Manual

Modelado De Sistemas Fsicos

Objetivo:

El alumno:

a) comprender las leyes fundamentales que rigen a los elementos y sistemas fsicos (mecnicos, fluidicos, trmicos, etc. ).

b) Comprender que es posible representar a los sistemas lineales mediante ecuaciones diferenciales.

introduccin

El anlisis de sistemas constituye, en condiciones especificas, la investigacin del funcionamiento de un sistema cuyo modelo matemtico se conoce.

El diseo de sistemas se refiere al proceso de encontrar un sistema que satisfaga una tarea especfica. Cualquier tentativa de diseo de un sistema debe empezar a partir de una prediccin de su funcionamiento antes de que el sistema pueda disearse en detalle o construirse fsicamente. Tal prediccin se basa en una descripcin matemtica de las caractersticas dinmicas del sistema. A esta descripcin matemtica se le llama modelo matemtico.

2.1 Modelado matematico

Para los sistemas fsicos, la mayora de los modelos matemticos que resultan tiles se describen en trminos de ecuaciones diferenciales. Los modelos empleados sern aquellos que resulten ms simples, tiles y operativos a fin de facilitar su estudio, sin olvidar por supuesto que deben ser un reflejo, lo ms fiel posible del comportamiento real del sistema.

La dinmica de sistemas trata del modelado matemtico y el anlisis de la respuesta de los sistemas dinmicos. Hoy en da, el diseo de ingeniera requiere de un concienzudo estudio de esa materia.

Al aplicar las leyes fsicas a un sistema especfico, es posible desarrollar un modelo matemtico que describa al sistema. Tal sistema puede incluir parmetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas reales. Cuando se intenta construir un modelo, debe establecerse un equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del anlisis.

Para determinar un modelo razonablemente simplificado, se necesita decidir cules de las variables y relaciones fsicas pueden despreciarse y cuales son cruciales en la exactitud del modelo. Ningn modelo matemtico puede representar cualquier componente o sistema fsico con precisin, siempre se involucran aproximaciones y suposiciones.

En base a los prrafos anteriores se puede establecer el siguiente procedimientos de diseo.

2.1.1 Elementos BSICOS del modelado

Resistencia.

Los elementos resistivos se caracterizan principalmente por su capacidad para disipar energa, esto es, la energa suministrada al sistema se disipa o se transforma a travs de ellos.

Capacitancia

Los elementos capacitivos se caracterizan por la propiedad de almacenar energa en forma de campo elctrico que a su vez la suministran a otros elementos del sistema. La rapidez con que ceden la energa depende del valor de la capacitancia y del elemento resistivo al cual dicha energa es transferida.

Inductancia

Los elementos inductivos se caracterizan por la propiedad de almacenar energa en forma de campo magntico que a su vez la suministran a otros elementos del sistema en forma instantnea.

2.2 Modelado de sistemas mecnicos

Un amortiguador es un elemento que provee resistencia en el movimiento mecnico, y como tal, su efecto es similar al de un resistor elctrico.

En un sistema mecnico, un amortiguador consiste en un pistn y un cilindro lleno de aceite. Cualquier movimiento relativo entre el vstago del pistn y el cilindro encuentra resistencia por el aceite ya que ste debe fluir alrededor del pistn de un lado a otro. Esencialmente, el amortiguador absorbe energa y la disipa en forma de calor que fluye al ambiente. El amortiguador se puede representar como se indica en la figura 1.

En el amortiguador, la fuerza fB que acta sobre l es proporcional a la velocidad a la cual se mueve el amortiguador, es decir,

fB es la fuerza que producida por el amortiguador, se opone al movimiento de ste, y es igual a la fuerza externa f ( N )

dx/dt es la velocidad a la cual se mueve el amortiguador y se representa por la letra v, ( m / s )

B es la constante del amortiguador o coeficiente de friccin viscosa. ( N s / m )

En los sistemas mecnicos rotacionales, el par aplicado al amortiguador rotacional es proporcional a la velocidad angular a la cual gira, es decir,

TB( es la fuerza que producida por el amortiguador, se opone al giro de ste y es igual al par externo aplicado T ( N.- m )

d(/dt es la velocidad angular a la cual gira el amortiguador y se representa por la letra (, (rad / s)

B( es el coeficiente de friccin viscosa de torsin . ( N m / rad/s )

En conclusin, normalmente se trata al coeficiente de friccin viscosa como a la resistencia mecnica.

Por lo tanto la resistencia mecnica para el amortiguador traslacional es,

y para el amortiguador de torsin

Existen dos tipos de capacitancia mecnica, la traslacional o masa y la rotacional o inercia.

La capacitancia mecnica traslacional o masa se representa por el smbolo de la figura 3

Las variables asociadas con este elemento son fuerza y aceleracin y su comportamiento esta definido por

fM es la fuerza que producida por la masa, se opone al movimiento de sta y es igual a la fuerza externa aplicada f ( N )

d2x/dt2 es la aceleracin a la cual se mueve la masa y se representa por la letra a ( m / s2 )

M es el valor que tiene la masa o capacitancia mecnica traslacional ( Kg )

La capacitancia mecnica rotacional o inercia se representa por medio de la figura 4

Las variables asociadas con este elemento son par y aceleracin angular y su comportamiento fsico esta definido por:

TJ es el par, que producido por la inercia, se opone al movimiento de sta y es igual al par externo aplicado T ( N - m )

d2(/dt2 es la aceleracin angular a la cual gira la inercia y se representa por la letra ( ( rad / s2 )

j es el valor de la inercia o capacitancia mecnica rotacional ( kg m2 /rad )

En conclusin, normalmente se trata a la masa como la capacitancia mecnica traslacional.

y a la inercia como la capacitancia mecnica rotacional

Existen dos tipos de inductancia mecnica, el resorte traslacional y el resorte rotacional o torsional.

Un resorte lineal es un elemento mecnico que puede ser deformado por una fuerza externa tal que la deformacin sea directamente proporcional a la fuerza o par que se le aplique.

En la figura 5, se muestra la representacin de un resorte o inductancia mecnica traslacional

Las variables asociadas a este elemento, son la fuerza y el desplazamiento definidos por

fK es la fuerza que producida por el resorte o inductancia mecnica traslacional , se opone al movimiento de ste y es igual a la fuerza externa aplicada f (N)

x es el desplazamiento del resorte o inductancia mecnica traslacional ( m )

k es el valor o la constante del resorte ( N / m )

En los sistemas mecnicos rotacionales, un resorte de torsin se representa por el smbolo de la figura 6.

El par y el desplazamiento estn relacionados por,

Tk es el par que producido por el resorte se opone al giro de ste y es igual al par externo aplicado T (N)

( es el desplazamiento angular del resorte ( rad )

K( es la constante del resorte de torsin ( N m / rad )

En conclusin, normalmente se trata a la constante del resorte k como la inductancia mecnica.

Por lo tanto la inductancia mecnica para el resorte traslacional es,

y la inductancia para el resorte rotacional es,

Las constantes del resorte indican rigidez; un gran valor de k corresponde a un resorte duro y un valor o pequeo de k a un resorte suave.

Ecuaciones de equilibrio.

Las ecuaciones de equilibrio de los sistemas mecnicos se plantean con base en las leyes de Newton y el principio de DAlembert.

La primera ley de Newton, que trata de la conservacin de la cantidad de movimiento, establece que la cantidad de movimiento, total de un sistema mecnico es constante en ausencia de fuerzas externas.

La cantidad de movimiento es el producto de la masa m y la velocidad v, para el movimiento traslacional o lineal.

En el movimiento rotacional, la cantidad de movimiento es el producto del momento de inercia J y la velocidad angular, y se denomina cantidad de movimiento angular.

Para un movimiento traslacional, la segunda ley de Newton dice que la aceleracin de cualquier cuerpo rgido es directamente proporcional a la fuerza que acte sobre l e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, esto es,

Para un cuerpo rgido en rotacin pura alrededor de un eje fijo, la segunda ley establece que:

(T es la suma de todos los pares que actan alrededor de un eje dado

J es el momento de inercia del cuerpo alrededor de ese eje

( es la aceleracin angular.

La segunda ley de Newton da la relacin fuerza aceleracin de un cuerpo rgido o la relacin de aceleracin angular-par de un cuerpo rgido en rotacin.

La tercera ley de Newton se refiere a la accin y reaccin, y en efecto, establece que a toda accin corresponde una reaccin de igual magnitud pero de sentido contrario.

Finalmente, el principio de DAlembert establece que:

Las fuerzas aplicadas a un elemento, junto con las fuerzas de inercia forman un sistema en equilibrio.

En el modelado de sistemas mecnicos traslacionales se recomienda utilizar las variables como desplazamiento, velocidad, aceleracin y fuerza, mientras que en los sistemas mecnicos rotacionales las variables de inters son el desplazamiento, velocidad y aceleracin angular as como el Par.

2.3 Modelado de sistemas hidrulicos

Al fluir un liquido por una tubera se presentan fuerzas de friccin. Dicho efecto se puede aproximar por un elemento llamado resistencia hidrulica ( Rh )que se relaciona con la presin ( p ) y el gasto ( q ) por la relacin.

la resistencia hidrulica se representa por medio de los smbolos de la figura 7

El comportamiento fsico de la resistencia hidrulica se puede definir por:

(p es el incremento de presin a travs de la resistencia hidrulica ( Pa )

q es el gasto que fluye a travs de la resistencia hidrulica ( m3/s )

Rh es el valor de la resistencia hidrulica que presentan las paredes de la tubera (Pa-s/m3)

Resumiendo, la resistencia de un sistema hidrulico o neumtico puede definirse como el cambio en potencial requerido para producir un cambio unitario en la razn de flujo o velocidad, o bien,

El flujo liquido en tubos, orificios, vlvulas o cualquier otro dispositivo restrictor de flujo, el potencial puede corresponder ya sea a la presin diferencial o altura diferencial y la razn de flujo puede ser la razn de flujo liquido. Al aplicar la definicin general de resistencia a un flujo liquido, tenemos,

O bien

Por lo tanto, podemos decir que la resistencia hidrulica es la oposicin que presentan las tuberas al paso del fluido.

Supongamos que el fluido escurre a razn de q(t) hacia un tanque abierto de seccin constante A. La relacin entre el gasto y la altura del fluido es:

La relacin entre la altura del fluido en el tanque y la presin en la boca del tubo de alimentacin es

( es la densidad del fluido ( kg / m3 )

g es la aceleracin de la gravedad ( m / s2 )

Por lo tanto,

Siendo , la capacitancia hidrulica

Concluyendo, la capacitancia de un elemento fsico puede definirse como el cambio en la cantidad de material o distancia requerido para producir un cambio unitario en potencial o

En un sistema de tanque lleno de liquido, la cantidad de material puede ser el volumen del liquido y el potencial puede ser, ya sea la presin o la altura. Si aplicamos la definicin general precedente de la capacitancia al sistema del tanque lleno de liquido, el resultado es:

O bien,

Si el fluido escurre por una tubera de seccin A, su velocidad promedio esta dada por,

siendo la masa m del fluido en una longitud d de tubera es:

De acuerdo a la segunda ley de Newton

por lo tanto,

Pero por otro lado,

resultando

donde es la inductancia hidrulica

Finalmente, el termino inertancia e inductancia se refieren al cambio en potencial necesario para producir una razn de cambio unitaria en la razn de flujo, la velocidad o la corriente, o bien

Para el efecto de inertancia en el flujo de lquidos en tubos y dispositivos semejantes, el potencial puede ser an la presin o la altura, y el cambio en la razn de flujo por segundo puede ser la aceleracin del flujo lquido volumtrico.

La aplicacin de la definicin general precedente de inertancia, inercia o inductancia da,

O bien,

Ecuaciones de equilibrio.

En los sistemas hidrulicos se requieren algunos conceptos de los cuales mencionaremos los ms importantes.

La densidad de un fluido es la relacin de la masa y el volumen, o sea,

m es la masa del fluido ( kg )

v es el volumen del fluido ( m3 )

El peso especifico de un fluido ( ( ) es la relacin o razn entre el peso y el volumen.

w es el peso del fluido ( kgf )

v es el volumen del fluido ( m3 )

La presin hidrosttica de un liquido depender de la altura h y del peso especifico del liquido.

h es la altura del fluido ( m )

( es el peso especifico del fluido ( kgf / m3 )

El principio de pascal nos dice que cualquier incremento de presin ejercido sobre un fluido contenido en un dispositivo cerrado se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del fluido.

Los fluidos son incomprensibles, por lo tanto las densidades y los pesos especficos son casi constantes a diferentes presiones.

De acuerdo a la figura 8, la presin del liquido es

y la fuerza en los mbolos es:

El principio de Arqumedes dice que la fuerza de empuje vertical Fe de un cuerpo es igual al peso del fluido desplazado por el, o sea,

w es el peso del cuerpo

( es el peso especifico del fluido

v es el volumen

Si Fe < w, ste se hunde.

Si Fe = w, queda suspendido.

Si Fe > w, este flotar

Ecuacin del flujo

Como se observa en la figura 9, las velocidades son inversamente proporcionales al rea de la seccin transversal por la que el liquido fluye, o sea,

q es el gasto ( m3 / s )

Ecuacin de Bernoulli

De acuerdo a la figura 10, la ecuacin de Bernoulli nos relaciona la posicin, las cargas de presin, la velocidad, la altura y las perdidas en la siguiente expresin.

La ley de balance de presiones establece que:

La suma de las cadas de presin alrededor de una malla es igual a cero.

La ley de conservacin de la masa establece que:

La suma algebraica de gasto en un nodo es igual a cero, o las variaciones de volumen con respecto al tiempo es igual a la suma de los gastos de entrada menos la suma de los gastos de salida.

En estos sistemas las variables de inters son presin y gasto, y en algunas ocasiones la altura de la columna del fluido del sistema.

2.4 Modelado de sistemas neumticos

Los sistemas neumticos son sistemas de fluido que utilizan el aire como el medio para la transmisin de seales y de potencia.

La resistencia al flujo de aire en tubos, orificios, vlvulas y cualesquiera otros dispositivos restrictores de flujo puede definirse como el cambio en la presin diferencial necesaria para hacer un cambio unitario en la razn de flujo de masa o,

Por lo tanto la resistencia Rn puede expresarse como:

d((p) es un cambio en la presin diferencial

dq es un cambio en la razn de flujo de masa

En un recipiente de presin neumtica, la capacitancia puede definirse como el cambio en la masa de aire en el recipiente, requerido para hacer un cambio unitario en la presin.

La cual puede expresarse como

m es la masa del aire en el recipiente ( kg )

( es la densidad de masa del aire ( kg/m3 )

p es la presin absoluta del aire ( N/m2 )

V es el volumen del recipiente ( m3 )

La inertancia o inductancia de un sistema neumtico se refiere al cambio de presin requerido para hacer un cambio de razn unitario en la razn de flujo de masa, o

El aire o gas en tubos puede presentar vibraciones sostenidas ( resonancia acstica ) porque el aire o gas tiene inertancia y ms an, es elstico.

Ecuaciones de equilibrio.

Considere un gas perfecto que cambia de un estado representado por p1, v1, T1 a un estado representado por p2, v2, T2.

Si la temperatura se mantiene constante pero la presin cambia de p1 a p2, entonces el volumen del gas cambiar de v1 a v de modo que,

Si la presin se mantiene constante pero la temperatura se incrementa de T1 a T2, entonces el volumen del gas llega a V2. As,

Combinando las dos ecuaciones anteriores

Lo que significa que para una cantidad fija de un gas perfecto, pV/T ser constante sin importar los cambios fsicos que ocurran, o sea,

En presiones bajas y temperaturas altas todo gas se acerca a una condicin tal que,

p es la presin absoluta del gas ( N / m2 )

V es el volumen del gas ( m3 )

m es la masa del gas ( kg )

T es la temperatura del gas ( (K )

R es una constante del gas ( N-m/kg (K )

Si el volumen del gas corresponde a un peso molecular, la constante del gas es la misma para todos los gases (Constante universal de los gases). As que si definimos el volumen ocupado por un mole de gas como (, la ley del gas perfecto resulta,

se llama constante del gas universal

= 8314 N-m/kg-mole (K

los gases reales por debajo de la presin crtica y por arriba de la temperatura crtica tienden a obedecer la ley del gas ideal o perfecto.

En los sistemas neumticos las variables de inters son presin y gasto.

2.5 Modelado de sistemas trmicos

En los sistemas de conduccin de calor tambin se puede identificar un elemento resistivo.

La figura 11 muestra dos superficies con temperaturas Ta y Tb separadas por un cuerpo conductor de calor.

Si Ta > Tb, el calor fluir de la superficie A hacia la superficie B de acuerdo a la relacin,

Q es el flujo de calor que pasa a travs de la resistencia trmica ( W )

( es el ndice de calor ( W / m (K )

A es el rea ( m2 )

Ta(t) Tb(t) es el incremento de temperatura a travs de la resistencia trmica ( (K )

d es la distancia que se para a las dos superficies (m)

Tambin puede ser,

Q es el flujo de calor que pasa a travs de la resistencia trmica ( W )

(T es el incremento de temperatura a travs de la resistencia trmica ( (K )

RT es el valor de la resistencia trmica o la oposicin que presenta el material al paso del flujo de calor ((K/W )

o

De otra forma, La resistencia trmica a la transferencia de calor por conduccin o conveccin es el cambio en la diferencia de temperatura necesario para causar un cambio unitario en la razn de flujo de calor, esto es,

En resumen, la resistencia trmica depende de la conductividad trmica y la geometra del material que separa los cuerpos que estn a temperaturas Ta y Tb respectivamente.

Por lo tanto, podemos definir a la resistencia trmica como la oposicin que presentan los materiales al paso del flujo de calor a travs de ellos.

El flujo de calor es un proceso de transferencia de energa. La energa que fluye a un cuerpo en forma de calor puede ser almacenada por dicho cuerpo. Si no se realiza ningn trabajo, la rapidez de cambio de la temperatura es directamente proporcional a la rapidez con que la energa trmica fluye al cuerpo, es decir,

T es la temperatura a la cual esta la capacitancia trmica ( (K )

Q es el flujo de calor que se transfiere a la capacitancia termica ( W )

CT es el valor de la capacitancia termica ( J/(K)

Por lo que la capacitancia trmica se define como el cambio en la cantidad de calor necesario para hacer un cambio unitario en la temperatura, o

Concluyendo, la capacidad que tiene un cuerpo para almacenar calor es lo que se conoce como capacitancia trmica.

La inductancia trmica no tiene interpretacin fsica para estos sistemas.

Ecuaciones de equilibrio.

Conduccin de calor

La capacidad de una sustancia para emitir radiacin cuando est caliente es proporcional a la capacidad que posee para absorberla.

Si dos fluidos separados por una pared tienen temperaturas diferentes, la cantidad de calor que fluye del ms caliente al menos caliente, ser:

Q es el flujo de calor que pasa a travs de la resistencia trmica ( W )

K es el coeficiente de conduccin de calor

A es el rea

Conveccin de calor

Si entre un fluido y las paredes del tubo o recipiente que lo contiene hay una diferencia de temperatura, la cantidad de calor que fluye de la zona ms caliente a la menos caliente ser:

Q es el flujo de calor que pasa a travs de la resistencia trmica ( W )

( es el coeficiente de transmisin de calor

A es el rea

Radiacin de calor.

La cantidad de calor que se irradia de un cuerpo de superficie A y calor absoluto T1 al espacio que lo rodea con temperatura absoluta T2, es

Q es el flujo de calor que pasa a travs de la resistencia trmica ( W )

C es la constante de irradiacin de calor

A es el rea

Ta(t) Tb(t) es el incremento de temperatura a travs de la resistencia trmica ( (K )

Primera ley de la termodinmica

En la transformacin de cualquier tipo de energa en energa calorfica o viceversa, la energa calorfica producida equivale exactamente a la energa transformada.

Para un sistema trmico, esta ley puede ser expresada como:

U es la energa interna del sistema

Q es la cantidad de calor transferido al sistema

W es el trabajo realizado por el sistema

Sin embargo, la ecuacin anterior se puede escribir como:

En los sistemas donde solo se transmite calor, es decir, no se realiza trabajo, la primera ley de la termodinmica puede ser escrita como:

( es la densidad

v es el volumen del sistema

U es la energa interna del sistema por unidad de masa

Qneto es la tasa neta de flujo de calor dentro del sistema

O bien

c es el calor especifico

Por otra parte, los cambios de temperatura son proporcionales a los de energa interna por unidad de masa, es decir,

Por lo tanto,

El trmino del lado izquierdo se define como la capacitancia trmica ( CT ), por lo que,

Finalmente si Qnet se define como la diferencia entre el flujo de calor suministrado al sistema y el cedido por ste, la ecuacin de equilibrio para sistemas trmicos se puede escribir como:

En los sistemas trmicos las variables de inters son temperatura y flujo de calor.

2.5 Modelado de sistemas elctricos

En un circuito elctrico, se encuentran tres tipos de elementos bsicos.

El primero de ellos es la resistencia elctrica, la cual se representa por el smbolo de la figura 12.

Este elemento tiene como variables asociadas a el voltaje y la corriente relacionados por la ley de Ohm,

vR es el voltaje a travs de la resistencia ( Volts )

iR es la corriente que fluye a travs de la resistencia ( Ampers )

R es el valor de la resistencia elctrica ( Ohms )

En conclusin, El factor de proporcionalidad R se llama resistencia elctrica.

Por lo que la podemos definir como el cambio en voltaje requerido para producir un cambio unitario en la corriente, o sea,

En otras palabras, la resistencia elctrica es la oposicin que presentan los conductores al paso de la corriente elctrica.

Un capacitor esta formado por dos placas metlicas separadas por un material dielctrico, por lo tanto, en un circuito elctrico un capacitor es un elemento que por definicin satisface la ecuacin

en la cual, q es la carga neta en una de las placas del capacitor y C es una medida de la cantidad de carga que puede almacenarse para un voltaje dado entre las placas, ver figura 13.

Las variables asociadas a este elemento son voltaje y corriente y su comportamiento fsico esta definido por:

vc es el voltaje a travs del capacitor o capacitancia elctrica ( V )

ic es la corriente que fluye a travs del capacitor (A)

C es el valor de la capacitancia electrica ( f )

En resumen, el cambio en la cantidad de carga elctrica requerido para producir un cambio unitario en el voltaje se conoce como la capacitancia elctrica.

Alrededor de una carga en movimiento o corriente hay una regin de influencia que se llama campo magntico. Si el circuito se encuentra en un campo magntico variante con respecto al tiempo, se induce una fuerza electromotriz en el circuito.

Por lo tanto, una inductancia se representa por el smbolo de la figura 14, que satisface la ecuacin

En la cual ( es el flujo en Webers, i es la corriente y l es la inductancia.

Las variables asociados a este elemento son voltaje y corriente y su comportamiento fsico est definido por:

vL es el voltaje a travs de la inductancia elctrica (Volts)

iL es la corriente que fluye a travs de la inductancia (Ampers)

L es el valor de la inductancia elctrica ( henrio )

Finalmente, la capacidad que tiene un conductor de inducir voltaje en si mismo cuando cambia la corriente se conoce como inductancia.

De otra forma, la inductancia se define como la relacin entre el voltaje inducido y la razn de cambio de la corriente.

Ecuaciones de equilibrio.

Las tres leyes bsicas para analizar un sistema elctrico son:

Ley de Ohm

La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre dos puntos es la causa del flujo de corriente y la posicin a ste es la resistencia.

Primera ley de Kirchhoff ( Ley de las corrientes )

Esta ley indica que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. ( un nodo es una unin de dos o ms ramas ). En otras palabras, la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de l,

Segunda ley de Kirchhoff ( Ley de tensiones )

En cualquier instante la suma algebraica de los voltajes alrededor de una malla cualquiera en un circuito elctrico es cero.

De otra forma, la suma algebraica de las cadas de tensin es igual a la suma de elevaciones de tensin alrededor de una malla.

En este tipo de sistemas, las variables de inters pueden ser, el voltaje en el capacitor, o la corriente en la inductancia.

2.6 Sistemas analogos

El concepto de sistemas anlogos es muy prctico para tratar o analizar determinados tipos de sistemas. Los sistemas que pueden representarse mediante el mismo modelo matemtico o funcin de transferencia pero que son diferentes fsicamente se llaman sistemas anlogos.

Debido e esta razn, las computadoras electrnicas analgicas son ampliamente utilizadas para simular el comportamiento de cualquier sistema fsico.

De esta forma, tambin es posible por ejemplo obtener el circuito mecnico anlogo de un sistema acstico dado, y analizarlo a travs de una nueva analoga a sistema elctrico.

Estos sistemas son muy tiles por las siguientes razones.

1. La solucin de la ecuacin que describe un sistema fsico puede aplicarse directamente al sistema anlogo en otro campo.

2. Debido a que los sistemas elctricos son ms fciles de tratar e incluso por herramientas de simulacin, es posible representar y estudiar un sistema mecnico, hidrulico, neumtico, etc. mediante su sistema elctrico anlogo.

Para comprender las analogas vamos a ver un caso sencillo de un sistema mecnico.

Figura 15Para el sistema mecnico de la figura 15, la ecuacin diferencial que define su comportamiento es:

Ecuacin 1Por analoga, el sistema elctrico de la figura 15 esta representado por la figura 16

Figura 16Por la ley de mallas, la ecuacin integro-diferencial que rige su comportamiento es:

Ecuacin 2que puede ponerse en trminos de la carga elctrica q como:

Ecuacin 3De donde resulta evidente que las ecuaciones ( 1 y 3 ) para ambos sistemas son idnticas, por lo que estos sistemas se denominan sistemas anlogos, y las magnitudes que los representan se llaman magnitudes anlogas.

Esta correspondencia es conocida como analoga de impedancia, analoga en serie, analoga masa inductancia o Fuerza-Tensin.

Las relaciones entre los elementos mecnicos y elctricos se muestran en la tabla 1Sistema elctricoSistema mecnico

TraslacionalRotacional

Voltaje ( V )Fuerza ( f )Par ( T )

Corriente ( i )Velocidad ( v )Velocidad angular ( ( )

Carga ( q )Desplazamiento ( x )Desplazamiento angular ( ( )

Inductancia ( L )Masa ( m )Momento de inercia ( J )

Resistencia ( R )Coeficiente de friccin viscosa traslacional ( B )Coeficiente de friccin viscosa rotacional ( B )

Reciproco de la capacitancia (Elastancia S)Constante del resorte traslacional( k )Constante del resorte rotacional (k)

Tabla 1Existe otro tipo de analoga, tambin muy til, entre sistemas mecnicos y elctricos que es la analoga de movilidad o admitancia, analoga en paralelo, masa capacitancia o fuerza corriente y que es simplemente la dual de la anterior.

De hecho, es este tipo de analoga es la que se suele emplear por la facilidad con que se halla el circuito elctrico a partir de su mecnico anlogo, y porque el circuito elctrico es fcilmente analizable elctricamente usando anlisis de nodos.

Por analoga, el sistema elctrico de la figura 15 esta representado por la figura 17

Figura 17Aplicando la ley de Nodos, la ecuacin integro-diferencial que rige su comportamiento es:

Ecuacin 4y que puede ponerse en trminos de carga elctrica como:

Ecuacin 5Comparando las expresiones 2 y 5, vemos que al igual que ocurra con la analoga de impedancia, las ecuaciones son iguales.

La correspondencia mecnico-elctrico de la analoga de movilidad se muestra en la tabla 2:

Sistema elctricoSistema mecnico

TraslacionalRotacional

Corriente ( i )Fuerza ( f )Par ( T )

Voltaje ( V )Velocidad ( v )Velocidad angular ( ( )

Acoplamiento por flujo magnetico (( )Desplazamiento ( x )Desplazamiento angular ( ( )

Capacitancia ( C )Masa ( m )Momento de inercia ( J )

Reciproco de la resistencia (Conductancia)Coeficiente de friccin viscosa traslacional ( B )Coeficiente de friccin viscosa rotacional ( B )

Reciproco de la inductancia (Invertancia)Constante del resorte traslacional (k)Constante del resorte rotacional (k)

Tabla 2Tambin existe una correspondencia entre los sistemas hidrulicos y trmicos con los sistemas elctricos como se aprecia en la tabla 3 y 4.

Sistema elctricoSistema trmico

Voltaje ( V )Temperatura ( t )

Corriente ( i )Razn de flujo de calor ( Q )

Carga ( q )Calor ( h )

Resistencia ( R )Resistencia trmica ( RT )

Capacitancia ( C )Capacitancia trmica ( CT )

Tabla 3Sistema elctricoSistema hidrulico

Voltaje ( V )Presin

Corriente ( i )Gasto ( q )

Resistencia ( R )Resistencia hidrulica ( Rh )

Inductancia ( L )Inductancia hidrulica ( Ih )

Capacitancia ( C )Capacitancia hidrulica ( Ch )

Tabla 42.7 Modelado de sistemas hbridos

Es difcil encontrar en la realidad un sistema como los descritos anteriormente. Por lo cual, es necesario realizar un estudio de los sistemas formados por la combinacin de subsistemas de distinto tipo, es decir, sistemas hbridos.

Entre los elementos hbridos ms comunes podemos mencionar al potencimetro traslacional y rotacional, motor ideal de cd, turbina hidrulica ideal, servomecanismo hidrulico de posicin, palanca etc. Las ecuaciones para el modelado de sistemas hbridos se deben plantear dependiendo del tipo de sistema, es decir, combinando los principios y leyes descritos anteriormente.

En resumen, todos los elementos y sus relaciones se pueden apreciar en las tablas 5, 6 y 7 agrupados como:

Elementos resistivos.Tabla 5Elementos capacitivosTIPO DE SISTEMAS

ELECTRICOMECANICOHIDRAULICOTERMICO

TRASLACIONALROTACIONAL

Tabla 6Elementos InductivosTIPO DE SISTEMAS

ELECTRICOMECANICOHIDRAULICO

TRASLACIONALROTACIONAL

No hay representacin simblica

Tabla 71.10 Funcin de transferencia

Los modelos de funcin de transferencia constituyen una importante tcnica de anlisis y diseo de los sistemas dinmicos lineales. Esta metodologa nos proporciona una comprensin de las relaciones causa-efecto.

Existen diversas tcnicas de transformacin de variables (obtencin del modelo de funcin de transferencia), entre las cuales podemos mencionar la transformada de Laplace, la transformada de Fourier o el lgebra de fasores, todas ellas convierten modelos de ecuaciones diferenciales lineales a modelos algebraicos.

La transformada de Laplace se utiliza para obtener la respuesta total con una gran variedad de funciones de entrada, mientras que el lgebra de fasores es aplicable solo con entradas sinusoidales y permite obtener solo la respuesta forzada o en estado estacionario.

Sin embargo ambas tcnicas permiten obtener una funcin de transferencia idntica a excepcin de la variable de transformacin. Esto es muy importante ya que una funcin de transferencia que se obtiene utilizando una tcnica se convierte rpidamente para emplearse con la otra tcnica simplemente sustituyendo la variable de Laplace S por la variable jw del lgebra de fasores.

Como ya se menciono, la funcin de transferencia permite ver que en general las relaciones causa-efecto son ms fciles de entender, adems, por otro lado, los parmetros de la funcin de transferencia se relacionan rpidamente con las funciones operacionales de partes especificas de un sistema fsico y tambin de datos experimentales.

Los modelos matemticos descritos hasta el momento constituyen ecuaciones diferenciales, y la aplicacin de la transformada de Laplace convierte estos modelos en relaciones algebraicas equivalentes las cuales podran considerarse simplemente como un paso en un procedimiento de solucin que considera una transformacin directa e inversa. Sin embargo, el modelo algebraico puede dar una comprensin mejorada de la relacin causa-efecto y el empleo del modelo transformado proporciona la base de una serie de tcnicas de anlisis y diseo importante.

La funcin de transferencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposicin que todas las condiciones iniciales son cero.

La funcin de transferencia de un sistema:

1. Es un modelo matemtico para expresar la ecuacin diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

2. Es una propiedad de un sistema, independientemente de la magnitud y naturaleza de la entrada.

3. No proporciona informacin acerca de la estructura fsica del sistema.

4. Permite estudiar la salida para varias formas de entrada, con la intencin de comprender la naturaleza del sistema.

5. Proporciona una descripcin completa de las caractersticas dinmicas del sistema, a diferencia de su descripcin fsica.

La funcin de transferencia se puede obtener de cinco maneras:

1. A partir del modelo matemtico empleado para describir el comportamiento del sistema dinmico

Considere el modelo matemtico de un sistema, representado por la siguiente ecuacin:

Que tiene la funcin de transferencia descrita por:

Para m