Modelado Matemático en Modelado Matemático en Aulas Escolares de Aulas Escolares de

Elemental y SecundariaElemental y Secundaria

Presentado por: Lisa EveredPresentado por: Lisa Evered

• El término modelado matemático es nuevo para describir un proceso antiguo.

• El modelado matemático es similar a la resolución de los problemas, pero no idéntico a ello.

• La resolución de problemas comienza con un problema gramaticalmente estructurado al cual los estudiantes aplican métodos matemáticos previamente enseñados.

• El modelado matemático, tal como se usa hoy día, comienza con una situación que usualmente no es estructurada.

• Los métodos matemáticos apropiados para una situación no estructurada pueden no estar dentro del repertorio del estudiante más brillante o del profesor más competente.

• La diferencia principal entre la resolución de problemas y el modelado matemático es prácticamente la diferencia que existe entre una tarea estructurada y una no estructurada.

• La resolución de problemas ha sido la mayor preocupación de los docentes de matemáticas desde hace siglos.

• El modelado matemático ha logrado surgir como una metodología educativa y científica solo a partir de los últimos 30 o 40 años.

..• John Dewey fue uno de los primeros en sugerir

que los matemáticos deberían preocuparse por el mundo real.

• Su tesis principal de Aprender Haciendo forzó a los estudiantes y docentes de matemáticas a apartarse de los libros texto y adentrarse en el mundo real.

•Dewey no utilizó el término modelado matemático pero si escribió acerca del pensamiento reflexivo requerido para investigar una situación no estructurada.

Las cinco etapas del pensamiento reflexivo de Dewey son:  1. Sugerencias para una solución.

2. Raciocinio del problema

3. Formar una hipótesis basándose en las sugerencias y los raciocinios.

4. Formular la hipótesis

5. Probar la hipótesis a través de una acción. Noten las semejanzas que existen entre la lista de Dewey y

a lo que se refieren los científicos como método científico.

• Wertheimer y Kohler fueron los fundadores de la psicología Gestault en la Universidad de Berlín a principios de 1930.

• El libro de Wertheimer, Pensamiento Productivo, diferenció el modelado de la resolución de problemas.

•La solución de problemas hace énfasis en el conocimiento de técnicas.

•El modelado matemático requiere de formulaciones imaginativas.

 

• El trabajo de dos volúmenes de George Polya, Las Matemáticas y el Razonamiento Plausible, hace énfasis en la importancia de la formulación imaginativa.

 

• Saaty identifica tres temas fundamentales en el modelado matemático

(1) Conteo (2) Estimación, y (3) Estructuración.

• Estos temas nos guiarán en la selección de ejemplos con contenidos matemáticos con motivación intrínseca.

Comenzaremos con el conteo.

Otros ejemplos destacarán (1) la estructura como un tema de modelado y (2) la estimación como un tema de modelado

¡Una mirada a lo que viene

El conteo como tema de modelado  La hermandad del hombre. • *¿Están relacionados entre si todos los seres

humanos?• *¿Hace cuantas generaciones compartimos

ancestros comunes?• *¿Son Adán y Eva nuestros ancestros comunes

más cercanos?

La estructuración como tema de modelado  La Mesa Estable - - el Dilema del mesero •¿Se tambalean todas las mesas que tienen

cuatro patas?•¡Los meseros doblan servilletas para estabilizar

una mesa tambaleante!•¿Existe otra manera?

La estimación como tema de modelado.

 

Tomando decisiones sobre relaciones

 

* ¿Cuantas relaciones se necesitan antes de encontrar la correcta?

* ¿Como decides cuál es la correcta?

El conteo como tema de modelado

La hermandad del hombre

 

Cada persona tiene un “árbol genealógico”

• Supongan que n generaciones están representadas en cada árbol genealógico.

 

• ¿Qué tan grande debe ser n para que las ramas de dos árboles genealógicos cualquiera contengan el mismo ancestro?

• La población del mundo hoy día es de aproximadamente 4.5 x 109.

• Asuman que la población de hace n generaciones no era mayor a la de hoy día.

•Un modelo de conteo puede ser desarrollado para mostrar el máximo valor de n requerido para establecer que dos individuos están relacionados, es decir, que tienen un ancestro en común.

• Un individuo que aun vive desciende de dos individuos – la madre y el padre.

• Ellos a su vez, descienden cada uno de dos individuos y así sucesivamente.

• ¿Cuántos individuos estarían en la enésima generación de una P dada?

• Los primeros ancestros de la generación P son 2 en número.

• Los segundos ancestros de la generación P son 22 ó 4.

• La enésima generación de P debe ser 2n.

• Consideren el árbol genealógico de Q.

• Q también tendría 2n ancestros en su enésima generación.

• Si P y Q tienen 2n ancestros en la enésima generación, ¿Podrían P y Q tener al menos un ancestro en común?

• Ellos podrían si 2n > 4.5 x 109. ¿Por qué?

• Si 2n > 4.5 x 109 , entonces n > 32.

• Cualquier pareja de individuos no necesita regresar más de 32 generaciones para encontrar un ancestro en común.

• Si una nueva generación aparece aproximadamente cada 25 años, entonces la búsqueda de un ancestro común no necesita extenderse más de 800 años.

 La estimación como un tema de modelado.

El modelo Mosteller

• ¿Cuántas relaciones se necesitan antes de encontrar la persona correcta?

• Supongan que un joven barranquillero conoce a 100 mujeres y desea elegir a su esposa entre ellas.

• ¿Tiene el que salir con cada una de las 100 mujeres y después elegir?

• El proceso de salir con cada una de las mujeres sería agotador ( y costoso)

• En algún momento el joven diría: “ estoy cansado de este juego. Me casaré con la próxima mujer que se vea mejor que las demás y le preguntaré si quiere casarse conmigo!”.

La afirmación del joven es un “algoritmo” de elección. Lo único que hace falta es:

 

1. Un criterio para “mejor que las demás”. Y

¿En que momento durante la secuencia de las 100 mujeres debería ser aplicado el algoritmo para maximizar la probabilidad de tomar la mejor decisión?

El primer item depende del gusto que tiene el joven por las mujeres.

El segundo puede ser modelado matemáticamente.

 Comencemos con una lista mas razonable

de candidatas que consiste de 3 mujeres.  Se les asignarán los puestos 1, 2 y 3,

siendo el # 3 la mujer que más le gusta y el #1 la que menos le gusta.

Si sale con las 3 en un orden arbitrario, existen 6 ordenes posibles:

1, 2, 3 2, 3, 1

1, 3, 2 3, 1, 2

2, 1, 3 3, 2, 1

• Supongamos que el decide aplicar el algoritmo después de su primera cita.

 • Después de la primera cita el elige a la

mujer que le gustó más que la mujer con la que salió primero.

 • Las secuencias señaladas con un

asterisco llevan a elegir a la mujer 3 - - quien es la que le gustaría más si tuviera que salir con las 3.

• Con solo 3 mujeres de donde escoger, el tiene un 50% de probabilidad de elegir la mejor para él, al salir con una sola y luego aplicar el algoritmo.

1, 2, 3 * 2, 3, 1

* 1, 3, 2 3, 1, 2

* 2, 1, 3 3, 2, 1

• Supongan que hay 4 mujeres de donde escoger. Asígnenles los puestos 1, 2, 3, 4 siendo el #4 la mujer que más le gusta. Hay entonces 24 ordenes arbitrarios:

1,2,3,4 2,1,3,4 * 3,1,2,4 4,1,2,3 1,2,4,3 *2,1,4,3 *3,1,4,2 4,1,3,2

1,3,2,4 2,3,1,4 *3,2,1,4 4,2,1,3 1,3,4,2 2,3,4,1 *3,2,4,1 4,2,3,1*1,4,2,3 *2,4,1,3 *3,4,1,2 4,3,1,2*1,4,3,2 *2,4,3,1 *3,4,2,1 4,3,2,1

• En cada secuencia señalada con un asterisco, la estrategia de aplicar el algoritmo después de la primera cita lleva a elegir la mujer #4, la mejor mujer para él.

• La probabilidad de elegir “a la mejor” mujer saliendo con una sola y luego escogiendo la próxima quien es mejor que la primera (si alguna) es de 11/24. ¡Esto es solo un poco menos que la probabilidad de escoger entre únicamente 3 mujeres!.

No podríamos continuar analizando la situación de esta manera.

 

•Aun con una lista de 8 mujeres de donde escoger, habrían entonces 40.320 ordenes posibles de citas.

 

• Para la lista original de 100 mujeres, ¡100! Secuencias se necesitarían para ser examinadas.

Las probabilidades de que el joven consiga la mujer mas adecuada entre una lista n de mujeres saliendo con las primeras s mujeres y después eligiendo a la siguiente mujer la cual le gustó más que cualquiera con la que haya salido antes están dadas para varios valores de n y s.

Esta tabla nos da: :

n s p (s, n) 1 1 1.0000 2 1 .5000 3 2 .5000 4 2 .458 5 3 .433 10 4 .399 20 8 .384 50 19 .374 100 38 .371

n∞ n /e 1 /e ~ .368

• El mejor momento para que el joven deje de salir con cada mujer en su lista y aplicar el algoritmo es aproximadamente de 1/3 en el recorrido de la lista.

 

• A medida que n aumenta, la probabilidad de que esta estrategia le consiga la “mejor” mujer se acerca 1 /e = .368.