UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”VICERECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

Presentado por:

López Gonzysmar 24165137

Profesor:

Méndez Domingo

UNIDAD I

Notación Sigma

  La notación sigma

Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica y se emplea para representar la suma de muchos o infinitos sumandos.

La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de

1 a n".La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. i es el valor inicial llamado límite inferior y puede comenzar en cualquier entero y n es un entero y representa el valor final llamado límite superior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es "Xi".

Sus propiedades.

La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.

La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

La sumatoria de un producto no es igual al producto de las

sumatorias de cada término.

La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

La integral definida.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se

integra.

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Algunas de sus propiedades son:

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

Teorema del Valor Medio para Integrales

   Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.

Teorema fundamental del cálculo integral La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow: •Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x). •Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). •El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

Sustitución y cambio de variable.

No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada.

Los cambios de variables se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, estos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos.