Capítulo 4: Modelado matemático de los sistemas dinámicos · Modelado matemático de los...
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Modelado matemático de los sistemas dinámicos
Simuladores:
Modelos matemáticos de los sistemas y de las señales que les
atacan
Una mayor sofisticación de los modelos supondrá que se
aproxime más verazmente al comportamiento físico
Modelos
Eléctricos
Mecánicos
Térmicos
4.1 Sistemas eléctricos y electrónicos
Leyes de Kirchhoff
Adaptación de impedancias
RCs
sAV
1
1
sCRsCR
sAsAsA VVV
2211
211
1
1
1
1
1
2221112
2211
sCRCRCRsCRCRsAV
Amplificadores operacionales
Las características de un AO ideal son:
La impedancia de entrada diferencial y la de cada canal respecto a masa
son infinitas.
Ganancia de tensión diferencial infinita, Ado.
Ancho de banda infinito.
Tensión de desviación de continua nula
Ausencia de desviación de las anteriores características con la
temperatura.
Tdc
Tdddo
Tdc
s
d
VuV
VuuA
VuV
u
uuu
. 3
2
74
6
1
5+
-
V+
V-
OUT
OS1
OS2ue
us
uuVu Td
Percetrón
Aplicaciones de los AO
Seguidor de tensión
Adaptador de señal de mando
Amplificador inversor
. 3
2
74
6
1
5+
-
V+
V-
OUT
OS1
OS2ue
us
tutu es
VCC
3
2
74
6
1
5+
-
V+
V-
OUT
OS1
OS2
umR
R
10
1
CCCCm V
RR
RVtu
1
2
21 R
R
tu
tu
R
tu
R
tui
e
sse
Aplicaciones de los AO
Amplificador no inversor
Amplificador diferencial
-
-
3
2
74
6
1
5+
-
V+
V-
OUT
OS1
OS2
R1
R1
R2
R2
uA
uB
uS
1
2
21
1R
R
tu
tu
R
tutu
R
tui
e
sese
ABs
ABs
uuR
Ru
R
RA
R
R
RR
R
R
RA
uAuAu
1
2
1
2
1
2
21
2
1
21
2
1
21
Problema de la práctica del laboratorio
Alimentando los AOs con 12V y utilizando una excitación de señal cuadrada de 1V de amplitud y frecuencia 100 Hz, con un nivel de continua nulo, experimentar con los circuitos de las figuras:
1. Para el circuito de la figura izquierda y con la excitación mencionada, obtener las formas de ondas tanto de ue como de us. Utilizar los valores de R=100k, C=10 nF, R1=33k y R2=33k
2. Lo mismo que en 1) pero con R2 = 68k
3. Realizando el montaje de la figura derecha y con la excitación de señal cuadrada, representar la señal de salida, us, con R2 = 33k y R2=68k. Valores de R3=33k y R4=68k.
Problema de la práctica del laboratorio
ScopePulse
Generator
2
1e-3s+1
Av2
2
1e-3s+1
Av1
2
A.D.
Examen final de julio 2016
Dibujar el diagrama a bloques y demostrar que la ganancia
de la cadena abierta es:
3
3
2 10
1 10GH
s s
Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key
Determinar la ganancia de tensión del filtro con AO ideal, y
habiendo definido como C el valor de C3 y C4.
>> C3=1e-8;
>> C4=C3;
>> r7=33e3;
>> r8=680e3;
>> av=tf([C3*C4*r7*r8 0 0],[C3*C4*r7*r8 C3*r7+C4*r7 1])
>>bode(av)
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitu
de (
dB
)
101
102
103
104
0
45
90
135
180
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key
4.2 Sistemas mecánicos
Leyes de Newton
Todo cuerpo persevera en su estado de
reposo o movimiento uniforme y rectilíneo
a no ser que sea obligado a cambiar su
estado por fuerzas impresas sobre él.
El cambio de movimiento es proporcional a
la fuerza motriz impresa y ocurre según la
línea recta a lo largo de la cual aquella
fuerza se imprime.
Con toda acción ocurre siempre una
reacción igual y contraria: o sea, las
acciones mutuas de dos cuerpos siempre
son iguales y dirigidas en sentido opuesto.
4.2 Sistemas mecánicos
Movimiento de traslación
Masa
Resorte lineal
Fricción (mov.traslación) Mf(t)
y(t)
tyMtf..
)(
f1
f2
Ma
f(t)
y(t)
tkytf )(
y
f(t) = B y
tyBtf )(
Movimiento de traslación
Sistemas de unidades
Sistemas análogos
Magnitud Física S.I.
Fuerza
Masa
k
B
N
kg
N/m
Ns/m
movimiento de traslación sistema eléctrico
fuerza corriente
desplazamiento potencial
Ejemplo 4.1
Obtener la relación causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a
la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste.
La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento
entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento
B. Considere condiciones iniciales nulas.
B
K
X(t)
f (t)
)()()()(...
txBtKxtxMtF
KBsMssF
sXsG
2
1
)(
)()(
Ejemplo 4.2
El esquema de la figura muestra el comportamiento dinámico de una prensa hidráulica.
Al dar presión al fluido, P, transmite una fuerza sobre el pistón que al desplazarse
comprimirá al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante es kp.
Además, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la
prensa. No así la masa del pistón, al que se le asigna por la letra M. La dinámica del
tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de
constante k. Se pide:
1. Ecuaciones físicas del sistemas
2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.
3. Diagrama a bloques
4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión del cuerpo.
M
AP Rozamiento viscoso
B
yk
kk
k
k P
Masa despreciablex
Ejemplo 4.2
1. Ecuaciones físicas del sistemas
2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.
M
AP Rozamiento viscoso
B
yk
kk
k
k P
Masa despreciablex
000 4kyyxKMg p
kkMgy
k
Mgx
k
Mgy
pp 4
11;
4000
tytxktxBtxMMgtAp P
tkytytxkp 4)(
tztxktzk
tzktxBtxMtpA
p
p
4
Ejemplo 4.2
3. Diagrama a bloques
4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión
del cuerpo.
M
AP Rozamiento viscoso
B
yk
kk
k
k P
Masa despreciablex
Dz(s)Dp(s)
4*k
kp+4*k
kp
A1
M.s +B.s2
sxkk
ksz
sxBsMsszkspA
p
p
4
4
)(2
pp kkkkBsMs
kA
sp
sz
44
42
Problema 3: Dinámica de un micrófono
El funcionamiento de un micrófono dinámico se basa en el desplazamiento espacial producido por una bobina dentro de un campo magnético. Hay un diafragma que se desplaza con la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras. Este desplazamiento se transmite a la ferrita de la bobina. La fuerza electromotriz generada en la bobina es proporcional a la inducción de campo, B, al número de espiras, n, a la longitud de espiras, l, y al desplazamiento relativo de la bobina:
Se considera el modelo simplificado unidimensional de fuerzas adjuntado, donde Md es la masa del diafragma y Mb la masa de la bobina. En el desplazamiento horizontal del diafragma hacia la bobina, se conjetura un rozamiento viscoso, B1 y un amortiguamiento, k1. La bobina está separada de la estructura a través de un amortiguador, k2. Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica del sistema.
2. Diagrama de bloques.
3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida.
N
S
DiafragmaMd
BobinaMb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
N
S
DiafragmaMd
BobinaMb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
dt
tydlnBte 2
Problema 3: Dinámica de un micrófono
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica
del sistema.
N
S
DiafragmaMd
BobinaMb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
N
S
DiafragmaMd
BobinaMb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentesf(t)
B1
x(t) y(t)
k2
BobinaMb
DiafragmaMd
k1
f(t)
B1
x(t) y(t)
k2
BobinaMb
DiafragmaMd
k1
tytxBtyGxktxMtf d
..
11
..
tyktyMtytxBtytxk b 2
....
11
tyktyBnlte..
2
Problema 3: Dinámica de un micrófono
2. Diagrama de bloques.
3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida.
N
S
DiafragmaMd
BobinaMb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
N
S
DiafragmaMd
BobinaMb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
tyktyMtytxBtytxk b 2
....
11
tyktyBnlte..
2
f(s) e(s)
B1*s+k1
B1.s+k1
Mb.s +B1.s+k1+k22 k*s1
Md.s +B1.s+k12
2121
221
31
4
11*
.kkskBsMkMMksMMBsMM
ksBsk
sf
se
dbdbdbd
tytxBtytxktxMtf d
..
11
..
Problema 5: Sistema de suspensión
En la figura derecha se muestra un modelo de suspensión de vehículos de tracción. Haciendo suposiciones de simplificación y de reparto del peso del coche sobre las cuatro ruedas, se ha obtenido un segundo modelo. Se pide:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado.
2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s).
Datos
El peso del vehículo es de una tonelada y
las características del amortiguador están
dadas por B = 500 Ns/m y K = 1000 N/m.
Mx
y
Mx
y
Problema 5: Sistema de suspensión
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado.
2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s).
Mx
y
Mx
y
n
Mg Mx t K x t y t B x t y t
f t K x t y t B x t y t
22 25.05.01
5.01
ss
s
KBsMs
BsK
sy
sx
Problema 5: Sistema de suspensión
Mx
y
Mx
y
22 25.05.01
5.01
ss
s
KBsMs
BsK
sy
sx
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
Control de depósitos (I)
Para la dinámica de los tanques de agua se considera los caudales (Qi), la sección de los depósitos
(Ai) y de las tuberías de escape (Si), junto los niveles de altura (Hi):
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que defina la dinámica del sistema.
2. Linealización del modelo alrededor de un punto de reposo.
3. Determinar la relación que se establece entre las alturas de los depósitos (Hi) y la secciones de
las tuberías de escape (Si) en el reposo.
4. Modelo incremental que relacione la variación del caudal de entrada con el caudal de salida.
5. Diagrama a bloques del modelo incremental.
Control de depósitos (II) Primer parcial 15/16
Control de depósitos (II) Primer parcial 15/16
Movimientos de rotación
Momento de inercia
Resorte torsional
Fricción viscosa (mov. rotacional)
M
T
B
T
tBtBtT.
tktT
cilindro inercia de Momento2
1 2
2..
MrJ
rmJtJtJtJtTi
ii
Movimientos de rotación
Sistemas de unidades
Analogías
Mag.Física SI
T
J
k
B
Nm
kg m2
Nm/rad
Nm s/rad
movimiento de rotación sistema eléctrico
Par mecánico corriente
Desplazamiento angular potencial
Ejemplo
Obtener el periodo de oscilación de un péndulo simple (puede apoyarse en la
excitación de un pulso de fuerza dado a un péndulo en reposo).
M
l
Conversión entre movimientos de traslación y de rotación
Cinta transportadora
Cremalleras
M
M
r
M
M
r
tMrtT..
2
Conversión entre movimientos y trenes
Husillos
Trenes de engranajes
Adecuar el par y la velocidad angular a la carga
M
rL 2
M
..
2
2t
LMtT
Husillo: p = 8 10-3 m/rad.
Trenes de engranajes
El número de dientes sobre la superficie de los engranajes, N1 y N2, es proporcional a
los radios r1 y r2:
La distancia recorrida por la periferia de cada engranaje es la misma. Igualando las
circunferencias de ambas según el desplazamiento angular dado para un tiempo
determinado:
La potencia transmitida en la entrada en un engranaje es igual al que se da en la salida,
ya que se supone que no hay pérdidas:
1 2
1 2
r r
N N
2211 rtrt
tTttTt 2211
Modelo del tren de engranajes
Transformador mecánico
JC
B2
mT
1B
1T 2T
21
Modelo del tren de engranajes
Transformador mecánico
JC
B2
mT
1B
1T 2T
21
tJeqtBeqtT
N
NJJeq
N
NBBBeq
m
C
112
2
1
2
2
121
tt
N
N
r
r
t
t
tT
tT
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
Cadenas mecánicas
Las cadenas permiten transmitir la energía mecánica a mayor distancia que los
trenes de engranajes.
Sin embargo, son menos precisas en su transmisión y tienen mayores pérdidas.
1,1 T 2,2 T
1r2r
ttTttT 2211
2211 rtrt
Palancas
Los sistemas de palanca transmiten movimientos de traslación
aproximadamente.
x1
f1l1
l2
f2
x2
1
2
1
2
2
1
l
l
tx
tx
tf
tf
txtftxtf 2211
2211 ltfltf
“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”
Arquímedes (287 a. C. – c. 212 a. C)
Problema 4: Dinámica de un telégrafo
La figura muestra el modelo simplificado de un telégrafo. Ante la recepción de un pulso eléctrico se produce una fuerza magnética proporcional a la corriente de su bobina, originando un desplazamiento en la palanca que provoca el movimiento de la masa del martillo, el cual choca contra una campana, produciendo una onda sonora. Se pide:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinámica del telégrafo.
2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el efecto, x2(s), y la causa, e(s).
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1x2
e(t)
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1x2
e(t)
Problema 4: Dinámica de un telégrafo
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que
modele la dinámica del telégrafo.
2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el
efecto, x2(s), y la causa, e(s).
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1x2
e(t)
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1x2
e(t)
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
;
;
;
p
r
r
r r
e t Ri t Li t f t k i t
f t M g M x t B x t f t
f t M g M x t B x t k x t
x t x tf t l f t l
l l
2
21 2 1 2 21 2 1 2 2
2 1 2 1 1
pkx s
e s l l l l lR sL M M s B B s k
l l l l l
Problema 6: Control sobre un péndulo
La siguiente figura representa un péndulo controlado por medio de un electroimán. Un complejo sistema electromecánico permite ejercer una fuera horizontal sobre la barra del péndulo en el punto P proporcional a la intensidad que recorre la bobina:
El ángulo girado por el péndulo respecto de la vertical es medido por medio del potenciómetro lineal mostrado en la figura, de tal forma que cuando el ángulo es de 90º la medida es de 10 V y cuando es de -90º la medida es de -10 v. El montaje del potenciómetro introduce un rozamiento de constante B= .El sistema electrónico contiene el amplificador de error y un driver de potencia, de forma que la tensión de salida es amplificada k veces de la tensión de error. Teniendo en cuenta los datos suministrados en la figura, se pide:
1. Ecuaciones físicas del sistema.
2. Linealizar el sistema respecto del punto .Justificar
que:
3. Considérese para este apartado y el siguiente que el valor
de K es 10. Diagrama a bloques y función de transferencia
4. ¿Cómo evoluciona el ángulo si se introduce una tensión de
referencia de +4 Voltios como valor absoluto?.
º300
547.113
173.02
sssF
s
)(2)( titF LAN
radian
smN 3
Problema 6: Control sobre un péndulo
1. Ecuaciones físicas del sistema
2. Linealizar el sistema respecto del punto . º300
)(20
)( ttV
)(()( VVKtV refe
)()(
)( tRidt
tdiLtV L
Le
)(2)( titF Ldt
tdBsenMgl
dt
tdMlltF
)()(cos)( 12
2212
Potenciómetro:
Electroimán: Péndulo:
Control:
.47,3
44.1
43,14
87,28
.33,3
0
0
0
VV
vV
Ai
NF
VV
ref
e
Lo
o
Fss
lsenFlF
iF
Vs
i
VVV
V
L
eL
refe
547,113
173,0
330cos103030cos
2
1,0
1
)(10
33.6
2
202
Problema 6: Control sobre un péndulo
Problema 10: Robot limpiador
El robot limpiador de fachadas mostrado en la figura, se compone de dos grandes elementos: por un lado un carrier comercial en lo alto de la fachada, y por otro el sistema de limpieza robótico, propiamente dicho, que sustituye a la canasta en la que habitualmente se sitúan los limpiadores. Se desea disminuir las oscilaciones que en el robot provocan los desplazamientos a lo largo del eje X del carrier. Para ello se ha supuesto el conocimiento de la longitud del cable L y de la masa del robot M, ambos datos fácilmente obtenibles por medio de sensores. Analizando la dinámica del sistema y siguiendo el sistema de referencias mostrado en el esquema de la figura, se ha llegado a la siguiente relación:
)()()(sin2
2
tXdt
dBtX
dt
dMtMg RR
y
x
z
y
x
z
Mg
Xc(t)
Xr(t)
L
)(t
Origen de X
Demostrar que la función de
transferencia que relaciona el
movimiento en abscisas del robot con el
movimiento en abscisas del carrier es:
Datos:
mNs
s
m BKgMmLg 3540025.38.9 2
01.30875.0
01.3
)(
)()(
2
sssX
sXsG
C
R
Sistemas electromecánicos
Dínamo tacométricas
Encoders
M
DT
m
+
tktu mDTDT
900 900
Rotación SMR Rotación SCMR
A
B
Fundamento del motor de continua
Fuerza en una espira (Ley de Lorentz)
Par del conjunto de espiras
Fuerza contraelectromotriz (Ley de Lenz)
aim ikrFT 1
mb kdt
dNe
2
Modelo de motor de continua de imán permanente
Perdidas y conversión de energía eléctrica en energía mecánica
Par mecánico proporcional a la corriente de armadura
Movimiento de rotación
Realimentación del motor
M
i a L a R a
e b
J m , B m
u e
)()(
)()( tedt
tdiLtiRtu b
aaaae
( ) ( )m p aT t k i t
dt
dB
dt
dJT m
mm
mm
2
2
)()( tkte mbb
Modelo de motor de continua de imán permanente
Relación entre kp y kb
M
i a L a R a
e b
J m , B m
u e
mmbam TeiP ..
. . . . . . .a b p a m a b m p a mi e k i i k k i
. / . /p bk k N m A V s rad
Problema 9: Modelado de una cinta transportadora
Para la traslación horizontal de una cámara de vídeo pan-tilt se ha utilizado una cinta transportadora. En el control se ha utilizado un motor de continua y una reductora. Se pide:
1. Diagrama de bloques del sistema
2. FDT entre el desplazamiento de la cámara y la tensión en el motor.
Datos:
Motor: Resistencia de armadura = 7.94 , Inductancia
equivalente del flujo disperso = 1.54 mH,
Constante del par motor = 39.3 mNm/A., Constante de
la fuerza contralectromotriz => 243 rpm/V, Momento de
inercia del rotor= 26.6 gr cm2
Tren de engranajes: relación de transmisión = 1:198
Cinta transportadora: Radio de las poleas = 25 mm,
Peso de la cámara= 1200 gr. Rozamiento viscoso
equivalente de las poleas = 10-1 N.m.s/rad
Problema 9: Modelado de una cinta transportadora
Diagrama a bloques
M
1:197
cJJM
1
2BC
ia LaRa
17.755082
33.1211
1056.11011.21096.4
1096.43529
6
sssssu
sx
m
Cuestión (octubre 2018)
Cuestión (octubre 2018)
Examen del primer parcial (curso14/15)
Examen del primer parcial
Examen (enero 2017)
ventosa
motor+polea Polea pasiva
contrapeso
Examen (enero 2017)
ventosa
motor+polea Polea pasiva
contrapeso
Examen (julio 2017)
Examen (julio 2017)
Examen primer parcial (octubre 17) La figura representa una plataforma de elevación accionada mediante un motor de
corriente continua controlado por inducido. El eje del motor está acoplado a una
reductora de relación n. A la salida de la transmisión está acoplado un husillo de paso
p. El husillo mueve la plataforma elevadora de masa M que desplaza un cuerpo de
masa m. Se pide:
1.Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del
mecanismo industrial.
2. Diagrama a bloques.
3.Funciones de transferencia entre la tensión del motor u y la velocidad de
desplazamiento del cuerpo a trasladar, v
Datos: Motor: R=2.7, kp=0.073 Nm/A, kb=0.073 Vs/rad, J1=1.12 10-4 kgm2, f1=2.2 10-4
Nms/rad. Transmisión: J2=5 10-4 kgm2, f2=2.2 10-4 Nms/rad, n=120. Husillo: p = 8 10-3 m/rad.
Plataforma: f3=0.2 Ns/m, M =10 kg, m=20 kg.
Examen primer parcial (octubre 17)
Sistemas térmicos
Resistencia térmica
Capacitancia térmica
Magnitudes Analogías
dq
dT
calordeflujoelencambio
atemperaturdediferencialaencambioRTH
THR
Tq
.
TCq TH mcCTH atemperaturlaencambio
almacenadocalorelencambioCTH
K
kcalo
K
JulioKWs
/
Magnitudes físicas Sistema Internacional
q
T K
c kcal/kg K
RTH K/W
CTH
kW
s
kJulioo
s
kcal
Sistema térmico Sistema eléctrico
Flujo de calor Corriente
Temperaturas Potencial
Resistencia térmica Resistencia eléctrica
Inercia térmica Capacidad eléctrica
Ejemplo 4.4
Modelar el comportamiento dinámico de un calentador de agua caliente. Obtener la
FDT entre la potencia entregada al calentador y la diferencia de temperatura entre
el agua caliente y la fría.
Si el caudal y la temperatura exterior son constantes
fce
TH
aTTTentragada TTcQ
R
TTTcmq
.
cQR
sCsq
sT
e
TH
TH
entregado
c
1
1
TT
Ta
Tf
Tc
QeQs
TT
Ta
Tf
Tc
QeQs
Examen enero 2016
El esquema de la figura representa un calentador de agua. Siendo uTc la tensión del
sensor de temperatura del agua caliente y uQg la tensión que se aplica a la
electroválvula que regula el caudal de gas que le llega al quemador. Se pide:
1. Determinar el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales del calentador.
Considérese proporcionales las relaciones entre las tensiones y los sensores o
actuadores. La potencia del quemador es proporcional al caudal del gas.
2. Obtener el diagrama a bloque del calentador, indicando la variable de entrada, de
salida y las perturbaciones.
Examen enero 2016
Problema 3.4 La figura representa el esquema simplificado de la calefacción de una habitación por medio de un
radiador eléctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios situada en un
baño de aceite de masa calorífica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de coeficiente
global de transmisión Uc hacia el aire.
El aire de la habitación se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorífica Mh. La
temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de
transmisión UP.
La temperatura de la habitación se mide con un termómetro situado cerca del radiador, por lo
que su indicación Tm viene afectada ligeramente por él. Dicha medida se compara con una
referencia Tr y la diferencia, amplificada con un ganancia K se lleva a la resistencia del radiador.
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
cc c c c h
hh c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dTM q U S T T
dt
dTM U S T T U S T T
dt
CcalMCcalM
CscalSUCscalSUCVkR
hc
ppcc
/º3000/º1000
º/33º/5.12/º5020
Control de temperatura de la habitación
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
cc c c c h
hh c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dTM q U S T T
dt
dTM U S T T U S T T
dt
CTCTCTscalqVV
TTSUTTSUTTSUq
RVqTTkVTTT
chm
ehpphoccchccc
mrchm
º8.56º5.19º21/480200
0)50)4
/24.0)3)205.095.0)1
0,0,0,00
0,0,0,,0
2
000,0,0,0,0.
tTtTSUtTtTSUtTM
tTtTSUtqtTMtVRVtq
tTtTktVtTtTtT
ehpphccchh
hccccc
mrchm
)5
)4/224.0)3
)205.095.0)1
0
I. Determinar el punto de equilibrio (Tc,o y Th,0) en torno a Te,0 = 5ºC, Tr,0 =25ºC.
II. Linealizar las ecuaciones en torno al punto de equilibrio.
Control de temperatura de la habitación
Las células Peltier
El efecto Peltier
sRC
R
sp
sT
R
T
dt
TdCtp
THf
TH
eTH
fe
1
)()(0
tiTtP pce
El equipo Peltier
Célula Peltier
Acondicionamiento
K
V
20
10
Amplificador Transconductivo
mS100
sucp sip
sT suAcond
La Mecánica (Aristóteles-Estratón)
Nuestro asombro se ve excitado en primer lugar por los fenómenos que
ocurren según la naturaleza y cuya causa desconocemos; pero, en segundo
lugar, se despierta merced a aquellos fenómenos producidos violentamente
por la técnica en beneficio de la humanidad. La naturaleza actúa
frecuentemente en contra de los intereses humanos, pues siempre sigue el
mismo curso sin derivarse, mientras que los seres humanos cambian
continuamente. Por lo tanto, cuando hemos de hacer algo contra la naturaleza,
la dificultad de la tarea nos causa perplejidad y hemos de llamar a la técnica en
nuestra ayuda. El tipo de técnica que nos socorre ante la perplejidad se llama
Mecánica.
