Modelación Física de Cambios Operativos en RDAP.pdf

8/12/2019 Modelacin Fsica de Cambios Operativos en RDAP.pdf

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Universidad de los AndesFacultad de Ingeniera

Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental Centro de Investigaciones en Acueductos y

AlcantarilladosCIACUA

Modelacin Fsica de Cambios Operativos en Redes deDistribucin de Agua Potable: Modelaciones en Perodo

Extendido y Modelacin de Flujo No Permanente

Proyecto de GradoIngeniera Ambiental

Ivn Camilo Viveros Gngora

Bogot, Julio de 2013


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A mis padres, yo tambin los amo.


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Contenido

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INTRODUCCIN ....................................................................................................................................... 1

2 Montaje de Laboratorio ...................................................................................................................... 9

2.1 Antecedentes .................................................................................................................................... 9

2.2 Accesorios de la Red Elevada ............................................................................................................ 9

2.3 Sistema de Medicin ....................................................................................................................... 12

2.4 Medicin de presin ........................................................................................................................ 12

2.5 Medicin de Demandas de Puntos de Extraccin de Caudal .......................................................... 15

2.6 Escenarios ....................................................................................................................................... 17 2.6.1 Escenario 5 Inicial ....................................................................................................................... 18 2.6.2 Escenario 5 Final ......................................................................................................................... 20 2.6.3 Escenario 6 Inicial ....................................................................................................................... 21 2.6.4 Escenario 6 Final ......................................................................................................................... 22

2.7 Resultados de mediciones de presin y demandas ......................................................................... 23

3 Modelo Computacional ..................................................................................................................... 26

3.1 EPANET ............................................................................................................................................ 26

3.2 REDES .............................................................................................................................................. 26 3.2.1 Mtodo del Gradiente ................................................................................................................ 27 3.2.2 Mtodo de Gauss o Factorizacin de Cholesky .......................................................................... 30 3.2.3 Descomposicin de Cholesky ..................................................................................................... 33

3.3 Modelo Hidrulico ........................................................................................................................... 34 3.3.1 Energa de Entrada ..................................................................................................................... 35 3.3.2 Demandas en Nudos de Extraccin de Caudal ........................................................................... 35 3.3.3 Dimetros Reales ........................................................................................................................ 36 3.3.4 Coeficientes de Prdidas Menores ............................................................................................. 36 3.3.5 Representatividad del Modelo ................................................................................................... 37 3.3.6 Coeficiente de Determinacin .................................................................................................... 37 3.3.7 Error Cuadrtico Medio .............................................................................................................. 38

3.3.8 Indicadores de Representatividad .............................................................................................. 39

4 Resultados ......................................................................................................................................... 41

4.1 Procedimiento ................................................................................................................................. 41

4.2 Ubicaciones ..................................................................................................................................... 41 4.2.1 Ubicacin 1 ................................................................................................................................. 41 4.2.2 Ubicacin 2 ................................................................................................................................. 55


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Universidad de los AndesDepartamento de Ingeniera Civil y AmbientalCentro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados CIACUA Modelacin Fsica de Cambios Operativos en Redes de Distribucinde Agua Potable: Modelaciones en Perodo Extendido y Modelacinde Flujo No Permanente

ivIvn Camilo Viveros Gngora

4.2.3 Ubicacin 3 ................................................................................................................................. 71

4.3 Comparacin con Magnitudes de la Ecuacin de Joukowsky ......................................................... 86

4.4 Comparacin entre Escenarios en Estado Estable y Escenarios Sometidos a Variaciones Sbitas . 88

5 Modelacin en Perodo Extendido ..................................................................................................... 91

5.1 Caractersticas del Modelo .............................................................................................................. 91

5.2 Energa de Entrada.......................................................................................................................... 91

5.3 Demandas ....................................................................................................................................... 91

5.4 Patrones de Altura de Presin y de Demanda de Caudal ................................................................ 92 Patrones de la Variacin del Escenario 5 ................................................................................................. 93 5.4.1 Patrones de Variacin del Escenario 6 ....................................................................................... 95

5.5 Resultados y Representatividad del Modelo ................................................................................... 96 5.5.1 Representatividad....................................................................................................................... 96

6 Conclusiones ..................................................................................................................................... 98

7 Agradecimientos ............................................................................................................................. 100

8 Bibliografa ...................................................................................................................................... 101

9 Anexos ............................................................................................................................................ 103

9.1 Escenario 5 .................................................................................................................................... 103

9.2 Escenario 6 .................................................................................................................................... 104


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vIvn Camilo Viveros Gngora

ndice de Ilustraciones

Ilustracin 1 Cada de Altura de Presin ............................................................................................. 3Ilustracin 2 Fluctuaciones de Presin ................................................................................................ 4Ilustracin 3 Vlvula de Bola de 2 Pulgadas. ..................................................................................... 10Ilustracin 4 Vlvula de 3 Pulgadas. .................................................................................................. 10Ilustracin 5 Transductor de Presin Vegabar 52. ............................................................................ 10Ilustracin 6 Vlvula de 2 Pulgadas. .................................................................................................. 10Ilustracin 7 Dimetros de Tuberas en la Red Elevada .................................................................... 11Ilustracin 8 FieldPoint FP-1601 y Extensin FP-AI-111. ................................................................... 12Ilustracin 9 Vegabar 52.................................................................................................................... 13Ilustracin 10 MAN LD3S (Kobold). ................................................................................................... 13Ilustracin 11 Mapa de Transductores de Presin............................................................................ 14Ilustracin 12 Puntos de Extraccin de Caudal. ................................................................................ 16Ilustracin 13 Grfica Comparativa de Diferentes Vlvulas. ............................................................. 17Ilustracin 14 Escenario 5 Inicial. ...................................................................................................... 19Ilustracin 15 Escenario 5 Final. ........................................................................................................ 20Ilustracin 16 Escenario 6 Inicial. ...................................................................................................... 21Ilustracin 17 Escenario 6 Final. ........................................................................................................ 22Ilustracin 18 Modelo Computacional Epanet. ................................................................................. 36Ilustracin 19 Modelo Computacional Redes (vista 3D). .................................................................. 37Ilustracin 20 Ubicacin 1. ................................................................................................................ 42Ilustracin 21 Ubicacin 2 del Caudalmetro. ................................................................................... 55Ilustracin 22 Ubicacin 3. ................................................................................................................ 71


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ndice de Ecuaciones

Ecuacin 1 de Joukowsky .................................................................................................................... 2Ecuacin 2 Velocidad de Propagacin de la Onda .............................................................................. 2Ecuacin 3 Perodo de la Tubera ........................................................................................................ 4Ecuacin 4 Presin Mxima en Tuberas de Conduccin y Aduccin ................................................. 6Ecuacin 5 Presin de Diseo para Tuberas de Aduccin y Conduccin ........................................... 6

Ecuacin 6 Ecuacin de Continuidad. .............................................................................................. 27Ecuacin 7 Ecuacin de Darcy Weisbach. ......................................................................................... 27Ecuacin 8 Ecuacin de Colebrook-White. ....................................................................................... 28Ecuacin 9 Ecuacin Explcita para el Clculo del Caudal a partir de las Ecuaciones de Darcy-Weisbach y Colebrook-White. ........................................................................................................... 28Ecuacin 10 Energa Total Disponible. .............................................................................................. 28Ecuacin 11 Prdidas Totales. ........................................................................................................... 29Ecuacin 12 Constante de Prdidas Totales. .................................................................................... 29Ecuacin 13 Conservacin de Energa. .............................................................................................. 29Ecuacin 14 Ecuacin de Continuidad. ............................................................................................. 30

Ecuacin 15 Expresin Ensamblada de Continuidad y Energa. ........................................................ 30Ecuacin 16 Expresin Iterativa de Alturas. ...................................................................................... 30Ecuacin 17 Ecuacin Iterativa de Caudales. .................................................................................... 30Ecuacin 18 Ecuacin de Cholesky .................................................................................................... 33Ecuacin 19 Ecuacin de Cholesky .................................................................................................... 34Ecuacin 20 Coeficiente de Determinacin ...................................................................................... 38Ecuacin 21 Suma de Cuadrados del Error ....................................................................................... 38Ecuacin 22 Suma Total de Cuadrados ............................................................................................. 38Ecuacin 23 Variacin de Laboratorio. ............................................................................................. 86Ecuacin 24 Diferencia de Velocidades. ........................................................................................... 86

Ecuacin 25 Diferencia Entre Variaciones. ........................................................................................ 87Ecuacin 26 Factores de Multiplicacin. ........................................................................................... 92


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viiIvn Camilo Viveros Gngora

ndice de Tablas

Tabla 1 Promedios de Demandas de Caudal. .................................................................................... 23Tabla 2 Desviaciones Estndar de las Demandas de los Escenarios. ................................................ 23Tabla 3 Mediana de las Demandas de los Escenarios. ...................................................................... 24Tabla 4 Medias de Presin. ............................................................................................................... 24Tabla 5 Desviacin Estndar de Presiones de Escenarios. ................................................................ 25

Tabla 6 Mediana de Presiones de Escenarios. .................................................................................. 25Tabla 7 Indicadores Estadsticos. ...................................................................................................... 39Tabla 8 Tabla Valores Mximos de Presin. ...................................................................................... 54Tabla 9 Valores Mximos del Escenario 6 Ubicacin 2. .................................................................... 69Tabla 10 Valores Mnimos del Escenario 6 Ubicacin 2. ................................................................... 70Tabla 11 Valores Mximos del Escenario 6 en la Ubicacin 3. ......................................................... 84Tabla 12 Valores Mnimos de Presin del Escenario 6 en la Ubicacin 3. ........................................ 85Tabla 13 Escenario 5 Inicial Estable y Escenario 5 Sometido a Variacin ......................................... 89Tabla 14 Escenario 5 Final Estable y Escenario 5 Sometido a Variacin .......................................... 89Tabla 15 Escenario 6 Inicial Estable y Escenario 6 Sometido a Variacin ........................................ 90

Tabla 16 Escenario 6 Final Estable y Escenario 6 Sometido a Variacin .......................................... 90Tabla 17 Representatividad de Modelacin en Perodo Extendido. ................................................. 97


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1Ivn Camilo Viveros Gngora

1 INTRODUCCIN

El presente proyecto de grado tiene como finalidad analizar el perfil de caudal y presinen estado de flujo no permanente. Otro de sus objetivos consiste en determinar larepresentatividad de los modelos EPANET y REDES a partir de configuraciones hidrulicasen estado estable. Finalmente, con los perfiles de variacin de caudal y presin se buscadeterminar la representatividad de los modelos computacionales en perodo extendido.

Cuando se hace referencia a las diferentes clasificaciones de flujo es necesario tener en

cuenta la variacin de las caractersticas hidrulicasen relacin con el espacio y con eltiempo. El flujo variado no permanente presenta fluctuaciones tanto en espacio como entiempo; un ejemplo de ste es el golpe de ariete (Saldarriaga, 2007). Cuando se hacereferencia a flujo inestable o flujo variado, la suposicin acerca de la incompresibilidad delfluido no es adecuada y en transientes rpidos es engaosa (Thorley, 1991). Lostransientes o rpidos trnsitos de presin ocurren en cortos perodos de tiempo cuando elestado estable del flujo es alterado (Bosserman II & Hunt, 2006). Desde hace poco ms deun siglo la literatura cientfica ha presentado estudios relativosa las particularidades quese observan en la presin y en el caudal despus de un cambio operativo sbito. Es

importante mencionar que la literatura cientfica ha abordado extensamente el fenmenodel golpe de ariete.

Los transientes son causados por cierres sbitos de vlvulas, saltos de lnea, fallas delsistema de control, prdida de potencia, prdida de telemetra, interaccin de serviciosmltiples o una inadecuada seleccin del equipo (Stone, 2006). Cambios en la demanda,intrusin de aire, fallas en los sistemas de regulacin de presin y ruptura de tubostambin pueden originar el fenmeno (Bosserman II & Hunt, 2006). La energa del agua enun punto se distribuye entre cintica y potencial (el agua tiende a fluir de un punto demayor energa a un punto de menor energa); un cambio sbito provoca un intercambiode energa entre el flujo y la presin (LeChevallier, Gullick, Karim, Friedman, & Funk,2003).

Los fenmenos de presin no ocurren en todos los lugares del sistema al mismo tiempo,sin embargo su propagacin sucede de manera inmediata. El intervalo en el cual la sealse distribuye en el sistema depende de la distancia desde el punto analizado al punto


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donde se produce el cambio en el flujo. Otro factor que influye en la duracin del procesode dispersin de la seal es la velocidad de propagacin de ondas del transiente, cuyamagnitudes cercana o igual a la de la velocidad del sonido.

La magnitud del cambio de presin fue descrita hace ms de un siglo por Joukowsky. Eltrmino representa la variacin en la altura de presin esperada, la velocidad depropagacin de la onda y los cambios de velocidad con respecto a los escenarios enestado estable antes y despus del cambio sbito que tuvo lugar en el sistema (Thorley,1991). En algunos artculos es denominado ley de golpe de ariete instantneo (Bergant,Simpsom, & Tijsseling, 2006) (Joukowsky, 1900).

= Ecuacin 1 (Joukowsky, 1900)Los trminos relativos a la gravedad y a la velocidad del flujo pueden ser extrados detextos o directamente de montajes de laboratorio. La velocidad de propagacin " de laonda fue descrita por Kortweg quien la relaciona con el espesor , el mdulo decompresibilidad, D el dimetro de la tubera, " la densidad del fluido y E el mdulode elasticidad del material (Korteweg, 1878).

= 1 + Ecuacin 2 Velocidad de Propagacin de la Onda (Korteweg, 1878)

Una manera clara de exponer el comportamiento de los transientes es a travs delejemplo que brinda Thorley en su libro Fluid Transients in Pipelines (Thorley, 1991).Supngase hay una bomba que impulsa agua desde el punto A al punto B el cual seencuentra a una altura superior. Si la bomba cesa su actividad de manera sbita lafraccin de agua en puntos distantes conserva el momentum y tiende a mantener elmovimiento. Por el contrario, el volumen del fluido en las vecindades de la bomba sedetiene. Si se divide el flujo en varios anillos, el ms cercano al punto donde se efectu elcambio hala al segundo y as sucesivamente hasta que la altura de presin disminuye enuna magnitud similar a la que se plantea en la ecuacin de Joukowsky.


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Ilustracin 1 Cada de Altura de Presin (Thorley, 1991)

En la ilustracin se ven dos lneas que disminuyen de manera significativa con respecto ala altura inicial. Como se mencion anteriormente, el efecto del transiente no ocurre almismo tiempo en todo el sistema, sin embargo cuenta con una enorme velocidad depropagacin. La lnea A representa el perfil de presin en la descarga de la bomba

mientras que la B un punto situado a ocho kilmetros aguas abajo. Como regla general sesupone que por cada 0.3 m/s de velocidad que sea forzada a detenerse de manera sbita,la presin del agua aumenta de 345 a 414 kPa (Kirmeyer, y otros, 2001).


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Ilustracin 2 Fluctuaciones de Presin (Thorley, 1991)

La disminucin sbita en la presin insta al sistema a buscar el equilibrio por lo cual lasustancia en la tubera tiende a fluir,suceso que causa fluctuaciones de presin. La ondaviaja constantemente desde el punto donde se origin el cambio hacia aguas abajo yviceversa. El tiempo que requiere la onda para recorrer la tubera y volver al punto inicial

es llamado perodo de la tubera y hace parte de los trminos de la ecuacin deJoukowsky. L representa la longitud de la tubera y a la velocidad de propagacin de laonda.

=2

Ecuacin 3 Perodo de la Tubera (Thorley, 1991)

En algunos experimentos la configuracin de un sistema de embalse, tubera y vlvulapermite identificar los patrones de variacin de la presin. En algunos casos, debido a lasuperposicin de ondas (producto de la reflexin relacionada con el cierre sbito de unavlvula) se puede llegar a inducir cambios de presin superiores a los pronosticados en laecuacin de Joukowsky (Simpson & Wylie, 1991). La friccin tambin puede modificar lamagnitud de variacin, especialmente en tuberas largas.

Durante el proceso de disminucin de la altura de presin la presencia de gases y/o aireson factores modificadores de la onda y del perfil de altura de presin del transiente. Una


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vez se transmite la seal existe la posibilidad de alcanzar la presin de vapor, lo cualconlleva al cambio de fase del fluido. La presencia de mltiples fases conlleva a cambiosen la magnitud de la aceleracin de la onda. La diferencia entre los segmentos delvolumen del fluido implica en algunos casos un choque el cual produce un aumento en lapresin (Thorley, 1991).

Las ondas de tensin que se propagan en las paredes modifican las predicciones basadasen Joukowsky. Se debe considerar que aumentos en la presin modifican ligeramente eldimetro de la tubera; las ondas producto de las alteraciones viajan ms rpido en elmaterial de la tubera que en el fluido, lo cual genera pequeas fluctuaciones de presin;

por este motivo la tubera debe estar protegida con soportes (Thorley, 1991).El efecto de los gases y/o el aire no slo se reduce a un aumento de presin. Aquellaszonas que cuentan con una gran cantidad de stos, sirven como punto de reflexin deltransiente. Los lugares que cuentan con cantidades pequeas y dispersas disminuyen lavelocidad de transmisin del fenmeno.

Hay consecuencias en mbitos esenciales como la calidad del agua e infraestructuradebido a las variaciones de presin. Se puede presentar resuspensin de partculassedimentadas, as como desprendimiento de biopelculas, ruptura de tuberas (por ende

intrusin de elementos externos) y como resultado un desmejoramiento en trminos decalidad (Wood, 2005). Vibraciones, desplazamientos de tuberas, deformacin y cavitacintambin hacen parte de los posibles efectos asociados con el fenmeno (Bosserman II &Hunt, 2006).

La produccin de transientes negativos de presin crea circunstancias aptas para unacontrapresin de agua no potable de origen domstico, industrial o institucional(LeChevallier, Gullick, Karim, Friedman, & Funk, 2003). En el suelo y el agua al exterior delsistema de distribucin de agua potable hay presencia de indicadores fecales y virushumanos; sin embargo no hay suficiente informacin para afirmar que los transientesrepresentan un riesgo significativo para la calidad del agua, en parte porque los sistemasde monitoreo no consideran las zonas vulnerables a presiones bajas y no cuentan conequipos de medicin de alta frecuencia (LeChevallier, Gullick, Karim, Friedman, & Funk,2003).

Puesto que en algunos casos el transiente se considera un fenmeno indeseable haydisponible una amplia variedad demtodos para suprimirlos agrupados en dos categoras:


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acciones directas y tcticas de distraccin. Las acciones directas tienen como objetivoinfluenciar o modificar las causas primarias que inducen el cambio de flujo. Modificar elpatrn de apertura de una vlvula es una solucin perteneciente a la primera categora.Las tcticas de distraccin se enfocan en expulsar o modificar el flujo; algunos ejemplosson las vlvulas de control, las vesculas de aire y los tanques de alimentacin.

Dentro de los documentos tcnicos o recomendaciones impulsadas por el Ministerio deMinisterio de Vivienda, Ciudad y Territorio se destaca el Reglamento Tcnico del Sector deAgua Potable y Saneamiento Bsico (RAS). En el Ttulo B abarca amplitud de lineamientosrelacionados con el diseo y operacin del sistema de acueducto. En lo relacionado con el

golpe de ariete, cuenta con especificaciones para el proceso de diseo y operacin de lastuberas de aduccin, conduccin y red de distribucin.

Relativo a las tuberas de aduccin y conduccin establece criterios que guardanconexidad con el fenmeno de golpe de ariete para la seleccin del material, los rangos depresin y el anlisis hidrulico. En el proceso de seleccin del material de las tuberas, sedebe tener en cuenta las condiciones hidrulicas del proyecto, incluidas las fluctuacionesde presin producto del golpe de ariete. La presin de diseo debe tener en cuenta ladiferencia entre las condiciones estticas y el mximo valor producto de un golpe deariete, adems se debe multiplicar dicho rango por un factor de seguridad estipulado en eldocumento. El anlisis de golpe de ariete debe realizarse en condiciones normales yexcepcionales de operacin.

= max ,

Ecuacin 4 Presin Mxima en Tuberas de Conduccin y Aduccin

=

Ecuacin 5 Presin de Diseo para Tuberas de Aduccin y Conduccin

En los sistemas por bombeo y gravedad el anlisis de golpe de ariete debe ser realizado atravs del mtodo de las caractersticas o algn mtodo de elementos finitos, bajo laconsideracin del agua como columna elstica para condiciones especficas de operacin.Una vez se haya construido el proyecto se deben realizar pruebas de golpe de ariete con elescenario de operacin normal que presente las mayores sobrepresiones o las menoressubpresiones.


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Las redes de distribucin, en el RAS Ttulo B, tambin cuentan con la ocurrencia del golpede ariete como criterio para la seleccin de material, el anlisis hidrulico y proceso deverificacin. Adems de consideraciones de toxicidad, resistencia mecnica y aspectoseconmicos, en el proceso de seleccin de materiales de la red deben considerarse lascondiciones hidrulicas especialmente las presiones normales de trabajo, las presionesestticas y aqullas producto de un golpe de ariete. Una vez se ha implementado en sutotalidad la red de distribucin debe hacerse una prueba de golpe de ariete con el fin deverificar que ningn segmento posea presiones que superen el mximo admitido, hechoque podra conducir a estallidos. Se debe verificar que no se produzcan durante elfenmeno, presiones negativas que induzcan la intrusin de agua desde el exterior de la

red.

El diseo de estaciones de bombeo debe considerar la prdida de suministro elctrico y laconsecuente interrupcin del flujo de agua. Se debe enfatizar en los efectos relacionadoscon la sobre elevacin de presiones, las subpresiones y la velocidad de la onda decompresin. Las condiciones de operacin deben ser verificadas durante toda la vida tilen condiciones estticas y de flujo no permanente. Finalmente, se debe realizar pruebasen condiciones normales que produzcan las mayores sobrepresiones y las menoressubpresiones; los datos tomados en campo deben ser conservados por la Persona

Prestadora del Servicio con el fin de someterlos a comparacin con aqullos durante losperodos de operacin normal.

Se puede afirmar que el transiente de presin ocurre durante eventos de flujo variado nopermanente, inducido por cambios sbitos como el cierre de una vlvula de control,cambios en la demanda o suspensin de la actividad de una bomba, entre otros. Lasuposicin acerca de la compresibilidad no es fiel a las caractersticas del fenmeno,especialmente en aqullos de corta duracin. El tiempo de propagacin es bastante corto,inclusive puede durar menos de un segundo, motivo por el cual se deben considerarequipos de medicin de alta frecuencia. Durante las fluctuaciones de presin existenperodos positivos y negativos que pueden afectar las caractersticas de la hidrulica deuna red o la calidad del agua. An se requiere ms documentacin cientfica para declararel fenmeno un riesgo para la salud pblica. La magnitud del trnsito sbito de presionesha sido explicada a travs de la ecuacin de Joukowsky; sin embargo, puede habervariaciones no pronosticadas debido a la presencia de gases o aire, y a la propagacin dela onda en el material de la tubera. Existen dos categoras de mtodos de supresin del


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transiente: mtodos directos y tcticas de distraccin. Las recomendaciones tcnicaslocales estn enfocadas a la seleccin del material, modelacin hidrulica, rangos depresin y pruebas de operacin en los sistemas de aduccin, de conduccin, de la red dedistribucin y de las estaciones de bombeo.


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2 Montaje de Laboratorio

El montaje de laboratorio propuesto en este proyecto de grado tuvo como escenario lared elevada del Laboratorio de Hidrulica de la Universidad de los Andes, ubicado en eledificio Mario Laserna (Carrera 1 # 18-10).

Dos escenarios cuyas caractersticas fueronmedidas en estado estable (presin y caudal)son sometidos a transiciones en perodos de tiempo cortos, en este caso a un cierre sbitode una vlvula. Se contaba con cuatro Escenarios: 5 Inicial, 5 Final, 6 Inicial y 6 Final. Susnombres obedecen a la recopilacin de informacin en trabajos previos.

2.1 Antecedentes

En la tesis de Csar Mauricio Prieto Gamboa Modelacin fsica y calibracin de sustanciasen redes de distribucin de agua potable (Prieto Gamboa, 2011) se hizo un levantamientotopolgico y topogrfico a la red elevada del Laboratorio de Hidrulica de la Universidadde Los Andes,se crearon escenarios hidrulicos, seestimaron las demandas, se midieronlaspresiones, se determinaronlas prdidas menores y se analiz el comportamiento desustancias. Adems se llev a cabo un proceso de calibracin y validacin en EPANET yRedes.

El proyecto de grado presente,retom el modelocalibrado y validadoen el proyecto degrado de Csar Prieto. La nomenclatura relativa a nodos de extraccin y transmisores depresin, se conserva con el fin de permitir comparaciones.

El trabajo de grado previo cre seis escenarios. Con base en los promedios de lasmediciones de presin, se llev a cabo para cada uno, un proceso de calibracin de lasprdidas menores. El resultado ms satisfactorio fue el del Escenario 5 Inicial, el cual fuevalidado en todos los escenariosy arroj mejores resultados que los modelos previos.

Dos escenarios fueron retomados de los estudios previos: el 5 y el 6; para evitarconfusiones son llamados5 Inicial y 6 Inicial, puesto que fueron el punto de partida paraevolucionar a los Escenarios 5 Final y 6 Final.

2.2 Accesorios de la Red Elevada


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La red elevada cuenta con 31 puntos de extraccin de caudal dotados de vlvulas de bolade 2 pulgadas; en ms de siete hay tuberas disponibles para dirigir el flujo a unas zonasde descarga. Tambin posee 23 vlvulas de 2, 3 y 4 pulgadas las cuales permiten modificarla direccin del flujo. Los tubos son de PVC de 2, 3 y 4 pulgadas, en algunas zonas unidospor reducciones y tesIlustracin 7 Dimetros de Tuberas en la Red Elevada). En nuevepuntos de la red hay transductores de presin instalados los cuales permiten medicionesen tiempo real.

Ilustracin 3 Vlvula de Bola de 2Pulgadas.

Ilustracin 4 Vlvula de 3 Pulgadas.

Ilustracin 5 Transductor de PresinVegabar 52.

Ilustracin 6 Vlvula de 2 Pulgadas.


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2.3 Sistema de Medicin

La red elevada cuenta con diferentes puntos en los cuales hay instalados sensores quemiden la presin. stos estn conectados a una compleja red que direcciona la seal a un fieldpoint de National Instruments cuya referencia es FP-1601 y cuenta con unaextensin FP-AI-111 (National Instruments, 2003). Usualmente este tipo de instrumentosalberga mximo nueve conexiones pero la presencia de una extensin, ampla su rango.Esta configuracin de la red permite recibir en tiempo real la informacin de los nuevepuntos de presin en un software diseado para el Centro de Investigaciones en

Acueductos y Alcantarillados (CIACUA) de la Universidad de Los Andes.

Ilustracin 8FieldPoint FP-1601 y Extensin FP-AI-111.

2.4 Medicin de presin

La red elevada cuenta con 12 puntos en los cuales pueden ser instalados transductores depresin. Sin embargo, no todos pueden ser utilizados debido a que algunos no cuentancon la instalacin y conduccin de cables, algo indispensable para la transmisin de laseal. El punto A es esencial para los modelos computacionales puesto que con base en

ste se determina la altura del primer nodo . La Ilustracin 11 Mapa de Transductores dePresin es un esquema de los medidores en la red, la ubicacin de los puntos y sunomenclatura.

Inicialmente se contaba con transmisores de dos modelos MAN-SD2S B2 (Kobold) yVegabar 52. Dado que el rango de medicin de stos abarcaba de 0 a 1 bar, se decidiadquirir 4 nuevos transmisores de presin los cuales estuvieran en capacidad de detectar


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presiones de -1 a 5bar, su referencia es MAN LD3S (Kobold). stos fueron instalados en lospuntos de mayor variabilidad de presin.

Ilustracin 9Vegabar 52. Ilustracin 10 MAN LD3S (Kobold).


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Ilustracin 11 Mapa de Transductores de Presin.


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2.5 Medicin de Demandas de Puntos de Extraccin de Caudal

Determinar el caudal en los nodos de extraccin es esencial para cuantificar las demandase implementarlas en los diferentes modelos computacionales. Se debe considerar que a laentrada de la red hay un caudalmetro electrnico WATERMASTER FEV. En total hay 31puntos desde los cuales se puede extraer agua por medio de vlvulas de bola de 2pulgadas. En estos puntos se instalaron mangueras las cuales transportaban el fluido abaldes de volumen conocido. La ubicacin de los nodos y su nomenclatura puede serconsultada en el esquema de la Ilustracin 12 Puntos de Extraccin de Caudal.

Para la medicin de caudal se retom la metodologa usada en estudios previos. Losbaldes de 10.90L y 10.94L se llenaron y con un cronmetro se determin el tiempo queesta actividad requiri. Despus de diez intentos se calcul el promedio y la desviacinestndar.

Lasmangueras utilizadas para la extraccin de caudal no son parte de la red y no estnpresurizadas. stas se instalan a alguna de las vlvulas de bola y se permite el flujo deagua. En el interior del balde, producto de la acumulacin delfluido hay turbulencia.Factores como la direccin de la manguera y la friccin del material, en conjunto con las

situaciones mencionadas anteriormente son fuentes de incertidumbre.


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Ilustracin 12 Puntos de Extraccin de Caudal.


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2.6 Escenarios

A continuacin se presentan los esquemas de los escenarios implementados. Los cambiossbitos fueron del Escenario 5 Inicial al Escenario 5 Final y del Escenario 6 Inicial alEscenario 6 Final. Se tena conocimiento de los caudales demandados para el 5 Inicial y el6 Inicial, debido a estudios previos. En el caso de los montajes 5 Final y 6 Final, fuenecesario seguir el procedimiento planteado para la determinacin de los caudalesdemandados en los nodos de extraccin.

Ladiferencia bsica entre uno y otro escenario, radica en el cierre sbito de una vlvula.Para decidir qu puntos eran idneos para dicho cambio se consideraron los cambios enpresin y demanda. En relacin con los transientes, se puede afirmar que las vlvulas debola incumplen con los tres componentes recomendados para evitar el fenmeno:componentes mviles ligeros, corto desplazamiento para cierre y movimiento asistido porresortes(Thorley, 1991).

Ilustracin 13 Grfica Comparativa de Diferentes Vlvulas(Thorley, 1991).


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En la grfica se puede apreciar que las vlvulas ideales son las de boquilla porque tienenuna excelente relacin entre deceleracin y mxima velocidad reversa. Al contrario, lasvlvulas de bola pueden inducir fcilmente un transiente. stas para pequeasmagnitudes de deceleracin del flujo tienen enormes aumentos en lo que respecta a lamxima velocidad reversa. Si se analiza la ecuacin de Joukowsky, es evidente que estorepercute en los cambios de presin que sean observados durante y despus del evento.

2.6.1 Escenario 5 Inicial

El Escenario 5 Inicial (ver Ilustracin 14 Escenario 5 Inicial.) es el que mejor se adeca alos programas validados (Prieto Gamboa, 2011). Esta configuracin del sistema secaracteriza por tener todas las vlvulas abiertas y siete puntos de extraccin de caudal.


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Ilustracin 14 Escenario 5 Inicial.


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2.6.2 Escenario 5 Final

El Escenario 5 Final (Ilustracin 15), al igual que el inicial tiene nicamente una de lasvlvulas cerradas. sta se encuentra cerca a uno de los puntos de mayor presinreportados por el Escenario 5 Inicial.

Ilustracin 15 Escenario 5 Final.


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2.6.3 Escenario 6 Inicial

El Escenario 6 Inicial (Ilustracin 16) cuenta con 8 vlvulas cerradas, las cuales permiten elflujo a travs de tres lneas. Hay 4 puntos de extraccin de caudal. La vlvula al inicio de lared se encuentra completamente abierta.

Ilustracin 16 Escenario 6 Inicial.


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2.6.4 Escenario 6 Final

En el Escenario 6 Final (Ilustracin 17) nicamente se extrae caudal desde tres puntos. Sepermite el flujo a travs de las tres principales ramificaciones de la red elevada, para locual se deben cerrar las vlvulas en las interconexiones. La diferencia con el Escenario 6Inicial radica en el cierre de una de las vlvulas en la lnea central, est se encuentra en lasvecindades de uno de los puntos que registraron mayor presin para las condicionesiniciales. En total las vlvulas cerradas son nueve.

Ilustracin 17 Escenario 6 Final.


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2.7 Resultados de mediciones de presin y demandas

A continuacin se presentan los promedios de las demandas o caudales medidos paracada uno de los puntos (Tabla 1). El Escenario 5 Final report el mayor caudal total enpromedio. En contraparte, el Escenario 6 Final cuenta con la demanda total de menormagnitud.

Tabla 1 Promedios de Demandas de Caudal.

Las siguientes dos tablas (Tabla 2 y Tabla 3) resumen la informacin referente a dosimportantes indicadores estadsticos: desviacin estndar y mediana. El motivo depresentarlos es analizar la variabilidad de los datos (y por ende su confiabilidad). Se puede

analizar que las diferencias entre los promedios y las medianas poseen magnitudes bajas.Adicionalmente, la desviacin estndar no tienen valores que puedan sugerir variacionessignificativas.

Al lector le pueden llamar la atencin los datos reportados del Escenario 5 Final, en elnudo de extraccin Q10. Una desviacin estndar y una varianza igual a cero puede sermotivo de sospecha; sin embargo al analizar la configuracin del montaje es evidente quelas vlvulas restringen por completo el paso de agua por el nudo (a pesar de que estabierto) lo cual explica los valores presentados.

Tabla 2 Desviaciones Estndar de las Demandas de los Escenarios.

Caudal [L/s] Q15 Q23 Q26 Q3 Q21 Q10 Q17 Total

Escenario 5 Inicial 1.52 1.68 1.92 1.70 1.23 0.56 1.87 10.48

Escenario 5 Final 1.15 1.73 1.47 2.11 1.62 0.79 1.68 10.55

Escenario 6 Inicial - 1.69 - - 1.28 0.56 1.82 5.35

Escenario 6 Final - 1.69 - - 1.70 0.00 1.87 5.26

Promedios de las Demandas de los Escenarios

Caudal [L/s] Q15 Q23 Q26 Q3 Q21 Q10 Q17

Escenario 5 Final 0.07 0.08 0.02 0.07 0.04 0.02 0.05

Escenario 6 Final - 0.04 - - 0.05 0.00 0.06

Desviacin Estndar de las Demandas de los Escenarios


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Tabla 3 Mediana de las Demandas de los Escenarios.

Tabla 4 Medias de Presin.

En la tabla medias de presin (Tabla 4) se presentan los resultados de presinrelacionados con cada uno de los escenarios, medidos en metros de columna de agua. Lapresin A es esencial para la construccin de los modelos, puesto que corresponde a laaltura del embalse al inicio de la red. La mayor presin a la entrada de la red la report elEscenario 6 Final, el cual tambin cuenta con el mayor promedio de presiones.

Caudal [L/s] Q15 Q23 Q26 Q3 Q21 Q10 Q17

Escenario 5 Final 1.12 1.72 1.46 2.14 1.62 0.79 1.68

Escenario 6 Final - 1.69 - - 1.69 0.00 1.85

Mediana de Las Demandas de los Escenarios

[M.C.A] Escenario 5 Inicial Escenario 5 final Escenario 6 Inicial Escenario 6 Final

Presin A 4.0455 4.0460 4.3844 4.4110

Presin B 3.8905 3.8913 4.3020 3.3316

Presin C 4.0312 4.0270 4.4275 4.4782

Presin D 3.4626 3.4619 3.9169 3.9517

Presin E 3.8555 3.8543 4.2527 4.2893

Presin F 3.4133 3.4125 3.8541 3.9093

Presin G 3.2986 3.2964 3.7434 3.7801

Presin H 3.3488 3.3493 3.8084 3.8873

Presin I 3.2807 3.2770 3.6483 3.6980

Medias de Presiones


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Tabla 5 Desviacin Estndar de Presiones de Escenarios.

Tabla 6 Mediana de Presiones de Escenarios.

Es importante analizar si los datos son precisos, o se encuentran dentro de un rangoadecuado de precisin; por este motivo se presentan dos indicadores estadsticos: lamediana y la desviacin estndar. Se puede inferir de las magnitudes de las desviacionesestndar que la dispersin en el proceso de medicin no fue considerablemente alta (delorden de milmetros). Por otro lado, las medianas son bastante cercanas a las medias locual indica que no hay un sesgo considerable en la toma de datos.

[M.C.A] Escenario 5 Inicial Escenario 5 Final Escenario 6 Inicial Escenario 6 FinalPresin A 0.0031 0.0032 0.0009 0.0011Presin B 0.0022 0.0025 0.0010 0.0009Presin C 0.0070 0.0070 0.0080 0.0080Presin D 0.0065 0.0063 0.0059 0.0054Presin E 0.0064 0.0060 0.0063 0.0064Presin F 0.0052 0.0052 0.0068 0.0073Presin G 0.0042 0.0045 0.0035 0.0072Presin H 0.0022 0.0019 0.0010 0.0009Presin I 0.0059 0.0053 0.0047 0.0048

Desviacin Estndar de Presiones

[M.C.A] Escenario 5 Inicial Escenario 5 Final Escenario 6 Inicial Escenario 6 FinalPresin A 4.0453 4.0461 4.3845 4.4108Presin B 3.8911 3.8913 4.3024 4.3318Presin C 4.0347 4.0265 4.4311 4.4819Presin D 3.4588 3.4586 3.9176 3.9481Presin E 3.8568 3.8566 4.2548 4.2855Presin F 3.4112 3.4112 3.8554 3.905

Presin G 3.2995 3.2991 3.7436 3.7867Presin H 3.3485 3.3491 3.8088 3.8872Presin I 3.2794 3.2794 3.6448 3.6961

Mediana de Presiones


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3 Modelo Computacional

El presente proyecto de grado consider la modelacin esttica y en perodo extendido delos escenarios, en los programas REDES y EPANET. stos son ampliamente utilizados en elcampo profesional y cuentan con una base terica sujeta a revisin y actualizada.

3.1 EPANET

EPANET es un programa que simula el comportamiento del agua en perodo extendido y

en estado esttico en sistemas de tuberas presurizadas (United States EnvironmentalProtection Agency, 2013); adems permite introducir diferentes accesorios como vlvulasy tanques. Se puede descargar de manera gratuita desde el sitio web de la Agencia deProteccin Ambiental de los Estados Unidos de Amrica.

Soluciona matemticamente la red con el mtodo del gradiente y permite manejar trestipos de ecuaciones relativas a las prdidas por friccin: Darcy-Wesibach, Hazen-Williamsy Chzy-Manning, as como la simulacin del comportamiento de solutos en redes dedistribucin (Saldarriaga, 2007).

3.2 REDES

El programa redes fue desarrollado en el Centro de Investigaciones en Acueductos yAlcantarillados (CIACUA) del Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental de laUniversidad de Los Andes (Saldarriaga, 2007). Se trata de un software que modelasistemas de tuberas de flujo a presin. Est basado en investigaciones de diferentesuniversidades; una de las ms relevantes est relacionada con los criterios anlogos deoptimizacin econmica y dimetros de tuberas en redes de distribucin de agua, cuyosautores son Ronald Featherstone y Karim El-Jumaily (quines a su vez retoman el criteriode Wu) (Saldarriaga, 2007).

Nacido en 1998 en un proyecto especial y desarrollado a travs de diferentes proyectos degrado, en el ao 2001 se unific (Saldarriaga, 2007). Est programado bajo el paradigmaorientado por objetos, su lenguaje computacional es Delphi, es compatible con el sistemaoperativo Windows, utiliza dos ecuaciones de friccin (la unificacin Colebrook-White y


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Darcy-Weisbach, y Hazen-Williams), su mtodo de clculo es el del gradiente y el sistemamatricial es resuelto a travs del mtodo de Gauss o Factorizacin de Cholesky(Saldarriaga, 2007).

3.2.1 Mtodo del Gradiente

El mtodo del gradiente fue desarrollado por EzioTodini , E.P.O Connell y R. Salgado(Saldarriaga, 2007). Este mtodo soluciona las ecuaciones de energa y masasimultneamente. Esto permite un grado mayor de precisin en perodos ms cortos detiempo. Juan Saldarriaga explica el mtodo en su libro Hidrulica de Tuberas con baseen el cual se basa sta elucidacin(Saldarriaga, 2007). Para entender el mtodo sepresenta la ecuacin de continuidad la cual es aplicable en flujo permanente.

+ = 0 =1 Ecuacin 6 Ecuacin de Continuidad.

La nomenclatura Q representa un caudal de una tubera, i la nomenclatura del nodo, j el rtulo de la tubera, QD el caudal demandado y Qe el caudal que es introducidoa ese punto de la tubera. Esta ecuacin expresa la relacin entre los caudales de lastuberas y un determinado nodo: la suma de los caudales de los tubos asociados con undeterminado nudo, menos el caudal demandado, ms el caudal que le es aportado,resulta en cero.

El texto presenta la relacin entre la ecuacin de Darcy-Wesibach para prdidas porfriccin y la de Colebrook-White.

=

2

2

Ecuacin 7 Ecuacin deDarcyWeisbach.

Hf representa las prdidas por friccin, f el factor de friccin, l la longitud de latubera, d el dimetro, v la velocidad yg la gravedad. Las prdidas por friccin sondirectamente proporcionales a un factor, a la longitud y al cuadrado de la velocidad; stasson inversamente proporcionales al dimetro y a la gravedad.


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El lector puede preguntarse por el factor de friccin y la manera de calcularlo. Existendiferentes ecuaciones, en este trabajo se utiliza Colebrook-White debido a que esfsicamente basada.

1 = 2 10 3.7 + 2.51 Ecuacin 8Ecuacin de Colebrook-White.

F es el factor de friccin, ks la rugosidad de la tubera, d el dimetro y Re el

nmero de Reynolds. En trminos de clculo, esta ecuacin se resuelve de manera noexplcita, es decir, a travs de mtodos numricos. La unin de las ecuaciones deDarcyWeisbach y Colebrook White resulta en una nueva que comprende una relacinentre caudal y prdidas por friccin.

= 2 2 10 3.7 + 2.51 2 3 Ecuacin 9Ecuacin Explcita para el Clculo del Caudal a partir de las Ecuaciones de

Darcy-Weisbach y Colebrook-White.

Las letras conocidas como por ejemplo g, conservan la repsentacin asignadaanteriormente, en este caso gravedad. A representa el rea perpendicular al sentido delflujo (en ocasiones denominada rea mojada) y

" la viscosidad cinemtica.

Se sabe que las prdidas en un sistema estn asociadas tanto con las prdidas por friccin,como con las prdidas menores.

= +2

2

Ecuacin 10 Energa Total Disponible.

En la ecuacin que explica este concepto Hrepresenta prdidas totales, hf prdidaspor friccin,km factor de prdidas menores, v velocidad yg gravedad.

Considrese cualquier tipo de prdida asociada con diferentes accesorios. Las prdidastotales pueden ser modeladas a travs de una ecuacin con exponentes y constantes.


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= + +

Ecuacin 11 Prdidas Totales.

Los factores " ", " " " " son constantes. El exponente n depende de la ecuacin deprdidas por friccin seleccionada, en este caso se utiliza DarcyWeisbach, por ende suvalor es 2. El segundo y el tercer trmino son necesarios nicamente cuando hay prdidasmenores atpicas. De las dos ecuaciones de prdidas totales se puede deducir unaexpresin para .

=

+

2 2

Ecuacin 12 Constante de Prdidas Totales.

Para cada una de las tuberas la prdida de altura piezomtrica puede ser expresada demanera matricial, en cada uno de los tramos constituidos por dos nodos.

11 + 12 = 10 [ 0 ] Ecuacin 13 Conservacin de Energa.

A11 representa una matriz cuya diagonal contiene la ecuacin de prdidas totales, susdimensiones son NT*NT, donde NT es el nmero de tuberas.

Q es un vector de caudales con dimensin NT*1.

A12 es la matriz de conectividad cuyas dimensiones son NT*NN, donde NN es el nmerode nudos. Indica de qu nudo parte la tubera y hacia qu nudo se dirige: -1 para el puntoinicial y 1 para el punto final.

H es el vector de alturas piezomtricas desconocidas cuyas dimensiones son NN*1.

A10 es la matriz que contiene la informacin de los nudos con altura piezomtricaconocida. Su dimensin es NT*NS, con valores de -1 para aquellas filas conectadas aalguno de estos nudos conocidos.

En un inicio se habl de la simultaneidad entre la ecuacin de energa y la ecuacin decontinuidad para el mtodo del gradiente. sta ltima puede ser expresada a travs dematrices.


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21 = [ ]

Ecuacin 14 Ecuacin de Continuidad.

A21 es la matriz transpuesta de A12.

Q es el vector de caudales.

q es el vector de consumo u oferta de cada nodo cuyas dimensiones son NN*1.

Dado que se desea que las dos ecuaciones mencionadas estn en sinergia, pueden serrepresentadas a travs de matrices en una sola expresin.

11 12 21 0 = 10 0 Ecuacin 15 Expresin Ensamblada de Continuidad y Energa.

La parte superior de la matriz relaciona caudal y altura piezomtrica, mientras que la parteinferior representa la conservacin de la masa en cada uno de los puntos; dado que no sepuede resolver el sistema matricial de manera directa, debe aplicarse un algoritmoiterativo; el mtodo del gradiente realiza una expansin truncada de una serie de Taylor(Saldarriaga, 2007).

+1 = 21 11 1 12 1 21 11 1 11+ 10 0 21 Ecuacin 16 Expresin Iterativa de Alturas.

+1 = 1 11 11 { 11 1 ( 12 +1+ [

10][ 0 ])}

Ecuacin 17 Ecuacin Iterativa de Caudales.Con las dos ecuaciones de iteracin, se establece el nivel de error o tolerancia deseado yse calculan alturas y caudales.

3.2.2 Mtodo de Gauss o Factorizacin de Cholesky


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3.2.2.1 Factorizacin LU

La factorizacin LU permite expresar una matriz A como el producto de una matriztriangular inferior L y una matriz triangular superior U. Si A es cuadrada (n*n) puede serreducida por reglones a una matriz triangular superior U; si U tiene pivotes, es decir, esinvertible, la factorizacin es nica (Grossman, 2008).

A travs del Mtodo de Gauss A es transformada en una matriz triangular superior; sinembargo los nmeros en la diagonal no son llevados a 1 (aun cuando es posible); dichamatriz corresponde a U.

A la derecha de las matrices se puede ver paso a paso las modificaciones que se realizan.Las primera operacin consisten en restar dos veces la fila 1 (R1) a la fila 3 (R3).Posteriormente se le resta la fila 1 (R1) a la fila 4 (R4). Tanto a la fila 3 (R3) como a la fila 4(R4) se les resta la fila 2 (R2). Finalmente se le resta 4 veces la fila 3 (R3) a la fila 4 (R4). Atravs de este proceso se logra obtener una matriz triangular superior.

=3

3

2 1

4 41

3 324 42 4 44 3

= Para determinar cul es la matriz U se expresa el procedimiento para llegar a la matriz

1 2 -1 40 -1 5 82 3 1 41 -1 6 4

1 2 -1 40 -1 5 80 -1 3 -40 -3 7 0

1 2 -1 40 -1 5 80 0 -2 -120 0 -8 -24

1 2 -1 40 -1 5 80 0 -2 -120 0 0 24


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triangular superior en matrices elementales. La multiplicacin de tales matrices permitedeterminar L. Es necesario aclarar que para matrices cuadradas singulares, se puede hallarA=LU; sin embargo su solucin no es nica.

=

= Si A es una matriz que para ser triangular superior requiere alguna permutacin, esnecesario aplicar una matriz de permutacin P (Grossman, 2008). Se requiere modificar laexpresin general P*A=LU, donde la factorizacin corresponde a la matriz permutada.

Si la matriz A (m*n) es no cuadrada, se deben plantear sistemas de ecuaciones quepermitan su solucin. Una matriz no cuadrada (m*n) puede ser factorizada en una matriztriangular superior (m*m) con unos en la mitad y otra matriz triangular superior (m*n)cuya primera fila corresponda a la primera fila de A. De la relacin entre las incgnitas y el

producto esperado se pueden inferir los nmeros correspondientes a las matrices.

1 0 0 00 1 0 02 0 1 00 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

2 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 3 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 4 1

1 0 0 0

0 1 0 0

2 1 1 0

1 3 4 1

0 2 4 4 1 5 4 1 5A= 0 3 7 0 3 7 0 3 7

4 1 5 0 2 4 0 0 - 2/3

R1R3 R3->R3-(2/3)R2

0 0 1 4 1 5 1 0 0P= 0 1 0 U= 0 3 7 L= 0 1 0

1 0 0 0 0 - 2/3 0 2/3 1

2 1 1 0 0 2 1A= -1 4 L= a 1 0 U= 0 d

6 0 b c 1 0 0


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2 =

1

=

1

2

+ + 0 = 4 = 4 + 12 = 92 2 = 6 = 3+ + 0 = 0 = = 3192 = 69 = 23

Para resolver el sistema es importante plantear dos sistemas de ecuaciones. Sea Ax=bentonces Ly=b. Una vez se halla y se procede a determinar los valores de x, Ux=y(Grossman, 2008).

3.2.3 Descomposicin de Cholesky

Las matrices simtricas son aqullas para las cuales se cumple aij=aji es decir [ ] = (Chapra & Canale, 2007). stas presentan grandes ventajas ya que requieren la mitad deespacio de almacenamiento y de tiempo de resolucin (Chapra & Canale, 2007). Ladescomposicin de Cholesky permite expresar una matriz como el producto de una matriztriangular inferior y su transpuesta. Las ecuaciones son presentadas a continuacin.

= = (

1

=1 )/( ) = 1,2, ,

1

Ecuacin 18 Ecuacin de Cholesky (Chapra & Canale, 2007).

2 1 1 0 0 2 1

A= -1 4 L= - 1/2 1 0 U= 0 9/26 0 3 - 2/3 1 0 0


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= (1

=1)^2

Ecuacin 19 Ecuacin de Cholesky (Chapra & Canale, 2007).

A continuacin se desarrolla la descomposicin de Cholesky en una matriz, con base lospasos propuestos en la literatura (Chapra & Canale, 2007).

=11 = 11

12 = 10.00

12 = 3.16

21 =2111

=20.003.16

= 6.32

22 = 22 21 2 12 = 67.00 6.32 2 12 = 5.2031 =

3111

=67.003.16

= 21.19

32 = 32

21 3122

= 245.00

6.32 21.19

5.20= 21.36

33 = 33 31 2 32 2 12 = 979.00 21.19 2 21.36 2 12 = 8.59

3.3 Modelo Hidrulico

Este proyecto de grado retom el modelo calibrado y validado de la red elevada (PrietoGamboa, 2011), cuyo autor es Csar Mauricio Prieto Gamboa. ste est disponible enREDES y EPANET, los dossoftwaresexplicados anteriormente. Su realizacin se bas en elEscenario 5 Inicial. Puesto que se llevaron a cabo levantamientos topolgicos y

10.00 20.00 67.0020.00 67.00 245.0067.00 245.00 979.00

3.16 0.00 0.00 3.16 6.32 21.19 10.00 20.00 67.00

6.32 5.20 0.00 0.00 5.20 21.36 = 20.00 67.00 245.00

21.19 21.36 8.59 0.00 0.00 8.59 67.00 245.00 979.00


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topogrficos, se contaba con las longitudes de los segmentos y sus coordenadas. Lainformacin relativa a dimetros, rugosidades, tipo de fluido, altura inicial disponible ydemanda de nodos de extraccin de caudal, tambin estaba disponible.

El anlisis de sensibilidad de la rugosidad absoluta demostr que variaciones de 1000kscomparadas con 100ks, 10ks, 1ks y 0.1ks no tenan efectos en la presin de entrada(presin A); posean una ligera influencia sobre la presin B (menos de 0.2 m.c.a) y sobrela presin H (menos de 0.2m.c.a) (Prieto Gamboa, 2011). Esto explica los motivos por loscuales las rugosidades absolutas no fueron consideradas como una variable relevante paraser calibrada en el modelo.

La variable comparativa de calibracinfue la presin debido a la alta complejidad delsistema, a las condiciones de campo y objetivos del estudio; dentro de las variablesanalizadas de la red se incluyeron: asignacin de demandas, dimetros reales ycoeficientes de prdidas menores, stas ltimas la incgnita del proceso.

3.3.1 Energa de Entrada

La energa de entrada, o energa inicial corresponde a la altura registrada en el primersensor de presin antes de que se ramifique la red. Se debe considerar que el modeloinicia en este punto (presinA) y adems, se dispone de mediciones en condicionesaproximadamente constantes. El valor que se introduce en el elemento embalse de losdiferentes programas es el promedio de los datos recogidos en campo, previa verificacinde una dispersin adecuada de datos.

3.3.2 Demandas en Nudos de Extraccin de Caudal

Las demandas en los nudos de extraccin de caudal cuentan con poca incertidumbredebido a que fueron medidas directamente para cada uno de los escenarios encondiciones hidrulicas aproximadamente estables. Los valores son insertados en lospuntos del modelo que los representan. Como se mencion en la seccin dedicada a lamedicin de demandas, se utilizaron los mtodos de recoleccin de datos de estudiosprevios para hacer las medidas comparables; adicionalmente, se presentaron indicadoresestadsticos que permitieran juzgar la precisin como satisfactoria.


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3.3.3 Dimetros Reales

El dimetro en algunos casos es aproximado a los valores reportados por el distribuidor.Esta suposicin es inexacta, debido a que los dimetros reales son los que tienen unainfluencia relevante en las condiciones hidrulicas y sus variaciones. Para cada dimetrocomercial se tom el valor del dimetro real: 4 comprende el rango de dimetros de101.6mm a 103.42, 3 se relaciona con el rango que va de 76.2mm a 80.42 y 2 abarca de50.8mm a 54.58mm (Prieto Gamboa, 2011).

3.3.4 Coeficientes de Prdidas Menores

La red elevada se caracteriza por tener tuberas cortas y una enorme cantidad deaccesorios (Prieto Gamboa, 2011) lo cual hizo relevante las prdidas menores en elproceso de calibracin, al punto de ser la variable calibrada para cumplir con una buenarepresentacin de los escenarios analizados. Para calificar la representatividad del modelose utilizaron 2 indicadores de bondad de ajuste: el coeficiente de determinacin y el errorcuadrtico medio aplicados a los promedios de las presiones.

Ilustracin 18 Modelo Computacional Epanet.


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Ilustracin 19 Modelo Computacional Redes (vista 3D).

3.3.5 Representatividad del Modelo

Una vez se posee un modelo que simula una situacin de la realidad, se debe formular lapregunta acerca de su fidelidad con respecto a los datos recogidos en campo. Dentro de laliteratura existe amplia diversidad de indicadores; sin embargo en este proyecto de gradose seleccionaron el coeficiente de determinacin (identificado con la notacin 2 ) y elerror cuadrtico medio.

3.3.6 Coeficiente de Determinacin

El coeficiente de determinacin es la proporcin de variacin de un parmetro medido encampo con respecto a un modelo. Es decir, indica qu tan adecuadamente se representala variabilidad medida con respecto a la modelada. Sus valores oscilan entre 0 y 1: 0 indicaque no hay representatividad y 1 que hay una excelente representatividad de la variacin.Retoma los conceptos de suma de cuadrados del error y suma total de cuadrados.


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2

= 1

Ecuacin 20 Coeficiente de Determinacin (Devore, 2005).

La suma de cuadrados del error o del residuo, relaciona los datos medidos y los datosobtenidos en el proceso de simulacin. Es til utilizar el cuadrado de stos, debido a queuna dispersin positiva o negativa podra alterar el estimativo. La SSE o suma decuadrados del error consiste en restar por cada uno de los valores tomados en campo, elvalor de la prediccin modelada. Esta diferencia se eleva al cuadrado y se realiza una sumacon todos los datos reales disponibles. Finalmente se divide por el nmero de valores.

= 2

Ecuacin 21 Suma de Cuadrados del Error (Devore, 2005).

La suma total de cuadrados es una suma cuantitativa de la cantidad total de variacin delos valores observados: corresponde a la suma de desviaciones cuadradas con respecto ala media de la muestra observada en campo (Devore, 2005).

=

2

Ecuacin 22 Suma Total de Cuadrados (Devore, 2005).

Para el clculo de los indicadores de bondad se utilizaron los promedios de las presionesen cada uno de los puntos y fueron comparados con las que report el modelo de Epanety Redes para cada uno de los escenarios. Para garantizar que no hubiera variaciones, seconstruyeron los escenarios en la red elevada y se concedieron quince minutos para quelas condiciones hidrulicas se mantuvieran relativamente constantes. Se tomaron losdatos durante diez minutos y con base en stos se calcularon los indicadores.

3.3.7 Error Cuadrtico Medio

El coeficiente de determinacin permite al analista concluir acerca de la variacin delmodelo con respecto a la dispersin de los datos. El error cuadrtico medio, como sudefinicin lo indica, es un promedio del cuadrado del error; esto significa que de acuerdocon su magnitud se puede inferir cunto se puede esperar que un valor vare con respecto


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a una prediccin de un modelo. Se debe resaltar que este indicador es siempre positivopor lo cual la magnitud de la variacin aplica para valores positivos y negativos.

= 1 ( =1 )2

3.3.8 Indicadores de Representatividad

Los escenarios fueron construidos y a cada uno de ellos se le dieron ms de 15 minutosinicialmente para que las condiciones hidrulicas estuvieran relativamente constantes.Posteriormente,se tomaron datos durante 10 minutos y con base en los promedios depresin se reportaron los indicadores explicados anteriormente. La tabla precedentecontiene los valores de los coeficientes de correlacin y de los errores cuadrticos mediospara cada uno de los escenarios.

Tabla 7 Indicadores Estadsticos.

Los indicadores estadsticos fueron satisfactorios. Si se considera que todos estuvieron porencima de 0.93, se puede concluir que para todos los escenarios sobre los cuales sebasaron las mediciones, los datos tenan representada su variabilidad por lo menos en un90%. El error cuadrtico medio present valores ligeramente ms altos que los reportados

por Csar Prieto. El escenario cuyo coeficiente de correlacin era ms cercano a 1 fue el 6Inicial. Por el contrario, el escenario que report el menor 2 fue el 6 Final. Estosresultados eran de esperarse puesto que los escenarios iniciales (5 Inicial y 6 Inicial)haban reportado ajustes satisfactorios en estudios anteriores. El RMS indica que lavariabilidad con respecto a la prediccin, en promedio no supera los 0.11 m.c.a, lo cual norepresenta ni siquiera el 3% de la magnitud de algunas de las mediciones.

[M.C.A] R2 R.M.SEscenario 5 Inicial 0.96 0.11

Escenario 5 Final 0.96 0.11Escenario 6 Inicial 0.97 0.07Escenario 6 Final 0.94 0.08

Indicadores Estadsticos


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Se puede afirmar que el modelo computacional planteado en estudios previos se ajustasatisfactoriamente para todos los escenarios de este proyecto de grado.


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4 Resultados

4.1 Procedimiento

Inicialmente se cerraron las vlvulas y se abrieron los nudos de acuerdo con el escenarioque se deseara construir. Se esperaba quince minutos para garantizar que las condicioneshidrulicas fueran relativamente constantes. Los programas computacionales de lossensores de presin y el caudalmetro estaban en sincrona con los relojes de loscomputadores.

Una vez se haca la variacin se anotaba y reportaba el tiempo exacto en el que suceda yse permita en otra ventana de tiempo la estabilizacin del escenario final.

4.2 Ubicaciones

Los resultados se dividen de acuerdo con las ubicaciones del caudalmetro. Se intentencontrar lugares de alta variabilidad de caudal; sin embargo existen restricciones

importantes relacionadas con la distancia que debe tener el equipo de los diferentesaccesorios. No todos los segmentos de la red eran aptos para la medicin. Se buscaronespacios donde fuera posible instalar el caudalmetro y apreciar las tendencias en cadauno de los escenarios.

4.2.1 Ubicacin 1

El caudalmetro fue instalado en el tubo que conduce el agua a ser descargada en el nodoQ17. En el siguiente esquema (Ilustracin 1) puede ser apreciada su localizacin,

representada por un crculo rojo.


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Ilustracin 20 Ubicacin 1.

4.2.1.1 Variacin del Escenario 5 Inicial al Escenario 5 Final

Las mediciones iniciaron a la hora 9:0328 AM y terminaron a las 9:4827 AM. El cierresbito de la vlvula se realiz a las 9:2207. Los grficos presentan la serie datos, lamedia del escenario inicial y la media del escenario final, sealizadas con dos asntotashorizontales. La asntota vertical representa el momento del cierre sbito de la vlvulapara generar la transicin de un escenario a otro.


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4.2.1.1.1 Descripcin de Resultados

Se puede apreciar que entre la media del escenario inicial y la media del escenario final ladiferencia es poca (del orden de milmetros); esto se puede contemplar entre las asntotashorizontales de los grficos. Una vez se realiza el cierre sbito de la vlvula, la dispersinde presiones no presente tendencias anmalas a excepcin de la presin B, la cual ensincrona con el evento, alcanza un valor mximo en el tiempo 9:2212 .

Para los Escenarios 5 Inicial y 5 Final las desviaciones estndares de la presin B son

0.0025 y 0.0022, respectivamente. La diferencia absoluta entre la media del Escenario 5Final para la presin B y el valor mximo es de 0.0097, lo cual equivale a una variacinsignificativa si se considera que tiene una magnitud mucho mayor a la desviacinestndar.

A excepcin de la presin B la variacin entre las medias del Escenario 5 Final y elEscenario 5 Inicial se encuentran dentro del rango de la varianza, lo cual dificulta vertendencias significativas posteriores al evento sbito de cambio de escenario.

Los datos tienden a centrarse en la media correspondiente a los escenarios estticos. En

un principio, los valores de presin se dispersan en un rango alrededor del EscenarioInicial en estado estable. Una vez se realiza el cierre de la vlvula, el rango se centra en lamedia del Escenario final.

4.2.1.2 Variacin del Escenario 6 Inicial al Escenario 6 Final

A continuacin se presentan los datos de la variacin del Escenario 6 Inicial al Escenario 6Final. Las mediciones iniciaron a las 9:1031 AM y terminaron a las 10:0030AM. Elcaudalmetr

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