b) esta en la relación pero (b,a) no entonces, la relación no es simetrica

Por ejemplo, sea A = (1,2,3,4)

R = (1,1) (1,3) (2,2) (3,1) (3,3) (3,4) (4,3) (4,4)

Transitiva: Cumple la propiedad cuando para cada par (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R

Por ejemplo sea A = (1,2,3,4)

R = (1,1) (1,3) (2,2) (3,3) (4,3) (4,4)

b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.

Sea A = {1,2,3,4} y

R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)}.

Ver si R es de equivalencia.

Solucion

Reflexividad. En efecto,

(1,1) ∈ R, (2,2) ∈ R, (3,3) ∈ R y (4,4) ∈ R

luego,

∀x (x ∈ A =⇒ xRx)

es decir, R es reflexiva.

Simetrıa. En efecto,

(1,2) ∈ R y (2,1) ∈ R

(3,4) ∈ R y (4,3) ∈ R

luego,

∀x, y ∈ A [(x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R]

es decir, la relaci´on propuesta es sim´etrica.

Transitividad. En efecto,

(1,1) ∈ R y (1,2) ∈ R =⇒ (1,2) ∈ R

(1,2) ∈ R y (2,1) ∈ R =⇒ (1,1) ∈ R

(1,2) ∈ R y (2,2) ∈ R =⇒ (1,2) ∈ R

(2,1) ∈ R y (1,1) ∈ R =⇒ (2,1) ∈ R

(2,1) ∈ R y (1,2) ∈ R =⇒ (2,2) ∈ R

(2,2) ∈ R y (2,1) ∈ R =⇒ (2,1) ∈ R

(3,4) ∈ R y (4,4) ∈ R =⇒ (3,4) ∈ R

(3,3) ∈ R y (3,4) ∈ R =⇒ (3,4) ∈ R

(4,3) ∈ R y (3,3) ∈ R =⇒ (4,3) ∈ R

(4,4) ∈ R y (4,3) ∈ R =⇒ (4,3) ∈ R

luego,

∀x, y, z ∈ A [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R]

y la relacion es, por tanto, transitiva.

4 Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente:

si (a ,b ) , (a , c )∈ f entoncesb=c y se denota como f (a )=b, el dominio, el

contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: f : A→B.

a) Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen:i) ¿ No es una funcion

ii) {( x , y )/ x , y∈Z , x2= y } Es una funcion

iii) {x , y /x , y∈N , y=3x } Es una funcion

b) Si A={1,2,3,4,5 } y B={a ,b , c ,d }, lista cuatro funciones de A en B.

f 1 = (1,a) (2,b) (3,c) (4,d) (5,d)

f 2 = (1,b) (2,a) (3,d) (4,c) (5,d)

f 3 = (1,d) (2,c) (3.b) (4,b) (5,a)

f 4 = (1,b) (2,c) (3,d) (4,a) (5,b)

5. Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad entre funciones.

Inyectividad: En matemáticas, una función   es inyectiva si a elementos distintos del conjunto  (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto   

(imagen) de  . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Suprayectividad Una función es suprayectiva o sobre si todo elemento de su Codominio es imagen de por lo menos un elemento de su Dominio, lo que se expresa como: Sea : f f fD C → Si b C existe a D tal que , f f ( ) entonces es sobre.

Biyectividad: Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca

a. Determina si las siguientes funciones son biyectivas

i. f :Z→Z, f ( z )=3 z. No es biyectiva

ii. f :Z→Z, f ( z )=z2. No es biyectiva

iii. f :Q→Q, f (q )=3q−1. Si es biyectiva

iv. f :R→R, f ( x )=3 x+1. Es biyectiva

b. Si existe una función biyectiva f : A→B , de un conjunto A en un conjunto

B podemos definir la función inversa g :B→A , como g (b )=a, tal que

f (a )=b, da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.

c.d.e.f.g.h.i.

c. Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita n si existe una

función biyectiva entre A y el conjunto {1,2,3 ,…,n }. Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito.

i. Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto.En matemáticas, el conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

ii. Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finitaA = xIx es el numero de un dia del mes de junioB = xIx es el numero de personas que asisten en un estadioC = xIx es la cantidad de autos que circulan en la Ciudad de Mexico

iii. Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.A = 1,3,5,7,9,11….B = 2,4,6,8,10,12….C = xIx es la cantidad de puntos en una línea

iv. Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.

X = xI es la cantidad de alumnos en una escuelaY = yI es la cantidad de días en que se acabara el mundo

b. Se define la composición de dos funciones f : A→B y g :B→C, como la función h : A→C, definida como

{(a , c )/existeb∈B tal que f (a )=b y g (b )=c }, se denota como

g∘ f : A→C y (g∘ f ) (a )=g (f (a ))=c.i. ¿Es inyectiva la composición de dos funciones

inyectivas? Prueba o da contraejemplo.En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Una función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

ii. ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo.

f:A®B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea:

 

 Esto significa que para determinar si una función es sobreyectiva se deben estudiar los elementos del dominio en lo que respecta al conjunto, despejando de la función dada x y valuando luego en la función para determinar si realmente f(x)=y.-Por ejemplo sea:

Esta función es lo mismo que:

iii. ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo.

Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.