Series de Fourier
46
1 SERIES DE FOURIER Definición Llamaremos función periódica de período a toda función tal que : X 0 0 Ð>Ñ œ 0 Ð> X Ñ a> − H97Ð0 Ñ con la menor de las constantes en X ‘ Observación Si es el período de , se cumple que X 0 0 Ð> 8X Ñ œ 0 Ð>Ñ ß a8 − ™ Ejemplos 1.- si se tiene que 0 Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ Xœ#1 2.- si se tiene que 0 Ð>Ñ œ -9=Ð#>Ñ Xœ 1 3.- si se tiene que 0 Ð>Ñ œ =/8Ð#>Ñ-9=Ð#>Ñ Xœ 1 # Ejercicio Determinar el periódo de la función 0 Ð>Ñ œ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ #> > $ % Solución Se debe cumplir que : 0 Ð>Ñ œ 0 Ð> X Ñ Í -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ #> > >X $ % $ % #Ð>X Ñ y como el coseno es periódica de período , se debe cumplir que #1 = = #X X $ % " " #5 • œ #5 Í X $5 • X œ)5 1 1 1 1 con lo cual X œ #%1
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1
SERIES DE FOURIER
Definición
Llamaremos función periódica de período a toda función tal que :X 0
0Ð>Ñ œ 0Ð> X Ñ a> − H97Ð0Ñ
con la menor de las constantes en X ‘
Observación
Si es el período de , se cumple que X 0 0Ð> 8X Ñ œ 0Ð>Ñ ß a8 − ™
Ejemplos
1.- si se tiene que 0Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ X œ #1
2.- si se tiene que 0Ð>Ñ œ -9=Ð#>Ñ X œ 1
3.- si se tiene que 0Ð>Ñ œ =/8Ð#>Ñ-9=Ð#>Ñ X œ 1#
Ejercicio
Determinar el periódo de la función 0Ð>Ñ œ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ#> >$ %
Solución
Se debe cumplir que : 0Ð>Ñ œ 0Ð> X Ñ
Í -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ#> > >X$ % $ %
#Ð>X Ñ
y como el coseno es periódica de período , se debe cumplir que#1
= = #X X$ % " "#5 • œ #5 Í X $5 • X œ )51 1 1 1
con lo cual X œ #%1
2
Observación
si 0Ð>Ñ œ -9=ÐA >Ñ -9=ÐA >Ñ" #
se tiene que es periódica si0
= A X #5 • A X œ #5 Í œ −" # "AA 5
51 1 "
# "
Ejemplo
si se tiene que 0Ð>Ñ œ -9=Ð Ñ -9=Ð Ñ œ −#> > )$ % $
#$"%
luego, es periódica y de lo anterior se sabe que X œ #%1
Ejemplo
si se tiene que 0Ð>Ñ œ -9=Ð$>Ñ -9=ÐÐ& Ñ>Ñ Â1 $&1
luego, no es periódica
Ejemplo
si , se tiene que 0Ð>Ñ œ $=/8 Ð>Ñ 0Ð>Ñ œ $Ð Ñ# "-9=Ð#>Ñ#
es decir por lo tanto se debe cumplir que0Ð>Ñ œ -9=Ð#>Ñ$ $# #
-9=Ð#>Ñ œ -9=Ð#> #X Ñ Ê #X œ #5 Ê X œ 51 1
por lo tanto X œ 1
3
Teorema
Si es periódica de período entonces 0 X 0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.>' '! !
" "
X
X
Demostración
Sea > œ > X Ê .> œ .>" "
si si > œ Ê > œ X à > œ Ê > œ X ! ! " "" "
con lo cual ' '! !
" "
0Ð>Ñ.> œ 0Ð> X Ñ.>X
X
" "
œ 0Ð> Ñ.> œ 0Ð>Ñ.>' '! !
" "
X X
X X
" "
Teorema
Si es periódica de período entonces 0 X 0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.>' '+ X X
# #
+X X# #
Demostración
Se tiene que ' ' '+ + X X X
# # #
+ +X X X# # #0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>
por Teo. anterior se tiene œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>' '+ X X
# #
X X# #+
œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>' ' +X X
# #
+X X# #
œ 0Ð>Ñ.>'X
#
X#
4
Teorema
Si es periódica de período entonces 0 X 0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.>' '+ X X
# #
+X X# #
Demostración
Se tiene que ' ' '+ + X X X
# # #
+ +X X X# # #0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>
por Teo. anterior se tiene œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>' '+ X X
# #
X X# #+
œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>' ' +X X
# #
+X X# #
œ 0Ð>Ñ.>'X
#
X#
Teorema
Si es periódica de período entonces 0 X 0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.>' 'X !
X> >
Demostración
Se tiene que ' ' '! !X X
> >X >X
0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.>
Teo anterrior con , )Ð œ ! œ >! "
5
Teorema
Si es periódica de período y 0 X 1Ð>Ñ œ 0Ð Ñ.'!
>
0 0
se cumple que es periódica de período 1 X ==3 0Ð Ñ. œ !'X
#
X#
0 0
Demostración
Se tiene que con lo cual1Ð>Ñ œ 0Ð Ñ.'!
>
0 0
1Ð> X Ñ œ 0Ð Ñ. œ 0Ð Ñ. 0Ð Ñ.' ' '! X
>X X >X
!0 0 0 0 0 0
œ 0Ð Ñ. 0Ð Ñ. œ 0Ð Ñ. 0Ð Ñ.' ' ' '! X X
# #
XX X# #
! !
> >
0 0 0 0 0 0 0 0
œ 0Ð Ñ. 1Ð>Ñ'X
#
X#
0 0
con lo cual 1Ð> X Ñ œ 1Ð>Ñ ==3 0Ð Ñ. œ !'X
#
X#
0 0
Definición
Sea función de período tal que se puede representar por la serie0 X trigonométrica
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ + -9=Ð Ñ + -9=Ð ÑÞÞÞÞ ÞÞÞ! " # $# > % > ' >X X X1 1 1
, =/8Ð Ñ , =/8Ð Ñ , =/8Ð ÑÞÞÞÞ ÞÞ" # $# > % > ' >X X X1 1 1
œ + + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 8 88œ"
_#8 > #8 >
X X! 1 1
Diremos en tal caso que esta representada por la SERIE DE FOURIER0 donde los se llaman coeficientes de Fourier+ ß ,8 8
es decir
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 8 88œ"
_# 8> # 8>
X X! 1 1
6
Observación
Si es una función periódica de período , se tendra que, si puede ser0 # 01
representada por una serie de Fourier, su serie de Fourier asociada es del tipo
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8>Ñ , =/8Ð8>Ñ! 8 88œ"
_!
Observación
Dada función periódica de período 0 À qp #‘ ‘ 1
y la serie de Fourier asociada converge uniformenente a 0 en se tiene que sus coeficientes están unicamenteÒ ß Ó ß + ß ,1 1 8 8
determinados por .0
Si es continua debe cumplirse que :0
' ' ' '! 1 1 1 1
1 1 1 1
0Ð>Ñ.> œ + .> Ð + -9=Ð8>Ñ.> , =/8Ð8>Ñ.> Ñ! 8 88œ"
_
œ + > .> Ð+ =/8Ð8>Ñ , -9=Ð8>Ñ Ñ! 8 88œ"
_" "8 8
¸ ¸ ¸! 1 1 1
1 1 1
œ # + ! œ # +1 1! !
con lo cual + œ 0Ð>Ñ.>!"
#1'
1
1
por otro lado, como 0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8>Ñ , =/8Ð8>Ñ! 8 88œ" 8œ"
_ _! ! se tiene que
0Ð>Ñ † -9=Ð5>Ñ œ + † -9=Ð5>Ñ + -9=Ð8>Ñ † -9=Ð5>Ñ! 88œ"
_! , =/8Ð8>Ñ † -9=Ð5>Ñ!
8œ"
_
8
7
luego debe cumplirse que
' ' 1 1
1 1
0Ð>Ñ-9=Ð5>Ñ.> œ + -9=Ð5>Ñ.>!
+ -9=Ð8>Ñ † -9=Ð5>Ñ.>! '8œ"
_
81
1
, =/8Ð8>Ñ † -9=Ð5>Ñ.>! '8œ"
_
81
1
es decir ' ' 1 1
1 1
0Ð>Ñ-9=Ð5>Ñ.> œ + -9= Ð5>Ñ.> œ + †5 5# 1
con lo cual + œ 0Ð>Ñ-9=Ð5>Ñ.> à a5 −5"1'
1
1
analogamente, si consideramos que
0Ð>Ñ † =/8Ð5>Ñ œ + † =/8Ð5>Ñ + -9=Ð8>Ñ † =/8Ð5>Ñ! 88œ"
_! , =/8Ð8>Ñ † =/8Ð5>Ñ!
8œ"
_
8
integrando se tiene , œ 0Ð>Ñ=/8Ð5>Ñ.> à a5 −5"1'
1
1
Observación
Analogamente, si es periódica de período , que puede ser expresada0 X por la serie de Fourier
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 8 88œ"
_# 8> # 8>
X X! 1 1
se tiene que sus coeficientes de Fourier son :
+ œ 0Ð>Ñ.> à + œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> à a5 −! 5" # #5 >X X X' '
X X# #
X X# # 1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð Ñ.> à a5 −5# #5 >X X'
X#
X# 1
8
Definición
Sea función periódica de período ,0 À qp X‘ ‘
con R.I. en , entonces la serie de Fourier de es0 Ò ß Ó 0X X# #
+ + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 8 88œ"
_# 8> # 8>
X X! 1 1
en donde los coeficientes de Fourier están determinados por la formula de Euler
+ œ 0Ð>Ñ.> à + œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> à a8 −! 8" # #8 >X X X' '
X X# #
X X# # 1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð Ñ.> à a8 −8# #8 >X X'
X#
X# 1
Observación (Caso particular )
Sea función periódica de período ,0 À qp #‘ ‘ 1
con R.I. en , entonces la serie de Fourier de es0 Ò ß Ó 01 1
+ + -9=Ð8>Ñ , =/8Ð8>Ñ! 8 88œ"
_!
en donde los coeficientes de Fourier están determinados por la formula de Euler
+ œ 0Ð>Ñ.> à + œ 0Ð>Ñ-9=Ð8>Ñ.> à a8 −! 8" "
#1 1' '
1 1
1 1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð8>Ñ.> à a8 −8"1'
1
1
9
Definición
Sea función0 À qp‘ ‘ Se dice que
1.- es función par ssi 0 ÐaB − ÑÐ 0Ð BÑ œ 0ÐBÑ Ñ‘
2.- es función impar ssi 0 ÐaB − ÑÐ 0Ð BÑ œ 0ÐBÑ Ñ‘
Ejemplo
1.- es par ; es impar0ÐBÑ œ B 0ÐBÑ œ =/8ÐBѸ ¸
Teorema
Sean , funciónes0 1 À qp‘ ‘ Se cumple que
1.- Si es par y es par entonces es par0 1 0 † 1
2.- Si es par y es impar entonces es impar0 1 0 † 1
3.- Si es impar y es impar entonces es par0 1 0 † 1
10
Observación
Sea función periódica de período ,0 À qp X‘ ‘
con R.I. en , donde su serie de Fourier es0 Ò ß ÓX X# #
+ + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 8 88œ"
_# 8> # 8>
X X! 1 1
Se cumple que
1.- Si es par entonces 0 Ða5 − ÑÐ , œ ! Ñ 5
1.- Si es impar entonces 0 Ða5 − ÑÐ + œ ! Ñ! 5
Corolario
Sea función periódica de período ,0 À qp X‘ ‘
con R.I. en entonces0 Ò ß ÓX X# #
1.- si es par su serie es : con0 + + -9=Ð Ñ! 88œ"
_# 8>
X! 1
+ œ 0Ð>Ñ.> + œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> à a8 −! 8# % # 8>X X X' '
! !
X X# # 1
2.- si es impar su serie es : con0 , =/8Ð Ñ!8œ"
_
8# 8>
X1
, œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> à a8 −8% # 8>X X'
!
X# 1
11
Observación
Dada función periódica de período 0 À qp X‘ ‘
y la serie de Fourier asociada converge uniformenente a 0 en se tiene que sus coeficientes están unicamenteÒ ß Ó ß + ß ,X X
# # 8 8
determinados por .0
Si es continua debe cumplirse que :0
' ' X X
# #
X X# #
0Ð>Ñ.> œ + .>!
Ð + -9=Ð Ñ.> , =/8Ð Ñ.> Ñ! ' '8œ"
_
8 8# 8> # 8>
X X X X
# #
X X# #1 1
œ + > .>! ¸X
#
X#
Ð+ =/8Ð Ñ , -9=Ð Ñ Ñ! ¸ ¸8œ"
_
8 8X # 8> X # 8>
# 8 X # 8 X1 11 1
X X# #
X X# #
œ + X!
con lo cual + œ 0Ð>Ñ.>!"X'
X#
X#
por otro lado, como 0Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 8 88œ" 8œ"
_ _# 8> # 8>
X X! !1 1
se tiene que
0Ð>Ñ † -9=Ð Ñ œ + † -9=Ð Ñ# 5> " # 5>X # X!1 1
+ -9=Ð Ñ † -9=Ð Ñ!8œ"
_
8# 8> # 5>
X X1 1
, =/8Ð Ñ † -9=Ð Ñ!8œ"
_
8# 8> # 5>
X X1 1
12
luego debe cumplirse que
' ' X X
# #
X X# #
0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> œ + -9=Ð Ñ.># 5> " # 5>X # X!1 1
+ -9=Ð Ñ † -9=Ð Ñ.>! '8œ"
_
8# 8> # 5>
X XX
#
X# 1 1
, =/8Ð Ñ † -9=Ð Ñ.>! '8œ"
_
8# 8> # 5>
X XX
#
X# 1 1
es decir ' ' X X
# #
X X# #
0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> œ + -9= Ð Ñ.> œ + †# 5> # 5> XX X #5 5
#1 1
con lo cual + œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> à a5 −5# # 5>X X'
X#
X# 1
analogamente, si consideramos que
0Ð>Ñ † =/8Ð Ñ œ + † =/8Ð Ñ# 5> " # 5>X # X!1 1
+ -9=Ð Ñ † =/8Ð Ñ!8œ"
_
8# 8> # 5>
X X1 1
, =/8Ð Ñ † =/8Ð Ñ!8œ"
_
8# 8> # 5>
X X1 1
integrando se tiene , œ 0Ð>Ñ=/8Ð Ñ.> à a5 −5# # 5>X X'
X#
X# 1
con lo cual
+ œ 0Ð>Ñ .>!"X'
X#
X#
+ œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> à a8 −8# # 8>X X'
X#
X# 1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð Ñ.> à a8 −8# # 8>X X'
X#
X# 1
13
Ejemplo Determinar la serie de Fourier de la función
con 0ÐBÑ œ 0ÐB # Ñ œ 0ÐBÑ
" à B !
! à B − Ö!ß ×
" à ! B
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
1
1
1
1
Solución
Es claro que es impar , luego la serie es0
con!8œ"
_
8, =/8Ð8BÑ
, œ =/8Ð8BÑ.B œ8#Ð"Ð"Ñ Ñ
821 1'
!
81
es decir
!8œ"
_
8% " "
$ &, =/8Ð8BÑ œ Ð=/8ÐBÑ =/8Ð$BÑ =/8Ð&BÑ ÞÞÞÑ1
œ =/8ÐÐ#8 "ÑBÑ% "
8œ"
_
#8"1!
luego 0ÐBÑ µ =/8ÐÐ#8 "ÑBÑ% "
8œ"
_
#8"1!
14
Ejemplo
Determinar la serie de Fourier de la función
con 0Ð>Ñ œ 0ÐB # Ñ œ 0ÐBÑ
" à > Ÿ !
" à ! Ÿ >
ÚÛÜ
#>
#>
1
1
1
1
1
Solución
Es claro que es par de período , luego la serie es0 #1
con + + -9=Ð8>Ñ + œ Ð" Ñ-9=Ð8>Ñ.>! 8 88œ"
_" #>! '1 1!
1
es decir + œ Ð" Ñ.> œ Ð> Ñ œ !!" #> " >1 1 1 1' ¸
!
#
!
1 1
+ œ Ð" Ñ-9=Ð8>Ñ.> œ -9=Ð8>Ñ.> >-9=Ð8>Ñ.>8#> %2 2
1 1 1 1' ' '
! ! !#
1 1 1
œ >-9=Ð8>Ñ.> œ Ð-9=Ð8 Ñ "Ñ% %81 1# # #
!' 1
1
con lo cual + œ à 8 −#8")
Ð#8"Ñ# #1
luego, la serie es !8œ"
_)
Ð#8"Ñ# #1-9=ÐÐ#8 "Ñ>Ñ
es decir 0ÐBÑ µ -9=ÐÐ#8 "Ñ>Ñ!8œ"
_)
Ð#8"Ñ# #1
15
Ejemplo
Determinar la serie de Fourier de la función
con 0Ð>Ñ œ 0ÐB # Ñ œ 0ÐBÑ" à > !
! à ! >
ÚÛÜ
1
1
1
Solución
Es claro que no es par , no es impar luego la serie es0
+ + -9=Ð8>Ñ , =/8Ð8BÑ! 8 88œ" 8œ"
_ _! ! con = + 0Ð>Ñ.> à + œ 0Ð>Ñ-9=Ð8>Ñ.> à a8 −! 8
" "#1 1
' ' 1 1
1 1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð8>Ñ.> à a8 −8"1'
1
1
es decir + œ 0Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.> 0Ð>Ñ.>!" " "
# # #1 1 1' ' '
!
!
1 1
1 1
œ .> œ" "# #1
'
!
1
+ œ 0Ð>Ñ-9=Ð8>Ñ.> œ -9=Ð8>Ñ.> œ !8" "1 1' '
!
1 1
1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð8>Ñ.> œ =/8Ð8>Ñ.> œ -9=Ð8>Ñ8" " "
81 1 1' ' ¸
!
!
1 1
1
1
œ Ð" -9=Ð8 ÑÑ œ! à 8 :+<
à 8 37:+<"
8 #8
11
1 œ
luego 0Ð>Ñ œ =/8ÐÐ#8 "Ñ>Ñ" # "# Ð#8"Ñ
8œ"
_
1!
16
Ejemplo Determinar la serie de Fourier de la función
con 0ÐBÑ œ 0ÐB # Ñ œ 0ÐBÑ " à B !
" à ! B
ÚÛÜ
1
1
1
Solución
se tiene que el gráfico de es0
Es claro que es impar , luego la serie es0
con ! '8œ"
_
8 8%
# 8#Ð"Ð"Ñ Ñ, =/8Ð8BÑ , œ =/8Ð8BÑ.B œ
1 1!
81
es decir !8œ"
_
8% " "
$ &, =/8Ð8BÑ œ Ð=/8ÐBÑ =/8Ð$BÑ =/8Ð&BÑ ÞÞÞÑ1
œ =/8ÐÐ#8 "ÑBÑ% "
8œ"
_
#8"1!
luego 0ÐBÑ µ =/8ÐÐ#8 "ÑBÑ!8œ"
_%
Ð#8"Ñ1
17
Ejemplo
Determinar la serie de Fourier de la función
con 0Ð>Ñ œ 0Ð> # Ñ œ 0Ð>Ñ
" à > !
" à ! Ÿ > Ÿ
ÚÛÜ
$>
$>
1
1
1
1
1
Solución
Es claro que es par ya que , luego la serie es0 0Ð >Ñ œ 0Ð>Ñ
con + + -9=Ð8>Ñ + œ Ð " Ñ.>! 8 !8œ"
_" $>! '1 1!
1
œ Ð > Ñ œ" $> "# #1 1
#
!¸1
+ œ Ð " Ñ-9=Ð8>Ñ.> œ >-9=Ð8>Ñ.> -9=Ð8>Ñ.>8$> ' #2
1 1 1 1' ' '
! ! !#
1 1 1
œ ÐÐ "Ñ "Ñ"8
8#
con lo cual + œ à 8 −#8"#
Ð#8"Ñ#
luego, la serie es 0Ð>Ñ µ -9=ÐÐ#8 "Ñ>Ñ" ## Ð#8"Ñ
8œ"
_!#
Observación
No es necesario que el intervalo de integración sea simetrico respecto al origen , lo necesario es que la integral se considere en un período
18
Ejemplo
Determinar la serie de Fourier para la función
0Ð>Ñ œ
# à > !
# à ! >
ÚÛÜ
"#
"#
Solución
Se tiene que ,con impar , luego X œ " 0 + œ ! à a8 −8 !
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð# 8>Ñ.> œ # 0Ð>Ñ=/8Ð# 8>Ñ.> à a8 −8#X' '
" "# #
" "# #
1 1
œ # 0Ð>Ñ=/8Ð# 8>Ñ.> # 0Ð>Ñ=/8Ð# 8>Ñ.>' '"
#
!
!
"#
1 1
œ % =/8Ð# 8>Ñ.> % =/8Ð# 8>Ñ.>' '"
#
!
!
"#
1 1
œ % -9=Ð# 8>Ñ % -9=Ð# 8>Ñ" "# 8 # 81 1
1 1¸ ¸"
#
!
!
"#
œ % Ð" -9=Ð 8 ÑÑ % Ð-9=Ð 8Ñ "Ñ" "# 8 # 81 1
1 1
œ % Ð# #-9=Ð8 ÑÑ œ Ð" -9=Ð8 ÑÑ" %# 8 81 1
1 1
œ Ð" Ð "Ñ Ñ œ! ß =3 8 :+<
ß =3 8 37:+<%8
8)8
11
œ por lo tanto
0Ð>Ñ µ =/8Ð#Ð#8 "Ñ >Ñ) "
8œ"
_
#8"1! 1
19
Ejemplo
Determinar la serie de Fourier para la función
con 0Ð>Ñ œ 0Ð> X Ñ œ 0Ð>Ñ
" à > !
" à ! >
ÚÝÛÝÜ
%> XX #
%> XX #
Solución
Se tiene que su período es y es par, luegoX
+ œ 0Ð>Ñ.> œ .> .> .> œ "!" " " %> " %>X X X X X X' ' ' '
X X X# # #
X X X# # #!
!
+ œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> œ -9=Ð Ñ.>8# # 8> # # 8>X X X X' '
X X# #
X X# #1 1
-9=Ð Ñ.> -9=Ð Ñ.># %> # 8> # %> # 8>X X X X X X' '
X#
!
!
X#1 1
œ >-9=Ð Ñ.> >-9=Ð Ñ.>) # 8> ) # 8>X X X X# #
X#
!
!
X#' '1 1
œ >-9=Ð Ñ.> œ Ð" -9=Ð8 ÑÑ"' # 8> %X X 8# # #
!
X#' 1
11
œ! ß =3 8 :+<
ß =3 8 37:+<œ )8# #1
, œ 0Ð>Ñ=/8Ð Ñ.> œ =/8Ð Ñ.> œ !8# # 8> # # 8>X X X X' '
X X# #
X X# #1 1
por lo tanto
0Ð>Ñ œ " -9=ÐÐ#8 "ÑA >Ñ!8œ"
_)
8 !# #1
20
Observación
Si es periódica de período tal que0 X
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ! 8 ! 8 !8œ"
_!
se tiene que :
+ -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ8 ! 8 !
œ + , Ð -9=Ð8A >Ñ =/8Ð8A >ÑÑÉ 8 8# # + ,
+ , + ,! !8 8
8 8 8 8# # # #È È
donde , circunferencia de radio 1Ð Ñ −+ ,
+ , + ,8 8
8 8 8 8# # # #È È
por lo tanto existe tal que ) ‘8 − À
y con lo cual :-9=Ð Ñ œ =/8Ð Ñ œ) )8 8+ ,
+ , + ,8 8
8 8 8 8# # # #È È
+ -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ8 ! 8 !
œ + , Ð-9=Ð Ñ-9=Ð8A >Ñ =/8Ð Ñ=/8Ð8A >ÑÑÉ 8 8# #
8 ! 8 !) )
œ + , Ð-3=Ð8A > ÑÑÉ 8 8# #
! 8)
es decir 0Ð>Ñ œ + + , Ð-3=Ð8A > ÑÑ! ! 88œ"
_
8 8# #!É )
œ - - Ð-3=Ð8A > ÑÑ! 8 ! 88œ"
_! )
donde y - œ + - œ + , ß -9=Ð Ñ œ ß! 9 8 88 8# # +
+ ,É ) 8
8 8# #È
y=/8Ð Ñ œ œ >1 Ð Ñ) )8 8, ,
+ ,"
+8 8
8 8# # 8È
21
Observación
Por otro lado, se tiene que en los números complejos:
luego -9=Ð Ñ 3=/8Ð Ñ œ / -9=Ð Ñ 3=/8Ð Ñ œ /) ) ) )3 3) )
de donde podemos decir que :
-9=Ð Ñ œ ß =/8Ð Ñ œ) )/ / / /# #3
3 3 3 3) ) ) )
de deonde en general, se tendra que
-9=Ð8 Ñ œ ß =/8Ð8 Ñ œ) )/ / / /# #3
38 38 38 38) ) ) )
Ejemplo
Determine la serie de Fourier de la función periódica 0Ð>Ñ œ =/8 Ð>Ñ&
Solución
Como 0Ð>Ñ œ =/8 Ð>Ñ œ Ð Ñ& &/ /#3
3> 3>
œ Ð/ &/ "!/ "!/ &/ / Ñ"$#3
&3> $3> 3> 3> $3> &3>
œ Ð/ / &/ &/ "!/ "!/ Ñ"$#3
&3> &3> $3> $3> 3> 3>
œ & "!/ / / / / /$#3 $#3 $#3
&3> &3> $3> $3> 3> 3>
œ & "!=/8Ð&> =/8Ð$>Ñ =/8Ð>Ñ"' "' "'
œ =/8Ð&>Ñ =/8Ð&>Ñ =/8Ð>Ñ" & &"' "' )
22
Ejemplo Determine la serie de Fourier de la función periódica
0Ð>Ñ œ =/8 Ð>Ñ-9= Ð>Ñ# $
Solución Como 0Ð>Ñ œ =/8 Ð>Ñ-9= Ð>Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ# $ # $/ / / /
#3 #
3> 3> 3> 3>
œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ/ / / / / /#3 # #
# #3> 3> 3> 3> 3> 3>
œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð ÑÐ Ñ/ / / / / #/ / /%3 # "' #
##3> #3> 3> 3> %3> %3> 3> 3>
œ Ð Ñ/ / #/ #/ / /$#
&3> $3> 3> 3> $3> &3>
œ #/ / / / / /$# $# $#
&3> &3> $3> $3> 3> 3>
œ -9=Ð&>Ñ -9=Ð$>Ñ -9=Ð>Ñ"' "' )
œ -9=Ð>Ñ -9=Ð&>Ñ -9=Ð$>Ñ" " ") "' "'
Teorema(Condiciones de Dirichlet)
Si una función periódica de período satisface las condiciones0 X
1.- tiene un número finito de discontinuidades en un período0
2.- tiene un número finito de máximos y mínimos en un período0
3.- ' ¸ ¸X
#
X#0Ð>Ñ .> − ‘
Entonces puede ser representada por una serie de Fourier que es covergente a0 la función 0
23
Ejemplo
Determine la serie de Fourier de la función periódica À
con de período 0Ð>Ñ œ > ß > − Ó ß Ò #1 1 1
Definición
Diremos que una función es continua por tramos en el intervalo 0 Ò ß ÓX X# #
si satisface las siguientes condiciones
1.- tiene un número finito de discontinuidades en un período0
2.- tiene un número finito de máximos y mínimos en un período0
Observación
Si es un punto de discontinuidad de , se cumple que la serie> œ > 0!
de Fourier de en converge a donde0 >!0Ð> Ñ0Ð> Ñ
#!
!
y 0Ð> Ñ œ 0Ð>Ñ 0Ð> Ñ œ 0Ð>Ñ!
>Ä> !
>Ä>lim lim
!
!+
Teorema
Si son los coeficientes de Fourier de la serie que representa a + ß , 08 8
entonces lim lim
8Ä_ 8Ä_8 8+ œ , œ !
Demostración
Se tiene que " "X % #
# # #+
8œ"
_
8 8'
X#
X#
Ð0Ð>ÑÑ .> œ Ð+ , Ñ!# !
y como es convergente, se debe cumplir que+% #
"
8œ"
_
8 8# #!
#
Ð+ , Ñ! es decir lim lim lim
8Ä_ 8Ä_ 8Ä_8 8# #
8 8Ð+ , Ñ œ ! + œ , œ !
24
Ejemplo
Si con 0Ð>Ñ œ 0Ð> # Ñ œ 0Ð>Ñ " =3 B !
! =3 B œ ! ” B œ" =3 ! B
ÚÛÜ
1
1
1
1
se tiene que su serie de Fourier es
0Ð>Ñ œ Ð =/8Ð>Ñ =/8Ð$>Ñ =/8Ð&>Ñ ÞÞÞÞÞÑ% " "$ &1
en donde
si con lo cual> œ 0Ð Ñ œ "1 1
# #
" œ Ð =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ ÞÞÞÞÞÑ% " $ " &# $ # & #1
1 1 1
luego, se tendrá queœ Ð " ÞÞÞÞÞÑ% " " "$ & (1
1
% $ & (" " "œ " ÞÞÞÞÞ
en se tiene que y como es un punto de discontinuidad> œ ! 0Ð!Ñ œ !
"" % " "# $ &œ ! œ Ð =/8Ð!Ñ =/8Ð!Ñ =/8Ð!Ñ ÞÞÞÞÞÑ
1
es decir ! œ !
25
Ejemplo
Sea una función periódica de período y tal que0 À qqqqp $‘ ‘
si0Ð>Ñ œ > > Ÿ¸ ¸ ¸ ¸ $#
i) Determine la serie de Fourier de 0 ii) Usando lo anterior, pruebe que
!8œ!
_"
Ð#8"Ñ )#
#
œ 1
Solución
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ , =/8Ð Ñ! 5 55œ"
_#5 > #5 >X X
! Š ‹1 1
y como y es par se tiene que X œ $ 0 , œ ! a 55
luego 0Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ! 55œ"
_#5 >$
! 1
donde + œ 0Ð>Ñ.> œ > .> œ > .> œ œ!" # # > $$ $ $ $ %' ' '¸ ¸ ¸$#
$ $ $# # #
! !
#
!
$#
y + œ 0Ð>Ñ-9=Ð Ñ.> œ > -9=Ð Ñ.> œ5# #5 > # #5 >$ $ $ $' ' ¸ ¸ $ $# #
$ $# #1 1
œ > -9=Ð Ñ.> > -9=Ð Ñ.># #5 > # #5 >$ $ $ $' '¸ ¸ ¸ ¸$#
!
!
$#1 1
œ >-9=Ð Ñ.> >-9=Ð Ñ.># #5 > # #5 >$ $ $ $' '$#
!
!
$#1 1
œ =/8Ð Ñ -9=Ð Ñ# $> #5 > * #5 >$ #5 $ Ð#5 Ñ $Š ‹¸
1 1
1 1#
$#
!
=/8Ð Ñ -9=Ð Ñ# $> #5 > * #5 >$ #5 $ Ð#5 Ñ $Š ‹¸
1 1
1 1#
!
$#
26
œ -9=Ð5 Ñ# * # *$ Ð#5 Ñ $ Ð#5 ÑŠ ‹ Š ‹
1 1# # 1
-9=Ð5 Ñ # * # *$ Ð#5 Ñ $ Ð#5 ÑŠ ‹ Š ‹
1 1# #1
œ -9=Ð5 Ñ% * % *$ Ð#5 Ñ $ Ð#5 ÑŠ ‹ Š ‹
1 1# # 1
œ -9=Ð5 ÑŠ ‹ Š ‹"# "#Ð#5 Ñ Ð#5 Ñ1 1# # 1
œ " -9=Ð5 Ñ"#Ð#5 Ñ1 # Š ‹1
si es par
si es imparœ! 5
5œ 'Ð5 Ñ1 #
por lo tanto
0Ð>Ñ œ -9=Ð Ñ$ ' "% Ð#8"Ñ $
8œ"
_# Ð#8"Ñ>
1
1# #!
ii) como es continua en se tiene que0 $
#
0Ð Ñ œ -9=Ð Ñ$ $ ' "# % Ð#8"Ñ $
8œ"
_# Ð#8"Ñ
1
1
# #
$#!
0Ð Ñ œ -9=Ð Ð#8 "Ñ Ñ$ $ ' "# % Ð#8"Ñ
8œ"
_
1# #! 1
pero 0Ð Ñ œ 0Ð Ñ œ œ$ $ ' " $ $ $# % Ð#8"Ñ # # #
8œ"
_
1# #! ¸ ¸
luego $ $ ' "# % Ð#8"Ñ
8œ"
_
œ 1# #!
es decir !8œ"
_"
Ð#8"Ñ )#
#
œ 1
27
Ejemplo
Sea una función tal que0 À qqqqp‘ ‘
si y0ÐBÑ œ " B # B Ÿ # 0ÐB %Ñ œ 0ÐBÑ aB −¸ ¸ ‘
i). Determine el desarrollo en serie de Fourier de ,0
ii) Calcule !7œ"
_"
Ð#7"Ñ#
Solución
i) Se tiene que es una función de período que satisface las condiciones de0 % Dirichlet en cada punto, luego en ‘
0ÐBÑ œ + Ð+ -9=Ð Ñ , =/8Ð ÑÑß 0 , œ !! 5 5 55œ"
_5 B 5 B# #
! 1 1 como es par, es claro que
luego donde0ÐBÑ œ + + -9=Ð Ñ! 55œ"
_5 B#
! 1
+ œ 0ÐBÑ.B œ Ð" BÑ.B œ !!" "4 2' ' !2
2 2
por partes+ œ 0ÐBÑ-9=Ð Ñ.B œ Ð" BÑ-9=Ð Ñ.B5" 5 B 5 B# # #' '# !
# #1 1
œ =/8Ð Ñ.B œ -9=Ð Ñ œ Ð" Ð "Ñ Ñ# 5 B % 5 B %5 # 5 # 5
51 1 1
1 1' ¸!
#
# # # #!
#
, por lo tantosi es par
si es imparœ
! 5
5œ )5# #1
0ÐBÑ œ + -9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ! !5œ"
_ _
55 B ) "# Ð#8"Ñ #
8œ"
Ð#8"Ñ B1
1
1# #
ii) 0Ð#Ñ œ -9=ÐÐ#8 "Ñ Ñ Í " œ ) " ) "
8œ" 8œ"
_ _
Ð#8"Ñ Ð#8"Ñ1 1# # # #! !1
Í œ Í œ! !8œ" 8œ!
_ _" "
Ð#8"Ñ ) Ð#8"Ñ )# #
# #1 1
28
Ejemplo
Sea una función tal que0 À qqqqp‘ ‘
con 0ÐBÑ œ =/8Ð+BÑ + !¸ ¸ i). Determine el desarrollo en serie de Fourier de 0
ii) Calcule !7œ"
_Ð"Ñ 7%7 "
7
#
Solución
i) Se tiene que el período de es , con par, luego 0 X œ 01
+
donde0ÐBÑ œ + + -9=Ð#5+BÑ! 55œ"
_! + œ 0ÐBÑ.B œ =/8Ð+BÑ .B œ =/8Ð+BÑ .B œ!
+ + #+ #1 1 1 1' ' '¸ ¸ #+ #+
#+ #+ #+
!1 1
1 1 1
+ œ 0ÐBÑ-9=Ð#5+BÑ.B œ =/8Ð+BÑ-9=Ð#5+BÑ.B5#+ %+
!1 1' '#+
#+ #+
1
1 1
œ =/8ÐÐ#5 "Ñ+BÑ =/8ÐÐ#5 "Ñ+BÑ.B#+1'!
#+1
, por lo tantoœ Ð Ñ œ#+ )5-9=ÐÐ#5"Ñ+BÑ -9=ÐÐ#5"Ñ+BÑÐ#5"Ñ+ Ð#5"Ñ+ Ð%5 "Ñ1 1
¸!
#+#
1
0ÐBÑ œ -9=Ð#5+BÑ œ -9=Ð#5+BÑ# )5 # ) 5
5œ" 5œ"
_ _
Ð%5 "Ñ Ð%5 "Ñ1 1 1 1! !
# #
ii) Evaluando en se tieneB œ ß1
#+
0Ð Ñ œ -9=Ð 5 Ñ Í " œ 1
1 1 1 1#+ Ð%5 "Ñ Ð%5 "Ñ# ) 5 # )
5œ" 5œ"
_ _Ð"Ñ 5! !
# #
5
1
Í œ " Í œ ) # "
5œ"
_ _Ð"Ñ 5 Ð"Ñ 7Ð%5 "Ñ Ð%7 "Ñ ) %
7œ"1 1
1! !5 7
# #
29
Ejemplo
Hallar la Serie de Fourier de la función :
con de período 0ÐBÑ œ -9=Ð BÑ B X œ #! 1 1 1
Solución
como claramente es par y el período es se tiene que0 #1
0ÐBÑ œ + + -9=Ð Ñ œ + + -9=Ð5BÑ! 5 ! 55œ" 5œ"
_ _#5 B#
! !1
1
con + œ 0ÐBÑ.B œ -9=Ð BÑ.B œ -9=Ð BÑ.B!# " ##1 1 1
' ' ' !1 1
1 1 1
! !
œ =/8Ð BÑ œ =/8Ð Ñ# #!1 !1
! !1¸!
1
donde + œ 0ÐBÑ-9=Ð5BÑ.B œ -9=Ð BÑ-9=Ð5BÑ.B5# "#1 1
' ' 1 1
1 1
!
œ -9=Ð BÑ-9=Ð5BÑ.B#1'!
1
!
œ Ð Ñ" =/8ÐÐ 5ÑBÑ =/8ÐÐ 5ÑBÑ5 51 ! !
! ! ¸!
1
œ †# =/8Ð Ñ Ð"Ñ5
! !1
1 !
8
# #
con lo cual
0ÐBÑ œ =/8Ð Ñ † -9=Ð8BÑ# # =/8Ð Ñ Ð"Ñ
8œ"
_
8!1 1 !
! !1!1 ! 8
# #
es decir
-9=Ð BÑ œ =/8Ð Ñ † -9=Ð8BÑ! !1# # =/8Ð Ñ Ð"Ñ
8œ"
_
8!1 1 !
! !1 ! 8
# #
30
Ejemplo
Sea una sucesión tal que Ö- × - - _5 5− ! 55œ"
_
!¸ ¸
Sean una función tal que0 À qqqqp‘ ‘
y el período de 0ÐBÑ œ - - =/8Ð Ñ X 0! 55œ"
_$ 5B#
! 1
i). Calcule X
ii) Si para todo Calcule B − Ò!ß Ó 0ÐBÑ œ B Þ - a5 −X# 5
Solución
i) para determinar el período se debe cumplir que
# 5 $ 5 %X # $1 1œ Í X œ
ii) como , se tiene que ya que 0Ð!Ñ œ - - œ ! 0ÐBÑ œ !! !
luego 0ÐBÑ œ - =/8Ð Ñ!5œ"
_
5$ 5B#1
con lo cual - œ 0ÐBÑ=/8Ð Ñ.B5# $ 5BX #'X
#
X# 1
œ 0ÐBÑ=/8Ð Ñ.B œ $ B=/8Ð Ñ.B$ $ 5B $ 5B# # #' '#$
# #$ $
!
1 1
œ $ ' .BŠ ‹¸ '#B-9=Ð Ñ -9=Ð Ñ
$ 5 $ 5
$ 5B $ 5B# #
!
#$
!
#$1 1
1 1
œ $ œ ß 5 "Š ‹¸#B-9=Ð Ñ
$ 5 $ 5%Ð"Ñ$ 5B
#
!
#$ 51
1 1
31
Ejemplo
Sea una función tal que0 À À Ò!ß Óqqqqp 0ÐBÑ œ -9=Ð BÑ "1 ‘ 1
Determine el desarrollo en serie de Fourier de la extensión impar de 0
Solución
como la extensión es impar y el período es se tiene que#
0ÐBÑ œ , =/8Ð Ñ œ , =/8Ð5 BÑ! !5œ" 5œ"
_ _
5 5#5 B#1
1
donde , œ 0ÐBÑ=/8Ð5 BÑ.B5##'"
"
1
œ # Ð-9=Ð BÑ "Ñ=/8Ð5 BÑ.B'!
"
1 1
œ # Ð-9=Ð BÑ=/8Ð5 BÑ =/8Ð5 BÑÑ.B'!
"
1 1 1
œ # Ð-9=Ð BÑ=/8Ð5 BÑ.B # =/8Ð5 BÑÑ.B' '! !
" "
1 1 1
œ Ð Ñ #-9=ÐÐ5 ÑBÑ -9=ÐÐ5 ÑBÑ -9=Ð5 BÑ5 5 51 1 1 1 1
1 1 1 1 1¸ ¸! !
" "
œ Ð Ñ Ñ # #-9=Ð 5 Ñ -9= Ð5 Ñ -9=Ð5 Ñ5 5 5 5 5 5
" " "1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
œ #"Ð"Ñ "Ð"Ñ "Ð"Ñ5 5 5
5 5 5
1 1 1 1 1
, par
, imparœ
5
5 2 25 5
%5
1 1 1 1
1
luego
0ÐBÑ œ Ð Ñ=/8Ð#5 BÑ =/8ÐÐ#5 "Ñ BÑ! !5œ" 5œ"
_ _
#5 #5 Ð#5"Ñ%2 2
1 1 1 1 11 1
32
Ejemplo Sea una función tal que0 À Ò ß Óqqqqp 0ÐBÑ œ /1 1 ‘
¸ ¸B
i). Demuestre que , su serie de Fourier es:aB − Ò ß Ó1 1
0ÐBÑ œ Ð/ "Ñ Ð Ñ-9=Ð8BÑ" #
8œ"
_/ Ð"Ñ "
8 "1 1
1 ! 1 8
#
ii) Evaluando la serie de Fourier de en demuestre que0 B œ ß1#
1
#=/82Ð Ñ %7 "7œ"
_Ð"Ñ
1
#
7
#œ " # Ð Ñ-9=Ð8BÑ!Solución
i) Como es continua y satisface la condición de Dirichlet en cada punto0 de , se tiene queÒ ß Ó1 1
0ÐBÑ œ + Ð+ -9=Ð5BÑ , =/8Ð5BÑÑ! 5 55œ"
_! como es par, es claro que 0 , œ !5
luego donde0ÐBÑ œ + + -9=Ð5BÑ! 55œ"
_! + œ œ 0ÐBÑ.B œ / .B œ / .B œ!
" " " / "#
B B1 1 1 1' ' ' ! !1
1 1 1 1¸ ¸
por partes+ œ / -9=Ð5 BÑ.B œ / -9=Ð5 BÑ.B5" #B B1 1' ' !1
1 1¸ ¸
œ # / Ð"Ñ "5 "1
1 5
#
con lo cual, se tiene que
0ÐBÑ œ Ð/ "Ñ Ð Ñ-9=Ð8BÑ" #
8œ"
_/ Ð"Ñ "
8 "1 1
1 ! 1 8
#
33
ii) En particular para se tiene que:B œ ß1
#
0Ð Ñ œ Ð/ "Ñ Ð Ñ-9=Ð8 Ñ1 1
1 1
1
# 8 " #" #
8œ"
_/ Ð"Ñ "! 1 8
#
de donde se tiene que si es impar
si -9=Ð8 Ñ œ
! 5Ð "Ñ 5 œ #7
1
# œ m
con lo cual
0Ð Ñ œ Ð/ "Ñ Ð ÑÐ "Ñ1
1 1
1
# %7 "" #
7œ"
_/ Ð"Ñ "! 1 27
#m
œ Ð/ "Ñ Ð ÑÐ "Ñ" # / "
7œ"
_
%7 "1 1
1 ! 1
#m
œ Ð" # Ñ/ "
7œ"
_Ð"Ñ%7 "
1
1! m
#
es decir 10Ð Ñ
/ " %7 "7œ"
_Ð"Ñ1
1#
#œ " #! m
Í œ " #1// " %7 "
7œ"
_Ð"Ñ
1
1
##
! m
Í œ " #1/
7œ"
_Ð"Ñ%7 "
1
1
1
#
/ "
/ #
#! m
Í œ " #1/
#Ð Ñ 7œ"
_Ð"Ñ%7 "
1
1 1
#
/ /# #
#
#! m
Í œ " #1/#=/82Ð Ñ %7 "
7œ"
_Ð"Ñ
1
1
#
##
! m
34
Ejemplo
Sea una función tal que0 À qqqqp‘ ‘
con 0ÐBÑ œ =/8Ð+BÑ + !¸ ¸ i). Determine el desarrollo en serie de Fourier de 0
ii) Calcule !7œ"
_Ð"Ñ 7%7 "
7
#
Solución
i) Se tiene que el período de es , con par, luego 0 X œ 01
+
donde0ÐBÑ œ + + -9=Ð#5+BÑ! 55œ"
_! + œ 0ÐBÑ.B œ =/8Ð+BÑ .B œ =/8Ð+BÑ .B œ!
+ + #+ #1 1 1 1' ' '¸ ¸ #+ #+
#+ #+ #+
!1 1
1 1 1
+ œ 0ÐBÑ-9=Ð#5+BÑ.B œ =/8Ð+BÑ-9=Ð#5+BÑ.B5#+ %+
!1 1' '#+
#+ #+
1
1 1
œ =/8ÐÐ#5 "Ñ+BÑ =/8ÐÐ#5 "Ñ+BÑ.B#+1'!
#+1
, por lo tantoœ Ð Ñ œ#+ )5-9=ÐÐ#5"Ñ+BÑ -9=ÐÐ#5"Ñ+BÑÐ#5"Ñ+ Ð#5"Ñ+ Ð%5 "Ñ1 1
¸!
#+#
1
0ÐBÑ œ -9=Ð#5+BÑ œ -9=Ð#5+BÑ# )5 # ) 5
5œ" 5œ"
_ _
Ð%5 "Ñ Ð%5 "Ñ1 1 1 1! !
# #
ii) Evaluando en se tieneB œ ß1
#+
0Ð Ñ œ -9=Ð 5 Ñ Í " œ 1
1 1 1 1#+ Ð%5 "Ñ Ð%5 "Ñ# ) 5 # )
5œ" 5œ"
_ _Ð"Ñ 5! !
# #
5
1
Í œ " Í œ ) # "
5œ"
_ _Ð"Ñ 5 Ð"Ñ 7Ð%5 "Ñ Ð%7 "Ñ ) %
7œ"1 1
1! !5 7
# #
35
Observación
Sean y+ ! 0 À Ò!ß +Óqp‘ función
¿ Como representar a mediante el desarrrollo de una serie0 trigonométrica ?
Lo más conveniente consiste en extender por medio de una función0 periódica de período y representar a dicha función por medio de su serie#+ de Fourier ,serie que en particular representara a la inicial0
1.- Extensión par de 0
periódica de período definida en por0 À qp #+ Ò +ß +Ó: ‘ ‘
0 ÐBÑ œ0Ð BÑ ß + Ÿ B !
0ÐBÑ ß ! Ÿ B Ÿ +:
ÚÛÜ
por ser par su desarrollo en serie no contiene senos
2.- Extensión impar de 0
En el caso en que admite tambien una extensión impar0Ð!Ñ œ !ß 0
periódica de período definida en por0 À qp #+ Ò +ß +Ó3 ‘ ‘
0 ÐBÑ œ 0Ð BÑ ß + Ÿ B !
0ÐBÑ ß ! Ÿ B Ÿ +3
ÚÛÜ
por ser impar su desarrollo en serie no contiene cosenos
36
Ejemplo
Sea una función tal que0 À Ò!ß Óqqqqp 0ÐBÑ œ =/8ÐBÑ1
# ‘
y la extensión par de 0 À qqqqp 0: ‘ ‘
i). Determine para todo 0 ÐBÑ B − Ò ß Ó: # #1 1
ii) Encuentre la serie de Fourier de 0:
Solución
i). si
, si 0 ÐBÑ œ
0ÐBÑ ß B − Ò!ß Ó
0Ð BÑ B − Ò ß !Ó:#
#œ 1
1
si
, si œ œ =/8B aB − Ò ß Ó
=/8ÐBÑ ß B − Ò!ß Ó
=/8ÐBÑ B − Ò ß !Óœ ¸ ¸1
11 1#
## #
ii) Como es periódica de período y par, se tiene que su serie es de la forma0: 1
donde0 ÐBÑ œ + + -9=Ð#5BÑ: ! 55œ"
_! + œ œ 0ÐBÑ.B œ =/8 B .B œ =/8 B .B œ!
" " # #1 1 1 1' ' '¸ ¸ # #
# # #
!1 1
1 1 1
+ œ =/8 B -9=Ð#5 BÑ.B œ =/8 B-9=Ð#5 BÑ.B5# %1 1' '¸ ¸#
# #
!1
1 1
œ .B% =/8ÐÐ #5"ÑBÑ=/8ÐÐ#5"Ñ BÑ#1
'!
#1
œ Ð=/8ÐÐ #5 "ÑBÑ =/8ÐÐ#5 "Ñ BÑÑ.B#1'!
#1
con lo cual, se tiene queœ %Ð%5 "Ñ1 #
0 ÐBÑ œ Ð Ñ:# %
8œ"
_-9=Ð#8BÑ%8 "1 1
!#
37
Ejemplo
Sea una función tal que0 À Ò!ß "Óqqqqp ‘
si
si 0ÐBÑ œ
! ß B œ !
" B ß ! B Ÿ "
ÚÛÜ
Demuestre que
i). La extensión impar de , es para todo 0 0 ÐBÑ œ Ð Ñ B −3#
8œ"
_=/8Ð8 BÑ
81
1! ‘
ii) ( indicación : Evalúe !7œ"
_Ð"Ñ#7" % #
"Ð Ñ œ 0Ð Ñ7"
1
Solución
i) Como es periódica de período e impar, se tiene que su serie es de la forma0 #3
donde0 ÐBÑ œ , =/8Ð 5 BÑ , œ # Ð" BÑ=/8Ð5 BÑ.B œ3 5 55œ"
_#5
! '1 1!
"
1
con lo cual, se tiene que si es la extensión impar de entoncesß 0 03
para todo B − ‘
0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ# 5
8œ"
_#3 3
œ =/8Ð5 BÑ!1
1
es continua ,salvo en enteros de la forma con . Sin embargo0 #7 7 −3 ™
0 Ð#7 Ñ0 Ð#7 Ñ 0 Ð! Ñ0 Ð! Ñ
# # #""
33 3 3 3
œ œ œ ! œ 0 Ð#7Ñ
por lo tanto, como0 ÐBÑ œ œ30 ÐB Ñ0 ÐB Ñ =/8Ð8 BÑ
# 5#
8œ"
_3 3
1
1! ii) Evaluando en se tiene0 B œ3
"#
0 Ð Ñ œ Í œ Í œ3" # " ## 5 # #7" #7" %
8œ" 8œ" 8œ"
_ _ _=/8Ð 8 Ñ Ð"Ñ Ð"Ñ
1 1
1 1! ! !"#
7" 7"
38
Ejemplo
Sea una función tal que0 À À Ò!ß Óqqqqp 0ÐBÑ œ -9=Ð BÑ "1 ‘ 1
Determine el desarrollo en serie de Fourier de la extensión impar de 0
Solución
como la extensión es impar y el período es se tiene que#
0ÐBÑ œ , =/8Ð Ñ œ , =/8Ð5 BÑ! !5œ" 5œ"
_ _
5 5#5 B#1
1
donde , œ 0ÐBÑ=/8Ð5 BÑ.B5##'"
"
1
œ # Ð-9=Ð BÑ "Ñ=/8Ð5 BÑ.B'!
"
1 1
œ # Ð-9=Ð BÑ=/8Ð5 BÑ =/8Ð5 BÑÑ.B'!
"
1 1 1
œ # Ð-9=Ð BÑ=/8Ð5 BÑ.B # =/8Ð5 BÑÑ.B' '! !
" "
1 1 1
œ Ð Ñ #-9=ÐÐ5 ÑBÑ -9=ÐÐ5 ÑBÑ -9=Ð5 BÑ5 5 51 1 1 1 1
1 1 1 1 1¸ ¸! !
" "
œ Ð Ñ Ñ # #-9=Ð 5 Ñ -9= Ð5 Ñ -9=Ð5 Ñ5 5 5 5 5 5
" " "1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
œ #"Ð"Ñ "Ð"Ñ "Ð"Ñ5 5 5
5 5 5
1 1 1 1 1
, par
, imparœ
5
5 2 25 5
%5
1 1 1 1
1
luego
0ÐBÑ œ Ð Ñ=/8Ð#5 BÑ =/8ÐÐ#5 "Ñ BÑ! !5œ" 5œ"
_ _
#5 #5 Ð#5"Ñ%2 2
1 1 1 1 11 1
39
Ejemplo
Sea una función tal que0 À Ò!ß Óqqqqp 0Ð>Ñ œ #>1 ‘
i). Determine la extensión par de y grafíquela0 ii) Determine el desarrollo en serie de Fourier de medio rango para la extensión par de 0Solución
i) Sea la extensión par, luego0 À Ò ß Óqqqqp: 1 1 ‘
su grafico es:0 Ð>Ñ#> ß > − Ó!ß Ó
#> ß > − Ò!ß Ó: œ 1
1
ii) como la extensión es par y el período debe ser se tiene que#1
0 Ð>Ñ œ + + -9=Ð Ñ œ + + -9=Ð 5 >Ñ: ! 5 ! 55œ" 5œ"
_ _#5 >#
! !1
1
donde y + œ #>.> œ + œ #>-9=Ð5 >Ñ.> œ % †! 5" # "Ð"Ñ
51 1 1' '! !
8
#
1 1
1
luego con lo cual si par
si impar+ œ
! 5
55 )5
œ#1
0 Ð>Ñ œ + + -9=Ð 5 >Ñ œ -9=ÐÐ#5 "Ñ >Ñ: ! 55œ" 5œ"
_ _)
Ð#5"Ñ! !1
1
1#
y como se tiene que 0 Ð!Ñ œ ! œ:)
5œ"
_
Ð#5"Ñ1! 1
# 1
es decir !5œ"
_
Ð#5"Ñ )1
#
#
œ 1
40
Ejemplo
Sea una función tal que0 À Ò!ß "Óqqqqp 0ÐBÑ œ‘B#
i). Determine la extensión par de 0 À Ò "ß "Óqqqqp 0: ‘
ii) Encuentre la serie de Fourier de la extensión par de 0
iii) Calcule !5œ!
_"
Ð#5"Ñ#
Solución
i) sisi si
si0 ÐBÑ œ œ œ
0ÐBÑ ! Ÿ B Ÿ "0Ð BÑ " Ÿ B ! " Ÿ B !
! Ÿ B Ÿ ":
B#B#
B
#œ œ ¸ ¸
ii) Como es de período y la extensión es par hay que determinar los X œ # ß +5
donde + œ 0 ÐBÑ.B œ .B œ .B œ! :" " B "# # # # %
B' ' '" " !
" " "¸ ¸
+ œ 0 ÐBÑ-9=Ð5 BÑ.B œ -9=Ð5 BÑ.B5 :B
#' '" "
" "
1 1¸ ¸
œ B-9=Ð5 BÑ.B œ'!
" 5
#1Ð"Ñ "Ð5 Ñ1
de donde si es par
si es impar+ œ! 5
55 #Ð5 Ñ
œ1 #
luego 0 ÐBÑ œ œ :B
# % Ð#5"Ñ" #
5œ"
_-9=ÐÐ#5"Ñ BѸ ¸
1
1# #!
iii) Evaluando en , se tiene B œ ! œ 0 1# % Ð#5"Ñ
" #
5œ"
_
1 # #!
es decir es decir ! !5œ" 5œ!
_ _
Ð#5"Ñ ) Ð#5"Ñ )1 1
# #
# #
œ œ1 1
41
Teorema
Si es continua por tramos y la integral del valor absoluto de 0Ð>Ñ 0 es finita en Ò ß ÓX X
# #
entonces lim lim8Ä_ 8Ä_
! !' ' X X
# #
X X# #0Ð>Ñ-9=Ð8A >ÑÑ.> œ 0Ð>Ñ=/8Ð8A >ÑÑ.> œ !
Demostración
Como por las hipotersis los coeficientes de Fourier existen y del Teo. anterior
lim lim8Ä_ 8Ä_
8 8+ œ , œ !
Í 0Ð>Ñ-9=Ð8A >ÑÑ.> œ 0Ð>Ñ=/8Ð8A >ÑÑ.> œ !lim lim8Ä_ 8Ä_
" "X X! !' '
X X# #
X X# #
Í 0Ð>Ñ-9=Ð8A >ÑÑ.> œ 0Ð>Ñ=/8Ð8A >ÑÑ.> œ !lim lim8Ä_ 8Ä_
! !' ' X X
# #
X X# #
Teorema
Si es continua en con donde es continua0Ð>Ñ Ò ß Ó 0Ð Ñ œ 0Ð Ñ 0 Ð>ÑX X X X# # # #
ß
por tramos y diferenciable entonces la serie de Fourier de
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8 † A >Ñ , =/8Ð8 † A >Ñ A œ! 8 ! 8 ! !8œ"
_#X
! con 1
se puede derivar y se tiene que
0 Ð>Ñß
œ Ð8 † A Ñ + =/8Ð8 † A >Ñ , -9=Ð8 † A >Ñ A œ! ‘8œ"
_
! 8 ! 8 ! !#Xcon 1
Demostración
Como 0 Ð>Ñß
es continua por tramos y diferenciable , su serie de Fourier converge a ella, es decir
0 Ð>Ñß
œ -9=Ð8 † A >Ñ =/8Ð8 † A >Ñ! ! "! 8 ! 8 !8œ"
_!
42
donde ! 8 ! !#Xœ Ð>Ñ-9=Ð8 † A >Ñ.> à a8 −'
X#
X#0ß
" 8 !#Xœ Ð>Ñ=/8Ð8 † A >Ñ.> à a8 −'
X#
X#0ß
integrando por partes, se tiene
!8 ! ! !#Xœ Ð>Ñ-9=Ð8 † A >Ñ 8 † A Ð>Ñ=/8Ð8 † A >Ñ.> ¸ ‘'0 0
X#
X#
X#
X#
œ 8 † A , à! 8
"8 ! ! !#Xœ Ð>Ñ=/8Ð8 † A >Ñ 8 † A Ð>Ñ-9=Ð8 † A >Ñ.> ¸ ‘'0 0
X#
X#
X#
X#
œ 8 † A +! 8
y como , con lo cual0Ð Ñ œ 0Ð ÑX X# # se tiene que !! œ !
0 Ð>Ñ ß
œ 8 † A , -9=Ð8 † A >Ñ 8 † A + =/8Ð8 † A >Ñ!8œ"
_
! 8 ! ! 8 !
œ Ð8 † A Ñ + =/8Ð8 † A >Ñ , -9=Ð8 † A >Ñ! ‘8œ"
_
! 8 ! 8 !
Teorema
Si es continua por tramos en con 0Ð>Ñ Ó ß Ò 0Ð> XÑ œ 0Ð>ÑX X# #
entonces la serie de Fourier de
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8 † A >Ñ , =/8Ð8 † A >Ñ A œ! 8 ! 8 ! !8œ"
_#X
! con 1
se puede integrar y se tiene que
' ! ‘> !"
>#
0Ð>Ñ.> œ + Ð> > Ñ Ð , -9=Ð8 † A > Ñ -9=Ð8 † A > Ñ Ñ! # " 8 ! # ! "8œ"
_"
8†A
Ð+ =/8Ð8 † A > Ñ =/8Ð8 † A > Ñ Ñ! ‘8œ"
_"
8†A 8 ! # ! "!
43
APROXIMACIÓN MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER
Observación
Sea W Ð>Ñ œ + + -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ5 ! 8 ! 8 !"#
8œ
5!
la suma parcial de los primeros terminos de la serie asociada aÐ#8 "Ñ en el intervalo 0Ð>Ñ Ó ß ÒX X
# #
Si se aproxima por , se tendra que0 W5
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ Ð>Ñ"# ! 8 ! 8 ! 5
8œ"
5! &
donde es la diferencia o error entre y &5 5 5Ð>Ñ œ 0Ð>Ñ W Ð>Ñ 0Ð>Ñ W Ð>Ñ
con el cual se tiene que
I œ Ð>Ñ 0Ð>Ñ W Ð>Ñ5 5 5" "X X' '
X X# #
X X# #
Ð Ñ .> œ Ð Ñ .>& # #
œ .>" "X # ! 8 ! 8 !
8œ"
5' ‘X
#
X#
0Ð>Ñ + + -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ! #
es llamado error cuadrático medio
Observación
Si se aproxima por tal que0Ð>Ñ W Ð>Ñ5
0Ð>Ñ œ + + -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ Ð>Ñ"# ! 8 ! 8 ! 5
8œ"
5! &
se cumple que es el mínimo error cuadrático medio, es decir cumple laI5
condición : para todo `I `I`+ `,
5 5
nœ ! œ 8n
44
Teorema
I œ 0Ð>Ñ + Ð+ , Ñ5" " "X % #!
# # #
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð Ñ .># !Demostración
Se tiene que I œ Ð>Ñ 0Ð>Ñ W Ð>Ñ5 5 5" "X X' '
X X# #
X X# #
Ð Ñ .> œ Ð Ñ .>& # #
œ Ð Ñ.>"X
#5 5'
X#
X#
0Ð>ÑÑ #0Ð>ÑW Ð>Ñ ÐW Ð>ÑÑ#
œ Ð Ñ.>" # "X X X
#5 5' ' '
X X X# # #
X X X# # #
0Ð>ÑÑ .> 0Ð>ÑW Ð>Ñ.> ÐW Ð>ÑÑ#
en donde , para
# # #X X # X5 8 !
+
8œ"
5' ' ' X X X
# # #
X X X# # #0Ð>ÑW Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.> + 0Ð>Ñ-9=Ð8A >Ñ.>! !
, 0Ð>Ñ=/8Ð8A >Ñ.>#X8œ"
5
8 !! 'X
#
X#
œ Ð 0Ð>Ñ.>Ñ + Ð 0Ð>Ñ-9=Ð8A >ÑÑ.>+# X X
# #
8œ"
5
8 !! ' '
X X# #
X X# #!
, Ð 0Ð>Ñ=/8Ð8A >ÑÑ.>!8œ"
5
8 !#X'
X#
X#
œ + , œ Ð+ , Ñ+ +# #
8œ" 8œ" 8œ"
5 5 5
8 8 8 8# # # #! !
# #! ! !
" " "X X #5 ! 8 ! 8 !
8œ"
5' ' ‘ X X
# #
X X# #ÐW Ð>ÑÑ + + -9=Ð8A >Ñ , =/8Ð8A >Ñ# #
Ñ.> œ .>!
œ Ñ" "% #!
# # #
8œ"
5
8 8+ Ð+ ,! por ortogonalidad de las funciones
45
con lo cual al sustituir se tiene
I œ 0Ð>ÑÑ .> 0Ð>ÑW Ð>Ñ.> ÐW Ð>ÑÑ5 5 5" # "X X X
#' ' ' X X X
# # #
X X X# # #
Ð Ñ.>#
œ 0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ + Ð+ ," " "X # % #
# # # # # #+
8œ" 8œ"
5 5
8 8 8 8!'
X#
X#
Ð Ñ!# ! !
œ 0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ" "X % #
# # #+
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð !# !
Teorema
#X #
# # #+
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ!# !
Demostración
I œ Ð>Ñ 0Ð>Ñ W Ð>Ñ !5 5 5" "X X' '
X X# #
X X# #
Ð Ñ .> œ Ð Ñ .>& # #
luego
es decir I ! 0Ð>Ñ + Ð+ , Ñ !5" " "X % #!
# # #
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð Ñ .># !
con lo cual " " "X % #!
# # #
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð Ñ .>0Ð>Ñ + Ð+ , Ñ# !
es decir # "X # !
# # #
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð Ñ .>0Ð>Ñ + Ð+ , Ñ# !
46
Teorema(Parseval)
Si son los coeficientes de Fourier de la serie asociada a la función + ß + ß ,! 8 8
de período entonces0Ð>Ñ X ß
" "X % #
# # #+
8œ"
_
8 8'
X#
X#
Ð0Ð>ÑÑ .> œ Ð+ , Ñ!# !
Demostración
como I œ 0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ5" "X % #
# # #+
8œ"
5
8 8'
X#
X#
Ð !# !
se tiene que I œ 0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ5"" "X % #
# # #+
8œ"
5"
8 8'
X#
X#
Ð !# !
œ 0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ Ð+ , Ñ" " "X % # #
# # # # #+
8œ"
5
8 8 5" 5"'
X#
X#
Ð !# !
œ I Ð+ , Ñ5"# 5" 5"
# #
donde los están formados por terminos no negativos y no crecientesI5
por lo cual la sucesión es convergenteÖI ×5
y como lim lim8Ä_ 8Ä_
5 5& œ 0Ð>Ñ W Ð>Ñ œ !
se tiene que lim8Ä_
5I œ !
con lo cual " "X % #
# # #+
8œ"
_
8 8'
X#
X#
Ð0Ð>ÑÑ .> Ð+ , Ñ œ !!# !
es ecir " "X % #
# # #+
8œ"
_
8 8'
X#
X#
Ð0Ð>ÑÑ .> œ Ð+ , Ñ!# !
