Preparado por: Claudio Urrutia Rojas INTERÉS COMPUESTO Preparado por: Claudio Urrutia Rojas Para...

Preparado por: Claudio Urrutia Rojas

INTERÉS COMPUESTO

Preparado por: Claudio Urrutia RojasPara uso exclusivo de estudiantes de la UNED

MATEMATICA FINANCIERACódigo: 413

Este es un material de apoyo que ha sido elaborado para presentar en forma más gráfica el concepto, pero no sustituye el material sugerido para el curso


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Supongamos que invierto ¢10.000 a una tasa del 20% anual, durante 3 años

MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO

Monto que resulta, en una fecha futura, de adicionar los intereses generados (a una tasa de interés) al capital invertido, en un plazo determinado, donde los intereses que se van generando también ganan intereses

AÑO 0 1 2 3

Si invierto hoy,cuanto tendrémás adelante?

?VALOR ACTUAL OVALOR PRESENTE

VALOR FUTURO




10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) 2.000 2.000 2.000 = 6.000 (2.000 x 0,20) 400 = 400 (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) 400 400 = 800 (400 x 0,20)

80 = 80 10.000 17.280

AÑO 0 1 2 3

Interes

Capital


10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) 2.000 2.000 2.000 = 6.000 (2.000 x 0,20) 400 = 400 (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) 400 400 = 800 (400 x 0,20)

80 = 80 10.000 17.280

AÑO 0 1 2 3

El Valor que se acumula en el futuro, corresponde al capital (Valor Actual), más los intereses de cada periodo, más los intereses de los intereses, que se pueden expresar en la siguiente fórmula:

VF = VA (1 + i) n

Donde VF = Valor Futuro o Monto total acumulado con interesesVA = Capital o Valor Actual del monto invertidoi = Tasa de Interésn = Número de periodos

Interes

Capital


INTERÉS COMPUESTO


10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) 2.000 2.000 2.000 = 6.000 (2.000 x 0,20) 400 = 400 (2.000 x 0,20) (2.000 x 0,20) 400 400 = 800 (400 x 0,20)

80 = 80 10.000 17.280

En este Ejemplo, un Capital de ¢10.000, depositado durante 3 años al 20% anual capitalizable cada año, aplicando la Fórmula tendría el siguiente resultado:

VF = VA (1 + i) n

= 10.000 (1 + 0,20) 3

= 17.280

En este caso como el interés es anual y capitalizable anualmente, se aplica normalmente en la formula. Pero si la capitalización es con otra periodicidad, debe trabajarse con el número de periodos totales de capitalización y con la tasa equivalente para ese periodo.

AÑO 0 1 2 3

Interes

Capital


INTERÉS COMPUESTO




Ejemplo 1: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢15.000, durante 3 años al 22% anual, capitalizable trimestralmente:

VF = VA (1 + i) n = 15.000 (1 + 0,055)

12 = 28.518,11

Nota: - La tasa de interés anual de 22%, dividida entre 4 trimestres, es una tasa trimestral de 5,5%- El número de periodos de 3 años, expresado en trimestres corresponde a 12 trimestres

Ejemplo 2: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢24.000, durante 2,5 años al 18% anual, capitalizable mensualmente:

VF = VA (1 + i) n = 24.000 (1 + 0,015)

30 = 37.513,93

Nota: - La tasa de interés anual de 18%, dividida entre 12 meses, es una tasa mensual de 1,5%- El número de periodos de 2,5 años, expresado en meses corresponde a 30 meses


Ejemplo 3: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢10.000, durante 2 años al 18% anual, capitalizable semestralmente:

VF = VA (1 + i) n = 10.000 (1 + 0,09)

4 = 14.115,82

Nota: - La tasa de interés anual de 18%, dividida entre 2 semestres, es una tasa semestral de 9%- El número de periodos de 2 años, expresado en semestres corresponde a 8 semestres

También se puede expresar así: VF = 10.000 (1 + 0,18/2)(2 x 2) = 14.115,82

AÑO 0 1 2

10.000 900 900 900 900

81

81 81

7,29

81 81 81

7,29

7,29 7,29

0,66

10.000

Semestre 0 1 2 3 4

Intereses4.115,82

+

Capital 10.00014.115,82


INTERÉS COMPUESTO


AÑO 0 1 2 3

20.000(20.000 / 1,,20)

16.667 (16.667 / 1,,20)

13.889 (13.889 / 1,,20) 11.574

El Valor Presente, corresponde al Valor Futuro, descontado a una tasa de interés, por los periodos correspondientes. Su formula se deduce de la fórmula de Valor acumulado o futuro y se expresa así: : VF

VA = ------------- ó también VA = VF (1 + i) - n

(1 + i) n

INTERÉS COMPUESTOVALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL

El valor presente o actual de un monto que vence o se dispondrá en una fecha futura, es aquel capital que a una tasa de interés o rendimiento compuesto, en un plazo determinado, alcanzará el valor especificado en la fecha futura.

VA = VF / (1 + i) n = 20.000 / (1 + 0,20)

3 = 11.574




Ejemplo 1: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢25.000 depositados hoy, se tripliquen, si la tasa de interés es de 20% anual?

VF = VA (1 + i) n

75.000 = 25.000 (1 + 0,20) n

(1,20) n = 75.000 / 25.000

n log 1,20 = log 3 0,07918 n = 0,4771213

n = 0,4771213 / 0,07918 = 6,0256 años

Es decir, aprox. 6 años, o más exacto serían 6 años y 9 días

(Este calculo se realiza, tomando en cuenta que son 6 años completos, más 0,0256 años que multiplicado por 360 días, equivale a 9 días).

Como tasa de interés es anual, el tiempo resultante está expresado en años.

Para despejar un exponente se aplica logaritmo y el expo-nente pasa a multilplicar al logaritmo


Ejemplo 2: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢12.000 depositados hoy, se transformen en ¢32.000, si la tasa de interés anual es de j(4) = 16%?

VF = VA (1 + i) n

32.000 = 12.000 (1 + 0,04) n

(1,04) n = 32.000 / 12.000

n log 1,04 = log 2,6667 0,017033 n = 0,425969

n = 0,425969 / 0,017033 = 25,0079 trimestres

Es decir, aprox. 6 años y 3 meses

(Este calculo se realiza, dividiendo 25,0079 entre 4 trimestres por año, lo que dá 6,25 años, siendo los 0,25 años equivalentes a 3 meses)

La tasa de interés se capitaliza trimestralmente por lo que debe usarse tasa trimestral y el tiempo resultante está expresado en trimestres.

PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS

INTERÉS COMPUESTO


Ejemplo 3: Si ¢30.000 depositados hoy, se transformen en ¢45.000 en 3 años, qué tasa de interés anual está reconociendo el banco?

VF = VA (1 + i) n

45.000 = 30.000 (1 + i) 3

(1 + i) 3 = 45.000 / 30.000

(1 + i) = 3 1,5 = ( 1,5 ) 1/3

i = 1,144714 - 1 = 0,1447 = 14,47% anual

Demostrando este caso:

VF = VA (1 + i) n

= 30.000 (1 + 0,1447) 3

= 44.998,32 (La diferencia con los ¢45.000 es producto del redondeo en la tasa de interés)

La tasa de interés es anual porque los periodos estan expresados en años

PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS

INTERÉS COMPUESTO


TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

INTERÉS COMPUESTO

Tasa Nominal (J): Tasa de interés que no considera periodos de capitalización dentro del periodo al cual se refiere la tasa. Ejemplo: 12% anual.

Tasa Efectiva (i): Rendimiento porcentual real en un periodo de tiempo determinado.

AÑO 0 1

Capital 100Intereses 10 10

1

Sem 0 1 2

AÑO 0 1

Capital 100Intereses 20

PARA UNA TASA NOMINAL DEL 20%:

Si la capitalización es anual, gana el 20% anual y la tasa efectiva es del 20%(Gana ¢20 por cada ¢100 de inversión)

Si la capitalización en semestral, gana el 10% semestral y la tasa efectiva es del 21%(Gana ¢21 por cada ¢100 de inversión)

100 20

120

100

21

121

A. CAPITALIZACIÓN ANUAL

B. CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL


TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

INTERÉS COMPUESTO

AÑO 0 1

Capital 100Intereses 5 5 5 5

0,25 0,25 0,25 0,0125

0,25 0,25 0,25 0,0125 0,0125 0,0125 0,000625

Trim 0 1 2 3 4

100

21,55

121,55

Si la capitalización en trimestral, gana el 5% trimestral y la tasa efectiva es del 21,55%(Gana ¢21,55 por cada ¢100 de inversión)

C. CAPITALIZACIÓN TRIMESTRAL

LOS CASOS ANTERIORES

A: Anual i(a) = (1 + 0,20/1 ) 1 –1 = 0,20 = 20,00%

B: Semestral i(a) = (1 + 0,20/2 ) 2 –1 = 0,21 = 21,00%

C. Trimestral i(a) = (1 + 0,20/4 ) 4 –1 = 0,2155 = 21,55%

D. Mensual i(a) = (1 + 0,20/12 )12 –1= 0,2194 = 21,94%

i(a) = (1 + j /m ) m –1

Donde: i(a): Interés efectivo anual j : Tasa nominal anual m : Número periodos capitalización en el año

FÓRMULA PARA CONVERTIRTASA NOMINAL EN TASA EFECTIVA

Según el periodo de capitalización, se expresan así:

J(2) : Corresponde a capitalización semestralJ(4) : Corresponde a capitalización trimestralJ(12): Corresponde a capitalización mensual

Ejemplos: J(4)=12%, es 12% anual, capitalizable 4 veces al año, es decir trimestralmenteJ(2)=17%, es 17% anual, capitalizable 2 veces al año, es decir semestralmente

FORMA DE EXPRESAR LAS TASAS




Veamos un Ejemplo:

Jeremías debe cancelar las siguientes sumas: ¢1.200.000 dentro de 1 año, ¢2.000.000 dentro de 3 años y ¢1.750.000 dentro de 4 años. Desea cambiar la forma de pago, para realizar 2 pagos iguales: el primero de ellos dentro de 2 años y el segundo dentro de 3 años. De cuanto será cada pago, si la tasa de interés es del 12% anual?

Lo que debe pagar debe ser igual (equivalente) a lo que quiere pagar. Como los montos que debe y los que desea pagar están en diferentes fechas, debe expresarse todas las cifras a una misma fecha (fecha focal) para hacer la comparación (Se puede escoger año 3 como fecha focal).

AÑO 0 1 2 3 4Debe Pagar 1.200 2.000 1.750

Quiere Pagar X X


AÑO 0 1 2 3 41.200 2.000

X X

1.750

Comprobación:

Si traemos todos los montos al Año “0“, lo adeudado y lo que se desa pagar, son iguales:

1.200.000 2.000.000 1.750.000 (1 + 0,12) (1 + 0,12) 3 (1 + 0,12) 4

2.390.462,26 2.390.462,26 (1 + 0,12) 2 (1 + 0,12) 3

VA (Adeudado) = + + = 3.607.145,71

VA (A Pagar) = + = 3.607.145,71

Todos los montos que debe pagar, llevados al año 3 (Fecha Focal), los hacemos iguales a los montos que desea pagar, también llevados al año 3:

1.200.000 x (1 + 0,12) 2 + 2.000.000 + = X x (1 + 0,12) + X

1.505.280 + 2.000.000 + 1.562.500 = 2,12 X

X = 2.390.462,26

Es decir, cada uno de los pagos que deberá hacer es de ¢2.390.462,26, que resultan equivalentes a los montos adeudados.

1.750.000(1 + 0,12)

ECUACIONES EQUIVALENTES

INTERÉS COMPUESTO




En este caso, debe establecerse cuales son los montos que debe pagar en cada una de estas obligaciones y luego proceder a llevar todos los montos a una misma fecha para realizar la equivalencia.

AÑO 0 1 2 3 4 5 6

X 2 X

3.000(1+0,04)82.000(1+0,06)10

1.500(1+0,035)24

Pagos que debe realizar:- En Año 2: VF = 3.000(1+0,04)8 = 4.105,71- En Año 5: VF = 2.000(1+0,06)10 = 3.581,70- En Año 6: VF = 1.500(1+0,035)24 = 3.424,99


ECUACIONES EQUIVALENTES

INTERÉS COMPUESTO

AÑO 0 1 2 3 4 5 6

X 2 XDebe Pagar 4.105,71 3.581,70 3.424,99

Desea Pagar X 2X

Luego hacemos la igualdad entre lo que debe pagar y lo que quiere pagar, pero todos los montos expresados en valores del año 5 (Fecha Focal).

4.105,71 (1+0,04) 12 + 3.581,70 + = X (1+0,04) 16 + 2 X3.424,99 4.105,71 (1+0,04) 12 + 3.581,70 + = X (1+0,04) 16 + 2 X

6.573,37 + 3.581,70 + 2.927,70 = 1,87298 X + 2 X

13.082,77 = 3,87298 X

X = 3.377,96

Los pagos que desea realizar serían de ¢3.377,96 a los 12 meses y de ¢6.755,92 a los 5 años.

3.424,99(1+0,04) 4

Llevar todo al año 5




2. Valor Futuro o Monto Acumulado:

Juan realizará un depósito de ¢1.200.000 en un banco que le pagará un interés del 16% anual, capitalizable trimestralmente. Que monto tendrá acumulado dentro de 2 años?

Mediante Fórmula:

VF = VA x (1 + i) n = 1.200.000 x (1 + 0,04)

8 = 1.642.283

Tasa de interés y plazo expresados

en términos trimestrales




4. Periodos a transcurrir:

Cuantos años deben transcurrir para que un depósito de ¢1.200.000 acumule una cantidad de ¢ 1.800.000, si el interés que paga el banco es 15% anual, capitalizable trimestralmente?

VF = VA x (1 + i) n

1.800.000 = 1.200.000 x (1 + 0,0375) n

(1,0375) n = 1.800.000 / 1.200.000

n log 1,0375 = log 1,5

n = 0,1761 / 0,015988

n = 11,01Periodos son trimestres. En años

son 11/4 = 2,75 Años

Tasa Interes expresada en términos trimestrales


INTERÉS COMPUESTOEJERCICIOS

VF = VA x (1 + i) n

= 2.500.000 x (1 + 0,09) 7

= 4.570.098

5. Periodos a transcurrir:

Si el banco paga una tasa de interés de 18%, capitalizable semestralmente. Cuanto tiempo deberá transcurrir para que un depósito de ¢2.500.000 hecho hoy y otro de ¢ 5.000.000 que se hará dentro de tres años y medio, se transformen en ¢49.200.000?

El depósito de ¢2.500.000 acumulará al momento de realizar el otro depósitoTasa Interes y periodos en

términos semestrales

Al realizar el nuevo depósito de ¢5.000.000 se suma a los ¢4.570.098 ya acumulados, con lo que la nueva suma ¢9.570.098, con la cual se debe acumular ¢49.200.000, que para determinar los periodos a transcurrir se realiza el siguiente cálculo:

VF = VA x (1 + i) n

49.200.000= 9.570.098 x (1 + 0,09) n

(1,09) n = 49.200.000 / 9.570.098

n log 1,09 = log 5,14101 n = 0,71105 / 0,03743 n = 18,9968 = 19

Periodos son semestres. En años son 19/2 = 9,5 Años

Tasa Interes expresa en términos semestrales

El tiempo a transcurrir es 13 años (3,5 en que se mantiene solo el primer depósito, más 9,5 años que al realizar el segundo depósito, requiere para acumular la suma requerida


VF = VA x (1 + i) n

= 350.000 x (1 + 0,03) 24

= 711.477,94

6. Monto Acumulado y Tasa de rendimiento:

Una persona deposita ¢350.000 en un banco que paga un interés de 36%, con capitalización mensual. Retira ¢250 000 al final del segundo año y ¢380 000 al final del tercer año.a) Cuánto tendrá acumulado al final del cuarto año?b) Qué cantidad adicional hubiera acumulado si no hubiera hecho ningun retiro?

El depósito de ¢350.000 acumulará al final del segundo año:Tasa Interes y periodos en

términos mensuales

Al retirar ¢250.000 le quedarán ¢461.477,94, que acumularán al final del tercer año:

VF = 461.477,94 x (1 + 0,03) 12

= 657.957,20

VF = 277.957,20 x (1 + 0,03) 12

= 396.300,50

Al retirar ¢380.000 le quedarán ¢277.957,20, que acumularán al final del cuarto año:

Si no hubiese efectuado ningun retiro, hubiera acumulado al final del cuarto año:

VF = 350.000 x (1 + 0,03) 48

= 1.446.288,16

a)

CANTIDAD ADICIONAL¢1.049.987,66

b)La suma adicional sería ¢1.446.288,16 que hubiera acumulado, menos ¢396.300,50 que acumuló

MONTO ACUMULADO AL CUARTO AÑO

¢396.300,50





VF = VA x (1 + i) n

= 1.000.000 x (1 + 0,13) 12 = 4.334.523,10

8. Comparación Interés Simple y Compuesto:

Cual de las dos opciones es mejor para invertir ¢1.000.000 durante 6 años: al 26% capitalizable semestralmente o al 52% pero a interés simple?

VF = VA x (1 + i x t)= 1.000.000 x (1 + 0,52 x 6) = 4.120.000,00

Es mejor la opción a interés compuesto

pues el monto acumulado es mayor

A interés compuesto, 26% capitalizable semestralmente:

A interés simple, 52% anual:


VF = VA x (1 + i) n

Los primeros 2 años: VF = 10.000.000 x (1 + 0,06)

4 = 12.624.769,60

Los segundos 2 años VF = 12.624.769,60 x (1 + 0,15)

2 = 16.696.257,80

Los ultimos 2 años: VF = 16.696.257,80 x (1 + 0,01)24 = 21.199.817,03

9. Valor Futuro y Tasa de Interés:

Si se realiza una inversión de ¢10.000.000, por la cual el banco paga el 12% capitalizable semestralmente, durante los 2 primeros años. En los 2 años siguientes sube la tasa de interés al 15% pero la capitalización es anual y luego durante otros 2 años, la tasa nuevamente es del 12%, pero con capitalización mensual. a) Cuanto acumuló al cabo de los 6 años?b) Cual fue la tasa efectiva de interés anual que ganó en este periodo?

Tasa Interes y periodos según periodos de

capitalización


VF = VA x (1 + i) n

21.199.817,03 = 10.000.000 x (1 + i) 6

(1 + i) 6 = 21.199.817,03 /10.000.000

1 + i = 6 2,1199817

i = 1,13341429 - 1

i = 13,341429 = 13,34%

El monto acumulado es de ¢21.199.817,03

La Tasa de Interés efectiva anual fue

de 13,34%


VA = VF / (1 + i) n

Si se suma todos los valores actuales para la compra a crédito, se tiene: VA = 5.000.000 + 5.000.000 / (1 + 0,06) 4 + 5.000.000 / (1 + 0,06) 8

VA = 12.097.530

No fue la mejor elección: Usar el crédito representaba menor VA que el pago de contado (En VA hubiese pagado ¢402.470 menos)

10. Valor Presente o Valor Actual:

Un terreno en la costa puede ser adquirido ¢12.500.000 en efectivo o mediante un pago de ¢5.000.000 el día de la compra y 2 pagos de ¢5.000.000 cada uno, a los 12 y 24 meses, respectivamente. Rosa retira el dinero de una cuenta en el banco, que le pagaba el 24% de interés, capitalizable trimestralmente y adquiere el terreno de contado. Demuestre si fue o nó la mejor elección la compra de contado.


12.500.000- 5.000.000 7.500.000 x (1 + 0,06)

4 = 9.468.577 -5.000.000 4.468.577 x (1 + 0,06)

4 = 5.641.476 -5.000.000

Luego del segundo pago tendría en el Banco: 641.476

Lo que tendría en el Banco si hubiese usado el crédito:

PRIMA PAGO MES 12 PAGO MES 24 (Todos en VA)

Retira 5.000.000 (Pago Prima)

Saldo gana interés 4 trimestres

Retira 5.000.000 (Pago Mes 12)

Saldo gana interés 4 trimestres

Retira 5.000.000 (Pago Mes 24)

Saldo luego de pagar todo

NOTA: Diferencia de ¢402.470 en “Año 0” es equivalente a los ¢641.476 en “Año 2”. Compruébelo


2.000.000 x (1 + 0,12) 2 + 2.500.000 + 4.000.000 / (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) + X

2.508.800 + 2.500.000 + 3.571.429 = 1,12 X + X

8.580.229 = 2,12 X

X = 4.047.278

2.000.000 x (1 + 0,12) 2 + 2.500.000 + 4.000.000 / (1 + 0,12) = X x (1 + 0,12) + X

2.508.800 + 2.500.000 + 3.571.429 = 1,12 X + X

8.580.229 = 2,12 X

X = 4.047.278

11. Ecuaciones Equivalentes (Pagos sin Intereses):

Luis tiene con Randall las siguientes deudas: ¢2.000.000 a 6 meses, ¢2.500.000 a 18 meses y ¢4.000.000 a 2 años. Desea pagar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 1 y 1 y medio años, respectivamehte. De cuanto debe ser cada pago, si el rendimiento de mercado es 24%, capitalizable semestralmente?

AÑO 0 1 2

Debe Pagar 2.000 2.500 4.000

Desea Pagar X X

Se hace una igualdad de lo que debe pagar con lo que desea pagar, pero todos los valores expresados a una misma fecha (Fecha Focal: en este caso sirve Sem 3, ya que coinciden 2 pagos)

Los 2 pagos que desea realizar serían de ¢4.047,278 cada uno (en el Sem 2 y en el Sem 3

Semestre 0 1 2 3 4

Llevar de Sem1 al 3, osea2 Semestres

Llevar de Sem 2 al 3, osea1 Semestre

Está en Sem 3.Se mantiene

igual

Traer de Sem4 al 3, osea1 Semestre

Está en Sem 3.Se mantiene

igual





Primer Pago: 2.500.000 x (1 + 0,03) 2 = 2.652.250Segundo Pago: 5.000.000 x (1 + 0,08) 2 = 5.832.000Tercer Pago: 3.000.000 x (1 + 0,07) 4 = 3.932.388

Debe Pagar 2.652 5.832 3.932Desea Pagar X X

Trim. 0 1 2 3 4 5 6 7 8


2.652.650 x (1 + 0,03) 4 + 5.832.000 x (1 + 0,03) 2 + 3.932.388 / (1 + 0,03) 2 = X x (1 + 0,03) + X

2.985.131 + 6.187.169 + 4.171.870 = 1,03 X + X

13.344.170 = 2,03 X

X = 6.573.483

2.652.650 x (1 + 0,03) 4 + 5.832.000 x (1 + 0,03) 2 + 3.932.388 / (1 + 0,03) 2 = X x (1 + 0,03) + X

2.985.131 + 6.187.169 + 3.706.653 = 1,03 X + X

12.878.953 = 2,03 X

X = 6.344.312

12. Ecuaciones Equivalentes: (Continuación)

Los 2 pagos que desea realizar serían de ¢6.344.312 cada uno (en el Sem 2 y en el Sem 3

Llevar de Trim2 al 6, osea4 Trimestres

Llevar de Trim 5 al 6, osea1 Trimestre

Llevar de Trim4 al 6, osea2 Trimestres

Traer de Trim8 al 6, osea2 Trimestrea

Está en Trim 6.Se mantiene

igual

b. Se hace la igualdad de lo que debe pagar con lo que desea pagar, pero todos los valores expresados a una misma fecha (Fecha Focal: en este caso se puede usar Trim,6)

Debe Pagar 2.652 5.832 3.932Desea Pagar X X

Trim. 0 1 2 3 4 5 6 7 8





14. Tasa Efectiva:

Determine cuál es la tasa efectiva anual, si la tasa nominal es de 18%, capitalizable trimestralmente.

Tasa Efectiva:

i(a) = (1 + j /m ) m –1 = (1 + 0,18 /4 ) 4 –1 = 0,192519 = 19,25%

No se divide entre periodos de capita-lización, porque la información dada ya se refiere a dicho periodo


muchas gracias . . .

Claudio Urrutia RojasUNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

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