FLUJO BIDIMENSIONALTema 3

contenido

FLUJO BIDIMENSIONAL redes de flujo. Trazado de redes de

flujo, problemas prácticos Interpretación de la red de flujo Condiciones anisotrópicas del suelo

Filtración en dos direcciones

Suposiciones: el suelo es homogéneo e isotrópico con respecto a la permeabilidad. Sobre el plano x-z se puede escribir la ley de Darcy como

zh

kkiv

xh

kkiv

zz

xx

x

z

vz

vx

dx

dz

Filtración en dos direcciones

El volumen de agua que entra al elemento por unidad de tiempo, es:

Y el volumen de agua que sale por unidad de tiempo, es:

dxdyvdydzv zx

dxdydzzv

vdydzdxxv

v zz

xx

Filtración en dos direccionesLa diferencia entre el volumen de agua

que entra al elemento por unidad de tiempo, y el volumen que de él sale, debe ser cero, por tanto

Que es la ecuación de continuidad en dos dimensiones. Sin embargo si el volumen del elemento sufre modificación la ecuación de continuidad se convierte en

0

zv

xv zx

Filtración en dos direcciones

Donde dV/dt es la variación de volumen por unidad de tiempo.Ahora, sea f(x,z) denominada función potencial, tal que

dtdV

dxdydzzv

xv zx

zh

kvz

xh

kvx

z

x

3.1

Filtración en dos direccionesDe la ecuación de continuidad y las

ecuaciones anteriores es evidente que

La función f(x,z) satisface la ecuación de Laplace, integrando la ecuación 3.1 tenemos

Donde C es una constante.

02

2

2

2

zx

Czxkhzx ),(,

Filtración en dos direccionesQuedando especificada una familia de

curvas a lo largo de cada una de las cuales, la carga total es un valor constante. Esas curvas reciben el nombre de equipotenciales.Si introducimos una segunda función y(x,z) denominada función de flujo tal que

xh

kvz

zh

kvx

z

x

Filtración en dos direccionesSe puede demostrar que también esta

función satisface la ecuación de Laplace. El diferencial total de la función y(x,z) es

Si esta función y(x,z), se le da un valor constante y1 entonces dy=0 y

dzvdxvdzz

dxx

d xz

x

z

vv

xz

Filtración en dos direccionesEntonces la tangente a cualquier punto

de la curva representada por

Especifica la dirección de velocidad de descarga resultante en ese punto: por lo tanto, la curva representa el recorrido de flujo.Al conjunto de estas curvas se le denomina líneas de flujo.

1, zx

Redes de flujoPara dar solución de un problema práctico de filtración, hay que hallar las funciones f(x,z) y y(x,z) para las condiciones de frontera relevantes. La solución es representada por una familia de curvas de flujo y una familia de equipotenciales . Constituyendo lo que se denomina una red de flujo. Para la solución se dan diversas métodos posibles, como la técnica de la variable compleja, método de las diferencias finitas, el método de elemento finito, las analogías eléctricas y el uso de modelos hidráulicos, sin embargo el método más usado es el de trazado de la red de flujo por tanteos y corrección, cuya forma general puede ser deducida considerando las condiciones de frontera.

Redes de flujo

Condición fundamental: Cada intersección entre una línea de flujo y una equipotencial debe ser un ángulo recto.

Dy debe ser el mismo entre dos línea de flujo cualesquieraDf sea el mismo entre dos equipotenciales. Las líneas de flujo y las equipotenciales forman cuadrados curvilíneos en toda la red de flujo. Así

Ahora bien, =Dy Dq y Df=kDh por lo tanto:

Dq =kDh

El gradiente hidráulico está dado por:

Para toda la red de flujo:h. Diferencia de carga total entre la primera y última equipotencialesNd número de caídas equipotenciales, cada una de las cuales representa la misma pérdida total de carga DhNf número de canales de flujo.

sh

i

Ds

Dny1+Dy

Redes de flujo

entonces,

Y

Por tanto la ecuación del gasto queda:

Que es la ecuación para calcular el gasto total que fluye a través del elemento

qNq

Nh

h

f

d

d

f

N

Nkhq

ejemplo

Ahora consideremos un problema de red de flujo. Como se muestra en la figura.

Pilotes de tablaestaca

6.0m

0.5m

4.5m

8.6m

h=4.0m

F G

DC

E

BA

Nivel de referencia

F G

DC

E

BA

K H J L

F G

DC

E

BA

1

2

345678

9

10

11

12

4.5m

hp=3.33m

up/gw

zp

nd=0

0.5m

P