Origen Numeros
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El origenEl origenEl origenEl origen de los números de los números de los números de los números
Las principales características de
nuestro sistema de numeración y
sus orígenes históricos.
Rocío Torrado Bea
Índice de contenidos
¿Cómo contamos nosotros? 3
La correspondencia unidad por unidad 4
La talla de muescas 5
Contar con las manos 6
Simplificar mediante símbolos 8
Organizar los símbolos 9
¿Qué pasa con el cero? 10
Los números modernos 11
Presente y futuro 12
3
¿Cómo contamos nosotros?
Antes de conocer la historia de los números, vamos a recordar brevemente cómo contamos
nosotros.
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad, y se representa utilizando
unos símbolos llamados cifras.
Nuestro sistema de numeración utiliza las diez cifras. A
estas cifras las llamamos cero (0), uno (1), dos (2), tres (3),
cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9).
Usamos un sistema de numeración decimal (base 10) donde 10 unidades del mismo orden
forman una unidad del orden inmediato superior.
10 unidades = 1 decena
10 decenas = 1 centena
10 centenas = 1 millar
Es un sistema de numeración posicional, ya que el valor de una cifra depende del lugar que
ocupa en dicho número.
Ejemplo:
1672 = 1000 + 600 + 70 + 2
1672 = 1 x 1000 + 6 x 100 + 7 x 10 + 2 x 1
4
La correspondencia unidad por unidad
La forma en que representamos actualmente los números es el resultado de miles de años de
ensayos, tanteos y reflexión por parte de la humanidad, de fulgurantes avances e incluso
retrocesos e involuciones.
Desde que el hombre tuvo la necesidad de contar algo, los animales de un rebaño, los días
que faltaban hasta cierta posición del sol,… buscó la forma de registrar la información para su
uso posterior. Los recursos materiales que utilizaron dependían de la cultura donde estaban
ubicados: guijarros, palitos, conchas, huesos…
Agrupaban un conjunto de elementos en un “conjunto modelo”, de forma que se
correspondiese unidad por unidad con el conjunto que querían contar.
Ejemplo:
Un pastor podía llevar un saquito con cierta
cantidad de piedras. Al terminar la jornada, el
pastor sacaba las piedras del saquito y hacía
entrar a las ovejas en el redil una a una.
Por cada oveja que pasaba, metía una piedra
en el saquito. Si al final había tantas ovejas
como piedras, no había perdido ninguna.
Así, gracias al principio de la correspondencia unidad por unidad, es posible desenvolverse
aunque el lenguaje, la memoria o el pensamiento abstracto sean totalmente deficientes.
El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en
común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La
cualidad se denomina número.
5
La talla de muescas
Además de utilizar conjuntos de elementos materiales también utilizaban la técnica de la talla
de muescas sobre palos o huesos. Como a primera vista el ser humano sólo puede distinguir
como máximo cuatro muescas consecutivas, empezaron a agrupar las muescas de diferente
manera:
Ejemplo:
Los pastores comenzaron además a diferenciar las muescas, realizando la quinta muesca con
una inclinación distinta a las anteriores. Los números romanos, que todavía usamos, provienen
de esta técnica.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Tiene una serie de muescas marcadas en grupos. Existen varias teorías acerca de su posible uso, relacionadas todas con los números.
6
Contar con las manos
Como tenemos diez dedos, casi todas las
culturas han terminado por agrupar las
unidades en grupos de diez.
Sin embargo, el sistema tardó mucho en
ocupar la posición dominante actual. En
distintos períodos históricos, múltiples culturas
inventaron sistemas de numeración diferentes
del decimal.
Base 5
Varias tribus africanas empleaban el sistema quinario (base 5). Es
evidente la relación de este sistema con la forma de la mano del
hombre.
Base 12
Tuvo bastante difusión el sistema duodecimal (base 12).
Indudablemente su origen también está ligado al cálculo por los
dedos: puesto que los cuatro dedos de la mano (a excepción del
pulgar) tienen 12 falanges en total, pasando el dedo pulgar por
estas falanges se puede contar de 1 hasta 12.
Desde el punto de vista matemático el sistema duodecimal tiene
ciertas ventajas sobre el decimal porque el número 12 es divisible
por 2, 3, 4 y 6 mientras que el número 10 sólo es divisible por 2 y
5. Cuantos más divisores del número que constituye la base del
sistema de numeración, mayores ventajas se tienen al emplearlo.
Los vestigios del sistema duodecimal se han conservado en
la lengua hablada hasta nuestros días: en lugar de «doce» a
menudo decimos «docena». Muchos objetos (huevos,
cuchillos, tenedores, platos, etc.) suelen contarse por
docenas y no por decenas.
7
Base 60
En la Babilonia antigua, cuya cultura (incluyendo la
matemática) era bastante elevada, existía un
sistema sexagesimal (base 60) muy complejo. Los
historiadores datan su invención sobre el 2.700
a.C., pero discrepan en cuanto a sus orígenes. Una
hipótesis, por cierto no muy fidedigna, es que se
produjo la fusión de dos tribus una de las cuales
usaba el sistema duodecimal y la otra el sistema
quinario, surgiendo como compromiso entre los
dos el sistema sexagesimal.
Este sistema se ha conservado en cierta medida hasta
nuestros días. Por ejemplo, en la subdivisión de la hora en 60
minutos y del minuto en 60 segundos, así como en el sistema
análogo de medición de los ángulos: 1 grado = 60 minutos y 1
minuto = 60 segundos.
Base 20
Los aztecas, los mayas y los celtas usaban el sistema
vigesimal (base 20). Proviene de contar con los
dedos de las manos y de los pies.
Los más antiguos testimonios conocidos de la
escritura maya datan de finales del s. III d.C. Los
mayas inventaron un “cero” para su sistema de
numeración, posicional de base veinte, utilizando el
cinco como base auxiliar.
Algunos vestigios del sistema vigesimal de los celtas subsisten
en el moderno idioma francés: por ejemplo, «ochenta» en
francés es «quatre-vingt», o sea, «cuatro veces veinte». El
número 20 figura también en el sistema monetario francés: el
franco, unidad monetaria, consta de 20 sous.
8
Simplificar mediante símbolos
Pensemos en la forma de contar que utilizaba el propio cuerpo: podemos hacer un recuento
recorriendo diversos puntos del cuerpo en un orden prefijado y emparejando cada uno de
esos puntos con uno de los objetos a contar.
El hecho de considerar un orden fue muy importante, pues se pasó a distinguir entre el
aspecto cardinal del número (basado en emparejamientos) y el aspecto ordinal (basado en
emparejamientos, pero con un orden prefijado).
Ejemplo:
Para referirnos a un día del año decimos “es
día quince de enero”. En realidad deberíamos
decir “es décimo quinto día de enero”, pues
usamos un cardinal (quince) en lugar de un
ordinal (décimo quinto) por comodidad del
lenguaje. Estamos haciendo referencia a un día
concreto de una lista ordenada de días.
A raíz de la distinción entre cardinal y ordinal, en vez de repetir el símbolo de la unidad tantas
veces como fuera necesario hasta tener la cantidad deseada, se pasó a atribuir a cada número
un símbolo original y considerar la sucesión de dichos símbolos (sin relación unos con otros).
El problema que surgió es que se necesitaban muchos símbolos distintos. En diferentes partes
del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución. En un afán de simplificación, se
agruparon cierto número de unidades de primer orden para dar lugar a un nuevo símbolo
para una unidad de orden superior. Este número es la base.
9
Organizar los símbolos
El auge de la civilización Griega en el Mediterráneo sirvió de vehículo transmisor hacia las
culturas de occidente. Los griegos tomaron el diez como base, y su sistema de numeración era
literal usando letras del alfabeto como símbolos para los números.
Los sistemas que hemos visto hasta ahora siguen un sistema de notación aditiva. Acumulan
los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el
número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una
determinada posición. En el sistema de numeración aditiva, el significado de cada símbolo no
depende del lugar que ocupa.
Ejemplo:
El número 23 en números romanos se escribe
como XXIII. La cifra X aparece dos veces y
siempre vale lo mismo, diez unidades. En la
numeración egipcia ocurre lo mismo, expresado
con otros símbolos
Sin embargo, en un sistema de notación posicional, la posición de cada cifra nos indica si
valor. Es el caso de nuestro sistema decimal, en el que depende de donde escribamos una cifra
tendremos unidades, decenas, centenas,…
Los sistemas posicionales tienen la ventaja de que permiten escribir números grandes
mediante una cantidad relativamente pequeña de símbolos y realizar fácilmente operaciones
aritméticas.
Existieron también sistemas de notación híbrida, como el chino clásico, que combinan el
principio aditivo con el multiplicativo.
Ejemplo:
La forma clásica de escritura de los números en
China es un sistema decimal estricto que usa las
unidades y las distintas potencias de 10.
10
¿Qué pasa con el cero?
La numeración que forjaron los matemáticos y astrónomos de Babilonia a comienzos del
segundo milenio antes de nuestra era fue una de las más notables de la antigüedad.
Contrariamente a la mayoría de los sistemas de la época, el valor de sus cifras estaba
determinado por su posición en la escritura de los números.
La numeración babilonia era totalmente equivalente a nuestro sistema actual. Sólo difería en
que usaba base 60 en lugar de 10 en la formación de sus cifras. Sin embargo, tenía muchos
inconvenientes, pues sus 59 unidades significativas no eran representadas mediante 59 signos
distintos, sino mediante repeticiones aditivas de dos cifras de base (1 y 10).
Cuando no había ninguna unidad en cierta posición, dejaban un vacío que muchas veces daba
lugar a errores. Los mayas y los chinos también utilizaban notación posicional y se encontraron
con el mismo problema.
Ejemplo:
Imaginemos que no existe el cero en nuestro
sistema de numeración. Al escribir 1 podríamos
estar indicando 1 unidad o 1 decena.
Los babilonios y los mayas inventaron un símbolo
para indicar la ausencia de unidades de cierto rango,
eliminando así toda ambigüedad en la escritura de
números. Pero no fue concebido como número, es
decir, como sinónimo de “cantidad nula”. No es el
cero que usamos actualmente. El cero será una de las
grandes invenciones del genio humano, ya que facilita
la ejecución de las operaciones aritméticas.
11
Los números modernos
El sistema de numeración arábigo se considera uno de los avances más significativos de las
matemáticas. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que tuvo su origen en la
India, se expandió por el mundo islámico y de ahí, vía al-Andalus, al resto de Europa.
El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración de
posición de base 10, así como el descubrimiento del 0.
Este sistema de numeración llegó a Oriente Medio hacia el año 670. Matemáticos
musulmanes del actual Irak, como al-Jwarizmi, ya estaban familiarizados con la numeración
babilónica, que utilizaba el cero entre dígitos distintos de cero,aunque no tras dígitos distintos
de cero, así que el nuevo sistema no tuvo un buen recibimiento. Al-Jwarizmi escribió el libro
"Acerca de los cálculos con los números de la India" cerca de el año 825 y Al-Kindi escribió "El
uso de los números de la India" en cuatro volúmenes. Su trabajo fue muy importante en la
difusión del sistema de la India en el Oriente Medio y en el occidente.
Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran en el
Codex Virgilianus del año 976. A partir de 980 Silvestre II hizo uso de su oficio papal para
difundir el conocimiento del sistema en Europa. Fibonacci, matemático italiano, contribuyó a la
difusión por Europa del sistema arábigo con su libro Liber Abaci (“Tratado del ábaco”),
publicado en 1202, donde exponía y proponía emplear el sistema de numeración utilizado por
los árabes. La obra de Leonardo Pisano tuvo que esperar a la invención de la imprenta para
que llegara a ser conocida en toda Europa. Era el inicio del movimiento de la democratización
del cálculo en Europa. Hasta entonces se usaba el sistema de numeración romano.
El ábaco es un instrumento de cálculo que utiliza cuentas
que se deslizan a lo largo de una serie de barras de metal o
madera fijadas a un marco para representar las unidades,
decenas, centenas, unidades de millar, etc. Fue inventado en
Asia menor, y es considerado el precursor de la calculadora
digital moderna.
Utilizado por mercaderes en la Edad Media a través de toda
Europa y el mundo árabe, fue reemplazado en forma gradual
por la aritmética basada en los números indo-árabes.
12
Presente y futuro
Con la aparición de los ordenadores hemos asistido a cierta evolución de
la escritura de cifras, que se ha esquematizado. La informática además
usa base 2, con dos cifras, 0 y 1. Pero es un sistema como el nuestro,
sólo que con una base distinta, pues es posicional y usa el cero.
Desde el hombre de Cromañón, o desde el supuesto hombre primitivo
que sólo sabe contar con su cuerpo, hasta el hombre moderno, no ha
habido ninguna modificación fundamental del cerebro, sino un
enriquecimiento del equipo mental. Hasta el punto de que el uso de las
cifras y de la aritmética elemental nos parece a menudo una aptitud
innata y evidente de la mente humana.
La pregunta que se nos plantea es ¿está esta historia acabada? Ha sido tan larga y tortuosa
que bien podrían producirse nuevos rodeos. Pero nuestro sistema de numeración es un
sistema definitivamente perfecto, acabado, porque es el que tiene mayor economía de signos
y permite representar cualquier número, por grande o pequeño que sea. Y, además, es el más
eficaz, pues permite que todos realicemos cálculos.
Esta invención profundamente humana es también la más universal,
fusiona a la humanidad. No ha habido ninguna Torre de Babel de los
números: mientras que existen cuatro mil lenguas y varias decenas de
alfabetos y sistemas de escritura para transcribirlos, hoy sólo existe un
sistema de numeración escrita, el único y auténtico lenguaje universal.
13
Resumen
• Nuestro sistema de numeración es posicional de base 10. Para representar números
utilizamos diez cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.
• La humanidad comenzó por agrupar elementos (piedras, conchas,…) para tener
conjuntos modelo y hacer una correspondencia unidad por unidad entre dichos
conjuntos y los que se querían cuantificar. De ahí proviene la cualidad de número.
• Se continuó por la talla de muescas sobre palos o huesos, gracias a lo que se comenzó
a agrupar y distinguir trazos.
• Las manos nos sirven de “calculadora”. Existen distintas maneras de contar usando las
manos, dando lugar a sistemas de distinta base. Entre los más importantes están el
quinario (base 5), decimal (base 10), duodecimal (base 12), vigesimal (base 20) y
sexagesimal (base 60).
• Distinguir entre el aspecto cardinal y el ordinal permitió simplificar la notación. Se
encontraron con el problema de tener demasiados símbolos al usar uno para cada
número, por lo que comenzaron a usar símbolos múltiplos de la base.
• Según organicemos los símbolos tenemos sistemas de notación aditiva (acumulación
de símbolos de cifras), posicional (valor de la cifra según posición del símbolo) e
híbrida (mezcla de ambas).
• El cero como cifra se inventó posteriormente al resto de cifras, facilitando las
operaciones aritméticas.
• Los números árabes provienen de la India, y llegaron a Europa sobre el año 1000 d.C. a
través de la expansión del Islam.
• En el año 825 Al-Jwarizmi escribió el libro “Acerca de los cálculos con los números de la
India” con lo que dio a conocer este sistema de numeración a los musulmanes.
• En 1202 Fibonacci publicó la obra “Liber Abaci” con la que lo dio a conocer a los
números arábigos en occidente. Hasta la invención de la imprenta no se extendieron
por Europa.
• Hasta entonces se utilizaban los números romanos, con la ayuda de un instrumento de
cálculo llamado ábaco.
• El sistema de numeración actual posiblemente no sufra modificaciones sustanciales en
el futuro, pues es un sistema definitivamente perfecto.
• Los números son un verdadero lenguaje universal.
14
Bibliografía
• Libros:
o “Historia de una gran invención”, Georges Ifrah
o “Historia universal de las cifras”, Georges Ifrah
• Webs:
o Términos buscados en Wikipedia: número, cifra, historia de los números, sistema
decimal, números árabes.
o Imágenes buscadas con Google Imágenes.
• Vídeos:
o Extractos del programa “Redes: vida y números” del canal La 2 de TVE