SNLAs 2D: Linealización de PEQs

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SNLAs 2D: Linealización de PEQs

Rafael Ramírez Ros

Clase SNL12


Outline

1 Introducción

2 Estabilidad de PEQs de SNLAs 2D por linealización

3 Croquis locales cerca de PEQs de SNLAs 2D

4 Problemas


Introducción

Índice

1 Introducción



4 Problemas


Introducción

Introducción

Abreviaturas:SNLA 2D = Sistema no lineal autónomo bidimensionalSLH = Sistema lineal homogéneoPEQ = Punto de equilibrioRI = Recta invarianteCI = Curva invarianteTaH-G = Teorema de Hartman-Grobman

Objetivos:1 Determinar la estabilidad de un PEQ de un SNLA 2D

mediante el estudio de los VAPs de una cierta matriz; y2 Dibujar un croquis local que muestre el comportamiento de

las trayectorias del SNLA 2D cerca del PEQ.Conceptos básicos:

SLH asociado a un PEQ de un SNLA;Estabilidad de PEQs de SNLAs por linealización; yCroquis locales entorno PEQs de SNLAs por TaH-G.


Estabilidad de PEQs de SNLAs 2D por linealización

Índice

1 Introducción



4 Problemas



Sistema linealizado de un PEQ

Si P = (x?, y?) ∈ R2 es un PEQ del SNLA 2D{x ′ = f (x , y)y ′ = g(x , y)

entonces su sistema linealizado es el SLH 2D a CC{x ′ = ax + byy ′ = cx + dy

donde A =

(a bc d

)=

(∂f∂x (x?, y?)

∂f∂y (x?, y?)

∂g∂x (x?, y?)

∂g∂y (x?, y?)

).

Advertencia: Si P 6= (0,0), entonces las coordenadas(x , y) del sistema linealizado no coinciden con lascoordenadas (x , y) del SNLA original.Notación: ∂x ′

∂x = ∂f∂x , ∂x ′

∂y = ∂f∂y , ∂y ′

∂x = ∂g∂x , ∂y ′

∂y = ∂g∂y .



Taylor

Hipótesis: Suponemos que f (x , y) y g(x , y) son funcionesde clase C1 en un entorno del PEQ P = (x?, y?).Sus desarrollos de Taylor de orden uno entorno P son:

f (x , y) = f (x?, y?) +∂f∂x

(x?, y?)(x − x?) +∂f∂y

(x?, y?)(y − y?) + · · ·

= 0 + a(x − x?) + b(y − y?) + · · · ,

g(x , y) = g(x?, y?) +∂g∂x

(x?, y?)(x − x?) +∂g∂y

(x?, y?)(y − y?) + · · ·

= 0 + c(x − x?) + d(y − y?) + · · · .

El símbolo “· · · ” denota términos no lineales sin calcular.Son más pequeños que los términos lineales x − x?, y − y?.



Linealización

Mediante el cambio de variables

x = x − x?, y = y − y?,

trasladamos el PEQ P = (x?, y?) al origen O = (0,0).Observación: x ′ = x ′, y ′ = y ′, pues x?, y? son constantes.Linealizar el SNLA entorno al PEQ P consiste en eliminarlos anteriores términos no lineales “· · · ” y quedarnos solocon los términos lineales{

x ′ = ax + byy ′ = cx + dy

Nota: El origen O en coordenadas trasladadas (x , y)corresponde al PEQ en las coordenadas originales (x , y).



Criterio de traza-determinantes para SLHs 2D



Teorema de estabilidad de PEQs de SNLAs 2D

Si A es la matriz del sistema linealizado de un PEQ P deun SNLA 2D, entonces:

1 A tiene algún VAP de parte real positiva⇒ P es inestable;2 A tiene dos VAPs de parte real positiva⇒ P es repulsor;3 A tiene dos VAPs de parte real negativa⇒ P es atractor;4 En los otros casos, la linealización no decide la estabilidad.

Observaciones:a) En el punto 1 del teorema, no se sabe si P es repulsor.b) La linealización decide la estabilidad en cuatro casos:

El sistema linealizado es una silla;El sistema linealizado es un nodo;El sistema linealizado es un foco; oEl sistema linealizado es degenerado inestable.

c) La linealización no decide la estabilidad en tres casos:El sistema linealizado es un centro;El sistema linealizado es degenerado estable; oλ = 0 es VAP doble de A.


Croquis locales cerca de PEQs de SNLAs 2D

Índice

1 Introducción



4 Problemas



Teorema de Hartman-Grobman

Si la matriz del sistema linealizado de un PEQ P de unSNLA 2D no tiene ningún VAP de parte real nula,entonces el croquis del SNLA cerca de P es “similar” alcroquis del sistema linealizado cerca de O.Observaciones:

a) El TaH-G se puede aplicar en tres casos:El sistema linealizado es una silla;El sistema linealizado es un nodo (pero con restricciones siel VAP es doble); oEl sistema linealizado es un foco.

b) El TaH-G no se puede aplicar en dos casos:El sistema linealizado es un centro; oEl sistema linealizado es degenerado: detA = 0.



¿Qué pasa si el SLH es una silla?

El PEQ P es inestable no repulsor.Existe una curva Cs, llamada CI estable de P, tal que:

a) P ∈ Cs;b) Cs es “tangente” en P a la RI estable del SLH; yc) Todas las trayectorias de Cs tienden a P cuando t → +∞.

Existe una curva Cu, llamada CI inestable de P, tal que:a) P ∈ Cu;b) Cu es “tangente” en P a la RI inestable del SLH; yc) Todas las trayectorias de Cu tienden a P cuando t → −∞.



Croquis local cerca de una silla



¿Qué pasa si el SLH es un nodo atractor?

El PEQ P es atractor.Si los VAPs son diferentes, existe una curva Css, llamadacurva estable rápida (o fuerte) de P, tal que

a) P ∈ Css;b) Css es “tangente” en P a la de RI estable rápida del SLH;c) Todas las trayectorias de Css tienden a P cuando t → +∞;d) Todas las trayectorias suficientemente cercanas a P, pero

no contenidas en Css, entran en P “tangentes” a la RIestable lenta del SLH cuando t → +∞.

Si los VAPs son iguales, las trayectorias suficientementecercanas a P tienden, cuando t → +∞, a P:

O bien siguiendo mayoritariamente una dirección “lenta”;O bien siguiendo múltiples direcciones diferentes;O bien girando alrededor de P.



Croquis local cerca de un nodo atractor



¿Qué pasa si el SLH es un nodo repulsor?

El PEQ P es repulsor.Si los VAPs son diferentes, existe una curva Cuu, llamadacurva inestable rápida (o fuerte) de P, tal que

a) P ∈ Cuu;b) Cuu es “tangente” en P a la de RI inestable rápida del SLH;c) Todas las trayectorias de Cuu tienden a P cuando t → −∞;d) Todas las trayectorias suficientemente cercanas a P, pero

no contenidas en Cuu, entran en P “tangentes” a la RIinestable lenta del SLH cuando t → −∞.

Si los VAPs son iguales, las trayectorias suficientementecercanas a P tienden, cuando t → −∞, a P:

O bien siguiendo mayoritariamente una dirección “lenta”;O bien siguiendo múltiples direcciones diferentes;O bien girando alrededor de P.



¿Qué pasa si el SLH es un foco?

Si el SLH es un foco atractor, entonces:El PEQ P es atractor; yTodas las trajectorias cercanas a P espiralan hacia P conel mismo sentido de giro que el SLH cuando t → +∞;

Si el SLH es un foco repulsor, entonces:El PEQ P es repulsor; yTodas las trajectorias cercanas a P espiralan hacia P conel mismo sentido de giro que el SLH cuando t → −∞

Si T (Q) es el tiempo que tarda en completar una “vuelta”la trayectoria que empieza en un punto Q ' P, entonces

limQ→P

T (Q) = 2π/β

donde λ± = α± βi son los VAPs complejos conjugadosdel SLH.



Croquis local cerca de un foco repulsor



¿Qué pasa si el SLH es un centro?

Las trayectorias suficientemente cercanas a P giranalrededor de P con el mismo sentido de giro que el SLH.Si T (Q) es el tiempo que tarda en completar una “vuelta”la trayectoria que empieza en un punto Q ' P, entonces

limQ→P

T (Q) = 2π/β

donde λ± = ±βi son los VAPs imaginarios puros del SLH.Las tres posibilidades más cómunes son que todas lastrayectorias suficientemente cercanas

1 Espiralen alejándose de P P es (débilmente) repulsor;2 Espiralen acercándose a P P es (débilmente) atractor; o3 Formen curvas cerradas P es estable no atractor.

Usaremos coordenadas polares o el método de Liapunov(próxima semana) para ver qué pasa en cada problema.


Problemas

Índice

1 Introducción



4 Problemas


Problemas

SNLA 2D desacoplado

Vimos que O = (0,0), P = (1/2,0) y Q = (1,0) son PEQs de{x ′ = −x + 3x2 − 2x3

y ′ = −2y .

a) Calcular sus respectivos SLHs asociados.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de cada SLH.c) Estudiar la estabilidad de O, P y Q por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de O,

cerca de P y cerca de Q?e) ¿Cómo encajan los tres croquis locales en el croquis

global presentado en la clase SNLAs 1D?


Problemas

Plaga de gusanos

Sabemos que P = (1− a,1− a) es un PEQ del SNLA 2D{x ′ = x(1− x − ax/y)y ′ = y(1− y/x)

donde a ∈ (0,1) es un parámetro.a) Calcular su SLH asociado.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de este SLH.c) Estudiar la estabilidad de P por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de P?e) ¿Cómo encaja el croquis local en el croquis global

presentado en la clase SNLAs 2D: Conceptosgeométricos?


Problemas

Brusselator

Sabemos que P = (1,b/a) es un PEQ del SNLA 2D{x ′ = 1− (b + 1)x + ax2yy ′ = bx − ax2y

donde a,b > 0 son parámetros.a) Calcular su SLH asociado.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de este SLH.c) Estudiar la estabilidad de P por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de P?e) ¿Cómo encaja el croquis local en el croquis global

presentado en la clase SNLAs 2D: Conceptosgeométricos?


Problemas

Depredador-presa

Sabemos que O = (0,0) y P = (c/d ,a/b) son PEQs del SNLA{x ′ = x(a− by)y ′ = y(dx − c)

donde a,b, c,d > 0 son parámetros.

a) Calcular sus respectivos SLHs asociados.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de cada SLH.c) Estudiar la estabilidad de O y P por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de O y

cerca de P?e) ¿Cómo encajan los dos croquis locales en el croquis

global presentado en la clase SNLAs 2D: Conceptosgeométricos?


Problemas

SNLA 2D con un ciclo límite

Sabemos que O = (0,0) es un PEQ del SNLA 2D{x ′ = x(1− x2 − y2)− yy ′ = x + y(1− x2 − y2)

a) Calcular su SLH asociado.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de este SLH.c) Estudiar la estabilidad de O por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de O?e) ¿Cómo encaja el croquis local en el croquis global

presentado en la clase SNLAs 2D: Coordenadas polares?


Problemas

SNLA 2D con una circunferencia invariante

Sabemos que O = (0,0) y P = (1,0) son PEQs del SNLA{x ′ = 2x(1− r)− y(1− x/r)y ′ = 2y(1− r) + x(1− x/r)

, si r =√

x2 + y2 6= 0,

y (x ′, y ′) = (0,0) cuando r = 0.

a) Calcular sus respectivos SLHs asociados.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de cada SLH.c) Estudiar la estabilidad de O y P por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de O y

cerca de P?e) ¿Cómo encajan los dos croquis locales en el croquis

global presentado en la clase SNLAs 2D: Coordenadaspolares?


Problemas

Un SNLA cuadrático: Enunciado

Consideramos el SNLA 2D{x ′ = x − yy ′ = 2− x2 − y2

a) Calcular sus dos PEQs y sus dos SLHs asociados.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de cada SLH.c) Estudiar la estabilidad de cada PEQ por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de cada

PEQ?e) Calcular las dos isoclinas del SNLA.f) Usar toda la información disponible para intentar dibujar el

croquis global.


Problemas

Un SNLA cuadrático: Croquis global


Problemas

Un sistema Hamiltoniano: Enunciado

Consideramos el SNLA 2D{x ′ = y2 − yy ′ = x2 − x

a) Calcular sus cuatro PEQs y sus cuatro SLHs asociados.b) Estudiar la estabilidad y dibujar el croquis de cada SLH.c) Estudiar la estabilidad de cada PEQ por linealización.d) ¿Qué se puede decir del croquis del SNLA cerca de cada

PEQ?e) ¿Cómo encajan los cuatro croquis locales en el croquis

global dibujado en la siguiente página?


Problemas

Un sistema Hamiltoniano: Croquis global

y

x

recta de salida-entradatrayectoria bi-asintotica

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