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Respuesta en frecuencia

HUACHO 20 de Julio de 2015

UNIVERSIDAD : JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN



La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y

desempeño de los sistemas dinámicos, es a través del dominio del

tiempo.


Motivación:

Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde másrápido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de

tal sistema es de 0.! se"undos. Entre otros ejemplos.

#in embar"o a medida que los sistemas se presentan más complejos

$en dimensi%n, parametrizaci%n, identificaci%n, etc&, sus

comportamientos son más dif'ciles de determinar anal'ticamente.

(na forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales

sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia




Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control,

proveen un conjunto de análisis y )erramientas "ráficas que no estánlimitadas por el orden del sistema o por otras complejidades.

El análisis de respuesta en frecuencia:

• #e puede utilizar en funciones con alto "rado de incertidumbre.• #e puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones

racionales.

• Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar.

• #e pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.

• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.

• *asi siempre e+iste una correlaci%n entre la respuesta en frecuencia y

la respuesta transitoria en el tiempo.




La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado

estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. (n sistema lineal

invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal deamplitud R y frecuencia , su salida se"uirá siendo senoidal de la

misma frecuencia pero probablemente con otra ma"nitud C y fase0ω

0ω

φ

φ

Entrada Salida

Sistemat sen Rt r 0)( ω = )()( 0 φ ω += t senC t c

t

t sen Rt r 0)( ω = )()( 0 φ ω += t senC t c

Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.




La transformada de Laplace de la salida del sistema de la fi"ura es-

)()()( s R sG sC =como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por ω j

)()()( ω ω ω j R jG jC =

donde cada componente tiene ma"nitud y fase, ejemplo

)()()( ω ω ω jC jC jC ∠=

La relaci%n de la salida entre la entrada en el ré"imen

senoidal permanente se llama funcin de !"ansfe"encia sen#idal - )( ω jC )( ω j R

)(

)()(

ω ω ω j R

jC jG =



Respuesta en frecuenciaGráficas polares

Es una representaci%n de la ma"nitud y án"ulo de fase de en

coordenadas polares al variar el valor de de cero a infinito.

)( ω jGω

La funci%n de transferencia senoidal puede ser vista-

• En su representaci%n de ma"nitud y fase-

)()()( ω ω ω jG jG jG ∠=

• En e+presarse en términos de sus parte real e ima"inaria.

[ ] [ ])(Im)(Re)( ω ω ω jG jG jG +=

Re

Im[ ])(Re α ω jG

)( ω jG)( α ω jG

0ω α ω

)( α ω jG∠[ ])(Im α ω jG

∞→ω

Figura 2.Gr!i"a #olarde .)( ω jG




5

75)(

+= s

sGEjemplos de gráficas polares:

btener la "ráfica polar de

S#lucin. *omo primer paso se cambia a variable compleja s por ω j

ω ω ω

j j jG

+=

+=

5

75

5

75)(

El si"uiente paso es separar el valor real y el ima"inario $solo para

facilitar el cálculo&. /ara esto se multiplica y divide por el complejoconju"ado del denominador de )( ω jG

225

75375

5

5

5

75)(

ω

ω

ω

ω

ω ω

+−=

−−⋅

+= j

j

j

j jG $ se !iene

[ ] [ ]22

25

75

25

375)(Im)(Re)(

ω

ω

ω ω ω ω

+

−

+

=+= j jG jG jG

para plasmar este resultado en la "ráfica polar, es necesario evaluar )( ω jG




en diferentes frecuencias desde )asta . #e evaluarán solo

para al"unas de las frecuencias.

0=ω ∞→ω

0=ω Si enton"e$%

[ ] [ ] 15)0(25

)0(75

)0(25

375)0(Im)0(Re)0(

22 =

+

−

+

=+= j jG jG jG

Si ∞→

ω

[ ] [ ] 00)(25

)(75

)(25

375)(Im)(Re)(

22 j j jG jG jG −=

∞+

∞−

∞+

=∞+∞=∞

Si 5=ω

[ ] [ ] 5.75.7)5(25

)5(75

)5(25

375

)5(Im)5(Re)5( 22 j j jG jG jG −=+

−+

=+=

!75.2=ω Si

"#51#.!25.11)!75.2(25

)!75.2(75

)!75.2(25

375)!75.2(

22 j j jG −=

+

−

+

=




Si !!025.=ω

"#51#.!75.3)!!025.(25

)!!025.(75

)!!025.(25

375)!!025.( 22 j j jG −=

+−

+=

ependiendo de la e+periencia y de lo complicado de la "ráfica polar, se

necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.

Re

Im

!!025.=ω

∞→ω 0=ω

5=ω !75.2=ω

Figura 2. Gr!i"a#olar de .

5

75)(

+= s

sG




*riterio de estabilidad de 1yquist




Fundamentos: Transformación de contornos en el plano s

Su#onga &ue $e &uiere tran$!ormar una $erie de 'alore$ de s en el #lano s(donde todo$ ello$ !orman una tra)e"toria "errada o "ontorno * +( utili,ando la!un"i-n

/1 1 21/1

$lano s

$lano F ( s)

Γ 12)( += s s F

ω j

σ

jv

u

Cada #unto o elemento del "ontorno en el #lano $( tiene $u re#re$enta"i-n enel #lano F ( s). Se e'alan todo$ lo$ #unto$ del "ontorno ) $e otiene un"ontorno en el #lano F ( s). En e$te "a$o( el "ontorno en el #lano F ( s) "on$er'ala mi$ma !orma &ue el "ontorno del #lano s( *ran$!orma"i-n "on!orme+.

12)( += s s F

Amo$ "ontorno$ $e "on$ideran &ue tienen un $entido #o$iti'o.





A3ora( $e tran$!orma el mi$mo "ontorno en #lano $( utili,ando otra !un"i-nde tran$!orma"i-n%

1/1

$lano s

$lano F ( s)ω j

σ

jv

u

3)(

+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c

En e$te "a$o la tran$!orma"i-n e$ no "on!orme #ero "on$er'a el $entido#o$iti'o.

E4i$te una "ara"ter$ti"a mu) intere$ante &ue o"urre "uando el "ontorno del#lano s en"ierra a "ero$ o #olo$ la !un"i-n%1./ Si el "ontorno en el #lano s en"ierra a un "ero de la !un"i-n( el "ontorno enel #lano F (s) en"ierra al origen en el mi$mo $entido del "ontorno en #lano s




2./ Si el "ontorno en el #lano $ no en"ierra a ningn "ero o #olo de la!un"i-n( el "ontorno en el #lano F (s) no en"ierra al origen.

1/1

$lano s

$lano F ( s)

ω j

σ

jv

u

3

)(+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c

./ Si el "ontorno en el #lano s en"ierra a algn #olo de la !un"i-n( el"ontorno en el #lano F (s) en"ierra al origen en $entido "ontrario.

/

$lano s

$lano F ( s)

ω j

σ

jv

u

3)(

+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c




6./ Si el "ontorno en el #lano s en"ierra a un "ero ) un #olo de la !un"i-n( el"ontorno en el #lano F (s) no en"ierra al origen.

/

$lano s

$lano F ( s)

ω j

σ

jv

u

3

)(+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c

odo$ e$to$ re$ultado $on "on$e"uen"ia del #rin"i#io del argumento *teoremade Cauchy +.

2eorema de *auc)y $/rincipio del ar"umento&. Si un "ontorno en el#lano s rodea % "ero ) $ #olo$ de F ( s) ) no #a$a a tra'7$ de ningn #olo o"ero de F ( s) "uando el re"orrido e$ en la dire""i-n del mo'imiento del relo8 alo largo de "ontorno( el "ontorno "orre$#ondiente en el #lano F ( s)( rodeaal origen de di"3o #lano( 'e"e$ en la mi$ma dire""i-n.

sΓ

f Γ P Z N −=




0)(

)()(1)(

1

1=

+Π

+Π=+=

=

=

k mk

ini

s s

s sk s P s F

El criterio de 1yquist

Sea la e"ua"i-n "ara"ter$ti"a

9ara &ue el $i$tema $ea e$tale( todo$ lo$ "ero$ de F ( s) deen de e$tarlo"ali,ado$ en la #arte i,&uierda del #lano $. 9or tal moti'o $e e$"ogen un

"ontorno en el #lano $ &ue en"ierre toda la #arte dere"3a del #lano ) #ormedio del teorema de Cau"3) $e determina &ue "ero$ e$tn dentro de .E$to $e logra gra!i"ando en el #lano F ( s) ) o$er'ando el nmero derodeo$ al origen.

sΓ sΓ f Γ

Sin emargo e$ m$ "omn utili,ar el #olinomio en la,o aierto $(s) #or $errelati'amente m$ $en"illo( enton"e$%

⇒+= )(1)( s P s F )(1)()(& s P s F s F =−=

)01( j+−Con e$te "amio de 'ariale$ lo$ rodeo$ $e anali,an $ore el #unto

del #lano F ( s)




F ( s)

/1

Contorno de :)&ui$t.

Gr!i"a #olar de P ( s).

∞

$lano s $lano F ( s)ω j

σ u

jv


Un $i$tema de retroalimenta"i-n e$ e$tale $i ) $olamente $i( el "ontorno . en el #lano P ( s) no rodea el #unto */1 ; j 0+ "uando el nmero de #olo$

de P ( s) en la #arte dere"3a del #lano $ e$ "ero.

P Γ

Un $i$tema de "ontrol "on retroalimenta"i-n e$ e$tale $i ) $olamente $i( enel "ontorno el nmero de rodeo$ al #unto */1 ; j 0+ en el $entido "ontrarioal mo'imiento del relo8 e$ igual al nmero de #olo$ de P ( s) "on #arte$ reale$

#o$iti'a$.

P Γ

P Γ s

Γ




Estabilidad relativa y criterio de 1yquist

El "riterio de e$tailidad de :)&ui$t $e de!ine en t7rmino$ del #unto .

en la gr!i"a #olar. <a #ro4imidad a e$e #unto determina la e$tailidad relati'ade un $i$tema.

)01( j+−

/1 u

jv

d

El mar"en de "anancia $e de!ine "omo el re"#ro"o de la ganan"ia . #ara la !re"uen"ia en &ue el ngulo de !a$e al"an,a 1=0>( e$ de"ir

"uando.

El margen de ganan"ia e$ el !a"tor #or el "ual $e tendr &ue multi#li"ar laganan"ia del $i$tema #ara &ue el lugar geom7tri"o #a$e a tra'7$ del #unto

.

)( ω jGH .0=v

).01( j+−

d

1?argen de ganan"ia @




Otra medida de la e$tailidad relati'a e$ el %a"&en de fase( &ue $e de!ine"omo el ngulo de !a$e &ue $e dee girar el lugar geom7tri"o #ara

&ue el #unto de magnitud unitaria #a$e a tra'7$ del #unto. en el #lano

)( ω jGH

1)( =ω jGH )01( j+− ).( ω jGH

/1 u

1)( =ω jGH

jv

f mf φ =

?argen de !a$e *mf )




Ejemplo-Reali"e la gr!i"a de :)&ui$t ) determine el rango de e$tailidad de%

)5)("()( ++= s s s

K sG

S#lucin9ara reali,ar el "ontorno #rimero $e di'ide el "ontorno en "uatro tramo$% sΓ pΓ

$lano s∞→ jω

∞

σ

sΓ

+= 0ω

∞−→ jω

−= 0ω

ramo 1 *1+. Se e'ala la !un"i-n de$de la!re"uen"ia 3a$ta ( *gr!i"a #olar+.0=ω ∞→ω

ramo 2 *2+. e$de la !re"uen"ia a la!re"uen"ia . En e$te "a$o $e "amia

la 'ariale s de la !un"i-n #or dondere#re$enta un radio de 'alor in!inito ) e$una e'alua"i-n angular de B0 a /B0.

∞→ jω ∞−→ jω

θ j

eΓ Γ θ je

ramo *+. Se e'ala la !un"i-n de$de la!re"uen"ia 3a$ta ( *e$#e8o de

la gr!i"a #olar+.

−= 0ω ∞−→ jω Contorno sΓ

1T

2T 3T "T




ramo 6 *6+. e$de la !re"uen"ia a la!re"uen"ia . En e$te "a$o $e "amia la'ariale s de la !un"i-n #or dondere#re$enta un radio de 'alor mu) #e&ueDo )

e$ una e'alua"i-n angular de /B0 a B0. Eltramo $e di$eDa #ara rodear a #o$ile$ "ero$ o#olo$ en el origen de la !un"i-n a e'aluar.

−→ 0ω +→ 0ω

θ ε je ε θ je

2. Se "amia en la !un"i-n la 'ariale $ #or ) $e otiene la gr!i"a #olarω j

ω ω ω ω ω ω ω

ω

20"5)5)("()(

)5)("()(

223 j j

K

j j j

K jG

s s s

K sG

+−−−

=++

=⇒++

=

$e $e#ara la #arte real e imaginaria utili,ando el "om#le8o "on8ugado deldenominador

)20(#

)20(#

)20(#)(

22

22

22 ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

−−−−−−⋅

−+−=

j

j

j

K jG




ω ω ω

ω

ω ω ω

"00"1

)20(

"00"1

#)(

35

2

2" ++

−

−++

−

=

K j

K jG

9ara otener la gr!i"a #olar $e e'ala la e"ua"i-n re$ultante de$de3a$ta

0=ω ∞→ω

0=ω ∞−−=

++−−

++−= j

K K j

K G

"00

#

)0("00)0("1)0(

))0(20(

"00)0("1)0(

#)0(

35

2

2"

∞→ω

00)("00)("1)(

))(20("00)("1)(

#)0(35

2

2" j K j K G +−=

∞+∞+∞∞−−

+∞+∞−=

:ota. Si $e tienen duda$ a"er"a de la$ e'alua"ione$( $e re"omienda utili,ar'alore$ mu) #e&ueDo$ #ara a#ro4imar ) 'alore$ mu) grande de

#ara a#ro4imar "uando

0=ω ω

.∞→ω




Enton"e$ $e tiene el #unto de ini"io ) el #unto !inal en la gr!i"a #olar.

0=ω

∞→ω

"omo a la !re"uen"ia el 'alor e$ !inal

e$ ( $e tiene &ue la gr!i"a #olar llegaa "ero #or el "uadrante $u#erior i,&uierdo.Como $e ini"i- en el "uadrante in!eriori,&uierdo( e4i$te un "ru"e #or el e8e real ) $u'alor $e otiene al igualar a "ero la #arteimaginaria de la e"ua"i-n re$ultante%

00 j+−

∞→ω

ω ω ω

ω

"00"1

)20(0

35

2

++−−=

K j

20=ω →−= 2200 ω

) e$ta !re"uen"ia $e e'ala en la #arte real

"00)20("1)20(

#)Re(

2" ++−= K

ω

10

1)Re( K −=ω

Se otiene otro #unto #ara lagr!i"a. Con ello$ $e diu8a demanera a#ro4imada la gr!i"a#olar. *:ota% #ara una me8ora#ro4ima"i-n de la gr!i"a( $e#ueden e'aluar m$

!re"uen"ia$+

∞− j

10 K −

Figura. Gr!i"a #olar.

jv

u




2. Se "amia en la !un"i-n la 'ariale s #or ) $e e'ala de$de B0 a/B0

θ jeΓ

)5)("()(

++= s s s

K sG)5)("(

)(+Γ +Γ Γ

= θ θ θ ω j j j eee

K jG→

In!initoIn!inito

#e&ueDo

#e&ueDoθ

θ θ θ θ ω 3

3 0

))(()( j

j j j j e

e

K

eee

K jG −≈

Γ ≈

Γ Γ Γ =

$lano s∞→ jω

∞

σ

sΓ

+= 0ω

∞−→ jω

−= 0ω

Contorno sΓ

2T

El #unto en el #lano $ ma#ea al #unto. en el#lano F ( s).

#0 jeΓ '#0)'#0(3 00 =− je


0 je∞'2"00−


30−∞ je'#00

Se e'alan todo$ lo$ #unto$ #o$ile 3a$ta

dedu"ir &ue el tramo 2 !orma en el #lano F ( s)




tre$ media$ 'uelta$ de radio "ero em#e,ando en B0 "on dire""i-nanti3oraria. jv

u

0=radio

9lano F ( s)( tramo 2.

23. E$ el e$#e8o de la gr!i"a #olar *tramo 1+−

= 0ω

−∞→ω

∞ j

10 K −

jv

u

9lano F ( s)( tramo 2.

24. Se "amia en la !un"i-n la 'ariale s #or ) $e e'ala de$de /B0 aB0

θ ε je

)5)("()(

++=

s s s

K sG

)5)("()(

++=

θ θ θ θ

ε ε ε ε

j j j j

eee

K eG

mu) mu) #e&ueDo relati'( grande

R f i




θ θ θ

θ

ε ε ε j

j j j e

e

K

e

K eG −∞≈==

)5)("()(

$lano s∞→ jω

∞

σ

sΓ

+= 0ω

∞−→ jω

−= 0ω

Contorno sΓ

2T

El #unto en el #lano s ma#ea al #unto . en el#lano F ( s).

'#0−eε '#0e∞

El #unto en el #lano s ma#ea al #unto .

en el#lano F ( s).

'"5−eε '"5e∞

P Γ

∞− j

−= 0ω

∞

∞ j$lano F(s)

Contorno . ramo 6. P Γ

R t f i




0=ω

∞→ω

∞− j

10

K

−

Figura. Gr!i"a de :)&ui$t.

jv

u

2

23

24

2

1−

Criterio de Nyquist %Como el $i$tema no tiene #olo$ine$tale$ en la,o aierto( #ara &ue $eae$tale $e ne"e$ita &ue no 3a)a rodeo$al #unto /1. Enton"e$ el rango de

e$tailidad e$100 ≤≤ K

R t f i




ia"ramas de 5ode

R t f i




<o$ diagrama$ de ode $on una re#re$enta"i-n de la magnitud ) !a$e deuna !un"i-n en e$tado $enoidal #ermanente al 'ariar la !re"uen"ia de "ero a

in!inito. Sea la e"ua"i-n "ara"ter$ti"a0)()(1 =+ S H sG

9or $er e$tado $enoidal #ermanente( $e "amia s #or .

)()()( ω ω ω j H jG j P =

Como la 'ariale s e$ "om#le8a $e tiene magnitud ) !a$e.

)()()()( ω ω ω ω j H jG j H jG ∠

ω j

E$to$ 'alore$ "amian mientra$ $e 'ara la !re"uen"ia . 9ara gra!i"ar lamagnitud de ( $e 3a"e u$o de la norma de magnitud%

)(log20 ω jG Ma =

ω

9or ra,one$ de $en"ille, $e traa8a me8or "on el #olinomio en la,o aierto.

)( ω jG

el 'alor del ngulo de !a$e $e otiene de#endiendo del elemento a anali,ar

R t f i




<a #rin"i#al 'enta8a al u$ar ode e$ &ue $e #uede anali,ar "ada elementode una !un"i-n de tran$!eren"ia #or $e#arado ) el e!e"to total del $i$tema(

$e otiene $im#lemente $umando la$ magnitude$ ) ngulo$ de !a$e detodo$ ello$.

<a 'enta8a anterior re$alta m$ "uando e$ ne"e$ario agregar otro$elemento$ al $i$tema. En e$to$ "a$o$ #ara otener la nue'a gr!i"a de

ode no e$ ne"e$ario re"al"ular todo el $i$tema( $im#lemente $e $uman alo$ elemento$ )a anali,ado$.

Elemento$ $i"o$ de una !un"i-n de tran$!eren"ia

1. Elemento$ de 'alor "on$tante *Ganan"ia+2. Elemento$ integrale$ ) deri'ati'o$. Elemento$ de #rimer orden6. Elemento$ "uadrti"o$

R t f i




1)(

±ω j

db j

ω ω

log201

log20 −=

d! j ω ω log20log20 =

1. Elemento$ de 'alor "on$tante *Ganan"ia+

K d! log20= ?agnitud en de"ielio$

°= 0φ ngulo de !a$e

2. Elemento$ deri'ati'o$ e integrale$

eri'adore$

°= #0φ

Integradore$

°−= #0φ

↑ω

∞

↑ω

∞

Re

Re

Im

Im

#ara todo rango de ω

#ara todo rango deω

R t f i



Respuesta en frecuenciaSi e4i$ten m$ de un deri'ador o integrador%

dbn j n

ω ω

log20)(

1log20 −=

d!n j n ω ω log20)(log20 =eri'adore$

n×°= #0φ

Integradore$

n×°−= #0φ #ara todo rango de

ω

#ara todo rango de ω

-20

0

20

40

60

M a g n i t u d e ( d B )

100

10190

135

180

225

270

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-60

-40

-20

0

20


100

101-270

-225

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

R t f i




. Elemento$ de #rimer orden

d! j 221log201log20 τ ω ωτ +=+

Cero de #rimer orden

ωτ φ 1tan−=

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0

10

20

30

40


System: sys

Frequency (rad/sec): 1

Magnitude (dB): 3.01

ω ω j jG +=1)( 1=τ

τ ω 1

== cortede frecuenciac

e la !igura%

cω

Resp esta en frec encia




d! j

22

1log201

1

log20 τ ω ωτ +−=+

9olo de #rimer orden

ωτ φ 1tan−−=

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-40

-30

-20

-10

0


System: sys

Frequency (rad/sec): 1

Magnitude (dB): -3.01

cω

ω ω

j jG

+=

1

1)( 1=τ

τ ω 1

== cortede frecuenciac

e la !igura%





. Elemento$ de $egundo orden

+

−=

+

+

2

2

2

22

21log2021log20ω

ω ζ

ω

ω

ω

ω

ω

ω ζ

nnn

j j

Cuando no $e #uedan de$"om#oner en do$ elemento$ de #rimer orden( $e

normali,an de la $iguiente !orma%

−= −

2

2

1

1

2

tan

n

n

ω

ω

ω ω ζ

φ

12

21)(

±

+

+=

nn

j j jGω

ω

ω

ω ζ ω

Cero$ de $egundo orden

nc ω ω =





+

−−=

+

+

2

2

2

2

2 21log20

21

1log20

ω

ω ζ

ω

ω

ω

ω

ω

ω ζ

n

nn

j j

−−= −

2

2

1

1

2

tan

n

n

ω

ω

ω

ω ζ

φ

9olo$ de $egundo orden

nc ω ω =





-20

0

20

40

60

80

M a

g n i t u d e ( d B )

10-1

100

101

102

0

45

90

135

180

P h a s e ( d e

g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Cero$ de $egundo orden

3== nc ω ω

!1=ζ

7.0=ζ

5.0=ζ

3=ω

#

#)(

2 ++= s s

sG

#

#3)(

2 ++=

s s sG

#

#2.")(

2 ++=

s s sG





-80

-60

-40

-20

0

20

M a

g n i t u d e ( d B )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

P h a s e ( d e g )

9olo$ de $egundo orden

3=ω

3== nc ω ω

!1=ζ

7.0=ζ

5.0=ζ

#

#)(

2 ++=

s s sG

#3

#)(

2 ++=

s s sG

#2."

#)(

2 ++=

s s sG





E'e%(l#% Otener el diagrama de ode del $i$tema

)13!)(5()3(12 22 +++ + s s s s

s

:ormali,ando%

)113

!

13)(1

5

1(

)13

1(

!5

3!

22 +++

+

s s

s s

s

Se tienen 5 elemento$( Una "on$tante( un "ero en /( un dole integrador(un #olo en /5 ) #olo$ "uadrti"o$. Se u$"an la gr!i"a de ode de "ada

uno ) de$#u7$ $e $uman.





!53!

13

1+ s

21 s

15

1+ s

113

!

13

2

++ s s

Elemento$ ind.

A#orta"ione$ indi'iduale$ en magnitud. ) ngulo

-80

-60

-40

-20

0

20

40

M

a g n i t u d e ( d B )

10

-1

10

0

10

1

10

-180

-90

0

90

P h a s e ( d e g

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)





-200

-150

-100

-50

0

50

M

a g n i t u d e ( d B )

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3-360

-315

-270

-225

-180

P h a s e ( d e g

)

Bode Diagram

iagrama de ode *Re$ultante+

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