Presentacion II Tautologias Contradicciones y Razonamientos Validos
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Tautologías, Contradicciones y
Razonamientos Válidos
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Recordemos
O Una expresión lógica es una tautología sies verdadera para todas lascombinaciones posibles en una tabla deverdad.
O Una expresión lógica es una contradicciónsi es falsa para todas las asignacionesposibles en una tabla de verdad.
O Una expresión lógica es una contingenciasi no es ni una tautología ni unacontradicción.
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Tautologías
Consideremos la expresión � �ʌ� vQ
Es esta expresión una tautología?Para demostrar eso utilizaremos la tabla de verdad.
P Q PʌQ ¬(PʌQ) ¬(PʌQ)v Q
0 0 0 1 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 1
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Vemos algunos Ejemplos
O Ley del medio Excluido
�v��
P ¬ PP v ¬
P0 1 1
1 0 1
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Idea Interesante
O Si A es una tautología que contiene a lavariable P, se puede crear una nuevaexpresión sustituyendo todas lasapariciones de P por una expresiónarbitraria.
O La expresión resultante será también unatautología
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Ejemplo
O Supongamos que tenemos la expresiónP ʌ Q
Tomemos como ejemplo la ley del medio excluidoEs decir
P v ¬ PDe lo expuesto en la idea anterior la expresión(P ʌ Q) v ¬(P ʌ Q) Será también una tautología.
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Probemos
P Q PʌQ¬(PʌQ
)(PʌQ) v ¬(PʌQ)
0 0 0 1 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 1
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Tautologías y Razonamientos Válidos
O Un argumento lógico es válido si la conclusiónse deduce lógicamente de las premisas.
O Si todas las premisas son verdaderas(ejemplo, la conjunción de todas las premisasproduce verdadero), entonces la conclusióndebe ser verdadera.
O Si la conjunción de las premisas es A y si laconclusión es C, entonces A → C debe serverdadera para todas las asignacionesposibles, esto es, debe ser una tautología.
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Ejemplo
Estudiemos el siguiente razonamientoPremisa 1: José estuvo en la iglesia a la hora indicada o José miente.Premisa 2: José no miente.Conclusión: José estuvo en la iglesia a la hora indicada.
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En la primera premisa existen dos proposiciones simples:P : José estuvo en la iglesia a la hora indicadaQ: José mienteEsa premisa en lenguaje de lógica proposicional la podemos escribir
P v Q
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Tomando como base lo anterior elrazonamiento completo lo podemos escribirde la siguiente manera según la lógicaproposicionalPremisa 1: P v QPremisa 2: ¬ QConclusión: P¿Es esta una forma de razonamiento válida?
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Según lo planteado esta es una forma derazonamiento valida, si la conjunción de laspremisas implicación la conclusión es unatautología.Es decir, si la expresión
((P v Q) ʌ ¬ Q)→ P
Es una tautología
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P Q P v Q ¬Q (P v Q) ʌ ¬Q ((P v Q) ʌ ¬Q ) → P
0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1
Por lo tanto al ser esto una tautología el razonamiento es valido.QED
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Ejercicio
Muestre utilizando la forma expuestaanteriormente, si el siguiente es unrazonamiento válido
Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta.Si no voy a la fiesta, no me divertiré.Entonces, si no me despierto no medivertiré.
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Contradicciones
O Una expresión lógica es una contradicciónsi esta produce falso para todas lascombinaciones posibles en la tabla deverdad.
O Por ejemploP ʌ ¬ P
P ¬ PP ʌ ¬
P0 1 01 0 0