Prctica

PRCTICA 9: Fiabilidad

Ejercicio 1

La vida media de un tipo de pieza de una maquina es 1000 horas y el tiempo que tarda en inutilizarse sigue una distribucin exponencial.

a) Calcular la probabilidad de que una de estas piezas dure ms de 700 horas

b) Calcular la probabilidad de que un sistema con tres de estas piezas colocadas en paralelo dure ms de 700 horas.

c) Calcular la probabilidad de que un sistema con tres de estas piezas colocadas en serie dure ms de 700 horas

d) Representa la funcin tasa de fallo de esta distribucin

Solucin del apartado 1.a

Hay que calcular la probabilidad de que el tiempo de fallo sea mayor que 700:

P(X > 700) = 1 - P(X ( 700) = 1 - F(700)

F(700) es el valor de la funcin de distribucin en 700 para una densidad exponencial de media 1000. Para calcularla seleccionamos en el men principal:

Describe (Distributions(Probability Distribution

En la siguiente pantalla seleccionamos la distribucin exponencial. En el primer panel (probability distribution) seleccionamos Analysis Options e introducimos 1000 para el valor de la media. En el panel Cumulative Distribution seleccionando Pane Options e introduciendo el valor 700 en el apartado puede leerse en el apartado Lower Tail Area( 700) = 1 - P(X ( 700) = 1 - F(700) = 1 - 0.503415 = 0.496585

Este valor tambin aparece directamente en el apartado Upper Tail Area (>)

Solucin del apartado 1.b

Si las piezas estn en paralelo el sistema funciona si funciona al menos una de las piezas:

P (funcione una al menos) = 1 - P(fallen las tres) = 1 - (0.503415)3 = 0.872421

Solucin del apartado 1.c

Un sistema en serie funciona si funcionan todas las componentes:

P(funcionen las tres componentes) = 0.4965853 = 0.12246

Solucin del apartado 1.d

Representamos la funcin de fallo seleccionando Hazard function en la ventana que resulta tras pulsar el boton graphicals options.

Se obtiene la grfica de la Figura 68.

Figura 68Se observa que la tasa de fallo es constante. Esta es una caracterstica de la distribucin exponencial y significa que las piezas siempre tienen la misma probabilidad de fallar. Es decir que no sufren desgaste. Los fallos son exclusivamente aleatorios.

Ejercicio 2

Repetir el problema anterior si la distribucin de fallos es de Weibull con parmetro de forma 0.5 y de escala 100

Solucin al Ejercicio 2

El proceso que se sigue es idntico salvo que en vez de seleccionar la distribucin exponencial se introduce la de Weibull. Y los parmetros de forma (Shape) y escala (Scale) del enunciado.

a) P(X > 700) = 0.070952

b) P(funcione una al menos) = 1 - P(fallen las tres) = 1 - 0.9290483 = 0.19811

c) P(funcionen las tres componentes) = 0.070952 3=0.000357

d) La representacin grfica de la tasa de fallo es la de la Figura 69.

Figura 69En este caso la tasa de fallo es decreciente, lo que significa que las piezas que quedan intactas tienen ms probabilidad de supervivencia que las primeras. Este comportamiento suele darse al principio, cuando las piezas empiezan a usarse, y es propio de los defectos de fabricacin de los fallos de diseo. Este comportamiento es tpico del periodo de Mortalidad Infantil.

Ejercicio 3

Supngase que 50 lmparas se someten a una prueba de vida sin reemplazo que se termina cuando se han fundido 10 de ellas. Los datos (en horas) estn en la variable uni50 y el indicador de las lmparas fundidas( 0), o no (1) est en codiuni. Estas variables se encuentran en el fichero confia.sf.a) Comprobar si puede aceptarse que los datos siguen una distribucin exponencial. Si suponemos que la distribucin es exponencial calcular una estimacin para la vida media y para la tasa de fallo.

b) Calcular una estimacin para los parmetros de forma y de escala de la distribucin, si se supone que sigue el modelo de Weibull.

Solucin al apartado 3.a

En el men principal seleccionamos:

Describe (Distribution (Distribution Fitting (Censored Data)

En este caso el ensayo se termina al dcimo fallo. Los datos estn censurados (censored data) por el nmero de fallos (10 fallos). Seleccionamos la variable uni50 para el campo data. En el campo censoring introducimos codiuni, que indica los elementos fundidos o no.

Tras seleccionar OK, en Analysis Options introducimos la distribucin exponencial. El primer panel nos da para la media el valor 4341 horas. Por tanto una estimacin para la tasa de fallo es 1/4341 = 0.00023 fallos/horas

En cuanto a los tests de ajuste se obtienen los resultados siguientes.

Goodness-of-Fit Tests for uni50

Chi-Square Test

----------------------------------------------------------------------------

Lower Upper Observed Expected

Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square

----------------------------------------------------------------------------

at or below 669.168 7 7.14 0.00

above 669.168 43 42.86 0.00

----------------------------------------------------------------------------

Insufficient data to conduct Chi-Square test.

Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0.0149786

Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0.0438154

Estimated overall statistic DN = 0.0438154

Approximate P-Value = 0.999979

EDF Statistic Value Modified Form P-Value

---------------------------------------------------------------------

Kolmogorov-Smirnov D 0.0438154 0.294705 >=0.10*

---------------------------------------------------------------------

*Indicates that the P-Value has been compared to tables of critical values

specially constructed for fitting the currently selected distribution.

Other P-values are based on general tables and may be very conservative.

Tabla 44 Se nos indica que no hay suficientes datos para el test chi-cuadrado. El test de Kolmogorov muestra un buen ajuste. (P-Value = 0.999979)Solucin al apartado 3.bAparte de repetir el procedimiento anterior, seleccionando ahora en Anlisis options la distribucin de Weibull entre las que se nos ofrecen, tambin podemos optar en este caso por seleccionar sucesivamente desde el men principalDescribe ( Life Data (Weibull Analysis

Se introducen los datos de la misma forma que en el apartado anterior. Se obtiene para el parmetro de forma el valor 1.27244 y para el parmetro de escala el valor 3106.77. El valor del P-value es ahora incluso mejor que el anterior.

Ejercicio 4

Representar la funcin de densidad, de distribucin, de probabilidad y de tasa de fallo de la distribucin de Weibull con parmetro de forma 2 y de escala 1.

Solucin ejercicio 4

Se puede realizar todas estas graficas desde

Plot ( Probability Distribution

Seleccionar la distribucin de Weibull introduciendo los parmetros de forma (2) y de escala (1) en la seccin analysis options del panel principal. Para representar las cuatro funciones pedidas seleccionar despus de pulsar el icono Graphicals Options los botones de correspondientes a funcin densidad (Density/Mass Function), funcin de distribucin (CDF), funcin de fiabilidad (Survivor Function) y tasa de fallo (Hazard Function)

Funcin densidad

Funcin de Distribucin

Funcin de fiabilidad

Funcin Tasa de fallo

Figura 70Ejercicio 5

Con el objeto de probar la eficacia del producto 6-MP para curar una enfermedad grave que afecta a algunos recin nacidos se ha realizado la siguiente experiencia con 42 bebs que padecan esta enfermedad: A 21 de ellos se les ha administrado dicho producto y a otros 21 se les ha administrado un placebo. Se ha observado su tiempo de vida en aos desde la administracin de estos productos. Estos tiempos se recogen en la variable time del fichero censored.sf3. No obstante a partir de cierto momento se ha perdido el rastro de algunos de elloss. En este caso el tiempo registrado es el periodo de observacin real. El producto administrado a cada individuo se ha registrado en la variable drugs del citado fichero. En la variable censored aparece un 0 si se ha detectado la muerte de la persona y un 1 si por el momento no se ha muerto o se le ha perdido el rastro.

a) Ajustar los datos de tiempo de vida por medio de sendas distribuciones Weibull. Representar ambas distribuciones incluyendo sus histogramas de frecuencia.

b) Usando las funciones ajustadas hallar la probabilidad de que uno de estos individuos sobreviva ms de 20 aos si se le administra el medicamento. dem si se le administra el placebo.

c) Representa ambas funciones ajustadas y indica cual de los procedimientos es mejor

Solucin del apartado 5.a

Tras abrir el fichero censored.sf3, seleccionamos sucesivamente en el men

Describe (Life Data (Weibull Analysis

Los datos se suministran en la forma empleada en la ventana mostrada en la Figura 71.

Figura 71La salida del programa muestra que los parmetros de forma y escala para el primer mtodo son respectivamente 1.50716 y 32.3886 para el primer sistema y 1.3705, 9.48214 para el segundo.

En las grficas de las Figura 73 y Figura 74 mostramos las representaciones de las funciones de densidad ajustadas por las distribuciones de Weibull y los histogramas correspondientes a los tiempos de vida obtenidos por cada uno de los productos administrados.

Para obtener la grfica que corresponde al primer caso (se administr el medicamento) se pulsa el botn derecho encima de la grfica de la funcin densidad, que aparece por defecto y se selecciona Pane Options. Deshabilitando la opcin Log Scale for X Axis, tal como se muestra en la siguiente ventana se consigue que el eje horizontal aparezca con la escala habitual.

Figura 72 La Figura 73 corresponde al tiempo de vida de los pacientes tratados con el medicamento de prueba.

Figura 73Para obtener la representacin de la funcin densidad y el histograma de los tiempos de vida cuando se usa el placebo seguiremos los pasos anteriores, pero introduciremos en el campo Group number un 2 (segundo producto). Obtendremos la grfica de la Figura 74. Todos los datos se han observado hasta su muerte, por eso no aparecen datos censurados en este caso (Comprobar que en este caso todos los datos tienen un 0 en la variable censored.

Figura 74Solucin del apartado 5.b

Seleccionamos sucesivamente

Describe (Distributions (Probability Distributions

Introducimos ambas distribuciones por medio de Analysis Options. Los datos se suministran tal como aparece en la ventana. de la Figura 75

Figura 75En Pane options del panel de Cumulative distributions introducimos el valor 20. Se obtiene que la probabilidad de durar ms de 20 unidades de tiempo es 0.616579 para los elementos fabricados con el primer procedimiento y 0.0619724 para los fabricados con el segundo.

Solucin del apartado 5.c

Usando Graphical Options y seleccionando Density Function obtenemos la grfica de la Figura 76 que representa simultneamente ambas funciones de Weibull.

Figura 76Se observa que el primer procedimiento (curva menos picuda) registra mayores tiempos de vida. El intervalo de variacin del tiempo hasta el fallo est aproximadamente entre 0 y 100. En cambio el intervalo de tiempo para el segundo est entre 0 y 30. Se puede concluir que el medicamento mejora la esperanza de vida de los afectados por la enfermedad..

Tambin puede observarse este hecho comparando las grficas de las funciones de Fiabilidad que estn representadas en la grfica de la Figura 77. Por ejemplo observando las curvas se detecta que viven ms de 20 aos aproximadamente el 60% de los tratados con el medicamento. En cambio entre los tratados con el placebo solo ms o menos un 6% supera los 20 aos. Indica ahora cuntos superaran los 30 aos en cada uno de los dos grupos.

Figura 77Ejercicio 6

Se ha realizado una prueba de vida con reposicin. La variable vida del fichero Confia.sf contiene los tiempos de funcionamiento de 50 elementos que se han observado hasta el fallo sptimo.

Hallar una estimacin para la vida media de estos elementos y un intervalo de confianza bilateral para la vida media al 90% suponiendo que la distribucin del tiempo hasta que se produce el fallo es exponencial.

Solucin del ejercicio 6

Observando la variable vida se deduce que el sptimo elemento ha durado 715. Como el ensayo es con reposicin la vida media es

=5107.1

Es posible calcular los intervalos de confianza usando la expresin para este intervalo:

Necesitamos calcular los valores de chi-cuadrado de los denominadores. Seleccionamos en el men:

El camino que hay que seguir es el siguiente:

Describe (Distributions ( Probability DistributionSeleccionamos la distribucin chi_cuadrado, en analysis options introducimos los grados de libertad . En este caso tendremos que usar la funcin inversa de Chi-cuadrado que se selecciona pulsando el icono amarillo (Tabular Options) y dentro de este Inverse CDF. Para dar los valores de la probabilidad (0.95 y 0.05) entramos en la opcin Pane Options del ltimo panel obtenido.

Se obtiene el resultado que se muestra a continuacin:

Inverse CDF

-----------

Distribution: Chi-Square

CDF Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5

0.95 23.6848

0.05 6.57064

Por tanto el intervalo de confianza obtenido es

= = (3018.1, 10872.8)

_1068724950.bin

_1068752202.bin

_1068761761.unknown

_1068999800.unknown

_1096138902.unknown

_1068756983.bin

_1068725306.bin

_1068752155.bin

_1068724974.bin

_1068720186.bin

_1068724932.bin

_1068718494.bin