TRIGONOMETRIA - Alto Nivel

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TRIGONOMETRIA PROF.: JUAN CARLOS ZEGARRA

Forma General: ax + by + c = 0 Angulo de inclinación ()

Es aquel que forma la recta con el eje de las

abscisas, varia entre: 1800

L

x

y

Pendiente de una Recta (m)

Se llama pendiente ó coeficiente angular de una

recta, a la tangente de su ángulo de inclinación.

Entonces:

Observación: 01. Si 90° Entonces

m 0

L

x

y

02. Si Entonces

m 0

L

x

y

03. Si = 90° Entonces m =

04. Si =0° entonces m=0

Otras formas de encontrar “m”

a) Cuando se tiene dos puntos de paso:

b) Cuando se conoce su ecuación

Si conocemos la ecuación de la recta que

tiene la forma ax + by + c = 0; su pendiente será:

Angulo entre dos rectas Si se conoce las pendientes de dos rectas, se puede calcular el ángulo que forman éstas.

L1

x

y

L2

Donde 1. 21 mm (m1 y m2 son las pendientes

de las rectas L1 y L2 inicial y final respectivamente)

c) Posiciones Relativas de dos rectas

* Rectas Paralelas . Si L1 / / L2

Cómo consecuencia m1 = m2

x

y

d

),( 11 yx

),( 22 yx

A

B

1x2x

1y

2y

12 xx

12 yy

tgm

12

12

xx

yym

b

am

2 1

1 2

m mtg

1 m .m

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2

PLATAFORMA VIRTUAL ALTO NIVEL

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bmxy

1b

y

a

x

L1

x

y

L2

* Rectas Perpendiculares. Si 21 LL

Cómo consecuencia :

L1

x

yL2

ECUACION DE LA RECTA

Ecuación Punto-Pendiente: La ecuación de la recta que pasa por (X1;Y1) y cuya

pendiente es m esta dado por:

Forma cartesiana:

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P

1(x1, y1) y P2 (x2, y2) está dado por:

Forma Pendiente Ordenada en el Orígen: La ecuación de la recta de pendiente m y que

corta al eje Y en el punto P (0,b) está dado por:

b

x

y

P(0, b)

P1(x,y)

Forma Simétrica: La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los punto A(a, 0) y B(0,b)

está dado por:

P(0,b)

P1(x,y)

x

y

b

a Donde:

* a: abscisa en el orígen. 0a

* b: ordenada en el orígen. 0b

Casos Especiales: a) Recta Paralela al eje “y”

x

y L: x = h

h

b) Recta Paralela al eje “x”

x

y

L: y = k

k

Distancia de un punto a una recta

Si se conoce un punto cualquiera A ( x1, y1) y también la ecuación de una recta L mostrada en el gráfico será:

x

yax+by+c=0

A(x1,y

1)

d

11 xxmyy

1

12

121 xx

xx

yyyy

21 mm

22

11

ba

cbyaxd

1. 21 mm


3



Distancia entre dos rectas paralelas

Sean L1: ax + by + c2 = 0 y L2: ax + by +c1 = 0, ecuaciones conocidas de dos rectas paralelas, la distancia entre ellas es:

x

y

ax+by+c2=0d

ax+by+c1=0

La bisectriz de un ángulo

Sean dos rectas L1 y L2, de ecuaciones conocidas, del gráfico se deduce que:

d1

d2

d1 d

2

P(x,y)

x

y

Para encontrar la ecuación de la bisectriz:

* Del ángulo agudo: * Del ángulo obtuso:

FAMILIA DE RECTAS Al conjunto de rectas que satisfacen una única

condición geométrica se llama familia o haz de rectas.

Familia de rectas paralelas a

una recta dada.

Donde K es la constante arbitraria o parámetro y , m es la pendiente de la recta. Familia de rectas perpendiculares a una recta

dada. Si L: ax + by + c = 0 ( Recta dada). Entonces la familia de rectas perpendiculares a L se expresa

por la ecuación:

Donde K es el parámetro.

Familia de rectas que pasan por la intersección de dos rectas dadas.

Si L1: 0111 cbyxa

L2: 0222 cbyxa

Son las ecuaciones de dos rectas dadas

x

L2

L1

y

Entonces el haz de rectas que pasan por 21 LL

está dada por la ecuación:

Donde K es el parámetro. La importancia de ésta ecuación es que nos permite obtener la ecuación de una recta que pasa

por la intersección de dos rectas dadas sin tener que buscar las coordenadas del punto de intersección.

VIRTUAL ALTO NIVEL 01 Hallar el ángulo obtuso formado por L1, de

pendiente m y L2 de pendiente m 1

m 1

a) 120º b) 100º c) 150º

d) 105º e) 135º VIRTUAL ALTO NIVEL 02 Los vértices de un triángulos son M(-4, -1), N(4,

a) y P(-,6 13). Hallar el valor de "a" si la altura relativa a P corta a la mediana que pasa por N formando un ángulo de 45º.

a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

0 Kmxy

0 Kaybx

0)( 222111 cybxaKcybxa

22

12

ba

ccd

21 dd 21 dd


4



VIRTUAL ALTO NIVEL 03

Encontrar el valor de K para que la recta: k2x + (k + 1)y + 2 = 0 sea perpendicular a la recta 3x- 2y + 4 = 0.

a) 1 7

3 b)

3 3

3

c)

7 4

3

d) 7 1

2

e) 7 1

VIRTUAL ALTO NIVEL 04 Determinar la ecuación de la recta que pasa por

(0,1) y forma un ángulo de 45º con la recta: 3x + 2y - 1= 0

a) 5y - 3x - 10 = 0 b) 5x - y + 10 = 0 c) 5y - 2x - 15 = 0 d) 5x - 3y - 5 = 0 e) 5y + x - 5 = 0

VIRTUAL ALTO NIVEL 05 Dados los puntos A=(1; 1) y B(9; 7) determinar

las coordenadas de un punto C perteneciente a la recta L: y = x - 6 tal que el ángulo ACB sea un ángulo recto.

a) (10; 4) b) (10; -4) c) (8; 2) d) (9; -4) e) (9; 3)

VIRTUAL ALTO NIVEL 06 Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P = (0; 1) , Q= (3; 5) y R(-1; 2). Hallar las

coordenadas de los vértices. a) (4; 5), (4; 8), (-5; 6)

b) (4; 4), (2; 6), (-4; -2) c) (4; 4), (6; 2), (-4; 9) d) (4; 4), (6; 2), (4; 8)

e) (4; 3), (3; 6), (4; 7) VIRTUAL ALTO NIVEL 07

Hallar los valores de "a" y "b" para los cuales: (2b + a - 3)x + (2a - b + 1)y + 6a + 9 = 0 es paralela al eje de abscisas e interfecta al eje y

en (0; -3). a) 19; 7 b) 18; -10 c) 25; -8

d) 24; -6 e) 7; -2


El punto P(h + 2K; h - k) divide al segmento AB donde: A=(-2; 2) y B=(h - k; 3h -2k) en la razón 1/3; hallar h y k.

a) 4/9; 5/6 b) 14/5; -8/5 c) 4/7; 4/9 d) 7/5; 6/7 e) 17/4; 5/4

VIRTUAL ALTO NIVEL 09 Dados: A= (5; 1), B=(1; 2), C=(3; 6) hallar un punto D en el primer cuadrante de abscisa igual

a 7 de tal manera que el cuadrilátero ABCD tenga una área de 25u2

a) 12 b) 9 c) 15 d) 10 e) 18

VIRTUAL ALTO NIVEL 10 Hallar la ecuación de la recta de pendiente "m" que determina sobre el eje x el segmento "a".

a) y - x ma = 0 b) y + x ma = 0

c) y - mx m = 0 d) my - x ma = 0

e) y - mx ma = 0

VIRTUAL ALTO NIVEL 11 Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta L1= x - ky - 7 = 0 sea de 2

unidades.

a) 3 5 b) 3 5 /2 c) 2 5 /3

d) 2 3 /3 e) 5 /5

VIRTUAL ALTO NIVEL 12 Dadas las rectas L1: 4x - 3y = 0 y L2:4x - 3y +

10 3 =0 hallar la medida de AB.

x

yL

L

1

2

A

B

a) 2 2u b) 2 3u c) 2 6u

d) 6u e) 3 2u


5




Dado el trapecio cuyos vértices son: A = (-2; -2), B = (7; -2), C = (5; 2) y D=(1; 2) por B se traza una paralela al lado AD y se prolonga el lado

DC hasta encontrar P a la paralela anterior hallar área (BCP)/área(ABCD). a) 5/12 b) 5/13 c) 12/13

d) 4/13 e) 3/13 VIRTUAL ALTO NIVEL 14

Hallar las coordenadas del vértice común de dos triángulos de áreas igual a 3u2 cuyas bases son: A=(2, 2); B= (3, -1) y C = (3, 5); D=(6, 8)

a) (4; 1/2) b) (7/2; 7/2) c) (9/2; 1/2) d) (5; 1) e) (11/2; 1/2)

VIRTUAL ALTO NIVEL 15 Calcular la ecuación de la recta L, en la siguiente

figura, T es el punto más alto de la circunferencia.

a) x y 2 0 b) x y 4 0

c) 2x y 6 0 d) 3x 2y 2 0

e) x 2y 4 0

VIRTUAL ALTO NIVEL 16 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

punto (-2; 0) y que forma una ángulo cuya tangente es igual a 2/3 con la recta. L=3x+4y +6=0

a) 6x + 17y + 34 = 0 b) 17x + 6y + 34 = 0 c) 6x - 5y + 12 = 0 d) 17x - 3y + 34 = 0

e) 17x + 3y + 34 = 0


Hallar la ecuación de la recta que pasa por B=(5; -5) intercepta en los ejes coordenadas un triángulo de área 50u2.

a)

x y1

10 2 1 10 2 1

b) x y

110 10

c) x y

110 2 10 10

d) 2x + y = 10

e)

x y1

10 2 10 2 1

VIRTUAL ALTO NIVEL 18 Hallar el punto P simétrico al punto (10;21)

respecto a la recta: L : 2x + 5y - 9 = 0 a) (-4; -6) b) (-3; -10) c) (-4; -10) d) (-1; -9) e) (-6; -19)

VIRTUAL ALTO NIVEL 19 La base de un triángulo isósceles es el segmento

que une los puntos (-2, 3) y (3, -1) su vértice está en el eje de las y; determinar la ecuación de una de las alturas.

a) 8x - 21y - 59 = 0 b) 7x - 16y - 31 = 0 c) 8x + 12y - 59 = 0 d) 10x - 8y - 9 = 0

e) 16x - 11y - 59 = 0 VIRTUAL ALTO NIVEL 20

Los vértices de un triángulo ABC, A(-6,-2); B=(6,1), C=(2,4) se traza la bisectriz exterior CQ. Hallar las coordenadas del punto Q.

a) (15,4) b) (16,4) c) (17,4) d) (18,4) e) (19,4)

VIRTUAL ALTO NIVEL 21 El vértice de un cuadrado es el punto (6,8) y una de sus diagonales esta sobre la recta y =1 - x.

Hallar el área del cuadrado. a) 169/50 u2 b) 169/25 u2 c) 169/50 u2

d) 160/25 u2 e) 169 u2


6




La recta L cuyos puntos equidistan de las rectas: L1: 12x - 5y + 3 = 0, L2: 12x - 5y - 6 = 0 tiene por ecuación.

a) 12x - 5y - 3/2 = 0 b) 12x - 5y + 9/2 = 0 c) 12x - 5y + 9 = 0 d) 12x - 5y + 3/2 = 0 e) 12x - 5y - 3 = 0

VIRTUAL ALTO NIVEL 23 Calcular la tangente del ángulo que forman las

rectas: L1 : y = 3x + a, L2: y = x + b

a) 2 + 3 b) 2 - 3 c) 1 - 3

d) 1 + 3 e) 1/2

VIRTUAL ALTO NIVEL 24 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

origen y que interfecta a las rectas x - y = 3; y = 2x + 4 en P y Q respectivamente de modo que el origen es el punto medio de PQ.

a) 2x -y = 0 b) 2x +y + 1 = 0 c) 2x - y - 1 = 0 d) 7x + 10y = 0

e) 3x + 2y = 0 VIRTUAL ALTO NIVEL 25

Determinar la ecuación de la recta que pasa por (1,-1) formando la base de un triángulo isósceles con las rectas : y - 5 = 0; 4x + 3y - 11 = 0 dar

como respuesta su pendiente sabiendo que es positiva. a) 1/2 b) 2 c) 3 d) 2/3 e) 1/4

VIRTUAL ALTO NIVEL 26 Desde el punto A =(9,1) se traza una distancia a

la recta: 3x - 2y + 1 = 0 que la corta en B formando AB como base de un triángulo isósceles cuyo vértice se encuentra en el eje x hallar el área de dicho triangulo.

a) 20 u2 b) 23 u2 c) 25 u2 d) 17 u2 e) 13 u2

VIRTUAL ALTO NIVEL 27 Dadas las rectas: L1 :2x - 3y + 6 = 0 y L2: y - 4 = 0 y L que interfecta a L1 en B a L2 en C si L

pasa por A=(9,6) el cual divide al segmento BC en la razón 3/2. Hallar la pendiente de L.

a) 4/5 b) 2 c) 2/7

d) 2/8 e) 1/5 VIRTUAL ALTO NIVEL 28

Hallar la ecuación de la recta que forma un ángulo de 15º con la recta: x - y =0 sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es la menor posible

a) 2y x 0 b) 2y - x = 0 c) y + x = 0

d) 2x - y = 0 e) 3y x 0


En la figura ABCD es un cuadrado y ABE es un triángulo equilátero si A=(4; 9), B=(12,3). Hallar la coordenadas del punto E.

A

B

C

E

D

x

y

a) 8 + 4 3 b) 6 + 3 c) 3 + 3 3

d) 3 + 3 e) 6 + 4 3

VIRTUAL ALTO NIVEL 30 Hallar el centro de gravedad de un hexágono

regular ABCDEF si: A = (2,0), B=(5,3 3 ) son

dos de sus vértices adyacentes.

a) (1, 2 3 ) b) (0, 3 3 )

c) (-2, 3 3 ) d) (1/2, 3 3 )

e) (-1, 3 3 )

CLAVES DE RESPUESTAS

01. E 02. A 03. A 04. E 05. A

06. B 07. E 08. B 09. A 10. E

11. B 12. C 13. B 14. B 15. B

16. B 17. B 18. E 19. E 20. D

21. E 22. A 23. E 24. A 25. B

26. E 27. B 28. E 29. E 30. E


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