modelo cuantico del atomo de...

[MODELO CUANTICO DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR

MORENO VEGA , JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 2

MODELO CUANTICO DEL ATOMO DE HIDROGENO El modelote Bohr considera al electrón como una partícula en orbita alrededor del nucleo en niveles de energía cuantizados no radiantes. Este modelo nos lleva a un análisis que combina conceptos de física clásica y física cuántica. Si bien en algunos resultados experimentales el modelo coincide con éxito, no es capaz de explicar, por ejemplo la “división” de las líneas espectrales . Estas dificultades se eliminan cuando se utiliza un modelo completamente cuantico que incluya la ecuación de Schrodinger, para describir el átomo de hidrogeno.

LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER El problema que queremos resolver es como definir matemáticamente el movimiento de un electrón en un átomo alrededor de su núcleo. Partiremos del caso general y después lo concretaremos.

Objetivo: Determinar los estados posibles y niveles de energía del átomo de hidrógeno y átomos hidrogenoides (átomos con un sólo electrón). El conocimiento de los niveles de energía servirá para explicar los espectros de emisión/absorción del átomo de hidrógeno. Sistema: Un electrón y un núcleo que interaccionan mediante un potencial Coulombico.

donde Z es el numero atómico, e es la carga del electrón, r1 y r2 lo radio-vectores del núcleo y el

electrón, y ' ε es una constante conocida como

permitividad en el vacío. Contribuciones a la energía: Energía cinética del electrón, energía cinética del protón y energía potencial electrón-núcleo. De modo

que el Hamiltoniano que describe el sistema será:

siendo ħ la constante de Dirac. El movimiento de dos partículas puede separarse en el movimiento del centro de masa del sistema y el movimiento relativo de las dos partículas y esto afectará al hamiltoniano.



Esto mismo se puede ver matemáticamente. Consideramos el cambio a una sola dimensión (X) y a M la masa del centro de masas y a μ la masa reducida del sistema, tal que:

21 mmM 21

21

mm

mm

Después del cambio de variable del Hamiltoniano tenemos la Ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) para el sistema:

La ecuación diferencial es separable en unas coordenadas que describen el movimiento del centro de masa del sistema {X,Y,Z} y unas coordenadas internas {xrel,yrel, zrel}. La solución del movimiento del CDM sería la de la partícula libre de masa M= m1+m2 .La energía correspondiente es la energía translacional del sistema.



Pero el movimiento que nos interesa definir es el movimiento relativo entre el electrón y el protón. Tras el cambio de variable, el sistema se puede considerar como el de una partícula de masa μ que se mueve respecto al centro de coordenadas.

La forma del potencial (depende únicamente de la distancia al centro de coordenadas) hace que sea más factible resolver la ecuación diferencial en, coordenadas esféricas. Antes de seguir adelante conviene conocer como es este cambio de coordenadas cartesianas a esféricas.

Sustitución de coordenadas cartesianas por esféricas Partimos de la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

r

Ze

zyxH

relrelrel

2

0

2

2

2

2

2

22

4

1

2

La relación entre las coordenadas polares y cartesianas es:

x = rsenθ cos , y = rsenθsen , z = r cosθ de donde se deduce que

rsen

sen

rrsen

x

coscoscos

rsenr

sen

rsensen

y

coscos

r

sen

rzcos

Elevando al cuadrado cada uno de los operadores anteriores y sumando, obtenemos el

operador 2 (grad 2 ) en coordenadas polares esféricas:

2grad 2

2

2

2

2

2

relrelrel zyx

=

2

coscoscos

rsen

sen

rrsen

+

2

coscos

rsenr

sen

rsensen +

2

cos

r

sen

r=



= 2

2

2222

2

22

2 1cos112

senrsenrrrrr

En la expresión anterior, se pueden agrupar términos escribiéndola de la siguiente forma:

2

2

222

2

2

111

senrsen

senrrr

rr

Tras sustituir esta ultima ecuación en el hamiltoniano en cartesianas, obtenemos la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares, la cual parece mucho más complicada, pero de hecho es más fácil de resolver, tal como resolveremos después.

r

Ze

senrsen

senrrr

rrH

2

0

2

2

222

2

2

2

int

4

1111

2

El Hamiltoniano del movimiento relativo electrón-núcleo queda:

r

Ze

rrrrH

2

0

2

22

22

int

4

112

2

siendo la parte angular del hamiltoniano que recoge ambos ángulos tal y como se ve en la imagen. La parte angular del Hamiltoniano es análoga a la de la partícula en una esfera (ya que el potencial electrón-núcleo solo es función de la distancia) con la diferencia de que la distancia

al centro de coordenadas no es constante. Podemos considerar el sistema como una partícula de masa μ que se mueve sobre la superficie de esferas concéntricas de radio variable. De esta manera, la parte angular de la función de onda serán las soluciones para la partícula en una esfera (armónicos esféricos) y quedara por resolver la dependencia radial de la función de onda

De manera que las funciones de onda para el átomo de hidrógeno tendrán la forma:

),()(),,( , lmlYrRr

siendo R la parte de la función dependiente únicamente de r (parte radial) e Y la parte

de la función dependiente de y de θ (parte angular). Los numeros l y ml estan relacionados con el momento angular del electrón, siendo este el producto vectorial del momento lineal del electrón (p) por su radio vector (r):

L = r x p Y si sustituimos la expresión de la función de onda en la ecuación de Schrödinger:



),,( ),,(int

rrH

),()( ),()(),()(12

2

1,,,

2

22

2

lll mlmlml YrRYrR

r

ZYrR

rrrr

o lo que es lo mismo,

ERR

r

Z

d

d

senr

R

d

dsen

d

d

senr

R

dr

dRr

dr

d

r 0

2

2

222

2

2

2

42

NOTA: A partir de ahora cambiamos la notación de derivadas parciales por la de totales ya que ahora cada derivada actúa sobre una función de una sola coordenada. Separación de variables

Para resolver la ecuación hay que separar las variables, en nuestro caso r, φ y θ, en términos distintos. Multiplicando la ecuación anterior por (r2sen2

θ)/(R ) y

reordenando términos:

04

1

0

22

2

222

2

r

ZE

senr

d

d

d

dsen

d

dsen

dr

dRr

dr

d

R

sen

En esta expresión, la variable está separada del resto en el tercer término. Cuando cambia ninguno de ellos

interviene , por lo que el tercer término tiene que ser constante también para que la suma

pueda ser, para cualquier valor de , igual a cero. Por conveniencia, a esta constante le

llamaremos : 2

lm :

2

2

2

tan1

lmteconsd

d

Podemos seguir separando variables. Sustituyendo 2

lm en la ultima ecuación y dividiendo

por 2sen :

04

11

0

22

2

22

r

ZeE

r

sen

m

d

dsen

d

d

dr

dRr

dr

d

R

l

Obsérvese que el primer y cuarto términos dependen sólo de r, y el segundo y tercero de θ.

Siguiendo el mismo razonamiento que hemos hecho para , la suma de los términos que dependen de r debe ser igual a una constante a la que, por conveniencia, llamaremos l(l + 1), y la suma de los términos que sólo dependen de θ debe ser igual a - l(l + 1).

Estas últimas constantes no se toman a capricho sino que tiene una razón. De los dos momentos angulares que existen y que aquí son tratados como operadores mecanocuánticos, el momento angular orbital es el análogo de la magnitud clásica L y es debido al movimiento de la partícula a través del espacio. Esta magnitud alrededor del núcleo puede demostrarse



que es igual a .)1( ll La componente de L a lo largo del eje z, Lz, puede demostrarse que

es igual a .lm

En resumen:

Rllr

ZeE

r

dr

dRr

dr

d)1(

4 0

222

)1(

2

2

llsen

m

d

dsen

d

d l

Resolución de la ecuación La solución de la parte radial son las funciones asociadas de Laguerre. Consisten en una función exponencial multiplicada por un polinomio en r. Las diferentes soluciones dependen del número cuántico l y de otro nuevo número cuántico n (número cuántico principal). Las primeras soluciones son:

Por otro lado, una solución a la parte angular es:



)( 1masen

La constante a es la constante de normalización, es decir la necesaria para que se cumpla:

2

0

2 1d

Por tanto su valor debe ser:

12

2

4

2

2

2

2

0

22

0

22

0

222

asen

adsenadsena

1a

y la función Φ queda como )(1

1

msen

Cualquiera que sea el valor de ml, la función anterior es solución de la ecuación de Schrödinger. Ahora bien, las condiciones frontera que hemos impuesto a la función de onda para que su cuadrado pueda tener sentido físico, limitan los valores posibles para ml. Una de dichas condiciones es que la función de onda tiene que tener un único valor en cada punto del

espacio. Eso implica que el valor de para un ángulo φ tiene que ser igual que su valor para

un ángulo 360deg. mayor ( + 2 ). En los siguientes ejemplos se muestra que esto sólo se cumple si ml es un número entero (0, +/-1, +/-2, +/-3, etc):

lm )( 1masen ))2(( 1 masen

0 )0(asen = )0(asen

+1 )(asen = )2( asen

+2 )2( asen = )42( asen

+1/2 )2/(asen disitnto de )2/( asen

Hay una solución de Φ por cada valor entero de ml. De manera que las soluciones finales tienen la forma:

),()(),,( ,... ll mllnmjn YrRr

Las energías asociadas (valores propios de las funciones) son:

Hay una solución completa de por cada trío de valores de n, l y ml donde n puede tomar

cualquier valor entero igual o mayor de 1, l cualquier valor entero entre 0 y n -1, y ml cualquier valor entero desde +l hasta –l Algunas funciones de ondas completas (llamadas Orbitales) para el átomo de Hidrógeno (Z=1) son las siguientes:



En la solución de la ecuación de Schrodinger, obtenemos tres distintos números cuánticos para cada caso del átomo de hidrogeno, los cuales están restringidos a valores enteros y deben corresponder a los tres grados de libertad independientes(tres dimensiones espaciales) NUMERO CUANTICO PRINCIPAL n El primer numero cuántico ,asociado con la función radial R(r) de la función ondulatoria completa, es conocido como numero cuántico principal y se le asigna el símbolo n. Las energías de los estados permitidos para el átomo de hidrogeno se determina como:

. . 1,2,3,.n 606,131

.2 22

0

2

eV

nna

keEn

Este resultado esta completamente de acuerdo con el obtenido en la teoría de Bohr

NUMERO CUANTICO ORBITAL ( l) Se asocia con el movimiento angular oebital del electrón,igual que el numero cuantico

orbital magnético ml .Tanto l y ml son enteros .

Valores : Podemos construir el cuadro:

n 1 2 3

l 0 0 1 0 1 2

ml 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 2 1 0 -1 -2

Por razones historicas se dice que todos los estados que tengan el mismo numero cuantico principal forman una capa :K , L, M , . . . .; que designan los estados para los cuales n = 1,2,3, . . . De igual manera , se dice que todos los estados que tengan losmismos valores de n y de l forman una subcapa. : s ,p, d , f, . . . .,se utilizan para designar las subcapas para loscuales l = 0,1,2,3,. . .

sharp : líneas nítidas pero de poca intensidad principal : líneas intensas difuse : líneas difusas fundamental : líneas frecuentes en muchos espectros

Los valores de n pueden ir de 1 a

Los valores de l pueden ir de 0 a n-1

Los valores de ml pueden ir de – l a +l

s sharp p principal d diffuse

f fundamental



Notaciones de capa y subcapas atómicas

n Símbolo de capa l Símbolo de subcapa 1 K 0 s 2 L 1 p 3 M 2 d 4 N 3 f 5 O 4 g 6 P 5 h

Por ejemplo: Es estado designado como 3p Tiene los números cuanticos n = 3 y l = 1 Es estado designado como 2s Tiene los números cuanticos n = 2 y l = 0 Aquellos estados que violen la regla ,no existen.(no satisfacen las condiciones limite de la función ondulatoria) Por ejemplo: Es estado designado como 2d Tendría los números cuanticos n = 2 y l = 2 No puede existir, ya que el valor mas alto permitido de l es n-1 ; es decir 1 Para un átomo de hidrogeno, determine el numero de estados permitidos correspondientes al numero cuantico principal n = 2,y calcule las energías de estos estados Solución

n 1 2

l 0 0 1

ml 0 0 1 0 -1

Tenemos un estado : 2s Tres estados: 2p Debido a que los cuatro estados cuánticos tienen el mismo número cuántico principal n = 2, todos tienen la misma energía:

PROBLEMAS RESUELTOS R.SERWAY – J. JEWWTT FISICA. Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.660 Sección 20,4.

El nivel n = 2 del hidrogeno



. . 1,2,3,.n 606,132

eVn

En

Reemplazo n=2 )2(

606,132

eVEn 401,3 eVEn

16. Una expresión general para los niveles de energia de los atomos y iones de un electrón

es :

22

2

2

2

1

2

2 n

qqkE e

n

Donde ke es la constante de de Coulomb, q1 y q2 son las cargas del electrón y el núcleo , y

es la masa reducida , dada por 21

21

mm

mm

.La longitud de onda para la transición n = 3 a

n =2 del átomo de hidrogeno es 656,3 nm (luz roja visible).¿Que pasaría si? ¿Cuáles son las longitudes de onda para esta misma transición en (a) positronio, que esta constituido por un electrón y un positrón , y (b) helio con una sola ionizacion (Nota: Un positrón es un electrón de carga positiva) Solución Parte (a) Positronio = +

Tenemos para n= 1 22

2

2

2

1

2

1)1(2

qqkE e

2

2

2

2

1

2

12

qqkE e


2

2

2

1

2

2)2(2

qqkE e


2

2

2

1

2

3)3(2

qqkE e

SOLUCIONARIO R.SERWAY – J. JEWETT FISICA. Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.688 Sección 20,4.

P



2

1

2

123

23

EEEE 123

36

5EEE

Pero :

hcE

hcE 1

36

5

15

36

E

hc reemplazo valores : =1,31 10-6m

=1,31 m

Parte (b) 17. Un electrón de cantidad de movimiento p esta a una distancia r de un protón

estacionario. El electrón tiene una emergía cinética : mpk 2/2 .El átomo tiene una

energía potencial : rekU e /2 y una energía total E = K + U. Si un electrón esta ligado

al protón para forma un asomo de hidrogeno, su posición promedio es en el protón, pero la incertidumbre en su posición es aproximadamente igual al radio r de su orbita. El momento vectorial promedio del electrón es igual a cero, pero su momento al cuadrado promedio es aproximadamente igual a la incertidumbre al cuadrado en su momento, como lo dice el principio de incertidumbre. Tratando el átomo como un sistema de una sola dimensión (a) estime la incertidumbre del momento del electrón en función de r.(b)Estime las energías cinética, potencial y total en función de r.(c) El valor real de r es el que minimiza la energía total ,lo que da como resultado un átomo estable. Determine ese valor de r y la energía total resultante. Compare su respuesta con las predicciones de la teoría de Bohr

Solución Datos:

rx 22 pp

Parte (a)

Sabemos : 2

px

2

pr

rp

2

Parte (b) Sabemos : E = K + U

Como r

p2

podemos seleccionar :

rp



Luego : r

ke

mrE

2

2

2

2

Parte (c)

Tenemos : r

ke

mrE

2

2

2

2

Radio de Bohr : 2

22

mke

nrn

n=1 2

2

mker

Reemplazo en :

2

2

2

422

4

2

2mke

ke

ekmm

E

Simplifico : E = -13,6 eV

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