Enl@ce: Revista Venezolana de Informacin,Tecnologa y ConocimientoISSN: 1690-7515revistaenlace@gmail.comUniversidad del ZuliaVenezuela

Nieto S., Jos H.Resolucin de problemas, Matemtica y Computacin

Enl@ce: Revista Venezolana de Informacin, Tecnologa y Conocimiento, vol. 2, nm. 2, mayo-agosto, 2005, pp. 37-45

Universidad del ZuliaMaracaibo, Venezuela

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Enl@ce: Revista Venezolana de Informacin,Tecnologa y Conocimiento

LUZ-SAILUZ. ISSN: 1690-7515Depsito legal pp 200402ZU1624Ao 2: No. 2, Mayo-Agosto 2005, pp. 37-45

Resolucin de problemas, Matemtica y Computacin

Jos H. Nieto S. 1

Resumen

El objetivo del trabajo es presentar una reflexin sobre la importancia de la resolucin de problemas en elproceso de enseanza y aprendizaje de la ciencia, en particular en los casos de la matemtica y la ciencia de lacomputacin. El trabajo muestra la forma en que se deben resolver problemas a partir del mtodo propuesto porGeorge Plya (1887-1985). A partir de all, se consideraron las experiencias y resultados obtenidos en las OlimpiadasMatemticas que se celebran en Venezuela, haciendo una analoga de la resolucin de problemas en el mundo de lacomputacin. Igualmente, se plantean los alcances de los diferentes eventos que apoyan la enseanza de la ciencia,en especial con las olimpadas matemtica y los maratones de programacin en computacin, y cmo ellos incentivany estimulan a preparase para la resolucin de problemas.

Palabras clave: heurstica, computacin, matemtica, concursos de problemas.

1 Profesor Emrito de la Universidad del Zulia. Adscrito al Programa de Promocin al Investigador (PPI).Correo-electrnico: jhnieto@luz.edu.ve, jhnieto@demat.org.ve, jhnieto@cantv.net. Pgina web http://mipagina.cantv.net/jhnieto/index.htm

Recibido: 17-05-05 Aceptado: 07-07-05

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Resolucin de problemas, Matemtica y ComputacinJos H. Nieto S.

Resolution of problems, Mathematical and ComputerScience

Abstract

The objective of the work of this paper is to make a reflection on the importance of problem solving in theprocess of teaching and learning science, particularly in the cases of mathematics and computer science. The workshows the form in which problems are solved from the method proposed by George Plya are due to solve (1887-1985). From there, it were considered the experiences and results obtained in the Mathematical Olympic Gamesthat are celebrated in Venezuela, doing an analogy of the resolution of problems in the world of the computation.Also, it analyzes the reaches of the different events that support the education of science, in special with mathematicalOlympic competition and computer programming competition, and how they stimulate to prepare them for theresolution of problems.

Key words: problem solving, heuristics, computer science, mathematics, problem contests.

Introduccin

Un problema es un obstculo arrojado antenuestra inteligencia para ser superado, unadificultad que exige ser resuelta. El ser humanovive resolviendo problemas,: desde el de satisfacersus necesidades bsicas hasta los ms complejosdesafos cientficos y tecnolgicos. La importanciade la resolucin de problemas es evidente: elbienestar individual y social, y en ltima instanciala supervivencia misma de la especie humana,dependen de esta habilidad. No es de extraar,por lo tanto, que la resolucin de problemas sehaya convertido en un nuevo objeto de estudio,atrayendo por igual la atencin de psiclogos,ingenieros, matemticos, especialistas en inteli-gencia artificial y cientficos de todas las disci-plinas.

En el campo educativo se ha reconocidoampliamente su importancia, y en la actualidad

se considera que esta actividad debe ser el puntofocal de la enseanza de la ciencia, desde laescuela primaria hasta la universidad, permeandotodo el proceso de enseanza-aprendizaje yproporcionando un contexto adecuado en el cualaprender conceptos y teoras y desarrollar nuevashabilidades y destrezas. Por ejemplo en unapublicacin fundamental el Consejo de Maestrosde Matemtica de los Estados Unidos de Amricaafirma que la resolucin de problemas es lapiedra angular de la matemtica escolar. Sin lahabilidad para resolver problemas, la utilidad yel poder de las ideas matemticas, su conoci-miento y habilidades, estn severamentelimitados. Los estudiantes que pueden multipli-car eficientemente y con precisin pero que nopueden identificar situaciones que requieren dela multiplicacin no estn bien preparados. Losestudiantes que pueden desarrollar y llevaradelante un plan para resolver un problema

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exhiben un conocimiento matemtico que esmucho ms profundo y til que la simple rea-lizacin de un clculo. A menos que los estu-diantes sean capaces de resolver problemas, loshechos, conceptos y mtodos que conozcan sernde poca utilidad. El objetivo de la matemticaescolar debera ser que los estudiantes se vuelvancada vez ms capaces y deseosos de enfrentar yresolver problemas (National Council of Teachersof Mathematics, 2000).

Lamentablemente, es muy comn que seexpongan ante el alumno los productos y resul-tados de la resolucin de problemas, ocultando elproceso mismo. Si examinamos un libro de textode matemtica, fsica o Qumica, con problemasresueltos, encontraremos por lo general solu-ciones tersas y acabadas. Rara vez el autor incluyecomentarios sobre los intentos fallidos de solu-cin, los casos particulares examinados antes dellegar a la solucin general o los refinamientosrealizados a una primera solucin no totalmentesatisfactoria. Estos y otros elementos del procesoson cuidadosamente eliminados y lo que sepresenta es el producto final, pulido y elegante.Hay muchas posibles razones para esto: criteriosestticos de concisin y elegancia consagrados porla tradicin, razones econmicas de las editoriales,etc. Pero la consecuencia es que el estudianteobtiene una visin falseada de lo que es resolverproblemas y de la actividad cientfica en general.Si el profesor entiende y valora la resolucin deproblemas, entonces las actividades de aulasuplirn las deficiencias del texto. Pero si no esas y el profesor sigue el libro de texto al pie de laletra, al enfrentarse al primer fracaso el estudiante

terminar frustrado, perder la confianza en lmismo y creer que resolver problemas es unaactividad incomprensible, accesible tan solo aunos pocos superdotados. Lo que es peor, buscarremediar su situacin recurriendo a procedi-mientos inadecuados, desarrollando vicios de con-ducta y pensamiento que dificultarn su procesoposterior de aprendizaje.

Resolucin de problemas y matemtica

La importancia de la resolucin de pro-blemas en matemtica queda plasmada en lasiguiente frase del reconocido matemtico PaulR. Halmos, en su artculo El corazn de lamatemtica (Halmos, 1980): La principal raznde existir del matemtico es resolver problemas,y por lo tanto en lo que realmente consisten lasmatemticas es en problemas y soluciones.

En 1945 el insigne matemtico y educadorGeorge Plya (1887-1985) public un libro querpidamente se convertira en un clsico: How tosolve it (Plya, 1945). En el mismo, Plya rescatala antigua palabra heurstica y la aplica a lacomprensin del proceso que lleva a la resolucinde problemas matemticos, en particular a lasoperaciones mentales tpicamente tiles en eseproceso. Plya propone una metodologa deresolucin de problemas con cuatro etapas, a cadauna de las cuales le asocia una serie de preguntasy sugerencias que, aplicadas adecuadamente,ayudarn a resolver el problema. Las cuatroetapas y las preguntas a ellas asociadas se detallana continuacin:

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I. Comprensin del problema

Cul es la incgnita? Cules son los datos?Cual es la condicin?

Es la condicin suficiente para determinarla incgnita? Es insuficiente?

Redundante? Contradictoria?

II. Concepcin de un plan

Se ha encontrado con un problema seme-jante? Ha visto el mismo problema plan-teado en forma ligeramente diferente?Conoce un problema relacionado con ste?Conoce algn teorema que le pueda ser til?Mire atentamente la incgnita y trate derecordar un problema que le sea familiar yque tenga la misma incgnita o una incgnitasimilar. He aqu un problema relacionado conel suyo y que se ha resuelto ya. Podrautilizarlo? Podra emplear su resultado?Podra utilizar su mtodo? Podra utilizarlointroduciendo algn elemento auxiliar?Podra enunciar el problema en otra forma?Podra plantearlo en forma diferentenuevamente? Refirase a las definiciones. Sino puede resolver el problema propuesto,trate de resolver primero algn problemasimilar. Podra imaginarse un problemaanlogo un tanto ms accesible? Unproblema ms general? Un problema msparticular? Un problema anlogo? Puederesolver una parte del problema? Considereslo una parte de la condicin; descarte laotra parte; en qu medida la incgnita quedaahora determinada?, en qu forma puedevariar? Puede usted deducir algn elementotil de los datos? Puede pensar en algunos

otros datos apropiados para determinar laincgnita? Puede cambiar la incgnita?Puede cambiar la incgnita o los datos, oambos si es necesario, de tal forma que lanueva incgnita y los nuevos datos estn mscercanos entre s? Ha empleado todos losdatos? Ha empleado toda la condicin? Haconsiderado usted todas las nociones esen-ciales concernientes al problema?

III. Ejecucin del plan

Al ejecutar el plan, compruebe cada uno delos pasos. Puede ver claramente que el pasoes correcto? Puede demostrarlo?

IV. Visin retrospectiva

Puede usted verificar el resultado? Puedeverificar el razonamiento?

Puede obtener el resultado en forma dife-rente? Puede verlo de golpe?

Puede emplear el resultado o el mtodo enalgn otro problema?

Si bien, la mayora de los matemticosreconocen en las estrategias heursticas de Plyalos mtodos que ellos mismos utilizan habi-tualmente, no es tan fcil para el que no tieneexperiencia aplicarlas exitosamente. En otraspalabras, dichas estrategias son ms descriptivasque prescriptivas. Alan Schoenfeld (Schoenfeld,1985, 1992) es uno de los que ms han estudiadoesta problemtica. En su anlisis identifica lossiguientes cuatro factores relevantes para laresolucin de problemas:

Recursos cognitivos. Son nuestros cono-cimientos matemticos generales, tanto de

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conceptos y resultados como de procedi-mientos (mtodos y algoritmos).

Heurstica. Es el conjunto de estrategias ytcnicas para resolver problemas que cono-cemos y estamos en capacidad de aplicar.

Control o metacognicin. Es la capacidadde utilizar lo que sabemos para lograr unobjetivo.

Creencias. Se refiere a aquellas creencias yopiniones relacionadas con la resolucin deproblemas y que pueden afectarla favorable odesfavorablemente.

Olimpiadas Matemticas

Las competencias de resolucin de pro-blemas matemticos son una vieja tradicin enmuchos pases, que probablemente se remontahasta la antigua Grecia. Son famosas las compe-tencias para resolver ecuaciones cbicas que serealizaron en el siglo XVI en Italia. En Franciahubo competencias matemticas en el siglo XVIIIy Hungra comenz a realizar en 1894 las com-petencias Etvs, las cuales (con el nombreKrschk a partir de 1947) han continuado hastael da de hoy y son el ms cercano antecedente delas modernas Olimpiadas Matemticas. Las com-petencias Etvs tuvieron enorme influencia enel desarrollo de la matemtica hngara, gran partede cuyos mejores matemticos pasaron por ellas(Hersh, 1993). La primera Olimpiada Matemtica,con ese nombre, tuvo lugar en Leningrado (actualSan Petersburgo) en 1934, y la segunda en Moscen 1935, organizadas por B. N. Delone y G. M.Frijtengolts. Las Olimpiadas Matemticas se

popularizaron en toda la (para entonces) UninSovitica y luego se extendieron a pases comoRumania, Polonia, Alemania, Bulgaria y Che-coslovaquia.

En una conferencia Delone (s.f.) expres:Un alumno no es un recipiente que hay que llenarde conocimientos, sino una antorcha que hay queencender. Ese espritu ha prevalecido hastanuestros das en la preparacin de los alumnosque participan en las olimpiadas. A diferencia delo que ocurre en la enseanza tradicional de lamatemtica, en la cual los alumnos realizan ejer-cicios mecnicos sobre los temas especificados enel programa de estudios, dejando de lado el placerde entender y pensar por s mismos, en las Olim-piadas Matemticas se les presentan verdaderosproblemas que no requieren del conocimiento demuchos contenidos, pero s presentan un desafotal que en la bsqueda de sus soluciones los alum-nos construyen significados, redescubren concep-tos bsicos y adquieren habilidades y destrezas degran utilidad para sus estudios posteriores.

En Venezuela la historia de las olimpiadasmatemticas comienza en 1975, cuando el pro-fesor Saulo Rada Aranda elabora un proyecto deolimpiadas como medio para promover la mate-mtica en la enseanza media venezolana. Elproyecto fue acogido por el Centro Nacional parael Mejoramiento de la Enseanza de la Ciencia(Cenamec). Es as, como en el ao 1976 se organizapor primera vez, con carcter experimental, laOlimpiada Matemtica Venezolana (OMV), conapoyo del Ministerio de Educacin y el ConsejoNacional de Investigaciones Cientficas yTecnolgicas (Conicit). Este programa se man-

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tuvo durante 27 aos, alcanzando una parti-cipacin global de ms de un milln de jvenesde todas las regiones del pas y de institucioneseducativas tanto pblicas como privadas. A partirdel ao 2001 las autoridades del Cenamec comen-zaron a mostrar un desinters cada vez mayor porlas actividades olmpicas, hasta que en el ao 2003cancelaron el programa de olimpiadas matem-ticas as como todas las dems competencias que,siguiendo el ejemplo de la OMV, se haban idogenerando a travs de los aos (las OlimpiadasVenezolanas de Qumica y de Fsica y la OlimpiadaPetrolera). Este acto de barbarie cultural, cient-fica y educativa se consum sin que mediaraningn estudio serio o evaluacin del impacto quehaban tenido los mencionados programas. Entodo caso, el espritu olmpico en Venezuela nodecay sino que, por el contrario, tom un nuevoaliento. La OMV ya haba dado origen a otras com-petencias matemticas en Venezuela, entre lascuales cabe destacar la Olimpiada Recreativa deMatemticas, promovida por el profesor JorgeSalazar2 desde el ao 1993. Por otra parte, en elao 2002 se inicia la Olimpiada Juvenil deMatemticas, con el objeto de atender a los alum-nos que cursan desde octavo grado hasta segundoao del ciclo diversificado. Se cre la AsociacinVenezolana de Competencias Matemticas(AVCM) y con el apoyo de la Asociacin Mate-mtica Venezolana (AMV) y el aval de la Acade-mia Venezolana de Ciencias Fsicas, Matem-ticas y Naturales se comenz a desarrollar unamplio programa de seleccin y entrenamiento de

estudiantes. Para el prximo ao la AVCM planeaextender el programa de olimpiadas matemticas,comenzando desde el primer grado de primaria.

Entre los logros obtenidos por estudiantesvenezolanos en competencias internacionalespodemos mencionar que en la Olimpiada Interna-cional de Matemticas (IMO) el estudiante gua-riqueo Adolfo Rodrguez obtuvo dos medallas deplata (aos 2001 y 2003), en la Olimpiada Ibero-americana el joven zuliano David Segu obtuvo oroen el ao 2000. En la Olimpiada Centroamericanay del Caribe, Venezuela ha obtenido dos medallasde oro, 4 de plata, 4 de bronce y la Copa El Sal-vador (como pas de mayor progreso relativo) enel ao 2004. En la Olimpiada Bolivariana del ao2004 Andrs Guzmn y Leonardo Urbina obtu-vieron oro, en los niveles intermedio y superior,respectivamente. En la Olimpiada Internacionalde Matemticas Universitarias, Adolfo Rodrguezobtuvo oro en el 2005. Los estudiantes partici-pantes en estas olimpadas han realizado con granxito carreras universitarias en las reas de mate-mtica, computacin, ingeniera y otras ciencias.

Ciencia de la Computacin

La Ciencia de la Computacin (CC) puededefinirse como el estudio de la resolucin deproblemas con el computador. El diseo yconstruccin de computadoras concierne a laelectrnica y a la ingeniera. Esto lo dej en claroEdsger W. Dijkstra, uno de los miembros de mayor

2 Universidad Pedaggica Experimental Libertador (UPEL).

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influencia de la generacin de fundadores de laCC, cuando dijo que la ciencia de la computacinno se ocupa de las computadoras ms de lo quela astronoma se ocupa de los telescopios. La CCse ocupa de cuestiones como las siguientes:

Cmo podemos usar el computador pararesolver un problema concreto? (diseo dealgoritmos, lenguajes de programacin, es-tructuras de datos)

Porqu algunas soluciones son mejores queotras? (anlisis de algoritmos, teora de la com-plejidad)

Cmo podemos estar seguros de que unasolucin hallada con el computador es correc-ta? (verificacin formal de programas)

Qu problemas pueden ser resueltos con elcomputador y cules no? (teora de la compu-tacin)

Debera ser evidente entonces la impor-tancia de la resolucin de problemas para quienesdeseen dedicarse a la CC.

El lenguaje de la Ciencia de la Computacines la matemtica, aunque con un nfasis diferenteal que tiene en los estudios tradicionales deciencias e ingeniera. En efecto, la combinatoria,la teora de grafos, la teora de nmeros, el lgebray la lgica son ms relevantes para la CC que elClculo y las Ecuaciones Diferenciales. Esto nosignifica que el computista pueda ignorar porcompleto la matemtica del continuo, ya quetopar con ella al tratar de resolver problemas defsica, qumica o ingeniera. Pero la matemticadiscreta es la que est en el corazn mismo de laCC. Adems el concepto de algoritmo, presente

en la matemtica desde la antigedad, cobra enel caso de la CC una relevancia de primer orden.

Para hacer Ciencia de la Computacin serequieren conocimientos matemticos y habilidadpara resolver problemas. Recprocamente losconocimientos de computacin hacen posible lasolucin de muchos problemas matemticos,cientficos y tcnicos que de otro modo seraninaccesibles.

Maratones de programacin

Los maratones de programacin son unaactividad que proporciona a los estudiantes uni-versitarios la oportunidad de trabajar en equipopara resolver problemas algortmicos a travs deldesarrollo de programas. Son el equivalente, enel campo de la computacin, de las olimpiadasmatemticas universitarias. La Association forComputing Machinery (ACM) es una organi-zacin cientfica y educativa de nivel internacionaldedicada al desarrollo de la ciencia de la compu-tacin y de las tecnologas de la informacin. ElACM International Collegiate ProgrammingContest (ACM-ICPC) es una actividad organizaday auspiciada por la ACM desde 1977. El MaratnSuramericano de Programacin es el evento quese realiza en Suramrica en el marco del ACM-ICPC.

En Venezuela, los maratones de progra-macin se iniciaron en la Escuela de Computacinde la UCV en 1996. En 1997 la UCV envi porprimera vez un equipo a la Eliminatoria RegionalSur Americana de Programacin en Campinas,Brasil. Con la experiencia ganada se realiz en1998 el primer Maratn Nacional de Programa-

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cin, el cual cont con la participacin de ochouniversidades (ULA, UC, UCAB, UNE, UCV, LUZ,USB, y UCLA). A partir de ese ao, con la parti-cipacin en la eliminatoria regional Surame-ricana, Venezuela ingres al circuito mundial demaratones de programacin. Desde entoncesotras universidades venezolanas, pblicas yprivadas, se han incorporado a esta interesanteactividad.

Lamentablemente en Venezuela todava nohay, como en otros pases, concursos nacionalesde computacin para estudiantes de enseanzamedia. Esos concursos, adems de generar entu-siasmo entre estudiantes y profesores, serviranpara descubrir vocaciones tempranas y para pro-yectar una imagen ms precisa de esta disciplina,que muchos de nuestros bachilleres escogen comocarrera universitaria sin saber realmente de quse trata.

Conclusiones

La resolucin de problemas debe ser elpunto focal de la enseanza de la ciencia, desdela escuela primaria hasta la universidad. Esto escrtico en los casos de la matemtica y la cienciade la computacin. Una forma efectiva de esti-mular el entusiasmo por la resolucin de proble-mas la constituyen los concursos, tipo olimpiadasmatemticas y maratn de programacin. Lo ideales que estos concursos se realicen desde los pri-meros niveles educativos, ya que as los alumnosadquieren desde temprana edad el gusto por laresolucin de problemas y una metodologa ade-cuada para enfrentarlos, que les resultar til a

lo largo de toda su carrera acadmica y profe-sional.

En el caso de la matemtica, en Venezuelaya se ha avanzado bastante, aunque falta un largocamino por recorrer que pasa por la incorporacinde un porcentaje cada vez mayor de alumnos deenseanza primaria y media a estas actividades.En el caso de la computacin la experiencia vene-zolana prcticamente se reduce al nivel univer-sitario. Lo ideal sera promover actividades simi-lares dirigidas a los estudiantes de enseanza me-dia, aprovechando la experiencia acumulada enpases con condiciones similares a las nuestras,como es el caso de Colombia, Brasil, Mxico yArgentina. Esta tarea podra ser iniciada, concarcter experimental, por una universidad comoLUZ, a travs de su Departamento de Compu-tacin.

Bibliografa

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