Robotica I - Sesion 4 - Herramientas de Localización Espacial

UCSM-EPIMMEM

30-Mar-15 -- 1 ROBTICA I Herramientas Matemticas

JCC

ROBTICA I

Herramientas Matemticas para la representacin de la localizacin espacial: Matrices de Transformacin Homognea (MTH)

UCSM-EPIMMEM


Representacin conjunta de posicin y

rotacin

2

PosicinCoordendas

cartesianas

(XYZ)

+

OrientacinMatrices de rotacin

OrientacinCuaternios

=

= LocalizacinVectores

LocalizacinMatrices de

transformacin

homognea

UCSM-EPIMMEM


Coordenadas homogneas Coordenadas homogneas

3

UCSM-EPIMMEM


Matrices de Transformacin

Homognea (MTH)

Matrices de Transformacin

Homognea (MTH)

Matriz 4x4 que representa la transformacin de un vector en coordenadas homogneas de un sistema de coordenadas a otro

R3x3: matriz de rotacin

p3x1: vector de traslacin

f1x3: transformacin de perspectiva ((0,0,0) en el caso de robtica)

w1x1: escalado global (1 en el caso de robtica)

4

TR p

f w

3x3 3x1

1x3 1x1

Rotacion Traslacion

Perspectiva Escalado

UCSM-EPIMMEM


Aplicacin de las MTH Aplicacin de las MTH

1. Representar la posicin y orientacin de un sistema girado y

trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia

OXYZ, que es lo mismo que representar una rotacin y traslacin

realizada sobre un sistema de referencia.

2. Transformar un vector r expresado en coordenadas con respecto a

un sistema O'UVW, a su expresin en coordenadas del sistema de

referencia OXYZ.

3. Rotar (R) y trasladar (p) un vector r con respecto a un sistema de

referencia fijo OXYZ para transformarlo en el r.

3x3 3x1Rotacin Traslacin

0 1 0 1

pRT

5

UCSM-EPIMMEM


Usos alternativos de las MTH

6

Y

X

ZR

p

r

r

V

WU

Y

X

Z T

r

T

Y

X

Z

V

WU

Rotacin Traslacin

0 1

T

x u

y v

z w

r r

r r

r r

1 1

T

x x

y y

z z

r' r

r' r

r' r

1 1

T

1 2 3

UCSM-EPIMMEM


Propiedades de las MTH

7

aon

aon

1

-1 T

= n o a n o a

1000

T

zyx

T

zyx

T

zyx

1-

pa

po

pn

Taaa

ooo

nnn

-1xyz uvwT r rxyz uvwr Tr

NO son Ortonormales

UCSM-EPIMMEM


Traslacin con MTH Traslacin con MTH

Matriz bsica de traslacin:

8

T p ( )

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

x

y

z

p

p

p

xx xx x

yy yy y

z z zz z

1 0 0 +p prr' r

0 1 0 +p prr' r

0 0 1 +p pr' r r

1 10 0 0 1 1

Desplazamiento de un vector:

ux ux x

vy vy y

z w wz z

1 0 0 +p prr r

0 1 0 +p prr r

0 0 1 +p pr r r

1 10 0 0 1 1

Cambio de sistema de coordenadas:

UCSM-EPIMMEM


Ejemplo de traslacin (I).

Trasladar el sistema (cambio de base)

Ejemplo de traslacin (I).

Trasladar el sistema (cambio de base)

Segn la figura el sistema O'UVW est trasladado un vector p(6,-3,8) con

respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector

r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

9

x

y

z

1

1 0 0 6

0 1 0 3

0 0 1 8

0 0 0 1

2

7

3

1

4

4

11

1

r

r

r

UCSM-EPIMMEM


Ejemplo de traslacin (II)

Trasladar el vector

Ejemplo de traslacin (II)

Trasladar el vector

Calcular el vector rxyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) segn la transformacin T(p) con p(6,-3,8)

10

x

y

z

1

1 0 0 6

0 1 0 3

0 0 1 8

0 0 0 1

r'

r'

r'

4

4

11

1

10

1

19

1

UCSM-EPIMMEM


Rotacin con MTH Rotacin con MTH

Matrices de rotacin bsicas:

11

cos( )

cos

1 0 0 0

0 -sen 0

0 sen 0

0 0 0 1

Rotx

cos 0 sen 0

0 1 0 0( )

sen 0 cos 0

0 0 0 1

Roty

cos sen 0 0

sen cos 0 0( )

0 0 1 0

0 0 0 1

Rotz

UCSM-EPIMMEM


Rotacin con MTH Rotacin con MTH

Cambio de sistema de coordenadas:

12

x u

y v3x3 3x1

wz

r r

r r

0 1 rr

11

R 0

x x

y y3x3 3x1

z z

r' r

r' r

0 1r' r

1 1

R 0

Rotacin de un vector:

UCSM-EPIMMEM


Ejemplo de rotacin Rotar el sistema (cambio de base)

Ejemplo de rotacin Rotar el sistema (cambio de base)

Segn la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90 alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las

coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

13

x

y

z

1

0 1 0 0

-1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4

8

12

1

8

- 4

12

1

r

r

r

UCSM-EPIMMEM


Combinacin de rotaciones y

traslaciones

Combinacin de rotaciones y

traslaciones

Es posible combinar rotaciones y traslaciones bsicas multiplicando las matrices correspondientes

El producto no es conmutativo:

rotar y trasladar trasladar y rotar

14

Girar Rotz() y trasladar T(p)

Trasladar T(p) y Girar

Rotz()

Transformaciones expresadas en el sistema fijo

UCSM-EPIMMEM


Orden de la combinacin de

rotaciones y traslaciones

Orden de la combinacin de

rotaciones y traslaciones

Rotacin seguida de traslacin (expresadas en sistema fijo):

15

p

cos sen p

sen cos p

x

y

z

1 0 0

0

0

0 0 0 1

T p Rotx( )

cos sen p

p

sen cos p

x

y

z

0

0 1 0=

0

0 0 0 1

T p Roty( )

cos sen p

sen cos p

p

x

y

z

0

0

0 0 1

0 0 0 1

T p Rotz( )

p

cos sen cos senp p

sen cos sen cosp p

x

y z

y z

1 0 0

0

0

0 0 0 1

Rotx( )T p

cos sen cos senp p

sen cos cos senp p

x z

y

z x

0

0 1 0 p

0

0 0 0 1

Roty( )T p

cos sin cos sinp p

sin cos sin cosp

p

x y

x y

z

0

0 p

0 0 1

0 0 0 1

Rotz( )T p

Traslacin seguida de rotacin (expresadas en sistema fijo):

UCSM-EPIMMEM


Ejemplo: combinacin de

rotacin y traslacin (1)

Un sistema OUVW ha sido girado 90

alrededor del eje OX y posteriormente

trasladado un vector p(8,-4,12) con

respecto al sistema OXYZ. Calcular las

coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con

coordenadas ruvw (-3,4,-11).

SOLUCIN:

16

x

y

z

1 0 0 8 3 5r

0 0 1 4 4 7r

0 1 0 12 11 16r

1 0 0 0 1 1 1

p

cos sen p

sen cos p

T p Rotx( )

x

y

z

1 0 0

0

0

0 0 0 1

Rotacin Traslacin Respecto del Sistema Fijo

UCSM-EPIMMEM


Ejemplo composicin de

rotacin y traslacin (2)

Un sistema OUVW ha sido trasladado un

vector p(8,-4,12) con respecto al sistema

OXYZ y girado 90 alrededor del eje OX .

Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del

vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11).

SOLUCIN:

17

x

y

z

1 0 0 8 3 5r

0 0 1 12 4 1r

0 1 0 4 11 0r

1 0 0 0 1 1 1

p

cos sen cos senp p

sen cos sen cosp p

x

y z

y z

1 0 0

0

0

0 0 0 1

Rotx( )T p

Traslacin Rotacin Respecto del Sistema Fijo

UCSM-EPIMMEM


Composicin general de MTH (I) Composicin general de MTH (I)

Si las Transformaciones son definidas sobre el sistema fijo (OXYZ) PREMULTIPLICACIN

18

0 1 0 0 1 0 0 5 1 0 0 0 0 0 1 5

1 0 0 0 0 1 0 5 0 0 1 0 1 0 0 5( ) ( ) ( )

0 0 1 0 0 0 1 10 0 1 0 0 0 1 0 10

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

T Rotz T p Rotx

EJEMPLO:

Obtener la matriz de transformacin que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante

giro de ngulo - alrededor del eje OX,

traslacin de vector pxyz(5,5,10)

giro de sobre el eje OZ

UCSM-EPIMMEM


Composicin general de MTH (II) Composicin general de MTH (II)

Transformacin definidas sobre el sistema mvil (OUVW) POSMULTIPLICACIN

19

1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3

0 1 0 10 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 10( ) ( ) ( )

0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 10

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

T T p Rotx Roty

EJEMPLO:

Obtener la matriz de transformacin que representa las siguientes transformaciones:

Traslacin de un vector pxyz(-3,10,10);

giro de -90 sobre el eje O'U del sistema trasladado

giro de 90 sobre el eje O'V del sistema girado.

UCSM-EPIMMEM


Reglas de composicin de MTH

Si el sistema OUVW se obtiene mediante

transformaciones definidas con respecto al:

Sistema fijo OXYZ, las MTH de cada transformacin se deben premultiplicar

Sistema mvil OUVW, las MTH de cada transformacin se deben postmultiplicar

20

UCSM-EPIMMEM


Interpretacin geomtrica de las MTH

21

1000

1000

zzzz

yyyy

xxxx

paonT

paon

paon

paon

p representa la posicin del origen de O'UVW con respecto del sistema OXYZ.

n representa las coordenadas del eje O'U del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.

o representa las coordenadas del eje OV del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.

a representa las coordenadas del eje O'W del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.

UCSM-EPIMMEM


Interpretacin geomtrica de las MTH.

Aplicacin en un robot

x x x x

y y y y

z z z z

po an

po an

0 0 0 1po an

0 0 0 1

n o a pT

22

La localizacin del extremo del robot respecto a

su base queda definida asociando a la base del

robot un sistema de referencia fijo {R}=(OXYZ)

y al extremo un sistema de referencia {H} que

se mueva con l. Expresado en la base {R}, el

origen de {H} est en el punto p y los vectores

directores de {H} son n, o, a escogidos de

modos que:

a: vector en la direccin de aproximacin del extremo del robot a su destino (approach).

o: vector perpendicular a a en el plano definido por la pinza del robot.

n: vector que forme terna ortogonal con los dos anteriores.

X

Y

Z

an

o

{R}

{H}

Robotica I - Sesion 4 - Herramientas de Localización Espacial

Documents

Transcript of Robotica I - Sesion 4 - Herramientas de Localización Espacial