IES N1- 4 ESO 1

TEMA 1: EL MOVIMIENTO

1- EL MOVIMIENTO

Mecnica: Parte de la Fsica que se encarga de estudiar el movimiento.

Cinemtica: Parte de la Mecnica que se encarga de estudiar el movimiento sin tener en cuenta las

causas que lo producen.

Movimiento: Consiste en el cambio de posicin de un mvil con respecto a un punto fijo a medida que

pasa el tiempo. A los objetos que se mueven los denominamos mviles.

El movimiento es relativo, ya que depende del sistema de referencia.

Sistema de referencia: Punto o conjunto de puntos que utilizamos para determinar si un cuerpo se

mueve.

Un cuerpo est en movimiento si cambia de posicin con respecto al sistema de referencia a medida que

pasa el tiempo, y est en reposo si su posicin no cambia.

POSICIN

Posicin: Punto P en el que est un mvil en cada momento. La unidad en el SI es el metro (m).

Se indica dando la distancia al origen del sistema de referencia, la direccin y el sentido.

Decimos que el movimiento es relativo porque las posiciones que un mvil

va ocupando dependen del punto de referencia que se tome. En el universo

no hay un sistema de referencia que est absolutamente en reposo (la Tierra

se mueve alrededor del Sol, este alrededor de la Va Lctea, esta alrededor

del cmulo de Virgo), luego el reposo absoluto no existe.

TRAYECTORIA

Trayectoria: Lnea que une los puntos correspondientes a las posiciones ocupadas por el mvil.

Por ejemplo, las marcas de esqus en una pista nevada indican la trayectoria seguida por el esquiador.

Puede ser:

- Rectilnea: La trayectoria es una lnea recta. - Curvilnea: La trayectoria es una lnea curva. Si tiene forma de circunferencia hablaremos de

movimiento circular; si tiene forma de parbola, hablaremos de movimiento parablico.

Parablica Rectilnea Circular

DISTANCIA RECORRIDA

Distancia recorrida: Espacio recorrido por un mvil sobre la trayectoria que

sigue entre el origen y la posicin en que se encuentra.

Unidad en el SI: metro (m).

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TIEMPO

Su unidad en el SI es el segundo (s). Hay dos conceptos respecto del tiempo.

- Intervalo de tiempo o incremento de tiempo, t = t to, que se refiere al tiempo transcurrido entre dos instantes: el final, t, y el inicial, to. Siempre es positivo, ya que el tiempo slo transcurre

hacia valores crecientes.

- Instante de tiempo, t, que se refiere a un momento determinado. Es un intervalo de tiempo muy pequeo, que tiende a cero.

Ejercicios 1) Vas sentado en un tren y por la ventana ves que pasa un coche por una carretera al lado de la

va, a la misma velocidad que el tren y en la misma direccin y sentido en ese tramo. Respecto

a quin te ests moviendo t? Y el coche?

2) En qu tipo de movimiento coincide la trayectoria con el desplazamiento

3) Indica el tipo de trayectoria seguida en los siguientes casos: a) El giro de la Tierra alrededor del

Sol; b) Una pelota de tenis cuando es golpeada; c) Un ascensor; d) Una noria.

2- MOVIMIENTO RECTILNEO. DESPLAZAMIENTO Y VELOCIDAD

Movimiento rectilneo: Movimiento correspondiente a un mvil que sigue una trayectoria rectilnea.

Consideraremos que:

- La recta que describe el mvil es el eje OX. Las posiciones las indicaremos con x. - Estableceremos el origen del eje (punto O) y consideraremos positivas las posiciones ocupadas por el

mvil que se sitan a la derecha del origen y negativas las que se sitan a la izquierda de este.

DESPLAZAMIENTO, x

Diferencia entre la posicin final del mvil, x, y su posicin inicial, xo.

Puede ser positivo o negativo, segn se desplace el mvil hacia la derecha o hacia la izquierda del origen.

Su unidad en el SI es el metro (m).

OJO: No confundir distancia recorrida con desplazamiento.

Ejemplo: Calcula el desplazamiento del mvil de la figura cuando se traslada de A a B, de B a C, y de C a D. Calcula tambin el desplazamiento total.

De A a B: x1 = xB xA = 4 m 1 m = 3 m

De B a C: x2 = xC xB = - 2 m 4 m = - 6 m

De C a D: x3 = xD xC = - 4 m (- 2) m = - 2 m

El desplazamiento total: x = x1 + x2 + x3 = 3 m 6 m 2 m = - 5 m

Tambin podemos calcularlo de esta forma: x = xD xA = - 4 m 1 m = -5 m

x = x - xo x : desplazamiento (m) x : posicin final (m)

xo = posicin inicial (m)

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VELOCIDAD, v

Desplazamiento que experimenta por unidad de tiempo.

Es una magnitud vectorial, por lo que debemos dar el mdulo, direccin y sentido.

Su unidad en el SI es el metro por segundo (m/s). Tambin se utiliza mucho el kilmetro por hora, km/h.

Velocidad media, vm: Cociente entre el valor del desplazamiento, x, efectuado por un mvil y el intervalo de tiempo, t, que ha tardado en efectuarse.

Tiene signo positivo si el mvil va hacia la derecha y signo negativo si va hacia la izquierda; su signo

coincide con el desplazamiento.

No es la media aritmtica de las velocidades.

Ejemplo: Calcula la velocidad media del ciclista de la figura, si ha tardado 2 s en recorrer ese espacio.

Datos: xo = 3 m; x = 8 m ; t = 2s ; vm?

; sms

m

s

mmvm /5,2

2

5

2

38

vm > 0 porque el mvil va hacia la derecha.

Velocidad instantnea, v: Velocidad que tiene un mvil en un instante determinado.

Nos la indica el velocmetro. Puede tener un valor positivo o negativo, segn el sentido en que se

desplace el mvil: si se desplaza hacia la derecha, positivo, y si se desplaza hacia la izquierda, negativo.

Rapidez o celeridad, c: Mdulo o valor absoluto de la velocidad (ya sea velocidad media o instantnea).

Es su valor con signo positivo, independientemente del signo que tenga la magnitud.

Ejercicios 4) Respecto a la seguridad vial, qu es el tiempo de reaccin de una persona? Y la distancia de

seguridad que debe guardar un coche con respecto al coche que va delante?

5) Un mvil recorre en lnea recta desde su punto de partida 10 km y a continuacin vuelve sobre

sus pasos y hace otros 7 km. Calcula el espacio recorrido por el mvil y el desplazamiento del

mismo sobre el eje OX.

6) A partir de los datos de la figura, calcula: a) Los

desplazamientos efectuados y el desplazamiento total; b) La

distancia total recorrida.

7) Sabiendo que el caminante anterior ha tardado 20 s en efectuar el primer desplazamiento y 30 s

en el segundo: a) Determina la velocidad media en cada desplazamiento; b) Calcula la rapidez o

celeridad del desplazamiento.

8) Pasa las siguientes velocidades a m/s: a) 28 Km/h; b) 3 km/min; c) 45 dm/min; d) 7 mm/s.

0

0

tt

xx

t

xvm

vm : velocidad media (m/s)

x : desplazamiento (m) t : Intervalo de tiempo (s) xo : posicin inicial (m) to : tiempo inicial (s)

x : posicin final (m) t : tiempo final (s)

0

0

tt

xx

t

xvm

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9) Cules de los siguientes coches sern fotografiados por el radar de la polica de trfico para ser

multados cuando circulan por una autopista donde la velocidad mxima permitida es de 120

km/h? a) 20 m/s; b) 40 m/s; c) 55 m/s; d) 72 m/s.

3-MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME (MRU)

Movimiento rectilneo uniforme: Es aquel en el que se describe una trayectoria rectilnea con

velocidad constante (uniforme).

La velocidad media y la instantnea coinciden, por lo que no se distinguen y se habla simplemente de

velocidad.

ECUACIONES

GRFICAS

Recuerda que en un sistema de ejes cartesianos, el eje horizontal (X) es el eje de abscisas, y el vertical (Y) es el eje de ordenadas.

a) Grfica v/t (velocidad-tiempo): Es la representacin de la velocidad en funcin del tiempo. Por ser constante la velocidad, es una recta horizontal, que estar por encima del eje del tiempo si la

velocidad es positiva y por debajo si es negativa.

s = 0

s 0

t = 0 t = 1 s t = 2 s t = 3 s

v

Observa que el espacio recorrido por el mvil es siempre el

mismo para un periodo de tiempo dado (en la imagen 1 s)

v = cte s = so + v t

s = espacio (m)

so = espacio inicial (m)

v = velocidad (m/s)

t = tiempo (s)

Movimiento con velocidad positiva v (m/s)

t(s) Movimiento con velocidad negativa

Espacio inicial, s0 , es la distancia al origen cuando se empieza a contar el tiempo.

Origen de

espacios

Origen de

tiempos

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b)Grfica s/t (posicin-tiempo): Es la representacin grfica de la posicin respecto al tiempo.

Siempre es una recta con una inclinacin (pendiente) que depende de la velocidad. El punto de corte

con el eje vertical da s0 (espacio inicial).

Velocidad positiva: Lnea ascendente (pendiente positiva).

Velocidad negativa: Lnea descendente (pendiente negativa).

Ejemplo: Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 5 m/s, se encuentra situado a 2 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las

ecuaciones que describen su movimiento y representa las grficas v-t y s-t del

movimiento. Datos: v = 5 m/s ; so = 2 m

; v = 5 m/s ; s = 2 + 5 t

Grfica v-t: Colocamos en el eje de ordenadas (Y) los valores de la velocidad (v) y en el

eje de abscisas (X), los del tiempo (t). Las escalas de ambos ejes no tienen

que ser iguales; deben adaptarse a los datos.

Como la velocidad no vara, la grfica es una lnea horizontal paralela al eje

de abscisas, que corta al eje de ordenadas en el valor de la velocidad del

mvil.

Origen

so =2 m

v = 5 m/s

m

s = s0 + v t v = cte

s(m)

t(s)

10

Recta que pasa por el origen (s0=0).

El punto de corte con el eje, nos

da la posicin inicial del mvil

so = 10 m. Velocidad positiva

s(m)

t(s)

Representa el movimiento

con mayor velocidad (recta

con mayor pendiente)

Es la menos inclinada, lo que

indica que la velocidad del

movimiento es la ms baja.

s(m)

t(s)

30 so = 30 m

Instante en que pasa

por el origen

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Grfica s-t: Colocamos en el eje de ordenadas (Y) los valores de la posicin (s) y en el eje

de abscisas (X), los del tiempo (t). Obtenemos una tabla con los valores

espacio o posicin-tiempo.

s = 2 + 5t t = 0 s ; s = 2 + (5.0) = 2 m

t = 1 s ; s = 2 + (5.1) = 7 m

t = 2 s ; s = 2 + (5.2) = 12 m

t = 3 s ; s = 2 + (5.3) = 17 m

t = 4 s ; s = 2 + (5.4) = 22 m

Ejemplo: Un cuerpo se mueve con velocidad constante de 3 m/s. Si inicialmente se encuentra en el origen, dnde se encontrar al cabo de 5 minutos?

Datos: v = 3 m/s ; so = 0 ; t = 5 min. = 300 s

v = cte ; v = 3 m/s

; s = 0 + (3 m/s 300s) = 900 m

Ejercicios 10) Es posible que un mvil parta del reposo con movimiento uniforme?

11) Un corredor de 100 m lisos lleg a la meta en 10,5 s. Qu velocidad media llev en el

recorrido?

12) a) El pez espada puede alcanzar velocidades de 130 km/h cuando se desplaza por el mar.

Calcula el tiempo que tardara en cruzar el estrecho de Gibraltar, que mide 14400 m; b)

Cunto tiempo tardara el nadador David Meca en realizar esta travesa si nada a una velocidad

de 8 km/h?

13) Un tren recorri 130 km en 2 h. a) Cul fue su velocidad en m/s?; b) En cunto tiempo recorre

600 m?

14) Un ciclista sale del origen y recorre 1000 m a velocidad constante sobre una carretera recta. Si

tarda 200 s, calcula: a) La velocidad a la que se desplaza; b) La ecuacin de su movimiento; c)

La posicin que ocupa transcurridos 2 min; d) El tiempo que tardara en recorrer 1200m.

15) a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento

de los puntos considerados; b) A qu distancia del

origen se encuentran?

16) El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuacin

siguiente: s =-12 + 5t. a) Indica el tipo de movimiento del cuerpo y haz un esquema de su

trayectoria; b) Qu aspecto tendrn las grficas s/t y v/t?; c) Cunto tiempo tardar en pasar

por el origen?

17) Un peatn circula por una calle recta a 4 km/h. Determina: a) La velocidad expresada en m/s;

b) La posicin que ocupa al cabo de 4 min, si parte a 50 m del origen, y la distancia recorrida;

c) El tiempo que tarda en llegar a la posicin 500 m; d) Las grficas v-t y s-t de este

movimiento.

t(s) s(m)

0 2

1 7

2 12

3 17

4 22

s(m) Origen

s = s0 + v t

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ENCUENTRO DE DOS MVILES CON MRU

Se trata de casos en los que dos mviles se cruzan o uno adelanta al otro. Trataremos con las ecuaciones

del movimiento de ambos mviles, ponindoles la condicin de encontrarse.

A) EN SENTIDO CONTRARIO:

Ejemplo: Pinto y Coslada estn separadas 30 km. Martn, que vive en Pinto, llama a Miguel, que vive en Coslada y deciden coger sus bicis para

encontrarse en el camino entre los dos pueblos. Acuerdan salir a las diez en

punto; Martin pedalea a la velocidad de 10 km/h y Miguel a 15 km/h.

a) Cunto tiempo tardarn en encontrarse?

b) Qu distancia hay del lugar del encuentro a los pueblos?

Dato: sT = 30 km ; v1 = 10 km/h ; v2 = 15 km/h ; t? ; s1? ; s2?

La suma de los espacios recorridos por los dos ciclistas es 30 km:

sT = s1 + s2 ; 30 = (10 t) + (15 t) ; 30 = 25 t ; t = 1,2 h

El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo para los dos: t1 = t2 = t = 1,2 h

El espacio que recorre cada ciclista es:

s1 = 10 t = 10. 1,2 = 12 km de A ; s2 = 15 t = 15. 1,2 = 18 km de B

PISTAS - El tiempo de los dos mviles es el mismo. - La suma de los dos espacios es el espacio total.

Ejercicios 18) Desde dos puntos A y B, distantes 30 km, parten 2 coches a su encuentro con velocidades

respectivas vA = 60 km/h y vB = 20 km/h. Calcular: a) Cunto tiempo tardarn en

encontrarse?; b) En qu punto se encuentran?

19) Desde una ciudad A un coche se dirige con una velocidad constante de 72 km/h hacia un pueblo

B, situado a 10 km de distancia, por una carretera recta. Simultneamente una motocicleta se

dirige de B hacia A, con una velocidad constante de 108 km/h. Determina el punto de encuentro

y el momento en que tendr lugar dicho encuentro.

20) Una liebre mecnica sale de un extremo de una pista de atletismo de 14 km a 80 km/h. Al

mismo tiempo otra liebre sale del extremo opuesto de la pista a 120 km/h. Calcula dnde se

encuentran y cunto tardan.

B) EN EL MISMO SENTIDO:

Ejemplo: Un tren sale de una estacin a la velocidad de 70 km/h y 3 horas ms tarde sale otro a 90 km/h.

a) Cunto tiempo tarda en alcanzar al primero?

b) Qu distancia hay del lugar del encuentro a la estacin de partida?

Dato: v1 = 70 km/h ; v2 = 90 km/h ; t = 3 h ; t? ; s2?

Martn

v1 = 10 km/h s1 = v1. t1 = 10 t

s1

t1 = t

Miguel

v2 = 15 km/h s2 = v2. t2 = 15 t

s2

t2 = t

A B

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s1 = s2

El espacio recorrido por cada tren hasta el punto de encuentro es el mismo. Lo que es distinto es el tiempo

empleado por cada uno.

s1 = s2 ; 70 (t + 3) = 90 t ; 70t + 210 = 90 t ; 210 = 90 t 70 t ; 210 = 20 t ; t = 10,5 h

El tiempo que tarda cada tren en llegar al punto de encuentro es:

t1 = t + 3 = 10,5 + 3 = 13,5 h ; t2 = t = 10,5 h

El espacio que recorren es el mismo: s1 = 70 (t + 3) = 70 km/h. (10,5 + 3) h = 945 km

s2 = 90 t = 90. 10,5 = 945 km

Tambin se puede poner como tiempos: t1 = t ; t2 = (t - 3)

PISTAS - Al mvil que primero sale le lleva ms tiempo. - Los dos mviles recorren el mismo espacio.

Ejercicios 21) Un coche sale de un pueblo a 60 km/h y 3 h ms tarde sale otro a 80 km/h. Calcula: a) Cunto

tiempo tarda en alcanzar al primero?; b) A qu distancia se encuentran?

22) Un tren sale de la estacin de Vigo a 80 km/h y 4 horas ms tarde sale otro a 160 km/h.

Calcula dnde se encontrarn.

23) Un corredor sale de la meta de una maratn a 68 km/h. Una hora ms tarde sale otro corredor

a 95 km/h. Calcula dnde se encuentran y cunto tardan en hacerlo.

4 MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

El concepto de aceleracin va asociado a los cambios de velocidad de un mvil y mide la variacin de la

velocidad en un intervalo de tiempo.

ACELERACIN, a

Magnitud que mide lo que vara la velocidad de un mvil por unidad de tiempo.

Es una magnitud vectorial. En el SI de mide en m/s2.

Decir que la aceleracin de un mvil es 4 m/s2, es decir que su velocidad aumenta

4 m/s en cada segundo.

Si la velocidad disminuye a medida que avanza el tiempo, el movimiento se llama

decelerado, retardado o con aceleracin negativa.

Tren 1

v1 = 70 km/h s1 = v1 t1 = 70 (t + 3) s1

t1 = t + 3

Tren 2

v2 = 90 km/h s2 = v2 t2 = 90 t s2

t2 = t

70 km/h

90 km/h

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ACELERACIN MEDIA, am

Cociente entre el incremento de velocidad experimentado por un mvil, v, y el intervalo de tiempo, t, que ha transcurrido.

La aceleracin media ser positiva si la velocidad aumenta y negativa en el caso de que disminuya

(frenado).

Ejemplo: La velocidad de un motorista aumenta de 3 m/s a 9 m/s en un intervalo de tiempo de 2 s, Cul ser su aceleracin media?

Datos: vo = 3 m/s; v = 9 m/s ; t = 2 s ; am?

; 2/32

/3/9sm

s

smsmam

am > 0 porque la velocidad va en aumento (acelera).

Ejercicios 24) Un ciclista circula a una velocidad de 7 m/s, acelera durante 30 s y alcanza los 12 m/s.

Determina su aceleracin media.

25) Un corredor alcanza la meta a una velocidad de 6 m/s y frena hasta pararse en 3 s. Determina

su aceleracin media.

ACELERACIN INSTANTNEA, a

Aceleracin que tiene un mvil en un instante determinado.

No suele coincidir con la aceleracin media.

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

Un cuerpo que se desplaza con un movimiento rectilneo uniformemente acelerado describe una

trayectoria rectilnea con aceleracin constante.

Observa que en el mismo intervalo de tiempo (1 s) cada vez

recorre ms espacio, ya que la velocidad va aumentando.

1 m 9 m 4 m 16 m 25 m

1 s 6 s 5 s 4 s 3 s 2 s

36 m

2 m/s 4 m/s 6 m/s 8 m/s 12 m/s 10 m/s

La velocidad aumenta siempre lo mismo en 1 s. La aceleracin es

constante. La velocidad aumenta linealmente con el tiempo.

0

0

tt

vv

t

vam

am : aceleracin media (m/s2)

v : incremento de velocidad (m/s) t : Intervalo de tiempo (s) vo : velocidad inicial (m/s) to : tiempo inicial (s)

v : velocidad final (m/s) t : tiempo final (s)

0

0

tt

vv

t

vam

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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

t = 0, significa cuando empieza a contarse el tiempo o cuando se pone en funcionamiento el cronmetro.

Combinando estas dos frmulas se obtiene la siguiente:

GRFICA a/t

Como la aceleracin es constante, la grfica a/t es una recta horizontal.

GRFICA v/t

Como la velocidad cambia de manera constante, la grfica v/t es una recta

inclinada. La inclinacin de la recta depende de la aceleracin.

GRFICA s/t La grfica s/t es una curva con forma de arco de parbola hacia arriba (aceleracin positiva).

Cuanto ms cerrada sea la parbola, mayor aceleracin.

El desplazamiento inicial s0 se determina viendo el punto de corte con el eje y o s.

Ejemplo: Un coche parte del reposo con una aceleracin de 3 m/s2. Sabiendo que describe una trayectoria rectilnea y que sale del origen, calcula:

a) La velocidad que alcanza al cabo de 20 s.

b) La distancia que recorre en ese tiempo.

c) Las grficas a/t, v/t y s/t de este movimiento.

Datos: vo = 0 ; a = 3 m/s2 ; so = 0 ; t = 20 s

a) ; v = 0 + (3 m/s2 20s ) = 60 m/s

b) ; s = 0 + (020) + (1/2 3 m/s2 202 s2) = 0 + 0 + 600 = 600 m

v = vo + a t

s = so + vo t + 2

1a t

2

v = velocidad (m/s)

v0 = velocidad inicial (cuando t = 0)

a = aceleracin (m/s2)

t = tiempo (s)

s = espacio

s0 = espacio inicial o distancia al origen cuando t = 0.

as2vv 2o2

s = so + vo t + 2

1a t

2

v = vo + a t

Cuanto ms cerrada sea

la parbola, mayor

aceleracin.

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c)Grficas:

velocidad/tiempo, v/t: v = vo + at ; v = 3 t

t = 0 s ; v = 3 .0 = 0 m/s

t = 1 s ; v = 3 .1 = 3 m/s

t = 2 s ; v = 3 .2 = 6 m/s

t = 3 s ; v = 3 .3 = 9 m/s

Es una lnea recta inclinada y ascendente (aceleracin positiva) que corta al eje de ordenadas en el valor

de la velocidad inicial del mvil.

espacio/tiempo, s/t: s = so + vot + .a.t2

; s = . 3 t2

t = 0 s ; s = . 3 .02 = 0 m

t = 1 s ; s = . 3 .12 = 1,5 m

t = 2 s ; s = . 3 .22 = 6 m

t = 3 s ; s = . 3 .32 = 13,5 m

Es una semiparbola que crece hacia arriba porque la aceleracin es positiva.

aceleracin/tiempo, a/t:

a = 3 m/s2

Es una lnea recta horizontal, porque la aceleracin es constante.

Ejercicios 26) Un ciclista arranca y, movindose en una carretera recta, alcanza en 10 s una velocidad de 25

m/s. Suponiendo que la aceleracin es constante, dibuja las grficas v-t , s-t y a-t.

27) Un mvil se desplaza en lnea recta desde un punto situado a 2 metros del origen con una

velocidad inicial de 3 m/s y una aceleracin constante de 2 m/s2. Escribe las ecuaciones del

movimiento y represntalo grficamente.

28) Un tren sale de una estacin con una aceleracin de 8 m/s2. a) Qu velocidad alcanzar en 20

s?; b) Qu espacio recorri en ese tiempo?

29) Un motorista parte del reposo y adquiere una velocidad de 60 m/s en 30 s. Halla: a) La

aceleracin del movimiento; b) Espacio que recorre en 15 s; c) Velocidad que lleva a cabo de 7

s.

30) Un tren marcha a 45 km/h y apretando el acelerador se logra que al cabo de medio minuto se

ponga a 90 km/h. Calcular la aceleracin del vehculo y el espacio recorrido en ese tiempo.

t(s) v(m/s)

0 0

1 3

2 6

3 9

t(s) s(m)

0 0

1 1,5

2 6

3 13,5

s(m)

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GRFICAS MRUA CON ACELERACIN NEGATIVA En la grfica v/t vemos que la velocidad disminuye.

La grfica a/t es una curva con forma de arco de parbola hacia abajo.

a(m/s

2) v (m/s) s (m)

v0

t (s)

-a = cte. v = vo + [(-a).t] s = so + vo t + [1/2 (-a)t2]

Ejemplo: Un coche que circula a una velocidad de 108 km/h, frena uniformemente y se detiene en 10 s.

a) Halla la aceleracin del movimiento.

b) Calcula el espacio que recorre hasta pararse.

c) Representa las grficas v-t y s-t para este movimiento.

Datos: vo = 108 km/ h = 30 m/s ; v = 0 ; t = 10 s

a) ; 0 = 30 + (a 10) ; - 30 = a 10 ; a

10

30 ; a = - 3 m/s

2

b) ; 21032

11030 s = 300 150 = 150 m

c)Grficas:

Grfica v/t: v = vo + at ; v = 30 - 3t

t = 0 s ; v = 30 (3.0) = 30 m/s t = 1 s ; v = 30 (3.1) = 27 m/s t = 2 s ; v = 30 (3.2) = 24 m/s t = 3 s ; v = 30 (3.3) = 21 m/s t = 4 s ; v = 30 (3.4) = 18 m/s t = 5 s ; v = 30 (3.5) = 15 m/s t = 10 s ; v = 30 (3.10) = 0 m/s

Es una lnea recta inclinada y descendente (aceleracin negativa) que corta al eje de ordenadas en el valor de la velocidad inicial del mvil.

Grfica s/t: s = vot + ()at2 ; s = (30.t) + [(1/2)(-3)t2] ; s = 30t 1,5t2

t = 0 s ; s = (30. 0) (1,5. 02) = 0 m t = 1 s ; s = (30. 1) (1,5. 12) = 28,5 m t = 2 s ; s = (30. 2) (1,5. 22) = 54 m t = 3 s ; s = (30. 3) (1,5. 32) = 76,5 m t = 4 s ; s = (30. 4) (1,5. 42) = 96 m t = 5 s ; s = (30. 5) (1,5. 52) = 112,5 m t = 10 s ; s = (30. 10) (1,5. 102) = 150 m

Es una parbola que crece hacia abajo porque la aceleracin es negativa

t(s) v(m/s)

0 30

1 27

2 24

3 21

4 18

5 15

10 0

t(s) s(m)

0 0

1 28,5

2 54

3 76,5

4 96

5 112,5

10 150

t (s)

t (s)

IES N1- 4 ESO 13

Ejercicios 31) La figura muestra la grfica v-t que describe el movimiento de un

cuerpo. Determina qu tipo de movimiento lleva en cada uno de los

tramos.

32) Observando los siguientes diagramas

velocidad-tiempo: a) En cul de ellos hay

aceleracin positiva?; b) En qu se

diferencian a) y b); c) Hay alguna

aceleracin negativa?

33) Indica el tipo de movimiento o movimientos en cada

una de la siguientes grficas espacio-tiempo:

34) Un mvil se desplaza en lnea recta desde un punto situado a dos metros del origen con una

velocidad inicial de 3 m/s y una aceleracin constante de 2 m/s2. Escribe las ecuaciones del movimiento y represntalo grficamente.

35) Un autobs circula por una calle recta a 12 m/s cuando pasa por un cruce (origen de posiciones).

Entonces reduce la velocidad con una aceleracin de 1,5 m/s2 para detenerse en la siguiente parada. a) Calcula el tiempo que tarda en pararse; b) Calcula la posicin en que est la parada,

medida desde el cruce.

36) Un coche circula a una velocidad de 80 km/h cuando el conductor ve un camin atravesado en

la carretera. En ese momento comienza a frenar, consiguiendo detener el camin en 6 s.

Calcula: a) La aceleracin de frenado; b) El espacio que recorre hasta pararse.

37) Un cuerpo tiene una aceleracin de -2 m/s2 y queda en reposo al cabo de 30 s. Calcula: a) Su

velocidad inicial; b) El camino recorrido.

38) Un mvil parte del reposo y, al cabo de 5 s, alcanza una velocidad de 5 m/s; a continuacin se

mantiene con esa velocidad durante 4 s, y en ese momento frena uniformemente y se detiene

en 3 s. a) Representa la grfica v-t correspondiente a dicho movimiento; b) Calcula la

aceleracin que lleva el mvil en cada tramo; c) Calcula el espacio total recorrido a lo largo de

todo el movimiento.

5 MOVIMIENTO VERTICAL Movimiento vertical: Es el seguido por un objeto que se deja caer o se lanza verticalmente.

En todos los casos los objetos se ven sometidos a la aceleracin de la gravedad (g), que tiene un valor

de 9,8 m/s2, de direccin vertical y sentido hacia abajo en todos los puntos, por lo que se trata de un

movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA).

CADA LIBRE

Sus ecuaciones son:

; Si vo = 0,

vo = velocidad inicial (m/s)

v = velocidad final (m/s)

g = 9,8 m/s2

t = tiempo (s)

s = espacio (m)

h = altura (m)

vo

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Ejemplo: Se deja caer un cuerpo con una velocidad inicial de 14 m/s. Calcula:

a) Su velocidad al cabo de 3 s.

b) Espacio recorrido en ese tiempo.

Datos: vo = 14 m/s ; t = 3 s ; g = 9,8 m/s2 ; v?

a) ; v = 14 m/s + (9,8 m/s2 3s) = 14 m/s + 29,4 m/s = 43,4 m/s

b) ; 238,92

1314 s = 42 m + 44,1 m = 86,1 m

Ejemplo: Una maceta ha cado desde la ventana de un edificio. La altura desde la ventana al suelo es de 20 metros, calcula con qu velocidad llegar al suelo y cunto

tardar. Datos: vo = 0 ; s = 20 m ; v? ; t?

a) ; 28,92

1020 tt ; 20 = 4,9 t2 ; t = 2,02 s

b) ; v = 0 + (9,8. 2,02) = 19,8 m/s

2 forma: ; v = = 19,8 m/s

Ejercicios 39) Si prescindimos del roce con el aire, razonar si son verdaderas o falsas las siguientes

afirmaciones. La velocidad que adquiere un cuerpo que cae: a) depende del tiempo que est

bajando; b) depende de su masa; c) depende de la altura de la que cae; d) depende de la

velocidad inicial; e) depende de su tamao.

40) Se deja caer un cuerpo con una velocidad inicial de 25 m/s. Calcula: a) Su velocidad al cabo de 4

s; b) Espacio recorrido en ese tiempo.

41) Se deja caer un objeto desde una altura de 100 m. Calcula: a) El tiempo que tardar en llegar al

suelo; b) La velocidad con que llega.

42) Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza hacia abajo una piedra con

velocidad de 5 m/s. Calcula: a) El tiempo que tarda en llegar a suelo; b) Velocidad que tiene en

ese momento.

LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA

Cuando lanzamos un cuerpo hacia arriba, su velocidad disminuye hasta que se hace cero.

Sus ecuaciones son:

s = 20 m

vo = velocidad inicial (m/s)

v = velocidad final (m/s)

g = 9,8 m/s2

t = tiempo (s)

s = espacio (m)

so = espacio inicial (m)

vo

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Ejemplo: Lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Calcula:

a) Qu altura alcanza?

b)Cunto tiempo tarda en llegar arriba?

Datos: vo = 20 m/s ; v = 0 ; g (-) ; h?

; 0 = 20 9,8 t ; 9,8 t = 20 ; t = ; t = 2,04 s

; s = (20 2,04) [1/2 9,8 (2,04)2] = 40,8 20,4 ; s = 20,4 m

Ejercicios 43) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s. a) Qu

altura alcanzar? ; b) Cunto tiempo tardar en llegar de nuevo al suelo?

44) Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 50 m/s. Calcular: a)

La altura mxima alcanzada; b) El tiempo que tarda en alcanzar esa altura.

45) Se lanza verticalmente hacia arriba y desde el suelo un objeto con una velocidad de 200 m/s.

calcula: a) El tiempo que tarda en subir; b) La altura mxima que alcanza; c) El tiempo total que

permanece en el aire; d) La velocidad al llegar al suelo.

46) Se dispara un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 20 s. Calcular la

velocidad inicial y la altura alcanzada.

47) a) Con qu velocidad inicial hay que lanzar un cuerpo hacia arriba para que llegue a la altura de

45 m del punto de partida?; Cunto tardar en volver a pasar por el punto de partida,

empezando a contar el tiempo en el momento del lanzamiento?

6 MOVIMIENTO CIRCULAR

Movimiento circular: Es el que tienen los mviles que describen trayectorias con

forma de circunferencia.

POSICIN Usamos como origen el punto O. La posicin P del mvil se puede indicar mediante el

arco recorrido (s) en metros (m) o el ngulo trazado () en radianes (rad). El radin es un ngulo cuyo arco mide lo mismo que el radio.

Las equivalencias entre ngulos y radianes son:

Para convertir vueltas o grados a radianes:

30 = 30 radrad

6360

2

; rad

vuelta

radvueltasvueltas

4

1

222

1 vuelta 360 2 rad

vuelta 180 rad

vuelta 90 /2 rad

vo = 20 m/s

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DESPLAZAMIENTO El desplazamiento de un mvil sobre una circunferencia se puede indicar mediante el desplazamiento

angular, o ngulo descrito (), o con el desplazamiento lineal o arco recorrido (s).

VELOCIDAD Velocidad angular, : Relacin entre el ngulo recorrido () medido en radianes, y el tiempo que tarda en recorrerlo.

empleadotiempo

recorridoangulo

En el SI se mide en radianes por segundo (rad/s); a veces se da en revoluciones por minuto (rpm).

Para pasar las rpm a rad/s, hay que recordar que:

Ejemplo: Pasa 40 rpm a rad/s

Ejercicio 48) Pasa a rad/s: a) 33 rpm; b) 45 rpm

Velocidad lineal, v: Cociente entre el desplazamiento lineal o arco recorrido y el tiempo que tarda en

recorrerlo. En el SI se mide en metros por segundo (m/s).

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Movimiento circular uniforme: Es aquel en que el mvil recorre una circunferencia con velocidad

lineal o angular constante.

Velocidad: Es un vector tangente en cada punto de la trayectoria (es constante en mdulo, pero no en direccin y sentido). La relacin entre la velocidad angular y la

velocidad lineal es:

ngulo girado (): Si suponemos que el mvil parte del origen tanto en el uso de arcos como de ngulos y que to = 0, tenemos que:

= velocidad angular (rad/s)

= ngulo girado (rad) t = tiempo (s)

v = velocidad lineal (m/s)

s = arco recorrido (m)

t = tiempo (s)

= ngulo girado (rad)

= velocidad angular (rad/s) t = tiempo (s)

v = R v = velocidad lineal (m/s)

= velocidad angular (rad/s) R = radio de curvatura (m)

= t

1 rev o vuelta = 2 rad 1 min = 60 s

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Cuando la velocidad de un mvil con MCU permanece constante, el movimiento se repite cada cierto

tiempo. Se dice que es un movimiento peridico, que se caracteriza por dos magnitudes.

Perodo (T): Tiempo que tarda el mvil en dar una vuelta.

Frecuencia (f): Nmero de vueltas que da el mvil en un segundo. Es la inversa del perodo.

Ejemplo: Un disco de 60 cm de dimetro gira a 72 rpm. Calcular a) La velocidad angular.

b) La velocidad lineal.

c) El ngulo descrito en 4 s.

d) El nmero de revoluciones o vueltas efectuadas por el disco en ese tiempo.

DATOS: D = 60 cm = 0,6 m ; 72 rpm

a) srev

rev

60

min1

1

2

min72

= 2,4 rad/s = 7,54 rad/s

b) ; R= 2

6,0= 0,3 m

; v = 2,4 rad/s 0,3 m = 0,72 m/s = 2,26 m/s

c) t = 4 s ; = 7,54 s

rad 4 s = 30,16 rad

d) ; n = 30,16 rad rad

vuelta

2

1 = 4,8 vueltas o revoluciones

Ejercicios 49) Un volante de 2 m de radio gira da 600 rpm. Determina: a) La velocidad angular en rad/s; b) La

velocidad lineal de un punto situado en la periferia.

50) Una rueda da 450 rpm. Calcula: a) La velocidad angular de la rueda; b) La velocidad lineal de un

punto de la periferia si tiene de dimetro 12 cm.

51) Un ciclista recorre una pista circular de 40 m de dimetro con una velocidad de 72 km/h.

Calcular: a) La velocidad del ciclista en m/s; b) La velocidad angular en rad/s.

52) Un punto material describe una trayectoria circular de 1 m de radio, 30 veces por minuto.

Calcula: a) La velocidad angular; b) La velocidad lineal.

70) Siendo 30 cm el radio de las ruedas de un coche y 956 las revoluciones que dan por minuto,

calcula: a) Velocidad angular de estas en rad/s; b) Velocidad lineal del coche en m/s y km/h.

71) Un disco musical de dimetro 30 cm gira a 33 rpm. Calcula: a) Velocidad angular; b) El ngulo

girado en los 2 min 15 s que dura una cancin; c) El nmero de vueltas dadas en ese tiempo; d)

Velocidad lineal de un punto de la periferia.

72) El dimetro de las ruedas de un vehculo que marcha a 108 km/h mide 64 cm. Determina: a) La

velocidad angular de las ruedas; b) El ngulo girado en 5 minutos; c) Las vueltas que da ese

tiempo.

73) Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Todos los movimientos

uniformes son rectilneos; b) Todos los movimientos rectilneos son uniformes; c) La aceleracin

v = R

= t

1 rev = 2 rad

v = R

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de la gravedad se mantiene constante; d) La velocidad media siempre es inferior a la

instantnea.

FRMULAS: CINEMTICA

MAGNITUD FRMULA

A)MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME

Espacio

s = so + v t

s = espacio (m)

so = espacio inicial (m)

v = velocidad (m/s ; m.s-1

)

t = tiempo (s)

B)MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Velocidad

v = vo + a t

v = velocidad (m/s ; m.s-1

)

vo = velocidad inicial (m/s ; m.s-1

)

a = aceleracin (m/s2

; m.s-2

)

acelerado: a (+) ;

retardado o decelerado: a (-)

Espacio s = so + (vot) + (

2

1a t

2 )

v2 vo

2 = 2 a s

C)MOVIMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA Y DE CADA

Velocidad v = vo + g t

g (+) g (-)

g = aceleracin de la gravedad ( g = 9,8 m/s2

= 9,8

m.s-2

)

Tiro vertical hacia arriba: g = - 9,8 m/s2

Cada libre: g = 9,8 m/s2

Espacio s = so + (vot) + (

2

1g t

2 )

E)MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORME

Velocidad lineal

v = R

v = velocidad lineal (m/s)

= velocidad angular (rad/s) R = radio de curvatura (m)

ngulo girado

= t

= ngulo girado (rad)

= velocidad angular (rad/s) t = tiempo (s)

1 vuelta = 2 rad

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PRCTICA 1: CADA LIBRE DE LOS CUERPOS

OBJETIVO

Observar que cuando un cuerpo cae, la resistencia debida al rozamiento con el aire puede frenar

notablemente el movimiento.

MATERIAL - Moneda de un euro. - Papel. - Cartn. - Tijeras.

PROCEDIMIENTO 1- Preparamos un disco de papel y uno de cartn un poco ms pequeos que la moneda. 2- Coge la moneda entre los dedos pulgar e ndice, colcala horizontalmente y djala caer desde una

cierta altura (A).

3- Repite la operacin con el disco de cartn (B) y despus con el de papel (C). Podrs observar que la moneda llega al suelo antes que el disco de cartn y este antes que el de

papel.

4- Coloca, sucesivamente, el disco de cartn y el disco de papel sobre la moneda y djalos caer. El aire no frena el cartn ni el papel. La velocidad de cada es la misma que la de la moneda sola (D).

Con esta experiencia podemos observar que un objeto ligero cae con la misma velocidad que uno ms

pesado si conseguimos que el rozamiento del aire le afecte poco.

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PRCTICA 2: MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE

ACELERADO

OBJETIVO Estudio de un movimiento uniformemente acelerado.

MATERIAL - Un carril de aluminio de 240 cm de longitud aproximada. - Una nuez con soporte. - Bolas de diferente masa. - Un cronmetro. - Papel milimetrado.

PROCEDIMIENTO 1- Coloca el carril como se indica en la figura y seala en l posiciones de 40 en 40 cm.

2- Deja rodar una de las bolas por el carril y toma el tiempo cuando pase por la primera sealizacin de 40 cm.

3- Realiza 3 medidas de tiempo para cada una de las posiciones y calcula su media. 4- Construye una tabla:

5- Construye, utilizando papel milimetrado, los grficos s-t y v-t

s(cm) t(s) tm

40 t1 =

t2 =

t3 =

t

80 t1 =

t2 =

t3 =

t

120

160

200