ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE INGENIERIA EN ELECTRICIDAD Y COMPUTACION

GUAYAQUIL

Apuntes del curso de

TEORA ELECTROMAGNTICA I (FIEC03426)

PROFERSOR: Ing. JORGE FLORES MACIAS (currculum) TRABAJO REALIZADO POR: ALFG-UN Fernando Chvez Castrilln

ALFG-UN Jorge Vizcaino Vannoni.

SEPTIEMBRE DE 1999 NOTA: El presente trabajo corresponde a los apuntes de clase tomados por los autores y no han sido editados ni corregidos sus posibles errores. Se lo pone a disposicin de los estudiantes de la materia nicamente como gua temtica del programa del curso.

Jorge Flores

Indice General

1. CONCEPTOS GENERALES 2. LEY DE COULOMB 3. CAMPO ELECTRICO 4. DISTRIBUCIONES DE CARGA 5. GRADIENTE DEL POTENCIAL 6. ANGULO PLANO Y ANGULO SLIDO 7. LEY DE GAUSS 8. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES 9. CONDICIONES DE FRONTERA PARA CONDUCTORES 10. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 11. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE 12. LAPLACIANO EN DIFERENTES SISTEMAS DE

COORDENADAS 13. CAPACITANCIA 14. DIELCTRICOS 15. DIPOLO 16. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS CON

DIELCTRICOS 17. METODO DE IMGENES DE KELVIN 18. CARGA FRENTE UNA SUPERFICIE ESFERICA 19. CAMPOS DE CORRIENTE ESTACIONARIA 20. CONDICIONES DE FRONTERA PARA CONDUCTORES

CONCEPTOS GENERALES.- Cargas netas.- Las cargas netas son las resultantes de todas las cargas que contempla el cuerpo a analizarse, esto se puede evidenciar en el siguiente grfico: CARGAS CARGA NETA = +1

+5 -4

Cargas de prueba.- Son cargas muy pequeas, cuyas dimensiones son despreciables para los propsitos que se los utiliza, sus principales aplicaciones son para detectar campos elctricos. Por convencin tienen signo positivo y su simbologa es +Q. LEY DE COULOMB La ley de Coulumb esta identificada como la fuerza existente entre dos cargas puntuales, Q1 y Q2, la misma que es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

22*1

41

RQQFe =

o = Permitividad en el vaco = 8.85*10-12 = 10-9 Faraday 36 Metros Esta fuerza puede ser de repulsin si son las cargas de signos iguales y de atraccin si son signos diferentes. Es importante mencionar que el vector unitario Ur indica hacia donde se dirige la fuerza, quedando finalmente la ecuacin de esta forma.

12221

12 **

*4

1 ur

QQo

F En forma general si se desea expresar la fuerza que siente una determinada carga p, debido a la presencia de n cargas se la puede expresar utilizando el principio de superposicin, teniendo como formula general a: nppp FFFF +++= ........21

=

n

k pk

kp u

rQQ

oF

12

1 **

*4

1&&&

CAMPO ELECTRICO Si suponemos que la carga de prueba Qt es suficientemente pequea como para no perturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q. Entonces la intensidad de campo elctrico, E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Qt:

122 **41 u

rQ

oQFE =

+

En una carga positiva las lneas de campo elctrico son siempre saliendo, a una misma distancia se tiene un solo valor de campo elctrico y este disminuye con la distancia.

_

En una carga negativa las lneas de campo elctrico son siempre entrando, Esto hace ver que el campo elctrico se origina en las cargas positivas y mueren en las cargas negativas.

Si tengo dos cargas una Q(+) y una Q(-) se puede observar las siguientes lneas de campo y sus resultantes sera de la siguiente forma: E resultante + _

La tcnica anterior se llama mapeo de campos y se lo obtiene utilizando el principio de superposicin, obteniendo as los diversos vectores resultantes. UNIDADES: Newton = Volt. Coul. m. DISTRIBUCIONES DE CARGA.- Distribucin volumtrica.- Cuando una carga est distribuida a travs de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al campo elctrico en un punto extremo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integracin para obtener el campo elctrico total. An cuando se sabe que la carga elctrica ms pequea es un electrn o un protn, es muy til considerar distribuciones continuas de carga y definir una densidad de carga por

dVdQ

v =. Con relacin al volumen, cada carga diferencial produce un campo elctrico diferencial, que corresponde a:

urdvolE *.*

41

2

=

Distribucin superficial.- La carga puede estar tambin distribuida sobre una superficie o una lmina. Entonces cada diferencial de carga en razn de un

diferencial de superficie, corresponde a la distribucin superficial de carga.

dsdQ

s =.

Con relacin a la superficial, cada carga diferencial produce un campo elctrico diferencial, que corresponde a:

urdE *sup.*

41

2

=

Distribucin lineal.- En igual forma la carga puede estar distribuida sobre una lnea.

dldQ

l =.

Con relacin a la superficial, cada carga diferencial produce un campo elctrico diferencial, que corresponde a:

urdlinE *.*

41

2

=

EJERCICIO.- Calcular el campo elctrico producido por un disco que tiene una distribucin superficial s, con un radio a, el campo elctrico determinarlo en cualquier punto del eje del disco.

2

2

.4.....

.....

..2

*.4

duddrrsdE

ddrrsdqsdq

drrds

ur

dqdE

=====

+=

+=

+=

+==

==

== ==22

0

2

0 23

22

23

22

222

1*.4.

...*

.4.

.4....

......................*.4

....

.

cos.

azzsE

rz

zddrrsE

rz

zddrrsdE

rzddz

dddrrsdE

dzdEdE

dEdE

ar

r

z

z

z

z

. Se tiene una carga Q y una -Q, la fuerza de Q va hacer trabajo sobre -Q es:

dlFW .= o puedo aplicar un trabajo sobre el sistema realizando un W negativo. dl Q -Q dW = - F. dl Trabajo sobre el sistema Pero;

QFE

=

dlEQW **=

TRABAJO SOBRE UNA SUPERFICIE CERRADA

=

==

0.

0.*

dlE

dlEQWTOTAL

Q r2

= 21 .*rr dlEQW -Q r1 El diferencial de potencial es el trabajo por unidad de carga, y consiste en mover una carga de un punto a otro punto.

==2

1.

r

rdlE

QWV

= 21 212 ..4r

rdr

rQV

=11

21*

412

rrQV

Si se desea traer la carga desde el infinito, es decir r1= entonces obtenemos el potencial absoluto.

=21*

4 rQVabs

Gradiente del Potencial

azdzdVay

dydVax

dxdVV

azdzdVay

dydVax

dxdVE

dzdVEz

dydVEy

dxdVEx

dxExdV

+++=

=

=

=

=

= *

VE ==

Angulo plano El ngulo plano se proyecta sobre superficies r

dl

ngu S do

d

rad

lo liA

rrr

rdl 2rdl

=

=== 2

d

2

Se proyecta sobre volmenes

ey de Gauss

a Ley de Gauss expresa que el Flujo elctrico total que sale o entra a travs de una uperficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada por dicha superficie.

uperficies Equipotenciales

ds

Ur d

ianesestereoradr

rr

dsUr

dsUr

=== 42 242..2

rdsd = cos

rd

2=

L Ls

= 4.4

.2

oQ

dsUror

Q

===

=

2.

4

4.

.

rdsUr

oQt

dsEe

dsEed

== oQdsEe . S

Analizando las superficies nos podemos dar cuenta que si nos desplazamos sobre esta uperficie y adems existe un campo elctrico presente, y conociendo que la diferencia de

podemos analizar que: spotencial es cero en esta superficie

0cos**1

== lEV

e acuerdo a las ecuaciones si existe E y existe un desplazamiento entonces lo

2 = dlEV

in el campo elctrico es normal a la superficie. Ver grfico siguiente.

a. elctrico E

SUP

uperficial, procederemos a explicar como se istribuye el campo elctrico entre dos placas paralelas. Partiendo del resultado que:

Dnico que puede ser cero es el coseno, en conclus

Procederemos a analizar, el valor del campo elctrico en una superficie de carga infinit

Lneas Campo

ERFICIE CARGA INFINITA

Luego de analizar el caso de una sola placa sd

o..2 s.E =

Vector dS

Para una sola placa, si se coloca otra placa, paralela a esta producir el mismo campo elctrico por lo que el campo resultante ser la suma de los dos campos esto es:

en el siguiente grfico:

-s E=s/o s

omo se pudo observal exterior de estas se eliminan por lo que se puede decir que solo existe campo elctrico en l centro de las placas.

Si ahora a la placa ente la inclinamos y la ponemos en presencia de

observa esto en el siguiente grfico.

Esto se puede visualizar mejor

C r las lneas de campo elctrico se suman en el centro, mientras que en ee

que analizamos anteriormun campo elctrica, se puede observa que las lneas de campo elctrico se desvan de tal forma que lleguen perpendiculares a la placa y despus estas lneas pueden reorientarse a la direccin anterior. As se Lneas de Campo Elctrico

osE

..

os

osE

..2.

..2.

+=

=

Lneas E de +s Lneas E de -s

Si tenemos un cascarn esfrico conductor la carga se va a distribuir en la superficie externa esta distribucin va a ser uniforme, es decir la distancia de separacin entre cada carga es ual.

yig

2

2

2

2

*.4*.4*.

.*.4*..

*.4*..

.

.?

robsE

obsdsE

bso

QdsE

cascarndelAfuera

=

==

==

Entre a y b Q=0 E=0 Entre r

Calcular el campo elctrico cuando r

)11(12

..2

1

rrEV =

drEV

r

r=

Para r>b:

= Q=

ro

r1*

...4

1

Para a

Con respecto a la carga inducida, se evidencia que est se no se distribuye unifrmente, ndo lugar a que en la superficie interna exista mayor carga en la parte que est ms

rte interna del cascarn hay menor carga inducida. En tanto que en la superficie exterior se puede ver que la carga inducida

as

Co

eorema de la Divergencia

dacerca de la carga, mientras que en el resto de la pa

positiva se distribuye uniformemente. Se puede verificar en la grfica que las lneas de campo elctrico en el interior no son uniformes y que existe mayor poblacin de estas donde existen mayor cantidad de carginducidas, en tanto que en la superficie exterior las lneas de campo elctrico, salen uniformes y normales a la superficie, debido a que las cargas estn distribuidas uniformemente en esta superficie exterior.

ndiciones de Frontera para conductores

o

sEn

Et

=

= 0Condiciones de Frontera Superficie conductora - Vaco

T

La divergencia de la densidad de flujo vectorial E es la salida de flujo desde una superficie lumen, a medida que el volumen se reduce hasta cero.

( )

cerrada pequea, por unidad de vo

Ecuaciones de Poisson y Laplace

ovvvlimdivE s == 0

dsE .

= dvoldivEdsE )(. Teorema de divergencia

Laplaciano en diferentes sistemas de coordenadas

Esfricas:

2

2

22222

sen1sen

sen11

+

+

=rrr

rrr

Se desea calcular la funcin de potencial de una esfera conductora, cuyo superficie est conectada a un voltaje Vo.

R=a

raV

ar

crcrC

r

Cr

r

rr

rr

=====

+=

=

=

=

=

1

0 rV1

21

1

1

01

2

2

22

CAPACITANCIA.- Resulta evidente que se necesita aportar trabajo exterior para agrupar varias cargas. Esto es consecuencia de las fuerzas de repulsin mutua entre cargas iguales. Un caso de inters considerable es aquel en el que las cargas se encuentran sobre un cuerpo conductor o en el que las cargas se encuentran sobre un grupo de cuerpos conductores. Resulta de importancia en tal caso una magnitud llamada capacidad del sistema. La capacidad de un conductor o de un conjunto de conductores, se mide por la cantidad de carga que se le debe comunicar para elevar su potnecial en 1 voltio. As pues la capacidad C en faradios est dada por:

C=Q/V. La capacidad depende del medio, la forma y dimensiones. PROCEDIMIENTOS PARA CALCULO DE LA CAPACITANCIA.- 1er. Mtodo: 1. Asumimos una carga Q. 2. Calculamos el campo elctrico, aplicando Gauss. 3. Se calcula la diferencia de potencial. 4. Se encuentra la relacin de V y Q, y todo lo que sobre es la capacitancia. 2do. Mtodo: 1. Se calcula la funcin de potencial 2. Se encuentra el campo elctrico, el mismo que es el gradiente de la funcin potencial 3. Evaluar el campo elctrico en la frontera E = s/o 4. A partir de que Q es igual al integral de s . ds, se halla la relacin de Q con el voltaje y lo

que sobre es la capacitancia.

Calcular la capacitancia de dos placa paralela separadas una distancia d, con una superficie S, y cada placa tiene una densidad superficial s.

s(+) Lneas de Campo Elctrico s(-)

1er. Mtodo.

osdQV

dlos

QV

dlEV

osQE

oQdsE

r

r

r

r

.*

..

..

.

..

2

1

2

1

=

==

=

=

dosC

osd

C

osdQV

..

1.

*

=

=

=

2do. Mtodo.

dosC

Vd

oSQ

SsQos

dV

dVE

ZdVZ

dV

.

*..*...

**1

=

==

=

==

==

ASOCIACIONES DE CONDENSADORES En los circuitos aparecen con frecuencia combinados. Las dos disposiciones ms comunes consisten en la conexin de condensadores en serie o en paralelo. Vamos a calcular mediante razonamientos sencillos la capacidad de tales combinaciones. En la siguiente figura se muestran dos condensadores en paralelo.

C1 C2 V

Como los electrodos estn unidos directamente mediante hilos con conductores, la diferencia de potencial entre los dos pares de placas debe ser la misma. Esta diferencia de potencial podemos expresarla en funcin de las cargas y capacidades de cada uno de los condensadores, en la forma:

C2Q2Vab

11 ==

CQVab

La capacidad de un condensador equivalente nico se obtendra comparando la carga total Q1 + Q2 con la diferencia de potencial Vab. Es decir.

VabQQC 21+=

Pero, como C1=Q1/Vab y C2=Q2/Vab, C=C1+C2. En general, para cualquier nmero de condensadores en paralelo, la capacidad equivalente viene dada por: = iCC En la siguiente figura tenemos condensadores conectados en serie. Consideremos inicialmente todos los condensadores descargados y entonces comuniquemos una carga +Q al primer condensador.

C1 C2

V

Con ello se inducirn cargas iguales y opuestas sobre las placas consecutivas. En contraste con la conexin en paralelo, que conduca a tensiones iguales en cada condensador, aqu resultan cargas iguales en cada condensador. Es decir Q=Q1=Q2. La diferencia de potencial total a travs del conjunto ser V1+V2=V. Pero:

=

+=

+=

==

Ci

CC

CCQV

CCQV

1C1

serie,en conexin para general,En 2

11

1C1

por dada est eequivalent capacidad lay 2

11

12

QV2 1

1

= Ci1C1

Se desea calcular la capacitancia producida por dos cables de alta tensin, en un tramo l, y el radio de estos cables es a:

d

E(+) a C a Q(+) Q(-) E(-)

+=+=

=

=

=

==

=>>

rdroasEEEtotal

rdoasE

roasE

olaslE

oSsdsE

SsQo

QdsE

aD

11**.21

)(**.2

**.1

*2*.*2*

.*..

*..

.

( ) ]( )

adl ln

oC

V

aDol

ad

olV

aad

olV

als

adQs

sSQ

aad

oasv

adao

asv

rdro

asV

drrdro

asV

dlEV

aad

a

ad

a

ad

.

*ln

...

ln*...

entonces ad si ln*....2..

lQ.l

.2.

.llQ .

)(ln*.*.

)ln(2ln.2*.*.

)ln()ln(*.*.

.11*.*.

.

2

=

=

=

>>=

===

==

=

=

=

+=

=

Dielctricos Los materiales dielctricos, ante la influencia de campos elctricos se polarizan y forman dipolos. En el dielectrico se forman: sp : Densidad superficial de cargas de polarizacin. p : Densidad volumtrica de cargas de polarizacin. Dipolo P

Ur

Q-

d

R1

R2

Q+

divPp

UnPdsdqsp

EoXpPVol

pdQp = *

P

===

=

.

**

=(Momento Dipolar) (Vector de polarizacin) (Frmula experimental)

Capacitor de placas paralelas con dielctricos +s -sp +sp -s

Xe

d

E

)1()1()1(

XeCod

XeoSCd

oXesEd

+=+=+=

CONDICIONES DE FRONTERA EN UN DIELECTRICO En igual forma como se hizo el anlisis para las condiciones de frontera para un conductor y el vaco se puede formular las siguientes expresiones:

Resumiendo las condiciones de frontera entre dos dielctricos tenemos:

21.221.1

EtEtnDnD

==

Un cable coaxial, el mismo que en su interior est recubierto por dos dielctricos, alrededor de un conductor y estos cubiertos por un conductor, se necesita saber la capacitancia y el campo elctrico producido en su interior.

Ds E

R3 R2 R1

=

] ]( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

21041.7

21019.1.sp

2..21..1.spnpolarizaci de densidad la de

1041.72*)0.2.(.1P

1019.11*)0.1.(.1P

nPolarizaci deVector del Clculo

79.832..2.

2

51.331..2..

1

1.2..

101.93101.93*100./.V

etroFaradios/m 1.93

2.2

3ln

1.1

2ln

2

2.2

3ln

1.1

2ln*

.2.lV

.r12

.l.s Pero

2.2

3ln

1.1

2ln*1..

ln1.

1..ln1.

1..

109

10

9

212

23

12

rx

rx

PPClculo

rxE

rxE

rrl

E

rr

l

E

rls

xxllcl

picolC

rr

rrl

CVQC

rr

rr

rr

rr

rsV

rrsrrsV rrrr

=+=

====

==

==

===

=

=

+

=

=

+=

=

+=

=

METODO DE IMGENES DE KELVIN

Q1 Q2 Q3 Q

Este mtodo consiste en colocar unas cargas imgenes atrs de la superficie conductora en donde se desea encontrar el campo elctrico, de tal forma que se reemplace por ciertas cargas la superficie equipotencial. Resumiendo podemos decir que:

CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA LINEA INFINITA

2322

2

22

).(.2

..

.....4

.2...

.2...

.cos2...cos2

cos.2

....4....4

..

...

dx

dQs

rd

roQos

rdEos

EosEEn

EEyEyEn

urro

Qurro

QEn

EnsosEn

sDn

+=

=

=====

+====

CARGA FRENTE UNA SUPERFICIE ESFERICA

DEMOSTRACION

Dab

baQ

aDQ

baQ

aDQ

baoQ

aDoQVp

baoQ

aDoQVp

2D

Q.a-Q'

Q'.a-Q'.DQ.b-Q.a -2.Q'.a--Q'.DQ.bQ.a-1.

:obtenemos sistema siguiente el oResolviend)(

')(

)('

)(

).(...4'

).(..402

).(...4'

).(..401

=

=+=

=+

=

+=+

+==+++==

Si la esfera tiene un potencial cualquiera Vo, nicamente, se debe aumentar una carga Q en el centro de tal forma que produzca el potencial inicial. Q=Vo*4o.a CARGAS SOBRE SUPERFICIE PLANAS FORMANDO UN ANGULO

Campos de corriente estacionaria La fem es la que proporciona un flujo de electrones.

dt

vddivJ

dvolvdtddsJ

velvJ

dsJI

=

===

*.

*

. J : Densidad de corriente Vel : Velocidad de las cargas Ecuacin de continuidad

Si la carga no vara en el tiempo:

===

0.

0

dsJI

divJ

CONDICIONES DE FRONTERA PARA CONDUCTORES.-

2.1.

2211

.2tan

.1tan

s.compararloy normal, la a respecto corriente, de esdensidadad lasforman que ngulos loscalcular podemos Adems

1.1.

2.2..

1.1.1.

.2.2.J2n.s

S .sSD2n SD1n -:obtiene sey Gauss de dogeneraliza teoremaelaplicar puede se

2.2

.1J1t 2E2n .1E1n

E2tE1t J2n J1n.EJ

0lE2t-lE1t. 0 ds2J2n ds1J1n -

0E.dl 0J.ds

==

=

==+

====

===+

==

nJtJnJtJ

Jns

nJ

Adems

tJ

Problema: Tenemos 2 electrodos conectados a una fuente en un medio cualquiera y se puede calcular la conductividad.

CG

VCI

QI

dssI

dsDdsEI

dsJI

.

..

V*CQ Pero .

..

....

.

=

=

==

=

===

Ahora tenemos una torre de transmisin, en donde se desea controlar la resistencia de la tierra colocando un electrodo conductor

]]

Voltios 6800V0.25r1y 1mt.r2 amp. 1000If 10 Si

11

21.

..2

..2

r1 a r2 de potencial de diferencia laHallar ..2

1..2

..2

..2...2

..2

.

2-

12

2

2

2

=====

=

=

=

=

=

=

==

==

rrIfV

rIfV

aR

aIfV

rIfV

rdrIfV

rIfJE

rIfJ

dsJIf

rr

a

Hilo de guarda

R1 R2 If

TRABAJO DE TEORIA ELECTROMAGNETICA

CUADERNO DE MATERIA II PARTE

REALIZADO POR: Fernando Chvez Castrilln Jorge Vizcano Vanoni.

INDICE GENERAL

1. Magnetosttica en el Vacio. 2. Ley de Biot-Savart. 3. Flujo Magnetico. 4. Ejemplos de Densidad de Flujo 5. Ley de Ampere 6. Solenoides, Toroides y Corriente Laminar 7. El Rotacional de B y el Teorema de Stokes 8. Torque y Momentos Magnticos 9. Comportamiento magntico de la materia. 10. Ley Generalizada de Ampere 11. Clasificacin de Materiales Magnticos 12. Condiciones de Frontera 13. Aplicacin de las Condiciones de Frontera 14. Curvas de Magmetizacin del material

15. Circuitos Magnticos 16. Mtodos para solucin de problemas 17. Induccin Electromagntica 18. Induccin tipo transformador 19. Induccin tipo motor 20. Imanes 21. Inductancias Propias y Mutuas 22. Inductancia Tpica 23. Ecuaciones de Maxwell 24. Vector de Poyting 25. Potencia discipada en transmisores y receptores MAGNETOSTATICA EN EL VACO.- (Indice) Un campo magntico esttico puede originarse por una corriente constante o por un imn permanente. La fuerza magntica es mucho menor a la fuerza elctrica, y no es posible medir la fuerza magntica entre 2 cargas.

La fuerza magntica est dada por

. 2.4 2 . Q 1. r =

Q o 1 .1 xV 2xV x 2 1Fm 2

Se podra plantear una relacin entre fuerza elctrica y fuerza magntica, la misma que se enuncia a continuacin:

8

7

12

2

2

2

10310.4.1085.8.

1.22.1...

....42.1

2.1...4

2.1.

===

===

Coo

CVVVVoox

roQQ

VVrQoQ

FeFm

Analizando la ecuacin de la fuerza magntica obtenemos lo que se conoce como: Densidad de Flujo Magntico (B).

. 2.4 2 . Q 1. r =

Q o 1 .1 xV 2xV x 2 1Fm 2 Donde:

Las unidades de B es en Teslas.

12.1..4

1..2

= VrQoB

[ ] GaussmWbTesla 42 10.1 ==

http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/index.htm Se puede re-escribir la ecuacin de la fuerza magntica de la siguiente manera.

BBdtdlQ

BVQFm

==

=

dlI.

.

.12

La ley de Biot-Savart (Indice)La ley de Biot-Savart calcula el campo producido por un elemento dl de la corriente de intensidad I en un punto P distante r de dicho elemento. Para calcular esto asumimos que tenemos un conductor con N nmeros de electrones por metro cbico.

[ ][ ]

=

=

=

=

=

=

12.4

..

..12.4

.

.12.4

.

,12..4.

,12...4.

12.....4.

2

2

2

2

2

2

rdlIoB

LSrJoB

dvolrJoB

dvolJroB

dvolVelNQroB

VeldvolNQrodB

http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0009.htm Densidad de Flujo con respecto a la corriente es lo que se conoce Ley Biot-Savart Clculo de la densidad de flujo de una espira circular por la cual circula una corriente I. (Indice)

= 12.4 .. 2 rdlIoB

Calculo de la densidad de flujo de un alambre infinito, por el cual circula una corriente I.

I B

1 r d 2 d

]

dIoB

dIoB

ddIoB

rrdBIodB

rdlIodB

rdloIdB

..2

..

.sen...4...2

..cos..4..

...4..

sen...4..

..4.

2/0

2

2

2

=

=

=

=

=

=

Lneas de Campo I B

http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0047.htm FLUJO MAGNETICO (Indice) En forma similar como existe un flujo elctrico, de igual forma existe un flujo magntico, el mismo que se lo deduce en igual forma como el flujo elctrico. El flujo magntico representa el nmero total de lneas magnticas que atraviesan un rea dada. En efecto, esta definicin corresponde a la ecuacin.

= dsBm .. Ya que B, representa el nmero de lneas por unidad de rea, siempre que se tome sta, perpendicular a la direccin de B. La magnitud dS es un elemento de superficie, es positiva cuando es dirigida hacia el exterior de la superficie. Como consecuencia del hecho de que las lneas de B se cierran sobre s mismas y, por tanto, no tienen fuentes, sera:

0.. == dsBm para cualquier superficie cerrada, en contraste con el caso de las lneas de campo elctrico.

0B divser. puede lo no

dvol que ya cero a igualser debe adivergenci la que deduce se que lo de 0dvol B div

..

=

===

dsBm

LEY DE AMPERE (Indice) Queremos calcular la circulacin del vector B a lo largo de trayectoria cerrada:

IodlB

rrIodl

rIo

rdlIodlB

...

.2*.2...

.2..

.2....

&

&&

====

Este resultado que hemos obtenido en un caso particular puede generalizarse a cualquier disposicin de conductor y curva. As pues, podemos afirmar que la circulacin del vector B a lo largo de cualquier curva cerrada es igual a intensidad que atraviesa una superficie limitada por la citada curva por la permeabilidad .

I

Esto tiene una gran similitud con la ley de Gauss. http://www.fe.up.pt/deqwww/fisica/pioneiros/ampere.html DEMOSTRACIN MEDIANTE UN EJERCICIO, DE LA LEY DE AMPERE.

dB . l Io. = & .

Demostrar que : , se cumple en el siguiente ejercicio:

=

++=

++=

+++++=

2*2

...

....c2

.oI...b2

.oI..a2

.oI

...c2

.oI..b2

.oI..a2

.oI

.......

2

2

2

0

a

f

e

d

c

b

IodlB

dcdbad

dldldl

dlBdlBdlBdlBdlBdlBdlBb

a

a

f

f

e

e

d

d

c

c

b

Analizar el campo magntico en un cable coaxial cuando r es menor que a, r est entre a y b , r est entre b y c y por ltimo cuando es mayor que c.

C Direccin de dl b I Direccin de B a

I c B I a b

( )( )( )( )( )( )

0

*r*

.2.

r*

r*II

I-I Iretorno de corriente defraccin la es I

..2

..

..

.2..

..2

..

...

..

22

22

22

22

22

22

2

2

=>

=

=

=

=

dB 12 21 dB Z

2322

2

2322

2322

2

2

)(2

...)(

..2*.4

...)(

.*.4..

cos...4..

12.4

..

za

aIoB

za

aaIoB

za

adlIoB

rdlIodBy

rdlIoB

+=

+=

+=

=

=

SOLENOIDES (Indice) Un solenoide es un arrollamiento helicoidal de hilo conductor. En la siguiente figura vemos un solenoide recto cilndrico (a) y un solenoide recto prismtico (b). Hay tambin solenoides de estructura toroidal de seccin cilndrica o rectangular a los mismos se lo llama toroides. Por razones de sencillez matemtica se supone que las vueltas del solenoide estn muy apretadas, es decir, que el paso de la hlice es muy pequeo y lo podemos considerar infinitesimal. Los resultados obtenidos a partir de esta aproximacin no sern exactos, pero nos dan una idea aproximada del comportamiento de estos sistemas

En un solenoide se considera que existen un determinado nmero de espiras, y procederemos ha realizar el clculo del campo magntico, a partir del centro del solenoide

2122

2

2 2322

2

2322

2

)4(

....:es centro elen magnetico campo El

calcular deseo yo donde odependiend varan lmites Los )(

*.2

.....)(.2

.....

*LN dzen Espiras de Nmero

la

INoB

za

dzL

aINoB

zaLaIdzNodB

dz

L

L

+=

+=

+=

=

Si graficamos el valor del campo magntico, en funcin de su longitud, obtenemos las siguientes grficas, dependiendo si es un solenoide largo o corto

Vista de un solenoide cilndrico Las flechas indican la direccin de la corriente B B L dz

SOLENOIDE CORTO SOLENOIDE LARGO 1 -L/2 L/2 -L/2 L/2 El B en los extremos es aprox la en el centro Tramo de densidad de flujo casi constante

Retomando la expresin anterior, procederemos a calcular la densidad de flujo en un solenoide largo asumiendo que l>>a y nos queda:

.... quedar nos l a siy )4(

....2

122 L

INoBla

INoB =

El trmino NI se conoce como amper-vueltas, conocido tambin como fuerza magneto motivas. fmm=NI http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0019.htm

http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0014.htm El mismo anlisis se lo puede hacer en un toroide y su valor de L, sera remplazado por el valor medio de su permetro. Lo importante de esta configuracin, es que no hay perdidas de dispersin en los extremos.

Direccin del flujo magntico en el interior del Toroide

..2.... R

INoB = http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0031.htm

Si nosotros deseamos, aumentar la densidad de flujo en un solenoide, nicamente debemos cambiar, de material, y as, variando la permeabilidad del medio, nosotros, podremos disminuir o aumentar el flujo. Si nos fijamos en un solenoide cilndrico, cuyos espiras estn muy pero muy cerca, prcticamente juntas, podemos afirmar que la suma de todas las corrientes, que pasan, en este solenoide se convertiran en una corriente laminar, que suele expresar en funcin de la densidad de corriente llamada tambin densidad de corriente laminar.

Corriente Laminar Densidad de I Laminar

La densidad de corriente laminar queda expresada como:

.oJLB comor representa podra lo se magntico flujo el Y ==L

NIJL

De igual forma en una placa infinita, de longitud L, por la que circula una corriente laminar

L JL B

2..

..2.

*....

JLoB

JLoLB

LJLodlB

===

Aplicando esto procederemos a calcular la densidad de flujo en 2 placas infinitas y paralelas B1placa = oJL/2

. . . . . . x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x . . . . . . . . . . . . JL . x x x x x x JLx x x x xx x x x x x x x x . . . . . . . . . . . . . . . x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x . . . . . . . . . . . . . . . x x x x x x x x x x x B=0 B=oJL B=0

B2placa = oJL/2*2 = oJL EL ROTACIONAL: (Indice) El siguiente grfico nos ayuda a comprender, la deduccin del rotacional:

I total S J.S Seccin de un conductor

Este es un conductor, del cual nicamente, tomamos un diferencial de este, y calculamos la corriente que pasa por aqu, tomando en cuenta que I=J.S, con este mismo criterio, sabemos que por ese diferencial de superficie va a pasar una corriente I=J.S

superficie a normal corriente la de es corriente de densidad Esta ..

.

0S lim

ldiferencia elen Flujo .....

JoB

BBRotacionalS

dlB

SJodlB

===

=

zy

Bxx

Byyx

Bzz

Bxxz

Byy

BzB

BzByBxzyx

zyx

B

...

:asexpresar puede la se resRectangula scoordenadaen Rotacional El

+

+

=

=

TEOREMA DE STOKES Bsicamente la Ley de ampere, basndose en el rotacional del flujo se deduce de la siguiente forma.

=

==

dsB

dsJo

IdlB

.B.dl

..

..

http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0023.htm

Hallar la densidad de flujo producida por un

alambre que atraviesa la espira sin corriente,

segn como se muestra en la figura.

dr ds

h I a b

Calcular el flujo magntico en el sig

x . B B L a

b

2..o

tenemos2..o

.

=

=

= dB

Dos con desea calcula el flujo magnti( ) a-b*bh*

.2..o.I.N

rdr.

2bhr2.*

..I.N

2bhr Zdonde de 2

xy

dos los ,2hy b xCuando 2Zdr ds *

..I.N

...r2.

.o.I.NB

=

==

===

=

b

a

b

h

dividiendords

s

ductores paralelos por los cuales circula corriente I, y de radio a. Se co que pasa por en medio de los dos conductores.

+=

== +

abaI

drhrIodsB

ba

a

ln.2.

...2...

uiente toroide.

Ancua

http: Lasde f I I dr r=a

.= dsBsconductore dos los para ln*..

.

conductorun para ln*..2

.

*..2

.

....2

...2

.

=

=

=

=

=

aaboITotal

l

aaboI

l

rdroI

l

drlr

oIr

oIB

ab

a

alizaremos ahora las componentes del campo magntico B, que atraviesa una espira, por la l circula corriente.

//www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0009.htm

x x xx x x x x x x x x x x a x x x x x x Bn

x x x x x x

X

df df B I I Bp=Bsen ds Bn m

fuerza magnticas, van a ser siempre radiales hacia fuera, y la sumatoria de todas estas diferenciales uerza va a ser igual a cero

Las fuerza deforman el conductor, e idealmente esta deformacin se transforma en una circunferencia.

X X X

df I B X X X X X X X X X X X X X X X X X X

ANALISIS DEL EFECTO DE Bp SOBRE LA ESPIRA. (Indice)

x x

Bp Bp BP Bp Bp dl dl dF dl dF dF r=a

x

En el grfico se ve claramente que el valor de la fuerza se va incrementando, conforme aumenta el ngulo entre dl y Bp, este aumento de fuerza, se ve representado por un torque que se ubica en los lugares extremos donde dl y Bp forman 90, y es ah donde sern mximos los valores de la fuerza, esto se desprende de la siguiente frmula sen.. BpdlIdF = Para conocer el valor real del torque que se produce por todas los diferenciales de fuerzas, realizamos el siguiente anlisis.

( ) ]

BmTsuperficie de vector el quedireccin misma la tienem I.Sm

magntico momento como conocido es ..

..sen........

.cos.sen21....2

..sen...2

.sen......2.

.sen.....2.sen.sen....2

)sen(.2)sen.()sen(

2

2

02

0

22

2

2

==

===

==

=====

+=

SIBSITBIaTBpIaT

cBpIaT

dBpIaT

BpdaIadTdadl

BpdlIadTaBpdlIdT

adFdTadFadFdT

Comportamiento magntico de los materiales. (Indice) Segn la Mecnica Clsica, cada electrn de un tomo est sometido a una fuerza central y describe una rbita aproximadamente circular alrededor del ncleo. Por lo tanto tendr un momento angular. Como tenemos una carga elctrica, e, circulando, se producir una densidad de flujo magntico, B, que es un vector que tiene la misma direccin que J, pero sentido contrario. Como m es un vector al que le denominado momento dipolar magntico o simplemente momento magntico de esta pequea espira a la que le denominamos dipolo magntico: Cada electrn tiene un momento angular y un momento magntico intrnsecos que tienen la misma direccin. Es lo que se llama espn del electrn, que a veces interpretamos como debido a un giro del electrn sobre si mismo, pero que realmente no tiene justificacin en la Fsica Clsica. Adems tambin los protones de los ncleos parecen describir rbitas y girar sobre si mismos (espn del protn). Y todava es ms sorprendente desde un punto de vista clsico que los neutrones nucleares tengan tambin espn.

Resumiendo lo anterior se puede decir que cada tomo que forma un material, se lo puede visualizar como una espira que lleva una cierta cantidad de corriente, esta corriente est en diferentes direcciones, cuando no est presente un campo magntico, y a proximadamente la sumatoria de los momentos magnticos es igual a cero.

Esta desorganizacin de los momentos magnticos se orientan cuando est presente un campo magntico externo, la nueva orientacin de las espiras, genera un campo magntico adicional que se suma al campo externo existente. Dependiendo del material, se produce la alineacin de las espiras fundamentales.

Si se escoge un diferencial del cubo podremos realizar lo siguiente:

Lneas de Campo externo que orienta a las espiras. Nueva alineacin de las espiras que producen un campo adicional. Densidad de corriente magnetizacin laminar o superficial

= volmM . lo que se conoce como el vector de magnetizacin. Ahora sacaremos 2 solenoides del cubo anterior y analizaremos las corrientes que atraviesan a estos 2 solenoides.

JM Solenoides I1 dS I2

Como se puede ver en este grfico, cada solenoide tiene una corriente laminar, las misma que atraviesan una superficie mnima que hay entre los dos solenoides, en el mejor de los casos Jm es igual a cero se las corrientes no varan y si son iguales, pero pueden tener valores de acuerdo estas varen.

A Jm se le conoce como Densidad de Corriente de Magnetizacin.

Jm Lneas Campo I real MrotJm

nMJms

.

.

==

Ley generalizada de Ampere. (Indice)

.HB.r*.o

.r relativa dadpermiabili como conoce se )1( )1.(.......

lineales elementosen esto magntica, idadsuceptibil como conoce se que lo es .MH Y M ENTRE RELACION

...

..

.. ,0. que tengomagnetiza se no material el Si...

daGeneraliza Ampere deLey ..

magntico campo de Intensidad .

...

..

...

....

...

mm

m

mm

==

++=+=

=

==

====

+===

=

==

+=+=+=

=

HoBHoHoB

H

JrotH

dsJdsHrot

IdsJdlH

HoBentoncesoMoMHoB

IdsJdlH

Mo

BH

IdsJdlMo

B

dlMdsJ

dsrotMdsJ

dsJmdsJodlB

dsJodlB

Clasificacin de los Materiales de acuerdo a la susceptibilidad Magntica. (Indice) Bsicamente los materiales se clasifican de acuerdo a la susceptibilidad magntica, y de aqu se parte parte para la clasificacin. 1. Los materiales que interaccionan fuertemente con los campos magnticos. El ms

representativo de este pequeo conjunto de materiales, denominados ferromagnticos, es el hierro; los otros son el nquel, el cobalto y el gadolinio y aleaciones especiales denominadas genricamente ferritas.

2. En cambio una gran mayora de materiales interaccionan con campos magnticos

de forma similar, pero mucho ms dbilmente. Los materiales de este grupo, mucho ms numeroso, se denominan paramagnticos. As pues, entre ferromagnetismo y paramagnetismo slo hay una diferencia cuantitativa.

3. En los tomos de los materiales existen cargas elctricas en movimiento que

producen momentos magnticos. Puede ocurrir que todos los momentos magnticos en cada tomo se compensen dando como resultado tomos sin momento magntico. Estos materiales se denominan diamagnticos. En un material diamagntico, cuando no est sometido a ningn campo magntico exterior, la densidad de flujo magntico interno, B, ser cero, mientras que si aplicamos un campo magntico exterior, el mdulo de B en el interior ser ligeramente menor que el exterior.

Hay otros materiales cuyos tomos s tienen momento magntico al no compensarse entre si los momentos magnticos orbitales de los electrones y sus momentos intrnsecos o espines. En este caso los momentos magnticos de los tomos tratarn de alinearse con el campo magntico aplicado (exterior) y por lo tanto el campo magntico interno se ver reforzado. Estos son los materiales tambin se conocen como paramagnticos. Si tenemos un material paramagntico, en ausencia de campo magntico exterior, el campo magntico interno ser cero debido a que la agitacin trmica desordena los momentos magnticos de los tomos individuales. Si por el contrario, tenemos un campo magntico exterior, el campo B interior ser ligeramente mayor que el campo B en el exterior. En los materiales paramagnticos la interaccin con el campo magntico exterior, que tiende a ordenar los momentos magnticos atmicos, se ve contrarrestada por la agitacin trmica, que tiende a desordenarlos. Por ello el paramagnetismo es ms intenso normalmente a bajas temperaturas (poca agitacin). En cambio en los materiales diamagnticos, la influencia de la temperatura es muy pequea. En los materiales ferromagnticos, como el hierro, los tomos no slo tienen momentos magnticos no nulos (como en los paramagnticos), sino que se acoplan entre si alinendose en una direccin preferente sin que intervenga un campo magntico exterior.

A continuacin se encuentra un listado de los materiales, con sus respectivos valores de permiabilidad.

Materiales Permeablidad rParamagnticos

Aluminio 1.000021 Magnesio 1.000012 Paladio 1.00082 Titanio 1.00018

Diamagnticos Bismuto 0.99983

Oro 0.99996 Plata 0.99998 Cobre 0.99999

Ferromagnticos Niquel 250 Cobalto 600

Hierro (puro) 4000 Mumetal 100000

Diamagnticos Paramagnticos Ferromagnticos

M M M r0 r>>1 m>0 H H H

Aqu todas las espiras estan orientadas y el material est saturado magnticamente

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/ferromagnetismo/ferromagnetismo.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/paramagneticos/paramagnetico.htm

CONDICIONES DE FRONTERA. (Indice)

Medio 1 Medio 2 H2 H2tg H2n H1 H1tg H1n

2.tg2

.1B1tg

.HB H2tgH1tglaminar corriente existe no que asume se porque Jl anula Se tg2tg1

.

B

lJLlHlH

IdlH

===

==

Medio 2 ds2 Medio 1 B2 B2n B2tg B1tg B1n dS1

2.1.

2.1

1.12.

2

12

2tg2

1tg1

2.tg1.tg

22.11.21

021

0.

rr

nB

nB

nHnH

nHH

nHH

nHnHnBnB

snBsnB

dsB

=====

==

=+=

Aplicacin de las Condiciones de Frontera. (Indice) Calcular la intensidad de campo magntico en el siguiente solenoide compuesto de dos materiales y los mismo que son concntricos.

C B C A H h H

zob

nIob

nIJmsF

ror

nIJmsror

nIJms

zob

nIJmszoa

nIJms

nMxJmsor

nIor

nIM

oHM

rnI

rnI

HBr

nIH

nIrH

nIdlH

.1.2.*

.21

.1.*

.2

.1.2.*

.24 .1

.1.*

.23

.1.2.*

.21 .1

.1.*

.21

.

1.2.*

.2M2 1

.1.*

.21

1.

.

.2*.2B2

.2*1.B1

.2HB2 1.1.2

.2

.

=

=

=

=

=

=

=

=

=

====

===

( )

0

.1.1.*

.2.1

..1

...1...

..

.1MRot

Mrot JmaVolumetric Corriente

=

==

==

+

+

==

Jm

zor

nIrrr

rotMJm

zMrrr

rotMJm

zMrMrrrr

zMz

Mrrz

MMzr

Curva de Magnetizacin del material: (Indice) La Curva de magnetizacin del material, tambin llamada lazo de Histresis, se traza en base a la relacin entre B y H de materiales ferromagnticos. Es decir una curva de B en funcin de H. Suponemos que el material esta desimantado; tanto B como H son cero. A medida que se empieza a aplicar una fmm, la densidad de flujo sube, pero no linealmente, despus de que H ha alcanzado un valor elevado, La B se eleva con mayor lentitud y comienza a saturarse cuando H tiene un valor muy elevado. Al reducir H se produce el efecto de Histresis y no se recorre nuevamente la curva original. Aun Despus de que H=0, B=Br, la densidad de flujo remanente. La fmm que se requiere para reducir la densidad de flujo a cero se identifica como Hc, la fuerza coercitiva. Las prdidas de Histresis son por calentamiento del material y son proporcionales al rea de la curva de Histresis

Br

Hc H

B

Curva de saturacin: Se obtiene de los valores medios de B. En esta curva no se cumple la relacin lineal B=.H.

Se puede asumir un comportamiento lineal en un pequeo rango en torno al origen.

H

B

B

H

Curva del Imn: Se conoce como curva del imn a la parte encerrada con lneas punteadas

B

H

B

-H

Analoga de circuitos magnticos con los elctricos: (Indice)

Sl

fmmNIdlH

dSB

SBNI

.

.

00.

.0.

===

===

=

SlR

femVdlE

IdSJ

SJIRIV

.

.

00.

.0

===

===

=

R1

I1 N1

2

I2 N2

1

2

1

R2

R3

N1I1

N2I2

Mtodos para solucin de problemas: (Indice) Asumiendo que el material tiene un comportamiento lineal. Primer Mtodo

( )

222

111

212.2

22

1.111

?

Sl

Sl

NINI

SlS

l

+=

+==

==

L1 L2

S2 2

S2 2

R1

R2

NI

Segundo Mtodo

222

111

222

111

2211

.

Sl

Sl

NI

NIS

lS

lNIlHlH

NIdlH

+=

=+=+

=

22

11

.

.

SB

SB

BSdSB

HB

=

===

=

Comportamiento no lineal

cmlcmlcmlcml

TparaBoI

648382

,31)1(

?

====

==

2

2

2

2

2

444332211

cmScmScmScmScmSo

=====

l1

l3

l4 l1

l2

lo

I N=100

B(T)

500

0.45

1000

1

H (Amp/m)

mAmpHo

mAmpH

mAmpH

mAmpH

mAmpH

7

10*4

3504

3503

4002

6001

=

=

=

=

=

2

2

2

2

1

25.044

33.02

2.01

cmWbBo

cmWbBB

cmWbB

cmWbB

SB

=

==

=

=

=

AmpINIo

NIlHlHlHlHlH

NIdlH

08.17/)10*2()10*6(350)10*8(350)10*8(400)10*3)(600(2

00443322112

.

32222

==++++

=++++=

Induccin Electromagntica (Indice)

+b

a -

B(inducida)

B

I

==

=

=

=

).(.

.

)(

)(

.

dSBdtddLEV

dSBdtdV

FaradaydtdV

t

dSB

Induccin tipo Transformador (Indice) En la induccin tipo transformador: El flujo es variable en el tiempo, para ello la densidad de flujo es variable y el rea que atravieza ese flujo es constante.

H1 + H2 Alta

X1 + X2 Baja

V1

I1 N1

I2 N2 V2

Como determinar la polaridad de un transformador Si solo se cuenta con un voltmetro? Respuesta: Se Conecta el lado de alta a una fuente de voltaje, luego se unen dos terminales del transformador, uno del lado de alta y otro del lado de baja tensin; Luego medimos la caida de tensin en los dos terminales no conectados, si el voltaje que marca el voltmetro es menor que el voltaje aplicado, entonces ambos terminales tienen la misma polaridad; Si el voltmetro un mayor voltaje que el de la fuente, entonces tienen distintas polaridades.

V

Transformador

60V

60V 120V

Misma polaridad

V 180V

60V 120V

Diferente polaridad

Transformador Ideal

dtdNV

dtdNV

N

22

1

11

=

==

N2 V2 V1 N1

2221

22

2

12111

2

1

2

1

221

0

PIVNNI

NNVIVP

NN

VV

ININNI

====

==

=

Induccin tipo motor o Generador (Indice) En la induccin tipo Motor: El flujo es variable en el tiempo, para ello la densidad de flujo es constante y el rea que atravieza ese flujo es variable.

Voltaje de Campo

Bobina de Campo

Rotor Colector

+Carbones

-

http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/index.htm Representacin de Maquinaria

If

Ia Ia

Generador Motor

Imanes (Indice) Problema: Hallar la densidad de flujo del imn

BPunto de operacin del Material con el entrehierro

HLi Lo

Si

So

KHiBi

HiSiLoSoLiBi

LoSo

BiSiHiLi

HoLoHiLi

NIdLH

=

=

=+=+

=

0

0

0

0

.

SoBiSiHo

BiSiHoSoHoBo

BiSiBoSo

0

0

0

==

===

Problema: Hallar el voltaje inducido en la espira

a

r = vel* t + ro

vel b

r

I

Velrar

IbV

dtdr

rdtdr

arIbV

aarIb

drbr

I

dSBar

r

*112

112

ln2

*12

.

0

0

0

0

+=

+=

+=

=

=

+

dtdV

drbdSrIB

==

=*

20

B

Clculo de Inductancias Autoinductancias e Inductancias mutuas (Indice) Supongamos una bobina (1) de N1 vueltas por la que circula una coriente I1 y una segunda bobina prxima a la primera de N2 vueltas recorrida por una coriente I2. Llamemos 12 a la parte del flujo magntico producido por la bobina (2) que atraviesa la bobina (1). Definimos la inductancia mutua de la bobina (1) con respecto a la bobina (2) de la siguiente forma:

Flujo Mutuo

B I1

10

.

2211

2112

22121

11212

1122112

=

====

=

KLLKM

MLLILIL

IKdSB

I2

Inductancias mutuas Auto inductancias Flujo Propio

2

22222

1

11111

INL

INL

=

=

2

21121

1

12212

INL

INL

=

=

22222

11111

1 ),( IKf111 .

ILIL

dSB

===

La f.e.m. inducida en la bobina (2) por la bobina (1) ser la variacin del enlace de flujos:

dtd

dtdNV

N

==

= 12212

Inductancia Tpica (Indice)

==

=

==

==

=

=

212112

121

12

21

21

11

1

21

11111

1111

111

NN

SLNNL

Il

SNN

N

SL

NL

Il

SNN

Sl

INl

INB

N1

N2

S

Problema: Hallar la inductancia mutua L12 en los cables mostrados.

d2

d

d1

2

1

++++=

++++=

+=

==

+++=

==

+

+++

))(()(ln

2

))(()(ln

2

ln2

12

)

ln2

)(2

)

21

221012

21

2210

2021

2021

221

1

21021

21

10

21

221

dddddddd

lL

ddddddddlI

dddlI

drr

lI

dSBb

dddddlI

ldrrI

dSBa

T

dd

d

ddd

dd

dr

d2 d1 d

I

r a b

I

Problema: Hallar la inductancia Mutua L12 (Si a

Ecuaciones de Maxwell (Indice)

Forma integral Forma Diferencial

Faraday = dSBdtddLE .. dt

dBrotE =

Gauss = dVoldSD v.

vD =.

Ampere += dSJdSJdLH d ...dtdDJ

JJD

d

d

=+=

Flujo Magntico = 0.dSB 0. = B

Relaciones Constitutivas

)(

)(0

0

iEEJ

EJ

MHB

HB

PED

ED

rrrrr

rrrrr

rrrrr

+==

+==

+==

http://www.fe.up.pt/deqwww/fisica/pioneiros/maxwell.html

Vector de Poynting (Indice)

=

+=

+=

==

==

=

==

=

dSPdSHE

dVolEJdVolEHdtddSHE

dVolEJdVolEHdtddVolHE

Edtd

dtdEE

dtdDE

Hdtd

dtdHH

dtdBH

EJEdtdH

dtdHE

EJdtdDE

dtdBHHE

EJEJHEdtdBHEH

d

.)(

)(21

21)(

)(21

21).(

21

21

21

21).(

).(

).(

.

22

22

2

2

22

Vector de Poynting

= 2mWattsHEP

rrr

Transmisor: (Indice)

Receptor:

+ += dSPdVolEHdtdEJdVol .

21

21 22

P (potencia que sale)

E

H

ds

EJdVol

2EP

+ + EH 22 21

21 = dVolEdVol

dtddSP 2.

Calculo de la potencia disipada:

RISbIab

aaISEH

aaIEH

aIH

aIJE

222

2

2

2

2

)2())(2(

)(

))(2(

2

=

==

=

=

==

a I

dS

H

E

P (Potencia consumida)

b

TRABAJO REALIZADO POR: ALFG-UN Fernando Chvez CastrillnCONCEPTOS GENERALESLEY DE COULOMBCAMPO ELECTRICODISTRIBUCIONES DE CARGAGRADIENTE DEL POTENCIALANGULO PLANO Y ANGULO SLIDOLEY DE GAUSSSUPERFICIES EQUIPOTENCIALESCONDICIONES DE FRONTERA PARA CONDUCTORESTEOREMA DE LA DIVERGENCIAECUACIONES DE POISSON Y LAPLACELAPLACIANO EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADASCAPACITANCIADIELCTRICOSDIPOLOCAPACITOR DE PLACAS PARALELAS CON DIELCTRICOSMETODO DE IMGENES DE KELVINCARGA FRENTE UNA SUPERFICIE ESFERICACAMPOS DE CORRIENTE ESTACIONARIACONDICIONES DE FRONTERA PARA CONDUCTORES

CONCEPTOS GENERALES.-LEY DE COULOMBNewton = Volt.DISTRIBUCIONES DE CARGA.-Distribucin superficial.- La carga puede estar tambin distEJERCICIO.-TRABAJO SOBRE UNA SUPERFICIE CERRADA

CONDICIONES DE FRONTERA EN UN DIELECTRICO

METODO DE IMGENES DE KELVINCARGA FRENTE UNA SUPERFICIE ESFERICACONDICIONES DE FRONTERA PARA CONDUCTORES.-

INDICE GENERALMAGNETOSTATICA EN EL VACO.- (Indice)Donde:Las unidades de B es en Teslas.La ley de Biot-Savart (Indice)FLUJO MAGNETICO (Indice)PaladioTitanioBismutoOroPlataCobreNiquelCobaltoHierro (puro)Mumetal

Curva de Magnetizacin del material: (Indice)Curva de saturacin:Curva del Imn:Analoga de circuitos magnticos con los elctricos: (IndicMtodos para solucin de problemas: (Indice)

Primer MtodoSegundo MtodoComportamiento no linealIInduccin tipo Transformador (Indice)Como determinar la polaridad de un transformadorTransformador IdealInduccin tipo motor o Generador (Indice)Representacin de MaquinariaImanes (Indice)

Problema:Problema:Clculo de InductanciasAInductancia Tpica (Indice)Problema:Problema:Problema:EForma integralForma DiferencialFaradayGaussAmpereFlujo MagnticoRelaciones ConstitutivasVTransmisor: (Indice)Receptor:Calculo de la potencia disipada: