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Tema 5. Ecuaciones diferenciales

de primer orden

Este tema supone un primer contacto con la teoría de ecuaciones diferenciales,que es una de las ramas con mayor aplicación de las matemáticas a otras disciplinascientí�cas. Por citar algunos casos concretos de aplicaciones se pueden dar en Físicalas órbitas planetarias, en Química la cinética de las reacciones químicas, en Eco-nomía ciertos modelos dinámicos de espacios económicos, en Ecología la dinámicade los ecosistemas, en Ingeniería la teoría de �uidos y en Arquitectura el cálculo deestructuras. Pretendemos en este primer contacto con las ecuaciones diferencialesde�nir con precisión lo que entenderemos por ecuación diferencial, sistema de ecua-ciones diferenciales y lo que entendemos por soluciones de éstos. Recalcaremos quelas soluciones no tienen por qué tener únicas e introduciremos por ello las familiasn�paramétricas de soluciones. Un paso más nos llevará a la de�nición de problema deCauchy. En cuanto a las ecuaciones diferenciales de primer orden que presentamosprestaremos atención a las ecuaciones en variables separadas, ecuaciones lineales yexactas, incluyendo la búsqueda de factores integrantes. Somos conscientes de lagran cantidad de métodos existentes, estudiados en libros como [NOR 95, p. 37-87]o [B 93, Capítulo 1]. Sin embargo, no seremos muy ambiciosos a la hora de plantearuna amplia gama de métodos de resolución, nos contentaremos con que los alumnosaprendan ciertas técnicas para integrar las ecuaciones diferenciales antes enumera-das. Para que los alumnos no caigan en el aburrimiento y vean por otro lado lapotencia de esta rama de las matemática, presentaremos varios ejemplos de cadauno de los tipos de ecuaciones que presentemos, en particular se hará el estudio dela catenaria, braquis-tocrona, mezclas químicas, diseño de radiotelescopios. Ademásde la resolución de ecuaciones dedicaremos una sección a dar un teorema de exis-tencia y de unicidad para las ecuaciones de orden uno, aunque lo enunciaremos entérminos de funciones de clase C1 y no de funciones lipschitzianas. La última sección

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estará dedicada al estudio cualitativo de soluciones de ecuaciones de orden uno, enparticular presentaremos el método de las isoclinas, después de todo, los alumnosdeben comprender que ya que la resolución analítica no siempre es posible, sí seráel estudio cualitativo de las soluciones. Consideramos que este tema no es difícil deasimilar, sin embargo el alumno suele encontrar bastantes problemas cuando afrontala resolución de ejercicios por no saber qué método aplicar a una ecuación diferen-cial concreta. La clases de problemas deben ayudar a salvar esta di�cultad. Ademásde ello, éstas clases deberán contribuir a introducir otras aplicaciones típicas de lasecuaciones diferenciales como: interés compuesto, datación de un evento por el mé-todo del carbono 14 y determinación de la hora de un fallecimiento. Por otro lado sepropondrán problemas de ecuaciones reducibles a lineales indicando, en cada caso,el cambio a emplear. Éstas son por ejemplo el caso de las ecuaciones de Bernoulliy Riccati. Como libros de referencia aconsejamos [Jim 00, Capítulo 1] , [NOR 95,Capítulos 1-3], [MC 99, Capítulo 19] y [BGo 00, Capítulo 19].Objetivos del tema

Comprender los conceptos de ecuación y sistema de ecuaciones diferenciales.Determinar si una función es solución de una ecuación diferencial.Determinar si un conjunto de funciones son soluciones de un sistema de ecua-ciones diferenciales.Comprender el concepto de problema de Cauchy.Obtener las ecuaciones diferenciales que satisfacen una familia n-paramétricade funciones.Calcular familias de curvas ortogonales a una familia de curvas dada.Conocer técnicas que permiten encontrar la solución de ecuaciones diferencialeslineales, exactas y variables separadas.Buscar factores integrantes para transformar algunas ecuaciones en exactas.Aprender técnicas de modelización de fenómenos experimentales.Extraer consecuencias de los modelos planteados.Conocer el teorema de existencia y unicidad de soluciones de problemas deCauchy.

Tema 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden 99

Conocer el método de las isoclinas para el estudio cualitativo de las ecuacionesdiferenciales de orden uno.

Temporalización Se dedicarán 7 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT5.1. Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuaciones dife-renciales y soluciones

Iniciamos esta lección introduciendo lo que es una ecuación diferencial ordinariaque no es más que una expresión del estilo:

f(t, y, y′, ..., y(n)) = 0 (5,1)

donde f : D ⊂ Rn+2 → R es una función de�nida en un subconjunto abiertoD ⊂ Rn+2. Una ecuación diferencial se dirá autónoma si f no depende de t, es decir,es una expresión del estilo g(y, y′, ..., y(n)) = 0, donde g : D ⊂ Rn+1 → R.

A la variable t le daremos el nombre de variable independiente y con frecuenciautilizaremos x en lugar de t, dependiendo de los fenómenos físicos que modelemosen cada momento. La variable y se llamará variable dependiente. Pondremos a con-tinuación ejemplos de ecuaciones diferenciales (no autónomas):

y′ + y − x = 0,

log(y2) + ty − y3 = 0,

y′′ + 4y′ − sen(ty) = 0,

y ahora ecuaciones diferenciales autónomas:y′ + cos(y) = 0,

tan(y4) + y − arcsen(y3) = 0,

y′ + 4y − ey = 0.

Seguimos, ahora con la noción de solución. Una función real de�nida en unintervalo abierto I, y : I → R, es solución de la ecuación diferencial (5.1) si esn�veces derivable con derivadas continuas y para todo elemento t ∈ I se veri�caf(t, y(t), y′(t), ..., yn(t)) = 0. Ilustraremos esta de�nición con la ecuación diferencialty′′ − y′ = 3t2, para ella probaremos que para cada elección de números reales c1 yc2 se tendrá que y(t) = t3 + c1t

2 + c2 es solución.


Una primera observación que se desprende de este ejemplo es que las solucionesno van a ser únicas, en particular, en nuestro ejemplo hay in�nitas soluciones. Otraobservación que se debe hacer es que las soluciones deben buscarse en intervalos dede�nición lo más grandes posibles, es decir lo que se busca son soluciones maximales.

En este momento del curso el alumno ya ha estudiado, en la asignatura de primercuatrimestre Fundamentos Matemáticos, las funciones de�nidas en forma implícitay ya debe saber cómo derivarlas. Por lo tanto, la de�nición de solución de ecuacionesdiferenciales no excluye que demos como solución funciones de�nidas implícitamente.Así podemos decir que para la ecuación diferencial yy′+t = 0, la expresión t2+y2 = c2

(c constante) de�ne a y en función de t en el intervalo (−√c,√c) siendo y(t) solución

de yy′ + t = 0.Seguimos de�niendo un sistema de ecuaciones diferenciales como una colección

de expresiones como la que sigue:

f1(t, y1, y′1, ..., y

(n)1 , y2, y

′2, ..., y

(n)2 , yk, y

′k, ..., y

(n)k ) = 0,

f2(t, y1, y′1, ..., y

(n)1 , y2, y

′2, ..., y

(n)2 , yk, y

′k, ..., y

(n)k ) = 0,

....................................................................

fs(t, y1, y′1, ..., y

(n)1 , y2, y

′2, ..., y

(n)2 , yk, y

′k, ..., y

(n)k ) = 0.

Las variables y1, y2, ..., yk reciben el nombre de variables dependientes y t recibeel nombre de variable independiente. Sólo consideraremos sistemas con el mismonúmero de variables dependientes que de ecuaciones, es decir, sistemas con k = s.La noción de solución es análoga a la introducida anteriormente, es decir, a la funciónsolución se le pide lo mismo que a las soluciones de una ecuación diferencial perocon cada una de las ecuaciones del sistema.

Para clari�car esta de�nición propondremos veri�car que el sistema de ecuacionesdiferenciales:

x′ = −y, y′ = x+ t,

tiene por soluciones x(t) = −t+ c1 cos(t) + c2 sen(t), y(t) = 1 + c1 sen(t)− c2 cos(t)

en el intervalo I = R para cada par de números reales c1, c2.Acabamos esta sección de�niendo el orden de una ecuación diferencial como el

más alto grado de las derivadas que aparecen.T5.2. Familias n�paramétricas de soluciones y funciones


En esta sección pretendemos mostrar al alumno que, en general, las soluciones deuna ecuación diferencial dependen de n�parámetros, aunque también veremos que sepresentarán bastantes excepciones. Empezamos considerando la ecuación diferencialy′ = f(t) para la que es claro que una solución es y(t) =

∫f(t)dt + c, donde c

es cualquier número real y ∫ f(t)dt denota una primitiva �ja de la función f(t).Nos planteamos estudiar después la ecuación y′′ = f(t) cuya solución es y(t) =∫ (∫

f(t)dt)dt+c1t+c2 donde c1 y c2 son números reales cualesquiera �jos. Siguiendo

con el mismo razonamiento, la solución de y(n) = f(t) dependerá de n�parámetros.En general, la ecuación diferencial f(t, y, y′, ..., y(n)) = 0 tiene por soluciones

una familia n�paramétrica de funciones, es decir, una familia de funciones del tipoy(t) = f(t, c1, c2, ..., cn) o en forma implícita, g(t, y, c1, c2, ..., cn) = 0.

Aunque lo expuesto hasta aquí es cierto en general (ya lo veremos) conviene ponerde mani�esto contraejemplos sencillos a esta regla. En efecto, la ecuación diferencialy2+(y′)2 = −1 no tiene soluciones, y2+(y′)2 = 0 tiene como única solución la funcióny : R → R constantemente igual a 0 y por último (y′ − y)(y′ − 2y) = 0 tiene porsoluciones la familia biparamétrica de�nida implícitamente por (y−c1et)(y−c2e2t) =

0.Parece lógico preguntarse si �jada una familia n�paramétrica de funciones, y(t) =

f(t, c1, c2, ..., cn) o g(t, y, c1, c2, ..., cn) = 0, existe una ecuación diferencial cuyas solu-ciones incluyen la familia �jada. En general la respuesta a este problema es a�rmativay para encontrar la ecuación diferencial basta con derivar n�veces la función y(t)

obteniendo así n + 1 ecuaciones de las que eliminaremos c para obtener una únicaecuación diferencial. Ilustraremos este procedimiento buscando una ecuación dife-rencial que contenga como soluciones a la familia uniparamétrica y(t) == c cos(t)+t

y otra para la familia biparamétrica z(t) = c1et + c2e

2t.Derivando respecto de t se obtiene y′(t) = −c sen(t) + 1, de donde

y′(t) = −(y(t)− t) sen(t)

cos(t)+ 1.

Así que la familia uniparamétrica y(t) = c cos(t) + t satisface la ecuación y′ =

(t − y)tan(t) + 1. Para obtener la ecuación diferencial de la familia biparamétricaz(t) = c1e

t+c2e2t derivamos dos veces respecto de t y obtenemos z′(t) = c1e

t+2c2e2t,

z′′(t) = c1et + 4c2e

2t, ahora eliminamos c1 y c2 utilizando las tres ecuaciones y seobtiene z′′(t) − 3z′(t) + 2z(t) = 0, por lo que la familia biparamétrica satisface laecuación diferencial:

z′′ − 3z′ + 2z = 0.


T5.3. Problema de Cauchy Llegados a este punto se impone una re�exión. Silas ecuaciones diferenciales modelan fenómenos físicos de los que queremos estudiarsu comportamiento posterior, no parece razonable que sus soluciones sean in�nitascomo estamos viendo que de hecho sucede. En realidad nuestro fenómeno físicodeberá quedar determinado por una sola de las soluciones desechando las demás,este proceso de elección de la función adecuada se puede realizar con éxito porquepodremos medir, en general, el estado inicial del sistema (el valor de la función en unvalor determinado de t), a esta condición inicial se le llama condición de Cauchy si lavariable t es temporal y condición de contorno si la variable x es espacial. Llegamosasí a la de�nición de problema de Cauchy. Entendemos por problema de Cauchy auna expresión del estilo:

f(t, y, y′, ..., y(n)) = 0,

y(t0) = y0,1,

y′(t0) = y0,2,

......

y(t0)(n−1) = y0,n.

Una solución del problema de Cauchy es una función de�nida en un intervaloabierto I, y : I → R, de manera que y(t) es solución de la ecuación diferencial yademás y(k)(t0) = y0,k para cada k ∈ {0, 1, ..., n − 1}. Acabaremos este apartadoresolviendo el problema de Cauchy:

ty′′ − y′ = 3t2, y(1) = 1, y′(1) = 1,

sabiendo que la familia biparamétrica y(t) = t3 + c1t2 + c2 es una solución de la

ecuación diferencial que de�ne el problema de Cauchy.T5.4. Relación entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuacionesdiferenciales

Dedicamos este apartado a justi�car que una ecuación diferencial de orden n

es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden 1. En particulardemostraremos que la ecuación (E):

y′ = f(t, y, y′, ..., y(n))

es equivalente al sistema (S):


y′1 = y2,

y′2 = y3,

......

y′n−1 = yn,

f(t, y1, y2, ..., yn−1, y′n) = 0,

en el sentido que si y(t) es solución de la ecuación (E) entonces y(t), y′(t),...,y(n−1)(t)

son una solución del sistema (S). Recíprocamente, si y1(t), y2(t),..., yn(t) son solucióndel sistema (S) entonces y1(t) es solución de la ecuación (E) e y2(t), ...,yn(t) sonlas derivadas sucesivas de y1(t). Con lo cual, este método nos permite pasar de unaecuación de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden. Como la soluciónde la ecuación depende en general de n parámetros, la solución del sistema tambiéndependerá de n parámetros.T5.5. Ecuaciones en variables separadas

Una ecuación diferencial en variables separadas es una ecuación de primer ordende la forma

y′ = f(t)g(y)

o cualquier otra ecuación diferencial que pueda reducirse a ella. Ejemplos de estasecuaciones son:

y′ = eyt log(t),

y′ =t

sen(y),

y′ = etarcsen(y),

y′ =3t+ t2

log(t)

y

y − 1

y′ = g(y).

Hemos querido iniciar el estudio de las ecuaciones de primer orden con las ecua-ciones en variables separadas porque son las más sencillas de resolver. En efecto, siy(t) es solución entonces y′(t) = f(t)g(y(t)) y por lo tanto si g(y(t)) 6= 0 se tieneque

y′(t)

g(y(t))= f(t)


para cada t. Sean ahora G(y) =∫

1g(y)

dy una primitiva de 1g(y)

y F (t) =∫f(t)dt

una primitiva de f(t) (en general ∫ f(t)dt denota una primitiva particular de lafunción f , mientras que ∫ f(t) representa a todas las primitivas de f(t), es decir,todas aquellas funciones que tienen por derivada a f(t)).

Usando ahora la regla de derivación compuesta se obtiene[G(y(t))]′ = G′(y(t))y′(t) =

y′(t)

g(y(t))= f(t)

por lo que G(y(t)) es una primitiva de f(t) y por lo tanto existirá una constante ctal que G(y(t)) = F (t) + c, o lo que es lo mismo, y(t) está de�nida implícitamentepor G(y) = F (t) + c, es decir,∫

1

g(y)dy =

∫f(t)dt+ c

es la solución general de la ecuación en variables separadas.Para que los alumnos asimilen el método proponemos resolver el problema de

Cauchyy′ =

y cos(t)

1 + 2y2, y(0) = 1.

Según lo expuesto, la solución de la ecuación viene dada por la expresión∫1 + 2y2

ydy =

∫cos(t)dt+ c,

y haciendo ambas primitivas se obtienelog(y) + y2 = sen(t) + c,

ahora la condición inicial y(0) = 1 fuerza a que c = 1 y por lo tanto la solucióndel problema viene dada en forma implícita por la ecuación:

log(y) + y2 = sen(t) + 1.

Aplicaciones en ingenieríaEmpezamos esta sección con la exposición del problema de la catenaria como un

paso preliminar al estudio de vigas. Este problema consiste en determinar la formaque toma un cable cuando se suspende de dos puntos y se deja bajo la acción de lagravedad, es el caso pues, de los cables de �uido eléctrico apoyados en dos torres.


Para resolver el problema �jamos un sistema coordenado como muestra la �gura,donde hacemos coincidir el origen coordenado con el punto más bajo que toma elcable y donde el eje x es tangente a la curva que adopta el cable. Para obtener laecuación de la curva utilizaremos que el cable está en equilibrio entre el punto másbajo y el punto Q = (x, y(x)), la función p(s) nos da densidad lineal de peso delcable. Las fuerzas que actúan en el problema son:

1. la tensión horizontal H en el punto más bajo,2. la tensión en el punto Q, que es variable y que denotamos por T (x, y).3. el peso de la porción de cadena entre O y Q(x, y) que denotaremos por P (x, y).

Figura 5.1. CatenariaPuesto que el sistema está en equilibrio, la suma de las fuerzas horizontales (resp.

verticales) debe ser cero. Así que:

T (x, y) cos(θ) = H y T (x, y) sen(θ)

∫ s

0

p(s)ds,

donde la integral ∫ s

0p(s)ds es la integral que nos da el peso del cable entre el punto O

y el punto Q(x, y) situado a una distancia s medida sobre la curva y(x). Deducimosahora de la primera de las dos ecuaciones

T (x, y) sen(θ) = Htan(θ) = Hy′(x),


por lo tantoHy′(x) =

∫ s

0

p(t)dt.

Derivamos la igualdad anterior respecto de la variable x y se obtieneHy′′ =

d

dx

∫ s

0

p(s)ds =d

ds

∫ s

0

p(t)dtds

dx= p(s)

√1 + y′(x)2,

lo que indica que la curva y(x) es solución de la ecuación diferencialHy′′ = p(s)

√l + (y′)2.

Resolvemos la anterior ecuación en el caso que la función p(s) sea constante e iguala p, que es el caso comentado de los cables de tendido eléctrico. La ecuación quedacomo

y′′ =p

H

√1 + (y′)2,

y cambiando y′ por z transformamos la ecuación diferencial anterior porz′ =

p

H

√1 + z2

que es una ecuación en variables separadas con solución (utilícese que z(0) = 0):

log(z +√

1 + z2) = ax.

Despejando z y cambiando de variable se obtiene:y(x) =

H

2p(e

pxH + e

−pxH ).

Representamos para acabar la curva y(x) para los valores H = 10 y p = 3.Una primera aproximación al problema de la braquistocrona

Esta sección está dedicada a la exposición del problema de la braquistocronay a ver cómo podemos resolverlo utilizando las ecuaciones diferenciales y la ley derefracción de Snell. No es una resolución formal pero sí una aproximación.

En 1606 Jean Bernoulli planteó encontrar la curva que conecta dos puntos Ay B separados horizontal y verticalmente una distancia pre�jada (que para mayorcomodidad supondremos 1 metro en ambas direcciones) de manera que si dejamoscaer una bola por la curva bajo la acción de la gravedad tarda tiempo mínimo. Entreotros, Newton, Leibniz, L'Hópital, Jakob Bernoulli y el propio Jean Bernoulli dieron


Figura 5.2. Catenaria por el paso particular y(x) = 53(e

3x10 + e

−3x10 ).

respuesta al problema. Para mayor simplicidad supondremos A = (0, 0) y B = (1, 1)

(véase Figura 5.3). La solución que daremos a los alumnos no se obtiene realmentemediante una resolución formal ya que utilizamos que una partícula que se deslicepor la curva que minimiza el tiempo debe veri�car que

sen(α(y))

v(y)= c,

donde v(y) es la velocidad de la partícula cuando se encuentra en el punto (x, y(x)),dicha igualdad se obtiene haciendo un símil con la ley de refracción de la luz deSnell. Ahora bien, la velocidad v(y) es fácil de calcular utilizando el principio deconservación de la energía, de donde se obtiene

v =√

2gy.

Podemos encontrar ya la ecuación diferencial que satisface la función y(x), en efectosen(α(y)) =

1√1 + tan2(π

2− α(y))

=1

1 + (y′(x))2,

ahora, combinando las ecuaciones anteriores tenemosy(1 + (y′)2) = c

para una constante c. Esta última ecuación se puede reescribir como una ecuacióndiferencial en variables separadas

y′ =

√c− y

y,


cuya solución general viene dada por∫ √c− y

ydy = x+ c1

para una constante c1. Ahora integramos la ecuación como hemos indicado en elapartado de ecuaciones en variables separadas y determinamos la constante c1 parallegar a la solución

x = c

(θ − tan(θ)

1 + tan2(θ)

)=c

2(2θ − sen(2θ))

dondeθ = arctan(

√c− y

y).

Figura 5.3. Problema de la braquistocrana.T5.6. Familia de curvas ortogonales

Dadas dos familias de curvas F y G, se dice que son ortogonales si para cada parde curvas, y(x) de la primera y z(x) de la segunda, se tiene que las intersecciones deambas son perpendiculares, es decir, los vectores tangentes de ambas curvas en lospuntos de intersección son perpendiculares. Con las técnicas desarrolladas en estetema podemos reducir el problema de encontrar una familia de curvas ortogonalesa una familia �jada H, a resolver una ecuación diferencial.


Este problema de encontrar familias de curvas ortogonales tiene interés en física.En efecto, si una corriente �uye por una lámina plana de material conductor, lascurvas equipotenciales son las líneas perpendiculares a las líneas de �ujo.

Pasamos pues a ver cómo se resuelve el problema, para ello suponemos �jadouna familia de curvas, H, de�nida mediante una ecuación diferencial y′ = f(x, y),lo cual quiere decir que la curva de H que pase por un punto (x0, y0), y : I → R,tendrá en dicho punto pendiente f(x0, y0) y por lo tanto una curva perpendicularque interseque con ella deberá tener pendiente − 1

f(x0,y0). Así que la familia de curvas

ortogonales a H debe satisfacer la ecuación diferencial z′ = −1f(x,z)

.Para motivar al alumno comprobaremos, con este método, que la familia de

círculos x2 + y2 = c2 tiene como familia ortogonal a las rectas de R2 que pasan porel origen.T5.7. Ecuaciones lineales

En esta sección vamos a considerar las ecuaciones lineales de primer orden, esdecir, ecuaciones del tipo: a0(t)y

′ + a1(t)y = b(t), donde las funciones a0(t), a1(t) yb(t) las suponemos continuas y de�nidas en un intervalo I, adicionalmente supone-mos que a0(t) 6= 0 para todo t ∈ I, con lo cual la ecuación anterior puede reescribirsecomo:

y′ + p(t)y = q(t).

Tanto p(t) como q(t) serán funciones continuas y siguiendo la notación de los sistemasde ecuaciones lineales, diremos que la ecuación es homogénea cuando q(t) ≡ 0 y nohomogénea en caso contrario.Resolución de la ecuación lineal

El objetivo de este apartado es enseñar al alumno a resolver la ecuación y'+p(t)y= q(t), la idea de la resolución es sencilla, consiste en multiplicar la ecuación poruna función µ(t) de manera que el miembro izquierdo de la ecuación obtenida seaahora la derivada de la función µ(t)y(t) (explicaremos que la función µ recibe elnombre de factor integrante). Después tomaremos primitivas en ambos miembros ydividiremos por µ(t) para obtener y(t).

Mediante una serie de cálculos justi�cativos en la pizarra, será fácil llegar a laexpresión de µ:

µ(t) = e∫

p(t)dt.

Ahora tenemos que la ecuación de partida queda equivalente a (µ(t)y(t))′ = µ(t)q(t)


y por lo tanto, la solución general es:y(t) =

1

µ(t)

∫µ(t)q(t)dt+ c.

Si ahora consideramos un problema de Cauchy asociado a una ecuación diferen-cial lineal cabe preguntarse si la solución será única para cada condición inicial dada.La respuesta la da el siguiente teorema.Teorema T5.1.Sea t0 un punto del intervalo I e y0 ∈ R. El problema de Cauchy

y′ + p(t)y = q(t)

y(to) = y0,

tiene solución única dada por la expresión

y(t) =1

µ(t)

(∫ t

t0

µ(s)q(s)ds+ y0

),

donde:µ(t) = exp

(∫ t

t0

p(s)ds

).

Conviene hacer notar en este punto al alumno que la solución general obtenida esrealmente general en el sentido que cualquier solución se escribe según la expresiónanterior, la demostración de este hecho se deduce del teorema anterior. En estepunto de la exposición conviene ilustrar los resultados obtenidos con la resoluciónde alguna ecuación particular.

Por último, pasaremos a explicar cómo acortar los cálculos para obtener solucio-nes generales de la ecuación. A este respecto demostraremos que la solución generalde la ecuación no homogénea se puede obtener como la suma de la solución generalde la ecuación homogénea y′h+p(t)yh = 0 con una de las soluciones particulares de lano homogénea. La ventaja de resolver de este modo la ecuación lineal no homogéneaes que la resolución de la homogénea resulta más sencillo:

yh(t) = cexp(−∫p(t)dt

),

quedándonos a expensas de encontrar una solución particular.Para obtener una solución particular de la ecuación no homogénea utilizaremos

el principio de superposición de soluciones : si y1(t), y2(t),...,yn(t) son soluciones de


y′ + p(t)y = q1(t), y′ + p(t)y = q2(t),..., y′ + p(t)y = qn(t) respectivamente, entoncesa1y1(t) + a2y2(t) + ...+ anyn(t) es solución de

y′ + p(t)y = a1q1(t) + a2q2(t) + ...+ anqn(t).

Para �nalizar el apartado expondremos el método de los coe�cientes indetermi-

nados, e�caz en la búsqueda de soluciones de la ecuación lineal para p(t) constantey q(t) de la forma eαt[Pm(t) cos(βt) + Qm(t) sen(βt)], siendo Pm(t) y Qm(t) polino-mios de grado menor o igual que m. El método sugiere buscar las soluciones de laecuación entre funciones del tipo:

y(t) = eαt[Rm(t) cos(βt) + Sm(t) sen(βt)],

donde Rm(t) y Sm(t) son polinomios de grado menor o igual que m con coe�cientesque hay que determinar usando la ecuación. No obstante, existe una salvedad almétodo anterior, si q(t) = e−ptPm(t), siendo Pm(t) un polinomio de grado menor oigual que m. Buscaremos la solución particular entre funciones de la forma y(t) =

tRm(t)e−pt con Rm(t) un polinomio con coe�cientes a determinar. Algunos ejemplosdejarán claro el procedimiento.Problemas de mezclas químicas

En este apartado mostraremos a los alumnos cómo se pueden utilizar las ecua-ciones diferenciales en problemas de mezclas químicas. Supongamos que tenemosun tanque de volumen V udv (udv representará una unidad de volumen) en el quetenemos inicialmente una cantidad y0 udm (udm representará una unidad de ma-sa) de una sustancia diluida a una concentración y0

Vudm/udv. Ahora empezamos

a introducir una disolución de la misma sustancia a una concentración b udm/udvy velocidad k udv/udt (udt representará una unidad de tiempo) y por otro ladosacamos parte de la solución a una velocidad f udv/udt. Representemos por y(t) lacantidad de sustancia dentro del tanque en el instante t, por lo tanto:

y′(t) = ve(t)− vs(t)

donde ve y vs representan las velocidades de entrada y salida en el tanque de lasustancia.

Las condiciones del problema imponen que la velocidad de entrada de sustanciaes constante, en particular:

ve = kb,


la velocidad de salida vs no va a ser constante puesto que, aunque la velocidad desalida de la disolución es constante, la concentración cambia en cada instante. Ahorabien vs(t) = y(t)

V (t)f donde V (t) representa el volumen de disolución que tenemos en

el instante t y que será V (t) = V + (k − f)t. Por lo tanto y(t) satisface el problemade Cauchy

y′ = kb− fy

V + (k − f)t,

con y(0) = y0.Podemos aplicar ahora los conocimientos ya adquiridos y resolver el problema

de Cauchy anterior obteniendo una ecuación para y(t). No obstante, la existenciade las constantes complica la escritura y en general asusta al alumno, preferimospor lo tanto proponer un ejemplo concreto que ayude al alumno a a�anzar susconocimientos.

Supongamos que tenemos un tanque con 400 litros de agua destilada y añadimosa una velocidad de 8 litros por segundo concentración salina de 0.05 Kilogramos desal por litro. Dejamos salir del tanque disolución a la misma velocidad que añadimosconcentración salina. ¾Cuánta sal habrá en el tanque al cabo de 1 minuto?

Siguiendo el planteamiento del problema hecho antes se obtiene el problema deCauchy:

y′ = 0,4− 8y

400con y(0) = 0.

La ecuación homogénea y′ = −y50

tiene por solución y(t) = Ke−t50 siendo K una

constante. Ahora utilizamos que la función yp(t) = 20 es una solución particular dela ecuación, se tiene que la solución general será de la forma:

y(t) = 20 +Ke−t50 .

Imponemos �nalmente la condición de Cauchy y(0) = 0 y se obtiene y(t) =

20− 20e−t50 , entonces

y(60) = 20− 20e−150 = 13,976Kilogramos.

T5.8. Ecuaciones exactasEn esta sección vamos a estudiar ecuaciones diferenciales de primer orden del

tipoM(t, y) +N(t, y)y′ = 0,


siendoM y N funciones continuas de�nidas en un abierto D de R2. Estas ecuacionesse escriben normalmente como:

M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0.

Para este tipo de ecuaciones, si existe una función f : D ⊂ R2 → R de clase C1

tal que ∂f∂tf(t, y) = M(t, y), ∂f

∂y(t, y) = N(t, y) y f(t, y) = c de�ne a y como función

implícita de t entonces la función y(t) tal que f(t, y(t)) = c es solución de la ecuacióndiferencial. En efecto, derivamos en la anterior igualdad para obtener:

d

dtf(t, y(t)) =

∂f

∂t(t, y) +

∂f

∂y(t, y)y′(t) = M(t, y(t)) +N(t, y(t))y′(t) = 0.

Recíprocamente, si y : K → R es solución de la ecuación diferencial entonces:

0 = M(t, y(t)) +N(t, y(t))y′(t) =∂f

∂t(t, y) +

∂f

∂y(t, y)y′(t) =

∂f

∂t(t, y)

y por lo tanto f(t, y(t)) = cte. Se impone pues, dada una ecuación diferencial de estetipo, buscar una función f : D ⊂ R2 → R de clase C1 tal que ∂f

∂tf(t, y) = M(t, y),

∂f∂y

(t, y) = N(t, y). Este tipo de ecuaciones diferenciales para las que existe la funciónf se llaman ecuaciones diferenciales exactas. El siguiente teorema da respuesta a estacuestión.Teorema T5.2. Supongamos que M(t, y) y N(t, y) son funciones de clase C1 de-�nidas en un abierto D = I × J donde I y J son intervalos de R. Entonces son

equivalentes:

1. La ecuación M(t, y) +N(t, y)y′ = 0 es exacta,2. ∂M

∂y(t, y) = ∂N

∂t(t, y).

En este caso, �jados t0 ∈ I e y0 ∈ J , la solución general de la ecuación exacta viene

dada por

f(t, y) :=

∫ t

t0

M(s, y)ds+

∫ y

y0

N(t0, u)du = c.

Si además N(t0, y0) 6= 0 entonces el problema de Cauchy M(t, y) + N(t, y)y′ = 0,y(t0) = y0, tiene solución única, que está de�nida implícitamente por la ecuación

f(t, y) = 0.


Proponemos la ecuación (3t2 + 4ty)dt+ (2t2 + 2y)dy = 0 para ilustrar el métodode resolución que propone el anterior teorema. La ecuación es exacta, en efecto:

∂(3t2 + 4ty)

∂y= 4t y ∂(2t2 + 2y)

∂t= 4t,

si ahora �jamos una condición de Cauchy y(1) = 1, la solución del problema deCauchy viene dada por

0 = f(t, y) =

∫ t

1

(3s2 + 4sy)ds+

∫ y

1

(2 + 2u)du = t3 + 2t2y + y2 − 4.

Factores integrantesEmpezamos esta sección haciendo notar al alumno que la de�nición que he-

mos dado de ecuación exacta es ambigua ya que puede ocurrir que exista unafunción µ : D ⊂ R2 → R continua que no se anule en ningún punto y tal queµ(t, y)M(t, y)dt+ µ(t, y)N(t, y)dy = 0 sea exacta sin que M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0

lo sea. Y evidentemente se trata de la misma ecuación diferencial, sería pues máscorrecto hablar de ecuaciones escritas en forma exacta y de ecuaciones escritas enforma no exacta.

Para abordar la resolución de ecuaciones escritas en forma no exacta se introducela noción de factor integrante que no es más que una función µ : D ⊂ R2 → R declase C1 que no se anula en ningún punto y tal que

µ(t, y)M(t, y)dt+ µ(t, y)N(t, y)dy = 0

está escrita en forma exacta. Como estamos pidiendo a µ que no se anule, las ecua-ciones M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0 y µ(t, y)M(t, y)dt+ µ(t, y)N(t, y)dy = 0 tienen lasmismas soluciones. La función µ debe veri�car (utilizando el Teorema T5.2)

∂(µM)

∂y=∂(µN)

∂t,

o lo que es lo mismo,µ∂M

∂y+M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂t+N

∂µ

∂t,

de dondeN∂µ

∂t−M

∂µ

∂y= µ

(µ∂M

∂y− ∂N

∂t

).

No obstante, la ecuación anterior es una ecuación en derivadas parciales, engeneral, mucho más difícil de resolver que nuestra ecuación de partida. Así que


hallaremos factores integrantes por métodos directos y nos limitaremos a factoresintegrantes de la forma µ(t, y) = µ(t) o µ(t, y) = µ(y).Diseño de radiotelescopios

Algunas de las señales electromagnéticas que proceden del espacio llegan a laTierra muy debilitadas y para que un radiotelescopio sea e�caz ha de concentrartodas las señales que recibe en un mismo punto. Así que a la hora de construirlodebemos buscar la forma óptima.

Por simetría el telescopio tendrá la forma de una super�cie de revolución gene-rada al girar una cura del plano xy alrededor del eje x;, suponemos que las ondasllegan paralelamente al eje x y deseamos que cuando las ondas choquen con el ra-diotelescopio vayan a parar al origen de coordenadas (ver Figura 5.4). Usando quelos ángulos de incidencia y re�exión, α y β, son los mismos se deduce que φ = α = β

y θ = α+ φ = 2α. Debido a quetan(θ) =

y

xy tan(θ) = tan(2α) =

2tan(α)

1− tan2(α),

Figura 5.4. Sección de un radiotelescopioobtenemos:

y

x=

2y′

1− (y′)2e (y′)2 +

2xy′

y= 1.

Despejamos y′,

y′ =−x±

√x2 + y2

y,


o escrito de otra manera(x∓

√x2 + y2)dx+ ydy = 0(paraalgunodelossignos).

Esta ecuación no es exacta, pero si multiplicamos la ecuación por el factor inte-grante µ(x, y) = 1√

x2+y2se convierte en la ecuación exacta

(x√

x2 + y2 + 1

)dx+

y√x2 + y2

= 0,

que, usando el método de resolución dado anteriormente, tiene por soluciones√x2 + y2 ∓ x = c

y simpli�candoy2 = 2cx+ c2 c ∈ R.

Es decir, las curvas solución son parábolas de foco el origen y eje el eje x.Existencia y unicidad de soluciones

Ya comentamos al introducir la noción de problema de Cauchy, la importanciade que este tenga solución única si estamos tratando con ecuaciones diferencialesque modelan fenómenos físicos, ya que sin esta unicidad puede que no podamospredecir el comportamiento futuro del sistema. Dejaremos claro en esta sección quela solución no tiene que ser única y ni siquiera tiene por qué existir. No obstante,bajo ciertas condiciones sí que existe la solución.

En primer lugar ponemos un par de ejemplos, el primero de ellos,y′ = xlog(y)

y′(0) = −1,

muestra que un problema de Cauchy no tiene por qué tener solución. A continuaciónconsideramos el problema

y′ = 3y23

y′(0) = 0,

que tiene la ecuación diferencial en variables separadas y que podremos resolver comohemos indicado anteriormente obteniendo y(t) = t3 para todo t ∈ R. Obsérvese que


la función y(t) = 0 para todo t ∈ R también es solución. En de�nitiva, este problemade Cauchy no tiene solución única.

Expondremos seguidamente un resultado que garantiza la existencia y unicidadde soluciones.Teorema T5.3. Sea f : D = [t0 − a, t0 + a] × [y0 − b, y0 + b] → R continua y con

derivada parcial ∂f∂y

continua en D, sea M = max{|f(x, y) : (x, y) ∈ D|}. Entoncesel problema de Cauchy

y′ = f(t, y)

y′(t0) = y0,

tiene solución única de�nida en [t0 − α, t0 + α] donde α = mın{a, bM}.

Aunque el resultado anterior admite una formulación más general en términosde funciones localmente lipschitzianas respecto de la variable y no lo expondremosbajo esas hipótesis más generales debido a que no hemos introducido previamente elconcepto de función lipschitziana. La demostración la consideramos fuera del alcancede los objetivos del curso. Por último haremos notar que la existencia de solucio-nes para problemas de Cauchy (no la unicidad) se deduce exigiendo únicamente lacontinuidad de la función f .

Enunciaremos, sin demostrar, para acabar un teorema de existencia y unicidadpara problemas de Cauchy asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales.T5.9. Análisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el método delas isoclinas

Hasta ahora, el estudio que hemos hecho de las ecuaciones de orden uno sólopermite abordar la solución de algunos tipos concretos de ecuaciones, lo cual implicaque, en general, no seremos capaces de encontrar soluciones de una ecuación de ordenuno elegida al azar.

El método de las isoclinas no nos va a permitir resolver la ecuación diferencialpero sí extraer cierta información cualitativa de las soluciones de una ecuación di-ferencial y′ = f(x, y). En efecto, si y(x) es una solución de y′ = f(x, y) y (x0, y0)

es un punto de la grá�ca, entonces la pendiente de la solución en dicho punto esy′(x0) = f(x0, y0) que es un valor que conocemos.

Los puntos del plano donde la grá�ca tiene pendiente α serán{(x, y) : f(x, y) = a},


que en general representa una curva llamada isoclina para la pendiente a. Dibujandolas isoclinas de la ecuación y dándose cuenta de que las curvas de las soluciones quecortan a una isoclina lo hacen con la misma pendiente, podemos hacernos una ideaaproximada de la forma de las soluciones.

Atención especial merecen las isoclinas para la pendiente 0 puesto que son lascurvas donde se van a localizar los extremos relativos de las funciones soluciones dela ecuación diferencial. Por otro lado, la segunda derivada de una solución y habráde veri�car:

y′′(x) =∂f

∂x(x, y(x)) +

∂f

∂yy′(x),

lo cual nos permite averiguar las zonas de concavidad y convexidad de las curvassolución. Aplicaremos este método al estudio cualitativo de algunos ejemplos.

Tema 6. Ecuaciones y sistemas

lineales. Teoría fundamental

Este tema está dedicado al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales de ordenuno y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. Estudiar estetipo de sistemas tiene bastante interés ya que algunos sistemas mecánicos y eléctricosde ingeniería están modelados por ecuaciones y sistemas lineales.

Nos centraremos en este capítulo en el estudio de las soluciones, en particularveremos qué estructura tienen, sin embargo dejaremos para el tema siguiente elproblema de calcular las soluciones. Por otro lado, este tema tiene una conexiónfuerte con el álgebra lineal. al ser las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales yecuaciones de orden arbitrario espacios vectoriales �nito dimensionales. Aconsejamoscomo referencias que se ajustan al tratamiento que hacemos del tema: [NOR 95, pag.217-219] y [Jim 00, Capítulo 3].Objetivos del tema

Conocer la de�nición de sistema de ecuaciones diferenciales lineales.Conocer la de�nición de ecuación diferencial lineal de orden n.Conocer la estructura de las soluciones de ecuaciones homogéneas y no homo-géneas.Conocer la estructura de la soluciones de sistemas de ecuaciones lineales ho-mogéneos y no homogéneos.Determinar si una matriz es fundamental o no.Conocer la de�nición de Wronskiano.

120 Tema 6. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental

Determinar si un conjunto de soluciones de una ecuación lineal es un sistemafundamental de soluciones.

Temporalización Se dedicarán 7 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT6.1. De�niciones básicas

Empezamos esta sección exponiendo al alumno las de�niciones que vamos a uti-lizar a lo largo de este capítulo y el siguiente. Un sistema de ecuaciones diferencialeslineales es un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (6.1)

y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + ...+ a1nyn + b1(x),

y′2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + ...+ a2nyn + b2(x),

.....................................................

y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + ...+ annyn + bn(x),

donde las funciones aij(x) y bi(x) son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n en un intervaloI. Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede escribir resumidamente como(6.2)

y′ = A(x)y+ b(x),

donde

A(x) =

a11(x) a12(x) ... a1n(x)

a21(x) a22(x) ... a2n(x)

... ... ... ...

an1(x) an2(x) ... ann(x)

yb(x) =

b1(x)

b2(x)

...

bn(x)

.

Hacemos notar que en la ecuación (6.2) y′ denota la derivada coordenada acoordenada, cuando b(x) es el vector 0 el sistema de ecuaciones diferenciales se dicehomogéneo y en caso contrario, se dice que el sistema es no homogéneo. Diremosque el sistema (6.1) es de coe�cientes constantes si todas las funciones aij(x) sonconstantes, o equivalentemente si la matriz A(x) es constante.

Una ecuación diferencial lineal de orden n es una expresión de la forma (6.3)an(x)yn + an−1(x)y

(n−1) + an−2(x)(x)y(n−2) + ...+ a1(x)y

′ + a0(x)y = c(x),

6. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental 121

donde las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, y c(x) están de�nidas en un intervalo I y soncontinuas. Si la función an(x) es tal que an(x) 6= 0 para todo x de I, entonces laecuación (6.3) se puede reescribir como (6.4)

y(n) + cn−1y(n−1) + cn−2y

(n−2) + ...+ c1(x)y′ + c0(x)y = d(x),

siendo las funciones ci(x), 1 ≤ i ≤ n, y d(x) continuas en el intervalo I. Se-guidamente hacemos notar al alumno que la ecuación diferencial anterior se puedereescribir como un sistema diferencial lineal introduciendo las variables yi = y(i−1),1 ≤ i ≤ n:

y′1

y′2...

y′n

=

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

−c0(x) −c1(x) −c2(x) ... −cn−1(x)

y1

y2

...

yn

+

0

0

...

d(x)

Planteamos este tema de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales de manera

que iremos de lo general a lo particular, en particular veremos primero las propieda-des que satisfacen las soluciones de las expresiones (6.1) y (6.4) para después pasar alcálculo efectivo de dichas soluciones, aunque aclaramos ya, que no seremos capacesde resolver todos los casos posibles que se pueden plantear a priori.T6.2. Existencia y unicidad de soluciones

Empezamos esta sección mostrando que los sistemas de ecuaciones diferencialeshomogéneos tienen solución única una vez �jada una condición inicial. El siguienteteorema resume dicha existencia y unicidad de soluciones.Teorema T6.1(Existencia y unicidad de soluciones). Dado el sistema de ecua-

ciones diferenciales y′ = A(t) + b(t), siendo cada componente de A y b funciones

continuas de�nidas en un intervalo I. Entonces, el problema de Cauchy

y′ = A(t)y+ b(t),y(t0) = y0,

tiene solución única de�nida en todo el intervalo I.La demostración de este teorema la consideramos fuera del objetivo de este curso,

sí diremos en cambio que la solución del problema de Cauchy, y(t), satisface (6.6):y(t) = y0 +

∫ t

t0

(A(s)y(s) + β(s))ds.


Y recíprocamente, cualquier función y(t) que satisfaga la ecuación integral an-terior será solución del problema de Cauchy.

Por otro lado, este teorema de existencia y unicidad de soluciones implica laexistencia y unicidad de soluciones para la ecuación lineal de orden n en los términosque damos a continuación:Teorema T6.2 (Existencia y unicidad de soluciones). El problema de Cauchy:

y(n) + a1(t)y(n−1) + ...+ an−1y

′ + an(t) = b(t)

y(t0) = y0,1,

y′(t0) = y0,2,

...................

y(n−1)(t0) = y0,n,

para funciones continuas a1(t), a2(t),..., an(t) y b(t) de�nidas en un intervalo I tiene

solución única.T6.3. Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal

Empezamos ocupándonos de la estructura de las soluciones del sistema homogé-neo (6.7)

y′ = A(t)yen particular demostraremos el resultado que sigue.Teorema T6.3. Las soluciones del sistema lineal homogéneo (6.7) tienen estruc-

tura de espacio vectorial sobre R. Además su dimensión es n (n es el número de

componentes de y).De�nimos a continuación la noción de matriz fundamental asociada al sistema

(6.7) que no es más que una matriz Y (t) cuyas columnas constituyen una base delas soluciones de (6.7). Ahora se puede ver sin di�cultad que si Y (t) es una matrizfundamental, entonces para cualquier matriz C ∈ Mn(R) invertible, de númerosreales, se tiene que Y (t)C es una matriz fundamental. Recíprocamente, para cual-quier matriz fundamental Z(t), existe una matriz invertible C de números reales talque Z(t) = Y (t)C. Usando este resultado se puede probar fácilmente la siguientecaracterización.Teorema T6.4. Sea Y ∈Mn(C(I)) cuyas columnas son solución de (6.7). Entoncesson equivalentes:


1. Y (t) es una matriz fundamental,2. existe t0 ∈ I tal que detY (t0) 6= 0,3. para todo t ∈ I, detY (t) 6= 0.

Resolución del sistema no homogéneo a partir de una matriz fundamentalSi ahora consideramos el sistema lineal no homogéneo, sus soluciones tienen

también una determinada estructura algebraica tal y como reza el resultado quesigue.Teorema T6.5. El conjunto de soluciones del sistema (6.2) (y′ = A(t)y + b(t))tiene estructura de variedad afín de dimensión n sobre R. Es decir, toda solución

y(t) del sistema tiene la forma

y(t) = α1y1 + α2y2 + ...+ αnyn + yp(t),

donde αi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n. Las funciones y1(t), y2(t),..., yn(t) son soluciones

linealmente independientes de (6.7) e yp es una solución particular del sistema (6.2).A la luz de este teorema conviene resaltar en este punto que tenemos ante noso-

tros dos problemas de envergadura para encontrar las soluciones de (6.2). El primerode ellos es encontrar una matriz fundamental de (6.7) (este problema, que para elcaso unidimensional era muy fácil, será tratado posteriormente aunque no podremosabordarlo totalmente). El segundo es encontrar una solución particular de (6.2), paraello utilizaremos el principio de superposición de soluciones y el método de variaciónde las constantes. Este último consiste en buscar una solución particular de (6.2)entre funciones de la forma

yp(t) = Y (t)(c1(t), c2(t), ..., cn(t))t,

para una adecuada función c(t), la cual veremos que debe satisfacerc(t) =

∫Y −1b(t)dt.

Con lo cual las soluciones de la ecuación (6.7) será:y(t) = Y (t)k+ Y (t)

∫Y −1b(t)dt

para cada vector constante k. Por otro lado justi�caremos que el problema de Cauchytendrá por solución (6.8):

y(t) = Y (t)Y −1(t0)y0 + Y (t)

∫ t

t0

Y −1(s)b(s)ds.


Concluiremos la sección poniendo un ejemplo que clari�cará a los alumnos losmétodos introducidos.Ejemplo T6.6. Resolver el problema de Cauchy:

y′ = 0 1

−1 0

y+

sen(t)

cos(t)

,

y(0) =

1

0

teniendo en cuenta que una matriz fundamental del mismo es

Y (t) =

sen(t) cos(t)

cos(t) − sen(t)

.

Solución: Aplicamos la solución dada por (6.8) y obtenemos tras calcular:

y(t) =

cos(t) + t sen(t)

− sen(t) + t cos(t)

.

T6.4. Estructura de las soluciones de la ecuación linealAprovechando la estructura que satisfacen las soluciones de los sistemas lineales

y utilizando la relación que existe entre sistemas de ecuaciones lineales y ecuacioneslineales, según se ha visto en la introducción del desarrollo de los contenido deeste tema, vamos a dar un teorema de estructura de las soluciones de la ecuacióndiferencial lineal homogénea de grado n (6.9):

y(n) + cn−1(t)y(n−1) + cn−2(t)y

(n−2) + ...+ c1(t)y′ + c0(t)y = 0,

siendo ci(t), 0 ≤ i ≤ n− 1, y d(t) funciones continuas de�nidas en un intervalo I.En primer lugar podemos establecer:

Teorema T6.7. Las soluciones de (6.9) forman un espacio vectorial real de dimen-

sión n.El teorema anterior nos permite de�nir un sistema fundamental de soluciones de

(6.9) como una base {y1(t), y2(t), ..., yn(t)} del espacio de soluciones de (6.9). Debidoa que cualquier solución de nuestra ecuación lineal homogénea será de la forma:

y(t) = α1(t)y1(t) + α2(t)y2(t) + ...+ αn(t)yn(t).


Será importante disponer de alguna herramienta para saber si un conjunto de solu-ciones de (6.9) es un sistema fundamental o no. Para ello introducimos seguidamentela noción de wronskiano.De�nición T6.8 (Wronskiano). Dado un conjunto de funciones z1(t), z2(t),...,zn(t) de clase Cn−1, de�nimos el wronskiano de dicho conjunto en un punto t como:

W (z1(t), z2(t), ..., zn(t)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1(t) z2(t) ... zn(t)

z′1(t) z′2(t) ... z′n(t)

... ... ... ...

z(n−1)1 (t) z

(n−1)2 (t) ... z

(n−1)n (t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

La de�nición de wronskiano nos permite reescribir el Teorema 6.4 como sigue:Teorema 6.9. Sean y1(t), y2(t),... , yn(t) soluciones de (6.9). Entonces las siguentesa�rmaciones son equivalentes :1. y1(t), y2(t),... , yn(t) es un sistema fundamental,2. existe t0 ∈ I tal que W (y1(t0), y2(t0), ..., yn(t0)) 6= 0,3. para todo t ∈ I, W (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) 6= 0.El Teorema 6.5 tiene un análogo para la ecuación diferencial lineal de orden n:

Teorema 6.10. El conjunto de soluciones de (6.4) tiene estructura de variedad afín

de dimensión n sobre el cuerpo de los números reales. Es decir, toda solución y(t)

de (6.9) es de la forma

y(t) = α1y1(t) + α2y2(t) + ...+ αnyn(t) + yp(t),

donde αi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n, el conjunto y1(t), y2(t),... , yn(t) constituye un sistema

fundamental de la ecuación homogénea (6.9) e yp(t) es una solución particular del

problema no homogéneo.Resolución de la ecuación no homogénea a partir de un sistema funda-mental de soluciones

En este caso, para encontrar la solución particular de la ecuación no homogé-nea, aplicaremos el método de variación de las constantes buscando una soluciónparticular que sea de la forma

yp(t) = e1(t)y1(t)(t) + e2(t)y2(t) + ...+ en(t)yn(t).


Veremos además para concluir esta sección, que las funciones ei(t) veri�can(6.10):

e1(t)

e2(t)

...

en(t)

=

∫

y1(t) y2(t) ... yn(t)

y′1(t) y′2(t) ... y′n(t)

... ... ... ...

y(n−1)1 (t) y

(n−1)2 (t) ... y

(n−1)n (t)

0

0

...

b(t)

dt,

donde la integral anterior se entiende que se toma componente a componente. Ilus-traremos este método a los alumnos aplicándolo a la ecuación

y′′ − 3

ty′ +

3

t2y = 2t− 1,

para la que suponemos conocido que {t, t3} es un sistema fundamental de la ecuaciónhomogénea.

Siguiendo las indicaciones generales antes dadas buscamos una solución particu-lar de la forma

yp(t) = e1(t)t+ e2(t)t3

donde las funciones e1 y e2 deben ser elegidas como en (6.10). Por lo tanto: e1(t)

e2(t)

=

− t2

2+ t

2

log(t) + 12t

.

Así que la solución general de la ecuación y′′ − 3ty′ + 3

t2y = 2t− 1, es

y(t) = c1t+ c2t3 + t2 + t3log(t),

con c1 y c2 dos números reales arbitrarios.

Tema 7. Ecuaciones y sistemas

lineales. Resolución y aplicaciones

Este tema tiene tres partes diferenciadas: resolución de sistemas lineales de ecua-ciones diferenciales de orden uno, resolución de ecuaciones lineales de orden n yaplicaciones de dichas ecuaciones y sistemas. Pensamos que es uno de los temas másimportantes de los que vamos a ver en ecuaciones diferenciales por las aplicacionesque de él daremos. El tema que vamos a presentar es bastante largo y complicadopara una primera toma de contacto. No obstante, si el alumno trabaja las hojas deproblemas, la di�cultad a la hora de aplicar lo aprendido no suele ser alta puesto quelos métodos son bastante fáciles de aprender por las similitudes que presentan entreellos. En cuanto a los métodos de resolución presentados, lo más destacado puedeser el no uso de la forma canónica de Jordán para el cálculo de la exponencial deuna matriz. La razón de no hacerlo es la imposibilidad de dar esta forma canónicaen asignaturas tan cortas como la Ampliación de Matemáticas de . Por otro lado,conviene tener en cuenta que los métodos que se presentan no son operativos parasistemas de más de cuatro ecuaciones debido al tiempo que se tiene que emplear parasu resolución. En cuanto a las ecuaciones diferenciales lineales nos ocuparemos deaquéllas que tienen coe�cientes constantes, para pasar después al método de los coe-�cientes indeterminados a la hora de buscar soluciones de la ecuación no homogéneacon término independiente siendo combinación lineal con coe�cientes polinómicos desenos y cosenos, todo ello multiplicado por una exponencial. Este método supondráuna alternativa al método variación de las constantes estudiado con anterioridad.También se estudiará el método de los coe�cientes indeterminados en la resoluciónde sistemas no homogéneos. Una vez estudiadas las ecuaciones lineales de orden nse verá cómo transformar un sistema lineal en un ecuación lineal para utilizar losmétodos de resolución de éstas y obtener así también las soluciones del sistema li-neal. Por último veremos aplicaciones de los sistemas y las ecuaciones lineales en la

128 Tema 7. Ecuaciones y sistemas lineales.

ecuación de la viga, circuitos eléctricos, osciladores armónicos acoplados y oscilado-res armónicos no acoplados. Las fuentes recomendadas para el seguimiento de estetema son: [B 93], [Jim 00, Capítulo 3] , [Jef 93, Capítulo 5], [NOR 95, Capítulo 7],[Lóp 01]. Para las aplicaciones a las ciencias experimentales son de interés: [Ada 67,p. 101�112], [BP 96, p. 165�186] y [Sim 93, p. 111�119] .Objetivos del tema

Calcular la exponencial de una matriz usando el teorema de Cayley-Hamilton.Utilizar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneosde orden 1.Utilizar el método de los coe�cientes indeterminados para resolver sistemas deecuaciones lineales no homogéneos.Utilizar métodos de resolución de ecuaciones lineales homogéneas de orden n.Utilizar el método de los coe�cientes indeterminados para resolver ecuacioneslineales no homogéneas.Modelar osciladores mecánicos y circuitos mediante ecuaciones y sistemas deecuaciones lineales.Extraer conclusiones de los modelos de osciladores mecánicos y circuitos.Resolver la ecuación de la viga.

Temporalización Se dedicarán 6 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT7.1. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden nExponencial de una matriz real

Haciendo algunas analogías con la exponencial real podemos introducir al alumnoel concepto de exponencial de una matriz A ∈Mm(C(I)).De�nición 7.1. Dada una matriz A ∈Mm(C(I)) donde I es un intervalo cualquie-

ra, se de�ne la exponencial de dicha matriz como

exp(A) = eA :=∞∑

k=0

Ak

k!

7. Ecuaciones y sistemas lineales. 129

No demostraremos que esta de�nición tiene sentido, ya que sería necesario intro-ducir el concepto de norma matricial y convergencia de series funcionales que hastaeste momento el alumno no ha estudiado. Además enunciaremos las propiedadesmás importantes de la exponencial:1. A y eA conmutan,2. la exponencial de la matriz 0 es la matriz identidad Im,3. si AB = BA entonces eAB = eAeB,4. la matriz eA es siempre invertible siendo su inversa e−A,5. si P es una matriz invertible y A = PBP−1 entonces eA = PeBP−1.La última propiedad tiene una importancia especial para calcular la exponencial

de matrices diagonalizables, en efecto, si A es una matriz real diagonalizable detamaño m×m, existirá una matriz invertible P tal que D = PAP−1 es una matrizdiagonal:

D =

λ1 0 ... 0

0 λ2 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... λn

por lo tanto eA = P−1eDP . Además el cálculo de la exponencial de D es trivial:

Proposición 7.2. Usando la notación de esta sección, se tiene:

etD =

eλ1 0 ... 0

0 eλ2 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... eλn

.

Aplicación de la exponencial a la resolución de sistemas homogéneosEs el momento de aclarar al alumno el porqué de�nir la exponencial de una

matriz. en particular es interesante ver cuál es la derivada de la exponencial deuna matriz de funciones. El siguiente resultado, que no demostraremos, explica elcomportamiento de la derivada.


Teorema 7.3. Sea B(t) una matriz de funciones de�nidas en un intervalo I ⊂ R.Si B(t) es derivable siendo todas las componentes de B′(t) continuas, entonces eB(t)

es derivable con derivadas continuas.Además, si B(t)B′(t) = B′(t)B(t) entonces

(eB(t))′ = B′(t)eB(t).

Como consecuencia de este teorema obtenemos el siguiente resultado que tienegran importancia y cuya prueba no ofrece di�cultad.Teorema 7.4. Sea A(t) una matriz de funciones de�nidas en el intervalo I y de

tamaño n × n y sea B(t) una primitiva de A(t). Si B(t)A(t) = A(t)B(t) entonces

la matriz eB es una matriz fundamental del sistema lineal homogéneo y′ = A(t)y.En particular, si A(t) es constante, entonces etA es una matriz fundamental del

sistema y′ = Ay. Además, y(t) = e(t−t0)Ay0 es la solución del problema de Cauchy :y′ = Ay,

y(t0) = y0.

Es importante pues, que los alumnos noten que no siempre el método de laexponencial de una matriz conducirá a encontrar la solución de un sistema de ecua-ciones diferenciales, aunque en el caso de que la matriz sea constante el método serásu�ciente para resolver el sistema diferencial.

Otra observación es que, aunque la matriz asociada al sistema diferencial linealsea constante, no siempre es fácil calcular la exponencial, de momento sólo sabemoscalcularla para matrices diagonalizables. Por ello debemos desarrollar otros métodospara calcular la exponencial que no involucren la matriz de Jordán, pues en Funda-mentos Matemáticos no se explica debido al poco tiempo disponible. Desarrollaremosun método basado en el teorema de Cayley�Hamilton. Antes un ejemplo.Ejemplo 7.5. Resolver el sistema y′ = A(t)y, siendo

A(t) =

0 1

−1 0

Solución: empezamos calculando una primitiva de A(t), que será

B(t) =

−t 0

t2

2−t


ahora comoA(t)B(t) = B(t)A(t) =

t 0

−3t2

2t

,

entonces eB(t) es una matriz fundamental del sistema. En este caso la exponenciales fácil de calcular. Para ello descomponemos la matriz B(t) como

B(t) =

−t 0

0 −t

+

0 0

t2

20

estas dos matrices conmutan y por lo tanto

eB(t) = exp

−t 0

0 −t

+ exp

0 0

t2

20

.

Recurrimos a la de�nición para calcular las dos exponenciales anteriores y seobtiene:1.

exp

−t 0

0 −t

=

e−t 0

0 e−t

,

2.

exp

0 0

t2

20

=

1 0

0 1

+

0 0

t2

20

+

0 0

0 0

=

1 0

t2

21

.

Por lo tanto:

eB(t)

e−t 0

0 e−t

1 0

t2

21

=

e−t 0

e−t t2

2 e−t

,

y la solución del sistema es:

y(t) =

c1e−t

(c1t2

2+ c2)e

−t

donde c1 y c2 son constantes reales.Un método para construir la exponencial de una matriz basado en elteorema de Cayley�Hamilton


Centramos nuestros esfuerzos en esta sección en dar un método efectivo paraconstruir la exponencial de una matriz eAt, siendo A una matriz de Mm(R). Dichométodo está basado en el Teorema de Cayley�Hamilton.

Supongamos que pA(x) es el polinomio característico de la matriz A y que suespectro es σ(A) = {λ1, λ2, ..., λk} con multiplicidades m(λi) = ri para todo 1 ≤i ≤ k. Empezamos buscando para cada i, 1 ≤ i ≤ k, polinomios ai(x) de grado a losumo ri − 1 de manera que se tenga la igualdad:

1

pA(x)=

k∑i=1

ai(x)

(x− λi)ri,

de donde se deduce:1 =

k∑i=1

ai(x)pA(x)

(x− λi)ri.

Seguidamente evaluamos el polinomio anterior en x = A, de donde se tiene1:

Im =k∑

i=1

ai(A)pA(A)

(A− λi)ri.

que se puede escribir abreviadamente como:

Im =k∑

i=1

ai(A)qi(A) con qi(A) =pA(A)

(A− λi)ri.

Observemos que para todo i, 1 ≤ i ≤ k,

eAx = eλixIme(A−λiIm)x = eλix

∞∑j=0

(A− λiIm)jxj

j!,

y ahora multiplicando por qi(A):

qi(A)eAx = eλix

ri−1∑j=0

(A− λiIm)jxj

j!,

ya que por el Teorema de Cayley�Hamilton, para todo j ≥ ri, qi(A)(A − λiIm)j =

PA(A)(A− λiIm)j−ri = 0.

1La expresiónpA(A)

(A−λi)rino tiene sentido, ya que, no es posible que en un cociente haya una

matriz. Así que dicha expresión, por convenio, será una forma abreviada de escribir la matriz∏nj=1,j 6=i(A− λj)rj


Multiplicamos ahora la ecuación anterior por ai(A) y obtenemos:

ai(A)qi(A)eAx = eλix

ri−1∑j=0

ai(A)qi(A)(A− λiIm)jxj

j!.

Por último, sumamos las ecuaciones anteriores desde i = 1 hasta i = k paraobtener:

eAx =k∑

i=1

(eλixai(A)qi(A)

ri−1∑j=0

(A− λiIm)jxj

j!

).

Proponemos seguidamente un ejemplo para aclarar el método dado de construc-ción de la exponencial.Ejemplo 7.6. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

x′ = 4x+ 2y

y′ = 3x+ 3y

Solución: según lo expuesto hasta ahora, debemos calcular previamente exp(Aa),siendo

A =

4 2

3 3

.

Se ve fácilmente que pA(x) = (x− 1)(x− 6), σA = {λ1 = 1, λ2 = 6}, a1(x) = −15y

a2(x) = 15, de donde

eAx = ex

(−1

5

)I2(A− 6I2) + e6x 1

5I2(A− I2) =

1

5

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

y por lo tanto cualquier solución del sistema será del tipo

y(x) =1

5

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

c1

c2

.

Exponemos otro ejemplo donde hay que utilizar los números complejos.Ejemplo 7.7. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:

x′ = 3x− 5y

y′ = x− y.


Solución: en un primer paso calculamos exp(Bx) con

B =

3 −5

1 −1

Como pB(x) = (x − 1 − i)(x − 1 + i), σB = {λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i}, a1(x) = 1

2iy

a2(x) = − 12i, se tiene

eBx = e(1+i)x 1

2iI2[A−(1− i)I2]− e(1−i)x 1

2iI2[A− (1 + i)I2] =

ex

2 sen(x) + cos(x) −2 sen(x)

sen(x) −2 sen(x) + cos(x)

.

Así que cualquier solución del sistema será del tipo

y(x) =

2 sen(x) + cos(x) −2 sen(x)

sen(x) −2 sen(x) + cos(x)

c1

c2

.

Acabamos esta sección resolviendo un sistema no homogéneo por el método devariación de las constantes.Ejemplo 7.8. Resolver el sistema:

x′ = 4x+ 2y + et

y′ = 3x+ 3y

Solución: para esta ecuación ya hemos encontrado la solución del sistema linealhomogéneo. Así que debemos encontrar una solución particular del sistema no ho-mogéneo con el método de variación de las constantes. Calculamos pues. c1(x)

c2(x)

=1

5

∫ 3e−6x + 2e−x 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3e−x

ex

0

dx

=1

5

∫ 3e−5x + 2

3e−5x − 3

dx =1

5

−3e−5x

5+ 2x+ c1

−3e−5x

5− 3x+ c2

así que una solución particular del sistema será

yp(x) =1

5

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

1

5

−3e−5x

5+ 2x

−3e−5x

5− 3x

=

1

25ex

10x− 3

3− 15x

.


Y la solución general del sistema será:

yg(x) =

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

c1

c2

+1

25ex

10x− 3

3− 15x

.

El cálculo hecho de la exponencial de una matriz en esta sección nos va a darla estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Enparticular, la interpretación de la ecuación A2.2 permite probar la proposición quesigue.Proposición 7.9. Sean A ∈Mm(R) e y(t) una solución de y′ = Ay. Entonces cadauna de las coordenadas de y(t) es una combinación lineal de las funciones

tketa cos(tb), tketa sen(tb),

donde a + bi recorre el conjunto de los valores propios de A con b ≥ 0 y 0 ≤ k <

m(a+ bi).Resolución de sistemas diferenciales lineales no homogéneas por el méto-do de los coe�cientes indeterminados

Anteriormente se vio como intentar buscar soluciones de una ecuación diferencialno homogénea cuando conocíamos una matriz fundamental del sistema homogéneo.El propósito de esta sección es dar una alternativa a dicho método cuando el términono homogéneo es de una forma determinada, el procedimiento que explicamos acontinuación supone una extensión del que dimos para las ecuaciones lineales nohomogéneas de orden uno en un capítulo anterior.

Seay′ = Ay+ b(t)

un sistema de ecuaciones lineales tal que la matriz A pertenece aMm(R) y el términoindependiente es de la forma b(x) = eat[cos(bt)p(t) + sen(bt)q(t)] donde p y q sonvectores columna que tienen en cada una de sus componentes polinomios de gradoa lo sumo k ∈ N. Tomemos µ = a+ bi, entonces:

1. Si µ no es un valor propio de A entonces el sistema tiene una solución particularde la forma yp(t) = b(x) = eat[cos(bt)r(t) + sen(bt)s(t)], siendo r y s vectorescolumna cuyas coordenadas son polinomios en t de grado a lo sumo k.


2. Si µ es un valor propio de A entonces la ecuación tiene una solución particularde la forma yp(t) = b(x) = eat[cos(bt)r(t) + sen(bt)s(t)], siendo r y s vectorescolumna cuyas coordenadas son polinomios en t de grado a lo sumo k+m(µ).

Para ilustrar el método proponemos el siguiente ejemplo.Ejemplo 7.10. Buscar una solución particular del sistema

y′ = 1 2

−2 1

y+

cos(2t)

− sen(2t)

sabiendo que

etA =

et cos(2t) et sen(2t)

−et sen(2t) et cos(2t)

.

Solución: a la vista del término independiente del sistema y teniendo en cuentaque los valores propios de A son 1 + 2i y 1 − 2i, el resultado anterior garantiza laexistencia de una solución de la forma:

yp(t) = cos(2t)

a

b

+ sen(2t)

c

d

para ciertas constantes reales a, b, c, d. Imponiendo ahora que yp sea solución de laecuación obtenemos un sistema lineal de ecuaciones numéricas que da los valores a,b, c y d. Estos valores son a = −1, b = 0, c = 0 y d = 1. Luego

yp(t) =

− cos(2t)

sen(2t)

.

T7.2. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coe�cientes cons-tantes

Recordamos que por una ecuación lineal con coe�cientes constantes entendemosuna expresión del estilo:

y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y

′ + any = b(t)

donde ai ∈ R para todo i ∈ {1, 2, ..., n} y b(t) es una función continua de�nida enun intervalo I. En esta sección nos dedicaremos a dar las estrategias a seguir para


resolver la ecuación. Recordamos que la resolución de la ecuación completa requierede la solución de la ecuación homogénea

y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y

′ + any = 0

y de encontrar una solución particular de la ecuación no homogenea. Nos ocupamosahora de buscar un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogeneabuscando soluciones de la forma y(t) = erx con r ∈ C. Derivando y(t) n veces ysustituyendo en la ecuación diferencial homogénea tenemos que:

(rn + a1rn−1 + ...+ an−1r + an)erx = 0,

y como la exponencial nunca se anula se tiene que tener rn+a1rn−1+...+an−1r+an =

0, es decir, r ha de ser raíz de la ecuación zn + a1zn−1 + ... + an−1z + an = 0

que recibe el nombre de ecuación característica. Por otro lado el polinomio p(z) =

zn + a1zn−1 + ...+ an−1z + an se llama polinomio característico.

Es más, veremos el siguiente resultado:Teorema 7.11. Si la ecuación característica de la ecuación diferencial de orden

n homogénea y con coe�cientes constantes tiene por soluciones las raíces reales

a1,a2,...,aj con multiplicidades r1, r2, ..., rn y las raíces complejas α1 + β1i, α2 +

β2i,...,αh + βhi con multiplicidades s1, s2, ..., sh, entonces el conjunto:j⋃

l=1

{xtealt : 0 ≤ t < rl} ∪h⋃

l=1

{xteαlt cos(βlt), xteαlt sen(βlt) : 0 ≤ t < sl}

es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea.Resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el mé-todo de los coe�cientes indeterminados

Ya se discutió cómo proceder a la búsqueda de una solución particular de laecuación diferencial no homogénea cuando conocíamos un sistema fundamental de laecuación homogénea. No obstante cuando el término no homogéneo es de una formadeterminada, el método de los coe�cientes indeterminados tiene una extensión a estecontexto.Teorema 7.12 (Coe�cientes indeterminados). Sea la ecuación lineal de orden

n con coe�cientes constantes:

y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y

′ + any = eat[p(t) cos(bt) + q(t) sen(bt)],

tal que p(t) y q(t) son polinomios de grado a lo sumo k ∈ N ∪ {0} y sea µ = a+ bi.Entonces:


1. Si µ no es una raíz de la ecuación característica entonces la ecuación tiene

una solución particular de la forma yp(t) = eat[r(t) cos(bt) + s(t) sen(bt)] con

r y s polinomios de grado a lo sumo k.2. Si µ es una raíz de la ecuación característica de multiplicidad l entonces la

ecuación tiene una solución particular de la forma yp(t) = eat[r(t) cos(bt) +

s(t) sen(bt)] con r y s polinomios de grado a lo sumo k.

Ejemplo 7.13. Resolver la ecuación y′′′ − 4y′ = t+ 3 cos(t) + e−2t.Solución: la ecuación característica λ3− 4λ = 0 tiene como raíces a 0, 2 y −2 con loque la solución general de la ecuación homogénea será:

yh(t) = c1 + c2e2t + c3e

−2t.

Ahora calculamos una soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas:1. y′′′ − 4y′ = t,2. y′′′ − 4y′ = 3 cos(t),3. y′′′ − 4y′ = e−2t,

utilizando el teorema anterior. Por el principio de superposición de las soluciones setendrá que una solución de y′′′ − 4y′ = t + 3 cos(t) + e−2t se puede obtener comosuma de soluciones particulares de las tres ecuaciones anteriores, respectivamenteyp1, yp2, e yp3.

Como λ = 0 es raíz de la ecuación característica de multiplicidad 1, se debebuscar yp1 tal que:

yp1(t) = t(at+ b) = at2 + bt.

Imponiendo que yp1 sea solución de la primera ecuación, se tiene que yp1(t) = − 18t2.

Por otro lado, como i no es solución de la ecuación característica entones busca-mos yp2(t) = c cos(t) + d sen(t). Por último, como -2 es raíz de la ecuación caracte-rística de multiplicidad 1 buscamos yp3(t) = fte−2t. Haciendo cálculos obtenemos:yp2(t) = − 3

5 sen(t)e yp3(t) = 1

8te−2t .Por lo tanto, la solución general de la ecuación primera es:

y(t) = c1 + c2e2t + c3e

−2t − 1

8t2 − 3

5sen(t) +

1

8te−2t.


T7.3. Reducción de un sistema lineal a una ecuación lineal de orden su-perior

Este método consiste en pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales linealesa una ecuación lineal de orden superior mediante un proceso similar al del métodode Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales numéricos, para los detalles sepuede consultar [Jim 00, p. 138�142]. Concretamente se pretenderá resolver sistemasde la forma:

L11(y1) + L12(y2) + ...+ L1n(yn) = b1(t),

L21(y1) + L22(y2) + ...+ L2n(yn) = b2(t),

........................

Ln1(y1) + Ln2(y2) + ...+ Lnn(yn) = bn(t),

donde para cada (i, j) ∈ {1, 2, ..., n}2, Lij es un operador lineal de la forma Lij(y) =

amijy

(m) + am−1ij y(m−1) + ... + a1

ijy′ + a0

ijy con akij ∈ R para todo k ∈ {1, 2, ...,m}.

Basándonos en el hecho de que dos operadores lineales de este tipo conmutan, sepuede reducir el sistema a un sistema triangular. A la hora de realizar las operacionesalgebraicas para triangularizar el sistema, será de interés simpli�car la notaciónutilizando la igualdad Dmy = y(m), con lo que el sistema se reescribe como:

p11(D)y1 + p12(D)y2 + ...+ p1n(D)yn = b1(t),

p21(D)y1 + p22(D)y2 + ...+ p2n(D)yn = b1(t),

........................

pn1(D)y1 + pn2(D)y2 + ...+ pnn(D)yn = b1(t),

donde ahora cada pij(D) son polinomios en D y mediante las operaciones algebraicasahora se triangulariza el sistema.

Para ilustrar el método resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:x′ = −6x− 3y + 14z,

y′ = 4x+ 3y − 8z,

z′ = −2x− y + 5z.

Para ello empezamos reescribiendo el sistema anterior utilizando el operador


derivación D:(D + 6)x+ 3y − 14z = 0,

−4x+ (D − 3)y + 8z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0.

Ahora eliminamos la variable y de dos ecuaciones restando a la primera ecuacióntres veces la tercera y a la segunda (D − 3) veces la tercera:

Dx+ (−3D + 1)z = 0,

(−2D + 2)x+ (−D2 + 8D − 7)z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0.

Eliminamos seguidamente x de una de las ecuaciones anteriores, para ello sumamosa la segunda ecuación dos veces la primera:

Dx+ (−3D + 1)z = 0,

2x+ (−D2 + 2D − 5)z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0.

y a continuación se le resta a la primera ecuación la segunda multiplicada por D2:

(1

2D3 −D2 +

5

2D − 3D + 1)z = 0,

2x+ (−D2 + 2D − 5)z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0,

obteniéndose el sistema triangular deseado. Ahora se resuelven las ecuaciones linealesobtenidas de arriba hacia abajo y el proceso concluye.T7.4. Aplicaciones a la ciencia de las ecuaciones y sistemas diferencialeslineales

En esta sección explicaremos a los alumnos cómo aplicar los conocimientos apren-didos en este tema a problemas de la ciencia. En particular detallaremos problemasde vigas que suponemos importantes puesto que nuestros alumnos van encaminadosa obtener el título de Arquitécto Técnico. Aparte de este ejemplo veremos una apli-cación a los circuitos eléctricos que les será de utilidad en la asignatura de física. Porúltimo también detallaremos el estudio de osciladores acoplados y no acoplados.


Una aplicación a las construcciones arquitectónicasEl uso de vigas en la construcción requiere estudiar el material del que están

hechas y su colocación para saber cuál será la �exión de la viga una vez colocada.En este apartado nos ocuparemos sólo de vigas construidas uniformemente y paraaproximarnos a su estudio podemos suponer que una viga está constituida por �brasdistribuidas longitudinalmente, véase la viga �exada de la Figura 7.1, donde las �brassuperiores están comprimidas y las inferiores alargadas.

Figura 7.1. VigaEl objetivo que nos marcamos es obtener la curva descrita por la �bra que, antes

de �exar la viga, ocupaba el eje horizontal de la viga. Esta curva se denomina curvaelástica o curva de �exión. Por otro lado denominaremos super�cie de separación

de la viga al plano �exado que contiene la curva elástica o de �exión.Con objeto de encontrar dicha curva �jamos una sección transversal de la viga

a una distancia x del extremo izquierdo, denotemos por AB la intersección de lasección transversal de la viga con la super�cie de separación de la viga y por Q(x, y)

a la intersección de AB con la curva elástica. Según la mecánica se sabe que elmomento M con respecto a AB de todas las fuerzas que actúan sobre cualquiera delos dos segmentos en los que AB divide a la curva elástica es:

independiente del segmento considerado,viene dado por

M =EI

R


donde E es la elasticidad de la viga, I el momento de inercia de la sección transversalcon respecto a AB y R es el radio de curvatura de la curva elástica en el puntoQ(x, y).

Para visualizar mejor el problema hacemos de la viga un objeto unidimensional,considerando sólo la curva elástica, con lo que la sección transversal queda reducidaal punto P . Además imponemos una condición adicional al problema, debido a quela pendiente de la curva y(x) es pequeña haremos la aproximación

R =1 + y′(x)

y′′(x)≈ 1

y′′(x).

Retomando la ecuación M = EIR

y la aproximación anterior para R obtenemospara el momento la ecuación

EIy′′(x) = M,

donde el momento �ector M será la suma de los momentos de las fuerzas exterioresque actúan sobre el segmento de la viga respecto al punto P tomando por convenioque las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y hacia abajo negativos.

Vamos a estudiar ahora dos casos concretos, el primero el de una viga apoyadasobre dos puntos y el segundo el de una viga empotrada a la pared.

VIGA APOYADA SOBRE DOS PUNTOS

Estudiamos en este apartado la �exión de una viga de carga uniforme de c New-tons por metro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en supunto medio (véase la Figura 7.2).

Consideramos las fuerzas que aparecen sobre el segmento OP de la viga, éstasson:

1. una fuerza hacia arriba en O igual a la mitad del peso total, es decir a = cl+b2

Newtons,2. una fuerza de cx Newtons que podemos suponer concentrada en el punto

(x2, y(x

2)),

3. además, cuando l2≤ x ≤ l entra en juego la fuerza de módulo b en el punto

medio de la viga, a x− l2metros de P .


Figura 7.2. Viga apoyada sobre dos puntos

Así que el momento �ector en P será:

M1 =cl + b

2x− cx

x

2=cl + b

2x− c

x2

2six ≤ l

2

yM2 =

cl + b

2x− cx

x

2− b(x− l

2) =

bl

2+cl − b

2x− c

x2

2six ≥ l

2.

A continuación hacemos notar que podemos adoptar una notación conjunta parael momento �ector, en efecto, obsérvese que

Mi =clx

2− cx2

2+ (−1)i b

2(x− l

2) +

bl

4,

de donde resulta la ecuación diferencial a resolver:Eiy′′(x) =

clx

2− cx2

2+ (−1)i b

2(x− l

2) +

bl

4.

Integramos ahora la ecuación anterior dos veces para obtener:EIy(x) =

cl

12x3 − c

24x4 + (−1)i b

12(x− l

2)3 +

bl

8x2 + ex+ d,

e imponiendo las condiciones de contorno y(0) = y(l) = 0 obtenemosd =

bl

24

ye =

cl3 − bl2 − b

24.


Hacemos notar por último que para calcular y(0) tomamos i = 1 y para el cálculode y(l) elegimos i = 2. Proponemos ahora al alumno encontrar cuándo la funcióny alcanza un mínimo y cuál es su valor, problema que tiene gran importancia a lahora de colocar vigas.

VIGA EMPOTRADA EN LA PAREDEstudiamos ahora la �exión de una viga de carga uniforme de c Newtons por

metro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en su puntomedio (véase la Figura 7.3). En este caso la novedad es que la viga no está apoyadaen dos puntos sino que se encuentra empotrada, esto conlleva a que la pendiente dela curva elástica y(x) veri�que las condiciones de contorno y′(l) = y′(0) = 0 ademásde las mismas condiciones que antes y(l) = y(0) = 0.

Figura 7.3. Viga empotradaEstudiamos por separado la curva elástica y(x1) para los valores de x1 entre 0 y

l2y por otro lado para los valores de x1 entre l

2y l. Empezamos considerando las

fuerzas que actúan sobre OQ1 con 0 ≤ x1 ≤ l2:

1. un par de momento desconocido K, que actúan en O debido a la acción de lapared sobre la viga,

2. un empuje hacia arriba igual a cl+b2

newtons,3. cx1 newtons a x1

2metros de Q1.

Así que, la ecuación de los momentos queda comoEIy′′(x1) = K +

cl + b

2x1 −

1

4cx2

1 para 0 ≤ x1 ≤l

2,


de donde, integrando una primera vez y usando que y′(0) = 0 se obtieneEIy(x1) = Kx1 +

cl + b

12x3

1 −1

48cx4

1.

Integramos una segunda vez y utilizamos la condición de contorno y(0) = 0 paraobtener

EIy(x1) = Kx2

1

2+cl + b

12x3

1 −1

48cx4

1.

Ahora estudiamos y(x2) para l2≤ x2 ≤ l, empezamos estudiando las fuerzas que

actúan sobre OQ2, que no son más que las anteriores añadiendo el peso b en el puntox2 = l

2, es decir, a x2 − l de Q2. Por lo tanto:

EIy′′(x2) = K +cl + b

2x2 −

c

4x2

2 − b(x2 −l

2),

integramos ahora dos veces e imponemos las condiciones y′(0) = 0 e y(0) = 0 paraobtener

EIy′(x2) = Kx2 +cl + b

4x2

2 −c

12x3

2 −b

2(x2 −

l

2)2,

yEIy(x2) =

K

2x2

2 +cl + b

12x3

2 −c

48x4

2 −b

6(x2 −

l

2)3.

Por último se impone la condición y′( l2) = 0 para obtener

K = −cl + b

8l + c

l2

24,

con lo que tenemos perfectamente determinada la curva elástica que describe la viga.Además de estos dos problemas tipo de vigas, plantearemos a los alumnos que

calculen la curva elástica de una viga en voladizo o ménsula tal y como se muestraen la Figura 7.4, teniendo l metros de longitud y un peso uniforme de c newtonspor metro. En las clases de problemas resolveremos varios problemas con datosnuméricos.Aplicaciones a la electricidad

Vamos a ocuparnos en este apartado de estudiar las ecuaciones diferenciales quemodelan el �ujo de corriente en un circuito eléctrico simple como el de la Figura7.5. Empezamos con un repaso de electricidad que nos llevará al planteamiento delas ecuaciones.

Los elementos que aparecen en el circuito 7.5 son:


Figura 7.4. Viga en voladizo o ménsulauna fuente de fuerza electromotriz 2 E cuya misión es impulsar las cargas eléc-tricas y producir una corriente I(t) en el circuito,un inductor de inductancia L, que se opone a cualquier cambio de la intensidadde la corriente y produce una caída de la fuerza electromotriz gobernada porla ecuación

EL = LI ′(t),

un condensador de capacitancia C, que almacena una carga Q, carga quedi�culta la entrada de nueva carga y produce una caída de fuerza electromotrizdada por

EC =Q

C,

una resistencia R que se opone al paso de la corriente y que provoca una caídade la fuerza electromotriz dada por la ecuación

ER = RI (Ley de Ohm).Conviene tener en cuenta que la corriente I(t) es el ritmo al que �uye la carga,

por lo que I(t) = Q′(t). Además como, de acuerdo con la ley de Kirchho�, la sumade las fuerzas electromotrices en torno a un circuito cerrado es cero se tiene

E − ER − EL − EC = 0,

2esta fuente de fuerza electromotriz puede variar con el tiempo


Figura 7.5. Circuito eléctrico simple

que se puede reescribir, teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, comoLI ′(t) +RI(t) +

Q(t)

C= E(t)

Ahora utilizamos la relación entre I(t) y Q(t) para llegar a las siguientes dosecuaciones diferenciales equivalentes que gobiernan el circuito:

LI ′′(t) +RI ′(t) +I(t)

C= E ′(t)

yLQ′′(t) +RQ′(t) +

Q(t)

C= E(t).

Hemos visto en las secciones anteriores que un ataque global a estas ecuacionesno es posible, ya que para encontrar una solución particular de las ecuaciones juegaun papel importante la función E(t), será pues en las clases de problemas donderesolveremos las ecuaciones anteriores para casos concretos de la función E(t).

Antes de dar por concluida esta sección conviene plantear las ecuaciones de uncircuito más complicado para que los alumnos aprendan o recuerden las leyes básicasde la electricidad anteriormente expuestas. En particular, propondremos plantear lasecuaciones del circuito dado en la Figura 7.6.

Denotamos por I1(t) la intensidad de corriente que �uye por la resistencia R1,por I2(t) la intensidad que �uye por R2 y por I3 la intensidad que �uye por L y C2.Por lo tanto, una primera ecuación que relaciona las tres intensidades es

I1(t) = I2(t) + I3(t).


Figura 7.6. Circuito eléctrico

Por otro lado aplicamos la ley de Kirchho� dos veces, una para el subcircuito quecontiene a la fuente de fuerza electromotriz, la resistencia R1 y el condensador decapacitancia C1. Y una segunda vez para el subcircuito que tiene a R2, el inductory el capacitador de capacitancia C2. Con lo cual obtenemos

E ′(t) = I ′1(t)R1 +I1(t)

C1

+ I ′2(t)R2

yI ′2R2 = I ′′3L+

I3(t)

C2

.

Estas tres ecuaciones se pueden reducir a estudiar la ecuación lineal de tercergrado:

E ′′(t) = (R1L

R2

+ L)I ′′′3 + (R1 +L

R2C1

)I ′′3 + (R1

C2R2

+1

C1

+1

C2

)I ′3 +1

C1C2R2

I3.

Una vez calculada I3, podemos utilizar la ecuación en variables separadasI ′2 =

L

R2

I ′′3 +1

C2R2

I3

para calcular I2. Por último despejamos I1 de la ecuación E ′(t) = I ′1(t)R1 + I1(t)C1

+

I ′2(t)R2.Osciladores armónicos no acoplados

El objetivo de esta sección es el de obtener las ecuaciones que gobiernan elmovimiento de un carro sometido a la fuerza de un muelle tal y como se muestra enla Figura 7.7.


VIBRACIONES ARMÓNICAS SIMPLES NO AMORTIGUADAS

De acuerdo a la ley de Hooke y a la segunda ley de Newton, si denotamos porx(t) la posición del carro (considerando la posición de equilibrio en x = 0), por k larigidez del muelle y por m la masa del carro, entonces

mx′′(t) = −kx.

Figura 7.7. Oscilador armónico

Esta ecuación se puede reescribir como

x′′(t) +k

mx = 0,

cuya solución general hemos visto que es:

x(t) = c1 sen(

√k

mt) + c2 cos(

√k

mt)).

Así que si movemos el carro a una posición x = x0 y allí lo soltamos con velocidadinicial 0, el movimiento del carro viene dado por la función

x(t) = x0 cos(

√k

mt),

es decir, el carro se mueve periódicamente alrededor de la posición de equilibrio conperiodo T = 2π

√km.

VIBRACIONES ARMÓNICAS SIMPLES AMORTIGUADAS


El movimiento hasta aquí descrito es irreal puesto que siempre tendremos unafuerza de amortiguamiento debida a la viscosidad del medio donde el carro se abrepaso. Si suponemos que dicha fuerza de amortiguamiento es proporcional a la ve-locidad y se opone al movimiento, la ecuación que nos da el movimiento del carroes

mx′′(t) = kx(t)− cx′(t) con c > 0,

que se puede reescribir como

x′′(t) +c

mx′(t)− k

mx(t) = 0.

Resolvemos seguidamente la ecuación diferencial anterior con las condiciones decontorno dadas en el caso no amortiguado, es decir, x(0) = x0 y x′(0) = 0. Para ellose resuelve la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial, de donde seobtienen las raíces r1 = − c

2m+√

( c2m

)2 − kmy r2 = − c

2m−√

( c2m

)2 − km.

Para dar la resolución hace falta distinguir tres casos:

1. Si ( c2m

)2 − km> 0 se sigue que las raices r1 y r2 son números reales negativos

y la solución de la ecuación diferencial es:

x(t) =x0r1e

r2t − x0r2er1t

r1 − r2.

Una representación grá�ca de la anterior función nos hará ver que en este casoel carro no oscila en torno a la posición de equilibrio, sino que se mueve deregreso a la posición de equilibrio. Diremos que estamos en un movimientosobreamortiguado.

2. Consideramos en este caso que ( c2m

)2 = km, con lo que la ecuación característica

tiene una raíz doble r1 = r2 = − c2m

= −√

km, con lo cual la solución de la

ecuación diferencial es

x(t) = x0e−√

km

t(1 +

√k

mt).

Un estudio de esta función nos muestra que en este caso tampoco hay oscilacióny el carro tiende a pararse. A este movimiento se le denomina críticamente

amortiguado.


3. Queda por considerar el caso donde las dos raíces de la ecuación característicason complejas y conjugadas, que denotaremos por r1 = − c

2m+ ai y por r2 =

− c2m− ai, donde a =

√km− ( c

2m)2. La solución en este caso es

x(t) =x0

ae−

c2m

t(a cos(at) +c

2msen(at)),

función que puede reescribirse como

x(t) =x0

√a2 + ( c

2m)2

ae−

c2m cos(at− θ)

donde θ = arctan( c2ma

). Esta escritura de x(t) nos dice que el carro oscila entorno al punto de equilibrio con una amplitud que decrece exponencialmente.Este movimiento recibe el nombre de subamortiguado.

MOVIMIENTOS FORZADOS

Hasta aquí hemos considerado el movimiento del carro sin que actúen sobre élfuerzas ajenas al sistema y las únicas ecuaciones lineales que nos han salido sonhomogéneas. No obstante, si aplicamos al carro una fuerza externa obtendremos unmovimiento forzado en general y en algunos casos puede que sea una vibración forza-da. En clase de problemas nos ocuparemos de este tipo de movimiento considerandofuerzas externas periódicas del estilo a la función f(t) = f0 cos(ωt), con lo que, laecuación del movimiento es

x′′ +c

mx′ + kx = f(t).

Pensamos que la resolución general de la ecuación anterior distraerá la atenciónde los alumnos más que aclarar los métodos de resolución. Pensamos que será mejorresolver problemas concretos donde tengamos valores �jos de los parámetros queestán en juego. No obstante vamos a hacer un resumen de los posibles movimientosque encontraremos.

Para empezar exponemos que una solución particular de la ecuación esxp(t) =

f0√(k − ω2m)2 + ω2c2

cos(ωt− ψ) dondeψ = arctan(

ωc

k − ω2m

).

Por lo tanto, la solución de la ecuación general, x(t), será la suma de la solu-ción general de la ecuación homogénea xh(t) y la solución particular xp, es decir


x(t) = xp(t)+xh(t). Conviene notar que la parte que proviene de la resolución de laecuación homogénea tiende hacia cero, con lo cual predomina la solución particulary el movimiento tiende a hacerse oscilatorio de amplitud:

T =f0√

(k − ω2m)2 + ω2c2.

Haremos notar que cuando el parámetro c es pequeño y ω se aproxima a√

km,la

amplitud de la vibración es muy grande, este fenómeno se conoce con el nombre deresonancia. Comentaremos que un fenómeno relacionado con éste produjo la rupturadel puente de Tacoma, mostraremos una animación de tal ruptura.

Por último comentaremos la similitud de la ecuació a resolver en este caso conla ecuación de un circuito eléctrico gobernado por la ecuación diferencial

LQ′′ +RQ′ +Q

C= E0 cos(ωt),

por lo que las consideraciones anteriormente hechas para el movimiento del carrose aplican a la cantidad de carga que �uye por un circuito eléctrico que satisfaga laecuación anterior.Osciladores armónicos acoplados

Acabamos esta sección generalizando el problema anterior para dos carros sujetoscon muelles a una pared y atados entre sí con otro muelle, situación que describe laFigura 7.8, donde xi mide la distancia de cada carro a su posición de equilibrio.

Aplicamos la ley de Hooke a cada uno de los carros suponiendo que el carro dela izquierda (carro 1) pesa mi kilogramos, el carro de la derecha (carro 2) pesa m2

kilogramos y los muelles, de izquierda a derecha, tiene constantes de rigidez k1, k2

y k3 respectivamente. Así que para el carro 1, la ecuación de su movimiento será:m1x

′′1(t) = −k1x1(t) + k3(x2(t)− x1(t)),

y para el carro 2:m2x

′′2(t) = −k2x2(t) + k3(x2(t)− x1(t)).

Por lo tanto el movimiento del sistema viene regido por las ecuaciones diferen-ciales:

m1x′′1 = (−k1 − k3)x1 + k3x2,

m2x′′2 = (−k2 − k3)x2 + k3x1,


Figura 7.8. Oscilador armónico acoplado

sistema que, utilizando la relación entre ecuaciones y sistemas, se reduce a resol-ver la ecuación diferencial lineal de orden 4:

m1m2

k3

x(iv)1 +

k1 + k3 + (k2 + k3)m1

k3

x′′1 +

((k2 + k3)(k1 + k3)

k3

− k3

)x1

Se usará posteriormente la relación:x2 =

m1x′′1 + (k1 + k3)x1

k3

.

En clases de problemas resolveremos problemas de este estilo con datos numéricos.

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