Un estudio de simulacin, a menudo permite ahorrar importantes recursos al minimizar el factor de riesgo y al facilitar un diseo equilibrado de un sistema. Un reciente informe, patrocinado por la Comunidad Europea, cuantificaba el impacto de la simulacin en un incremento de entre 5 y el 10% en la productividad global de las empresas.

Objetivos Qu es simular?

Para qu?

En qu consiste?

Simulacin vs. solucin analtica

Algunas razones por las cuales simulamos

Tipos de simulacin

Simulacin sistema de inventarios

Simulacin sistema de lneas de espera

Que es simular Es un mtodo que puede usarse para describir o predecir el comportamiento de un sistema con ciertas opciones dadas de los datos de entrada controlables y generados al azar, que produzcan condiciones deseables a los sistemas.

En este sentido, la simulacin puede ser una herramienta efectiva para disear un sistema que funcione bien y se valide para su utilizacin en la toma de decisiones.

Para que ? Analiza, modela, imita, valida el sistema para comprobar

si su comportamiento funciona igual o mejor que el sistema real.

Ejemplos:

Operacin de un banco

Funcionamiento de una lnea de produccin

Sistema de Lneas de Espera

Simulacin de inventarios

En qu consiste? Anlisis del Sistema donde exista un problema a

solucionar

Desarrollo formal del modelo

Simulacin:

Definir los eventos del modelo

Definir las medidas de efectividad

Desarrollar el programa computacional

Ingresar los datos de prueba

Anlisis de los resultados vs el modelo

Puesta a punto del modelo

Depuracin de resultados

Razones para simular

Puede utilizarse para una amplia variedad de problemas prcticos

El mtodo de simulacin es relativamente fcil de explicar y entender. Por consiguiente, la confianza de la gerencia se incrementa, y los resultados son ms fciles de obtener

Desarrolladores de software han producido paquetes de simulacin que facilitan el desarrollo y la implementacin de modelos para problemas ms complejos

Tipos de simulacin Dependiendo de como cambian las variables de estado que describen el sistema en un instante dado:

Cambios en el estado del sistema

Discretos Continuos

Discreto Total de clientes

diarios atendidos

Temperatura

promedio diaria Tiempo

Continuo Nmero de clientes

en un supermercado

Nivel de agua en un

embalse

Algoritmo para el estudio de Simulacin 1.- Definicin de Problema:

Se plantea el sistema a desarrollar nos preguntamos que quiero hacer con un modelo que hiptesis vamos a comprobar, que clculos voy a realizar.

2.- Construir el modelo matemtico: (Descripcin del Modelo)

3.- Construir el programa:

Algoritmo 4.- Validacin entre el modelo y el programa:

Si el programa es diferente del Modelo regresamos al paso 3.

Si el programa es bueno pero no se ajusta a lo planificado en el problema regresamos al paso 2.

5.- Planificar Experimentos de Simulacin: Los datos iniciales, condiciones iniciales, finales.

6.- Ejecutar las corridas de simulacin: Significa probar el Sistema en la Computadora.

GENERACIN DE NUMEROS ALEATORIOS ES NECESARIO OBTENER OBSERVACIONES

ALEATORIAS A PARTIR DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y SE PUEDEN UTILIZAR NUMEROS GENERADOS POR LOS LENGUAJES DE PROGRAMACIN QUE SON RUTINAS GENERADAS POR RAND () CORPORATION O LOS METODOS CONGRUENCIALES (ADITIVO MULTIPLICATIVO MIXTO)

METODOS MULTIPLICATIVO ADITIVO MIXTO

Mtodo de Congruencia Lineal Xn+1 = (aXn + c) (modulo m)

Xn+2 = (aXn+1 + c) (modulo m)

Xn = Semilla

a,c,m son enteros positivos

Propiedades

a < m , c < m

ri = Xn+1 / m

Ejemplo

m = 1000, a = 101, c = 457 y X0 = 4 Ver hoja de clculo

EJERCICIO

m 100

Xn 100 a < m

a 101 c < m

c 57

n Xn aXn + c (aXn + c /m)

0 4 461 61

1 61 6218 18

2 18 1875 75

3 75 7632 32

4 32 3289 89

5 89 9046 46

6 46 4703 3

7 3 360 60

8 60 6117 17

9 17 1774 74

SIMULACIN MONTECARLO La simulacin de Monte Carlo es una tcnica que

combina conceptos estadsticos (muestreo aleatorio) a partir de una distribucin de probabilidad, la utilizacin del computador por la rapidez, permite realizar simulacin matemtica de problemas tomando observaciones para hacer deducciones con respecto al sistema real

Ver simulacin

MONTECARLO

Ejercicio 1 Se supone que la demanda diaria de un articulo

particular puede estar expresada mediante la distribucin mostrada en la tabla y grafico, se desea generar un patrn de demanda para 10 das.

0,05

0,1

0,15

0,3

0,25

0,15

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

1 2 3 4 5 6

Series1

0,05 0,15

0,3

0,6

0,85

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6

Series1

Nmero ndice

Numero ndice

0 01 05

1 06 15

2 16 30

3 31 60

4 61 85

5 86 - 100

Nmeros Aleatorios

14 26

74 66

24 26

87 94

7

45

Se utiliza letra mayscula para la variable aleatoria y minscula para la funcin de densidad:

F(x) Funcin de distribucin acumulada de x

f(x) funcin de densidad de probabilidad (f.d.p) funcin de densidad

Variables aleatorias

METODOS PARA OBTENER V. A. Mtodo de la transformada inversa

Mtodo del rechazo

Mtodo de la transformada inversa Consiste en generar un numero aleatorio comprendido

entre 0 y 1, luego identificarlo con la funcin de distribucin acumulativa F(x), a travs de la funcin

inversa obtener el valor de x

Algoritmo 1. Sea x el valor de la variable aleatoria y f(x) la funcin de

densidad de probabilidad

2. Obtener la funcin acumulativa F(x)

F(x) =

F(x) nos indica el valor del rea bajo la curva

Algoritmo 1. Conocer f(x)

2. F(x) =

3. Generar un nmero aleatorio con distribucin uniforme

4. Identificarlo y aplicar la inversa F(x) = r o r = F(x)

5. X = F -1 r 0

Ejemplo Genere los valores aleatorios de x con una f.d.p

f(x)=2x

1. f(x) = 2x

2. F(x) =

3. - 0 2t dt + ox 2t dt

4.F(x) = t2 0x

5. F(x) = x2

6.Generamos r

7. F(x) = r x2 = r x = r

Generar Variables

aleatorias

Ejercicio Realizar la simulacin de 10 eventos con una funcin

de densidad de probabilidad

f (x) = 4x +1

0,528 0,676 0,559 0,647 0,582 0,477 0,468 0,493 0,858 0,818 0,885

Funcin Exponencial

X y = 2 ^ x

-3 0,13

-2 0,25

-1 0,50

0 1,00

1 2,00

2 4,00

3 8,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = 2 ^ x

y = 2 ^ x

Funcin Exponencial

X y = (1/2 ) ^ x

-3 8,00

-2 4,00

-1 2,00

0 1,00

1 0,50

2 0,25

3 0,13

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Series1

Funciones Logartmicas

X ln x

0,1 -2,3

0,5 -0,7

1,0 0,0

2,0 0,7

3,0 1,1

4,0 1,4

5,0 1,6 -2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3 3 1/2 4 4 1/2

ln x

ln x

Funciones Logartmicas

X y = log2 X

1/8 -3,00

1/4 -2,00

1/2 -1,00

1 0,00

2 1,00

3 1,58

4 2,00 -4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

0 1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3 3 1/2 4 4 1/2

y = log2 X

y = log2 X

Funciones Logartmicas

X y = log(1/2) X

1/8 3,00

1/4 2,00

1/2 1,00

1 0,00

2 -1,00

3 -1,58

4 -2,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0 1 2 3 4 5

y = log(1/2) X

y = log(1/2) X

Ejemplo con distribucin exponencial El tiempo entre llegadas t a una instalacin se representa

con una distribucin exponencial con media E {t} = 1 /

F(t) = e- t , t > 0 unidades de tiempo

Determinar una muestra aleatoria de t a partir de f(t)

Algoritmo 1. Conocer f(t) funcin exponencial

2. F(t) = e- t dx = 1 - e- t , t > 0 ; 0 a t

3. R = F(t) despejar t t = - ( 1 / ) ln ( 1 R)

4. (1 R) es el complemento de R remplazar ln(1-R) por ln(R)

5. t = ( 1 / ) ln (R)

Ejm. = 4 clientes x por hora R = 0,9

T1 = - (1/4) ln (1 0,9) = 0,577

Ejemplo en excel

Otras Distribuciones

Distribucin de Poisson

Variable aleatoria discreta, la cual con frecuencia resulta til cuando tratamos con el nmero de ocurrencias de un evento durante un intervalo especfico de tiempo o espacio.

= media o nmero medio de ocurrencias en un intervalo

e 2.71828

x nmero de ocurrencias en el intervalo

f (x) probabilidad de x ocurrencias en el intervalo

Ejemplo 3 Disear un generador de variables aleatorias para:

e-55x

x!

Se trata de una distribucin Poisson

0.00

0.03

0.05

0.08

0.10

0.13

0.15

0.18

0.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

p(X = x)

Ejemplo 3 Calculando la

distribucin de probabilidad y la

distribucin acumulada.

0.3212 3

0.9151 7

0.4291 3

0.4843 4

0.4058 3

0.2691 3

0.6162 5

0.1410 2

0.1779 2

0.5402 4

0.5709 4

0.7136 5

0.6967 5

0.8528 6

0.3470 3

0.0457 1

0.5646 4

0.8186 6

0.3240 3

0.7684 6

0.6512 5

0.9283 7

0.3475 3

0.0110 0

0.3767 3

aleatorio P(X = x)

0.5195 4

0.0436 1

0.1724 2

0.2611 2

0.5735 4

0.4649 4

0.7395 5

0.2967 3

0.4714 4

0.5463 4

0.9120 7

0.0088 0

0.1799 2

0.7590 5

0.1902 2

0.7708 6

0.5170 4

0.3827 3

0.9435 8

0.1835 2

0.3138 3

0.1551 2

0.3612 3

0.4110 3

0.9226 7

x frecuencia

0 2

1 2

2 8

3 13

4 10

5 6

6 4

7 4

8 1

9 0

10 0

11 0

12 0

13 0

14 0

15 0

16 0

17 0

18 0

19 0

20 0

50

Generando 50 nmeros aleatorios distribuidos

uniformemente y buscando en P(X < x)

Generando la distribucin de frecuencias de la VA obtenida

= 5

L l e g a d a s ( x ) p ( X = x )

P(X x)

0 0.0067 0.0067

1 0.0337 0.0404

2 0.0842 0.1247

3 0.1404 0.2650

4 0.1755 0.4405

5 0.1755 0.6160

6 0.1462 0.7622

7 0.1044 0.8666

8 0.0653 0.9319

9 0.0363 0.9682

10 0.0181 0.9863

11 0.0082 0.9945

12 0.0034 0.9980

13 0.0013 0.9993

14 0.0005 0.9998

15 0.0002 0.9999

Ejercicio

Las llamadas telefnicas entran a una tasa de 48 por hora en la oficina de reservaciones de Regional Airways.

a. Calcule la probabilidad de recibir 3 llamadas en un intervalo de 5 minutos.

b. Calcule la probabilidad de recibir 10 llamadas en 15 Minutos.

c. Suponga que no hay llamadas en espera en curso. Si el agente tarda 5 minutos en completar el procesamiento de la llamada actual, cuntas personas cree que estaran esperando en la lnea para ese entonces? Cul es la probabilidad de que ninguna est esperando?

d. Si no hay llamadas en proceso, cul es la probabilidad de que el agente pueda tomarse 3 minutos de descanso sin ser interrumpido?

Ejercicio 1 Disear un programa en EXCEL para generar VA con

distribucin:

Poisson

Uniforme

Exponencial

Normal

Emprica

Pronsticos El porcentaje de portafolios o carteras de inversionistas

individuales que invierten en acciones depende del estado de la economa. La tabla siguiente informa el porcentaje de acciones en el portafolios para nueve trimestres: Calcule los promedios mviles de tres y cuatro trimestres para esta serie de tiempo, Cul promedio mvil proporciona el mejor pronstico y cual es el pronostico para el trimestre 10

Alisamiento Exponencial En el mes n se forma una nueva estimacin alisada Sn de la demanda, tomando el promedio ponderado de la demanda de ese mes Xn y la estimacin alisada calculada en el mes anterior:

Sn = Xn + (1)Sn1

numero entre 0 y 1. Es el que le denomina constante de alisamiento.

Sn Estimacin Alisada. Es una Combinacin Lineal de todos las demandas pasadas con coeficientes que disminuyen en forma geomtrica de acuerdo con la edad de observacin.

Sn = Xn + (1)Xn-1 + (1)2 Xn 2 ..

Pronstico de la Demanda con Alisamiento Exponencial

NOTA: Normalmente est entre 0.05 y 0.03. Si est entre este

intervalo es satisfactorio.

= 0.1

n = 1

Ejercicio 1 A una peluquera llegan clientes de dos tipos, el 80% solo desean corte de pelo y el

20% restante requieren adems de otros servicios. La distribucin del tiempo entre llegadas de los clientes es exponencial con un

promedio de 30 minutos durante las 1 primeras horas del da y de 15 durante las horas restantes. La distribucin del tiempo de servicio es normal para ambos tipos de clientes, con una media de 15 minutos y una desviacin estndar de 1 minuto para corte de pelo y de 25 minutos con desviacin de 2 minutos cuando se incluye otros servicios, se da servicio 12 horas diarias (atendiendo a todos los clientes que estn esperando al momento de cerrar).

Actualmente hay 2 lugares para servicio y una zona de espera para 3 personas. Se esta considerando la posibilidad de agregar un lugar exclusivo para corte de pelo, reduciendo la zona de espera a 2 lugares. El 3% de los clientes se van cuando no se les atiende de inmediato, el resto esperan si existen lugares para tal fin.

Si los ingresos procedentes de un servicio completo, son el doble de los de un cliente que solo desea corte de pelo, simule el comportamiento del establecimiento durante un da como se encuentra actualmente y con la modificacin considerada, determinando:

A) el porcentaje de utilizacin B) El nmero de clientes de cada tipo a los que se les da servicio y las que se retiran

Solucin:

X1 = Tipo de Cliente

X2 = Tiempo de entrada de cada cliente

X3 = Tiempo de Servicios

X4 = Decisin de cada cliente

Eventos de la simulacin de inventarios Demanda de los artculos de inventario

La recepcin del pedido

La revisin de la posicin del inventario para determinar si se debe hacer o no un pedido de existencias adicionales

El resumen o la salida de informacin sobre el estado del sistema en un momento dado

El final de la corrida de simulacin

SIMULACIN DE SISTEMAS DE INVENTARIOS UTILIZAR EL MODELO CONOCIDO

REALIZAR CON LOS PRODUCTOS MS IMPORTANTES

POLITICA: SIEMPRE QUE LA POSICIN DE INVENTARIO =

INVENTARIO DISPONIBLE MS CUALQUIERA REPOSICIONES PENDIENTES LLEGA A O QUEDA POR DEBAJO DE UN NUEVO PUNTO DE NUEVA ORDEN

Proyecto de Simulacin

Modelo de Inventario Cierta empresa desea comparar dos polticas de

inventarios: cantidad a ordenar Q=2 y punto de reorden R=3 y Q=5, R=2. La empresa ha determinado las distribuciones de la demanda y el tiempo de entrega. Si el costo por faltante es de $25 por unidad, el costo por mantener $1,5 por unidad por semana, el costo por ordenar $15 por orden y el inventario inicial es de 4 unidades: simule 10 semanas de operacin, en base al costo total cual es la poltica mejor?