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1 HCTOR PAREDES AGUILAR
GUA DE ESTUDIO
DINMICA DEL MOVIMIENTO ARMNICO
SIMPLE
1. PENDULO DE TORSION
Considrese un alambre fijo en su extremo
superior y sometido a la accin de un torque
deformador de eje vertical que hace girar al
extremo inferior un ngulo . Si
consideramos una seccin del alambre se ve
que el par aplicado produce un esfuerzo
cortante en la seccin y que el giro depende
de la rigidez del material con que est hecho
el alambre.
La ley de Hooke cuando la elongacin es
angular, se expresa as:
= . (1)
Figura 1 torsin de un alambre
donde es la constante elstica de torsin,
cuyo valor depende de las dimensiones del
alambre y del mdulo de rigidez G del
material:
= L
GR
2
4 (2)
Es evidente que el torque recuperador est
dado por: ' = . generado por las fuerzas
de cohesin intermolecular del alambre. Si
un objeto de masa m queda sujeto a la
accin nicamente del torque recuperador
se produce un movimiento oscilatorio
rotante cuya ecuacin se obtiene aplicando
la segunda ley de Newton para la rotacin:
= I = I
2
2
dt
d (3)
donde I es el momento de inercia del cuerpo
oscilante respecto al eje de rotacin:
02
2
Idt
d (4)
Donde se puede obtener la
frecuencia angular (o) o el periodo (T):
Figura 2 pndulo de torsin
Esto es: /I = 2 y = 2/T, de modo que
resulta:
IT 2 (4)
De acuerdo con estos resultados podemos
hallar el mdulo de rigidez del material del
alambre con la medicin de T e I y las
dimensiones del alambre en un: pndulo de
torsin.
F F
M
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2. PENDULO SIMPLE
Un pndulo simple es un objeto cuya masa
se considera concentrada en un punto a una
distancia L (longitud del pndulo) del punto
de suspensin o centro de rotacin.
Desde que la cuerda de suspensin es
inextensible y de peso despreciable la fuerza
neta sobre la masa pendular mostrada en la
figura 3 es tangente a la trayectoria y de
sentido opuesto al desplazamiento angular
por lo cual son de signos opuestos Esto es:
mg.sen = ma (5)
Donde la aceleracin lineal 'a' y la
aceleracin angular = d2/dt2 estn
relacionados por a = R, siendo R la longitud
del pndulo L
a = L = L2
2
dt
d (6)
Figura 3Pndulo simple
Reemplazando (5) en (6) y transformando
obtenemos la ecuacin diferencial del
movimiento del pndulo simple:
2
2
dt
d + L
g sen = 0 (7)
Esta ecuacin no corresponde a la de un
movimiento armnico simple. Por
consiguiente el movimiento del pndulo
simple no es armnico simple, es tan solo un
movimiento oscilatorio.
La solucin de la ecuacin (7) de forma un
tanto compleja, permite encontrar el periodo
del movimiento oscilatorio como una serie
infinita en trminos de la amplitud angular
o:
)2/(
2
112 2
2
2
oseng
LT
...)2/(
42
31. 4
22
22
osen (8)
Sin embargo el movimiento puede
considerarse MAS si en la ecuacin 7 en lugar
de sen escribimos ; esto si es posible con
la condicin de que la amplitud angular o
sea mucho menor que un radian. Esto es:
sen (
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o = L
g; T = 2
g
L (11)
Esto es; el periodo de las oscilaciones de
pequea amplitud es independiente de la
masa y de la amplitud angular
3. PNDULO FSICO
Los cuerpos suspendidos o apoyados que se
encuentran en equilibrio estable realizan
movimientos oscilatorios cuando una fuerza
externa o fuerza deformadora actuando
momentneamente desva al cuerpo de su
posicin de equilibrio.
Figura 4. Pendulo fsico
La posicin de equilibrio estable es para el
cuerpo una posicin de mnima energa
potencial por consiguiente cualquier
desviacin de sta posicin implica un
incremento de su energa potencial,
generndose de este modo una diferencia de
energa potencial o gradiente de potencial a
lo largo de su trayectoria y por tanto
tendremos una fuerza recuperadora que
tiende a llevar al cuerpo hacia su posicin de
equilibrio, pero gracias a la energa cintica
adquirida el movimiento se contina
repitindose cclicamente.
Consideremos como ejemplo un objeto de
forma arbitraria el cual est suspendido y
puede oscilar libremente como se muestra
en la Figura 4. En estas condiciones el objeto
se denomina pndulo fsico y su movimiento
se puede caracterizar como un movimiento
oscilatorio en torno a un eje horizontal
perpendicular al plano del papel y que pasa
por el punto de suspensin. Sea el
desplazamiento angular instantneo del
pndulo, s, la longitud de la trayectoria del
centro de masa y b la distancia del centro de
masa al punto de suspensin. En esta
posicin instantnea la energa potencial del
pndulo es Ep = mgh y segn el dibujo
h = b - bcos
Ep = mgb(1 cos) (12)
En esta ecuacin observamos que la energa
potencial nicamente depende del ngulo ,
el mismo que est vinculado con el arco s a
travs de la siguiente relacin:
s = b. (13)
donde b es la distancia entre el punto de
suspensin (0) y el centro de gravedad (c.g) y
la fuerza restauradora est dada por:
bd
dE
ds
dEF
pp (14)
La direccin de sta fuerza es tangencial a la
curva s y dirigida hacia la posicin de
equilibrio. Obteniendo la derivada de la
energa potencial respecto de en la
ecuacin (12) y reemplazndola en (14),
resulta:
F = (mg).sen (15)
El torque que produce el movimiento
rotacional es = Fb que de acuerdo con la
segunda ley de Newton para la rotacin
cg
h
s
b
0
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producir un movimiento rotacional
acelerado:
= I. (16)
donde es la aceleracin angular = d/dt
e I es el momento de inercia del cuerpo
respecto al punto de suspensin.
Combinando las dos ecuaciones anteriores
tenemos:
mgbsendt
dI
2
2
(17)
y as obtenemos la ecuacin diferencial del
movimiento pendular expresada de la
siguiente manera:
0)/(2
2
senImgbdt
d (18)
Observando la forma de la fuerza
restauradora o de la ecuacin diferencial del
movimiento resultante encontramos que el
movimiento pendular por accin del peso es
simplemente un movimiento oscilatorio ya
que ambas expresiones no corresponden a
las del movimiento armnico simple. y por
tanto la solucin de la ecuacin (18) es
bastante compleja y se encuentra que tanto
la frecuencia angular como el perodo de las
oscilaciones dependen de la amplitud
angular o del movimiento:
)2/(
2
112 2
2
2
osenmgb
IT
...)2/(
42
31. 4
22
22
osen
(19)
Si la amplitud angular es mucho menor que
un radian se tendr tambin que
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M.A.S el movimiento de los objetos
oscilantes que se mueven apoyados en una
superficie cncava bajo la accin de una
fuerza restauradora de origen gravitatorio
