UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

ECUACIÓN es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementosdesconocidos llamados incógnitas.Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnitaes 1. Toda ecuación de primer grado en una variable puede expresarse en la forma:

donde a y b son números reales y x la incógnita que hay que determinar.

RAÍZ O SOLUCIÓN de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita que satisfacela igualdad.

CONJUNTO SOLUCIÓN es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de laecuación.

ECUACIONES EQUIVALENTES son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.

EJEMPLOS

1. Para determinar el valor de x en la ecuación -2x + 3 = 0, ¿cuál de las siguientesopciones se debe realizar?

A) En ambos miembros se debe sumar -3 y luego multiplicar por12

.

B) En ambos miembros se debe sumar 3 y luego multiplicar por12

.

C) En ambos miembros se debe sumar -3 y luego dividir por12

.

D) En ambos miembros se debe sumar -3 y luego multiplicar por -12

E) En ambos miembros se debe sumar -3 y luego dividir por -12

.

ax + b = 0

C u r s o : Matemática 3º Medio

Material Nº MT-05

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2. La solución de la ecuación 3x + 5 – 4x = 2x + 17 es igual a

A) 4B) 3C) 0D) -3E) -4

3. En la ecuación (5 – 5m) x – 3m + 17 = 0, ¿cuál debe ser el valor de m para que lasolución sea x = -2?

A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2

4. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación 0,008x = 7,2?

A)8

10.000x = 7,2

B)80

1.000x = 0,72

C) 0,08x = 0,0072D) 8 · 10-4x = 72 · 10-2

E) 0,8 · 10-3x = 0,72 · 10-1

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ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Sean a y b números reales cualesquiera. La existencia o no de la solución de la ecuaciónax + b = 0 depende de los valores de a y b.

1er Caso: Si 0a , entonces la ecuación tiene solución única.

2do Caso: Si a = 0 y b = 0, entonces la ecuación tiene infinitas soluciones.

3er Caso: Si a = 0 y 0b , entonces la ecuación no tiene solución.

EJEMPLOS

1. La ecuación (a – 3)x + 10 = 0 no tiene solución si

A) a = 3B) a = 0C) a 3D) a 0E) a = -7

2. Para que la ecuación 3ax + b = 5x – 4 tenga infinitas soluciones, los valores de a y bdeben ser

a b

A)53

4

B)53

-4

C) -53

4

D) -53

-4

E) 0 0

3. Con respecto a la ecuación a2x – 5b = 4x + 1, ¿cuál(es) de las siguientes proposicioneses (son) verdadera(s)?

I) Si a = 2, la ecuación no tiene solución.II) Si a 2, la ecuación tiene solución única.

III) Si a = 2 y b = -15

, entonces la ecuación tiene infinitas soluciones.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

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PROBLEMAS DE DÍGITOS

Un número x está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa x como lasuma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por lapotencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,centésima, ...)

abc,de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2

Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistemadecimal un número de la forma xyz queda representado por x 102 + y · 101 + z 100

EJEMPLOS

1. El desarrollo de 324,65 en notación decimal posicional es

A) 3 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 10-1

B) 3 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 6 · 10-2 + 5 · 10-1

C) 3 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 10-2

D) 3 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5E) 3 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 0,02

2. Si x es un número de dos dígitos, en que el dígito de las unidades es a y el dígito de lasdecenas es b, entonces el antecesor de x es

A) a + b – 1B) 10a + b – 1C) 10b + a – 1D) 100b + 10a – 1E) 10(b – 1) + a

3. Si los dígitos de un número de dos cifras suman 9 y el dígito de las decenas es x,entonces el número es

A) 10x + 9B) x + (9 – x)C) 10(9 – x) + xD) 10x + (9 – x)E) 10x + 9x

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PROBLEMAS DE EDADES

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentesindicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,según corresponda:

EJEMPLOS

1. La edad de una persona es 35 años. ¿Cuántos años tenía hace (6 – E) años?

A) 29 + EB) 29 – EC) -29 + ED) 41 – EE) 41 + E

2. El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de6 años. ¿Qué edad tendré en dos años más?

A) 12 añosB) 14 añosC) 16 añosD) 18 añosE) 20 años

3. Carla tiene quince años más que Pedro. Hace cinco años la edad de Carla era dos vecesla edad que tenía Pedro. ¿Qué edad tendrá Carla en cinco años más?

A) 20 añosB) 25 añosC) 30 añosD) 35 añosE) 40 años

Edad pasada(hace b años) Edad actual

Edad futura(dentro de c años)

x – b X x + cy – b Y y + c

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PROBLEMAS DE TRABAJOS

Si un trabajador o máquina puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo b,la ecuación que permite calcular el tiempo t que demoran ambos en realizar conjuntamenteel mismo trabajo es:

EJEMPLOS

1. Una llave llena un estanque en 10 horas y otra lo llena en 15 horas. ¿Cuánto sedemorarán las dos llaves simultáneamente en llenar el estanque?

A) 12 horas.B) 10 horas.C) 8 horas.D) 6 horas.E) 4 horas.

2. Un maestro puede construir un muro en 4 horas y otro maestro puede construir elmismo muro en 2 horas más que el primero. ¿Cuánto tiempo demorarían siconstruyeran juntos el mismo muro?

A) 2 horas.B) 2 horas 4 minutos.C) 2 horas 24 minutos.D) 2,24 horas.E) 3 horas.

3. Rodrigo puede realizar una tarea en 15 días, mientras que Nelson la puede hacer en eltriple de los días que emplearían si trabajaran los dos juntos. ¿En cuántos díasrealizaría la tarea Nelson si trabajara solo?

A) 5 días.B) 10 días.C) 15 días.D) 30 días.E) 32 días.

1 1 1 + =

a b t

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EJERCICIOS

1. La solución de la ecuación 5x + 3(2 – 4x) = 1 – 6x, es

A) -5B) -1C) 0D) 1E) 5

2. Si2 1(x 3)

3 2 = 3, entonces el valor de x – 3 es

A) -214

B)214

C) -334

D)334

E)394

3. La solución de la ecuación 3x + 6(1 + x) = 2(-5 + 4x) es

A) -16B) -10C) -8D) 8E) 16

4. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene como solución a - 4?

A) 2x – 7 = 3(x – 6) + 15B) -x + 9 = 5 – 2xC) x + 17 = 13 + 2xD) (x – 1)(x + 2) = x2 – 6

E) x + 10,5 =132

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5. Se define ab = a2 – ab + b2. Si x2 = x(x – 5) – 11, entonces el valor de x es

A) -10B) -5C) 0D) 5E) 10

6. Al despejar t, en la ecuación 3tx + 5x = 2t – 6tx, se obtiene

A)5x

2 9x

B) -5

9x 2

C)5x

-2 9x

D)2t

5 9t

E)2t

5 + 9t

7. Al despejar m de la igualdad F = G ·2

M m

r

, se obtiene

A)2F · r

G– M

B)2F · r

G+ M

C) m –2F · r

G

D) M –2F · r

G

E) m +2F · r

G

9

8. Al resolver la ecuación 3x(x – 1) + 2x – 1 = (x + 2)(x – 3) + 2x2, se obtiene comoconjunto solución

A) {-5}

B)5

-2

C) {0}

D)52

E) ø

9. Siab

= 4 y x ay b

= 4, entonces el valor de xy

es

A) -4B) -2C) 1D) 2E) 4

10. Si a es la incógnita en la ecuación 3ax – x = 5 – 2a, entonces su conjunto solución esigual a

A)5 + x2 + 3x

B)5 x2 3x

C)5 2a1 + 3a

D)5 2a3a 1

E)5 + a2 + 3a

10

11. La solución de la ecuación x – {x – 3(x – 2) – 2} -5 = 0, es

A) -3B) -0,3

C) 0,3D) 3E) 5

12. La solución o raíz de la ecuación

3x24 + x 4 6x 5 = 4

5 3 6

es igual a

A) 2

B)12651

C) -2

D) -12651

E) -12657

13. ¿Para qué valor(es) de a la ecuación a2x + 10 = 9x no tiene solución?

A) a = -3B) a = 0C) a = 3D) a = 3E) a 3

14. Con respecto a la ecuación (x – 3)2 – x(4 + x) = ax, ¿cuál(es) de las siguientesproposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a = -10, la ecuación no tiene solución.II) Si a -10, la ecuación tiene solución única.

III) Si a = -10, la ecuación tiene infinitas soluciones.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

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15. ¿Cuál debe ser el valor de b, en la ecuación 3(x – 3) + 3 = x + 2(x – b), para quetenga infinitas soluciones?

A) -3

B) -32

C) 0

D)32

E) 3

16. En la ecuación 12 – 4(4 – 7x) = -8 + 14x, el valor de (4 – 7x)2 es igual a

A) 144B) 36C) 12D) 6E) 1

17. Si13 502 2x

es igual al recíproco de 4, entonces el inverso aditivo de x es

A) -4B) -2C) 2D) 4

E)14

18. Se define = x + 6 – 2, con x menor que -6. Si = 2, entonces el valor de 3x – 1 esigual a

A) -6B) 7C) -31D) 31E) -10

12

19. Si (x – a)2 – (x + a)2 = a, entonces x =

A) -1

B) -14

C) 0

D)14

E) 1

20. Se definea bc d

= ad – bc. Si4 3x2 5

= 8x – 1, entonces el valor de x es

A) -212

B) -32

C)32

D)212

E)214

21. El inverso multiplicativo de la solución de la ecuación1 1 2

+ =5 x 3

es

A)95

B) -95

C)59

D) -715

E)715

22. Si x + y – z = 30 yx y z

= =4 5 6

, entonces z + x – 2y es igual a

A) -50B) -30C) 0D) 30E) 50

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23. Si los dígitos de un número de 3 cifras suman 15 y el dígito de las decenas es 3 vecesel dígito de las unidades (x), entonces la cifra de las centenas es

A) 15 – 4xB) 4xC) 3xD) xE) 15 + 4x

24. La edad que tendré en 15 años más es el doble de la que tenía hace 10 años. ¿Quéedad tengo actualmente?

A) 25 añosB) 30 añosC) 35 añosD) 40 añosE) 45 años

25. Javier tenía hace 7 años el doble de la edad que tendrá Anita en 7 años más. Si la edadde Javier es el triple de la edad de Anita, entonces ¿qué edad tiene Javier?

A) 21 añosB) 28 añosC) 60 añosD) 67 añosE) 63 años

26. Una llave A llena un estanque vacío en 2 horas, en cambio una llave B lo llena en6 horas y un desagüe C lo deja vacío en 3 horas. ¿En qué tiempo se llenará el estánque, si estando vacío se abren ambas llaves y el desagüe simultáneamente?

A) 6 horas.B) 4 horas.C) 3 horas.D) 2 horas.E) 1 hora.

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27. Para hacer un mismo trabajo, A y B se demoran 15 días, B y C 12 días y, A y C 10 días.Si trabajaran los tres juntos, ¿cuántos días demorarían para realizar el mismo trabajo?

A) 4 días.B) 5 días.C) 6 días.D) 7 días.E) 8 días.

28. Se puede determinar el valor numérico de a en la ecuación ax – 3 = 0, si :

(1) x – 1 = 2(5 – 3x) + 6

(2) 2x – (x + 1)(x – 4) = x(3 – x) + 2(x + 2)

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

29. Se puede determinar que la ecuación ax – 2b + 1 = 3b + 2x tiene infinitas solucionessi :

(1) a + 3 = 5

(2) 1 – 3b = 2b

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. Se pueden determinar los valores de x e y en la ecuación 2x + y = 20 si :

(1) x : y = 3 : 4

(2) x + y = 14

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

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RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 7

DMONMT-04

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EjemplosPágs. 1 2 3 4

1 y 2 D E B D

3 A B D

4 C C D

5 A E E

6 D C D

1. E 11. D 21. E2. B 12. A 22. C3. A 13. C 23. A4. C 14. C 24. C5. B 15. E 25. E6. A 16. B 26. C7. D 17. A 27. E8. E 18. C 28. A9. E 19. B 29. C10. A 20. C 30. D