Parábola

PARÁBOLA

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SINALOAFACULTAD DE ARQUITECTURA

GEOMETRIA ANALÍTICAMAURICIO SATARAIN

PARABOLA

GASTÉLUM IBARRA CAROLINAGPO. 1 SEM 3

Culiacán, Sin a 19 de Octubre 2012

LA PARABOLADEFINICION:UNA PARABOLA ES EL LUGAR GEOMETICO DE UN PUNTO QUE SE MUEVE EN UN PLANO DE TAL MANERA QUE SU DISTANCIA DE UNA RECTA FIJA(DIRECTRIZ), SITUADA EN EL PLANO, ES SIEMPRE IGUAL A SU DISTANCIA DE UN PUNTO FIJO DEL PLANO (FOCO) Y QUE NO PERTENECE A LA RECTA.

X

Y

DIR

ECTR

IZ

ev

c

c’

F

E

E’

D

D’

e: eje de la parábola: recta que pasa por el foco.

Directriz: recta fija de la parábola que es encuentra a la misma distancia que el foco.

v: vértice: punto medio entre la directriz y el foco.F: foco: punto fijo de la parábola.

E-E’: lado recto: cuerda focal paralela a la directriz.C-C’: cuerda: segmento que uno dos puntos cualquieras de una parábola.D-D’: cuerda focal: cuerda que pasa por el foco.

DEDUCCION DE LA ECUACION DE LA PARABOLA

Por definición de parábola, el punto PDebe satisfacer esta condición geométrica

P(x,y), A(-p,y), F(p,0), F1 (-p,0), V (0,0)

X

Y

DIR

ECTR

IZ

v F(p,0)

F1(-p,0)

P(x,y)A(-p,y)

PF = PA

PF = (x-p)2 + y2

PA= (x-p)2

(x-p)2 + y2 = (x-p)2

Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y simplificamos obtenemos:

y2=4px

La ecuación ordinaria de la parábola si su eje coincide con el eje x (parábola horizontal).

si el eje de la parábola coincide con el eje y (parábola vertical) entonces la ecuación seria:

x2=4py

Abertura de la parábola

Parábola horizontal y2=4px

P< 0 abreA la izquierda

P> 0 abreA la derecha

Parábola vertical x2=4py

P< 0 abre Hacia abajo

P> 0 abre Hacia arriba

Directriz x = -p Directriz y = -pLongitud del lado recto 4P Longitud del lado recto 4P

y2=4px

P< 0 abre a la izquierda

P> 0 abre a la derecha

Directriz x = -pLongitud del lado recto 4P

x2=4py

P< 0 abre hacia abajo

P> 0 abre hacia arriba

Directriz y = -pLongitud del lado recto 4P

PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN

PARABOLA HORIZONTAL PARABOLA VERTICAL

V (0,0) V (0,0)F (P,0) F (0,P)

Teorema 1

PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN

V (h,k)

X

Y

F

0

Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice no este en el origen y cuyo eje sea paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados.

De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice (h,k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen 0’ coincida con el vértice (h,k), se sigue la ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X’ y Y’ esta dada por y2= 4px’En donde las coordenadas del foco F son (p,0) referido a Los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación (1) usando las ecuaciones de transformación del teorema 1De donde, x = x’ + h, y = y’ + k, x’= x - h, y’= y – k.

X’

Y’

Si sustituimos estos valores de x’ y y’ en la ecuación 1, obtenemos (y – k)2 = 4p (x - h). ………..(ecuación 2)Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h,k) y cuyo eje es paralelo al eje YTiene por ecuación (x – h)2 = 4p (y – k) ………(ecuación 3) En donde l P l es la longitud de aquella proporción del eje comprendida entre el foco y el vértice.Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, segunda ecuación ordinaria de la parábola.

PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN

PARABOLA HORIZONTAL PARABOLA VERTICALTeorema 2

(y – k)2 = 4p (x –h)

V (h,k)F (h + p, k)

P< 0 abre a la izquierda

P> 0 abre a la derecha

P< 0 abre hacia abajo

P> 0 abre hacia arriba

(x –h)2= 4p (y – k)

F (h + k, p)V (h,k)

Directriz x = h - pLongitud del lado recto 4P

Directriz y = k - pLongitud del lado recto 4P

X

Y

F = (h + p, k)

X

Y

F= (h, k + p)


DIRECTRIZ y= k - p

DIR

ECTR

IZ

x= h

- p

V= (h,k)V= (h,k)

P> 0 abre a la derecha P> 0 abre hacia arriba

X

Y

F = (h + p, k)

X

Y

F= (h, k + p)


DIRECTRIZ y= k - p

DIRECTRIZ x= h - p

V= (h,k)

V= (h,k)

P< 0 abre a la izquierda P< 0 abre hacia abajo

LA PARABOLA EN LA VIDA COTIDIANA

La parábola esta presente en muchos aspectos de nuestra vida cotidiana, aunque no le prestemos mucha atención a ello.Se encuentra presente cuando rebota una pelota, cuando hay alguna fuente luminosa cerca de un plano recto, en las antenas parabólicas, cuando brincamos la cuerda, cuando pateamos una pelota, en los faros de los autos y lámparas de mano, en los radares y antenas para radioastronomía y televisión por satélite, entre muchas otras.

Rebote de pelota

APLICACIONESEN LA ARQUITECTURA Y EJEMPLOS

ARCOS

Arco de medio punto Arco parabólico

Los arcos parabólicos son unos elementos muy usados en arquitectura.Se pueden utilizar, por ejemplo, como puentes o vigas. Normalmente, estos puentes son isostáticos*. La peculiaridad del arco parabólico es que en el arco sólo actúan esfuerzos axiles y momentos flectores, no presentándose esfuerzos cortantes. Esto se produce cuando el arco es sometido a una carga uniformemente distribuida y ambos extremos son apoyos fijos. Esto hace posibles arcos ejecutados con piezas sin mortero, tal como se construyen ya desde hace muchos siglos. Dentro del arco, los esfuerzos son principalmente de compresión

Este tipo de arcos fue utilizado primero por los hititas (población indoeuropea de los siglos XVII y XII a.C.) y después fue recuperado por Antonio Gaudí (arquitecto español) en el siglo XIX.

*Isostasia: es la condición de equilibrio que presenta la superficie terrestre debido a la diferencia de densidad de sus partes.

Gaudí y los arcos parabólicos

Una de las innovaciones que constituye un rasgo característico y distintivo del lenguaje arquitectónico de Gaudí es la utilización de arcos parabólicos con función tanto constructiva como ornamental. Lo introdujo por primera vez en la Casa Vicens en la que diseña una cascada con arco parabólico, que posteriormente se convirtió en una arco ornamental y al final fue demolida. Posteriormente utilizó este elemento arquitectónico en obras como la casa Batlló, el Colegio de Santa Teresa, el Palacio Güell o las Bodegas Güell de Garraf.

Colegio de Santa Teresa El acceso al colegio ya se inicia en un porche con un arco parabólico. Pero el elemento más notable de esta obra, probablemente el de mayor belleza, es el sistema de corredores con arcos parabólicos de la planta baja y el primer piso que permiten aprovechar la luz y distribuirla hacia los patios interiores

Palacio Güell

Uno de los elementos más singulares del Palacio Güell es la gran cúpula parabólica y estrellada (agujeros en forma de estrella por los que penetra la luz) situado sobre el amplio vestíbulo.

Casa Batlló y Casa Milá (La Pedrera)

En estas dos edificaciones Gaudí utiliza los arcos parabólicos como sustentación de la cubierta para formar los espacios correspondientes a las buhardillas o áticos.

ARCO PARABÓLICO

El arco parabólico es un monumento ubicado en el Centro Cívico de la ciudad de Tacna, Perú.

Fue inaugurado el 28 de agosto de 1959 durante el gobierno de Manuel Prado Ugarteche con el nombre de Monumento a los héroes almirante Miguel Grau Seminario y Coronel Francisco Bolognesi.

Calatrava y los arcos parabólicos

El Auditorio de Tenerife "Adán Martín" es obra del arquitecto Santiago Calatrava . Se ubica en Santa Cruz de Tenerife, Islas Canarias, España, y al lado del Océano Atlántico en la parte sur del Puerto de Santa Cruz de Tenerife. Su construcción comenzó en 1997 y finalizó en 2003.El edificio se encuadra dentro de los postulados de la arquitectura tardomoderna de finales del siglo XX. El Auditorio de Tenerife es sede de la Orquesta Sinfónica de Tenerife.

Arco parabólico

Auditorio Tenerife

La Ciudad de las Artes y las Ciencias es un complejo arquitectónico, cultural y de entretenimiento de la ciudad de Valencia(España).El complejo, diseñado por Santiago Calatrava y Félix Candela, junto con los ingenieros Alberto Domingo y Carlos Lázaro autores del diseño estructural de las cubiertas del L'Oceanografic, fue inaugurado el 16 de abril de 1998 con la apertura de El Hemisférico. El último gran componente de la Ciudad de las Artes y las Ciencias es el Ágora, situado entre el puente de l'Assut de l'Or y l'Oceanogràfic. Actualmente se está finalizando su construcción.

La Ciudad de las Artes y las Ciencias

L'O

cean

ogrà

fic

Edificio BCE (Toronto, Canadá)

La Llotja de Sant Jordi (Alicante, España)

Bodegas Ysios (Laguardia, España)

OTRAS OBRAS DE CALATRAVA

El Zubizuri, popularmente llamado puente de Calatrava, es un puente en arco (cuya pista cuelga de él) sobre el rio del Nervión, en la ciudad vasca de Bilbao, en el norte de España..

Puentes de calatrava

EL PUENTE DE LA CONSTITUCIÓN es un puente de la ciudad de Venecia. Inicialmente conocido como Cuarto Puente sobre el Canal Grande o Puente de Calatrava. El puente fue conocido coloquialmente por alguno de estos dos nombres ya que durante todo el tiempo que duró su construcción y hasta poco tiempo antes de la fecha prevista para su apertura no se le había asignado un nombre oficial.Fue diseñado por el arquitecto español Santiago Calatrava y comunica el Piazzale Roma con la zona de la Estación de trenes Santa Lucia.

OTROS

EDIFICIOS

Edificio Espíritu Santo en Miami, Florida

Iglesia de San Francisco de asís (1942), Pampulha, Brasil

Con parábolas

Nossa Senhora do Aparecidaen Brasília, brasil. (catedral de Brasília)

LOS HANGARES DE ORLY (1924) , FRANCIA.DE EUGÉNE FREYSSINET

Un edificio concebido como una doble parábola que se pliega sobre sí misma y genera dos espacios nítidamente diferenciados. De un lado un andén cubierto para el autobús y los viajeros que lo esperan; de otro, un espacio que aloja una breve sala de espera y una cafetería.Todo ello se concibe empleando un material, el hormigón armado y generando una superficie continua que produce dos bucles, de manera que el conjunto se pliega sobre si mismo, sin perder la continuidad de una misma línea curva

ESTACIÓN DE AUTOBUSES DE CASAR DE CÁCERES, ESPAÑA.ARQ. JUSTO GARCIA RUBIO

Gateway Arch de San Luis, Missouri, EUA. Obra del arquitecto norteamericano de origen finlandés Eero Saarinen que constituye una maravilla de la construcción, sobre todo si tenemos en cuenta que fue construido en el siglo XX antes de la invencion de las computadoras.

BERLINER BOGER OFFICEBUILDING, Alemania

BRT Architekten

Edificio compuestoSolamente de parábolas

COMO FUNCIONAN LOS PUENTES

Cualquier puente sólo puede mantenerse si puede soportar su propio peso (llamado el peso muerto) y el peso de todo el tráfico que le atraviesa (llamada carga viva). La carga crea dos fuerzas principales que actúan sobre las partes de un puente. COMPRESIÓN - La fuerza de compresión empuja hacia abajo la cubierta del puente. porque es un camino suspendido, los cables transfieren la compresión a las torres, que disipa la compresión directamente en la tierra donde están firmemente arraigadas.TENSION - Los cables de soporte, que corren entre dos anclajes, son los afortunados destinatarios de las fuerzas de tensión. Los cables extienden el peso del puente y su tráfico a medida que corren de extremo a extremo. Los anclajes están también bajo tensión, pero ya que, al igual que las torres, están ancladas firmemente en la tierra, la tensión que experimentan se disipa.

Puentes con parábolas

Puente - Para los peatones y / o tráfico de automóviles.Las torres son los soportes que se apoyan en los cimientos.Los cables largos de alambre son colocados sobre las torres y se fija a los anclajes en tierra.Las Perchas, mantiene en su sitio al cable.

Los puentes colgantes son los únicos puentes que pueden atravesar largas distancias.Esto es debido a la forma del puente de suspensión que es en realidad una de las estructuras más estables que hay. El cable del puente es inherentemente estable frente a cualquier perturbación si es lo suficientemente grueso como para resistir cualquier tensión.

Puentes con parábolas ejemplos

GOLDEN GATE, SAN FRANCISCO, CA.

Longitud total 8,981 pies

Longitud entre torres4,200 pies

Altura de las torres 746 pies

ingeniero Joseph B. Strauss

costo $27 millones de dolares

PUENTE GEORGE WASHINGTON, NY, EUA.


Longitud entre torres 3,500 pies

Altura de torres 604 pies

ingenieros Othmar H. Ammann

costo $59 millones de dolares

PUENTE DE BROOKLYN , EUA.


Distancia entre torres 1,595 pies


ingenierosJohn Roebling,

Washington A. Roebling

Costo $15 millones de dolares

PUENTE HUMBRE, INGLATERRA.

Longitud total 2,220 m

Distancia entre torres 1,410 m

Altura de las torres 155.5 m

ingeniero Hull City Council

Costo £151 millones

PUENTE AKASHI KAIKYO, JAPONEs el mas largo, alto y caro de los Puentes suspendidos en el mundo!

Longitud todal 12,828 pies

Distancia entre torres 6,527 pies


ingenierosHonshu-Shikoku Bridge

Authority

Costo $4.3 billones

PARABOLA EN FUENTES

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