Sistema Polifasico Trifasica

Sistemas polifásicos 1 de 38

SISTEMAS POLIFÁSICOS

1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................. 3

2. GENERACIÓN DE UN SISTEMA ENEFÁSICO DE TENSIONES EQUILIBRADAS ................................................. 3

3. NOCIÓN DE FASE Y SECUENCIA DE FASES ................................................................................................... 7

4. CONEXIÓN DE FUENTES EN ESTRELLA Y EN POLÍGONO .............................................................................. 9

5. TENSIÓN SIMPLE, DE FASE Y TENSIÓN DE LÍNEA. INTENSIDADES DE FASE Y DE LÍNEA. RELACIONES

ENTRE LAS MISMAS EN LOS SISTEMAS EQUILIBRADOS .................................................................................... 10

Ejemplo 1. .......................................................................................................................................................... 14

6. ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. CÁLCULO DE LOS MISMOS POR REDUCCIÓN A UN

PROBLEMA MONOFÁSICO ................................................................................................................................... 16

Conexión estrella-estrella ................................................................................................................................... 16

Conexión triángulo-triángulo ............................................................................................................................. 19

Conexiones estrella-triángulo y triángulo-estrella .............................................................................................. 21

7. ANÁLISIS DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS ................................................................................................. 22

Teorema de Millman .......................................................................................................................................... 22

CONEXIÓN Y-Y ................................................................................................................................................... 23

VARIAS CARGAS CONECTADAS EN PARALELO.................................................................................................... 24

CONOCIDAS LAS TENSIONES EN LOS BORNES ..................................................................................................... 24

8. POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ......................................................................... 25

Comparación de los sistemas trifásicos equilibrados con los monofásicos ........................................................ 26

Ejemplo 2 ........................................................................................................................................................... 29

9. MEDIDA DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS ........................................................................................ 34


Sistemas con hilo neutro ..................................................................................................................................... 34

Sistemas sin hilo neutro ...................................................................................................................................... 34

10. EJERCICIOS .................................................................................................................................................. 37


1. INTRODUCCIÓN

Hoy en día se utilizan, de forma casi generalizada, consumos en energía eléctrica en forma de

corriente alterna C.A., en los sistemas de potencia.

Esto ha obligado a desarrollar técnicas de generación, transporte y consumo mucho más eficaces y

rentables. El transporte y la generación se puede realizar en C.A. monofásica, trifásica o polifásica, el

consumo exactamente igual.

El que se realice tanto el transporte como la generación en C.A. trifásica se debe a que presenta una

serie de ventajas respecto al monofásico, como veremos en el capítulo.

Los sistemas polifásicos, en general, quedan determinados por:

-Tensión.

-Número de fases o circuitos monofásicos que lo constituyen,

-Ángulo de desfase que lo caracteriza, siendo:

2 360º

; m m

πϕ = ϕ =

donde m es el número de fases.

Si las tensiones y corrientes son iguales así como el ángulo ϕ entre fases, el sistema es equilibrado, en

caso contrario el sistema es desequilibrado.

En 1888 Ferraris descubrió que se podía generar un campo magnético giratorio con dos a más

corrientes alternas fuera de fase, y esta es otra de las grandes ventajas de los sistemas polifásicos frente a los

monofásicos.

De los sistemas polifásicos el más utilizado es el trifásico.

2. GENERACIÓN DE UN SISTEMA ENEFÁSICO DE TENSIONES

EQUILIBRADAS

Si una espira rígida gira con una velocidad ω constante en el seno de un campo magnético uniforme,

se genera en la misma una tensión senoidal debido a que el flujo que la atraviesa tiene una variación senoidal

en el tiempo. Igualmente se logra esa tensión permaneciendo fija la espira y girando los polos con velocidad

angular constante ω. Por diversas razones, en cuyo estudio no nos detenemos ahora, este último procedimiento

es el que se utiliza en la práctica.


figura 1

En la figura 1 se representa un generador de tensión alterna, que consta de un rotor, formado por un

electroimán de cuatro polos salientes, dos norte y dos sur, dispuestos alternativamente de forma tal que

producen una distribución senoidal del flujo magnético a lo largo del entrehierro, y de un estator, donde se

alojan los lados activos de unas bobinas cuyas secciones transversales se representan convencionalmente por

un solo conductor. Una bobina abarca el arco entre dos polos consecutivos. El lado conectado al terminal de

entrada, esto es, al extremo de polaridad de referencia positiva, le designamos con la letra A y el conectado al

terminal de salida le designamos con la letra X. Suponemos que los lados de las bobinas se cierran por la parte

posterior del plano, conexión que al solo efecto de que quede representada dibujamos fuera del estator, y que

en la parte anterior están los terminales extremos. En esta figura se representan, pues, dos bobinas, una la Al -

X1 y otra la A2 - X2. Al girar el rotor con velocidad angular ωg, se induce en cada bobina una tensión alterna

senoidal de pulsación ω. Si la rueda polar o rotor tuviera sólo un polo norte y un polo sur, esto es, un solo par

de polos, la pulsación ω de la tensión inducida en cada bobina sería:

gω = ω

pues en una vuelta se completaría un período.

En la máquina tetrapolar de la figura, número de pares de polos p = 2, se completa en media vuelta un

período del flujo senoidal y de la tensión inducida en cada bobina; luego:

g

g gT

2 T2

ω = π = ω

en donde Tg es el tiempo empleado por el rotor en una revolución. Esto significa que el período T de

la tensión inducida es la mitad de Tg o que, según la expresión anterior,

En general será:

gpω = ω

lo que quiere decir que en una máquina de p pares de polos basta una rotación igual a l/p de vuelta,

que. equivale a 360/p grados geométricos, para obtener un período de la tensión inducida, esto es, 360º

eléctricos.


Las tensiones inducidas en las bobinas Al –X1 y A2 -X2 están en fase, como se ve fácilmente por su

idéntica disposición respecto de dos polos consecutivos. Las podemos conectar, pues, en serie, terminal de

salida de una con el de entrada de la otra, con lo que se duplica la tensión en los terminales libres. Este

alternador, en que sólo se obtiene una tensión senoidal o tensiones en fase, se denomina monofásico.

Obsérvese que la separación entre las entradas Al y A2 de las bobinas es 360º/p y que estarán en fase las

tensiones inducidas en dos bobinas cuya separación geométrica tenga este valor o un múltiplo del

mismo.

figura 2

En cambio, en bobinas como las representadas en la figura 2, cuyas entradas son Al, B1 Y C1, se

inducen tensiones no en fase y que, si se toma como referencia la inducida en la bobina A1 pueden expresarse

por

A A

B B B

C C C

E 0

E

E

== −ϕ

= −ϕ

EEEE

EEEE

EEEE

pues, según el sentido de rotación indicado en la figura, estas tensiones van retrasadas en tiempo


g g

g g

B B B

g

C C C

g

p

p

ϕ ϕ ϕ= =ω ω ωϕ ϕ ϕ= =ω ω ω

Por consiguiente, llamando ϕ a la diferencia de fase o ángulo eléctrico, entre las tensiones inducidas

en dos bobinas y designando por ϕg su separación o ángulo geométrico, puede escribirse en general

gpϕ = ϕ

Si a lo largo del diámetro interior del estator hay distribuidas uniformemente pn bobinas iguales, esto

es, p grupos de n bobinas (un grupo por cada 360/p grados geométricos) y si la rueda polar es simétrica, las

tensiones de las bobinas de cada grupo forman un sistema n-fásico de tensiones equilibradas, denominación

debida a que las amplitudes son iguales y a que entre cada dos sucesivas hay una diferencia de fase igual a l/n

de período. (Para la figura 2 se ha tomado n = 3.) Haciendo g2

n

πϕ = diferencia de fase del sistema n-fásico,

podemos escribir:

( )

1

2 s

3 s

n s

E 0

E

E 2

........................

E n 1

== −ϕ

= − ϕ

= − − ϕ

EEEE

EEEE

EEEE

EEEE

Conectando en serie las bobinas de los distintos grupos cuyas tensiones están en fase, por ejemplo,

conectando el terminal X1 con A2, X2 con A3 y así sucesivamente, obtendremos entre Al y el X de la última

bobina una tensión

U pE=

Se obtiene, en definitiva, el sistema

( )

1

2

3

n

U 0

2U

n

2U 2

n

........................

2U n 1

n

=π= −

π= −

π= − −

UUUU

UUUU

UUUU

UUUU

cuya representación vectorial se muestra en la figura 3


figura 3

En la práctica no se encuentran nada más que los sistemas

− bifásico

− trifásico

− tetrafásico y

− hexafásico

En la figura 4 se muestran sus respectivas representaciones vectoriales. Por excepción, la diferencia de

fase entre las tensiones del sistema bifásico es

s2

πϕ =

y no igual a π, como resultaría de seguir la ley general. El más utilizado en la distribución de energía

eléctrica es, sin duda alguna, el sistema trifásico.

figura 4

3. NOCIÓN DE FASE Y SECUENCIA DE FASES

Cada uno de los sistemas monofásicos que componen el sistema trifásico.


Por extensión, se da el nombre de fase a cada una de las partes de un circuito en que se genera, se

transmite o se utiliza una de las tensiones del sistema.

Secuencia de fases es el orden en que se suceden las correspondientes tensiones. Recuérdese que los

vectores asociados a las funciones senoidales se representan en la posición correspondiente a un instante

determinado, por ejemplo, t = 0, pero son unos vectores rotatorios que giran con velocidad angular constante

ω en sentido contrario al de las agujas de un reloj. (Sentido sinistrórsum o sentido directo de rotación en el

plano.)

El orden en que los vectores representados en la figura 3 y figura 4 van coincidiendo con un eje que

pase por el origen, por ejemplo, el eje real, es 1, 2, 3, ... En este caso se dice que el sistema polifásico, tal

como le hemos numerado, es de secuencia positiva o directa.

En la figura 5 se representa un sistema trifásico equilibrado de secuencia negativa. Nótese que la

secuencia de fases expresa el orden en que se suceden los máximos de los valores instantáneos de las

tensiones.

figura 5

Según el sentido de rotación representado en la figura 2, las fases se suceden en el orden A-B-C, esto

es, en secuencia directa, y si cambia el sentido de rotación, las fases se suceden en el orden C-B-A, esto es, en

secuencia inversa. Pero imaginemos que disponemos de las tensiones en un punto alejado del generador y que

los conductores que allí poseemos no están marcados por número o letra alguno. En este caso, lo primero que

tenemos que hacer para entendemos es marcar los conductores y luego determinar experimentalmente en el

orden en que se suceden las tensiones. Si ocurre que éstas se suceden en el orden convencional de las marcas,

el sistema de tensiones es de secuencia directa, y si no ocurre así, es de secuencia inversa. Pero se ve lo

relativo de este concepto, pues basta cambiar dos marcas cualesquiera, en este caso de sistema trifásico, para

tener la secuencia Inversa.

No se crea que, a pesar de su relatividad, carece de utilidad el concepto de secuencia. El orden de

sucesión de fases de un sistema polifásico es causa de que éste produzca, por ejemplo, un campo rotativo de

un sentido u otro. También se producen resultados distintos en los sistemas desequilibrados al aplicarse en

ellos fuentes de secuencias contrarias, y es por ello que hemos de considerar el orden de sucesión de las fases.


El concepto de secuencia de fases, a veces denominado rotación de fases, se aplica también, aunque el

sistema sea desequilibrado. En este caso, los vectores del correspondiente diagrama no son de igual módulo,

no están separados por igual ángulo o se dan las dos circunstancias simultáneamente.

4. CONEXIÓN DE FUENTES EN ESTRELLA Y EN POLÍGONO

En la figura 6 se representa un sistema trifásico equilibrado de fuentes de tensión.

figura 6

En la figura 7(a) se representa su conexión en estrella, la que se obtiene uniendo en un punto común

N, llamado punto neutro, los terminales a’, b' y c' de polaridad de referencia negativa. Suele ser costumbre

representar las fuentes en estrella, como se hace en la figura 7(c), esto es, en la forma de estrella de que recibe

el nombre.

figura 7

En la figura 8(a) se representa la conexión en triángulo. Se obtiene conectando sucesivamente los

terminales de distinta polaridad. La figura 8(c) es la representación usual de la conexión en triángulo.

Creemos conveniente advertir aquí, aunque a muchos lectores les parecerá innecesario, que, aun en el

caso de representar las fuentes en la disposición geométrica de Y o , los vectores asociados o

representativos de las tensiones complejas no coincidirán en orientación, en general, con las flechas


correspondientes de referencia de polaridad. Esto es lo que ocurre en las figura 7 y figura 8. Para evitar

confusiones, aparte de tener en cuenta esta advertencia, se aconseja que, como referencia de polaridad, se

utilice aquí doble subíndice en lugar de flechas.

figura 8

Los sistemas tetrafásicos y hexafásicos se pueden conectar también en estrella y en polígono. No

ofrecen dificultad alguna los correspondientes esquemas y diagramas vectoriales. El sistema bifásico no

permite la conexión en polígono.

5. TENSIÓN SIMPLE , DE FASE Y TENSIÓN DE L ÍNEA . INTENSIDADES

DE FASE Y DE L ÍNEA . RELACIONES ENTRE LAS M ISMAS EN LOS

SISTEMAS EQUILIBRADOS

Un sistema n-fásico de fuentes de tensión puede utilizarse para suministrar corriente a n cargas. No es

usual la conexión independiente que, por ejemplo, se muestra en la figura 9 para un sistema trifásico.

figura 9

Esta disposición requiere seis conductores para distribuir la energía a las cargas. La conexión de éstas

en estrella o en triángulo permite una reducción de ese número de conductores, lo que, como analizaremos

más adelante, supone una economía en los gastos de la instalación. A ello es debido el que uno u otro de estos

tipos de conexión, que se representan en la figura 10 para un generador trifásico en estrella, sea la norma


práctica de utilizar los sistemas polifásicos. En el esquema de los generadores de esta figura se ha incluido la

impedancia interna Zg de cada uno de ellos. Estas impedancias son las de los devanados donde se inducen las

tensiones de cada fase.

Para la conexión en estrella se utiliza el símbolo Y y para la conexión en triángulo el .

En la figura 10(a) se representa la conexión Y-Y con hilo neutro. En la figura 10(b), la distribución se

realiza a tres hilos, o sea, sin conductor de conexión entre los puntos neutros N' y N del generador y de la

carga. Por último, en la figura 10(c) se representa la conexión Y-. Cabe también considerar las conexiones

-Y y -.

Se denomina tensión simple a la diferencia de potencial que existe entre cada uno de los conductores

de línea y el hilo neutro.

Se denomina tensión de fase a la diferencia de potencial que existe en cada una de las ramas

monofásicas de un sistema trifásico. Para las cargas en estrella, la tensión de fase es la que aparece en la

correspondiente impedancia, y coincide con la tensión simple, por ejemplo, UaN para, Z1 en los dos casos

representados en la figura 10.

figura 10


Tensión compuesta o de línea (característica del sistema trifásico) es la diferencia de potencial que

existe entre dos conductores de línea. Si se considera que es nula la impedancia ofrecida por esos conductores,

las tensiones de línea en la carga son idénticas a las que se tienen en la salida del generador.

Intensidad de línea es una de las intensidades Ia, Ib o Ic que circulan por los conductores de la línea

de conexión entre el generador y la carga. Se llama intensidad de fase a la que circula por cada una de las

ramas monofásicas de un sistema trifásico.

En los sistemas en estrella, ya sean cargas o generadores, la intensidad de línea IL coincide con la intensidad de fase IF, esto es,

L F=I II II II I

como se deduce de la simple inspección de la figura 10.

Para la conexión triángulo, por el contrario, es la tensión de línea la que coincide con la tensión de

fase, es decir,

F L=U UU UU UU U

lo que puede apreciarse en la figura 10(c) y en la figura 8.

Un sistema trifásico se dice equilibrado cuando lo es la carga y el generador, esto es, cuando las

impedancias que presentan estos elementos en sus distintas fases son iguales entre sí y las fuentes de tensión

del sistema están equilibradas. La línea de distribución ha de presentar también una misma impedancia ZL por

fase.

En los sistemas equilibrados, tanto las tensiones como las intensidades, ya sean las de fase o las de

línea, forman un conjunto de magnitudes equilibradas. Los vectores a ellas asociados son de igual módulo y

entre cada dos sucesivos hay una diferencia de fase constante.

Veamos las relaciones que existen entre las magnitudes denominadas de línea y las de fase en los

sistemas equilibrados.

Sean, figura 11, tres impedancias de carga iguales ZY conectadas en estrella. Supongamos que las

tensiones a ellas aplicadas formen un sistema trifásico equilibrado de secuencia positiva.

figura 11


El diagrama vectorial que se representa en la misma figura muestra que las intensidades de fase

forman también un sistema equilibrado, puesto que

a b cϕ = ϕ = ϕ

e

a b cI I I= =

ya que las impedancias en estrella son iguales entre sí.

Veamos las tensiones de línea,

( )ab aN Nb aN bN aN aNU 1 0º 1 120º U 3 30º− = − − =U =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U U

Por tanto, podemos escribir,

( )( )( )

ab aN

bc bN

ca cN

130º

130º

130º

=

=

=

U UU UU UU U

U UU UU UU U

U UU UU UU U

esto es,

L FU 3U=

con un adelanto de 30º de la tensión de línea respecto de la tensión de fase del mismo origen.

Obsérvese que esta conclusión referente a la diferencia de fase es válida sólo para las tensiones de línea

tomadas en sucesión directa, esto es, a-b, b-c, e-a, como hemos hecho en el referido diagrama.

Las mismas conclusiones obtenidas para las cargas se deducen para los generadores en Y, lo que

puede comprobarse comparando la figura 7(b) y la figura 11.

figura 12


Consideremos ahora el caso, figura 12, en que las tres impedancias Z

estén conectadas en triángulo y

sea también positiva la secuencia de las tensiones de línea. Las intensidades de fase

IIIIab, IIIIbc, IIIIca

que representamos en el diagrama vectorial, forman un mismo ángulo ϕ, igual al argumento de Z

;

con las respectivas tensiones.

Las intensidades de línea vienen dadas por

a ab ca

b bc ab

c ca bc

= −= −= −

I I II I II I II I I



o bien por

( )( )( )

a ab

b bc

c ca

3 30º

3 30º

3 30º

= −

= −

= −

I II II II I

I II II II I

I II II II I

esto es,

L FI 3I=

con un retraso de 30º de la intensidad de línea respecto de la intensidad de fase del mismo origen de

referencia y de sucesión directa, esto es, a-b, b-c, c-a.

Del diagrama vectorial y esquema de la figura 12 se deducen de forma inmediata las ecuaciones

anteriores.

Ha de observarse que si los generadores están conectados también en triángulo, las intensidades de

fase suministradas por ellos se han de designar por:

IIIIb’a’ , IIIIc’b’ , IIIIa’c’

Y se verificará

ab b a

bc c b

ca a c

′ ′

′ ′

′ ′

===

I II II II I

I II II II I

I II II II I

Ejemplo 1.

A un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa se conecta una carga pasiva y equilibrada,

como se muestra en la figura 13.


Sabiendo que la carga está conectada en estrella, que su impedancia por fase es 25 6= −πZZZZ y que

la tensión de línea es de 150 V, construir un diagrama vectorial donde aparezcan todas las magnitudes de línea

y de fase (escalas: 3 V ~ 1 mm; 1 A ~ 1 cm). Tomar como origen de fases a Uan.

figura 13

Por ser el sistema de tensiones de secuencia inversa, se cumplirá:

an F

bn F

cn F

U 0º

U 120º

U 120º

=== −

UUUU

UUUU

UUUU

Veamos las tensiones de línea:

( )ab an nb an bn F FU 1 0º 1120º U 3 30º− = − = −U =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U U

Por tanto, podemos escribir,

( )( )( )

ab an

bc bn

ca cn

1 30º

1 30º

1 30º

= −

= −

= −

U UU UU UU U

U UU UU UU U

U UU UU UU U

osea;

L FU 3U=

con un retraso de 30º de la tensión de línea respecto de la tensión de fase del mismo origen.

Para nuestro caso tendremos:

L

FU 150

U 86,6v3 3

= = =

Las intensidades de fase, que coinciden con las de línea, forman también un sistema equilibrado de

secuencia inversa, ya que lo es el de tensiones de fase. Como la carga es capacitiva, dichas intensidades de

fase irán adelantas π/6 respecto a su correspondiente tensión de fase. Su valor eficaz será:


F

FU 86,6

I 3,46AZ 25

= = =

Por consiguiente, el diagrama vectorial pedido es el construido en la figura 14.

figura 14

6. ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS . CÁLCULO DE

LOS M ISMOS POR REDUCCIÓN A UN PROBLEMA MONOFÁSICO

Conexión estrella-estrella

Estudiaremos en primer lugar el sistema trifásico equilibrado Y-Y que se representa en la figura 15(a).

Para realizar el estudio con mayor generalidad se han considerado las impedancias Zg, o interna del

generador, ZL, o de los conductores de línea y ZN, o del hilo neutro, aparte, claro está, de las impedancias Z

de carga.

Escribamos las ecuaciones circulares correspondientes a los lazos básicos definidos por cada fase y el

hilo neutro. Con las referencias tomadas figura indicada se obtiene:

g1 L a N a b c

g2 L b N a b c

g3 L c N a b c

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= + + + + += + + + + += + + + + +

E Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I I



y siendo:

1 2 3 0+ + =E E EE E EE E EE E E


figura 15

puesto que se trata de un generador equilibrado, se verifica que:

g L N a b c0 ( 3 )( )= + + + + +Z Z Z Z I I IZ Z Z Z I I IZ Z Z Z I I IZ Z Z Z I I I

luego:

a b c 0+ + =I I II I II I II I I


por lo que

' N a b cNN( )= + +U Z I I IU Z I I IU Z I I IU Z I I I

cualquiera que sea el valor de la impedancia ZN, Si no hay hilo neutro, N = ∞ZZZZ es obvio que se

verifica que la suma de intensidades es cero, pero entonces las ecuaciones de las tensiones E1, E2, E3 pueden

escribirse en la forma:

'

'

'

g1 L a NN

g2 L b NN

g3 L c NN

( )

( )

( )

= + + +

= + + +

= + + +

E Z Z Z I UE Z Z Z I UE Z Z Z I UE Z Z Z I U



y teniendo en cuenta que la suma tensiones es cero resulta que

'g L a b c NN0 ( )( ) 3= + + + + +Z Z Z I I I UZ Z Z I I I UZ Z Z I I I UZ Z Z I I I U

Por lo que verificándose que la suma de intensidades es cero, se concluye también

'NN0=UUUU

Los puntos neutros de la carga y del generador en los sistemas trifásicos equilibrados están, pues, al

mismo potencial, ya exista o no hilo neutro. Esto nos permite poner en corto circuito los referidos puntos N y

N’ sin que se altere en nada el régimen de intensidades en las distintas partes del sistema. Esta situación se

representa en la figura 15(b), donde también se han sustituido las impedancias en serie Zg, ZL y Z, y por una

impedancia ZY equivalente.

Teniendo en cuenta que la tensión de neutro es cero, las ecuaciones para el cálculo de las intensidades

quedan:

1a

Y

2b

Y

3c

Y

=

=

=

EEEEIIII

ZZZZ

EEEEIIII

ZZZZ

EEEEIIII

ZZZZ

esto es, el mismo resultado que considerando aisladamente los tres circuitos monofásicos que se

representan en la figura 15(c), donde cada uno de ellos está formado con los elementos de una sola fase y con

los puntos N y N’ en cortocircuito.

Obsérvese que, por ejemplo, una vez calculada Ia y dado que el sistema es equilibrado, puede

escribirse inmediatamente:


b a

c a

(1 120º )

(1 120º )

= −

= +

I II II II I

I II II II I

Conexión triángulo-triángulo

Consideremos ahora el sistema equilibrado ∆-∆ que se representa en la figura 16(a).

Cabe reducirlo a un sistema equivalente Y-Y transformando, de la forma que ya hemos estudiado, las fuertes y

las impedancias de carga. Así se calculan las intensidades y las tensiones de línea. Estas tensiones de línea entre

terminales de la carga, o sea,

ab bc ca, ,U U UU U UU U UU U U

permiten calcular inmediatamente las intensidades de fases de la conexión original, pues no hay más

que dividir una de ellas por Z, ya que las otras son de igual módulo y están separadas entre sí 120º.

También pueden calcularse las intensidades de fase a partir de las intensidades de línea. Para ello

basta utilizar las relaciones que existen entre estas cantidades en la conexión ∆ equilibrada, cuestión que

hemos estudiado anteriormente.

Sin embargo, vamos a analizar directamente el sistema equilibrado ∆-∆, que representamos en su

forma más general en la referida figura 16(a). Si no existieran las impedancias de 1ínea ZL sería:

' '

' '

' '

ab a b

bc b c

ca c a

=

=

=

U UU UU UU U

U UU UU UU U

U UU UU UU U

Por ser equilibrado el sistema se verifica, exista o no ZL, que

' '

' '

' '

ab a b

bc b c

ca c a

=

=

=

I II II II I

I II II II I

I II II II I

lo que puede comprobarse inmediatamente examinando los diagramas vectoriales de intensidades en

las cargas y en los generadores.

Para ZL = 0, las intensidades de fase son las que circulan por los circuitos monofásicos que se

representan en la figura 16(b) y que se calculan inmediatamente. En efecto,


figura 16

abg

bc ab

ca ab

E 0

(1 120º )

(1 120º )

=+

= −

= +

IIIIZ ZZ ZZ ZZ Z

I II II II I

I II II II I


Veamos ahora el efecto de la impedancia ZL. Para la malla correspondiente a la fase a-b, esto es, la

formada por la rama a-b de la carga, la rama a’-b’ del generador y los conductores de línea que unen sus

extremos homólogos, podemos escribir:

' 'g L a ab L bb aE 0= + + −Z I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z I

de donde, teniendo en cuenta la igualdad entre las intensidades de fase en el generador y la carga y

teniendo en cuenta las relaciones entre intensidades de línea y fase en sistemas equilibrados, se verifica para la

carga equilibrada en ∆ y sistema de secuencia directa que:

a ab

b bc ab

( 3 30º )

( 3 30º ) ( 3 150º )

= −

= − = −

I II II II I


reulta

( ) ( )g ab L ab g L abE 0º ( ) 3 30º 3 150º= + + − − − = + +Z Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z I

luego

abg L

E 0º

3=

+ +IIII

Z Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

y análogamente

bcg L

cag L

E 120º

3

E 120º

3

−=+ +

+=+ +

IIIIZ Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

IIIIZ Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

Estas intensidades son las que se obtienen en los circuitos monofásicos de la figura 16(c). Cada uno de

éstos comprende los elementos de la correspondiente fase más una impedancia igual a 3 ZL, la que representa

el efecto producido por la impedancia de línea. Vemos, pues, que no hay que tomar el doble de ZL, como

pudiera creerse a primera vista. Ello se debe a que las intensidades de línea son 3 veces las intensidades de

fase.

Conexiones estrella-triángulo y triángulo-estrella

Los sistemas Y-∆ y ∆-Y se reducen fácilmente a Y-Y o ∆-∆, transformando ya sean las cargas o los

generadores


7. ANÁLISIS DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS

Teorema de Millman

Permite calcular la tensión UAB que en régimen permanente existe entre los nudos A y B, conociendo

las impedancias concurrentes en B y las tensiones entre el nudo A y los otros extremos de las citadas

impedancias.

m m

k k k1 1

AB m m

k k1 1

=∑ ∑

∑ ∑

EU IEU IEU IEU I

U =U =U =U =

Y YY YY YY Y

Sistemas desequilibrados, el desequilibrio se presenta cuando la carga lo es, o el generador o ambas

cosas a la vez, aunque normalmente el desequilibrio se suele presentar en la carga.

Los procedimientos de análisis se suelen dividir en dos:

• Métodos generales de análisis.

• Método de las componentes simétricas.

En este curso nos centraremos en los métodos generales de análisis. El método de componentes

simétricas se basa en que un sistema trifásico desequilibrado se puede descomponer en tres sistemas trifásicos

equilibrados, secuencia directa, secuencia indirecta y secuencia cero u homopolar, no puede haber

acoplamientos mutuos

En algunos casos se pueden hacer ciertas simplificaciones.

( )

( )

( )

1B1B AB A1 1 1 AB A1

1

2B2B AB A2 2 2 AB A2

2

mBmB AB Am m m AB Am

m

= − ⇒ = =

= − ⇒ = =

= − ⇒ = =

⋮

UUUUU U U I Y U -UU U U I Y U -UU U U I Y U -UU U U I Y U -U

ZZZZ


ZZZZ


ZZZZ


Conexión Y-Y

1 g1 L1 r1

2 g2 L2 r2

3 g3 L3 r3

= +

= +

= +

Z Z + Z ZZ Z + Z ZZ Z + Z ZZ Z + Z Z



Aplicando Millman

1 1 1 2 3 3 N NNN

1 2 3 N

′+ +=

+ + +EY+EY EY E YEY+EY EY E YEY+EY EY E YEY+EY EY E Y

UUUUY Y Y YY Y Y YY Y Y YY Y Y Y

Como:

NNN 1 2 3 NN N

N

′′+ + = UUUU

I = I I I =U YI = I I I =U YI = I I I =U YI = I I I =U YZZZZ

Llegamos a:

Intensidades de Línea Tensiones en el receptor Tensiones en el generador

1 NNa

1

2 NNb

2

3 NNc

3

′

′

′

−=

−=

−=

E UE UE UE UIIII

ZZZZ

E UE UE UE UIIII

ZZZZ

E UE UE UE UIIII

ZZZZ

aN r1 a

bN r2 b

cN r3 c

⋅⋅⋅

U = Z IU = Z IU = Z IU = Z I



a N 1 g1 a

b N 2 g2 b

c N 3 g3 c

′ ′

′ ′

′ ′

U =E - Z IU =E - Z IU =E - Z IU =E - Z I

U = E - Z IU = E - Z IU = E - Z IU = E - Z I

U =E - Z IU =E - Z IU =E - Z IU =E - Z I


Para el caso de que no exista hilo de neutro, las fórmulas son válidas Zn=∞ Yn=0.

Si el neutro es ideal, impedancia cero, los puntos N y N’ están al mismo potencial. Las intensidades

de fase son entonces las de tres circuitos monofásicos independientes.

31 2a b c

1 2 3

; ;EEEEE EE EE EE E

I = I = I =I = I = I =I = I = I =I = I = I =Z Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

Las conexiones Y-∆, ∆-Y, ∆-∆, se pueden analizar planteando las ecuaciones, o bien reduciéndolas al

caso Y-Y.

CASOS PARTICULARES

Varias cargas conectadas en paralelo.

Se transforman todas a triángulo, con lo que quedan conectadas en paralelo, se calcula el equivalente

de cada una de las ramas del triángulo, y se transforma a estrella.

Conocidas las tensiones en los bornes

Es muy frecuente que se conozcan las tensiones en los bornes, normalmente equilibradas que

alimentan a un receptor trifásico. En este caso el cálculo se puede simplificar, estudiaremos tres casos:

Carga en Y con hilo neutro(impedancia de los hilos despreciable frente a la carga)

Carga en ∆

ab bc ca an bn cn

an bn cna b c

1 2 3

n a b c

NN

, , , ,

, ,

0′

⇒

= = =

= + +=

U U U U U UU U U U U UU U U U U UU U U U U U

U U UU U UU U UU U UI I II I II I II I I


I I I II I I II I I II I I I

UUUU

ab bc caab bc ca

1 2 3

a ab bc

b bc ca

c ca ab

, ,= = =

===

U U UU U UU U UU U UI I II I II I II I I


I I - II I - II I - II I - I




Carga en Y sin hilo neutro

En este caso se produce un desequilibrio en las tensiones simples en la carga Uan, Ubn, Ucn,

desequilibradas.

El procedimiento es calcular las corrientes de fase pasando

de Y a ∆, posteriormente se calculan Ia, Ib, Ic y con ellas las

tensiones simples en la carga.

8. POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

La potencia suministrada por un generador trifásico, o la consumida por un receptor trifásico, es, en

los sistemas equilibrados, igual a tres veces la suministrada o consumida por una fase. Designando en general

por PF la potencia de una fase, esto es,

F F FP U I cos= ϕ

en donde ϕ es la diferencia de fase entre UF e IF, podemos escribir, como expresión de la potencia en

él, un sistema trifásico equilibrado

F FP 3U I cos= ϕ

Es conveniente expresar P en función de la tensión e intensidad de línea. Para ello, observando que se verifica en todo caso,

F F L L

1U I U I

3=

puesto que para la conexión Y es

F L F L

1U U e I I

3= =

y para la conexión en ∆

F L F L

1I I e U U

3= =

resulta:


L LP 3U I cos= ϕ

Nótese que ahora ϕ no es en ningún caso la diferencia de fase entre UL e IL, sino la que existe entre

UF e IF, como ya hemos dicho antes.

Por convención se toma como tensión U de un sistema trifásico la tensión UL y como intensidad I la

IL. Nótese que éstas son cantidades cuya medición es siempre posible.

Así, pues, escribimos, de acuerdo con este convenio,

P 3UIcos= ϕ

De forma análoga, siendo

F F FQ U I sen= ϕ

podemos escribir, como expresión general de la potencia reactiva de un sistema trifásico equilibrado:

Q 3UIsen= ϕ

La potencia compleja es, pues, en estos sistemas:

F F3P j3Q P jQ 3= + = + = ****S UIS UIS UIS UI

Extendiendo el concepto de potencia aparente dado para un circuito monofásico obtenemos

S 3UI=

Se verifica

P

cosS

ϕ =

y

Q

tgP

ϕ =

Advertimos de nuevo que el concepto de potencia compleja y el teorema de Boucherot permiten

simplificar extraordinariamente la resolución, de ciertos problemas, sobre todo en sistemas equilibrados.

Comparación de los sistemas trifásicos equilibrados con los

monofásicos

Estudiemos algunos de los diversos aspectos que presentan la distribución y utilización de energía

según se realicen mediante un sistema monofásico o mediante un sistema trifásico equilibrado.


1. Distribución de energía

Supongamos que tenemos que suministrar a una carga cierta potencia P, con una tensión de línea UL y

con un factor de potencia cos ϕ.

La carga y el generador están a cierta distancia, por lo que tenemos que realizar su conexión mediante

cables que presentan una resistencia.

Si tuviéramos opción a disponer de la potencia mediante una simple carga monofásica o mediante una

carga trifásica equilibrada, cabe estudiar cuál de los dos procedimientos es más conveniente desde el punto de

vista de la potencia perdida en la resistencia de los cables de conexión (figura 17).

figura 17

Llamaremos R1 a la resistencia de cada uno de los cables de la distribución monofásica y R3 a la de

cada uno de los tres cables que componen la línea trifásica.

Para la conexión monofásica, la corriente de línea IL1 viene dada por:

L1L

PI

U cos=

ϕ

Luego la potencia ∆P1 perdida en la línea es:

2

21 1 L1 2 2

L

PP 2R I 2R1

U cos∆ = =

ϕ

Para la distribución trifásica, la intensidad de línea es:

L3

L

PI

3U cos=

ϕ

luego

23 3 L3 2 2

L

PP 3R I

U cos∆ = =

ϕ

Así, pues,


3 3

1 1

P R

P 2R

∆ =∆

Si utilizamos cables idénticos en uno y otro caso es

3 1

1P P

2∆ = ∆

por lo que, desde este punto de vista, resulta más conveniente la distribución trifásica. A esta misma

conclusión se llega comparando los volúmenes de material conductor que son necesarios para que se produzca

la misma pérdida de potencia con ambas formas de distribución. En este supuesto, de la expresión anterior

deducimos que

3 1R 2R=

por lo que para un solo hilo

( ) ( )3 1

1Vol Vol

2=

y para toda la línea

( )( )

3

1

3 Vol 3

2 Vol 4=

esto es, el volumen de material conductor necesario en la distribución trifásica es las tres cuartas

partes del que se necesita en la monofásica de igual pérdida.

Para comparar económicamente ambos sistemas hay que considerar aún otros muchos factores, por

ejemplo, los aisladores y los transformadores que son necesarios. No entramos en detalles sobre esta cuestión,

pero si diremos que no se obtiene apreciable economía en la línea correspondiente a uno u otro caso. Las

ventajas del sistema trifásico se refieren más a la maquinaria terminal que a la línea de distribución.

2. Potencia instantánea

En los sistemas trifásicos equilibrados, la potencia instantánea, suma de las correspondientes a cada

fase, es constante.

En efecto,

( )( ) ( )( ) ( )

a a a F F

b b b F F

c c c F F

p u i 2U cos t 2I cos t

p u i 2U cos t 120º 2I cos t 120º

p u i 2U cos t 120º 2I cos t 120º

= = ω ω − ϕ

= = ω − ω − −ϕ

= = ω + ω + −ϕ


expresiones que podemos poner

( )( )( )

a F F F F

b F F F F

c F F F F

p U I cos U I cos 2 t

p U I cos U I cos 2 t 240º

p U I cos U I cos 2 t 240º

= ϕ + ω − ϕ

= ϕ + ω − −ϕ

= ϕ + ω + −ϕ

y siendo

( ) ( ) ( )cos 2 t cos 2 t 240º cos 2 t 240º 0ω − ϕ + ω − −ϕ + ω + −ϕ =

resulta

a b c F Fp p p U I cos P+ + = ϕ =

como queríamos demostrar.

Esta propiedad es de gran interés. Debido a ella, los motores trifásicos arrancan mejor y trabajan más

satisfactoriamente que los monofásicos. Además los grandes generadores monofásicos son muy ruidosos

debido a las vibraciones originadas por la potencia fluctuante.

Ejemplo 2

La figura 18 representa a un generador trifásico y equilibrado alimentando a una carga pasiva,

trifásica, equilibrada y conectada en estrella a través de tres hilos, cuya impedancia por fase es Zl = 1 + j.

Sabiendo que el generador trabaja a 50 Hz, que cede una potencia = 21,2 kW y que la carga pasiva

consume Pc = 20 kW con un factor de potencia 0,8 inductivo, determinar:

1. Intensidad de línea.

2. Tensión de fase en la carga.

3. Impedancia Z por fase de la carga.

4. Tensión de línea en el generador.

5. Capacidad por fase de la batería de condensadores, conectados en triángulo, en paralelo con la

carga, que hace aumentar el factor de potencia del conjunto a 0,9.

6. Idem, silos condensadores están conectados en estrella.

7. Una vez conectados los condensadores según los apartados anteriores calcular la nueva intensidad

de línea en cada uno de dichos casos para que las tensiones en la carga sean las mismas que antes

de conectar los condensadores.


figura 18

Corno el circuito es totalmente equilibrado, para efectuar su estudio podemos reducir el problema a

uno monofásico, tal como indica la figura 19. En este circuito, las potencias, consumidas por la carga y cedida

por el generador, son las potencias por fase del circuito trifásico y, por tanto, la tercera parte de las totales.

figura 19

1º Para el cálculo de la intensidad de línea basta observar que, por aplicación del teorema de

Boucherot en el circuito monofásico, la potencia permitida en uno de los hilos de la línea es:

Fl Fg FcP P P 0,4kw= − =

y como

2Fl lP R I=

tenemos para la intensidad de línea

Fl

l

P 400I 20

R 1= = =

2º En la carga monofásica se cumple:

Fc FcP U Icos= ϕ

de donde la tensión de fase en la carga será:

3

FcFc

P 20 10 3 1250U 417V

Icos 20 0,8 3

⋅= = = =ϕ ⋅


3º El valor de la impedancia por fase de la carga es:

FcU 1250 3 125Z

I 20 6= = = Ω

y, por tanto

125 25

Z Z(cos jsen ) (0,8 j0,6) (4 j3)6 6

= ϕ = ϕ + ϕ = + = +ZZZZ

4º Las potencias reactivas consumidas por fase en la carga y en la línea son:

Fc Fc

20 3Q P tg 5kVAr

3 4= ϕ = ⋅ =

y

2Fl lQ X I 400VAr= =

En consecuencia, la potencia reactiva cedida por fase del generador, por aplicación del teorema de

Boucherot, será:

Fg Fc FlQ Q Q 5,4kVAr= + =

La potencia aparente del mismo es:

2

2 2 2Fg Fg

21,1SFg P Q 5,4 8,9kVA

3 = + = + =

y como

Fg FgS U I=

Resulta para la tensión por fase en el generador

3

FgFg

S 8,9 10U 445V

I 20

⋅= = =

Por tanto la tensión de línea en el mismo será:

g FgU 3U 445 3 770V= = =

5º Los condensadores a colocar vienen representados en la figura 20. La potencia reactiva que deben

ceder dichos condensadores es la diferencia de las potencias reactivas consumidas por la carga por separado y

por el conjunto carga + condensadores. Es decir:

2c Fc c cQ 3Q 3 C U P (tg tg )∆ ′= = ω = ϕ − ϕ


figura 20

donde QFc es la potencia reactiva por fase cedida por los condensadores; Uc, la tensión de línea en la

carga, que coincide con la tensión de fase en los condensadores, ya que están conectados en triángulo, y ϕ’el

argumento de la impedancia total del conjunto condensadores + carga.

Por tanto, la capacidad pedida será:

c2 2c

P (tg tg ) 20 10(0,75 0,484)C 10,8 F

3 U 3 2 50( 3 417)∆

′ϕ − ϕ ⋅ −= = = µω ⋅ π ⋅ ⋅

figura 21

Los condensadores conectados en estrella, figura 21, deben ceder la misma potencia reactiva que los

conectados en triángulo. Además, como las tensiones de línea son las mismas en dichas conexiones, la

configuración en estrella será la equivalente de la en triángulo. Ahora bien, como dicha equivalencia se

resumía en

Y3∆ =Z ZZ ZZ ZZ Z


donde Z∆ y ZY son las impedancias conectadas en triángulo y estrella, respectivamente, y como, en

nuestro caso, la impedancia de un condensador es inversamente proporcional a su capacidad, se cumplirá

YC 3C 3 10,8 32,4 F∆= = ⋅ = µ

Nota.- Es necesario observar que los condensadores en estrella sólo deben soportar la tensión de fase

en la carga, mientras que los conectados en triángulo soportan la tensión de línea.

Estas observaciones, de mayor capacidad y menor tensión a soportar de las baterías de condensadores

en estrella en relación con las de triángulo, han de tenerse en cuenta como criterio económico para mejorar el

factor de potencia de una instalación trifásica.

7º En ambos casos, las potencias consumidas por el conjunto carga + condensadores son:

cP P 20kW

Q Ptg 20 0,484 8,7kVAr

= =′= ϕ = ⋅ =

La potencia aparente será, por lo tanto:

2 2 2 2S P Q 20 8,7 22,2kVA= + = + =

Ahora bien, como

FcS 3U I′=

la nueva intensidad de línea será en ambos casos

3

Fc

S 22,2 10I 17,8A

3U 3 417

⋅′ = = =⋅

Como se observa, al mejorar el factor de potencia, la intensidad de línea disminuye, con lo que

también disminuirán las pérdidas en los hilos de la línea.

Se puede ver también que, al mejorar el factor de potencia del receptor, se requiere menor tensión en

bornes del generador para mantener una misma tensión en bornes del receptor.


9. MEDIDA DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS

Pueden presentarse los siguientes casos en la medida de potencia activa:

Sistemas con hilo neutro

Solo se pueden dar en la conexión Y-Y pudiéndose a su vez dar dos casos.

a)equilibrado. b)desequilibrado

P= 3W1 P=W1+W2+W3

Sistemas sin hilo neutro

-Conexión Y con neutro accesible, caso anterior.

-Conexión en ∆ con fases accesibles.

*Equilibrado: Un vatímetroP= 3W1.

*Desequilibrado: Tres vatímetros

P= W1+W2+W3.


-Conexión Y ó ∆ sin neutro o fases accesibles

a)Equilibrado: creando un neutro artificial:

b)Equilibrado o desequilibrado: 3 vatímetros iguales:

-Conexión ARON o método de los dos vatímetros.

Es un caso particular del anterior válido para sistemas equilibrados y desequilibrados, con la

condición de la distribución a tres hilos (sin neutro).

P=W1+W2+W3


Vectorialmente:

1 ac a ac a

2 bc b bc b

W cos( )

W cos( )

= U I U I= U I U I= U I U I= U I U I

= U I U I= U I U I= U I U I= U I U I

Suponemos sistema equilibrado y dibujamos el diagrama vectorial.

Esta suma no ha de entenderse en sentido algebraico, veamos casos prácticos:

i) Si ϕ = 0 ⇒ cos ϕ =1;

W1=W2 ⇒ P = 2 W1

ii) Si |ϕ| = 60º cos ϕ = 0,5 uno de los dos vatímetros indica cero

a) Receptor inductivo

ϕ = + 60º ⇒ W2 = 0

b) Receptor capacitivo

ϕ = - 60º ⇒ W1 = 0

iii) Si |ϕ| > 60º cos ϕ < 0,5 uno de los dos vatímetros indica cero

a) ϕ > 60º carga inductiva W2 < 0 P = W1 – W2.

b) ϕ < -60º carga capacitiva W1 < 0 P = W2 – W1.

p=vania+ vbnib+ vcnic

ia+ib+ic=0

p=vania+ vbnib- vcn(ia+ib)

p=ia(van-vcn)+ib(vbn-vcn)= iavac+ibvbc

P=W1+W2

( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1 L L

2 L L

1 2 L L

L L L L

W U I cos 30

W U I cos 30

W W U I cos 30 cos 30

=2U I cos 30 cos 3U I cos P

= − ϕ

= + ϕ

+ = − ϕ + + ϕ =

ϕ = ϕ =


Uno de los dos vatímetros tenderá a medir negativo y habrá que invertir la conexión.

Tratándose de sistemas equilibrados, la diferencia W1 – W2 multiplicada por 3 proporciona la potencia reactiva del sistema trifásico.

( )

( )( )

( )

1 2 L L L L

1 2

1 2

1 2

1W W 2U I sen30 sen U I sen30 sen Q

3

Q 3 W W

3 W WQtg

P W W

− = ⋅ ϕ = ⋅ ϕ =

= −

−ϕ = =

+

Para la medida de potencia reactiva utilizaremos los mismos procedimientos sustituyendo los vatímetros por varímetros, o bien mediante la conexión ARON.

10. EJERCICIOS

Primer Ejercicio

Calcular el módulo y argumento de las intensidades de fase en el receptor, de las intensidades de línea

y de las intensidades de fase en el generador. Tomar las referencias dadas en el esquema, de la figura 22

figura 22

Segundo Ejercicio

Encontrar las relaciones entre las intensidades de fase y de línea de una carga equilibrada, conectada

en triángulo y alimentada por un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa. Suponer que la carga

es inductiva.


Tercer Ejercicio

En el circuito de la figura 23, calcular:

figura 23

1. La intensidad de línea y la intensidad de fase en la carga.

2. La tensión de línea en la carga.

3. Factor de potencia con que trabaja el generador.

4. Potencia reactiva suministrada por el generador.

5. Potencia reactiva absorbida por la carga.

6. Valor de la inductancia L en cada fase de la línea.

7. Valor de la impedancia Z por fase de la carga.

8. Capacidad por fase de la batería de condensadores en estrella que, colocada en paralelo con la

carga, da un conjunto de factor de potencia unidad.

9. La misma pregunta anterior, pero en el caso de que la batería de condensadores se monte en

triángulo.

Sistema Polifasico Trifasica

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