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Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones
lineales 2x2 a partir de la comprensión matemática y la
teoría apoe
Juan Pablo Osorio Pérez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de ciencias
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Medellín, Colombia
2021
Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones
lineales 2x2 a partir de la comprensión matemática y la
teoría APOE
Juan Pablo Osorio Pérez
Tesis de investigación presentada como requisito parcial para optar al título de: Magister en
Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
Luz Stella Mejía Aristizábal
Doctora en Educación
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de ciencias
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Medellín, Colombia
2021
Dedicatoria
A mi familia, esposa e hijo por su
acompañamiento, paciencia y apoyo
incondicional en cada uno de mis caminos.
IV Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la comprensión
matemática y la teoría apoe
Agradecimientos
A mi madre, Margot Alicia Pérez por heredarme el amor y compromiso hacia el estudio y
apoyarme durante toda mi carrera profesional y académica
A mi esposa, María Camila Rodríguez y mi hijo, Emanuel Osorio Rodríguez por su paciencia,
amor, comprensión y apoyo durante mi tiempo de estudio de la maestría.
A cada uno de mis compañeros del postgrado por los días en medio de risas e intercambio
de conocimientos.
A mi directora, Luz Stella Mejía por su apoyo, tiempo, paciencia y correcciones durante la
elaboración del trabajo de grado.
Muchas gracias a cada uno de ustedes.
V Resumen y abstract
Resumen
Este trabajo de grado tiene como propósito fortalecer la comprensión matemática de
los estudiantes, para ello se propone una estrategia didáctica que contribuya con el proceso
de enseñanza y aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir
del desarrollo de las estructuras mentales acción, proceso, objeto y esquema de la teoría
APOE de Dubinsky (1994). Para el diseño de dicha estrategia didáctica, fue necesario
realizar una investigación de corte cualitativo, en la que se utilizó como estrategia el análisis
documental, cuya intención fue indagar por estudios relacionados con la enseñanza de las
ecuaciones lineales y la teoría APOE. La revisión de las investigaciones posibilitó la reflexión,
análisis y síntesis sobre los resultados derivados de los diferentes trabajos. Finalmente, se
espera que la propuesta de intervención que se diseñó pueda aportar en la comprensión de
la temática mencionada y establezca una relación de esta con otras áreas del saber.
Palabras clave: Teoría APOE, sistemas de ecuaciones lineales 2x2, resolución de
problemas, estrategia didáctica.
Abstract
The purpose of the work reported on this paper is to strength the mathematical
understanding of students. According to this, it is proposed a didactic strategy that contribute
to the teaching and learning process of systems of linear equations with two unknowns by the
development of mental structures action, process, object and schema from the APOS theory
raised by Dubinsky (1994). To design the didactic strategy, it was necessary to carry out a
qualitative investigation through documentary analysis in order to research studies related
with linear equations and APOS theory. This bibliographic review enabled the reflection,
analysis and synthesis about the results derived from different works.
Ultimately, the designed intervention proposal aims to contribute to a better
understanding on the mentioned topic and incorporate it into different knowledge areas.
Keywords: APOE theory, 2x2 systems of linear equations, word problem solving,
didactic strategy.
VI Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la comprensión
matemática y la teoría apoe
Solving problems of systems of linear
equations 2x2 from mathematical understanding
and APOE theory
VII Contenido
Contenido
Agradecimientos .................................................................................................... IV
Resumen ................................................................................................................ V
Abstract .................................................................................................................. V
Lista de figuras ...................................................................................................... IX
Lista de tablas ........................................................................................................ X
Introducción .......................................................................................................... 11
CAPÍTULO I ......................................................................................................... 13
1. Planteamiento del problema .......................................................................... 13
1.1. Descripción del problema ........................................................................ 13
1.1.2. Formulación de la pregunta .............................................................. 14
1.1.3. Antecedentes .................................................................................... 15
1.2. Justificación ............................................................................................. 18
1.3. Objetivos ................................................................................................. 19
1.3.2. Objetivo general................................................................................ 20
1.3.3. Objetivos Específicos ....................................................................... 20
1.4. MARCO REFERENCIAL ......................................................................... 20
1.4.2. Referente teórico .............................................................................. 21
1.4.3. Referente disciplinar y/o conceptual ................................................. 24
1.4.4. Referente legal ................................................................................. 27
1.4.5. Referente espacial ............................................................................ 28
CAPITULO II. ....................................................................................................... 30
2. Diseño metodológico ..................................................................................... 30
2.1. Enfoque ................................................................................................... 30
2.2. Método .................................................................................................... 31
2.3. Instrumentos de recolección de información y análisis de información ... 32
2.4. Conformación del corpus ........................................................................ 34
2.5. Delimitación y alcance............................................................................. 36
CAPITULO III ....................................................................................................... 37
3. Revisión de literatura sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones
lineales y la teoría APOE ..................................................................................... 37
VIII Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
3.1. Enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales ............................ 38
3.2. Implementación de la teoría APOE en los procesos de enseñanza y
aprendizaje del concepto matemático ........................................................... 41
CAPITULO IV ....................................................................................................... 49
4. Propuesta de Enseñanza sobre los Sistemas de Ecuaciones lineales .......... 49
4.1. Sesión N°1 .............................................................................................. 54
4.2. Sesión N°2 .............................................................................................. 58
4.3. Sesión N°3 .............................................................................................. 64
4.4. Sesión N°4 .............................................................................................. 70
4.5 Sesión N°5 .............................................................................................. 72
CAPÍTULO V ........................................................................................................ 75
5. Conclusiones y recomendaciones ................................................................. 75
5.1. Conclusiones ....................................................................................... 75
5.2 Recomendaciones ............................................................................... 77
Referencias .......................................................................................................... 79
ANEXOS .............................................................................................................. 84
A. Rastreo bibliográfico ................................................................................... 84
IX Contenido
Lista de figuras
Figura 1. Estructuras y mecanismos mentales para la construcción de contenido
matemático .................................................................................................................... 42
Figura 2. Función lineal ................................................................................................... 54
Figura 3. Gráfico en GeoGebra ....................................................................................... 55
Figura 4. Ecuación de la recta en GeoGebra ................................................................... 56
Figura 5. Estimación carne molida ................................................................................... 56
Figura 6. Ingresando a Moodle ........................................................................................ 58
Figura 7. Inicio del curso SEL2X2 ................................................................................... 59
Figura 8. Referentes temáticos del curso SEL2X2 .......................................................... 59
Figura 9. Historia y contextualización SEL2X2 ................................................................ 60
Figura 10. Conceptualización sobre SEL2X2 .................................................................. 61
Figura 11. Métodos de solución SEL2X2 ......................................................................... 61
Figura 12. Intersección entre rectas ................................................................................ 64
Figura 13. Intersección entre rectas N°2 ......................................................................... 71
Figura 14. Intersección entre rectas N°3 ......................................................................... 71
X Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Lista de tablas
Tabla 1. Normograma...................................................................................................... 26
Tabla 2. Esquema conceptual ............................................ ¡Error! Marcador no definido.
Tabla 3. Caracterización rastreo bibliográfico ..................... ¡Error! Marcador no definido.
Tabla 4. Objetivos de las intervenciones ......................................................................... 52
Tabla 5. Relaciones y funciones ...................................................................................... 54
11 Introducción
Introducción
La propuesta de este trabajo de grado pretende fortalecer la comprensión
matemática de los estudiantes de grado noveno, a partir de la resolución de
problemas relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas a través del diseño de una estrategia didáctica que promueva el
desarrollo de las estructuras mentales de acción, proceso, objeto y esquema
propuestas por Dubinsky (1994) en su teoría APOE.
Para la construcción de la investigación se utilizaron como base las teorías
propuestas por el modelo constructivista de Vygotsky (1978) citado por Delval
(2012, pp.3-4), Carretero (1997) y Piaget (1999), los cuales exponen que el
constructivismo es un modelo que procura la formación de sujetos diligentes,
capaces de tomar sus propias decisiones y formular juicios de valor, donde el
conocimiento es una construcción permanente del ser humano. Por ende, el
aprendizaje se orienta al proceso de adquisición de conocimientos antes que a los
resultados.
De igual forma, en modelo constructivista en el que se apoya la
investigación, estará complementado por la Teoría APOE de Dubinsky (1994), la
cual propone un desarrollo de la comprensión matemática a partir de cuatro
estructuras mentales, acción, proceso, objeto y esquema, de las cuales las
primeras tres representan un conjunto para alcanzar el esquema y al mismo tiempo,
las cuatro estructuras conforman un ciclo que permite la reflexión constante de un
concepto matemático y facilitan la entrada a un futuro concepto.
La construcción del trabajo se realizó a partir de un análisis monográfico
basado en un modelo de investigación documental que, según Gómez (2011)
permite un paradigma de carácter cualitativo en el cual se busca interpretar y
comprender la información recopilada más que analizarla y explicarla. El enfoque
cualitativo permite una mejor adecuación del contexto social cuando se trabaja con
personas, ya que se es posible concordar con rasgos comunes, pero no absolutos
y manejar diferentes variables comportamentales. Dicho análisis monográfico,
12 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
permitió la realización de una estrategia didáctica que apunte a dar respuesta a la
pregunta de investigación planteada.
El presente trabajo está dividido en cinco capítulos, descritos así: a) Capitulo
I. Diseño teórico, en el cual se exponen las generalidades del proyecto,
planteamiento del problema con su respectiva descripción, justificación,
antecedentes, objetivos. Seguidamente, se encuentra el marco referencial,
apoyado en los referentes teóricos, disciplinar y conceptual, legal, y espacial. b)
Capitulo II. Diseño metodológico, en el cual se encuentra el enfoque y método de
la investigación apoyados en el análisis documental y monográfico a partir del
paradigma cualitativo. c) Capitulo III. Revisión de literatura del sistema de
ecuaciones lineales 2x2 y la teoría APOE, en el cual se realiza la búsqueda, lectura,
análisis, reflexión, interpretación y síntesis de la monografía. d) Capitulo IV.
Propuesta de enseñanza sobre los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, dividida
en cinco sesiones, cada una correspondiente a las estructuras mentales
propuestas en la teoría APOE. Y para finalizar, e) Capitulo V. Conclusiones y
recomendaciones, en el cual se realizan las observaciones y sugerencias más
pertinentes relacionadas con la construcción del trabajo de grado.
13 1. Planteamiento del problema
CAPÍTULO I
1. Planteamiento del problema
1.1. Descripción del problema
La necesidad de realizar una profundización en la enseñanza del
planteamiento de ecuaciones lineales con dos incógnitas, surge al evidenciar
primero, la mala comprensión que presentan las estudiantes de la educación
secundaria, cuando deben interpretar un problema o situación cotidiana y el
planteamiento matemático que deben dar a dichos problemas, y segundo, los
pasos que deben realizar para dar solución a las ecuaciones lineales propuestas
por los educandos. Es por ello que se propone abarcar el tema, “La enseñanza y
aprendizaje de los sistemas de ecuaciones 2x2 por medio de la resolución de
problemas y la teoría APOE para desarrollar una comprensión matemática en los
estudiantes de grado noveno.
Se evidencia que las estudiantes no realizan un adecuado análisis de los
problemas planteados y presentan grandes dificultades en el momento de convertir
el lenguaje convencional en un lenguaje matemático, no identifican ni definen
variables adecuadamente, presentan falencias en establecer relaciones de
igualdad o proporcionalidad, además, tienen grandes dificultades aplicando los
diferentes procesos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales (gráfico,
sustitución e igualación) y en el adecuado manejo de los algoritmos.
Seguramente, a los problemas anteriores hay que agregar las falencias y
vacíos conceptuales que traen las estudiantes de años pasados con respecto a
conceptos aritméticos y algebraicos, por ejemplo, no emplean apropiadamente las
14 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
propiedades de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) en el
conjunto de los números reales y las propiedades de igualdades.
Es por ello, que después de observar las falencias que poseen las
estudiantes de un colegio de la ciudad de Medellín en la comprensión de
problemas, su decodificación del lenguaje lógico-gramatical, el planteamiento de
un adecuado sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y su correcta
solución, se concluye fortalecer dichas falencias desde el grado noveno de la
básica secundaria, pues es en este grado donde dando cumplimiento a lo señalado
en el plan de área y más específicamente el plan del segundo periodo, se debe
trabajar función lineal y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, tema
de suma importancia que permite fortalecer los procesos de análisis, síntesis y
argumentación relacionados con problemas que involucran diversas áreas de
aprendizaje tales como las ciencias naturales, como mencionan Hoekenga, Carpi
& Egger (2013) los sistemas de ecuaciones lineales con frecuencia son utilizadas
para calcular tasas, como la velocidad de un objeto, reacciones químicas,
conversión de unidades de medida, entre otras.
1.1.2. Formulación de la pregunta
En concordancia con lo expuesto en el inciso anterior y con la intención de
renovar la labor docente en el aula de clase, es adecuado tener en cuenta la
importancia de la buena comprensión lectora que debe tener el estudiante al
analizar diferentes problemas matemáticos y lograr tener un buen manejo de la
decodificación lógico-lingüística, lo cual conlleva a la enunciación de la siguiente
pregunta: ¿Qué estrategia didáctica basada en la resolución de problemas,
contribuye a la enseñanza de los sistemas de ecuaciones 2x2 por medio de la
comprensión matemática y la teoría APOE en los estudiantes de grado noveno?
15 1. Planteamiento del problema
1.1.3. Antecedentes
El presente trabajo se sustentará y apoyará en investigaciones a fines ya
realizadas, en los últimos diez años, que sirvan como apoyo y referencia. Teniendo
en cuenta que existe una gran cantidad de trabajos relacionados con la temática a
investigar (ecuaciones lineales 2x2), se le da relevancia a aquellos que profundizan
en la resolución de problemas en contexto y que sus resultados permitan una visión
más amplia de lo que se pretende abordar en el presente trabajo.
Ochoviet, (2009), en su tesis de doctorado sobre el concepto de solución de
un sistema de ecuaciones 2x2, sugiere no restringir la enseñanza y ofrecer a los
estudiantes distintas tareas que les permitan enfrentar múltiples y diferentes
situaciones problemas que permitan abarcar otros tipos de pensamientos como,
citando a Sirpinska, “el sintético-geométrico, el analítico-aritmético y el analítico-
estructural”, lo cual permite a los estudiantes una comprensión más profunda de
los objetos matemáticos.
La participación activa de los estudiantes en su proceso de aprendizaje y su
motivación es primordial para lograr un entendimiento y disfrute de las
matemáticas, según Reaño, (2011) en su investigación sobre la enseñanza de
sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de situaciones
didácticas, ya que él mismo considera que los currículos escolares, incluso
universitarios, se limita al manejo de algoritmos o reglas de forma mecánica,
dejando de lado la oportunidad de ejercitar el lenguaje verbal y su tránsito hacía lo
algebraico y lo gráfico.
De acuerdo con Guerra (2012), las aplicaciones de sistemas lineales están
quedando reducidas al mero planteamiento de ejercicios que no permiten al
educando una interiorización de la temática, lo cual no genera relación
interdisciplinar o en algunas ocasiones las aplicaciones trabajadas son poco
llamativas, pues en la mayoría de los casos la enseñanza de este tópico no está
relacionada con situaciones contextualizadas. Es por ello que Guerra (2012), en su
trabajo sobre la enseñanza de sistemas de ecuaciones lineales, pretende presentar
16 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales y proponer
varias situaciones problemas contextualizadas que brinden al estudiante
herramientas suficientes para la solución de dichos problemas.
Arenas (2013), en su investigación sobre el uso de ecuaciones lineales en
situaciones cotidianas, plantea que las ecuaciones lineales tienen una estrecha
relación con otras áreas del conocimiento tales como física y química. Además,
infiere que los estudiantes deben relacionar los contenidos desarrollados en los
espacios escolares con su experiencia en su diario vivir, lo cual les permita
compartir y argumentar lo comprendido con las demás personas.
Por otro lado, Ariza & Rojas (2013), en su propuesta didáctica para la
enseñanza de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales,
consideran que una de los principales conflictos de los estudiantes en el instante
de enfrentarse a la solución de un problema es que no logran identificar el método
más sencillo que les permita solucionar un sistema de ecuaciones con dos
incógnitas. Además, como lo menciona Grupo Azarquiel (1993.p. 115), citado por
Ariza & Rojas (2013), “los estudiantes presentan dificultad al separar las
informaciones dependientes, o designar con distintas letras incógnitas diferentes”.
A esto, sumado el problema de que los alumnos poseen errores de cálculo, el cual
se debe en la mayoría de los casos a una mala conceptualización y mal manejo de
las ecuaciones de primer grado y sus relaciones con conceptos como incógnita,
variables, función, igualdades, entre otros.
Es por esto, que Ariza & Rojas (2013), decidieron trabajar con los
estudiantes la teoría de situaciones didácticas de Brousseau, ya que esta facilita la
cimentación de un conocimiento por medio del contexto, buscando la construcción
propia de cada educando.
Continuando con otras investigaciones relacionadas con sistemas de
ecuaciones y sus diversos problemas en la enseñanza, Mosquera (2014), en su
propuesta didáctica para la enseñanza de sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas utilizando el método “Flipped Classroom”, plantea que los docentes
17 1. Planteamiento del problema
deben aplicar nuevas estrategias de enseñanza, basadas en teorías de aprendizaje
que faciliten en los estudiantes la capacidad de análisis, selección y entendimiento
de la información que se adquiere de los medios que permitan motivar al alumno
con el fin de reducir efectos negativos en el proceso de enseñanza.
Bozzalla & García (2014), docentes de pregrado, evidencian que los
estudiantes que parten de la escuela media, presentan grandes inconvenientes en
el momento de solucionar sistemas de ecuaciones lineales, los cuales radican en
vacíos conceptuales tales como, el manejo de la aritmética, la conversión de
registro verbal al algebraico e inversamente, y la interpretación gráfica del sistema
presentado. Es por ello, que generan una secuencia didáctica basada en una
circulación constante entre registros verbales (RV), registros algebraicos (RA) y
registros gráficos (RG).
Dando continuidad al tema del manejo del lenguaje del educando y la
relación que el mismo da a su aprendizaje con otras áreas del conocimiento,
Martínez & Garnica (2015), proponen una estrategia de enseñanza de los sistemas
de ecuaciones lineales en un curso de laboratorio de física I, con el fin de promover
el estudio de conceptos matemáticos en otras disciplinas. Dicha estrategia se
realizó con la intención de promover en los estudiantes un razonamiento analítico
más que operativo, ya que se evidencia dificultad en los estudiantes de relacionar
situaciones problemas con el planteamiento de un adecuado sistema de
ecuaciones y su posterior solución.
Como ya se mencionó antes, los estudiantes presentan muchos
inconvenientes en la interpretación de problemas, ya que se les dificulta convertir
un texto o párrafo en una expresión algebraica, lo cual se percibe como una falencia
en los procesos de interpretación y de lectura de los educandos, pues no relacionan
signos y coeficientes con el contexto del problema. Todo lo anterior debido a
dificultades en conocimientos previos que no permiten el reconocimiento de
propiedades de términos algebraicos y operaciones básicas, según lo planteado
por Atehortúa, (2017), en su investigación basada en una propuesta metodológica
para la enseñanza de sistemas de ecuaciones mediante problemas contables.
18 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Finalmente y dando continuidad a la misma línea de los autores citados,
Berdusco (2018), en concordancia con las investigaciones anteriores y apoyado en
la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau, considera de vital
importancia la realización de propuestas teóricas y metodológicas por parte del
docente que susciten la participación activa del estudiante en su proceso de
aprendizaje y la motivación por parte del maestro es indispensable para lograr un
disfrute y entendimiento de las matemáticas y sus múltiples aplicaciones.
1.2. Justificación
El actual trabajo de profundización está centrado en resolución de
problemas que permitan al estudiante el desarrollo de la comprensión matemática
por medio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, con la intensión
de reconocer la situación planteada, diferenciar características relevantes e
irrelevantes de la misma y dar solución al sistema con un adecuado manejo de la
situación y partiendo de sus conocimientos previos.
De acuerdo con Duarte & Castro (2015), la enseñanza debe estar mediada
por estrategias que permitan el desarrollo del pensamiento, lo cual permite al
estudiante fortalecer su capacidad de comprensión, además de la construcción y
apropiación conceptos y saberes previos, impulsar la atención, la observación, el
pensamiento crítico, entre otros elementos que permitan al estudiante comprender
los fenómenos matemáticos y desarrollarlos sin seguir un esquema especifico en
forma de recetario, mecanizado y con reglas, que sin importar el método a usar, se
genere conciencia y curiosidad por la situación analizada.
Por otra parte, Vygotsky (1978) y Piaget (1961) citados por Delval (2012, pp.
3-4), concluyen que el conocimiento es una cimentación mediada por componentes
sociales, lo cual implica que el conocimiento este en constante cambio. Por tal
motivo, con el presente trabajo se pretende favorecer las prácticas de enseñanza-
19 1. Planteamiento del problema
aprendizaje a través de una mirada constructivista apoyada en el aprendizaje por
medio de la resolución de problemas, dado que desde las propias experiencias de
aula, normalmente se trabajan los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 como una
guía con pasos a seguir, un orden, y no como una oportunidad de construcción de
aprendizaje para el estudiante, donde se tenga la oportunidad de desarrollar una
comprensión matemática donde se relacione lo concreto, lo conceptual y lo
simbólico.
Por lo tanto, es necesario convertir el aula de clase en un espacio educativo
de construcción del conocimiento y de desarrollo del pensamiento, es decir,
convertir la clase tradicional de matemáticas en un aula taller, una clase que
permita el debate, la argumentación, la discusión, la crítica y compartir posturas y
posiciones que conlleven a diferentes caminos y formas de solucionar sistemas de
ecuaciones lineales 2x2 mediado por situaciones problemas que conllevan al
desarrollo de capacidades cognitivas y a la relación de lo que se aprende con el
contexto. Por ello, la investigación se centrará en la introducción del tema de
sistemas de ecuaciones lineales a partir de resolución de problemas, es decir,
considerar necesario el estudio y comprensión de problemáticas para poder llegar
a la conceptualización tanto matemática como explicativa del problema.
En conclusión, se espera que las situaciones problemas trabajadas en la
investigación mejoren la comprensión y solución de sistemas de ecuaciones
lineales 2x2, y como sustenta Atehortúa (2017), generar un valor agregado a los
educadores y aumentar en los estudiantes el interés por el tema y por lo tanto en
la materia ya que se introducirán a la temática a través de sus diferentes
aplicaciones y no por medio de la mecanización, además, de que posibilita al
estudiante la construcción del propio conocimiento debido a su papel activo y
protagónico durante el proceso, haciendo a un lado la idea de estudiante receptor
de información e ideas impartidas por el docente.
1.3. Objetivos
20 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
1.3.2. Objetivo general
Analizar los aportes derivados de las investigaciones sobre la enseñanza y
el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y la teoría APOE, con miras
al diseño de una propuesta de enseñanza que permita el fortalecimiento de la
comprensión matemática en estudiantes del grado noveno.
1.3.3. Objetivos Específicos
➢ Identificar algunas estrategias didácticas reportadas en la literatura que
contribuyan con la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones
lineales 2x2 y la teoría APOE.
➢ Describir las posibilidades que ofrecen las diferentes investigaciones para el
diseño de una propuesta de enseñanza sobre los sistemas de ecuaciones
lineales. 2X2.
➢ Diseñar la estrategia didáctica para la enseñanza de ecuaciones lineales 2X2,
con miras al fortalecimiento de la comprensión matemática en estudiantes del
grado noveno.
1.4. MARCO REFERENCIAL
21 1. Planteamiento del problema
1.4.2. Referente teórico
Para la elaboración de la presente investigación, la cual tiene como eje
central la enseñanza y aprendizaje, se tomará como base el modelo constructivista,
el cual piensa al educando como un ser activo durante su proceso de aprendizaje,
lo cual lo hace el actor principal en la construcción de su conocimiento. Por tal
motivo, de acuerdo con Vygotsky (1978) citado por Delval (2012, pp.3-4), se hace
necesario que el aprendizaje este condicionado por la cultura y el contexto en el
que se desarrolla el estudiante, donde se posibilite una relación estrecha entre las
temáticas vistas en la escuela y las situaciones problemas que se presentan en los
diferentes espacios a los que se enfrenta el educando diariamente.
En relación con lo anterior, Piaget (1999), señala que todo lo que se le
enseña al niño, lo cohíbe de descubrirlo. El estudiante debe aprender a partir de
las situaciones presentadas por el medio en el que se desenvuelve, el conocimiento
no debe ser dado en forma de recetario y mecánica, por tanto, el aprendizaje es el
resultado de los procesos adaptativos del estudiante con el medio, la asimilación
de sus conocimientos y la modificación de estructuras cognitivas.
En la misma línea, Carretero (1997), argumenta que el constructivismo es
un modelo que procura la formación de sujetos diligentes, capaces de tomar sus
propias decisiones y formular juicios de valor, donde el conocimiento es una
construcción permanente del ser humano. Por ende, el aprendizaje se orienta al
proceso de adquisición de conocimientos antes que a los resultados.
Además, el Ministerio de Educación Nacional (1998), en los lineamientos
curriculares de matemáticas plantea:
El Constructivismo matemático es muy coherente con la Pedagogía
Activa y se apoya en la Psicología Genética; se interesa por las
condiciones en las cuales la mente realiza la construcción de los
conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en
estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene
22 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la
generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el
maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante
necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede
reemplazar. (p. 11)
De acuerdo con lo anterior, se pretende una construcción del conocimiento
a partir de la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas por medio de situaciones problemas inéditas donde el estudiante
desarrolle una comprensión matemática, se enfrente a dichas situaciones haciendo
uso de sus conocimientos previos y propias experiencias que permitan
relacionarlas con el contexto y su cotidianidad e incluso con otras áreas del
conocimiento.
Pero, el aprendizaje del estudiante no es posible darse por sí solo y por
consiguiente se requiere de un apoyo teórico que lo sustente. Es por ello, que se
trabajará a partir de la teoría de comprensión matemática de Pirie y Kieren y la
teoría APOE de Dubinsky, ambas apoyadas en un modelo constructivista.
Pirie & Kieren (1989) citado por Meels (2003, p.13), definen la comprensión
matemática como algo estable pero que en ningún momento es lineal, no sigue
unas reglas u orden especifico necesariamente. Pero, la comprensión matemática
es recursiva y viene dada por niveles, donde cada nivel de comprensión esta
inmerso en los niveles siguientes.
La comprensión matemática de Pirie y Kieren está basada en un modelo de
crecimiento de siete niveles. Dichos niveles reciben el nombre de estratos, donde
el primer estrato es el de entendimiento primitivo, el cual es el punto de partida del
estudiante respecto al problema matemático al que se esté enfrentando y se refiere
al contenido central de la información dada según Meels (2003).
En el segundo nivel, de acuerdo con Meels (2003), llamado creación de
imagen, no necesariamente pictórica sino mental, el estudiante debe ser capaz de
23 1. Planteamiento del problema
plasmar algo, ya sea físico o mental, que le permita obtener una idea sobre un
concepto. Luego, está el estrato de comprensión de la imagen, consiste en la
articulación de varias imágenes abstraídas que permitan al estudiante reconocer
las propiedades tanto mentales como físicas de las imágenes matemáticas
abstraídas en el estrato anterior.
Meels (2003), menciona el cuarto estrato, llamado observación de la imagen,
como aquel donde el estudiante examina una imagen mental y es capaz de
determinar sus propiedades y al mismo tiempo establecer una conexión entre las
propiedades de las diferentes imágenes creadas.
El siguiente estrato, llamado formalización, según Meels (2003), permite al
estudiante producir definiciones matemáticas de acuerdo al tema trabajado, tales
definiciones no tienen que ser dadas necesariamente en un lenguaje matemático
formal, ya que la intención es que las definiciones concebidas por el educando
permitan desarrollar una comprensión en relación con lo trabajado, pero dicha
definición si debe respetar las reglas y propiedades matemáticas y ser equivalente
a una definición formal.
Luego, está el estrato de observación, en el cual el educando observa,
estructura y organizar sus procesos de pensamiento para luego llegar al estrato de
estructuración, en el cual la comprensión matemática pasa de un tema particular a
comprensiones más generales, de acuerdo a lo expuesto por Meels (2003).
Por otro lado, se encuentra la teoría de APOE de Dubinsky, compuesto de
cuatro elementos, acción, proceso, objeto y esquema, donde los primeros tres
permiten la construcción del último.
La acción, como punto de partida de la comprensión matemática, según
Asiala et al. (1996) citado por Meels (2003, p.19), identifica que la comprensión de
un concepto matemático surge a través de la manipulación de objetos físicos o
mentales primeramente construidos para establecer acciones. Luego, cuando la
acción es interiorizada por el estudiante se convierte en un proceso, el cual debe
ser descrito con propiedad y permite la construcción de procesos nuevos.
24 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Seguidamente, cuando el estudiante transforma un proceso a partir de
acciones, está pasando a la consecución del objeto, y ya con éste, el cual contiene
los elementos anteriores, es posible crear un esquema. Finalmente, el esquema
son estructuras que permiten al estudiante comprender conceptos y resolver
situaciones problemas de matemáticas, de acuerdo con Meels (2003).
Ambas teorías, la de Pirie y Kieren y la de Dubinsky, según Meels (2003),
se basan en un modelo constructivista y concuerdan en que el estudiante es
constructor de su comprensión a partir de los elementos y situaciones dados por
los problemas matemáticos trabajados.
A manera de síntesis, la propuesta se fundamenta en un modelo pedagógico
constructivista apoyado en la comprensión matemática, ya que posibilita al
estudiante la construcción del conocimiento desde su propia experiencia y el
desarrollo de capacidades sociales, culturales, políticas y cognitivas.
1.4.3. Referente disciplinar y/o conceptual
La principal tarea de la enseñanza de la matemática debe ser el desarrollo
del pensamiento, el cual viene dividido en varios tipos según la temática tratada
dentro del área, ya sea numérico, variacional, métrico, espacial, algebraico o
aleatorio. Dicho desarrollo del pensamiento es posible por medio de la resolución
de problemas, pues este no solo implica que el estudiante afronte un problema e
intente solucionarlo a partir de sus saberes previos, sino que también sea capaz de
inventarlos. Contreras (1998), señala que la resolución de problemas permite al
sujeto que se enfrenta a un inconveniente la comprensión del mismo, y aunque en
un principio el estudiante no sea capaz de resolver el problema de forma adecuada,
su constante “entrenamiento” y orientación le dará con el tiempo las herramientas
adecuadas para la solución de las situaciones problemas planteadas.
25 1. Planteamiento del problema
La resolución de problemas, además, debe estar relacionada con la
cotidianidad y contexto del educando. D’Amore & Fandiño (2001), hablan de una
relación entre la matemática y la cotidianidad y suponen cinco consideraciones.
Entre las más importantes y acordes a la investigación en curso se encuentran,
primero, que debe existir una relación entre matemática, sociedad y cultura.
Segundo, relaciones entre las matemáticas cotidianas y aquellas que se imparten
en la escuela. Y tercero, una trascendencia del lenguaje en el aprendizaje. Con
respecto a la segunda consideración, el aprendizaje de las matemáticas debe tener
en cuenta la competencia cultural y se sugiere crear currículos que incluyan
instrumentos matemáticos que en realidad sean base reveladora de aprendizajes,
los cuales harán parte exclusiva de la cotidianidad.
La tercera consideración mencionada anteriormente y de acuerdo con
D’Amore & Fandiño (2001), es de suma importancia un manejo adecuado del
lenguaje especifico por parte del educando. La lógica es parte fundamental del
lenguaje y su funcionamiento, lo cual permita un aprendizaje conceptual.
De ahí la importancia de una estrategia de enseñanza de las matemáticas
que incluya situaciones problemas relacionadas con la cotidianidad y el contexto
del estudiante. Alsina, (2019) comparte la opinión de diferentes autores en cuanto
a los procesos de enseñanza-aprendizaje que involucran el contexto:
puede ser la vida cotidiana, cultural, científica, artificial, matemática, etc. Los
problemas del mundo real serán usados para desarrollar conceptos
matemáticos… luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de
formalizar y de generalizar… y volver a aplicar lo aprendido… y de reinventar
la matemática… (p. 3)
Para Fraudenthal, ¿Cómo crear contextos adecuados para poder enseñar
matematizando?... necesitamos problemas matemáticos que tengan un
contexto significativo para los estudiantes. (p. 3)
Para Mogens Niss, La competencia matemática es la habilidad de entender,
juzgar, hacer y usar matemáticas en una gran variedad de situaciones y
26 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
contextos en los cuales la matemática juega, o podría jugar un papel
importante. (p. 4)
Agregando a lo anterior, las situaciones problemas en contexto, de acuerdo
con lo propuesto en la investigación, deben estar relacionadas con la temática de
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas no solo en matemáticas, sino
también en otras áreas del saber.
La resolución de problemas por medio del planteamiento de sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas, supone que el sujeto debe emplear y
desarrollar un pensamiento variacional y dar un uso consiente de los sistemas
algebraicos y analíticos. El Ministerio de educación Nacional (1998), plantea que el
pensamiento variacional cumple un papel fundamental en la resolución de
problemas a través del uso de variaciones, cambios y modelaciones en situaciones
del contexto, las ciencias naturales y las ciencias sociales.
Las ecuaciones lineales cumplen un papel fundamental en el área de las
ciencias, ya que pueden ser usadas para describir comportamientos y procesos del
mundo físico. Es por ello que esta propuesta busca apoyarse en las situaciones
problemas desde diferentes áreas del conocimiento de las ciencias con la intensión
de fortalecer los diferentes procesos de enseñanza que impliquen el planteamiento
y solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En la misma línea, la intención es mostrar la relación estrecha entre
situaciones problemas relacionadas con las ciencias exactas y los sistemas de
ecuaciones 2x2, y dar a conocer al estudiante la interdisciplinariedad del tema
tratado con otras áreas del saber y su aplicabilidad y que no solo vean dicha
temática como un derrotero de ejercicios y procedimientos algebraicos que deben
retener en su memoria.
Finalmente, para solucionar problemas que involucren diferentes situaciones
(matemáticas, físicas, químicas, biológicas, contables, etc.) por medio del
planteamiento de sistemas de ecuaciones, el MEN (2000), plantea que el
27 1. Planteamiento del problema
estudiante debe hacer uso del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos
y analíticos, ya que dicho pensamiento posibilita al sujeto reconocer, identificar,
modelar, simbolizar, representar, registrar y caracterizar variables en diferentes
contextos.
1.4.4. Referente legal
A continuación, se contienen las normas y documentos legales que
reglamentan el presente trabajo investigativo.
Tabla 1. Normograma
NORMATIVIDAD (Decreto – comunicado –
resolución – documento rector entre otros)
TEXTO DE LA NORMA (Fragmento literal o sintetizado)
CONTEXTO (Articulado al trabajo final)
Constitución política de Colombia Artículo 67. (p.11-12) (Asamblea Nacional Constituyente, 1991)
La educación es un derecho de la persona y un servicio público que tiene una función social; con ella se busca el acceso al conocimiento, a la ciencia, a la técnica, y a los demás bienes y valores de la cultura.
El Colegio Calasanz Femenino fomenta la construcción de sociedad humana y fraterna y forma para una vida útil en sociedad por medio de áreas fundamentales y optativas, proyectos de pastoral y acciones que forman para la investigación y la innovación.
Ley General de educación 115 de febrero 8 de 1994.
Artículo 22 (p. 7) Objetivos específicos de la
educación básica en el ciclo de secundaria.
(EL CONGRESO DE LA REPÚBLICA DE COLOMBIA,
1994)
c) El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico (…) la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la vida cotidiana.
La propuesta de trabajo pretende desarrollar en las estudiantes las capacidades necesarias que le permitan resolver problemas matemáticos relacionados con otras áreas del conocimiento y del contexto.
Estándares básicos de competencias en matemáticas. La formulación, tratamiento y
resolución de problemas. (p. 52) (Ministerio de Educación
Nacional, 2000b)
(…) las situaciones problema proporcionan el contexto (…) significativas para los alumnos. Estos problemas (…) convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad.
Con esta propuesta se pretende que el estudiante adopte un pensamiento crítico y que sea capaz de tomar decisiones acordes frente a las situaciones que se le presenten a nivel escolar, familiar y social.
Estándares básicos de competencias en matemáticas. El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos
(p. 66) (Ministerio de Educación
Nacional, 2000b)
Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas (…) la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.
Es de suma importancia desarrollar en el estudiante este tipo de pensamiento, ya que le permite construir conceptos y analizar variables de acuerdo a la experiencia que se presente en contexto.
28 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Lineamientos curriculares. Matemáticas.
Referentes curriculares. Una nueva visión del conocimiento
matemático en la escuela (p. 14) (Ministerio de Educación
Nacional, 1998)
Privilegiar como contexto del hacer matemático escolar las situaciones problemáticas. (…) el uso comprensivo de la variable y sus diferentes significados, la interpretación y modelación de la igualdad y de la ecuación, las estructuras algebraicas como medio de representación y sus métodos como herramientas en la resolución de problemas (…)
Se pretende, a partir de problemas matemáticos relacionados con otras áreas del conocimiento, que el estudiante tenga la habilidad de identificar, modelar y representar variables y plantear sistemas de ecuaciones que conlleven a una posible solución del problema.
Elaboración propia (2021)
1.4.5. Referente espacial
El presente trabajo será desarrollado en el Colegio Calasanz Femenino
(CCF) de Medellín, una institución de carácter privado perteneciente al núcleo
educativo 929. El colegio está ubicado en la zona centro-occidental, en la comuna
número 11 Laureles-Estadio en el barrio Los Colores, exactamente en la Carrera
77b N°53ª-80, cerca de la Cuarta Brigada, la Universidad Salazar y Herrera y la
Universidad Luis Amigo. Brinda un servicio de formación en los niveles de
preescolar, Básica Primaria, Básica Secundaria y Media Académica. Es una
institución femenina, que atiende en promedio 600 estudiantes, en jornada de la
mañana. Un grupo de pre jardín, un grupo de jardín, dos grupos de transición, diez
grupos de primaria, seis grupos de la básica secundaria y cuatro grupos de la media
académica, para un total de 24 grupos.
En el CCF ingresan estudiantes de toda la ciudad y área metropolitana, en
su mayoría la comunidad vive en barrios de estrato medio alto ya que la gran
mayoría de sus estudiantes provienen de estratos cuatro y cinco. Las alumnas
hacen parte de familias funcionales y viven en muy buenas condiciones, sin
problemas de maltrato, alimentación y con lo necesario para desempeñarse bajo
buenos rendimientos académicos y de convivencia.
El Colegio Calasanz Femenino de Medellín, cimienta su currículo educativo
en la formación en piedad (formación en valores a inteligencia emocional) y letras
29 1. Planteamiento del problema
(formación académica, artística y cultural), además de involucrar métodos
investigativos en el aula.
Además, la institución, intenta a través de la educación, fortalecer al
educando en pro del progreso integral, por tal motivo se propone una oferta
pedagógica para la formación de sus estudiantes y familias, basada en el enfoque
desarrollista de Dewey y Piaget.
Con base en lo anterior, se puede concluir que las condiciones de la
institución y las estudiantes es favorable para desarrollar sin inconvenientes la
propuesta del presente trabajo y dar respuesta a la pregunta planteada y conseguir
los objetivos propuestos.
30 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
CAPITULO II.
2. Diseño metodológico
2.1. Enfoque
El diseño de la propuesta para la enseñanza y aprendizaje de los sistemas
de ecuaciones 2x2 por medio de la resolución de problemas que promuevan la
comprensión matemática y la teoría APOE, se inscribe en un paradigma cualitativo
en el cual, que según Gómez (2011), se busca interpretar y comprender la
información recopilada más que analizarla y explicarla. El enfoque cualitativo
permite una mejor adecuación del contexto social cuando se trabaja con personas,
ya que se es posible concordar con rasgos comunes, pero no absolutos y manejar
diferentes variables comportamentales.
De acuerdo con lo anterior, el enfoque cualitativo es el que mejor responde
a una investigación de tipo documental, ya que dicha investigación pretende que el
autor indague fuentes externas, las entienda y les de sentido, mostrando así
aspectos originales de su propio planteamiento de investigación. Gómez (2011)
plantea que el investigador debe buscar la manera de establecer un dialogo con
cada uno de los autores consultados, pero sin la intención de construir sus propios
marcos teóricos o dar explicaciones puntuales de una situación, sino por el
contrario, permitir una expresión propia de la realidad, con lógica y argumentos y
así construir nuevos conocimientos al respecto.
En conclusión, la intención de adoptar un enfoque cualitativo basado en la
investigación documental es con el fin de dar un carácter interpretativo y
comprensivo de la información consultada buscando captar lo que dicen
exhaustivamente los textos y generando un conocimiento de tipo interpretativo-
comprensivo.
31 2. Diseño metodológico
2.2. Método
La investigación documental según Morales (2003, p.3) citando a Alfonso
(1995), “la investigación documental es un procedimiento científico, un proceso
sistemático de indagación, recolección, organización, análisis e interpretación de
información o datos en torno a un determinado tema. Al igual que otros tipos de
investigación, éste es conducente a la construcción de conocimientos”.
De acuerdo con Morales (2003), la investigación documental se compone de
documentos que son el resultado de otras investigaciones y el conocimiento se
construye a partir de la lectura, análisis, interpretación, reflexión y síntesis de dichos
documentos. Es por ello que la lectura consciente del material bibliográfico
consultado es un instrumento fundamental de descubrimiento y aprendizaje
durante el desarrollo y construcción de la monografía.
Por otro lado, la lectura es otro pilar fundamental de la investigación
documental, ya que esta permite construir significados, reflexiones, observaciones,
vivencias, el producto de indagación, entre otras. Morales (2003).
Seguidamente, Morales (2003) propone una serie de pasos para el
desarrollo eficiente y obtener resultados exitosos durante la investigación
documental, entre los cuales se destacan: 1) la selección y delimitación del tema,
2) acopio de la información o fuentes de información, 3) organización de los datos
y elaboración de un esquema conceptual del tema, 4) análisis de los datos y
organización de la monografía, y 5) redacción de la monografía o informe de la
investigación y presentación final (oral y escrita).
En síntesis, para el desarrollo de la investigación documental, es de suma
importancia contar con un tema seleccionado y delimitado, plantear un marco de
referencia preliminar que posibilite la recolección de la información y su posterior
proceso de análisis y síntesis a través de la monografía o informe de la
investigación. Dicha monografía debe presentarse como un texto de información
32 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
expositiva y argumentativa con una estructura crítica y analítica de la información
recogida en las diferentes fuentes de información.
2.3. Instrumentos de recolección de información y
análisis de información
Para la recolección y análisis de la información, se tendrá como referente los
cinco pasos que propone Morales (2003) para obtener resultados exitosos durante
una investigación documental.
En un primer momento, se realiza la selección y delimitación del tema, que
para esté caso corresponde a la resolución de problemas de los sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de la teoría APOE de Dubinsky.
Seguidamente, se procede con el acopio de la información o fuentes de
información. Para ello, se indaga en diversas bases de datos (Dialnet, Google
académico, sistema de bibliotecas de la Universidad de Antioquia, base de datos
de la Universidad Nacional de Colombia, entre otras) teniendo en cuenta algunas
palabras claves como, resolución de problemas, sistemas de ecuaciones lineales,
y teoría APOE.
Del material consultado en base de datos, se tendrá en aquellos documentos
que correspondan a tesis de postgrado, artículos de investigación, ponencias
educativas, congresos de educación matemática. Además, se dará relevancia a
aquellos documentos con año de publicación más reciente, tomando como base un
intervalo de tiempo entre el año 2009 y el año 2019, sin ser este intervalo una
camisa de fuerza. Y como ultimo aspecto para el acopio se información, se tendrá
en cuenta tanto documentos nacionales como internacionales.
Como tercer momento, se realizará la organización de los datos y la
elaboración de una matriz conceptual del tema. Para ello, luego de haber
identificado los documentos más acordes del tema de investigación, se organizarán
33 2. Diseño metodológico
en una matriz que permita recoger aspectos como: Año de publicación, tipo de
publicación, autores, titulo del documento, resumen, conclusión u opinión al
respecto y las referencias. Para más claridad, se adjunta dicha tabla.
Tabla 2: Esquema conceptual
Año: Carácter de la publicación:
Autores: Título:
Resumen:
Comentario:
Referencia:
Elaboración propia (2021)
Luego, se procederá a la redacción de la monografía o revisión de literatura
sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y la teoría APOE,
en la cual se pretende estructurar de forma analítica y critica la información
recogida en las distintas fuentes de información que se plasmaron en cada una de
las matrices conceptuales del tema.
Finalmente, y tomando como base el punto anterior, se procede con la
elaboración de la propuesta de intervención de enseñanza sobre los sistemas de
ecuaciones lineales, la cual contará con su respectivo nombre, justificación,
población a la que va dirigida, tópicos específicos a enseñar, las sesiones en las
que estará dividida la unidad, las cuales permitirán trabajar cada una de las
estructuras mentales de la teoría APOE y los objetivos correspondientes a cada
sesión.
34 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
2.4. Conformación del corpus
Para la selección del material bibliográfico y su posterior revisión, se tuvo en
cuenta que correspondieran a trabajos de maestría o artículos en educación o
enseñanza enfocados en la resolución de problemas a partir de los sistemas de
ecuaciones lineales y la implementación metodológica de la teoría APOE de
Dubinsky. Además, el material bibliográfico seleccionado corresponde a tesis de
maestría y artículos publicados en un intervalo de tiempo entre el 2003 y el 2019,
esto con la intención de tener material lo más actualizado y contemporáneo posible
que se relacione aún con las prácticas de enseñanza y aprendizaje de alguna rama
de las matemáticas.
Entre el material seleccionado se cuenta con cinco artículos de índole
investigativo, entre los cuales cuatros corresponden a trabajos internacionales y
uno de aspecto nacional, de los cuales cuatro se enfocan en la construcción de
algún concepto matemático por medio de la teoría APOE y el articulo restante a la
enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales.
De igual forma, se cuenta con tres tesis de maestría, las cuales son de índole
nacional y todas correspondientes a la Maestría de enseñanza de las ciencias
exactas y naturales de la Universidad Nacional de Colombia. De ellas, dos tesis
corresponden a la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas y la tesis restante involucrada con la teoría APOE.
A continuación, se muestra la caracterización del rastreo bibliográfico.
Tabla 3: Caracterización rastreo bibliográfico
NOMBRE DOCUMENTO
AUTOR AÑO TIPO NACIONAL INTERNACIONAL
Construcción del concepto de función desde la Teoría APOE: La coordinación entre
Hellen Catherine Serrano Iglesias & Solange
2019 Ponencia, XV CIAEM, Conferencia interamericana de educación matemática.
X
35 2. Diseño metodológico
representaciones como apoyo.
Roa Fuentes
APOE y la Generalización como Estrategia Cognitiva para el Aprendizaje en Técnicas de Conteo.
Isabel Maturana Peña, Marcela Parraguez González & Alejandro Nettle Valenzuela.
2015 Ponencia, XIV CIAEM, Conferencia interamericana de educación matemática.
X
La comprensión matemática desde la teoría “APOE”: el caso de la integral definida de Riemann.
Eliécer Aldana Bermúdez
2013 Ponencia, VII CIBEM, Congreso Iberoamericano de Educación Matemática.
X
La teoría APOE y su aplicación en la traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de primer orden.
José Luis Ramírez, Carmen Azcárate & Felipe Manya.
2004 Artículo de investigación.
X
Secuencia didáctica que le permite a los estudiantes de octavo y noveno interpretar y usar las nociones de conteo en la solución de problemas de combinación y permutación.
Diana Lucía Domínguez Patiño
2016 Tesis de maestría.
X
Las ecuaciones lineales, desde situaciones cotidianas.
Bibiana Sirley Arenas Suaza
2013 Tesis de maestría.
X
Propuesta didáctica para la enseñanza de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales
Aura Alejandra Ariza Daza & Jorge Alejandro Rojas Gómez
2013 Artículo de investigación
X
Propuesta metodológica para la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante problemas de aplicaciones contables.
Diana Patricia Atehortúa Bedoya
2017 Tesis de maestría
X
Elaboración propia (2021)
36 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
2.5. Delimitación y alcance
La presente profundización, pretende proponer una propuesta de enseñanza
sobre el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que permita al
estudiante profundizar en la comprensión de dicha temática y establecer una
relación con otras áreas del saber.
Dicha profundización, tendrá en cuenta cuatro categorías fundamentales a
considerar en el proceso de resolver problemas aplicados en diferentes contextos,
mencionados por el MEN (1998) en los lineamientos curriculares de matemáticas;
a) el dominio matemático, como los recursos que posee el estudiante y que utiliza
en problemas planteados, por medio de procedimientos, definiciones,
concepciones, hechos, entre otros; b) estrategias cognoscitivas, las cuales incluyen
métodos que permiten la descomposición del problema en casos más simples,
establecer diagramas, usar material tangible y tablas, facilitar la reconstrucción y
buscar patrones; c) estrategias metacognitivas, relacionadas con el monitoreo e
inspección con respecto a la clasificación y ejecución de recursos y habilidades,
planeación y evaluación; y d) sistemas de creencias, permiten determinar la forma
en que el estudiante se aproxima al problema, las técnicas implementadas, el
tiempo y esfuerzo dedicado.
37 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE
CAPITULO III
3. Revisión de literatura sobre la enseñanza de los
sistemas de ecuaciones lineales y la teoría APOE
El presente trabajo surge de la necesidad de profundizar en las formas de
enseñanza y aprendizaje del concepto matemático de sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas y sus diferentes métodos de solución a partir de la
resolución de problemas.
El docente investigador, a partir de su propia experiencia, ha evidenciado
como el proceso de enseñanza en matemáticas se ha convertido en una especie
de recetario que en la mayoría de los casos consiste, en un primer momento la
explicación teórica del concepto, luego se realiza la ejemplificación y la ejercitación,
y finalmente la aplicación del concepto. Considerando que, en la mayoría de los
casos, la ejercitación y aplicación del concepto es similar al ejemplo previamente
presentado, lo cual limita al estudiante a un pensamiento mecánico y donde un
ejercicio o problema matemático que se salga de dicho esquema se termina
convirtiendo en un dolor de cabeza tanto para el educando como para el docente.
Continuando con lo anteriormente mencionado, los estudiantes no hacen
una adecuada relación del concepto matemático cuando este debe ser aplicado en
otros niveles escolares y en otras ramas del saber. Y esto puede darse debido a
los procesos de aprendizaje del educado, el cual aprende un concepto matemático
de forma memorística o como si estuviera siguiendo un libro de recetas, donde se
acostumbra a solucionar problemas matemáticos similares donde se siguen los
mismos pasos, lo cual conlleva. Se evidencia, también, que los estudiantes quieren
llegar a una respuesta de manera inmediata en la resolución de problemas o que
sea dada por el profesor.
38 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Es por ello, que se pretende realizar una revisión bibliográfica sobre la
enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de
dos vertientes. La primera, la resolución de problemas y su importancia en el
aprendizaje del concepto matemático a tratar; y segundo, las operaciones mentales
que debe desarrollar el educando para interiorizar de manera adecuada el
concepto, todo esto a partir de la teoría APOE de Dubinsky que propone que el
sujeto debe pasar por cuatro etapas o estructuras cognitivas en su proceso de
aprendizaje, la acción, el proceso, el objeto y el esquema.
A continuación, se presenta el producto de la revisión de literatura de
acuerdo con las categorías de búsqueda: enseñanza de los sistemas de
ecuaciones lineales e implementación de la teoría APOE en los procesos de
enseñanza y aprendizaje del concepto matemático.
3.1. Enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales
Arenas (2013), en su tesis de maestría “Las ecuaciones lineales, desde
situaciones cotidianas”, propone una experiencia que apoye el proceso de
enseñanza aprendizaje de estudiantes de grado noveno en la temática de sistemas
de ecuaciones lineales 2X2 y su transversalización con las demás ciencias del
conocimiento.
Se destaca el interés de la autora por trabajar los sistemas de ecuaciones
lineales 2x2 a partir de situaciones problemas relacionados con los contextos
sociales y culturales de los estudiantes. Además, de favorecer los procesos de
enseñanza aprendizaje por medio de la implementación de las TIC dando uso a
plataformas como Moodle y las diferentes herramientas educativas que esta trae
consigo.
39 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE
Se considera que los contextos en que viven los estudiantes son de suma
importancia en el momento de realizar una intervención pedagógica, ya que a partir
de esas situaciones cotidianas es posible generar una estrategia de enseñanza
aprendizaje basada en la práctica que motive al educando. Se debe relacionar los
procesos de enseñanza y aprendizaje con el contexto social y cultural del
estudiante debido a que esto posibilita la relación del contenido con ambientes
fuera del aula
En la misma línea, se debe aprovechar el auge del desarrollo tecnológico y
las múltiples herramientas educativas que han surgido con estos, debido a que
estos favorecen la práctica docente y son de suma importancia para el diseño de
las actividades y los experimentos realizados.
De acuerdo con Arenas (2013), la vinculación de la enseñanza de los
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de la resolución
problemas sumando el apoyo de diferentes herramientas tecnológicas educativas,
favorecen el desarrollo de distintos procesos de pensamiento debido a que el
estudiante percibe los conceptos matemáticos de una manera diferente vinculando
los modos de pensamiento sintético-geométrico, analítico-aritmético, y analítico-
estructural.
Seguidamente Ariza & Rojas (2013), en su propuesta didáctica para la
enseñanza de los diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones
lineales, evidencian que las principales dificultades de los estudiantes en el
aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 es que no identifican el método
más pertinente a usar en la solución de un problema matemático dado, además,
no dominan el concepto de variable o incógnita y por lo tanto tienen inconvenientes
al designar con letras distintas a incógnitas diferentes. A lo cual los investigadores
concluyen que esto es debido a que no hay un adecuado manejo del concepto y
una correcta manipulación de ecuaciones lineales.
Es por ello que, para el diseño de la propuesta didáctica, Ariza & Rojas
(2013) plantean dos situaciones fundamentales de aprendizaje. La primera
40 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
situación tiene como objetivo lograr que los estudiantes identifiquen ecuaciones
lineales y comprendan los conceptos de función lineal y pendiente. En esta
situación se pretende que la comprensión de función lineal se dé a partir del manejo
de datos en tablas, diagramas en el plano cartesiano y su correspondiente
expresión algebraica.
La segunda situación tiene como objetivo impulsar en los estudiantes la
capacidad de comprender en qué situaciones de debe plantear un sistema de
ecuaciones lineales, reconocer los deferentes métodos de solución de dicho
sistema y usar el más pertinente o adecuado para dar solución al problema, Ariza
& Rojas (2013).
De acuerdo con los dos párrafos anteriores, se resalta la importancia que
dan los investigadores a la comprensión del concepto y al manejo adecuado de
conceptos previos como ecuación de primer grado y función lineal ya que, a partir
de allí, teniendo claridad de términos tales como variable o incógnita, variable
dependiente e independiente, pendiente; se facilitan los procesos de aprendizaje y
enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución.
Además, se destaca la necesidad de que el docente realice una reflexión
constante de su práctica, no solo al finalizar una clase, sino también antes y durante
la misma. En otras palabras, durante la fase preactiva, interactiva y postactiva.
De igual forma, Atehortúa (2017) en su tesis de maestría sobre la enseñanza
de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante resolución de
problemas, propone una metodología a través de una secuencia didáctica, ya que
esta permite que el estudiante logre las metas educativas propuestas por medio de
varios recursos y así garantizar la mejora sustancial del proceso de aprendizaje.
Además, se propone una secuencia didáctica que este compuesta por tres
experiencias especiales. La experiencia conceptual, en la cual se plantean
actividades que llevan al estudiante a realizar de deducción de los conceptos
matemáticos que se desean trabajar de tal forma que los mismos puedan ser
41 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE
aplicados en ejercicios trabajados más adelante. La experiencia práctica, donde se
plantean actividades que tienen que ver con la aplicación de los conceptos en
situaciones problemas específicas. Y la experiencia de análisis, en la cual se
evalúan los conceptos presentados durante las guías, Atehortúa (2017).
Con respecto a esta propuesta de intervención, Atehortúa (2017) concluye
que trabajar los métodos de solución y la resolución de problemas en la enseñanza
de los sistemas de ecuaciones lineales, posibilita en los estudiantes desarrollar
habilidades que los acercan y los familiarizan con el concepto matemático, y
permite fortalecer los procesos de comunicación, razonamiento y resolución de
problemas.
3.2. Implementación de la teoría APOE en los procesos de
enseñanza y aprendizaje del concepto matemático
Serrano & Roa (2019), en la quinceava conferencia interamericana de
educación matemática, sustentan que el concepto matemático, particularmente el
de función, es complejo de asimilar para los estudiantes debido a que su proceso
de enseñanza y aprendizaje en la mayoría de los casos se realiza desde un énfasis
procedimental donde el educando se limita a solucionar problemas matemáticos de
forma estructural y mecánica y se deja de lado su análisis conceptual. Es por ello
que proponen una investigación apoyada en la Teoría APOE, ya que esta permite
realizar procesos de aprendizaje enfocados en la construcción de conceptos
matemáticos.
Arnon et al. (2014) citados por Serrano & Arroa (2019, p.3), definen la
estructura mental como aquella donde el individuo puede dar sentido a situaciones
matemáticas. Dicha estructura se construye en la mente del participante y tiene la
posibilidad de continuar desarrollándose para recibir el nombre de mecanismo
mental.
42 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Las estructuras de la Teoría APOE están nombradas como: Acción,
Proceso, Objeto y Esquema. Y los mecanismos se definen como: interiorización,
encapsulación, coordinación, reversión, desencapsulación, tematización y
generalización.
Las relaciones entre dichas las estructuras y mecanismos son presentadas
a partir de un diagrama cíclico, de la siguiente forma:
Figura 1: Estructuras y mecanismos mentales para la construcción de
contenido matemático.
Fuente: tomado de Serrano & Roa (2010)
De acuerdo con lo anterior, Roa & Serrano (2019) basan su investigación en
el ciclo de la Teoría APOE, el cual involucra tres componentes: análisis teórico,
diseño e implementación de instrucción, y recolección y análisis de datos.
43 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE
Enfocándose en la descomposición genética, la cual está determinada por la
experiencia de los individuos resolviendo situaciones problemas relacionadas con
un concepto determinado como parte de la enseñanza matemática.
La implementación de la Teoría APOE permite al estudiante interiorizar
conceptos matemáticos desde los mecanismos y estructuras planteadas por la
teoría, apoyándose principalmente en la descomposición genética la cual posibilita
la construcción de una secuencia de enseñanza o didáctica dividida en tres
momentos: el análisis teórico, donde se pretende realizar el estudio de un concepto
determinado a partir de diferentes referentes, libros de texto, investigaciones
realizadas al respecto y las propias experiencias; diseño e implementación de
modelos de enseñanza que busquen desarrollar la construcción de estructuras
mentales; y finalmente, la recolección y análisis de datos los cuales se hacer a
partir de los instrumentos implementación para llevar a cabo la validación de los
dos momentos anteriores.
Roa & Serrano (2019) concluyen que la descomposición genética puede ser
usada por cualquier estudiante con el que se pretenda llevar a cabo la enseñanza
de un concepto en particular. Además, la descomposición genética es una
herramienta que posibilita la elaboración e implementación de secuencias de
enseñanza y aprendizaje.
Del mismo modo, Maturana et al. (2015) consideran que la aplicación de una
propuesta metodológica apoyada en la Teoría APOE posibilita la comprensión
matemática del concepto.
Implementar la teoría APOE en los procesos de enseñanza y aprendizaje de
cualquier concepto matemático permite construir un modelo explicativo de los
procesos de generalización por medio de la descomposición genética, la cual
posibilita la generalización como proceso cognitivo de la matemática e interpretar
estrategias cognitivas en el aprendizaje de los procesos.
44 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Así mismo, Aldana (2013) en su investigación acerca de la comprensión de
integral definida de Riemann apoyado en la Teoría APOE propone una
descomposición genética, y para ello utilizar un cuestionario, una entrevista y un
mapa conceptual que permita la triangulación de la información, para luego realizar
un análisis a partir de relaciones lógicas que se den entre elementos matemáticos
transmitidos en diferentes sistemas de representación.
Además, DeVries citado por Aldana (2013), sugiere clasifica el desarrollo de
un esquema de acuerdo con las características y cualidades de los estudiantes.
Los alumnos en el nivel intra-1, son aquellos que no son capaces de establecer
ningún tipo de relación entre los elementos matemáticos, recuerdan los elementos
de memoria, pero se les hace difícil establecer una relación con situaciones
problemas dadas. En el nivel intra, los estudiantes intentan hacer una conexión
lógica entre los elementos matemáticos y utilizarlos en la resolución de problemas,
presentando el inconveniente de que no sintetizan de forma adecuada dichos
elementos matemáticos. El nivel inter-1, es aquel donde el educando es capaz de
dar uso a la conjunción lógica de manera correcta entre los elementos matemáticos
de un sistema de representación, y recuerda algunos elementos gráficos,
algebraicos y/o analíticos, y además realiza una buena síntesis entre el sistema
gráfico y algebraico.
Paso seguido, en el nivel inter, Aldana (2013) identifica que los estudiantes
comprenden los elementos matemáticos necesarios y establece una relación de
conjunción lógica entre los elementos gráficos, algebraicos y analíticos. Además,
recuerdan los elementos necesarios en la resolución de un problema y en la
mayoría de los casos realizan una buena síntesis de los sistemas de
representación gráfico, algebraico y analítico.
Luego, en el nivel trans el individuo se caracteriza por usar diferentes
relaciones lógicas entre los elementos matemáticos de manera correcta, suele
recordar los elementos matemáticos necesarios para la resolución de problemas y
45 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE
tiene una adecuada síntesis de los sistemas de representación gráfico, algebraico
y analítico.
continuamente, Aldana (2013) concluye que en el nivel INTRA se da un
intento de conjunción lógica entre los elementos del concepto, pero de manera
inconclusa, mientras que en los niveles INTER 1, INTER y TRANS aumentan las
relaciones lógicas de manera progresiva, aunque se evidencia dificultad para
coordinar los distintos sistemas de representación y establecer una síntesis entre
ellos.
Es bastante interesante la forma en que el Aldana (2013) divide por niveles
las actividades implementadas, ya que esto permite clasificar a los estudiantes de
acuerdo con la comprensión matemática que presentan del concepto matemático
y el tipo de descomposición genética que realizan de acuerdo con su nivel.
Continuando en la misma línea, Azcárate et al. (2004) estudian las falencias
que se presentan cuando se pide a un estudiante la formalización de la estructura
lógica de un enunciado dado en el lenguaje común. Ante lo cual se evidencia entre
las dificultades más comunes de los estudiantes que a) no diferencian entre una
proposición y un predicado, b) incluyen cuantificadores en el predicado, c) tienden
a usar predicados unarios en lugar de binarios, d) intercambian el orden de los
cuantificadores en enunciados don doble cuantificación, e) entre otros.
Para el análisis del problema planteado, Azcárate et al. (2004) proponen
usar un enfoque investigativo apoyado en la Teoría APOE, dentro de la cual se
debe considerar tres componentes:
➢ Análisis teórico inicial sobre el significado de comprender un concepto
y cómo dicha comprensión puede ser construida por el aprendiz.
➢ Lograr que los estudiantes elaboren las construcciones identificadas
en el análisis teórico.
➢ La obtención de datos a partir de la implementación de la propuesta
instruccional.
46 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Azcárate et al. (2004) concluye que la Teoría APOE permite hacer un
análisis del proceso de traducción y la descomposición genética propuesta
evidencia las acciones mínimas que posibilitan un mejor aprendizaje y que se
reflejan en las estructuras mentales que se deben formar en un proceso instructivo.
Así mismo, Domínguez (2016) en su secuencia didáctica sobre la solución
de problemas matemáticos, pretende favorecer los mecanismos mentales que
contribuyen en la construcción de los conceptos de combinación y permutación
teniendo como fundamento la Teoría APOE.
Es por ello por lo que basado en la teoría APOE, Domínguez (2016) procura
realizar una descripción teórica del concepto la cual recibe el nombre de
descomposición genética (DG). Dicha DG permite constituir el concepto
matemático, orienta el orden del contenido a enseñar y el planteamiento de las
actividades que favorecen en la construcción de las estructuras mentales (acción,
proceso, objeto y esquema) que se buscan desarrollar en los estudiantes.
Además, Domínguez (2016) sustenta que la implementación de una prueba
diagnóstica es una herramienta pedagógica que tiene como objetivo ser el punto
de partida y de acuerdo con los resultados obtenidos ser el insumo para el
planteamiento de la descomposición genética y la estructuración del concepto a
trabajar. Una propuesta basada en la descomposición genética de la teoría APOE
es viable y de ella se pueden construir nuevas propuestas didácticas para la mejora
de la enseñanza y aprendizaje de conceptos matemáticos y ser implementada en
la institución educativa que se desee.
En concordancia con lo expuesto por los autores mencionados
anteriormente y como apoyo para la construcción de la secuencia didáctica que se
pretende, es de resaltar que lo expuesto por Aldana (2013) sirve como apoyo en la
investigación que se pretende acerca de la enseñanza de los sistemas de
ecuaciones lineales 2x2 ya que al trabajar la comprensión matemática desde la
47 3. Revisión de literatura SEL2x2 y teoría APOE
teoría APOE, los niveles intra, inter y trans permitirán la construcción de actividades
de acuerdo con los objetivos propuestos y diferenciar la capacidad de análisis y
síntesis de la población en que se trabaja independiente del concepto tratado.
De igual forma, es de suma importancia la relación que se plantea entre
análisis teórico mencionado por algunos de los autores y la descomposición
genética de la teoría APOE, ya que la comprensión de un concepto matemático en
particular de debe realizar primero desde la indagación teórica del concepto que
dan diferentes autores, textos, libros guías y trabajos de investigación, y de acuerdo
con ello plantear el proceso más adecuado que se ajuste al proceso de aprendizaje
de los estudiantes.
Luego, la descomposición genética o análisis teórico del concepto que
realicen los estudiantes debe dar constancia de las estructuras mentales y de su
evolución según avancen en las etapas del proceso planteado en pro de la
construcción del concepto matemático tratado.
Finalmente, se resalta la importancia de repetir el proceso de enseñanza
propuesto las veces que sea necesario con el fin de obtener mejores resultados en
la intención de alcanzar ese esquema mental que posibilite la comprensión del
tema a tratar.
48 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
49 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
CAPITULO IV
4. Propuesta de Enseñanza sobre los
Sistemas de Ecuaciones lineales
Nombre de la unidad didáctica: Sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas
Justificación
La secuencia didáctica es diseñada con la intención de apoyar y reforzar los
procesos de aprendizaje de los estudiantes de grado noveno en relación con el
tema de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y se enfoca en las construcciones
mentales: acción, proceso, objeto y esquema, de la Teoría APOE. En las
actividades de aprendizaje y la evaluación propuestas se utilizan algunos de los
diferentes métodos de solución de un sistema de ecuaciones (gráfico, sustitución,
igualación y reducción) como herramienta que potencie la comprensión matemática
del concepto mencionado, sin seguir procesos meramente mecánicos o
memorísticos. Es por ello por lo que la propuesta se centra en la indagación y
búsqueda de herramientas para los procesos de enseñanza de los métodos de
solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas como soporte para
el aprendizaje y comprensión del concepto matemático.
La propuesta teórica APOE, según Domínguez (2016), permite demarcar y
describir el camino hacia la edificación de un concepto matemático determinado en
la mente del estudiante. Dicha descripción teórica recibe el nombre
descomposición genética, la cual estructura el concepto matemático y orientar el
diseño de actividades que promueven el desarrollo de las estructuras mentales con
respecto al concepto matemático a potenciar.
Arrieta (2010), describe cada una de las estructuras mentales de la teoría
APOE de la siguiente manera:
50 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
• Una acción corresponde a una operación mental o física que al ser
repetida permite la transformación de un objeto mental o físico. Y a medida que
se va repitiendo la acción, esta se va interiorizando y deja de convertirse en un
proceso de influencias externas para convertirse en una construcción interna
llamada proceso. En el caso de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2, el
estudiante desarrollará la acción del concepto cuando, por ejemplo, al resolver
un problema por el método que sea, lo hace siguiendo pasos similares a otros
problemas.
• Un proceso, complementa Arrieta (2010), es aquel donde el
estudiante reflexiona acerca de un determinado concepto y realiza
transformaciones mentales sin necesidad de actuar sobre él. Los procesos son
de carácter interno y son los estudiantes los que tienen el control y describen el
concepto sin necesidad de interactuar con él. Para el concepto particular de
sistemas de ecuaciones lineales, el proceso de evidencia cuando el estudiante
sea capaz de determinar el método más conveniente para solucionar el
problema dado reflexiona sobre dicho proceso y le asigna un significado a la
acción ejecutada.
• El objeto se da cuando el estudiante reflexiona acerca de las
operaciones aplicadas en cierto proceso y evidencia que las transformaciones
actúan sobre él, por tal motivo se dice que ha encapsulado dicho proceso como
un objeto cognitivo. En el caso particular de la propuesta, el estudiante tendrá
el mecanismo de objeto del concepto de sistema de ecuaciones lineales 2x2
cuando reconoce en una situación problema cada una de sus partes, el tipo de
sistema, sus variables y el método de solución más efectivo, estableciendo
relaciones entre cada uno de los fragmentos del procedimiento que permiten
hallar la solución del problema.
• Finalmente, el esquema consiste en la colección coherente de los
mecanismos anteriores, acción, proceso y objeto y sus relaciones con el
concepto matemático. Dicho esquema hace parte de un ciclo que está obligado
a evolucionar continua y dinámicamente. Además, el esquema permite la
51 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
conexión del individuo con otros esquemas concernientes a diversos conceptos
matemáticos.
Es por lo anterior que el esquema pretende contribuir a la construcción
de futuros conceptos matemáticos abordados y trabajados por el educando.
Solo a partir de la experiencia con otros esquemas en conceptos matemáticos
ya trabajados, el estudiante podrá interiorizar, relacionar y construir otros
esquemas.
Presentación de la unidad
La secuencia didáctica, cuenta con cinco sesiones y una evaluación. La
primera como una prueba diagnóstica que permita visualizar el dominio de los
conceptos previos de los estudiantes, necesarios para abordar el referente temático
de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas; la segunda sesión
enfocada en la conceptualización y ejercitación de los diferentes métodos de
solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas; y para las demás
sesiones, cada una de ellas se enfoca en una construcción mental de la teoría
APOE; en la sesión N°3 se trabaja la acción; en la cuarta sesión el proceso; la
quinta sesión el objeto y finalmente, la evaluación, donde el educando pueda crear
o formar una relación entre las estructuras de acción, proceso y objeto para llegar
finalmente a un marco coherente llamado esquema.
Población
La secuencia se propone para desarrollarla con estudiantes de grado
noveno en concordancia con los estándares básicos de competencias en
matemáticas establecidos por el Ministerio de Educación Nacional. Con el fin de
promover la comprensión matemática del concepto matemático de acuerdo con las
estructuras mentales de la teoría APOE y dar respuesta a ciertas falencias y
necesidades observadas en la práctica pedagógica en relación con la resolución
de problemas científicos que involucran el planteamiento de sistemas de
ecuaciones, su interpretación y su posterior solución.
52 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Conceptos previos
Para el desarrollo de la guía, es necesario que los estudiantes tengan
algunas nociones o manejo de conceptos previos, tales como:
➢ Concepto de función
➢ Elementos de una función
➢ Representación de funciones
➢ Función lineal y función afín
➢ Pendiente de la recta
➢ Ecuación general de la recta
➢ Ecuaciones de primer grado
➢ Manejos básicos de la herramienta GeoGebra
Tópicos específicos por enseñar
Los tópicos por desarrollar en la presente guía son los aquellos necesarios
para alcanzar las metas y objetivos propuestos en el desarrollo del pensamiento
numérico y variacional según los estándares de competencias de matemáticas
establecidos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN). Ellos son:
➢ Sistemas de ecuaciones lineales
❖ Generalidades de los sistemas de ecuaciones lineales
❖ Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
➢ Métodos de solución de sistemas de ecuaciones 2x2
❖ Resolución de sistemas por el método gráfico
❖ Resolución de sistemas por el método de sustitución
❖ Resolución de sistemas por el método de igualación
❖ Resolución de sistemas por el método de reducción o
eliminación
❖ Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
53 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Tareas u objetivos
Al finalizar el desarrollo y solución de la secuencia se pretende que los
estudiantes alcancen unos niveles de desempeño y unas evidencias de
aprendizaje de acuerdo con el saber, el saber hacer y el saber ser.
• Saber:
❖ Plantear y resolver problemas que conducen a sistemas de
ecuaciones 2x2
❖ Identifica diferentes métodos, relaciones entre propiedades y
gráficas para solucionar ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas
• Saber hacer:
❖ Resolver problemas que involucren el planteamiento y solución
de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
❖ Identificar situaciones donde dos variables se relacionan
linealmente.
• Saber ser:
❖ Comprende que el disenso y la discusión constructiva
contribuyen al progreso del grupo.
❖ Prevé las consecuencias que pueden tener las diversas
alternativas de acción propuestas frente a una decisión colectiva.
Presentación de los objetivos
Tabla 4: Objetivo de las intervenciones
Situación didáctica/ Construcciones
mentales
Objetivos
Sesión 1/Prueba diagnóstica Evidenciar dificultades y fortalezas de
los estudiantes, necesarias para el
manejo adecuado en un futuro proceso
54 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
de enseñanza y aprendizaje de los
sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Sesión 2/Introducción Conceptualizar a los estudiantes sobre
los sistemas de ecuaciones lineales
2x2 y ejercitar sus posibles soluciones
a través de los métodos más comunes:
sustitución, igualación, reducción y
gráfico.
Sesión 3/Acción Resolver un sistema de ecuaciones
lineales 2x2 imitando los pasos de un
sistema similar de acuerdo con el
método de solución trabajado.
Sesión 4/Proceso Resolver un sistema de ecuaciones
lineales 2x2 usando el método de
solución que se considere pertinente.
Sesión 5/Objeto Plantear y solucionar sistemas de
ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
información dada.
Elaboración propia (2021)
Diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje en relación con los
objetivos y contenidos.
4.1. Sesión N°1
Tiempo: 2 horas
Tema: Conceptos previos a los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas
55 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Objetivo: Evidenciar dificultades y fortalezas de los estudiantes, necesarias
para el manejo adecuado en un futuro proceso de enseñanza y aprendizaje de los
sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Prueba diagnóstica
La presente prueba pretende evaluar los conceptos previos de los
estudiantes y dar a conocer al docente las falencias y habilidades con el fin de
implementar un plan de acción adecuado y pertinente según la descomposición
genética que se realice de acuerdo con la teoría APOE.
1. Determine el dominio, codominio y rango de las funciones dadas:
Tabla 5: Relaciones y funciones
Dominio: _____________
Codominio: ___________
Rango: ______________
Dominio: _____________
Codominio: ___________
Rango: ______________
Elaboración propia (2021)
2. Determine la pendiente, el intercepto con el eje y la ecuación explícita de la
recta de acuerdo con la siguiente gráfica.
Figura 2: Función lineal
56 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Elaboración propia (2021)
3. Utilice GeoGebra para ubicar los puntos que indican. Luego, resuelve.
Figura 3: Gráfico en GeoGebra
Nota: Función lineal y afín. Fuente: tomado de Desafíos matemáticos 9 (2019)
Es posible determinar una función afín que pase por los puntos:
a) A y B
b) B y C
c) A y C
57 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
d) A y D
4. Utilice GeoGebra para ubicar otro punto de la línea recta, a partir de la
información. Luego resuelve.
Figura 4: Ecuación de la recta en GeoGebra
Nota: Ecuación de la recta. Fuente: tomado de Desafíos matemáticos 9 (2019)
➢ Use la herramienta Recta para trazar la línea recta en cada caso.
➢ Observe la ventana de la vista algebraica y encuentre la ecuación explícita
de cada recta.
Trece una recta que pase por los puntos (-8, -2) y (2, 4). Luego, determine
la ecuación explícita de la recta.
➢
5. Un supermercado ofrece dos tipos de carne molida: light con 4% de materia
grasa por libra y sabrosa con 10% de materia grasa por libra, pero desea ofrecer
una tercera opción a sus clientes.
Figura 5: Estimación carne molida
Nota: Situación problema. Fuente: tomado de Desafíos matemáticos 9 (2019)
58 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Determine la ecuación que permite conocer la cantidad de libras que se debe
mezclar de cada clase de carne, si la tercera opción de carne molida debe tener
6% de materia grasa por libra.
6. La siguiente gráfica representa el movimiento de un objeto entre 0 y 10 minutos.
a) Escriba las ecuaciones de cada una de las rectas que describen el
movimiento del objeto.
b) ¿En qué sector el objeto recorrió más km en menos tiempo?
c) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total el objeto?
4.2. Sesión N°2
Tiempo: 5 horas de clase
Tema: Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y sus
diferentes métodos de solución.
Objetivo: Conceptualizar a los estudiantes sobre los sistemas de
ecuaciones lineales 2x2 y ejercitar sus posibles soluciones a través de los métodos
más comunes: sustitución, igualación, reducción y gráfico.
Para está sesión, los estudiantes van a explorar e interactuar con un curso
de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 creado en la plataforma Moodle
(http://maescentics1.medellin.unal.edu.co/juosoriop). Allí deben reconocer las
diferentes herramientas y beneficios que proporciona dicha plataforma virtual.
La intención es que cada estudiante tenga un usuario y una contraseña que
le permita interactuar de forma independiente con la plataforma y dar solución a
cada una de las actividades propuestas. Además, esto le permite al docente
realizar una valoración cuantitativa del desempeño de los estudiantes. Aunque la
59 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
plataforma está configurada para que los educandos puedan ingresar como
invitados sin necesidad de un usuario y una contraseña.
Figura 6: Ingresando a Moodle
Nota: Entrada al curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en Moodle
(2021)
Por otro lado, se debe aclarar que la mayoría de los videos y los enlaces
usados en la plataforma, no son una construcción propia, sino que fueron
adaptaciones de diferentes herramientas encontradas en la web que proporcionen
a los estudiantes la facilidad de acercarse y comprender el concepto matemático a
trabajar.
Al ingresar a la plataforma, el estudiante se encontrará con un mensaje de
bienvenida, una breve introducción donde se menciona el contenido del curso de
sistemas de ecuaciones lineales 2x2 (SEL2x2), una carpeta con material de apoyo
para el curso como, teoría, ejemplos y ejercicios complementarios. Además, de un
glosario que contiene conceptos claves de los SEL2x2 con sus respectivas
ilustraciones.
60 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Figura 7: Inicio del curso de SEL2x2
Nota: Bandeja principal del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso
en Moodle (2021)
Luego, el educando se encontrará con los capítulos o referentes temáticos
a desarrollar en el curso y lo que contiene cada referente.
Figura 8: Referentes temáticos del curso SEL2x2
61 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Nota: Contenido del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en
Moodle (2021)
En el referente de historia y contextualización, el estudiante tendrá la
oportunidad de realizar en un primer momento una prueba diagnóstica en la que
se pretende evaluar los conocimientos de este con respecto a la función lineal.
Luego, se encuentra un libro llamado “contexto histórico e introducción a los
SEL2x2” el cual está dividido en dos capítulos, 1) Las ecuaciones lineales en la
historia de las matemáticas y, 2) Situación de aprendizaje acerca de los SEL2x2.
Finalmente, el estudiante hallará un enlace sobre la historia de las ecuaciones
lineales con la intención de profundizar en lo trabajado durante el presente
referente temático.
Figura 9: Historia y contextualización de los SEL2x2
62 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Nota: Primera unidad del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en
Moodle (2021)
Paso seguido, se encuentra el referente temático nombrado “Sistemas de
ecuaciones lineales” en donde el educando tendrá la oportunidad de visualizar los
conceptos claves para tener en cuenta en el tema tratado a partir de un mapa
conceptual. Más adelante, se encuentra un video interactivo el cual tiene como
intención que el estudiante a partir de una representación realizada por el mismo
docente explicando en qué consisten los sistemas de ecuaciones lineales, vaya
respondiendo a ciertas preguntas que se van haciendo en el transcurso del video.
Finalmente, habrá una prueba de selección múltiple que le permitirá al estudiante
evaluar su propio aprendizaje acerca del tema tratado.
Figura 10: Contextualización sobre SEL2x2
63 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Nota: Segunda unidad del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración propia del curso en
Moodle (2021)
Para concluir, se encuentran cada uno de los métodos de solución de los
SEL2x2 propuestos para abordar en la presente unidad didáctica. Cada método de
solución trae consigo una breve explicación de este con su respectivo ejemplo, el
cual se da a través de un video; una prueba interactiva corta y una guía de
ejercitación.
Figura 11: Métodos de solución de los SEL2x2
64 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Nota: Unidad tres, cuatro, cinco y seis del curso SEL2x2. Fuente: Elaboración
propia del curso en Moodle (2021)
4.3. Sesión N°3
Tiempo: 1 hora
Tema: Solución de sistemas de ecuaciones 2x2
Objetivo: Resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 imitando los
pasos de un sistema similar de acuerdo con el método de solución trabajado.
En esta sesión, se pretende que el estudiante desarrolle la estructura de
acción propuesta por Dubinsky en la teoría APOE. Dicha acción consiste en la
transformación de un objeto vista por el sujeto como algo externa y que conlleva a
una reacción detallada de pasos a seguir. Breindenbach citado por Barbosa (2003),
define la acción como aquella operación repetible, física o mental que convierte
objetos como números, conjuntos, figuras geométricas, etc. para obtener nuevos
objetos.
Es por ello, que se propondrá al estudiante dar solución a cuatro ejercicios.
Cada ejercicio propuesto será solucionado con un método de solución determinado
y teniendo como referencia un ejemplo dado, pero se contará con el apoyo de un
ejemplo.
65 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Actividad
Del punto 1 al 4, resolver según el método de solución pedido y teniendo como
base el ejemplo dado:
1. Ejemplo: La oferta y la demanda de un producto se modelan mediante
funciones en términos de la cantidad de elementos producidos 𝑥. En punto de
equilibrio, en economía, se define como el valor en el que la demanda y la oferta
con iguales. Si la oferta y la demanda de cierto producto se pueden representar
por las ecuaciones que definen el siguiente sistema de ecuaciones:
{2𝑦 − 6𝑥 = 4 → 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎
2𝑦 − 4𝑥 = 12 → 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
Determine su punto de equilibrio.
Solución:
La ecuación de oferta y demanda representan rectas en el plano, por lo cual se
grafican ambas y se observa su punto de corte. Para este caso, se usará la
herramienta educativa GeoGebra, la cual arroja lo siguiente:
66 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Figura 12: Intersección entre rectas
Elaboración propia en GeoGebra (2021)
De acuerdo con la intersección de las rectas en el plano, es posible evidenciar que
el punto de corte es P (4, 14), lo cual representa el punto de equilibrio económico
y la solución de sistema. Para dicho caso se puede afirmar que las ecuaciones de
oferta y demanda alcanzan su punto de equilibrio cuando se han producido cuatro
unidades del producto.
Ejercicio propuesto: A partir del ejemplo anterior, determine el punto de equilibrio
si las ecuaciones de oferta y demanda definen el siguiente sistema de ecuaciones:
{𝑥 + 3𝑦 = 6 → 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎
2𝑥 − 6𝑦 = 0 → 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
2. Ejemplo: Determine el punto de intersección de las ecuaciones 3𝑦 + 2𝑦 = 3 y
−𝑥 + 5𝑦 = 16, usando el método de igualación.
Calcular el punto de intersección equivale a encontrar la solución del sistema
de ecuaciones:
{3𝑦 + 2𝑥 = 3
−𝑥 + 5𝑦 = 16
67 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Solución:
Primero, se debe despejar una de las variables en las dos ecuaciones. Para
este caso, se despejará la x.
𝑥 =3
2(1 − 𝑦) 𝑥 = 5𝑦 − 16
Segundo, se igualan las expresiones obtenidas y se obtiene la ecuación
3
2(1 − 𝑦) = 5𝑦 − 16
Dicha ecuación está en términos de la variable 𝑦. Luego se despeja dicha
variable y se obtiene que
3
2−
3
2𝑦 = 5𝑦 − 16
𝑆𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
3
2+ 16 = 5𝑦 +
3
2𝑦
35
2=
13
2𝑦
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑦
∴ 𝑦 =35
13
Finalmente, para calcular el valor de 𝑥 se despeja el valor obtenido
anteriormente en cualquiera de las dos ecuaciones
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝑥 =3
2(1 − 𝑦)
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑥 =3
2(1 −
35
13)
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
∴ 𝑥 = −33
13
Por lo tanto, se puede concluir que el punto de intersección de las ecuaciones
dadas es 𝑃 (−33
13,
35
13).
68 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Ejercicio propuesto: Determine el punto de intersección de las ecuaciones
7𝑥 + 4𝑦 = 13 y 5𝑥 − 2𝑦 = 19, usando el método de igualación.
3. Ejemplo: Use el método de sustitución para determinar la solución al siguiente
sistema de ecuaciones
{𝑥 − 10𝑦 = −492𝑥 + 3𝑦 = 247
Primero, se escoge una de las dos ecuaciones y se despeja una de las
variables. En este caso, se despejará 𝑥 de la primera ecuación
𝑥 − 10𝑦 = −49
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥
𝑥 = 10𝑦 − 49 → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3
Segundo, se sustituye la variable 𝑥 en la segunda ecuación usando la igualdad
obtenida en el paso anterior
2(10𝑦 − 49) + 3𝑦 = 247
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑
20𝑦 − 98 + 3𝑦 = 247
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
23𝑦 = 345
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦
∴ 𝑦 =345
23= 15
Paso seguido, para determinar el valor de 𝑥, se reemplaza el valor obtenido en
la ecuación 3
𝑥 = 10(15) − 49
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
∴ 𝑥 = 101
Finalmente, se concluye que la solución del sistema es 𝑥 = 101 y 𝑦 = 15.
Ejercicio propuesto: use el método de sustitución parra calcular la solución de
los siguientes sistemas de ecuaciones
a) {2𝑥 − 4𝑦 = 62𝑦 − 𝑥 = −3
69 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
b) {5𝑥 − 3𝑦 = −18
2𝑥 + 𝑦 = −5
4. Ejemplo: Use el método de eliminación para calcular la solución del sistema de
ecuaciones dado.
{𝑥 + 4𝑦 = 3𝑦 − 5𝑥 = 8
Primero, se multiplica la segunda ecuación por -4 para obtener el siguiente
sistema de ecuaciones
{𝑥 + 4𝑦 = 3
(−4)(𝑦 − 5𝑥) = (−4)8→ {
2𝑥 + 4𝑦 = 3−4𝑦 + 20𝑥 = −32
Luego, se suman las dos ecuaciones del nuevo sistema
2𝑥 + 4𝑦 = 3 +
20𝑥 − 4𝑦 = −32
22𝑥 + 0 = −29
𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
𝑥 = −29
22
Por último, se reemplaza el valor de la variable 𝑥 en una de las ecuaciones
iniciales y se obtiene el valor de 𝑦
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
−29
22+ 4𝑦 = 3
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
4𝑦 =95
22
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦
𝑦 =95
88
Por lo tanto, la solución del sistema dado es 𝑥 = −29
22 y 𝑦 =
95
88
Ejercicio propuesto: Use el método de eliminación o reducción para hallar la
solución de los sistemas de ecuaciones dados
a) {−4𝑥 + 5𝑦 = 9𝑥 + 7𝑦 = −4
70 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
b) {11𝑥 − 6𝑦 = −14𝑥 + 7𝑦 = −2
4.4. Sesión N°4
Tiempo: 1 hora
Tema: Solución de sistemas de ecuaciones 2x2
Objetivo: Resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 usando el método
de solución que se considere pertinente.
En esta sesión, se pretende que el estudiante reflexione sobre sus acciones
antes de solucionar un problema matemático sin contar con el apoyo de ayudas o
estímulos externos, llegando a interiorizar la acción como un proceso. Para este
caso particular, el educando debe ser capaz de solucionar un sistema de
ecuaciones lineales 2x2 sin imitar necesariamente el método usado en un problema
similar. Además, es capaz de describir los pasos necesarios para solucionar un
sistema sin necesidad de llevar a cabo su plan.
Es por ello, que en esta sesión se propondrá al estudiante un conjunto de
problemas matemáticos que permitan reflexionar acerca de las partes de un
sistema, su significado, las posibles formas y métodos de solucionar un sistema,
su conjunto solución, entre otros.
Actividad
1. Use el método de solución deseado para calcular los valores de las variables
del sistema dado. Luego, responda las preguntas de acuerdo con la solución
encontrada.
{2𝑥 − 4𝑦 = 82𝑦 − 𝑥 = −4
a) ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?
71 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
b) Plantee una situación problema relacionada con el sistema de ecuaciones
dado y soluciónela usando un método diferente.
2. Revise el procedimiento que se realizó para resolver el sistema de ecuaciones,
explique dónde está el error y corríjalo.
{
10𝑥 − 8𝑦 = −14
2𝑥 −6
5𝑦 = −4
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
𝑥 =−7 + 4𝑦
5
𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
𝑥 = −2 +3
5𝑦
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑦
−7 + 4𝑦
5= −2 +
3
5𝑦
−35 + 20𝑦 = −2 +3
5𝑦
−25 = −5𝑦
5 = 𝑦
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
𝑥 =−7 + 4(5)
5
𝑥 =13
5
∴ 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 (13
5, 5)
3. Plantee un sistema de ecuaciones que modele el problema y resuelva.
Mario vende chocolates y galletas dulces en su tienda. Cada chocolate cuesta
500$ y cada galleta 750$. El miércoles vendió 210 productos entre chocolates
y galletas. Al abrir la tienda tenía en la caja registradora 40.000$ y finalizando
la jornada tenía 58.000$. ¿Cuántos chocolates y cuántas galletas se vendieron
el martes?
72 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
4.5 Sesión N°5
Tiempo: 1 hora
Tema: Solución de sistemas de ecuaciones 2x2
Objetivo: Plantear y solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir
de la información dada.
Cuando el estudiante reflexiona acerca de las acciones realizadas en un
proceso especifico adquiere una conciencia y percibe las transformaciones que
pueden actuar sobre él y se siente capaz para construirlas. Y cuando se presenta
dicha construcción o reconstrucción sobre un proceso, se dice que encapsulo aquel
proceso como un objeto cognitivo.
Por lo anterior, en la presente sesión se pretende proponer al estudiante
ciertos ejercicios y problemas matemáticos que permitan realizar acciones y
procesos a partir de la reconstrucción de estos. Y más que solucionar un sistema
de ecuaciones lineales dado, el objetivo es que el estudiante plantee el sistema a
partir de los datos que se dan y luego los solucione.
Actividad
1. A partir de las rectas que se muestran, plantee el sistema de ecuaciones que
estas representan y calcule el conjunto solución.
a) Una de las rectas pasa por el origen y por el punto (5, -2)
73 4. Propuesta de enseñanza SEL2x2 y teoría APOE
Figura 13: Intersección entre rectas N°2
Elaboración propia en GeoGebra (2021)
b) Una de las rectas corta el eje y en 2 y su pendiente es 3/7
Figura 14: Intersección entre rectas N°3
Elaboración propia en GeoGebra (2021)
2. María resuelve un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución, en
el primer paso obtiene la ecuación 𝑦 = −1
2𝑥 −
3
2, al sustituirla en la segunda
ecuación del sistema y despejar obtiene que 𝑥 = 1.
a) ¿Cuál es la segunda ecuación del sistema que debe solucionar María?
74 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
b) ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?
c) ¿El conjunto solución corresponde a un sistema consistente, inconsistente
o indeterminado?
d) ¿Es posible plantear otros sistemas de ecuaciones con los valores obtenidos
de las variables? Plantee por lo menos otros tres sistemas.
3. Dado el sistema de ecuaciones
{−6𝑥 + 3𝑦 = 𝑎12𝑥 − 6𝑦 = 18
a) ¿Cuál es el valor que debe tener a para que el sistema sea consistente?
b) ¿Cuál es el valor que debe tener a para que el sistema sea inconsistente?
c) ¿Cuál es el valor que debe tener a para que el sistema sea indeterminado?
4. Si la ecuación que permite encontrar el valor de x es equivalente a 14𝑥 + 16 =
2𝑥 − 8. ¿Es posible plantear el valor de 𝑦 del sistema de ecuaciones? Plantee
por lo menos tres sistemas de ecuaciones que sean consecuentes con el
conjunto solución.
5. Si se sabe que la solución de un sistema es 𝑥 = 2 + 3𝑡, 𝑦 = 5 + 2𝑡. ¿Podrías
encontrar un sistema con esa solución?
75 5. Conclusiones y recomendaciones
CAPÍTULO V
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1. Conclusiones
Durante la elaboración del presente trabajo, fue posible la deconstrucción de
la práctica docente en matemáticas, específicamente en la enseñanza de los
sistemas de ecuaciones lineales 2x2 en el grado noveno. Dicha deconstrucción
permitió trazar unos objetivos específicos que buscarán mejorar los procesos de
enseñanza a partir de la construcción de una secuencia didáctica enfocada en la
resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría APOE.
Para la construcción o proposición de la estrategia didáctica se realizó en un
primer momento, un análisis documental de trabajos de investigación relacionados
con el concepto matemático a trabajar y la teoría EPOE a implementar. A partir del
análisis documental, fue posible indagar y diseñar una secuencia didáctica que
involucre la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas a partir del desarrollo de las estructuras mentales propuestas en la
teoría APOE de Dubinsky.
La revisión de literatura permitió profundizar en este caso, los procesos de
enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
desde diferentes aspectos como los tipos de solución, consistente, inconsistente o
indeterminado; los métodos de solución, que metodológicamente fueron trabajados
el método gráfico, de igualación, de sustitución y de eliminación o reducción; estos
métodos trabajados a partir de la resolución de problemas y buscando la
construcción de las estructuras mentales acción, proceso, objeto y esquema que
desarrolla el estudiante a partir de la implementación de la teoría APOE de
76 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Dubinsky. Todo esto dirigido hacia la pregunta “¿Qué estrategia didáctica basada
en la resolución de problemas, contribuye a la enseñanza de los sistemas de
ecuaciones 2x2 por medio de la comprensión matemática y la teoría APOE en los
estudiantes de grado noveno?”.
Y aunque la no fue posible implementar la estrategia didáctica planteada en
la propuesta de intervención, es válido afirmar que esta busca contribuir de forma
positiva en el proceso de enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas debido a que plantea en un primer momento la
aplicación de una prueba diagnóstica, la cual tiene como objetivo evidenciar
fortalezas y debilidades de los estudiantes en relación con los saberes previos que
se deben tener en cuenta para el desarrollo e implementación de los procesos de
enseñanza del concepto matemático de sistemas de ecuaciones lineales 2x2; y
seguidamente se desarrollan las sesiones en los cuales se busca involucrar al
estudiante en el tema matemático especifico a tratar y cómo este se puede ir
desarrollando y potenciando la comprensión matemática a partir de la metodología
propuesta por la teoría APOE de Dubinsky.
En el aspecto personal y profesional, la construcción de una secuencia
didáctica basada en la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por
medio de la teoría APOE, aportó una reflexión de mi práctica docente y una
descomposición genética del concepto de enseñanza y aprendizaje matemático,
ya que permitió reevaluar las diferentes formas y métodos de mi actuar en el aula
de clase y transfórmalos en un proceso cíclico de actividades y discusiones que
permita en los estudiantes un desarrollo de las estructuras mentales propuestas
por Dubinsky en su teoría para alcanzar la comprensión matemática del concepto.
Finalmente, es importante resaltar la infinidad de trabajos de investigación
que se encuentran sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas a través de la resolución de problemas, pero el poco material que
relaciona el concepto matemático mencionado con la comprensión matemática
propuesta por la teoría APOE de Dubinsky.
77 5. Conclusiones y recomendaciones
5.2 Recomendaciones
Aunque la situación actual de salud pública que se vive a nivel mundial no
permitió realizar la implementación de la secuencia didáctica, se sugieren las
siguientes recomendaciones en caso de una posible y futura implementación.
De acuerdo con lo sugerido por Dubinsky en su teoría APOE, realizar la
descomposición genética del concepto matemático a través de una prueba
diagnóstica y a partir de esta, modificar y planear cada una de las estrategias de
enseñanza y aprendizaje que tengan como objetivo el desarrollo de las
estructuras mentales de acción, proceso, objeto y esquema, recordando que la
estructura final comprende las tres anteriores y que el desarrollo de la misma
termina siendo un proceso cíclico que además permite ser la descomposición
genética de entrada para futuros conceptos matemáticos a tratar.
Pensarse la implementación de las actividades de forma que se posibilite
el trabajo colaborativo guiado por el profesor, promoción de la reflexión y de las
estructuras mentales deseadas, uso de las TIC, discusión en clase con el profesor
a través de una reflexión conjunta y formal, y la asignación de tareas por medio
de ejercicios y problemas de manera individual o en equipo.
Como posible evaluación que permita evidenciar el aprendizaje de los
estudiantes con respecto al concepto matemático trabajado, se podría
implementar una estrategia donde ellos mismos diseñen problemas matemáticos
que involucren situaciones problemas relacionados con otras ramas del saber,
como matemática financiera, física, química, entre otras.
Finalmente, se dejan a disposición del lector investigador algunas
preguntas que sirvan como orientación o camino para la implementación de la
secuencia didáctica planteada en la propuesta de intervención: 1) ¿Cuál es la
influencia en los procesos de enseñanza y aprendizaje que se genera a partir de
la implementación de la estrategia didáctica propuesta?, 2) ¿Qué tipo de
78 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
actividades se podrían implementar como complemento a las ya propuestas en la
estrategia de intervención?, y 3) Teniendo en cuenta la situación de pandemia que
se vive actualmente o alguna que se pueda generar en el futuro, ¿de qué forma
implementar la estrategia didáctica propuesta teniendo como base la educación
virtual?, ¿qué tipo de herramientas o recursos virtuales educativos implementar
que sea posible y garantice la comprensión matemática a partir de la Teoría
APOE?
79 Referencias
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desde la Teoría APOE: La coordinación entre representaciones como apoyo.
XV Conferencia Interamericana de educación matemática CIAEM.
Conferencia llevada a cabo en Medellín, Colombia.
Valenzuela, J & Flores, M. (2012). Fundamentos de investigación educativa,
volumen 2
84 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
ANEXOS
A. Rastreo bibliográfico
1. Año: 2019
Carácter de la publicación: XV
CIAEM, Conferencia interamericana de
educación matemática.
Autores: Hellen Catherine Serrano
Iglesias & Solange Roa Fuentes
Título: Construcción del concepto de
función desde la Teoría APOE: La
coordinación entre representaciones
como apoyo.
Resumen: En el documento expuesto, las autoras pretenden mostrar avances
de una propuesta de investigación basada en la construcción del concepto de
función apoyada en los elementos que componen la Teoría APOE.
En un primer momento, las autoras sustentan que el concepto de función es
complejo de asimilar para los estudiantes debido a que su proceso de enseñanza
y aprendizaje en la mayoría de los casos se realiza desde un énfasis
procedimental. Es por ello que la investigación está apoyada en la Teoría APOE,
ya que esta permite realizar procesos de aprendizaje enfocados en la
construcción de conceptos matemáticos.
Seguidamente, se realiza una exposición de los elementos de la Teoría APOE
los cuales están divididos en estructuras y mecanismos mentales.
85 Anexos
Las autoras, citando a Arnon et al. (2014), definen la estructura mental como
aquella donde el individuo puede dar sentido a situaciones matemáticas. Dicha
estructura se construye en la mente del participante y tiene la posibilidad de
continuar desarrollándose para recibir el nombre de mecanismo mental.
Las estructuras de la Teoría, están nombradas como: Acción, Proceso, Objeto y
Esquema. Y los mecanismos se definen como: interiorización, encapsulación,
coordinación, reversión, desencapsulación, tematización y generalización.
Las relaciones entre las estructuras y mecanismos son presentadas a partir de
un diagrama cíclico, de la siguiente forma:
De acuerdo a lo anterior, las autoras basan su investigación en el ciclo de la
Teoría APOE, el cual involucra tres componentes: análisis teórico, diseño e
implementación de instrucción, y recolección y análisis de datos. Enfocándose
en la descomposición genética, la cual está determinada por la experiencia de
los individuos resolviendo situaciones problemas relacionadas con un concepto
determinado como parte de la enseñanza matemática.
Finalmente, las autoras concluyen que la descomposición genética puede ser
usada por cualquier estudiante con el que se pretenda llevar a cabo la enseñanza
de un concepto en particular. Además, la descomposición genética es una
herramienta que posibilita la elaboración e implementación de secuencias de
enseñanza y aprendizaje.
86 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Comentario: Se resalta la implementación de la Teoría APOE y como esta
permite al estudiante interiorizar conceptos matemáticos desde los mecanismos
y estructuras planteadas por la teoría, apoyándose principalmente en la
descomposición genética la cual posibilita la construcción de una secuencia de
enseñanza o didáctica dividida en tres momentos: el análisis teórico, donde se
pretende realizar el estudio de un concepto determinado a partir de diferentes
referentes, libros de texto, investigaciones realizadas al respecto y las propias
experiencias; diseño e implementación de modelos de enseñanza que busquen
desarrollar la construcción de estructuras mentales; y finalmente, la recolección
y análisis de datos los cuales se hacer a partir de los instrumentos
implementación para llevar a cabo la validación de los dos momentos anteriores.
Referencia: Serrano, H., & Roa, S. (mayo de 2019). Construcción del concepto
de función desde la Teoría APOE: La coordinación entre representaciones como
apoyo. XV Conferencia Interamericana de educación matemática CIAEM.
Conferencia llevada a cabo en Medellín, Colombia.
2. Año: 2015
Carácter de la publicación: XIV
CIAEM, Conferencia interamericana de
educación matemática.
Autores: Isabel Maturana Peña,
Marcela Parraguez González &
Alejandro Nettle Valenzuela.
Título: APOE y la Generalización como
Estrategia Cognitiva para el
Aprendizaje en Técnicas de Conteo.
87 Anexos
Resumen: La propuesta expuesta por lo autores consiste en la aplicación de
una propuesta metodológica apoyada en la Teoría APOE que posibilite la
comprensión matemática en técnicas de conteo.
La propuesta consiste en una descomposición genética para interpretar
estrategias cognitivas en el aprendizaje de los procesos de la Teoría APOE, a
partir de tres situaciones de conteo por medio de configuraciones figurales.
La experiencia se realizó como un estudio de casos y se aplicó en estudiantes
de primer semestre de la carrera en pedagogía y licenciatura en matemáticas en
dos universidades de Chile, donde a cada uno se le aplicó el ciclo de
investigación de la teoría APOE, el cual forma: a) un análisis teórico, conocido
como descomposición genética; b) un diseño, basado en la descomposición
genética teórica y la aplicación de instrumentos; y c) un análisis y verificación de
datos.
Las actividades realizadas con cada uno de los casos de estudio consistían en
el manejo del GeoPlano y la construcción de polígonos, con la intención de contar
los puntos que hacían parte del contorno de la figura, los puntos de su interior y
analizar de cuántas formas era posible construir un polígono pedido. Además, se
pretendía que los estudiantes infirieran o llegaran a la fórmula de Pick para el
cálculo del área de un polígono (lo cual no fue posible).
Otra de las actividades consistía en posicionar una ficha sobre una circunferencia
dada y analizar de cuantas maneras posibles podía ubicarse la ficha sobre la
circunferencia, de lo cual se evidenció que la descomposición genética a la que
se llegó no posibilitó la construcción mental de un esquema, como último objeto
de la teoría APOE.
Finalmente, los autores concluyen que el implemento de la experiencia permite
construir un modelo explicativo de los procesos de generalización para el proceso
de aprendizaje de las técnicas de conteo por medio de la descomposición
88 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
genética, la cual posibilita la generalización como proceso cognitivo de la
matemática.
Comentario: Se resalta la experiencia propuesta por los autores, ya que es
bastante clara la intención de indagar el proceso cognitivo matemático por medio
de los procesos de enseñanza aprendizaje de las técnicas de conteo, a partir de
la descomposición genética mencionada en la Teoría APOE.
Las tres sesiones propuestas para el trabajo sobre técnicas de conteo
implementadas en los estudiantes de licenciatura de ambas universidades son
de gran interés para introducirlos en el tema, pero también se evidencia lo
complicado que es que los estudiantes hagan de esas acciones, un proceso y de
estos un esquema, lo cual era lo pretendido por los autores.
Referencia: Maturana, I., Parraguez, M. & Nettle, A. (mayo de 2015). APOE y la
Generalización como Estrategia Cognitiva para el Aprendizaje en Técnicas de
Conteo. XIV Conferencia Interamericana de educación matemática CIAEM.
Conferencia llevada a cabo en Chiapas, México.
3. Año: 2013
Carácter de la publicación: VII
CIBEM, Congreso Iberoamericano de
Educación Matemática.
Autores: Eliécer Aldana Bermúdez
Título: La comprensión matemática
desde la teoría “APOE”: el caso de la
integral definida de Riemann.
Resumen: El autor, realiza una investigación acerca de la comprensión de
integral definida de Riemann apoyado en la Teoría APOE. Para dicha
89 Anexos
investigación, al autor realiza un estudio de libros de texto e identifica los
conceptos que intervienen en una integral definida: el área como aproximación,
el área como límite de una suma, propiedades de la integral definida y los
teoremas fundamentales y del valor medio.
Con la identificación de las partes que componen el concepto de integral, el autor
propone una descomposición genética, y para ello utiliza un cuestionario, una
entrevista y un mapa conceptual que permitan la triangulación de la información,
y el análisis se realizó a partir de relaciones lógicas que se dan entre elementos
matemáticos transmitidos en diferentes sistemas de representación.
Además, apoyado en DeVries (2001), el autor clasifica el desarrollo de un
esquema como: Intra, donde se identifican aspectos individuales aislados; inter,
se realiza una construcción de relaciones; y trans, se da la construcción del
esquema completo.
En el análisis y resultados, el autor identifica que los alumnos en el nivel intra-1,
son aquellos que no son capaces de establecer ningún tipo de relación entre los
elementos matemáticos, recuerdan los elementos de memoria, pero se les hace
difícil establecer una relación con situaciones problemas dadas.
En el nivel intra, el autor se percata que los estudiantes intentan hacer una
conexión lógica entre los elementos matemáticos y utilizarlos en la resolución de
problemas, presentando el inconveniente de que no sintetizan de forma
adecuada dichos elementos matemáticos.
El nivel inter-1, es aquel donde el educando es capaz de dar uso a la conjunción
lógica de manera correcta entre los elementos matemáticos de un sistema de
representación, y recuerda algunos elementos gráficos, algebraicos y/o
analíticos, y además realiza una buena síntesis entre el sistema gráfico y
algebraico.
90 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Paso seguido, en el nivel inter, el autor identifica que los estudiantes comprenden
los elementos matemáticos necesarios y establece una relación de conjunción
lógica entre los elementos gráficos, algebraicos y analíticos. Además, recuerdan
los elementos necesarios en la resolución de un problema y en la mayoría de los
casos realizan una buena síntesis de los sistemas de representación gráfico,
algebraico y analítico.
Luego, en el nivel trans el individuo se caracteriza por usar diferentes relaciones
lógicas entre los elementos matemáticos de manera correcta, suele recordar los
elementos matemáticos necesarios para la resolución de problemas y tiene una
adecuada síntesis de los sistemas de representación gráfico, algebraico y
analítico.
Finalmente, el autor concluye que en el nivel INTRA se da un intento de
conjunción lógica entre los elementos del concepto, pero de manera inconclusa,
mientras que en los niveles INTER 1, INTER y TRANS aumentan las relaciones
lógicas de manera progresiva, aunque se evidencia dificultad para coordinar los
distintos sistemas de representación y establecer una síntesis entre ellos.
Comentario: Es bastante interesante la forma en que el autor divide por niveles
las actividades implementadas, ya que esto permite clasificar a los estudiantes
de acuerdo con la comprensión matemática que presentan del concepto de
integral definida y el tipo de descomposición genética que realizan de acuerdo
con su nivel.
Lo anterior puede servir como apoyo a otros docentes investigadores que deseen
trabajar la comprensión matemática desde la teoría APOE, ya que los niveles
intra, inter y trans permitirán la construcción de actividades de acuerdo a los
objetivos propuestos y diferenciar la capacidad de análisis y síntesis de la
población en que se trabaja independiente del concepto tratado.
91 Anexos
Referencia: Aldana, E. (septiembre de 2013). La comprensión matemática
desde la teoría “APOE”: el caso de la integral definida de Riemann. VII Congreso
Iberoamericano de Educación Matemática. Conferencia llevada a cabo en
Montevideo, Uruguay.
4. Año: 2004 Carácter de la publicación: Artículo
de investigación.
Autores: José Luis Ramírez, Carmen
Azcárate & Felip Manya.
Título: La teoría APOE y su aplicación
en la traducción de enunciados del
lenguaje natural al lenguaje de la lógica
de primer orden.
Resumen: El trabajo presentado esta centrado en estudiantes en los primeros
cursos de lógica de las carreras de informática o sistemas computacionales. Y la
intención de los autores es estudiar las falencias que se presentan cuando se
pide a un estudiante la formalización de la estructura lógica de un enunciado
dado en el lenguaje común.
Los educadores evidenciaron las dificultades de los estudiantes de dos grupos
diferentes a partir de la aplicación de cuestionarios, y entre las dificultades más
comunes se encuentra: a) no diferencian entre una proposición y un predicado,
b) incluyen cuantificadores en el predicado, c) tienden a usar predicados unarios
en lugar de binarios, d) intercambian el orden de los cuantificadores en
enunciados don doble cuantificación, e) entre otros.
Para el análisis del problema planteado, los investigadores usarán un enfoque
investigativo apoyado en la Teoría APOE, dentro de la cual consideran tres
componentes:
92 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
➢ Análisis teórico inicial sobre el significado de comprender un concepto y cómo
dicha comprensión puede ser construida por el aprendiz.
➢ Lograr que los estudiantes elaboren las construcciones identificadas en el
análisis teórico.
➢ La obtención de datos a partir de la implementación de la propuesta
instruccional.
Además, los tres componentes son un ciclo que si es necesario se debe repetir
hasta obtener unos resultados estables.
De acuerdo con la teoría APOE el resultado del análisis teórico es lo que se
denomina la “descomposición genética”, lo cual es el primer paso para alcanzar
la comprensión del concepto que se pretende enseñar. En el caso particular de
los autores, se realizará una descomposición genética del concepto de
traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la lógica.
Para facilitar el estudio, los autores proponen descomponer la traducción de
enunciados en tres etapas: a) Enunciado -> Representación, b) Análisis
sintáctico y c) Representación -> Análisis.
Finalmente, los investigadores concluyen que la Teoría APOE permite hacer un
análisis del proceso de traducción y la descomposición genética propuesta
evidencia las acciones mínimas que posibilitan un mejor aprendizaje y que se
reflejan en las estructuras mentales que se deben formar en un proceso
instructivo.
Comentario: Es de suma importancia la relación que se plantea entre análisis
teórico mencionado por los autores y la descomposición genética de la teoría
APOE, ya que de acuerdo con lo planteado en la investigación, la comprensión
de un concepto matemático en particular de debe realizar primero desde la
indagación teórica del concepto que dan diferentes autores, textos, libros guías
93 Anexos
y trabajos de investigación, y de acuerdo con ello plantear el proceso más
adecuado que se ajuste al proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Luego, la descomposición genética o análisis teórico del concepto que realicen
los estudiantes debe dar constancia de las estructuras mentales y de su
evolución según avancen en las etapas del proceso planteado en pro de la
construcción del concepto matemático tratado.
Por otro lado, se resalta la importancia de repetir el proceso de enseñanza
propuesto las veces que sea necesario con el fin de obtener mejores resultados
en la intención de alcanzar ese esquema mental que posibilite la comprensión
del tema a tratar.
Referencia: Ramírez, J., Azcárate, C. & Manya, F. (2004). La teoría APOE y su
aplicación en la traducción de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la
lógica de primer orden. Acta Latinoamericana de matemática educativa. (17),
313-318.
5. Año: 2016 Carácter de la publicación: Tesis de
maestría.
Autores: Diana Lucía Domínguez
Patiño
Título: Secuencia didáctica que le
permite a los estudiantes de octavo y
noveno interpretar y usar las nociones
de conteo en la solución de problemas
de combinación y permutación.
Resumen: La propuesta presentada pretende favorecer los mecanismos
mentales que contribuyen en la construcción de los conceptos de combinación y
permutación teniendo como fundamento la Teoría APOE.
94 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Basado en la teoría APOE, se procura realizar una descripción teórica del
concepto la cual recibe el nombre de descomposición genética (DG). Dicha DG
permite constituir el concepto matemático, orienta el orden del contenido a
enseñar y el planteamiento de las actividades que favorecen en la construcción
de las estructuras mentales (acción, proceso, objeto y esquema) que se buscan
desarrollar en los estudiantes.
Para la implementación de la propuesta de investigación, se presenta un ciclo
compuesto de tres componentes: análisis teórico, diseño e implementación de
enseñanza y observación, análisis y verificación de datos. Para ello, se diseña
una secuencia didáctica que cuenta los siguientes momentos: prueba
diagnóstica, planeación, ejecución y socialización.
La prueba diagnóstica es una herramienta pedagógica que tiene como objetivo
ser el punto de partida y de acuerdo con los resultados obtenidos ser el insumo
para el planteamiento de la descomposición genética y la estructuración del
concepto a trabajar.
Para la propuesta de la secuencia didáctica, se realizarán tres de ellas, donde
cada una comprende un objetivo, una situación fundamental, una intención y
cuatro guías. La guía N°1 tiene como objetivo trabajar el proceso de acción y se
desarrollará de manera individual. Las guías 2, 3 y 4 se enfocarán en las
situaciones de proceso, objeto y esquema respectivamente y serán propuestas
para un trabajo en parejas.
La investigación se realizó en estudiantes de grado noveno, ya que de acuerdo
con Piaget en esa edad entre los 14 y 17 años los estudiantes se encuentran en
la etapa de operaciones formales, lo cual posibilita la adquisición de la capacidad
de utilizar procesos sistemáticos que permiten establecer las posibles
permutaciones, variaciones y combinaciones de cierto conjunto de elementos.
95 Anexos
Finalmente, luego de la aplicación de la secuencia didáctica, la autora concluye
que una propuesta basada en la descomposición genética de la teoría APOE es
viable y de ella se pueden construir nuevas propuestas didácticas para la mejora
de la enseñanza y aprendizaje de conceptos matemáticos y ser implementada
en la institución educativa que se desee.
Comentario: En concordancia con lo expuesto en el trabajo de investigación
abordado, es de gran valor la estrategia que se implementa en la secuencia
didáctica en especial las guías didácticas desarrolladas, ya que es bastante
practico enfocar cada guía a cada uno de los elementos de la teoría APOE y
permite particularizar cada una de las actividades allí propuestas, analizarlas y
lograr las conclusiones y recomendaciones pertinentes de acuerdo con su
desarrollo.
Referencia: Domínguez, D. (2016). Secuencia didáctica que le permite a los
estudiantes de octavo y noveno interpretar y usar las nociones de conteo en la
solución de problemas de combinación y permutación (Tesis de maestría).
Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia.
SEL2X2
6. Año: 2013 Carácter de la publicación: Tesis de
maestría.
Autores: Bibiana Sirley Arenas Suaza. Título: Las ecuaciones lineales, desde
situaciones cotidianas.
Resumen: Arenas (2013), en su tesis de maestría “Las ecuaciones lineales,
desde situaciones cotidianas”, propone una experiencia que apoye el proceso de
enseñanza aprendizaje de estudiantes de grado noveno en la temática de
96 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
sistemas de ecuaciones lineales 2X2 y su transversalización con las demás
ciencias del conocimiento.
La metodología propuesta consiste en tener en cuenta los contextos en que viven
los estudiantes y a partir de esas situaciones cotidianas generar una estrategia
de enseñanza aprendizaje basada en la práctica. Dicha metodología está dividida
en cinco fases: 1) caracterización y selección de la información, 2) diseño e
implementación, 3) aplicación, 4) análisis de resultados y 5) conclusiones.
Para el diseño de las actividades y los experimentos realizados, se dio uso a
herramientas y recursos tecnológicos, para lo cual se realizó la intervención a
través de la plataforma virtual Moodle.
La autora trabajó con dos grupos, uno control y otro experimental. Ante lo cual
concluyó luego de realizar las intervenciones propuesta que, se evidencian
mejores resultados cuando se utilizan softwares educativos, animaciones,
simulaciones, entre otras herramientas.
En el grupo experimental, se favoreció el desarrollo de distintos procesos de
pensamiento debido a que el estudiante percibe los conceptos matemáticos de
una manera diferente vinculando los modos de pensamiento sintético-
geométrico, analítico-aritmético, y analítico-estructural.
Comentario: Se destaca el interés de la autora por trabajar los sistemas de
ecuaciones lineales 2x2 a partir de situaciones problemas relacionados con los
contextos sociales y culturales de los estudiantes. Además, de favorecer los
procesos de enseñanza aprendizaje por medio de la implementación de las TIC
dando uso a plataformas como Moodle y las diferentes herramientas educativas
que esta trae consigo.
Referencia:
97 Anexos
7. Año: 2013 Carácter de la publicación: Artículo
de investigación
Autores: Aura Alejandra Ariza Daza &
Jorge Alejandro Rojas Gómez
Título: Propuesta didáctica para la
enseñanza de los métodos para
resolver un sistema de ecuaciones
lineales
Resumen: En la propuesta didáctica se pretende mostrar la relevancia de la
enseñanza de los diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones
lineales. Para ello, los autores se basan en la metodología de la teoría de las
situaciones didácticas de Brousseau.
Ariza & Rojas (2013), evidencian que las principales dificultades de los
estudiantes en el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 es que no
identifican el método más pertinente a usar en la solución de un problema
matemático dado, además, no dominan el concepto de variable o incógnita y por
lo tanto tienen inconvenientes al designar con letras distintas a incógnitas
diferentes.
Con respecto a lo anterior, los investigadores concluyen que esto es debido a
que no hay un adecuado manejo del concepto y una correcta manipulación de
ecuaciones lineales.
Para el diseño de la propuesta didáctica, Ariza & Rojas (2013) plantean dos
situaciones fundamentales de aprendizaje. La primera situación tiene como
objetivo lograr que los estudiantes identifiquen ecuaciones lineales y
comprendan los conceptos de función lineal y pendiente. En esta situación se
pretende que la comprensión de función lineal se dé a partir del manejo de datos
en tablas, diagramas en el plano cartesiano y su correspondiente expresión
algebraica.
98 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
La segunda situación tiene como objetivo impulsar en los estudiantes la
capacidad de comprender en qué situaciones de debe plantear un sistema de
ecuaciones lineales, reconocer los deferentes métodos de solución de dicho
sistema y usar el más pertinente o adecuado para dar solución al problema.
Entre los logros y dificultades que se evidenciaron durante y luego de la
implementación de las situaciones de aprendizaje se observa que los estudiantes
quieren llegar a una respuesta de manera inmediata o que sea dada por el
profesor. Además, varios de los estudiantes intentan establecer una sola
ecuación lineal cuando el problema requiere de dos o más ecuaciones para poder
construir el sistema.
Se destaca que algunos estudiantes indagan en diferentes fuentes educativas
sobre la solución de un sistema de ecuaciones lineales, identificando el método
de igualación y sustitución.
Comentario: Se resalta la importancia que dan los investigadores a la
comprensión del concepto y al manejo adecuado de conceptos previos como
ecuación de primer grado y función lineal ya que, a partir de allí, teniendo claridad
de términos tales como variable o incógnita, variable dependiente e
independiente, pendiente; se facilitan los procesos de aprendizaje y enseñanza
de los sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución.
Por otro lado, y de acuerdo con Ariza & Rojas (2013), es necesario que el docente
realice una reflexión constante de su práctica, no solo al finalizar una clase, sino
también antes y durante la misma. En otras palabras, durante la fase preactiva,
interactiva y postactiva.
Referencia:
99 Anexos
8. Año: 2017 Carácter de la publicación: Tesis de
maestría
Autores: Diana Patricia Atehortúa
Bedoya
Título: Propuesta metodológica para la
enseñanza de los sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas
mediante problemas de aplicaciones
contables.
Resumen: De igual forma, Atehortúa (2017) en su tesis de maestría sobre la
enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante
resolución de problemas, propone una metodología a través de una secuencia
didáctica, ya que esta permite que el estudiante logre las metas educativas
propuestas por medio de varios recursos y así garantizar la mejora sustancial del
proceso de aprendizaje.
Además, se propone una secuencia didáctica que este compuesta por tres
experiencias especiales. La experiencia conceptual, en la cual se plantean
actividades que llevan al estudiante a realizar de deducción de los conceptos
matemáticos que se desean trabajar de tal forma que los mismos puedan ser
aplicados en ejercicios trabajados más adelante. La experiencia práctica, donde
se plantean actividades que tienen que ver con la aplicación de los conceptos en
situaciones problemas específicas. Y la experiencia de análisis, en la cual se
evalúan los conceptos presentados durante las guías, Atehortúa (2017).
Comentario: Con respecto a esta propuesta de intervención, se resalta que
trabajar los métodos de solución y la resolución de problemas en la enseñanza
de los sistemas de ecuaciones lineales, posibilita en los estudiantes desarrollar
habilidades que los acercan y los familiarizan con el concepto matemático, y
permite fortalecer los procesos de comunicación, razonamiento y resolución de
problemas.
100 Resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 a partir de la
comprensión matemática y la teoría apoe
Referencia: Atehortúa, D. (2017). Propuesta metodológica para la enseñanza de
los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante problemas de
aplicaciones contables (Tesis de maestría). Universidad Nacional de Colombia,
Medellín.