MODELOS FINANCIEROS DE MULTIPLES PERIODOS

Cesar SuarezSebastian Arévalo Universidad de ciencias aplicadas y ambientales (U.D.C.A)Ingeniera comercial Investigación de operaciones

¿Cómo se puede usar la programación lineal para modelar problemas de administración de efectivo

de múltiples periodos?

La clave esta en la determinación de las relaciones existentes entre el efectivo en caja

durante diferentes periodos.

Por ejemplo: Finco Investment Corporation tiene que

determinar una estrategia de inversión para los próximos tres años. Actualmente (tiempo 0) dispone de 100,000 dólares para ser invertidos en las inversiones A,B,C,D y E. A continuación se dan los flujos de efectivo, asociados con la inversión de 1 dólar en cada inversión.

Flujo de efectivo en el tiempo (dólares) 0 1 2 3De la inv. A -1 +0,50 +1 0De la inv. B 0 -1 +0,50 +1De la inv. C -1 +1,2 0 0De la inv. D -1 0 0 +1,9De la inv. E 0 0 -1 +1,5

Nota: tiempo 0= tiempo actual; tiempo 1= después de 1 año; tiempo 2= después de 2 años; tiempo 3= después de 3 años ( todos a punto de abrir)

Por ejemplo la inversión de 1 dólar en la inversión B, requiere un desembolso de caja de 1 dólar en el tiempo 1, y rinde 50 centavos en el tiempo 2, y 1 dólar en el tiempo 3. Para asegurar una cartera diversificada para la compañía, Finco requiere que se invierta a lo mas 75,000 dólares en una sola inversión. Además de las inversiones A-E, Finco puede obtener intereses de 8% anuales al colocar el dinero sin invertir en fondos del mercado de valores. Se pueden volver a invertir inmediatamente los intereses obtenidos de las inversiones. Por ejemplo, se pueden invertir inmediatamente en la inversión B, el flujo de efectivo positivo recibido de la inversión C en el tiempo 1. Finco no puede pedir prestado fondos; por lo tanto el dinero disponible para la inversión en cualquier momento se limita al efectivo en caja. Formule un PL que maximice el efectivo en caja en el tiempo 3.

SOLUCIÓN

Finco tiene que decidir cuanto dinero hay que colocar en cada inversión (incluyendo los fondos del mercado de valores). De esta manera definimos las siguientes variables de decisión.

A= dólares invertidos en A B= dólares invertidos en B C= dólares invertidos en C D= dólares invertidos en D E= dólares invertidos en E

Finco quiere maximizar el efectivo en caja, en el tiempo 3, En el tiempo 3, el efectivo en caja de finco será la suma de todos los flujos en el tiempo 3. De la descripción de las inversiones A-E, y del hecho de que del tiempo 2 al tiempo 3,

El efectivo en caja en el tiempo 3=B+1,9D+1,5E+1,08

Así la función objetivo de Finco es:

En modelos financieros de múltiples periodos, se usa normalmente el siguiente tipo de restricciones para relacionar las variables de decisión de diferentes periodos:

Dinero disponible en el tiempo

Si consideramos los fondos del mercado de valores como inversiones, vemos que

Ya que se disponen de las inversiones A,C,D y en el tiempo 0, y de 100,000 dólares para realizar las inversiones, se convierte en lo siguiente, para el tiempo 0:

En el tiempo 1, se dispone de 0.5A +1.2C +1,08 para invertir, y están disponibles las inversiones B y . Entonces, para , se convierte en

0,5A +1,2C +1,08= B+

En el tiempo 2, se dispone de A +0,5B+1,08Para invertir, y están disponibles las inversiones E y . Por lo tanto, para t= 2, se reduce a:

A+0,5B+1,08=E+

No hay que olvidar que se pueden colocar a lo mas 75,000 dólares en cualquiera de las inversiones A-E. Para tomar esto en cuenta, añadimos las restricciones:

B

E

Al combinar () y () – (E) con las restricciones de signo (las variables 0), obtenemos el PL siguiente:

s.a 0,5A +1,2C +1,08B+A +0,5B +1,08E+

B

EA,B,C,D,E,,

Método Simplex Dos fasesMax z = 1B + 1,9D + 1,5E + 1,08s.a

(1) Restriccion 1A + 1C + 1D + 1 = 100000(2) Restriccion 0,5A + 1,2C + 1,08S0 = B +(3) Restriccion 1A + 0,5B + 1,08S1 = E +

(4) Restricción 1A <= 75000

(5) Restricción 1B <= 75000

(6) Restricción 1C <= 75000

(7) Restriccion 1D <= 75000

(8) Restriccion 1E <= 75000

A B C D E >= 0

PASO A PASO

Paso 1 Modifique las restricciones de tal manera que el segundo miembro o lado derecho de cada una sea no negativo. Para lograrlo, se multiplica cada restricción con

un segundo miembro negativo por -1

Paso 1'Identifique cada restricción que ahora es (después del paso 1) una restricción = o >=. En el paso 3 se suma una variable artificial a cada una de estas restricciones.

Paso 2

Convierta cada restricción de desigualdad en la forma estándar. Si la restricción i es una restricción <= se suma entonces una variable de holgura Si. Si la restricción i es una restricción >=, se resta una variable de exceso e1.

(4) Restricción 1A + 75000(5) Restriccion 1B + 75000(6) Restriccion 1C + 75000(7) Restriccion 1D + 75000(8) Restriccion 1E + 75000

Paso 3Si (después de haber terminado el paso 1) la restriccion i es una restriccion >= o = sume una variable artificial . También sume la restricción de signo >= 0

1A + 1C + 1D + 1 + = 100000

0,5A - 1B + 1,2C + 1,08S0 - + = 0

1A + 0,5B - 1E + 1,08S1 - + = 0

Por ahora ignore la función objetivo del PL original. Mientras, resuelva un PL cuya función objetivo es min w' = (suma de todas las variables artificiales) A esta parte se le denomina Pl de la fase 1. El hecho de resolver el PL de la fase 1 forzara a las variables artificiales a ser cero.

Como cada >= 0, al resolver el PL de la fase 1 dará como resultado uno de los tres casos siguientes: El valor optimo de w' es mayor que cero. En este caso, el PL original no tiene solución factible

El valor optimo de w' es igual a cero y ninguna variable artificial esta en la base optima de la fase 1. En este caso, se suprimen todas las columnas del arreglo optimo de la fase 1 que corresponden a las variables artificiales. Luego se combinan la funcion objetivo original y las restricciones del arreglo optimo de la fase 1. Así se obtiene el PL de la fase 2. La solución optima para el PL de la fase 2 es la solucion optima del PL original.

El valor optimo de w' es igual a cero y por lo menos una variable artificial esta en la base optima de la fase 1. En este caso se puede encontrar la solucion optima del PL original si al final de la fase 1 se eliminan, del arreglo optimo de la fase 1, todas las variables artificiales no básicas y cualquier variable del problema original que tenga coeficiente negativo en el renglón 0 del arreglo optimo de la fase 1

Paso 4Min w' = 1 a1 + 1 a2 + 1 a3w' -1 a1 - 1 a2 - 1 a3 = 0s.a(1) Restriccion 1 A + 1 C + 1 D + 1 S0 + 1 a1 = 100000(2) Restriccion 0,5 A - 1 B + 1,2 C + 1,08 S0 - 1 S1 + 1 a2 = 0(3) Restriccion 1 A + 0,5 B - 1 E + 1,08 S1 - 1 S2 + 1 a3 = 0(4) Restriccion 1 A + h1 <= 75000(5) Restriccion 1 B + h2 <= 75000(6) Restriccion 1 C + h3 <= 75000(7) Restriccion 1 D + h4 <= 75000(8) Restriccion 1 E + h5 <= 75000(9) Restriccion de signos A, B, C, D, E, S0, S1, S2, a1, a2, a3, h1, h2, h3, h4, h5 <= 0

Este conjunto de ecuaciones proporciona una sbf de inicio para lá fase 1 (a1 = 100000, a2 = 0, a3 = 0, h1, = 75000, h2 = 75000, h3 = 75000, h4 = 75000, h5 = 75000)

Antes de poder resolver la fase 1, se deben eliminar del renglón 0 a1, a2, a3. Para esto se suman los renglones que contengan dichas variables en esta caso renglón 1, 2 y 3 al renglón 0 para eliminar a1, a2, a3 del renglón 0:

Renglón 0: 1w' - 1a1 - 1

a2 - 1

a3 = 0

(+) Renglon 1: + 1A + 1C + 1D + 1S0 + 1a1 =

100000

(+) Renglon 2: + 0,5 A - 1B + 1,2C + 1,08S0 - 1S1 + 1

a2 = 0

(+) Renglón 3: + 1A + 0,5 B - 1E +1,0

8S1 - 1

S2 + 1

a3 = 0

(=)Nuevo renglon 0: 1w' + 2,5 A - 0,5 B + 2,2C + 1D - 1E + 2,08S0 +0,0

8S1 - 1

S2 =

100000

Fase 2

Como W' = 0 concluyo la fase 1, se encontró la solucion factible básica B=12500, E = 31250, A = 25000, h1 = 50000, h2 = 62500, h3 = 75000, D = 75000, h5 = 43500Ninguna variable artificial esta en la base de la fase 1. Por consiguiente, el problema es un ejemplo del caso 2. Ahora se suprimen las columnas de la variable artificial a1, a2 y a3 y se reintroduce la funcion objetivo original.

Max z = 1B + 1,9D + 1,5E + 1,08S2

Se iguala a 0

Z-1B - 1,9D - 1,5E - 1,08S2

Puesto que B, D, E y S2 están en la base optima de la fase 1, deben ser eliminadas del renglón 0 de la fase 2.

Renglon 0: 1Z - 1B - 1,9D - 1,5E - 1,08S2 = 0

(+) Renglon 1: + 1B - 0,7C - 0,58S0 + 1S1 - 0,5h4 = 12500

(+) Renglon 2: + 0,975C + 1,5E + 1,065S0 - 0,87S1 + 1,5

S2 - 1,875h4 = 46875

(+) Renglon 7: + 1,9D + 1,9h4 =14250

0

(=)Nuevo renglon 0: 1Z + 0,275C + 0,485S0 + 0,13S1 + 0,42

S2 - 0,475h4 =

201875

Solucion de forma simplex

Segunda fase

Z = 218500A = 60000B = 30000C = S0 = S1 = S2 = 0D = 40000E = 75000

encontramos como solución optima: Z=218,500, A=60,000, B=30,000, D=40,000,

E=75,000, C= = = =0. Así, Finco no tiene que invertir en fondos del mercado de valores. En el tiempo 0, Finco tiene que invertir 60,000 dólares en A y 40,000 dólares en D. Después, en el tiempo 1, hay que invertir los 30,000 dólares de intereses de la inversión A en B. finalmente, en el tiempo 2, hay que invertir los 60,000 dolares de réditos de A y los 15,000 dolares de réditos ( Renta de un capital) de B en E. En el tiempo 3, los 100,000 dolares de finco se habrán convertido en 218,500 dólares

La pregunta es: ¿ como ese planteamiento asegura que Finco nunca invierta mas dinero de lo que tenga en cualquier momento?

Esto se logra mediante el hecho de que cada variable tiene que ser no negativa.

Por ejemplo , es equivalente a 100,000-A-C-D 0, lo que asegura que se invertirá a lo mas 100,000 dolares en el tiempo 0.

GRACIAS