13

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/23

1

IndiceIndice

1. Términos de un fracción

2. Equivalencia de fracciones3. Ampliación y simplificación de fracciones4. Fracciones con el numerador mayor que el denominador

5. Reducción de fracciones a común denominador6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador7. Comparación de fracciones8. Suma y resta de fracciones9. Multiplicación de fracciones10. Fracciones inversas y opuestas11. División de fracciones12. Resolución de problemas

13

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/23

2

Las fracciones representan partes de una unidad.

Constan de dos términos:

El numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad.

El denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.

1. Términos de una fracción1. Términos de una fracción

13

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/23

3

En las figuras:

La parte coloreada de azul es la misma, luego15

6

5

2

15

6

5

2

1 2 3 4 5 3 6 9 1215

Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.

4,05

2

4,015

6

Dos fracciones son equivalentes si losproductos del numerador de cada una de ellaspor el denominador de la otra son iguales.

También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6 15

6

5

2

Los productos cruzados son iguales

cbdad

c

b

a··

2. Fracciones equivalentes (I)2. Fracciones equivalentes (I)

13

/04

/23

4

Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:

8

6y

4

3indican lo mismo.

4

3

8

6

8

6y

4

3están en el mismo punto de la recta numérica.

0 1

3 : 4 = 0,756 : 8 = 0,75 8

6y

4

3dan el mismo cociente.

4

3de 16 = 12

8

6de 16 = 12

8

6y

4

3actúan sobre un número de la misma manera.

Cuando dos fracciones son equivalentes:Indican lo mismo. Se representan en el mismo punto de la recta numérica.Dan el mismo cociente. Actúan de la misma forma sobre un número.

2. Fracciones equivalentes (II)2. Fracciones equivalentes (II)

13

/04

/23

5

Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.

Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada unade ellas por el denominador de la otra son iguales.

Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada unade ellas por el denominador de la otra son iguales.

8

2

16

4

¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras blancas?Puedes decirlo de muchas maneras:

64

16

32

8

16

4

8

2

4

1

Observa:

32

8

64

16 5128643216

16

4

32

8 128432168

Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la regla de los productos cruzados.

4 8 = 16 2

2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes

13

/04

/23

6

Observa las fracciones:

16

12

32

24

... 4

3

4:16

4:12

8

6

2:16

2:12

16

12

Multiplicando sus términos por un mismo número.

... 48

36

316

312

32

24

216

212

16

12

48

36

Las fracciones ... , 48

36 ,

32

24son fracciones ampliadas de

16

12equivalentes a

16

12

Observa estas otras fracciones:

Las fracciones ... , 4

3 ,

8

6son fracciones reducidas de

16

12equivalentes a

16

12

Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción:

Dividiendo sus términos por un mismo número.(Este número debe ser distinto de cero.)

3. Ampliación y simplificación de fracciones (I3. Ampliación y simplificación de fracciones (I))

13

/04

/23

7

Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:

2

16

3

4

2

Las fracciones6

3y

4

2son fracciones ampliadas de

2

1y equivalentes a ella.

Observa:

16

12

8

6

4

3

Las fracciones4

3y

8

6son fracciones reducidas de

16

12y equivalentes a ella

Es evidente que:4

3

4:16

4:12

8

6

2:16

2:12

16

12 Fracción irreducible:

no se puede reducir más.

Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.

Son equivalentes:3

1

6:18

6:6

54

18

36

12

18

6 irreducible

3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)

13

/04

/23

8

En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes.

16

12

8

6

Este proceso se denomina simplificación de fracciones.

Observa que:16

12

Ejemplo:5

3

40

24

400

240

8

6

2:16

2:12

4

3

4:16

4:12

4

3

16

12Hemos transformado la fracción en ,

4

3que es equivalente a ella e irreducible.

Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.

Dividiendo por 8

Dividiendo por 10

3 y 5 son primos entre sí.

3. Simplificación de fracciones3. Simplificación de fracciones

13

/04

/23

9

Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.

Otro ejemplo:

9

4En concreto, 2 hojas completas y de otra.

9

42Esto se puede escribir así:

Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa será 9

9

Por tanto:9

9

9

9

9

4+ + =

9

22=

9

42

Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el numerador entre el denominador.

En el caso de9

2222 : 9 = 2, resto 4.

9

42

La fracción ,12

54

12

53 pues 53 : 12 = 4, resto 5.

A estas fraccionestambién se les llama

números mixtos

4. Fracciones con numerador mayor que el denominador4. Fracciones con numerador mayor que el denominador

13

/04

/23

10

4

1

4

4

4

4

4

9

Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.

Ejercicio resuelto:

Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:

4

12

Si divides: 9 : 4 = 2, resto 14

12

4

9

Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y de una fracción menor que 1:

4

12

4

9 El número

4

12

4

12se escribe así:

Escribe como número mixto y como fracción.3

17

3

41

Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 23

213

3

213

3

41

3

17

3

22

3

1

3

21

3

17

4. Números mixtos4. Números mixtos

13

/04

/23

11

Tenemos las fracciones:

3

2

y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el mismo denominador.

Escribimos fracciones equivalentes:

Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez. Por ejemplo, 24.

4

1

6

5

... 30

20

24

16

18

12

9

6

3

2

... 36

9

28

7

24

6

16

4

4

1

... 48

40

36

30

24

20

18

15

6

5

Sus denominadores son múltiplos de 3.

Sus denominadores son múltiplos de 4.

Sus denominadores son múltiplos de 6.

3

2

24

16

4

1

24

6

6

5

24

20

5. Reducción de fracciones a común denominador (I)5. Reducción de fracciones a común denominador (I)

13

/04

/23

12

Para reducir fracciones a común denominador

72

48

)64(3

)64(2

3

2

Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.

Lo aplicamos a las fracciones:

Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.

3

2

4

1

6

5

Halla un múltiplo común a los denominadores.Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.

72

18

)63(4

)63(1

4

1

72

60

)43(6

)43(5

6

5

Otro ejemplo:

5

2y

4

3Las fracciones:

20

15

54

53

4

3

20

8

45

42

5

2

5. Reducción de fracciones a común denominador (II)5. Reducción de fracciones a común denominador (II)

13

/04

/23

13

Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:

Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.

Lo aplicamos a las fracciones: 6

1y

4

3

Descompones los números en factores primos.El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.

Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ...Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...

Múltiplos comunes: 12 24 36 ...

El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6. Escribimos:

m.c.m. (4, 6) = 12

Observa: 4 = 22

6 = 2 3El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4; el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22.Luego, m.cm. (4, 6) = 22 3 = 12

12

2y

12

9

6. Mínimo común denominador6. Mínimo común denominador

13

/04

/23

14

El mínimo común denominador será 120.

Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige como denominador común el m.c.m. de los denominadores.

Lo aplicamos a las fracciones: 8

3y

12

5 ,

10

7

Descomponemos los denominadores en factores primos:

Luego:

10 = 2 5

12 = 22 3

m.cm. (10, 12, 8) = 23 3 5 = 120

8 = 23

120

?

10

7

120

?

12

5

120

?

8

3

12 10 15

120

?

10

7

120

?

12

5

120

?

8

3

120

84

120

50

120

45

6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)

13

/04

/23

15

Las fracciones4

3y

6

5 ,

3

1son equivalentes a:

72

54y

72

60 ,

72

24

12

9y

12

10 ,

12

4reduciendo

El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4. Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.

Veamos otro ejemplo:3

2y

12

5 ,

8

7Reducir a mínimo común denominador

1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24 2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:

24 : 8 = 3

24 : 12 = 2

24 : 3 = 8

24

21

24

3 · 7

8

7

3

24

10

24

2 · 5

12

5 2

24

16

24

8 · 2

3

2 8

6. 6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)

13

/04

/23

16

Con el mismo denominador:

8

3 Si dos fracciones tienen elmismo denominador, es mayorla que tiene mayor numerador

8

5 8

3

8

5

5

4 Si dos fracciones tienen elmismo numerador, es mayor

la que tiene menor denominador7

4 7

4

5

4

Con el mismo numerador:

Con numeradores y denominadores distintos:

Comparamos:5

4y

6

5

Reducimos a común denominador:30

25

6

5

30

24

5

4

Como30

24

30

25

5

4

6

5

Para comparar dos fracciones cualquiera

se reducen a comúndenominador.

Será mayor la que tenganuevo mayor numerador.

7. Comparación de fracciones7. Comparación de fracciones

13

/04

/23

17

Con el mismo denominador:

+5

3

5

12

5

1

5

2

Se suman los numeradoresSuma

7

3

7

25

7

2

7

5

Se restan los numeradoresResta

Con distinto denominador:Se reducen antes a común denominador:

4

1

6

5Suma

12

13

12

3

12

10

4

1

6

5Resta

m.c.m (6, 4) = 12

12

7

12

3

12

10

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador:· Se reducen a común denominador. · Se suman o restan las fracciones obtenidas con el mismo denominador.

En ambos casos se deja el mismo denominador.

8. Suma y resta de fracciones8. Suma y resta de fracciones

13

/04

/23

18

Ejercicio 111

6

11

8

11

7

Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:

Calcula:

10

7

5

4

9

2

Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.

11

9

11

687

11

6

11

8

11

7

Ejercicio 2 Calcula:

Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.

Luego:

90

9 · 7

90

18 · 4

90

10 · 2

10

7

5

4

9

2

90

29

90

637220

90

63

90

72

90

20

90 : 9 = 1090 : 5 = 18

90 : 10 = 9

El numerador será el mismo.

Luego:

Observa que cada numerador se multiplica por el cociente entre el m.c.m

(90) y los denominadores respectivos

8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)

13

/04

/23

19

Ejercicio 3

Por tanto:

13860 : 11 = 1260

Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7

13860

·17

13860

·5

13860

·11

13860

·13

35

17

9

5

20

11

11

13

13860

9725

13860

67327700762316380

35

17

9

5

20

11

11

13 Calcula:

Calculamos el m.c.m de los denominadores:

Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860

Observa:13860 : 20 = 693

13860 : 9 = 154013860 : 35 = 396

1260 693 3961540

Sumando o restando los numeradores, queda:

8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)

13

/04

/23

20

4

12

Para sumar un número entero y una fracción:1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo porel denominador de la fracción.2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.

Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:

2

+

4

1+

4

1+4

8

+

4

9=

Observa que:4

8

4

4 · 22

Otro ejemplo

8

125 Calcula: 8

13

8

125

8

25

8

1

8

24

8

1

8

8 · 3

8. Suma de un número entero y una fracción8. Suma de un número entero y una fracción

13

/04

/23

21

7

51

Tenemos un rectángulo completo y deseamos quitarle cinco séptimos del mismo:

7

5

17

7

7

5

7

2

7

2

7

5

7

7

7

51 Luego:

Para restar un número entero y una fracción:1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo porel denominador de la fracción.2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.

Otro ejemplo 32

9Calcula:

2

2 · 3

2

93

2

9

2

3

2

6

2

9

8. Resta de un número entero y una fracción8. Resta de un número entero y una fracción

13

/04

/23

22

Un número natural por una fracción

3

25

3

2+ =+=

Calculemos 5 veces 2 tercios:

3

2

3

2

3

2

3

2+ +

3

10

3

25

3

22222

Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplicael número por el numerador; se deja el mismo denominador.

Producto de dos fracciones

4

320

6

5

2

54

23

5

2

4

3

El producto de dos fracciones es una fracción con:El numerador igual al producto de los numeradores.El denominador igual al producto de los denominadores

Calculemos los 2 quintos de 3 cuartos:

9. Multiplicación de fracciones9. Multiplicación de fracciones

13

/04

/23

23

Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0?7

4

Si se elige , la suma es:7

4

07

0

7

)4(4

7

4

7

4

Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.7

4

7

4

Dada la fracción , ¿qué fracción multiplicada por ella da 1?7

4

Si se elige , el producto es:4

7

Las fracciones y se dice que son fracciones inversas.7

4

4

7

128

28

47

74

4

7

7

4

La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.

Dos fracciones son opuestas cuando

su suma es 0.

La fracción inversa se obtiene intercambiando los términos de la fracción dada.

Dos fracciones son inversas cuando

su producto es 1.

10. Fracciones opuestas e inversas10. Fracciones opuestas e inversas

13

/04

/23

24

Para dividir fracciones es de gran utilidad que las fracciones tengan el mismo denominador.

¿Cuántos pinchos de de tortilla hay en de tortilla?8

1

2

1

: = 8

1:

8

4

8

1:

2

14 pinchos

¿Cuántos vasos de refresco de de litro pueden llenarse con una botella de de litro? 8

12

5

6

1:

6

15

6

1:

2

515 vasos

¿Cuántos vasos de leche de de litro pueden llenarse con una botella de de litro? 4

18

9

2

9

8

2:

8

9

4

1:

8

9

Hemos reducido acomún denominador para dividir

más cómodamente.

Observa que 2

14

2

9

Pueden llenarse cuatro vasos y medio.

2

1

8

1

11. División de fracciones (I)11. División de fracciones (I)

13

/04

/23

25

Contesta:

Por lo mismo:

¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3

Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8

Está multiplicando Pasa dividiendo

? = 3

11

3

5

2 ·

?

? ?

?es equivalente a

5

2 :

11

3

?

? ?

?

Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa. Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.

Por tanto:5

2 :

11

3

?

? ?

? 11

3

5

2 ·

?

? ?

? 11

3

5

2 ·

?

? ?

? 2

5 ·

2

5 ·

22

15 1 ·

?

? ?

?En definitiva:

22

15

?

? ?

?

11. División de fracciones (II)11. División de fracciones (II)

13

/04

/23

26

Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la fracción inversa de la segunda.

Hemos visto que:5

2 :

11

3

?

? ?

?

Luego:

22

15

2

5 ·

11

3

?

? ?

?

Por tanto:22

15

2 · 11

5 · 3

2

5 ·

11

3

5

2 :

11

3

O bien:5

2 :

11

3

22

15

2 · 11

5 · 3

Ejemplo:7

6 :

5

3

30

21

6

7 ·

5

3

El producto cruzadoes más rápido

7

6 :

5

3

30

21

6 · 5

7 · 3 Utilizando el producto cruzado:

inversas

inversas

11. División de fracciones (III)11. División de fracciones (III)

13

/04

/23

27

Hacer un dibujoPrimero:

Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?

Utilizar fraccionesSegundo:

La fracción de partidos jugados es la suma

Podemos representar la temporada mediante una línea dividida en cuatro partes:

2

1

4

1

8

1

Faltan 6 partidos

8

1

4

1

2

1 Pero todavía “no sabemos”

sumar fracciones. Habrá que buscar otra alternativa. Por ejemplo, podemos observar que el número de partidos debe ser múltiplo de 8.

Si se sabe sumar fracciones puede seguirse esa idea

12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)

13

/04

/23

28

Volver al dibujoTercero:

Volver a las fraccionesCuarto:

Queda la mitadQueda la cuarta parte

Después de jugar la mitad más la cuarta parte, queda otra cuarta parte

Y la octava parte es la mitad de la cuarta parte.

Luego, 6 es la mitad de la cuarta parte; esto es, la octava parte: ? : 8 = 6El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo

Comprueba que el resultado es correcto.

Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?

2

1

4

1

8

1

Faltan 6 partidos

La cuarta parte es la mitad de la mitad.

12. Resolución de problemas (I) (2ª parte)12. Resolución de problemas (I) (2ª parte)

13

/04

/23

29

TantearPrimero:

Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos: Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero. Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan. ¿Cuántos discos se han regalado?

Utilizar fraccionesSegundo:

El segundo la mitad de la mitad, que es la cuarta parte:

Supongamos que se regalan 36 discos en total. Así:

Entre los tres han recibido:

Al primero le tocarían 18; al segundo, 9; al tercero, la mitad de nueve. No puede ser (habría que romper un disco).

Indiquemos con el total de discos:?2

?El primero recibe la mitad:

?4

?8

El tercero recibe la mitad que el segundo:

2

1de

?4

2

? ?4

+ +

?8

?8

7

8

· 2 · 4

? ?

?

Al cuarto le quedará lo que falta: ?8

1

12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)

13

/04

/23

30

Hacer cálculosTercero:

Comprobar el resultadoCuarto:

Como el cuarto recibe 12 discos, se tiene que:8

1? = 12 ?

8

1= 12 : = 96

El número de discos regalados es 96.

El primero recibe la mitad: 482

96

El segundo recibe la mitad que el primero: 24

El tercero, la mitad que el segundo: 12

En total: 48 + 24 + 12 + 12 = 96

El cuarto recibe 12 (96 : 8 = 12)

Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos: Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero. Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan. ¿Cuántos discos se han regalado?

Teníamos que al cuarto le quedaba:

?8

1

12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)

13

/04

/23

31

PROBLEMA

En la biblioteca hay un estante con libros de aventuras. El jueves se prestaron 16 libros. El viernes se prestaron la mitad de los que quedaban. Después de este préstamo quedaron 24 libros. ¿Cuántos libros de aventuras había en la biblioteca?

ELABORA UN DIAGRAMA

EMPIEZA POR EL FINAL

Se indica por N el número de libros que había antes de realizar ningún préstamo.

Como la mitad de M son 24, se tiene:

COMPRUEBA EL RESULTADO

Había 64.

N

1616

N – 16 = MN – 16 = M2

M

2

M= 2424

Jueves Viernes

2

M24 M = 48

El jueves quedaron en la biblioteca 48 libros de aventuras.N – 16 = 48 N = 64

Después del jueves: 64 – 16 = 48 La mitad es: 48 : 2 = 24

PrestanPrestan

QuedanQuedan

12. Técnicas y estrategias12. Técnicas y estrategias