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8/8/2019 modulo_probabilidad_2010I

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA

CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD

ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente protocolo acadmico fue diseado en el ao 2007 por laEstadstica ADRIANA MORALES ROBAYO, Tutora de la UNAD, ubicada en elCEAD Jos Acevedo y Gmez en Bogot D.C. La Tutora Morales es Estadsticade la Universidad Nacional de Colombia y Especialista en Educacin superior aDistancia de la UNAD. Se ha desempeado como tutora de la UNAD desde el ao2005 y actualmente es la directora del curso de Probabilidad a nivel nacional,tambin ha sido catedrtica de otras Universidades de Bogot.

En el ao (2009) el Estadstico DANNYS BRITO ROSADO, tutor del CEAD

La Guajira, apoy el proceso de revisin de estilo del protocolo acadmico delcurso dando aportes disciplinares, didcticos y pedaggicos en el proceso deacreditacin de material didctico desarrollado en el ao 2009.

Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar pblicamente bajolas condiciones siguientes:

Reconocimiento. Debe reconocer los crditos de la obra de la maneraespecificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera quesugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra).

No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra

derivada a partir de esta obra. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los trminos de la

licenciade esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del

titular de los derechos de autor Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.


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INTRODUCCIN

La Estadstica se ha convertido en un efectivo mtodo para describir, relacionar yanalizar los valores de datos econmicos, polticos, sociales, biolgicos, fsicos,entre otros. Pero esta ciencia no slo consiste en reunir y tabular los datos, sinoen dar la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, as como realizarproyecciones del comportamiento de algn evento. Es as como el desarrollo de lateora de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de laEstadstica.

Muchos de los eventos que ocurren en la vida del ser humano no se puedenpredecir con exactitud, pues la mayora de los hechos estn influenciados por el

azar, es decir, por procesos inciertos, en los que no se est seguro de lo que va aocurrir. Sera un error afirmar que vivimos en un mundo determinista, en donde nohay influencia del azar y la incertidumbre. La Probabilidad permite unacercamiento a estos sucesos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia yproporcionando mtodos para tales ponderaciones, creando as modelosProbabilsticos. Precisamente, algunos de esos mtodos proporcionados por lateora de la Probabilidad llevan a descubrir que ciertos eventos tienen una mayor omenor probabilidad de ocurrir que la apreciacin hecha a travs del sentidocomn.

De esta manera, la Probabilidad permite estudiar los eventos de una manera

sistemtica y ms cercana a la realidad, entregando una informacin ms precisay confiable y, por tanto, ms til para las distintas disciplinas del ser humano. Deah que se vea la importancia de conocer a profundidad las caractersticas deciertos fenmenos cotidianos que el ser humano vive, comprender los mtodosProbabilsticos ms comnmente usados y con ellos llegar a tomar las decisionesms apropiadas.

El conocimiento de la Probabilidadconstituye la base que permite comprender laforma en que se desarrollan las tcnicas de la Inferencia Estadstica y la toma dedecisiones, en otras palabras, es el lenguaje y la fundamentacin matemtica dela Inferencia Estadstica.

El curso de Probabilidad, programado como curso acadmico bsico buscafomentar en el estudiante la capacidad de reconocer y establecer modelosapropiados para describir fenmenos aleatorios que surgen en sus reas deespecialidad, y apunta a que ste reconozca que la Estadstica proporciona lasherramientas necesarias para hacer inferencias sobre un todo (poblacin) en basea los datos recopilados en slo unos cuantos elementos observados de la


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poblacin (muestra) y que la Probabilidadaporta los elementos de validacin delos mtodos estadsticos.

El presente mdulo busca dotar al estudiante de las herramientas probabilsticas

bsicas para el estudio de fenmenos propios de su disciplina de formacin y delentorno social, econmico y poltico en que se desenvuelve, cuya evolucintemporal o espacial depende del azar, y apunta a que el estudiante tomedecisiones ms objetivas frente a dichos fenmenos. En l se introducen losconceptos bsicos de la Probabilidad y se manejan las distribuciones deprobabilidad ms conocidas.

Este texto contiene dos unidades didcticas1, correlacionadas directamente con elnmero de crditos acadmicos asignados. La primera de ellas considera losPrincipios de Probabilidad, necesarios para el cumplimiento de los propsitos yobjetivos del curso. En esta unidad se recuerdan algunos conceptos bsicos de

las tcnicas de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones; se identificanconceptos sobre espacios muestrales y eventos, las propiedades bsicas de laprobabilidad como las reglas de adicin y multiplicacin, la probabilidadcondicional y el teorema de Bayes. En la segunda unidad didctica, se establecela diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas, en trminos de sufuncin de probabilidad, valor esperado, varianza y desviacin estndar sereconocen algunas de las distribuciones de probabilidad ms comunes, tanto lasdiscretas como las continuas. Entre las primeras se contemplan la uniformediscreta, binomial, geomtrica, binomial negativa, hipergeomtrica y la distribucinde Poisson y, como distribuciones de probabilidad continua, se trabajanprincipalmente la distribucin uniforme continua, normal, exponencial y chicuadrado.

El mdulo est dirigido a una poblacin estudiantil que se interesa en laestadstica por su valor como instructivo para apoyar procesos de investigacin,ms que como objeto del conocimiento, que sera el caso si se tratara deestudiantes de estadstica o matemtica. Es por esto que se evitarn losdesarrollos matemticos de las frmulas, aunque se presentan algunosrazonamientos y procedimientos en que ellas se fundamentan. Se enfatiza ms enla forma adecuada de interpretar, seleccionar y utilizar dichos planteamientos, queen las demostraciones, deducciones y desarrollos matemticos.

El curso est escrito partiendo de la premisa de que el estudiante posee losconocimientos bsicos de la Estadstica Descriptiva, requisitos mnimos para llevar

1 Conjunto de conocimientos seleccionados, organizados y desarrollados a partir de palabras clavetomados como conceptos que los tipifican, en articulacin con las intencionalidades formativas,destinadas a potenciar y hacer efectivo el aprendizaje mediante el desarrollo de operaciones,modificaciones y actualizaciones cognitivas y nuevas actuaciones o competencias por parte delestudiante. EL MATERIAL DIDCTICO. Roberto J. Salazar Ramos. UNAD, Bogot D.C. 2004.


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con xito las intencionalidades formativas trazadas para el curso. Tambin esdeseable tener algunos conocimientos bsicos de la teora de conjuntos y delclculo integral debido a que estos permiten obtener una perspectiva ms ampliade la Probabilidad.

Este texto no pretende reemplazar las diferentes referencias bibliogrficas clsicasde la Probabilidad, es el resultado de la consulta de diferentes fuentes que tratancada tema en forma ms amplia. Lo que se pretende es entregar los conceptos deun modo ms didctico, enfocado en el autoaprendizaje y en relacin directa conla Gua de Actividades referenciada en el protocolo del presente curso. Al final decada unidad, el estudiante encontrar las referencias bibliogrficas bsicas, perono nicas, para que con ellas refuerce en conceptos y definiciones. Adems,encontrar una serie de pginas web recomendadas que amplan los temastratados. Se trata pues de un material didctico de apoyo para el curso deProbabilidad de la UNAD, como parte de las diferentes y diversas herramientas

didcticas en las que se apoya el aprendizaje autnomo.


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INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD UNO: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

CAPITULO 1: EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIOS MUESTRALES YEVENTOSLeccin 1 Definicin de experimento aleatorioLeccin 2 Definicin de espacio muestralLeccin 3 Sucesos o eventos.Leccin 4 Operaciones con eventosLeccin 5 Diagramas de Venn y diagramas de rbolEjercicios

CAPITULO 2: TCNICAS DE CONTEOLeccin 6 Principio fundamental del conteoLeccin 7 Factorial de un nmeroLeccin 8 Permutaciones y variacionesLeccin 9 CombinacionesLeccin 10 Regla del exponenteEjercicios

CAPTULO 3: PROPIEDADES BSICAS DE LA PROBABILIDADLeccin 11: Interpretaciones de la probabilidadLeccin 12: Axiomas de probabilidad: regla de la adicin

Leccin 13 Axiomas de probabilidad: regla de la multiplicacinLeccin 14 Probabilidad condicionalLeccin 15 Probabilidad total y teorema de bayesEjercicios

Autoevaluacin Unidad 1Laboratorio Unidad 1

UNIDAD DOS: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DEPROBABILIDAD

CAPITULO 4: VARIABLES ALEATORIASLeccin 16 Concepto de variable aleatoriaLeccin 17 Distribucin discreta de probabilidadLeccin 18 Distribucin continua de probabilidadLeccin 19 Esperanza matemtica y varianza de variables aleatoriasLeccin 20 Teorema de chbyshevEjercicios


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CAPITULO 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETALeccin 21 Distribucin uniforme discretaLeccin 22 Distribucin binomial

Leccin 23 Distribucin binomial negativa y geomtricaLeccin 24 Distribucin hipergeomtricaLeccin 25 Distribucin de PoissonEjercicios

CAPITULO 6: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUALeccin 26 Distribucin uniforme continuaLeccin 27 Distribucin normal y uso de la Distribucin normal estndarLeccin 28 Aplicaciones de la distribucin normalLeccin 29 Distribucin exponencial y chi-cuadradoLeccin 30 Otras distribuciones continuas utilizadas

EjerciciosAutoevaluacin Unidad DosLaboratorio Unidad Dos

Anexo 1: Resea Histrica de la ProbabilidadAnexo 2: Tablas EstadsticasBibliografa


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Unidad Uno

PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD


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INTRODUCCIN UNIDAD UNO

Para indicar el grado de incertidumbre de un evento, sta debe expresarse entrminos numricos; para ello se requiere conocer las reglas y operaciones de laprobabilidad. Es as como, en esta primera unidad didctica, se tratarn losprincipios bsicos de Probabilidad.

Esta unidad se divide en cuatro captulos. Los dos primeros captulos se centranen nociones bsicas para el desarrollo completo del concepto de probabilidad. Elprimero de ellos introduce los trminos bsicos que se encuentran ligados allenguaje estadstico y los fundamentos necesarios para el estudio de la teora dela probabilidad. El segundo captulo desarrolla la teora del conteo y las tcnicas

para determinar el nmero de veces de ocurrencia de un evento. En el captulo 3se desarrolla el concepto de probabilidad y se examinan las diferentesinterpretaciones que se tienen de ella, tambin se trata aqu los axiomas quesatisfacen las probabilidades de cualquier experimento aleatorio, las reglas deadicin y de multiplicacin para probabilidades, la probabilidad condicional, laindependencia de eventos y el Teorema de Bayes.


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OBJETIVO GENERAL

Analizar e interiorizar los principios de Probabilidad, identificando suspropiedades, leyes y los campos de aplicacin que tiene esta ciencia propia de laestadstica.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Introducir los fundamentos necesarios para el estudio de la teora de laprobabilidad.

Reconocer las caractersticas de un experimento aleatorio.

Identificar el espacio muestral y distintos eventos de experimentosaleatorios.

Adquirir las herramientas y habilidades necesarias de las tcnicas deconteo.

Calcular las medidas de espacios muestrales y eventos aplicando reglasbsicas de conteo, permutaciones y combinaciones.

Establecer y aplicar las tcnicas de conteo a travs de permutaciones ycombinaciones.

Enunciar y aplicar el principio fundamental de conteo o principiomultiplicativo y utilizar diagramas de rbol para ejemplificarlo

Definir y estudiar diversos tipos de espacios de probabilidad.

Reconocer la importancia de la teora de las probabilidades en el anlisis e

interpretacin de informacin estadstica. Aplicar las propiedades matemticas bsicas de las probabilidades para el

clculo de la probabilidad de diferentes eventos que ocurren enexperimentos aleatorios.

Calcular la probabilidad de un evento, dado que otro ha sucedido.


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Demostrar la independencia o no de dos o ms eventos.

Enunciar y aplicar la ley de la probabilidad total.

Obtener la probabilidad de eventos que involucren el uso del principiomultiplicativo, diagramas de rbol y las tcnicas de conteo.

Calcular la probabilidad de causas aplicando el teorema de Bayes.


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CAPITULO 1

Leccin 1: EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y ESPACIO MUESTRAL.

En la teora de probabilidades se habla a menudo de experimentos aleatorios y defenmenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cualsignifica suerte o azar. Un fenmeno aleatorio, es por tanto, aqul cuyo resultadoest fuera de control y que depende del azar.

Experimentos o fenmenos aleatorios son los que pueden dar lugar a variosresultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va aser observado en la realizacin del experimento.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales

de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dnde caer, cunto tiempotardar, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre unamesa, ignoramos qu cara quedar arriba. El resultado depende del azar. Es unaexperiencia aleatoria.

SSuucceessoo aalleeaattoorriioo eess uunn aaccoonntteecciimmiieennttoo qquuee ooccuurrrriirr oo nnoo,, ddeeppeennddiieennddoo ddeell aazzaarr..

La vida cotidiana est plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tiposociolgico (viajes, accidentes, nmero de personas que acudirn a un granalmacn o que se matricularn en una carrera...) aunque son suma de muchas

decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, comoaleatorios.

Leccin 2: ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de unexperimento aleatorio. En adelante lo designaremos por S. A la coleccin deresultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espaciomuestral.

EJEMPLO 1:

En un dado, S={1,2,3,4,5,6}

En una moneda, S={C,+}

Un experimento aleatorio cumple con las siguientes caractersticas:


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El experimento puede realizarse bajo idnticas condiciones cuantas veces seanecesario.

Los posibles resultados son todos conocidos.

El resultado del experimento es incierto, depende del azar. Se observa cierto patrn de regularidad a medida que aumentan lasrepeticiones.

EJEMPLO 2 :

En una empresa de lcteos hacen control de calidad al llenado de bolsas de lechede 1000 cc de volumen. Cada 20 minutos se verifica el volumen de llenado de lamquina. La evaluacin contina hasta encontrar una bolsa que no cumple las

especificaciones.Sea s el hecho de que la bolsa de leche cumple con las especificaciones devolumen, y n las que no cumple con ellas. Cul es el espacio muestral de esteexperimento?

El espacio muestral se representa como una secuencia de las letras sy n. Dadoque el experimento termina cuando una bolsa de leche no cumple con lasespecificaciones de volumen, el espacio muestral estar formado por unasecuencia de sseguida por una n.

,...},,,,,{ sssssnssssnsssnssnsnnS=

Leccin 3: SUCESOS O EVENTOS. OPERACIONES CON SUCESOS.

Sucesos o Eventos.

El espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de lospuntos obtenidos es:

S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Podemos considerar algunos subconjuntos de S, por ejemplo:

Salir mltiplo de 5: A = {5,10,15}Salir nmero primo: C = {2,3,5,7,11,13,17}Salir mayor o igual que 12: D = {12,13,14,15,16,17,18}


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Todos estos subconjuntos del espacio muestral S los llamamos sucesos oeventos.

SSuucceessoo oo EEvveennttoo ddee uunn ffeennmmeennoo oo eexxppeerriimmeennttoo aalleeaattoorriioo eess ccaaddaa uunnoo ddee lloossssuubbccoonnjjuunnttooss ddeell eessppaacciioo mmuueessttrraall SS.. LLooss eelleemmeennttooss ddee SS ssee llllaammaann ssuucceessoossiinnddiivviidduuaalleess oo ssuucceessooss eelleemmeennttaalleess.. TTaammbbiinn ssoonn ssuucceessooss eell ssuucceessoo vvaaccoo oossuucceessoo iimmppoossiibbllee ,, ,, yy eell pprrooppiioo SS,, ssuucceessoo sseegguurroo..

Si S tiene un nmero finito, n, de elementos, el nmero de sucesos de E es 2 n.

EJEMPLO 3:

{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: , {C},{+}, {C,+}

Es decir, S={,{C},{+},{C,+}}

Leccin 4: OPERACIONES CON SUCESOS O EVENTO

Ya que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar lasoperaciones bsicas de conjuntos2, tales como uniones, intersecciones y

complementos, para formar otros eventos de inters, denominados eventos osucesos compuestos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Unines el suceso formado por

todos los elementos de A y todos loselementos de B.

2 En el desarrollo del presente mdulo se parte de la premisa de que el estudiante maneja los diferentesconceptos de la Teora de Conjuntos. Se recomienda al estudiante que consulte el mdulo de Lgica

Matemtica o cualquier otro texto que contenga dichos conceptos.


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Interseccines el suceso formado por

todos los elementos que son, a lavez, de A y de B.

Diferenciaes el suceso formado por

todos los elementos de A que no sonde B.

Sucesocomplementario

El suceso A =E - A se llama sucesocomplementario de A.

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningn elementocomn. Es decir, cuando = (A y B son mutuamente excluyentes odisjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatoriocorrespondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso.

Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos{5}, {1,3,5} o S.

De manera anloga, decimos que:

El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos. El suceso se verifica cuando se verifican simultneamente A y B. El suceso A, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A. Dos sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes no se verifican

simultneamente.

EJEMPLO 4:

En el experimento S = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:


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A = "sacar un nmero par".B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 5".C = {4,6} = "obtener un 4 un 6".D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 un 3".G = "obtener un mltiplo de 3".

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesoselementales.

C est contenido en A. Luego = C, puesto que siempre queocurre el suceso C (sacar 4 6) ocurre el suceso A, puesto que seobtiene un nmero par.

B y C son incompatibles, ya que B C = y complementarios, alcumplirse B C = E.

= "sacar un nmero par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.

A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso interseccin de lossucesos "sacar un nmero par" y "obtener un mltiplo de tres" es "sacarun 6".

B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un nmero impar" =

. C y F son incompatibles puesto que C F = .

Las operaciones unin, interseccin y complementacin (contrario) verifican laspropiedades:

Unin Interseccin

1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Idempotente

4. Simplificacin

5. Distributiva

6. Elementoneutro

7. Absorcin


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Leccin 5: DIAGRAMAS DE VENN Y DIAGRAMAS DE RBOL

Para describir las relaciones entre eventos se usan con frecuencia los diagramas.

Estos bien pueden ser los denominados diagramas de Venn o los diagramas derbol. A continuacin se describen ambos tratamientos grficos de los eventos deun espacio muestral determinado.

Los diagramas de Vennsuelen emplearse para representar un espacio muestraly sus eventos. En la figura siguiente se contempla un espacio muestral S (lospuntos dentro del rectngulo) y los eventos A, By Ccomo subconjuntos de este.Se representan diferentes diagramas de Venn, ilustrando varios eventoscombinados.

Figura 1Diagramas de Venn

(a) Espacio muestral Scon los eventos A y Bmutuamente excluyentes, = BA .(b) Interseccin de los eventos A y Bdel espacio muestral S, BA .(c) Complemento del evento A (A) en el espacio muestral S.(d) Evento CBA )( .(e) Evento )( CA

EJEMPLO 1.5:

Las orqudeas de un vivero, presentan las siguientes caractersticas:

(a) (b) (c)

(d) (e)


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Tamao de ptaloGrande Pequeo

Color Lila 40 4Blanca 2 3

Sean los eventos:A: la orqudea es de ptalo grande.B: la orqudea es de color lila.

Determine el nmero de muestras en BA , `A y BA . Represente condiagramas de Venn este espacio muestral y los eventos A y B. Indique el nmerode resultados en cada regin del diagrama.

Observe que siempre es necesario describir el evento que se va a considerardentro del espacio muestral.

De acuerdo a las caractersticas descritas, el evento BA est formado por 40orqudeas para las cuales el tamao de ptalos es grande y son de color lila almismo tiempo. El evento `A contiene 7 orqudeas para las que sus ptalos sonpequeos, independiente de su color. El evento BA est conformado por 46orqudeas en las que sus ptalos son grandes o su color es lila (o ambascaractersticas a la vez).

El siguiente diagrama de Venn representa dicho espacio muestral y los doseventos A y B. Los nmeros indican la cantidad de resultados en cada regin deldiagrama.

Figura 1.2Diagrama de Venn, ejemplo 1.5

Cuando un espacio muestral puede construirse en varios pasos o etapas suele serms til hacer uso de los diagramas de rbol. Cada una de las n1 maneras decompletar el primer paso puede representarse como una rama del rbol, cada unade las maneras de completar el segundo paso puede representarse con n2 ramasque comienzan donde terminan las ramas originales, y as sucesivamente.


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Un diagrama de rbol es una especie de mapa de acontecimientos en donde sedescriben los eventos bsicos que ocurren en un experimento aleatorio. Estegrfico est formado por segmentos de rectas y puntos. Los eventos que ocurrense denotan por puntos. Este diagrama puede ser dibujado de izquierda a derecha

o de arriba hacia abajo, no hay restricciones para ello (Ver figura 3).Este tipo de diagramas es muy usual no slo para describir un espacio muestral,sino en situaciones de probabilidad, caso en el cual la probabilidad del evento seindica sobre el segmento de recta, tambin en combinatoria y en muchas otrasramas de la matemtica.

Figura 1.3Diagramas de rbol

(a) Vertical, (b) Horizontal

EJEMPLO 1.6:

Sofa y Camila Intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que ganedos juegos seguidos o que complete tres, gana el torneo. Use un diagrama derbol para determinar los posibles resultados del torneo.

Figura 1.4Diagrama de rbol del ejemplo 1.6

S

A

B

C

S

A B C

(a) (b)

S

SS

SS

S

SS

S

C

CC

C C

C

CC

C


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El recorrido desde el principio del rbol hasta los puntos terminales, indica quingan cada juego en el torneo individual de tenis. Observe que hay 10 puntos

terminales que corresponden a los 10 resultados posibles del torneo, ellos son:{ SS, SCSS, SCSCS, SCSCC, SCC, CSS, CSCSS, CSCSC, CSCC, CC. }


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EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCAAPPTTUULLOO 11

1.- Proporcione una descripcin razonable del espacio muestral de cada uno delos siguientes experimentos aleatorios. Utilice un diagrama de rbol.

a.- Lanzar tres veces una moneda y observar la serie de sellos o caras queaparecen.b.- Tirar un dado, si el resultado es un numero par lanzar una moneda, si elresultado es un numero impar lanzar una moneda dos veces.

2.- Se desea observar una familia que posee dos automviles y para cada unoobservamos si fue fabricado en Colombia, si es Americano o si es Europeo.

a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento?b.- Defina el evento A: Los dos automoviles no son fabricados en Colombia, Liste

el evento B: Un automovil es colombiano y el otro no.c.- Defina los eventos AB y BA.

3- La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto enreserva, Dos ejemplares (1 y 2) son primera edicin y los otros tres (3, 4 y 5) sonsegundas ediciones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, y sedetiene cuando selecciona una segunda impresin. Ejemplos de resultados son: 5,213.

a.- haga una lista de los elementos de Sb.- Liste los eventos A: el libro 5 es seleccionado, B: exactamente un libro debeser examinado, C: el libro 1 no es examinadoc.- Encuentre: AB , BA., AC y BC.

4.- Dos estaciones de gasolina se encuentran en un cierto cruce de la ciudad, encada una hay 4 bombas para despacho de gasolina. Considere el experimento enque el numero de bombas en uso en un da particular se determina para cada unade las estaciones. Un resultado experimental especifica cuantas bombas estn enuso en la primera estacin y cuantas estn en uso en la segunda.

a.- Cuales son los posibles resultados del experimentob.- Defina el evento A: el numero de bombas en uso es el mismo en ambasestaciones, el evento B: el numero de bombas en uso es mximo dos en cadaestacin, el evento C: el numero total de bombas en uso en ambas estaciones escuatro.c.- Defina AB , BC

5.- El siguiente diagrama de Venn contiene tres eventos. Reproduzca la figura ysombree la regin que corresponde a cada uno de los siguientes eventos:


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a. A b. BA c. CBA )(

d. )( CB e. CBA )(

6.- Una mujer es portadora de hemofilia clsica. Esto significa que, aunque lamujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella tienetres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento.

7.- En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se hall que 120utilizan corredores por comisin, 126 usan corredores de tiempo completo y 64emplean ambos tipos de corredores. Determine el nmero de inversionistas tales

que:

a. Utilizan al menos un tipo de corredor.b. Utilizan exactamente un tipo de corredor.c. Utilizan slo corredores por comisin.d. No utilizan corredores.

Represente con un diagrama de Venn este espacio muestral y los eventosrelacionados. Indique el nmero de resultados en cada regin del diagrama.

8.- La tabla siguiente presenta un resumen de las caractersticas solicitadas en

100 rdenes de compra de computadores.

Memoria adicionalNo Si

Procesador opcionalde alta velocidad

No 75 7Si 10 8

Sean:A: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sinprocesador opcional de alta velocidad.B: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional.

Determine el nmero de muestras en BA , B y BA . Dibuje un diagrama deVenn que represente estos datos.

9.- Se le pidi a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisinpreferan. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez segn el nivel deestudios de los comerciantes y segn el tipo de programa preferido.


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Tipo de ProgramaNivel de estudiosColegio(A)

Universidad(B)

Postgrado( C )

Total

Deportes (D) 15 8 7 30Noticias (N) 3 27 10 40Drama (M) 5 5 15 25Comedia ( W) 10 3 2 15Total 33 43 34 110

Especifique el numero de elementos en cada uno de los siguientes eventos ydefnalos con palabras:a) D,b) A Mc) W `

d) C Ne) D Bf) ( M A)


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CAPITULO 2

TCNICAS DE CONTEO

En el clculo de las probabilidades se debe poder determinar el nmero de vecesque ocurre un evento o suceso determinado. Es muchas situaciones deimportancia prctica es imposible contar fsicamente el numero de ocurrencias deun evento o enumrelos uno a uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuandose esta frente a esta situacin es muy til disponer de un mtodo corto, rpido yeficaz para contar.

A continuacin se presentan algunas de estas tcnicas, denominadas tcnicas deconteo o anlisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principiofundamental del conteo, permutaciones, variaciones, combinaciones, la regla del

exponente y el diagrama de rbol.

Leccin 6: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

En la teora fundamental del conteo se tienen dos principios bsicos, que son labase para desarrollar otros conceptos como permutaciones y combinaciones quese vern ms adelante.

Principio de multiplicacin o multiplicativo

Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio.Suponga que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tienedos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre. Decuntas maneras puede el anfitrin hacer su men? En la figura 5 se sealantodas las maneras posibles para preparar el almuerzo.

Figura 2.5Diagrama de las posibles opciones para preparar un men

Las alternativas que tendr son:{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7}

Sopa Platoprincipal

Postre

1

2

3

4

5

6

7


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{2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7}

En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un delicioso almuerzo.Aplicando el principio de multiplicacin se tiene:

2 x 3 x 2 = 12

Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n1 manerasdiferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2maneras diferentes, y si,adems, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y assucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro,entonces el nmero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el ordenindicado es el producto:

...321 nnn

Principio aditivo

Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con lacondicin no de que los eventos sean independientes sino de que seanmutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de queotro lo haga. El nmero total de maneras en las que pueden realizarse los eventoses la adicin:

...321 +++ nnn

Suponga, ahora, que la persona que prepara el men para sus amigos prepararpescado como plato principal. Para preparar el pescado, l encuentra cincomaneras diferentes de hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y tres paraprepararlo cocido. De cuntas maneras diferentes puede cocinar su pescado?

Cada una de las maneras de preparar el pescado es excluyente de las otras dos.Es decir, si el cocinero decide preparar el pescado cocido, ya no podr prepararloni frito ni al horno; de igual manera sucede si decide hacerlo al horno o frito. Asque en total, y de acuerdo con el principio aditivo, slo hay 5+2+3=10 manerasdiferentes de cocinar el pescado.

Figura 2.6Esquema de interpretacin de los principios multiplicativo y aditivo

n1 n2 n3 . . .

Principiomultiplicativo

n1

n2

n3.

.

.Principio aditivo


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26




El esquema de la figura 1.6 ilustra una interpretacin sencilla de ambosprincipios3. Ms adelante se desarrollan los conceptos de eventos independientesy eventos mutuamente excluyentes, pero ya inicia un primer acercamiento a ellos.

Leccin 7: FACTORIAL DE UN NMERO

En el anlisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto defactorial de un entero no negativo n. Este se denota por el smbolo n!y se definecomo el producto de npor todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno.

Simblicamente queda expresado como:

( )( ) 1121 = nn-n-nn!

La excepcin es el caso de 0!El cual conviene definirlo como igual a 1 con objetode preservar la validez de las frmulas en casos extremos. Muchas calculadorastraen una tecla factorial, verifique que la suya la tenga y practique.

EJEMPLO 2.7

Calcule:a. 720123456!6 == b. 000.368.674.307'1123...131415!15 ==

c. 121)12345()1(!5!0 =+=+

d. 1561213!11

!111213

!11

!131561213

123...91011

123...111213

!11

!13==

===

=

e.720

1

8910

1

!78910

!7

!10

!7

123...910

1234567

!10

!7=

=

=

=

Leccin 8: PERMUTACIONES Y VARIACIONES

Considere un conjunto de elementos { }cbaS ,,= . Una permutacin de los

elementos es un acomodo u ORDENAMIENTO de ellos. As:

abc acb bac bca cab cba

3 Modificado de Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias, Gabriel Velasco S. y PiotrMarian Wisniewski. Thomson Learning. Mxico. 2001


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son las permutaciones de los elementos del conjunto Sy son en total 6 posiblesacomodos. Esto es:

6123!3 ==

El nmero de permutaciones (acomodos u ordenaciones) de n elementosdistintos, tomados todos de una vez, se denota por n!

Una ordenacin de un nmero rde elementos del conjunto de nelementos, nr ,es denominada variacin. Son permutaciones en las que implica un orden en lacolocacin de los elementos, tomando nicamente una parte de los elementos.Una variacin puede construirse seleccionando el elemento que ser colocado enla primera posicin del arreglo de entre los nelementos, para luego seleccionar elelemento de la segunda posicin de entre los n-1 elementos restantes, paraseleccionar despus el tercer elemento de entre los n-2 restantes, y as

sucesivamente. Se trata pues de una permutacin de n elementos tomando r a lavez.

El nmero de permutaciones de nelementos tomados ra la vez se denota como

rnP on

rV y se define como:

( )( ) ( )( )!rn

n!rn...nnnPP nrrn

=+== 121

Observe que en el caso especial de r=n, se tiene:

!123)...2)(1( nnnnPnn ==

En el siguiente ejemplo se har un anlisis bsico y didctico para comprenderfcilmente el uso adecuado de las permutaciones y las variaciones.

Ejemplo 2.7

Suponga que se tienen las bases Tiamina (T), Adenina (A), Citosina (C) y Guanina(G). De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar estas bases en una

secuencia de longitud 4, sin repetir ninguna base?

Supngase que en las siguientes casillas se ubicarn las bases.


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En la primera casilla se puede ubicar una de las cuatro bases, cualquiera de ellas.De modo que se tienen 4 formas de llenar esta casilla. Independiente de la baseelegida para la primera casilla, quedan tres bases no seleccionadas, pues se haaclarado que no se puede repetir ninguna base. De modo que la segunda casilla

podr llenarse de 3 maneras diferentes. La tercera casilla se puede llenar de 2maneras diferentes. Una vez llenada la tercera casilla, queda una sola base quedeber ser ubicada en la cuarta casilla. De modo que el total de formas diferentesde llenar estas cuatro casillas es:

4 3 2 1 = 24 = 4!

Haciendo uso de los conceptos hasta ahora estudiados, se trata de conocer elnmero de permutaciones de 4 elementos distintos, tomados todos de una vez.As:

241234!4 == Bien, ahora suponga que se seleccionar una secuencia de 2 elementos, decuntas maneras se pueden ordenar estas bases?

Se tienen ahora las siguientes casillas:

En la primera casilla se puede ubicar una de las cuatro bases, cualquiera de ellas.

De modo que se tienen 4 formas de llenar esta casilla. Independiente de la baseelegida para la primera casilla, quedan tres bases no seleccionadas. De modo quela segunda casilla podr llenarse de 3 maneras diferentes. As, el total de formasdiferentes de llenar estas cuatro casillas es:

4 3 = 12

Se trata de un problema tipo variacin, en donde se pide el nmero depermutaciones de 4 elementos distintos tomados 2 a la vez.

( ) ( )1234

24

24412341244 2424 ===

===+=!!

!!PP

Cuando uno o varios elementos estn repetidos, el clculo de las permutacionesvara; en este caso se habla de permutaciones con repeticin. El nmero de


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permutaciones de nobjetos de los cuales n1 son iguales, n2son iguales, , nrsoniguales, es:

!!...!

!

21 rnnn

n

Ejemplo 2.8

Calcular el nmero de acomodos distintos de la palabra CASA.

Para la palabra CASA se tendran un nmero inferior a 24 acomodos distintos.Debe tenerse en cuenta la repeticin de la letra A. Debe aplicarse:

1243!2!4 ==

Compruebe cules son esas 12 permutaciones posibles de la palabra CASA.

Ahora bien, de cuntas maneras distintas se puede ordenar la palabra CASAS?

30!2!2

!5=

Compruebe cules son esas 30 permutaciones posibles.

Leccin 9: COMBINACIONES

Suponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinacin de ellos,tomados ra la vez, es un subconjunto de relementos donde el orden no se tieneen cuenta. El nmero de combinaciones de nelementos tomados ra la vez, nr ,sin tener en cuenta el orden, es:

!)!(

!

rrn

n

r

n

CC

n

rrn =

==

Ejemplo 2.9


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Sea el conjunto { }dcbaS ,,,= , si se desea combinar los cuatro elementos a lavez, cuntas combinaciones se podrn hacer?Una sola combinacin, ya que al no importar el orden de colocacin da lomismo cualquiera de ellas. Comprubelo usando la frmula.

Si se desean combinar esas cuatro letras en subconjuntos de dos elementos,cuntas combinaciones se podrn hacer?Las combinaciones posibles tomadas dos a la vez son:

ab, ac, ad, bc, bd, cd

Observe que el subconjunto compuesto de los elementos a y b puede ser {a, b}o {b, a}, pues en una combinacin no se tiene en cuenta el orden. El nmerode posibles combinaciones es:

6!2)!24(

!424 =

=C

El uso de combinaciones es ms usual cuando se trata de contar las posibilidadesde ordenar un conjunto de elementos independientemente de su colocacin oposicin. En el siguiente ejemplo se ver su uso ms comn, en donde no importaquin o qu es tomado de primero, o en qu orden especfico es tomado, de unsubconjunto de elementos determinado.

EJEMPLO 2.10

En una asamblea de socios de una importante empresa del pas, compuesta de 7hombres y 5 mujeres, se acuerda conformar una comisin de verificacin deactividades comerciales en la regin. Esta comisin debe estar compuesta por 3hombres y 2 mujeres. De cuntas maneras puede escogerse dicha comisin?

De los 7 hombres pueden seleccionarse 3. Esto es:

35123

567

!3!4

!7

3

737 =

=

=

=C posibles maneras de seleccionar 3 hombres de un

conjunto de 7.

De las 5 mujeres pueden seleccionarse 2. Esto es:

1012

45

!2!3

!5

2

525 =

=

=

=C posibles maneras de seleccionar 2 mujeres de un

conjunto de 5.


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Por consiguiente, la comisin puede escogerse de 3501035 = manerasdiferentes.

En la gran mayora de calculadoras cientficas existe un par de teclas quesimplifican el clculo de las permutaciones y las combinaciones. Observe si en sucalculadora de trabajo se encuentran dichas teclas. Para las permutaciones latecla se expresa como rn P

r

nP ),( rnP y para las combinaciones es rn C r

nC ),( rnC . Identifique estas teclas en su calculadora y practique.

Leccin 10: REGLA DEL EXPONENTE

Se trata de un tipo de combinacin o arreglo ordenado en donde siempre hayreemplazo del elemento que se toma.

Si se tienen un conjunto de Nelementos y se construye con estos elementos unconjunto de n elementos, con la condicin de que cada vez que se tome unelemento del conjunto de N elementos este sea nuevamente reemplazado,entonces el nmero de posibles arreglos o acomodos del conjunto de nelementoses:

n

El siguiente ejemplo explica de una manera didctica el clculo del nmero deposibles arreglos haciendo uso de la regla del exponente.

Ejemplo 2.11

Cuntos casos posibles existen al lanzar una moneda en 5 lanzamientos?

En el lanzamiento de una moneda se tienen dos posibilidades: cara o sello. Elnmero de casos posibles estar dado por el nmero de posibilidades (2, en estecaso) con exponente igual al nmero de lanzamientos:

En un lanzamiento: 221 = casos posibles

En dos lanzamientos: 422

= casos posibles En tres lanzamientos: 82

3 = casos posibles

De modo que, para cinco lanzamientos, hay 3225 = casos posibles


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EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCAAPPTTUULLOO 22..

1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en elcentro de la ciudad de Medelln. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutasdistintas para llegar a la Autopista y de all puede tomar otras tres rutas para llegar alcentro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueaderoms cercano a su oficina. De cuntas maneras o rutas distintas podra tomar la personapara llegar de la casa al parqueadero ms prximo a su oficina?

2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con lassiguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja,cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. De cuntas maneras puede un comensalelegir su men que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y unpostre?

3.- Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que

juegue las 7 sin que ninguna se repita, qu libertad le queda a ese jugador?

4.-Cuntas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describacada una de las permutaciones posibles.

5.- Cuntas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabraPROBABILIDAD?

6.- Dados los siguientes seis nmeros: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones,resuelva:

Cuntos nmeros de tres dgitos se pueden formar con estos seis dgitos?Cuntos de estos son menores de 400?

Cuntos son pares?Cuntos son impares?Cuntos son mltiplos de cinco?

7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puedecolocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre latarjeta, cul es el nmero de diseos diferentes posible?

8.- En una pizzera se anuncia que ofrecen ms de 500 variedades distintas de pizza. Uncliente puede ordenar una pizza con una combinacin de uno o ms de los siguientesnueve ingredientes: jamn, championes, pia, pimentn, salchicha, cebolla, peperoni,salami y aceitunas. Es cierto lo que afirma su publicidad?

9.- El itinerario de un recorrido turstico por Europa incluye cuatro sitios de visita quedeben seleccionarse entre diez ciudades. En cuntas formas diferentes puede planearseeste recorrido si:

Es importante el orden de las visitas?No importa el orden de las visitas?


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10.- El muy conocido BALOTO electrnico es un juego de azar que consiste en acertar en6 nmeros de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuntos boletos de juegodebe usted comprar para asegurar que tendr el boleto ganador. La empresa delBALOTO asegura tambin que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o5 veces, calcule tambin cuntos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos.

Todava cree en el BALOTO?

11.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres.De cuntas maneras pueden sentarse en una fila?De cuntas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y lasmujeres tambin?De cuntas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan

juntas?De cuntas maneras pueden sentarse en una mesa redonda?

12.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 conreemplazo, de cuntas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas

sean del mismo color?

13.- Una prueba de opcin mltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tresalternativas, de las cuales slo debe marcar una. En cuntas formas diferentes puedemarcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?

14.- Cuntas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que stasconstan de tres letras del alfabeto y tres dgitos. Tome 26 letras del alfabeto.

15.- Cuantas formas hay de seleccionar 3 candidatos de un total de 8 recin egresados ycon las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa?

16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas desalud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 aos. Las 7 reglas son nofumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7horas , conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantasformas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, a) si actualmente las viola todas; b)Si nunca toma bebidas alcohlicas y siempre desayuna.

17.- Un Testigo de un accidente de trnsito en el que el causante huy le indica al policaque el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dgitos el primero de loscuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero esta seguro que los tresnmeros eran diferentes, encuentre el numero mximo de registros que debe verificar lapolica

18.- Seis alumnos de ltimo ao de bachillerato participan en un concurso de ensayoliterario. No puede haber empates. Cuntos resultados diferentes son posibles?Cuntos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber?

19.- Un psiclogo tiene 14 pacientes entre los cuales debe seleccionar nueve para unexperimento en grupo. Cuntos grupos de nueve se puede hacer?


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Definicin Clsica de Probabilidad o a Priori

Cuando un experimento aleatorio tiene nresultados, y todos ellos con igual posibilidad deocurrencia, entonces se emplea el mtodo clsico de la probabilidad para estimar la

posibilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. Le corresponde pues, a cada resultado,una probabilidad igual a 1/n.

Considere, por ejemplo, un dado de 6 caras, cul es la probabilidad de que caiga elnmero 5 despus de un lanzamiento? Un dado balanceado (esto es, no recargado) tiene6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilidad de que caiga el nmero 5 es igual ala probabilidad que tiene cualquier otro de los valores, y esta es igual a 1/6.

Resumiendo, la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, que tiene la mismaposibilidad de ocurrencia que cualquier otro evento dentro del espacio muestral detamao n, se define como:

nAP 1)( =

Este planteamiento de la probabilidad tiene serios problemas cuando intentamos aplicarloa los problemas de toma de decisiones menos previsibles. El planteamiento clsicosupone un mundo que no existe, supone que no existen situaciones que son bastanteimprobables pero que podemos concebir como reales. La probabilidad clsica suponetambin una especie de simetra en el mundo.

Definicin de probabilidad segn el concepto de frecuencia relativa o probabilidad

frecuentista

En el siglo XIX, los estadsticos britnicos, interesados en la fundamentacin terica delclculo del riesgo de prdidas en las plizas de seguros de vida y comerciales,empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a esteplanteamiento se le llama frecuencia relativa de presentacin de un evento y define laprobabilidad como:

La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran nmero deintentos, o

La fraccin de veces que un evento se presenta a la larga, cuando lascondiciones son estables.

Este mtodo utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un eventocomo una probabilidad. Determinamos qu tan frecuente ha sucedido algo en el pasado yusamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idnticascondiciones el cociente entre el nmero de veces que aparece un resultado (suceso) y elnmero total de veces que se realiza el experimento tiende a un nmero fijo. Esta


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propiedad es conocida como ley de los grandes nmeros, establecida por JacobBernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesin de las frecuencias relativas deunas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que elnmero de realizaciones aumenta se mantiene estable.

La frecuencia relativa del suceso A:

Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades,el nmero que obtenemos como probabilidad adquirir mayor precisin a medida queaumentan las observaciones. Una dificultad presente con este planteamiento es que lagente lo utiliza a menudo sin evaluar el nmero suficiente de resultados.

Para un espacio muestral de tamao ny para un evento cualquiera A con frecuencia f, setiene que su probabilidad de ocurrencia es:

n

fAP =)(

EJEMPLO 3.12

En una urna se tienen 9 bolitas de diferentes colores: 4 blancas, 3 grises y 2 negras. Si seselecciona de la urna una bolita, sean:

B: Evento para el cual la bolita seleccionada es blanca.G: Evento para el cual la bolita seleccionada es gris.N: Evento para el cual la bolita seleccionada es negra.

Determinar la probabilidad de ocurrencia de cada evento.

Tamao de la muestra: 9=n Frecuencia de B: 4=Bf

Frecuencia de G: 3=Gf

Frecuencia de N: 2=f


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%2.2222.09

2)(

%3.3333.09

3)(

%4.4444.09

4)(

====

====

====

n

fP

n

fGP

n

fBP

G

B

Intuitivamente, se puede pensar que la probabilidad de ocurrencia de un evento estasociada a la cantidad de veces en que se repite un procedimiento o fenmeno. Porejemplo, en un tpico experimento aleatorio como lanzar una moneda, se tienen dosresultados probables: cara o sello. Ambos resultados son igualmente probables (siemprey cuando la moneda no est recargada). Pero perfectamente en un experimento con 10lanzamientos de la moneda, se podra tener un resultado como 8 caras y 2 sellos. Este esun resultado normal. Sin embargo, si el experimento fuera de 100 lanzamientos, seramuy extrao encontrar un resultado como 80 caras y 20 sellos; o bien, con 1000

lanzamientos 800 caras y 200 sellos. Entonces, no se puede garantizar cul ser elresultado en un lanzamiento, o pocos lanzamientos, pero se puede ver que con una grancantidad de lanzamientos los resultados de que la moneda caiga cara sern muy similaresal nmero de veces para sello.

Con lo anterior, puede concluirse que al calcular probabilidades con el mtodo defrecuencias relativas, se obtiene un estimadoy no un valor exacto. Conforme el nmerode observaciones se incrementa, los estimados correspondientes tienden a acercarse a laprobabilidad real. Esta propiedad es conocida comnmente como la ley de los grandesnmeros.

Probabilidades subjetivas.

Las probabilidades subjetivas estn basadas en las creencias de las personas queefectan la estimacin de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como laprobabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia quese tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa depresentacin de eventos pasados o puede tratarse simplemente de una creenciameditada.

Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una ms amplia flexibilidad quelos otros dos planteamientos. Los tomadores de decisiones puede hacer uso de cualquierevidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la

situacin. Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con ms frecuencia cuandolos eventos se presentan slo una vez o un nmero muy reducido de veces.

Por ejemplo, una mujer en embarazo asegura que el beb que tendr ser varn por lacantidad de pataditas recibidas en el vientre, mientras que su cuada le refuta esteargumento, pues afirma que la forma de su barriga le asegura que tendr una nia.Ambas mujeres parten de una experiencia o una prctica personal para atreverse a


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asegurar el sexo del ser que viene en camino. Sin embargo, la probabilidad de que seanio es igual a la probabilidad de que sea nia, y eso es igual a 0.5 ( 50%).

Otro ejemplo comn es el de las predicciones meteorolgicas, en las que el cientficodebe usar su conocimiento experto de las condiciones del tiempo para desarrollar un

estimado de la probabilidad de buen o mal tiempo. Como casi todas las decisionessociales y administrativas de alto nivel se refieren a situaciones especficas y nicas, losresponsables de tomar decisiones hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva.

Se trata pues de una conjetura entrenada, basada siempre en la prctica, en lacomprensin de fenmenos similares o en las circunstancias que rodea al evento, y nocomo presunciones lanzadas sin un conocimiento de las causas o como corazonadas.

Este mtodo es usado, por ejemplo, cuando un mdico estima la probabilidad derecuperacin para un enfermo grave o tambin cuando un ingeniero estima rpida ysubjetivamente la resistencia de un puente al paso de una carga superior a la establecidaen los diseos.

Es importante entender que el mtodo de la probabilidad a priori o subjetiva no debemenospreciarse frente a los otros mtodos (frecuencia relativa y clsica), ya que esfrecuente no tener registros del comportamiento de cierta variable para determinar unaprobabilidad relacionada, pues simplemente no es posible repetir el experimento.

Por ejemplo, las aseguradoras no pueden darse el lujo de repetir el ensayo del dao deun carro, del robo de una valiosa obra de arte, del secuestro de una persona o delaccidente de un avin. stas solo pueden basarse en experiencias adquiridas paraestimar su probabilidad de ocurrencia y as determinar el costo del seguro que ofrece. Dela misma manera, no se podra determinar la probabilidad de que una ciudad seabombardeada por meteoritos, por que simplemente no hay registros histricos para hacer

una estimacin. Slo se puede hacer un estimado subjetivo.

EJEMPLO 3.13

Suponga que usted es un astrnomo que quiere determinar la probabilidad de que ungran asteroide destruya el planeta Tierra. Qu mtodo usara para este clculo?

Observe que no puede usarse el mtodo clsico, porque los resultados posibles no tienenla misma posibilidad de ocurrir.Tampoco se aplica el mtodo de las frecuencias relativas, ya que es imposible realizarensayos y no hay datos histricos de una destruccin de ese tipo.Slo puede aplicarse el mtodo de la probabilidad subjetiva apoyndose, por ejemplo, enel nmero de asteroides reportados con un tamao suficiente y tan cercanos a nuestroplaneta como para destruirlo, tambin en el conocimiento de las rbitas de estosasteroides.


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Los astrnomos desarrollaron la probabilidad subjetiva de que el planeta Tierra fueradestruido por una colisin con un asteroide en algn momento en los prximos 100 aos:la probabilidad es aproximadamente de 1 / 5000.

Leccin 12: AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA ADICIN

Conocida ahora la probabilidad de un evento, se pueden reunir ciertas caractersticasconocidas como axiomas de probabilidad que satisfacen la probabilidad de cualquierexperimento aleatorio. Estos axiomas no determinan las probabilidades, lo que hacen esfacilitar el clculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento delas probabilidades de otros.

Entendiendo la probabilidad de cualquier evento como un nmero entre 0 y 1, ellasatisface las siguientes propiedades:

Si S es el espacio muestral y A es cualquier evento del experimento aleatorio,entonces:

1. 1)( =SP

2. 1)(0 AP

Estos axiomas implican los siguientes resultados.

La probabilidad de un evento imposible es 0 P()=0. La probabilidad de que un evento ocurra con certeza es 1. Para cualquier evento A, )(1)( APAP = .

Si el evento A1 est contenido en el evento A2, entonces: )()( 21 APAP

La probabilidad de un evento compuesto, generado al aplicar las operaciones bsicas delos conjuntos a los eventos individuales que lo componen (unin, interseccin ycomplemento de eventos), se puede obtener a partir de las probabilidades de los eventosindividuales. En estos casos, las operaciones bsicas de los conjuntos tambin son tilespara determinar la probabilidad de un evento compuesto

a.- Regla de la adicin para eventos mutuamente excluyentes.

A menudo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda; es

decir nos interesa la probabilidad de la unin de dos eventos. Si estos dos eventos sonmutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la reglade adicin para eventos mutuamente excluyentes:

P (A B) = P (A) + P (B)

Existe un caso especial, para cualquier evento A, tenemos que ste sucede o no sucede.De modo que los eventos A y A son mutuamente excluyentes y exhaustivos:


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P(A) + P(A) = 1

P(A) = 1 - P(A)

b.- Regla de adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes.

Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten almismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de la adicin para evitar elconteo doble:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)

El siguiente diagrama de flujo4, resume las reglas de adicin para el clculo de laprobabilidad de dos eventos dados A y B.

Figura 3.7Diagrama de flujo de la regla de adicin

EJEMPLO 3.14:

Las siguientes son las caractersticas de las orqudeas de un vivero:

Tamao de ptaloGrande Pequeo

Color Lila 40 4

Blanca 2 3Sea el evento A: la orqudea es de ptalo grande. Entonces:

4942)( =AP

4 Modificado de Probabilidad y estadstica, Mario F. Triola. Novena edicin. Pearson & AddisonWesley. Mxico. 2004.

)( BAP

= BA ? )()()( BPAPBAP +=

)()()()( BAPBPAPBAP +=

Si

No


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Probabilidades marginales bajo independencia estadstica.

Una probabilidad marginal o incondicional es la probabilidad simple depresentacin de un evento.

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadstica.

La probabilidad de dos o ms eventos independientes que se presentan juntos o ensucesin es el producto de sus probabilidades marginales:

P (A B) = P(A) X P(B)

b.- Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadstica.

La dependencia estadstica existe cuando la probabilidad de que se presente algnsuceso depende o se ve afectada por la presentacin de algn otro evento.

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadstica.

P( B A) = P(B / A) x P(A)

O

P( B A) = P(A / B) x P(B)

La regla de la multiplicacin se puede resumir en el siguiente diagrama de flujo5 para elclculo de la probabilidad de la interseccin de dos eventos dados A y B.

Figura 3.8.Diagrama de flujo de la regla de multiplicacin

5 Modificado de Probabilidad y estadstica, Mario F. Triola. Novena edicin. Pearson & AddisonWesley. Mxico. 2004.

)( BAP

Son A y Bindependientes? )()()( BPAPBAP =

)()()( ABPAPBAP =

Si

No


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RECOMENDACIONES PRCTICAS:

Cuando se aplica la regla de la adicin de probabilidades, determinar previamentesi los eventos son excluyentes o no.

Cuando se usa la regla de la multiplicacin, determinar si los eventos sondependientes o independientes.

Siempre que sea posible, apoyar la interpretacin del problema mediante elempleo de diagramas de Venn.

La probabilidad es un nmero que nunca puede tener valor negativo, ni ser mayorque 1.

Leccin 14: PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidades condicionales bajo independencia estadstica.

Simblicamente, la probabilidad condicional se escribe P(B/A) y se lee "la probabilidad deque se presente el evento B, dado que el evento A se ha presentado". La probabilidadcondicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente, si un primerevento (A) ya ha sucedido.

Probabilidad condicional bajo Independencia estadstica

P(B/A) = P(B)

Probabilidad condicional bajo dependencia estadstica.

P(B / A) = P(BA) / P(A)

Ejemplo 3.1.5Retome el ejemplo de las caractersticas de las orqudeas de un vivero y calcule laprobabilidad de que la orqudea que se seleccione sea de color lila dado que se hatomado una orqudea de tamao de ptalo grande.

Tamao de ptalo

Grande PequeoColor Lila 40 4Blanca 2 3

Sean los eventos:A: la orqudea es de ptalo grande.B: la orqudea es de color lila.


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44




Se pide entonces:)(

)()(

AP

ABPABP

=

49/42)(

49/40)(

=

=

AP

ABP

As: %2,95952,049/42

49/40)( ===ABP

Calcule ahora la probabilidad de que la orqudea seleccionada sea de ptalogrande dado que es de color lila.Observe que esta probabilidad es diferente a la calculada arriba, se pide:

%9,90909,049/44

49/40)(

)(

)()( ===

= BAP

BP

BAPBAP

En este caso, )(AP y )( BAP son las probabilidades del mismo evento (laorqudea es de ptalo grande) pero calculadas bajo dos diferentes estados deconocimiento: la primera, sin la condicin de su color y la segunda, condicionada aque su color sea lila. De manera similar, )(BP y )( ABP son las probabilidades delmismo evento (la orqudea es de color lila) calculadas bajo dos estados diferentesde conocimiento: sin condicionar su tamao de ptalo para la primera y la segundacondicionada a que su tamao de ptalo sea grande.

Leccin 15: PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES.

La regla de multiplicacin es til para determinar la probabilidad de un evento quedepende de otros. En esta seccin se ver otro modo de calcular la probabilidadde un evento considerando a este como el resultado de la unin de otros eventos.Para esto es necesario definir el concepto de particin.

Se llama particin al conjunto de eventos Ai tales que nAAAS = L21 y

= ji AA ; es decir un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y que

componen todo el espacio muestral S. en general, se dice que una coleccin deconjuntos A1, A2,, An es exhaustivasi nAAAS = L21 . La siguiente figurapresenta el diagrama de Venn que corresponde a la particin de un espaciomuestralSenAn eventos.


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De manera que la probabilidad de que en un da un autobs de la compaa seavere es del 2,5%.

Teorema de Bayes

En el ao 1763, dos aos despus de la muerte deThomas Bayes (1702-1761), se public una memoriaen la que aparece, por vez primera, la determinacinde la probabilidad de las causas a partir de los efectosque han podido ser observados. El clculo de dichasprobabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos,tales que la probabilidad de cada uno de ellos esdistinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que

se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai).entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresin:

donde el denominador corresponde a encontrar la Probabilidad Total de B.

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidadcondicionada, as como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejableque, con la informacin del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagramade rbol.

EJEMPLO 3.17

Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de laspiezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de estasmquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la mquina B.c. Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?


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Solucin:

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de rbol adjuntopueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cadauna de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


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9.- El consejero escolar de un colegio estim las probabilidades de xito en la universidadpara tres alumnos de ltimo ao en 0.9, 0.8 y 0.7 respectivamente. Cul es laprobabilidad de que los tres tengan xito en la universidad?

10.- Una maquina que produce un determinado artculo fue adquirida bajo la condicin de

que el 3% de los artculos producidos son defectuosos. Si el proceso se realiza bajocontrol, es decir independiente cual es la probabilidad de que a.- dos artculos seguidossean defectuosos, b.- dos artculos seguidos no sean defectuosos, c.- el primero seadefectuoso y el segundo bueno.

11.- La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinadaenfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidadde que un paciente presenta una demanda es de 0.9. cul es la probabilidad de que eldoctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda?

12.- En una empresa, la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga ms de30 aos es de 0.55. Cul es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga

30 aos o menos?

13.- En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un peridico matutino y el 90%uno vespertino. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es laprobabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambosperidicos?

14.- La tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta. Losdatos se clasificaron segn el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario.

SectorResultado de la entrevista

TotalContesto ( C ) No contesto (N) No estaba ( S)

M 100 5 20 125N 115 5 5 125O 50 15 60 125P 35 40 50 125

Total 300 65 135 500

Si se selecciona un cuestionario. Cual es la probabilidad de a) No se haya contestado b)La persona no estaba en casa c) el cuestionario se haya contestado y la persona viva enel sector N d) Dado que la persona viva en el sector O, no haya contestado elcuestionario e) La persona viva en el sector M Conteste el cuestionario. F) Si lapersona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O.

15.- En el ejercicio anterior, el resultado de la entrevista es independiente del sector de laciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta

16.- El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otraasignatura B. Sabemos adems, que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas.Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de:a.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A


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b.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la Ac.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la Ad.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A

17.- Los pedidos nuevos de los productos de una compaa varan en valor monetario,

segn el siguiente cuadro

Monto venta 0-1000 1001-2000

2001-3000

3001-4000

4001-5000

Probabilidad 0.10 0.35 0.25 0.20 0.10

a) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.000b) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor a $2000 dado

que el pedido excede a $1.000c) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $3.000 dado que la

venta excede a $2.000

18.- Una compaa encontr que el 82% de las personas seleccionadas para su programade entrenamiento de vendedores termino el curso. De estos solamente 60% seconvirtieron en vendedores productivos. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es laprobabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo.

19- En un centro mdico, los fumadores que se sospecha tenan cncer pulmonar, el 90%lo tena, mientras que el 5% de los no fumadores lo padeca. Si la proporcin defumadores es del 45% a) Cul es la probabilidad de que un paciente con cncerseleccionado al azar sea fumador? B) Cual es la probabilidad de que la persona tengacncer..

20.- Un investigador de una clnica de especialistas ha descubierto que durante un

periodo de varios aos, el 20% de los pacientes que llegaron a la clnica tenan laenfermedad D1, el 30% la enfermedad D2, y el 50% la enfermedad D3. El investigadordescubri tambin que un conjunto de sntomas bien definidos al que denomino S, seencontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1, 60% de los que tenan laenfermedad D2, y 80% de los que tenan la enfermedad D3. El investigador quiere utilizaresta informacin para hacer rpidamente el diagnostico a los pacientes recin llegados.Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de sntomas S, cual es laprobabilidad de que tenga la enfermedad D3, cual es la probabilidad de que tenga laenfermedad D1.

21.- Un cientfico ha descubierto en un hospital para enfermedades crnicas que el 15%de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 das, mientras que el 85% de los

pacientes permanece 30 das o ms. Tambin ha descubierto que el 20% de los que sequedan menos de 30 das y el 60% de los que se quedan 30 das o ms, presentan ciertogrupo de caractersticas. Cual es la probabilidad de que un paciente que llega al hospitalcon esas caractersticas permanezca menos de 30 das?.

22.- A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras


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Unidad Dos

VARIABLES ALEATORIAS YDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


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INTRODUCCIN A LA UNIDAD DOS

Con los principios de Probabilidad, las propiedades bsicas y leyes, se definen lasvariables aleatorias y se establece la diferencia entre variables aleatorias discretasy continuas, en trminos de su funcin de probabilidad, valor esperado, varianza ydesviacin estndar y se desarrolla la desigualdad de Chbyshev que se aplica acualquier variable aleatoria discreta o continua.

Posteriormente se inicia el estudio de las distribuciones de probabilidad, espertinente comentar que en todo fenmeno, los datos obtenidos tienen uncomportamiento especfico, es as como el anlisis de las distribuciones deprobabilidad permite determinar que distribucin de probabilidad es la pertinente

para un conjunto de datos.

Las distribuciones de probabilidad son de tipo discreto y continuo, segn lavariable aleatoria que este en cuestin, luego en este aparte se estudiaran dichasdistribuciones, sus principios, la funcin que la identifica, sus propiedades y loscampos de aplicacin de las mismas.

Bienvenidos a el mundo de las distribuciones de probabilidad, ser un caminomuy interesante y ameno, por los ejemplos propuestos y las situacionesanalizadas.


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OBJETIVO GENERALComprender e interiorizar los tipos de distribuciones de probabilidad que existen,sus caractersticas, sus parmetros y los campos de aplicacin que tienen dichasdistribuciones.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Definir variable aleatoria.

Definir variable aleatoria discreta y continua.

Definir funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Definir funcin de densidad de una variable aleatoria continua.

Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la funcin deprobabilidad de una variable aleatoria discreta.

Establecer las propiedades de la funcin de distribucin de probabilidadacumulada de una variable aleatoria discreta.

Obtener y graficar la funcin de probabilidad acumulada de una variablealeatoria discreta, dada su funcin de probabilidad.

Obtener y graficar la funcin de distribucin acumulada de una variablealeatoria continua.

Obtener probabilidades de eventos que involucren variables aleatoriasdiscretas o continuas, haciendo uso de su funcin de distribucin

acumulada.

Definir y obtener el valor esperado de una variable aleatoria, tanto discretacomo continua.

Definir y obtener la varianza y la desviacin estndar de una variablealeatoria, tanto discreta como continua.


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De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar lamoneda es cara.

EJEMPLO 1.2

Considere el lanzamiento de dos dados6. El espacio muestral de este experimentoaleatorio est constituido por 36 posibles resultados.

Se define como variable aleatoriaXla suma de los valores de las dos caras de losdados. La siguiente tabla relaciona los 36 resultados con los valorescorrespondientes de la variable aleatoriaXdefinida en este ejemplo.

Tabla 1.1.

Correspondencia entre los resultados del lanzamiento de un par de dados y la variablealeatoria que representa la suma de las caras.

ResultadoValor de la

variablealeatoria

Nmero deocurrencias Probabilidad

(1,1) 2 1 1/36(1,2) (2,1) 3 2 2/36(1,3) (2,2) (3,1) 4 3 3/36(1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 5 4 4/36(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 6 5 5/36(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 7 6 6/36

(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 8 5 5/36(3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 9 4 4/36(4,6) (5,5) (6,4) 10 3 3/36(5,6) (6.5) 11 2 2/36(6,6) 12 1 1/36

Se pueden definir variables aleatorias cuyos valores sean contables o no, y al seruna caracterizacin cuantitativa de los resultados de un espacio muestral, ellaspueden ser discretas o continuas. En los dos temas siguientes se desarrollan losconceptos de variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua y susestadsticos asociados.

6 Tomado de Probabilidad y estadstica. Aplicaciones y mtodos, George C. Canavos. McGraw Hill.Mxico. 1988.


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De manera que la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X satisface elprimer requisito. Observe, adems, que cada uno de los valores de P(X=x) seencuentran entre 0 y 1. Como ambos requisitos se satisfacen, la tabla deprobabilidades de la variable aleatoriaXes una distribucin de probabilidad deX.

Cuando la distribucin de probabilidad se describe a partir de una ecuacin, se ledenomina funcin de probabilidad. Esta funcin )()( xXPxf == va del conjuntode los valores posibles de la variable aleatoria discreta X(denominado rango deX) al intervalo [0,1] y satisface las siguientes propiedades:

xxf 0)(

1)( = xf

Ejemplo 1.4

Determine si la funcin3

)()(x

xXPxf === (donde x puede ser 0, 1 2) es una

funcin de probabilidad.

En la siguiente tabla se resumen los posibles valores de la variable aleatoria X.

X 0 1 2f(x)=P(X=x) 0 1/3 2/3

Observe que todos los valores def(x) son todos positivos, esto es 0 . Adems se

cumple el segundo requisito:

13

2

3

10)( =++= xf

Por lo tanto, la funcinf(x) es una funcin de probabilidad.

En ocasiones, es til poder expresar probabilidades acumuladas, esto es, valorespara los que X son menores o iguales a un valor especfico x. El uso deprobabilidades acumuladas es una alternativa para describir la distribucin deprobabilidad de una variable aleatoria.

La funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria discreta X,denotada por F(x) es:

==xx

i

i

xfxXPxF )()()(


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En la figura 1.1. (a), se representa una grfica de la funcin F(x). Se puede verque los nicos puntos que tienen una probabilidad distinta de cero son 1 y 3. Para

todo valor dexmenor que 1, 0)( = xXP y f(1)=0,5. Para valores de xentre 1 y 3y mayores de 3, sin incluir este ltimo, 0)( = xXP y f(3)=0,5. De manera que lafuncin de probabilidad deXse puede escribir como:

>

=

FXP

Leccin 18: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

En el tema anterior se present el concepto de variable aleatoria como una funcin

de valor que asigna un nmero real finito (o infinito contable) a cada resultado enel espacio muestral de un experimento aleatorio; variables aleatorias que han sidodenominadas discretas. En este tema, donde las variables aleatorias puedentomar valores en una escala continua, el proced

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