Resumen del Método Gráfico Limitaciones Es subjetivo, depende de la persona que grafica y de su...
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Resumen del Método Gráfico
• Limitaciones• Es subjetivo, depende de
la persona que grafica y de su criterio.
• Proporciona un intervalos grande y pesimista
• No es reproducible, cada experimentador proporciona diferentes aproximaciones para datos iguales
• Ventajas• Es buen estimador cuando
se tiene pocos resultados (menos de diez).
• Nos permite decidir si vale la pena efectuar un experimento más preciso.
• En caso de no contar con una calculadora o computadora, éste método nos permite efectuar una estimación válida.
Método de los Mínimos CuadradosSubsana limitaciones del método anterior
• Ventajas adicionales• Es objetivo, sólo depende de
los resultados experimentales.• Es reproducible, proporciona la
misma ecuación no importa quién realice el análisis.
• Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales.
• Proporciona intervalos pequeños de error.
• Restricciones• Sólo sirve para ajustar
modelos lineales• Requiere tener, al menos, diez
mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales.
• Tales resultados deben estar descritos por una distribución de probabilidad conocida. La más común es la distribución normal o gaussiana.
• Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso.
Definiciones Preliminares
• El método de los mínimos cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales.
• Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones
Definiciones Preliminares
• ASÍ PUES, SOLAMENTE NOS SIRVE PARA AJUSTAR
• MODELOS LINEALES
• SI ESTE NO ES EL CASO, SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE
Definiciones Preliminares
• El método de los mínimos cuadrados se calcula en base al siguiente
• CRITERIO
• La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima.
GRÁFICAMENTE
GRÁFICAMENTE
DIBUJAMOS UNOS EJES DE COORDE-NADAS
0 x
y
GRÁFICAMENTE
GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
GRÁFICAMENTE
TRAZA-MOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE:
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
L
GRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
δy = yi – y(xi)
L
GRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
Para todos los puntos
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
xi
yi
y(xi)δy = yi – y(xi)
δy = yi – (mxi + b)
L
GRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
Esta distancia se tomará al cuadrado.
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
xi
yi
y(xi)δy = yi – y(xi)
δy = yi – (mxi + b)
δy2 =[ yi – (mxi + b)]2... Ec. 1
L
CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.
CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,
CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen
2
i2i
iiii2i
xxn
yxxyxb
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b.
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen con su error; de la “mejor recta”:
2
i2i
iiii2i
xxn
yxxyxb
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2
i2i
2i
bxxn
xS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN,
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
VD = pendiente VI + ord. al origen
y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las
unidades u, y la x está en las unidades u´.
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO.
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
VD = pendiente VI + ord. al origen
y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las
unidades u, y la x está en las unidades u´.
Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distriubuyen normalmente
EJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
EJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml
1 10 9.9
2 15 15.3
3 20 19.8
4 25 25.2
5 30 29.9
6 35 35.3
7 40 39.8
8 45 45.2
9 50 49.9
10 55 55.1
EJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml
1 10 9.9
2 15 15.3
3 20 19.8
4 25 25.2
5 30 29.9
6 35 35.3
7 40 39.8
8 45 45.2
9 50 49.9
10 55 55.1
•Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y
•Determinar el valor de la densidad del agua.
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
donde M está en g, y V está en ml.
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
2
2
2
)1()005.0)(1(
10
000.111
m
EJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
Así pues, la densidad será: ρ = 1.000± 0.005 g/ml.
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
2
2
2
)1()005.0)(1(
10
000.111
m
Resumiendo• Método gráfico• MÉTODO SUBJETIVO,
PROPORCIONA ERRORES GRANDES Y ES UNA ESTIMACIÓN PESIMISTA.
• SON NECESARIAS MENOS DE DIEZ MEDICIONES.
• NO ES REPRODUCIBLE• NO ES NECESARIO TENER
UNA CALCULADORA O COMPUTADORA.
• PERMITE DECIDIR SI SE HACE UN EXPERIMENTO Y UN ANÁLISIS MÁS CUIDADOSO.
• Mínimos cuadrados• MÉTODO OBJETIVO.• PROPORCIONA ERRORES
PEQUEÑOS• Y ES UNA ESTIMACIÓN
PROBABILÍSTICA.• SE REQUIER DE, AL MENOS,
DIEZ MEDICIONES BAJO LAS MISMAS CIRCUNSTANCIAS EXPERIMENTALES
• Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONOCIDA.
• ES REPRODUCIBLE..• SE NECESITA ALGÚN
APARATO PARA CALCULARLO.