ResolviendoejerciciosdematemticasconlaClassPad330MarioSnchezAguilaryJuanGabrielMolinaZavaleta 2 NDICE PRESENTACIN 5 OPERACIONESCONNMEROSCOMPLEJOS 7Configurandolacalculadoraparatrabajarconnmeroscomplejos7Conversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformaexponencial8Conversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformatrigonomtrica9Conversindeunnmerocomplejoasuformacartesiana9Sumayrestadenmeroscomplejos 10Multiplicacindenmeroscomplejos 10Divisindenmeroscomplejos 11Potenciacindenmeroscomplejos 11 OPERACIONESCONMATRICES 13Sumayrestadematrices 13Multiplicacindematrices 14Inversadeunamatriz 15Valoresyvectorespropios 16 DERIVADAS19Clculodeladerivadaconladefinicin 19Clculodeladerivadaconelcomandoderivada 20Derivadasdeorden2omayor 20Derivadaimplcita 21Derivadasparciales 23Clculodederivadaparcialconladefinicin 23Clculodeladerivadaconlaplantilla 25Laregladelacadena 26 INTEGRALES 29Integracinindefinida 29Integracindefinida 30Integracinnumrica 32Integracinmltiple 34 ECUACIONESDIFERENCIALES 373 Resolviendoecuacionesdiferencialessincondicininicial 37Ecuacionesdiferencialesconcondicininicial 38Sistemasdeecuacionesdiferencialeslineales 39Graficandounaecuacindiferencialdeprimerorden 41Condicionesinicialesygraficandocurvassolucindeunaecuacindiferencialdeprimerorden41 TRANSFORMADADELAPLACE 43TransformadadeLaplacedeunafuncin 43TransformadainversadeLaplace 45TransformadadeLaplacedeunaecuacindiferencial 46 TRANSFORMADASDEFOURIER 49ClculodelatransformadadeFourier 49LatransformadadeFourierconelcomandofourier 50LatransformadainversadeFourier 51 ELMTODODENEWTON(PROGRAMACIN) 53ConstruyendoelprogramaNewton 54DefiniendolafuncinNewton 54ElcuerpodelprogramaNewton 57UtilizandoelprogramaMeNewton 62 4 Presentacin En el ao 2005 escribimos el primer libro para la calculadora ClassPad 300. ElttulodeesetextofueClassPad300:RepresentacinyManipulacindeObjetosMatemticos. Ese fue un material en el que tratamos de mostrar lasposibilidades que ofreca la calculadora, desafortunadamente varios de esostpicos, por no estar integrados en la curricula escolar, podan representar uninters menor (o incluso nulo) para los estudiantes usuarios de la calculadora.Era necesario escribir materiales que respondieran mejor a los requerimientosacadmicos de los estudiantes. La necesidad de elaborar materiales msadecuados y pertinentes para los estudiantes, de tamao ms manejable, yactualizados, fue discutida con representantes de la compaa Casio durante elcongreso ICME 11 celebrado en Mxico en julio de 2008. Ah se estableci elcompromiso de elaborar dos materiales, uno para el nivel medio y otro para elnivel superior, que ilustrara la manera en que se podan resolver tareasmatemticasescolares,peroutilizandolacalculadoraClassPad330.Elpresentecuadernilloesunodeesosmateriales.Paraestablecerelcontenidodeestos materiales, no slo hemos recurrido a programas de estudio actuales y anuestra propia experiencia como estudiantes de matemticas; tambin hemoscontadoconelinvaluableapoyodelIngenieroJulioCsarSurezylaLicenciadaClaudia Iveth Meza quienes con sus sugerencias han contribuido a laconfiguracin de los contenidos de estos materiales. A travs de los contenidosde estos dos cuadernillos, los autores tratamos de abordar algunos de losejercicios matemticos escolares a los que un estudiante de nivel medio osuperior puede enfrentarse, y algunas de las maneras de resolverlos con lacalculadoraClassPad330.La manera en que los contenidos son presentados no es tan detallada como laquesepodraencontrarporejemplo,enelmanualdeusuariodelacalculadora.Esto debido a que los materiales estn dirigidos a estudiantes, usuarios de lacalculadora ClassPad 330 y con conocimientos bsicos sobre el manejo de lamisma.Dadoqueeseeseltipodepersonasparaquieneslosmaterialeshansidodiseados,esperamossimplementequeseanellosquienesloslean,losusenyloscritiquen.MarioSnchezyJuanGabrielMolinaMarzode2009 5 6 1.OPERACIONESCONNMEROSCOMPLEJOSLos nmeros complejos estn compuestos por un nmero real y un nmeroimaginario. Un nmero complejo puede representarse como un punto en elplano complejo mediante un par ordenado ( ) b a , , sin embargo los nmeroscomplejos son comnmente representados usando la forma bi a + , donde y b sonnmerosrealese i eslaunidadimaginaria.Estaformaderepresentacinseconocecomoformacartesiana.aLos nmeros complejos tambin pueden representarse mediante suscoordenadas polares. Esta forma de representacin se denomina forma polar.Cuando la notacin en forma polar es ( ) sin cos i r z + = se le llama formatrigonomtrica. Usando la frmula de Euler la forma trigonomtrica puede serescritacomo lacualesllamadaformaexponencial ire z =1.EnestecaptulomostraremoscmooperarnmeroscomplejosconlacalculadoraClassPad 330. Tambin mostraremos cmo realizar conversiones entre lasdiferentesformasderepresentacin.1.1Configurando la calculadora para trabajar con nmeroscomplejosCuando se trabaja con nmeros complejos con la calculadora ClassPad 330, esnecesarioquestaseencuentreconfiguradaenelmodocomplejo.Paradeterminarsi la calculadora se encuentra configurada en modo real o en modo complejo,slosenecesitaingresaralaaplicacinPrincipal delacalculadoraymirarlaparte inferior de la pantalla. Si aparece la palabra Real esto indica que lacalculadora est configurada para trabajar nicamente con nmeros reales (verfigura1).Siestefueraelcaso,esnecesariodaruntoqueconellpiztctilsobrelapalabra Real y entonces sta ser sustituida por la palabra Cplj la cual indicaquelacalculadoraestpreparadaparatrabajartambinconnmeroscomplejos(verfigura2).Enestecaptulodellibroslotrabajaremosenelmodocomplejo. 1 Ntese que en el instructivo de la calculadora esta forma de representacin es llamadasimplementepolar. 7 Figura1.Figura2.1.2ConversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformaexponencialUn nmero complejo expresado en la forma cartesiana puede sertransformadoasuformaexponencialoasuformatrigonomtrica.Consideremospor ejemplo el nmero complejo . Para convertirlo a su forma exponencialhay que escribirlo y seleccionarlo con ayuda del lpiz tctil (recuerda que elsmbolo se encuentra situado en las pestaas mth y 2D del teclado virtual),posteriormente hay que aplicarle el comando compToPol que se localiza en elmenInteractivo/Complejo(verfigura3).Laexpresinresultantesemuestraenlafigura4.bi a +i 2 3 + Figura3.Figura4.8 1.3ConversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformatrigonomtricaEl comando compToTrig se utiliza para convertir un nmero complejo de laformacartesianaalaformatrigonomtrica.Estecomandoestlocalizadodebajodel comando compToPol en el men Interactivo/Complejo (ver figura 4). Elproceso de aplicacin de este comando es idntico al del comando compToPol.La expresin+ i32tan sen32tan cos 131 1es el resultado de aplicar elcomandocompToTrigalaexpresin i 2 3 + (verfigura5). Figura5.Figura6.1.4ConversindeunnmerocomplejoasuformacartesianaSi se tuviera un nmero complejo expresado en su forma exponencial otrigonomtrica, es muy fcil convertirlo a su forma cartesiana. Simplemente senecesitaescribirelnmerocomplejoensuformaexponencialotrigonomtricayposteriormenteoprimirlateclaEXE.Estaaccinconvertirelnmerocomplejoasu forma cartesiana. Por ejemplo, la figura 6 muestra que el nmero complejo42ie+ seexpresacomo ensuformacartesiana. i + 19 1.5SumayrestadenmeroscomplejosCuando operamos (sumar, restar, multiplicar, elevar a una potencia) nmeroscomplejosenlacalculadoraClassPad330,esposiblehacerloutilizandosuformacartesiana, trigonomtrica, exponencial o incluso combinaciones de stas. Porejemplo para restar los nmeros complejos432iey i 2 7 + , slo se necesitaescribir cada uno de ellos dentro de un parntesis y colocar en medio de esosparntesiselsmbolo(verfigura7).Sisetrataradeunasumasedebesustituirelsmboloporelsmbolo+.NtesequelacalculadoraClassPad330expresaenforma cartesiana el resultado de cualquier operacin con nmeros complejos. Esto seilustraenlafigura8,dondesemuestraelresultadodelarestaplanteada. Figura7.Figura8.1.6MultiplicacindenmeroscomplejosParamultiplicarnmeroscomplejossenecesitaescribircadaunodelosfactoresentreparntesisyposteriormenteoprimirlateclaEXE.Porejemplo,enlafigura9 se muestra el producto de multiplicar los nmeros , i21yie 21tan15 . Elproductoesiguala + i21.10 Figura9.Figura10.1.7DivisindenmeroscomplejosPara dividir dos nmeros complejos se pueden escribir entre parntesis,poniendo en medio de stos el smbolo / tal y como se hace con la suma y lamultiplicacin. Otra posible manera de hacerlo es utilizar la expresin quese localiza en la pestaa 2D del teclado virtual. En la figura 10 se muestra elcocientequeseobtienealdividirlosnmeroscomplejos+i sen4cos 24y.Como sepuede observarelresultadono vara si seusa el smbolo /o elsmbolo .i 3 11.8PotenciacindenmeroscomplejosPara elevar un numero complejo a una potencia es necesario escribir el nmeroentreparntesisydespusutilizarelbotn localizadoenlapestaa2D deltecladovirtual.Lautilizacindeestebotnnospermiteespecificarlapotenciaala cual queremos elevar el nmero complejo. As, en la figura 11 se puedeconstatar que el resultado de elevar a la cuarta potencia el nmero complejo + i2sen2cos 8 es4096.11 Figura11. 12 2.OPERACIONESCONMATRICESUna matriz es un arreglo rectangular de nmeros. Muchas veces esos nmerosrepresentancoeficientesdeunsistemadeecuacioneslineales.Aligualqueotrosobjetos matemticos, las matrices pueden operarse; es decir, pueden sumarse,multiplicarse, invertirse, etc. En este captulo ilustraremos la manera de realizarlas operaciones con matrices ms comunes utilizando la calculadora ClassPad330.2.1SumayrestadematricesParapodersumarorestardosmatrices,ambasdebentenerelmismonmeroderenglones y de columnas. Para ilustrar el procedimiento, vamos a efectuar lasiguienteoperacinconlacalculadora:+ 9 42 412 5 . 010 36 37 2Primero debemos ingresar a la aplicacin Principal de la calculadora yactivarlapestaa2Ddeltecladovirtualdelacalculadora.Despushayquedarunclicenelbotn conlocualaparecernlosbotones quesonlos que se utilizan para introducir matrices. Para este ejemplo particularutilizaremos el botn para introducir cada una de las tres matrices (verfigura 1). Finalmente hay que oprimir el botn EXE para obtener la matrizresultante(figura2). Figura1.Figura2.13 2.2MultiplicacindematricesPara multiplicar dos matrices se requiere que el nmero de columnas de laprimeramatrizseaigualalnmeroderenglonesdelasegunda.Multipliquemosporejemplolassiguientesdosmatrices: 12 42 68 16 110 45 8 6 25 . 0 00 1 3 1 31 1 0 2 9Para introducir la matriz de la izquierda de 3x5, hay que oprimir el botn dos veces (para introducir tres renglones) y el botn cuatro veces (paraintroducir cinco columnas); as tendremos un acomodo rectangular de tresrenglones y cinco columnas en el que nicamente resta introducir los valoresnumricos. Un procedimiento similar se sigue para ingresar la segunda matriz.El operador x debe escribirse en medio de las dos matrices, quedando laexpresin final como en la figura 3. Al oprimir EXE obtendremos la matrizproducto(verfigura4). Figura3.Figura4.14 2.3InversadeunamatrizSolamente tienen inversa las matrices cuadradas (mismo nmero de renglonesquedecolumnas)cuyodeterminanteesdistintodecero.Enelsiguienteejemplomostraremos cmo calcular la inversa de una matriz que incluye nmeroscomplejos.Lamatrizqueutilizaremoseslasiguiente: + 2 3 40 6 12 1 0iiDebido a que emplearemos nmeros complejos en la matriz, ser necesarioconfigurar la calculadora para trabajar con ese tipo de nmeros. Elprocedimiento es muy sencillo, simplemente de un clic con el lpiz tctil en lapalabra Real localizada en la parte inferior de la pantalla de la calculadora, alrealizar esto la palabra ser sustituida por la expresin Cplj que indica que lacalculadora est lista para trabajar con nmeros complejos (ver figura 5). UnnuevoclicsobrelaexpresinCpljregresaralacalculadoraalmodoreal.Ahorahayqueingresarlamatrizysuscorrespondientesvalores;recuerdaquelaexpresiniseencuentraenlapestaa2D deltecladovirtual.Cuandosehayaingresado la matriz, ser necesario agregar el exponente con ayuda delbotn (ver figura 6). Ese exponente indica que se desea calcular la inversadelamatriz.DespusdeoprimirEXEseobtienelamatrizinversaquesemuestraenlafigura7.1 Figura5.Figura6.Figura7.15 2.4ValoresyvectorespropiosFinalmente ilustraremos la manera de obtener los valores propios (oeigenvalores) y los vectores propios (o eigenvectores) de una matriz.Consideremoslamatriz : A=1 0 10 1 11 1 0A Para calcular sus valores propios es necesario escribir la matriz y seleccionarlaconellpiztctil.PosteriormenteseledebeaplicarelcomandoeigVllocalizadoen el men Interactivo/MatrizCalcular (ver figura 8). De esta maneraobtendremos los eigenvalores que para el caso de esta matriz son 2, 1 y 1 (verfigura9). Figura8.Figura9.A partir de los valores propios se calculan los vectores propios. Sin embargoestos ltimos no son nicos, por esa razn la calculadora ClassPad 330 slocalculavectorespropiosunitarios,esdecir,vectorescuyanormaesiguala1enotrostrminos,vectoresV talesque:Si ,entonces=nxxxV#21( ) 12 2221= + + +nx x x " 16 Entonces, para calcular los vectores propios de la matriz A empleada en elejemploanterior,sedebeseguirelmismoprocedimientodescritoparaelclculode los valores propios, pero aplicando el comando eigVc en lugar del comandoeigVl. El comando eigVc se encuentra situado justo debajo del comando eigVl(verfigura 8).Comosepuede apreciarenla figura 10,elresultadodeaplicar elcomandoeigVcesunamatrizde3x3dondecadaunadelascolumnasrepresentacadaunodelosvectorespropiosunitariosdelamatriz A.Figura10.17 18 3.DERIVADASEntrminosgenerales,elClculoDiferencialestudiacmocambianlasfuncionescuando sus variables cambian. Una herramienta fundamental en que se apoyaparamedirestecambioesel onceptodederivada,elcualsedefi mosigue: c necoLaderivadadeunafuncin representadapor(x),es en unnmerox,i(x) = limh-0(x + b) - (x)bencasodeexistirellmite(Stewart,1998,p.112).ConlacalculadoraClassPad330esposiblecalcularladerivadautilizandoporlomenosdosformas,unadeellasesladefinicin,lacualcomoseobservaimplicaun lmite. La otra forma es calcularla directamente con el comando , paraaccederacualquieradelasopcioneslasaccionesaejecutarson:Principal/2D/CLCAcontinuacinejemplificaremoscmocalcularladerivadadeunafuncin.3.1ClculodeladerivadaconladefinicinSupongamos que deseamos calcular la derivada de la funcinf(x) = 2x6 + Sypara ello debemos emplear la definicin de derivada. El procedimiento a seguires el siguiente: entrar a la aplicacin Principal, luego definir la funcinf(x) =2x6 + S,estosehaceutilizandoelcomandodefine,esdecir,debemosescribirenlacalculadoralasentencia,definef(x) = 2x6 + SypresionarlateclaEXE,laletraf seencuentraenlapestaaabc,verfigura1.Elsiguientepasoesutilizarelcomando yllenarsuscamposconlosdatosdeladefinicindederivada,comoenlafigura2. 19 Figura 1.Figura 2.3.2ClculodeladerivadaconelcomandoderivadaCalcular la derivada con el comando es simple, para ello en la aplicacinprincipal se inserta el comando (figura 3) y a ste se le colocan los datosnecesarios:lafuncinaderivarylavariableconrespectoalacualsevaaderivar.Por ejemplo, para derivar la funcin(x) = 2x6 + Scon respecto a la variablexdebemos introducir la informacin en la calculadora como se muestra en lafigura4ypresionarlateclaEXE. Figura3. Figura4.

3.3 rivadasdeorden2omayor DeSi(x)eslafuncinresultantedederivar(x)yastaselederivanuevamente,se dice que se ha calculado la segunda derivada de(x), esta operacin seacostumbra representar como (x) . Si esta expresin resultante se derivanuevamente se habla entonces de una tercera derivada. Es decir, al nmero deveces que se deriva una funcin se le conoce como el orden de derivacin. Enocasiones es necesario calcular segundas derivadas, terceras, cuartas, etc. Paraestos casos se emplea el comando . Por ejemplo, para calcular la tercera20 derivada de la funcin(x) = (x + z)4, se debe insertar el comando en laaplicacinprincipalyseingresanlossiguientesdatos:elordendederivacin,lafuncin a derivar y la variable con respecto a la cual se derivar. En la figura 5mostramoslaterceraderivadade (x) conrespectoax.Figura5.3.4DerivadaimplcitaA las funciones tratadas en los ejemplos anteriores se les llama funcionesexplcitas, en ellas la variable dependiente (y) se expresa en trminos de lavariable independiente (x). Sin embargo en ocasiones las funciones a derivarestn expresadas en forma implcita, es decir de la forma (x, y) = g(x, y)alguna de sus variantes. Una delas nuevascaractersticas de la ClassPad 330 esquepuederesolverestetipodederivadasconayudadelcomandoImpDiff.Porejemplo,calcularladerivadadex2y3 + Sy2 = x - 4y,pararesolverlaseingresaalaaplicacinPrincipalyseintroducelaecuacin,verfigura6,posteriormenteseselecciona la ecuacin y luego se utiliza el comando ImpDiff localizado enInteractivo/Clculo,verfigura7.21 Figura6. Figura7.Alaplicarelcomandosemostraruncuadrodedialogoquepedirlasiguienteinformacin: la ecuacin a derivar (la cual se ingresa automticamente porhaberlaseleccionadopreviamente),lavariableindependiente,enestecasoeslax,ylavariabledependiente,lay,figura8.FinalmentesecolocalainformacinysepresionalateclaEXE,figura9. Figura8.Figura9.22 3.5DerivadasparcialesLa derivada parcial es una operacin que se acostumbra aplicar a funciones dedos variables reales, nos centraremos en stas por ser muy utilizadas en loscursos de clculo. El clculo de las derivadas parciales se realiza de la mismaformaconquese alculaladerivadadeunafuncinenu av riabl c n a e.Supngase que es una funcin de dos variables x y y . Si y se conservaconstante,digamosy = y0,entonces(x, y0)seconvierteenunafuncindeunasola variable. Su derivada para x = x0 se llama derivada parcial de conrespectoaxen(x0, y0)ysedenotaco o,mox(x0, y0).Porlotantx(x0, y0) =limAx-0(x0 + x, y0) -(x0, y0)xEn forma similar, la derivada parcial decon respecto ayen(x0, y0)se designacomo(x0, y0)yestdadaporlaexp i res n(x0, y0) =limAj-0(x0, y0 + ) - (x0, y0)(TomadadePurcellyVarberg,1987,p.640)3.6ClculodederivadaparcialconladefinicinA continuacin calcularemos la derivada parcial de una funcin utilizando ladefinicin mencionada anteriormente. Para simplificar en la calculadora laimplementacin de la definicin de derivada parcial, haremos queb = x, conestolasfrmulasquedarnas:x(x0, y0) = limh-0(x0 +b, y0) - (x0, y0)by(x0, y0) = limh-0(x0, y0 + b) -(x0, y0)bF l . rmu a1 Ejemplo.Calcularx(1, S)y(1, S) si(x, y) = x5y + 7xy2Para realizar esta operacin ingrese a la aplicacin Principal, aqu se necesitadefinirlafuncinfdada,paraelloseescribelasiguientesentencia:23 definef(x,y)=x^5y+7xy^2Es importante que las letrasxeyse ingresen como variables, no con la pestaaabc, porque de lo contrario la calculadora las considera constantes y al derivarlasharcero.AlpresionarlateclaEXEsemostrarlafigura1.FA continuacin para calcularx(1, S)con la pestaa 2D se ingresa la frmula 1correspondiente, ver figura 2, al presionar la tecla EXE se exhibir el resultado,figura3.Enlafrmulaingresada,sienlugardelosvaloresparticulares(1,5)seemplealasvariablesx, yseobtendrlaformageneraldeladerivadaparcialdefconrespectoax,verlafigura4.igura1. Figura2. Figura3. Figura4.24 Porotraparte, modificando la posicinde henlafrmulaquemostramosen lafigura3determinamos(1, S),verlafigura5.Engeneral,laderivadaparcialdeconrespectoaylamostramosenlafigura6. Figura5. Figura6.3.7Clculodeladerivadaconlaplantilla Otra forma de calcular la derivada parcial es utilizando la plantilla .Retomandolafuncin(x, y) = x5y + 7xy2,paracalcularsusderivadasparcialesesnecesarioinsertarlaplantilla delapestaa2DenlaaplicacinPrincipal,eintroducirledirectamentelafuncin,figura7.Sisedeseacalcularlaparcialde con respecto axse coloca la variablexen el diferencial y se presiona la teclaEXE,figura8,ysisedesealaparcialconrespectoay,secolocaestavariableeneldiferencial,verfigura9. Figura7. Figura8. Figura9.25 3.8LaregladelacadenaEsta regla es aplicable a funciones compuestas, los autores Purcell y Varberg(1987 igue: )lapresentancomosSean x = x(t) y y = y(t) dos funciones diferenciables en t , y sea z = (x, y)diferenciableen(x(t), y(t)).En ce ( t (t)) ton s,z = x(), yJzJtesdiferenciableenty,= ozoxJxJt + ozoyJyJt(PurcellyVarberg,1987,p.659).Frmula2.Ejemplo.Siz = x3ydondex = 2tyy = t2,encontrardzdtLaideapararesolvereslasiguiente:asignarlasfuncionesalasvariablesz,xyyy posteriormente usar la plantilla como lo indica la frmula 2. Para asignarunvaloraunavariablelasintaxiseslasiguiente:Expresin=VariableEn la figura 10 se muestra la asignacin de las funciones dadas a las variablescorrespondientes: Figura10. Figura11.26 Finalmente para determinardzdt, ingresamos la plantilla tantas vecescomoloindicalafrmula2(figura11)yagregamoslasvariablescomoensudefinicinyalterminarsepresionalateclaEXE,verfigura12. Figura12. 27 28 4.INTEGRALESEl de integral es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas. Lacalculadora ClassPad 330 tiene la capacidad de efectuar integrales definidas eindefinidas. Tambin permite efectuar integracin mltiple e integracinnumrica. En este captulo mostraremos cmo llevar a cabo cada una de estasoperacionesconayudadelacalculadora.4.1IntegracinindefinidaEl proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracinindefinida y es por tanto el proceso inverso de la derivacin. Para ilustrar lamanera en que se efectan este tipo de integrales en la calculadora ClassPadvamos a resolver la integral ( )+ + dx x x21 ln . Lo primero que hay que hacer esingresar a la aplicacinPrincipal y escribir la funcin que se quiere integrarque en este caso es ( )21 ln x x + + . Despus de escribir la expresin hay queseleccionarla con el lpiz tctil. Ahora hay que aplicarle el comando que selocalizaenelmenInteractivo/Clculo(verfigura1).Alseleccionarelcomando aparecer una ventana en la que se debe especificar qu tipo de integral sequiere realizar. De manera automtica la opcin para integral indefinida estarseleccionada (ver figura 2), por tal razn slo es necesario oprimir el botnAcep.paraobtenerelresultado,elcualsemuestraenlafigura3. Figura1.Figura2.29 Figura3.Figura4.4.2IntegracindefinidaEn muchas ocasiones se requiere calcular el valor de la integral de una funcinenunintervaloparticular.Entalcasoesnecesarioefectuarunaintegralenlaquese especifiquen los lmites de integracin, es decir, una integral definida.Supongamos que nos interesa integrar con respecto de x a la funcinen el intervalo ( ) ( ) x x f 2 cos = [ ] , 0 . Una manera de hacerlo es seguir elprocedimiento que aplicamos en el caso de la integral indefinida: escribir lafuncin que queremos integrar, seleccionarla con el lpiz tctil y aplicarle elcomando ; la nica diferencia es que ahora, cuando aparezca la ventana dedilogo deberemos seleccionar la opcin Definitivo y especificar que 0 ser ellmiteinferiormientrasque serellmitesuperior(verfigura4).AloprimirelbotnAcep.seobtendrelresultadoqueenestecasoescero.La calculadora ClassPad 330 realiza representaciones grficas de las integralesdefinidas. Para ilustrar de manera grfica el resultado de la integral queacabamosdeefectuaresnecesariooprimirelbotn localizadoenlabarradeherramientas de la aplicacin principal que estamos utilizando (ver figura 5).Justo cuando se oprime ese botn, aparece un plano cartesiano en la parteinferior de la pantalla (ver figura 6). Es necesario entonces seleccionar slo lafuncin que se integr (en este caso ( ) x 2 cos , como se muestra en la figura 6) yposteriormente arrastrar la expresin con ayuda del lpiz tctil hacia el planocartesiano (ver figura 7). De esta manera obtendremos la grfica de la funcincomosemuestraenlafigura8. ( ) ( ) x x f 2 cos =30 Figura5.Figura6. Figura7.Figura8.Situadosenlaventanaquecontienelagrficadelafuncin ( ) ( x x f 2 cos = ),vamosahoraautilizarelcomandodxqueseencuentraenelmenAnlisis/ResolucinG(verfigura9).Cuandoseseleccionaelcomandodxapareceuncursorsobrelagrfica de la funcin. Es en este momento cuando debemos definir el lmiteinferior y superior de la integral. Al oprimir la tecla 0 (que es el lmite inferior)aparecerunaventanaenlaquetambindeberemosespecificara comolmitesuperior (figura 10). Finalmente, al oprimir el botn Acep. se mostrar larepresentacin grfica de la integral definida (rea sombreada), y en la parteinferiordelapantallaelvalordelaintegralcalculada.31 Figura9.Figura10.Figura11.4.3IntegracinnumricaEn algunas ocasiones es muy difcil o incluso imposible calcular de maneraanaltica el valor de una integral. En este tipo de situaciones es convenienteefectuarunaintegracinnumrica,queaunqueesunaaproximacinalresultadoexacto, uno puede definir el intervalo de error permisible en la calculadoraobteniendo as resultados muy precisos. Vamos a ilustrar la relevancia de laintegracin numrica con el siguiente ejemplo: supongamos que queremosencontrar el valor numrico de la integral . Si tratamos deresolverlasiguiendoelmtodorecindescritoparacalcularintegralesdefinidas,( )( )0sen2 cos dx e xx32 nos encontraremos con que la calculadora arroja un error de memoriainsuficiente (ver figura 12). Si ahora repetimos el procedimiento de integracincon la calculadora, pero esta vez seleccionando la opcin Numrico en lugardeDefinitivoaparecerunaventanaenlaquedeberemosdefinirloslmitesdeintegracin y el intervalo de error permisible o tolerancia (ver figura 13). Aloprimir el botn Acep. obtendremos una buena aproximacin al valor de laintegral,talycomosemuestraenlafigura14. Figura12.Figura13.Figura14.33 4.4IntegracinmltipleLaintegracinmltipleseutilizacuandosequiereintegrarfuncionesdemsdeuna variable real como por ejemplo( ) y x f ,. Para efectuar una integral mltipleenlacalculadoraClassPad330esnecesarioutilizarelteclado2Dparaintroducirlas expresiones matemticas. De hecho, este mtodo de introduccin de lasexpresionesmatemticasqueutilizaremosparalasintegralesmltiples,tambinpuede ser aplicado a los tipos de integracin que se han presentado conanterioridadenestemismocaptulo.Comenzaremos pues resolviendo la integral doble 1032160xxdydx xy . Lo primeroquedebemoshaceresdirigirnosalapestaa2Ddeltecladovirtual.Enlaesquinainferior izquierda encontraremos el botn , el cual deberemos oprimir.Estebotnnosdaaccesoavariossmbolosmatemticosincluidoeldelaintegralrepresentado por el botn . Este ltimo botn debe ser oprimido dos veces(porque se trata de una integral doble), y posteriormente hay que llenar losespacios en blanco que se refieren a los lmites de integracin, la funcin aintegrar y los diferenciales. Es muy importante destacar que es necesariointroducir el smbolo x en medio de la expresin para que lacalculadora pueda distinguir que se trata de dos variables diferentes y noproduzca resultados errneos (ver figura 15). La necesidad de incluir esosoperadorespuedesersuperadasienlugardeusarlasletrasdelapestaaabcseutilizanlasvariablesx,y,zdeltecladofsicodelacalculadoraodelmen incluido en la pestaa 2D (ver figura 16). Al oprimir el botn EXE se obtendrcomoresultado6.3xy Figura15.Figura16.34 Siguiendoelprocedimientodescritoesposiblecalcularinclusointegralestriples.Por ejemplo en la figura 17 se muestra que el resultado de la integral 11111122223xxzzdydzdxes 16. Figura17.35 36 5.ECUACIONESDIFERENCIALESA groso modo, las ecuaciones diferenciales son expresiones matemticas deigualdad que involucran derivadas o diferenciales. Estas tienen gran aplicacinen las distintas ramas de las ciencias, comnmente se les utiliza para hacermodelosmatemticosyresolverciertosproblemas.Unejemplodeunaecuacindiferencialeselsiguiente:J2yJx2 + JyJx - 12y = uEcuacin1.Como en la ecuacin 1 el orden de la ms alta derivada es 2, se trata de unaecuacin diferencial de orden 2. La calculadora ClassPad 330 puede resolverecuaciones diferenciales de primero, segundo y tercer orden, tambin resuelvesistemasdeecuacionesdiferencialesdeprimerorden.5.1ResolviendoecuacionesdiferencialessincondicininicialPara resolver una ecuacin diferencial se utiliza el comando dSolve el cual seencuentra en la aplicacin Pincipal dando un toque en Interactivo/SolveEcuacin/Desigualdad.Ejemplo,resolverlaecuacin1:d2dx2 +ddx -12y = uSabemos que esta expresin es equivalente a yii + yi -12y = u , entoncesingresamoslaexpresin(figura1),enseguidaseleccionamoslaecuacinyconellpizaplicamoselcomandodSolve,verfigura2,conellosemostrarlapantalladelafigura3,endondesedeberindicaraxcomolavariableindependiente,yaycomo la variable dependiente y a continuacin elegir Acep., as se obtendr elresultado de la figura 4. Las expresiones const(1) y const(2) son lasconstantes.37 Figura1. Figura2. Figura3.Figura4.5.2EcuacionesdiferencialesconcondicininicialCuandosenecesitaresolverunaecuacindiferencialdeprimerordensujetaalacondicin y(x0) = y0, dondex0es un nmero en un intervaloIyy0un nmeroreal arbitrario se deber hacer lo siguiente: reptase el procedimiento de laseccinanteriorhastaelmomentodeaplicarelcomandodSolve,sinembargoenestaocasinseleccionelaopcinIncluirco d n icin.Ejemplo, resolver la ecuacin diferencialy' + ty = y, para la cual se desea quey(2) = S.Ingresamos la ecuacin (figura 5), la seleccionamos y posteriormente aplicamosel comando dSolve (figura 6), es aqu donde elegimos la opcin Incluircondicin, ver figura 7, note que la ecuacin se introdujo con variables, no conletrasdelapestaaabc. 38 Figura5. Figura6. Figura7.En este caso se indica a la calculadora que la variable independiente est, ladependienteesy,laprimercondicinest = 2ylasegundacondiciny = S,verfigura8.Enlapantalladelafigura9semuestraelresultado. Figura8. Figura9.5.3SistemasdeecuacionesdiferencialeslinealesLos sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden son semejantes a lossistemasdeecuacioneslinealesdeprimergrado,ladiferenciaentreestosesqueenlosprimeroslasolucincuandoexiste,sonfuncionesofamiliasdefuncionesque cumplen las condiciones de las ecuaciones diferenciales que forman elsistema,mientrasqueenelotrocasolasolucinsuelenservaloresnumricos.39 Unejemplodeunsistemadeecu o ialeseselsiguiente: aci nes diferenc2x + y - y tx + y Sujetaax(u) = 1,y(u) = u== t2Para resolverlo con la ClassPad 330 se procede as: estando en la aplicacinPrincipalescribir s laiguientesentencia:dSolve({2x + y - y = t,x + y = t2},t, {x, y], x = 1, t = , y = )Como puede observarse, las dos ecuaciones diferenciales del sistema sedelimitan con , y se agrupan con {},tes la variable independiente,{x, y]indican las variables dependientes y finalmente x = 1, t = , y = , son lacondicininicial.Verfigura10. Figura10. AlpresionarlateclaEXEsemostrarlasolucinalsistema,verfigura11. Figura 11. 40 5.4GraficandounaecuacindiferencialdeprimerordenPara graficar el campo de pendientes de una ecuacin diferencial de primerorden se debe proceder de la siguiente manera, entrar a la aplicacinGraf.Ec.Di enelMen,conellosemostrarlapantallaenlafigura12.Ejemplo,paragraficary = y2 - x,seingresalaecuacindiferencial(figura13)ysepresionaelcono ,verfigura14. Figura12. Figura13. Figura14.5.5Condiciones iniciales y graficando curvas solucin de unaecuacindiferencialdeprimerordenRetomando el trabajo realizado al graficar la ecuaciny' = y2 - xdel ejemploanterior, podemos tocar con el lpiz el cono CI, figura 15, y para agregarcondiciones iniciales se deben dar valores paraxyy, por ejemplo, introduzcalossiguientesvalores(0,0),(0,0.5),verfigura16(cadaqueseintroduceunvalor,automticamente aparecen nuevos espacios). Si con el lpiz se selecciona cadacondicin en el cuadrito de seleccin, al presionar el cono se graficarn lascurvassolucinasociadasatalescondiciones,figura17y18.41 Figura15. Figura16. Figura17.Figura18. 42 6.TRANSFORMADADELAPLACESea unafuncindefinidaparatodo t .LatransformadadeLaplacede f t ( ) 0 f t ( )sedefinecomo:f t ( ) { }s ( )= F s ( )= estf t ( ) dt0= limbestf t ( )0bdt siellmiteexiste.UnadelasventajasquepresentalatransformadadeLaplaceesquesimplificalaresolucin de ecuaciones diferenciales. En este captulo mostraremos la maneraenquesepuedeencontrarlatransformadadeLaplaceylatransformadainversade Laplace de una funcin, con la calculadora ClassPad 330. Tambinpresentaremoslamaneraderesolverecuacionesdiferenciales.Antes de comenzar es importante tener claro que la calculadora ClassPad 330puede realizar la transformada de las funciones: sen(x) , cos(x) , , , senh(x) cosh(x)xn, x , , , ;peronopuederealizarlatransformadadelasfunciones:exheaviside (x)tan (delta (x)x) sen-1log (x) ln (x), , , , , , ,, , , (x) cos-11x (x) tan-1 (x) tanh (x) senh-1 (x) cosh-1 (x)tanh-1 (x) , y ga abs (x) mma (x) .6.1TransformadadeLaplacedeunafuncinPara encontrar la transformada de Laplace de una funcin con lacalculadoraClassPadslosenecesitaespecificarculeslavariableconrespectoalacualsetransformalaexpresin,culeselparmetrodelatransformadayporsupuestolafuncin .Porejemplo,calculemoslatransformadadeLaplacedela funcin . Primero hay que ingresar a la aplicacin Principalde la calculadora y escribir la funcinf t ( )f t ( )tcos f t ( )= te4t ()f t ( )como se muestra en la figura 1.Enseguida deberemos seleccionar la expresin con el lpiz tctil y aplicarle elcomando laplace que est localizado en el men Interactivo/Avanzado (verfigura2).43 Figura1.Figura2.Al aplicar el comando laplace a la expresin, aparecer la ventana que semuestraenlafigura3.Ahsedebeespecificarquelavariableindependientees y que el parmetro de la transformada es ; al oprimir el botn Acep.obtendremos la transformada que se muestra en la figura 4. Si aplicamos elcomando simplify al resultado obtenido, veremos que ste es equivalente atss + 5 ( ) s 3 ( )s2+ 2s +17( )2 (verfigura4). Figura3.Figura4.44 6.2TransformadainversadeLaplaceSi ,entoncessediceque f t ( ) { }s ( )= F s ( ) f t ( )esunatransformadainversadeLaplacede . F s ( )Calcularuna transformada inversadeLaplacerequierede unprocesosimilar alpresentado en el punto 1.1; primero hay que ingresar la expresin matemticaque queremos transformar, que en este caso ess +1s2s + 2 ( )3 (ver figura 5).Enseguida hay que seleccionar la expresin con el lpiz tctil paraposteriormente aplicarle el comando invLaplace localizado en el menInteractivo/Avanzado, justo debajo del comando laplace. As aparecer unaventana de dilogo en la que deberemos especificar a s como la variableindependienteya t comoelparmetrodelatransformada(verfigura6).Figura5.Figura6.Figura7.Al oprimir el botn Acep. se obtendr la transformada inversa tal y como semuestraenlafigura7.Es importante recordar que tanto la transformada de Laplace como latransformadainversadeLaplacepuedenseraplicadasusandolosbotones yrespectivamente, los cuales se localizan en el men ADV de la pestaa 2Ddeltecladovirtual.45 6.3TransformadadeLaplacedeunaecuacindiferencialEs posible aplicar la transformada de Laplace para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias. Para ilustrar la manera en que se hace, resolveremosenseguida la ecuacin diferencial en la que y'' 4y'+ 4y = t3e2ty 0 ( )= y' 0 ( )= 0 .Primero debemos escribir la ecuacin diferencial que queremos resolver y laseleccionamos con el lpiz tctil (ver figura 8). Recuerde que la comilla paradenotar las derivadas se ingresa utilizando el botn localizado en el mende la pestaa mth del teclado virtual. Ahora le aplicaremos el comandolaplace y cuando aparezca la ventana de dilogo seleccionaremos la opcinEcuacin ODE; en la nueva ventana que aparecer definiremos como variableindependiente a t , como variable dependiente a , y como parmetro a y s (verfigura9). Figura8.Figura9.Cuando oprimamos el botn Acep. obtendremos una expresin en la quedeberemos sustituir los valores de y 0 ( )y y' 0 ( ). Comenzaremos sustituyendo elvalor , simplemente escribiendo la expresin y 0 ( )= 0 ans y 0 ( )= 0 2 yoprimiendoEXE.Estaexpresinleindicaalacalculadoraquequeremossustituirel valor en la respuesta recin obtenida (ver figura 10). Despus deoprimir EXE seobtieneuna nuevaexpresinenlaquesedebe sustituirelvalor, esto se logra escribiendo la expresin y 0 ( )== 00y' 0 ( ) ans y' 0 ( )= 0 y oprimiendo 2 Recuerdaqueelsmbolo|selocalizaenelsubmenuSMBdelapestaaabcdelteclado virtual. 46 nuevamente EXE. De esta manera obtendremos la expresinLP s2 4 LP s + 4LP =6s 2 ( )4 quesemuestraenlafigura11. Figura10.Figura11.Ahora necesitamos despejardelaltimaexpresinobtenida; para esoutilizaremos el comando solve, escribiendo la expresin yoprimiendo EXE posteriormente. El valor de resultante desemuestraenla figura12.Finalmente,calcularemoslatransformadainversadeLaplacedeL mediante la aplicacin del comando invLaplace. Para esto ser necesario reescribir (o copiarypegar)laexpresindelladoderechodelaltimaigualdadobtenidayaplicarleelcomandoinvLaplace,conLPsolve ans, LP( )LPPs comovariableindependientey t comoparmetro(ver figura 13). De esta manera obtendremos la solucin de la ecuacindiferencialqueenestecasoest5e2t20 .Elprocesocompletoquehemosefectuadosemuestraenlafigura14.47 Figura12.Figura13.Figura14. 48 7.TRANSFORMADASDEFOURIERLa transformada de Fourier es una funcin que tiene un gran campo deaplicacin para el anlisis de datos en teora de nmeros, fsica, teora de laprobabilidad,porcitaralgunos.Sedefineas:F{(o) ] = F(o) = _(x)e-IuxJx-Porotraparte,latransformadainversadeFourierdeF(o)es:F-1{F(o) ] = (x) = _F(x)eIuxJo-La calculadora ClassPad 330 puede realizar la transformada de las funciones:sin(x) , cos(x) , log (x) , ln (x) , abs(x) , signum(x) , heaviside (x) , uelta(x) ,uelta(x, n),cx; pero no puede realizar la transformada de las funciones: tan(x),sin-1x,cos-1x,tan-1x,sinh(x),cosh(x),tanh(x),sinh-1(x),cosh-1(x),tanh-1(x),gamma(x),x,cx.7.1ClculodelatransformadadeFourierEl clculo de la transformada de Fourier de una funcin se puede realizarutilizando el comando , para hacerlo, estando en la aplicacin Principal sedebe insertar el comando e indicarle a la calculadora la expresin(x)a la cualse aplicar la transformacin (asegrese que la calculadora est configurada enmodo complejo), luego se debe indicar la variable con respecto a la cual setransforma la expresin y el parmetro de la transformada. Por ejemplo, paracalcularlatransformadadeFourierde(x) = sin(x)losdatosseingresancomomostramos en la figura 1 y 2, y son los siguientes: sin(x)es la expresin atransformar, xes la variable con respecto a la cual se transforma y wes elparmetro. Una vez ingresada la informacin se presiona la tecla EXE y serealizarelclculo,figura3.49 Figura1. Figura2. Figura3.7.2LatransformadadeFourierconelcomandofourierOtra forma de calcular la transformada de Fourier es utilizando el comandofourier, la aplicaremos nuevamente a la funcin (x) = sin(x). Para hacerlo,estando en la aplicacin Principal se debe escribir la siguiente sintaxis:fourier(sin(x),x,w,1),verfigura4yalpresionarlateclaEXEserealizarelclculo,figura5. Figura4. Figura5.Comosepuedeobservarenlasintaxis,sehaincorporadoelvalor1.Estevaloresunajustealatransformadayseeligedependiendoelcontextoenqueseutilice,50 el valor 1 corresponde conla matemticapura yes el que lacalculadora da pordefault si no se elige algn otro. Se puede escoger los nmeros del 0 al 4 ycorresponden con 0 para Fsica Moderna, 1 con Matemtica Pura, 2 conProbabilidad,3conFsicaClsicay4conProcesamientodeSeales.7.3LatransformadainversadeFourierPara calcular la transformada inversa se utiliza el comando invFourier o laplantilla de la pestaa 2D del teclado virtual. Utilizaremos el comandoinvFourier para calcular la transformada inversa de la funcino(w + 1) n i -o(w - 1) n i. Para ello, os la sintaxissiguiente:estando en el men principal escribiminvFourier(6(w + 1) | - 6(w - 1) a |, w, x, 1) a Notequeenestecasolavariableeswyelparmetrox,verlafigura6.Figura6.AlpresionarlateclaEXEserealizarelclculoysemostrarelresultado,verlafigura7.Figura7. 51 52 8.ELMTODODENEWTON(PROGRAMACIN)Una tarea comn en las escuelas de ingeniera o matemticas es el clculo deraces de una ecuacin de la forma (x) = u , donde es una funcindiferenciable. Por ejemplo, calculamos races cuando aplicamos la frmulageneral para resolver ecuaciones cuadrticas. Por otra parte, existen funcionesque no permiten determinar sus races exactas, para lo cual hay mtodos queproducenaproximacionesdestas.UnodeestosmtodosesllamadoMtododeNewton, y su funcionamiento se basa en lo siguiente: Ver la figura 1, la raz adeterminaresr,altrazarlatangenteaporelpunto(x1, (x1))secortaalejedelasxenx2,siacercamosx1ar,x2pareceestarmscercader,yestevalorx2seempleacomounasegundaaproximacin.Calculandolapendientedelatangentelyutilizandolafrmuladelarectadadounpuntoysupendiente,sedeterminalaecuacindelatangentelydeellasedespejax2.Figura1.Repitiendo el proceso se puede llegar a la frmula general para lasaproximaciones:xn+1=xn -](xn)]i(xn)Frmula1.53 8.1ConstruyendoelprogramaNewtonAcontinuacinmostramosunaformadeprogramarelmtodoenlacalculadoraClasspad330.Segn la frmula del mtodo, la informacin que deber recibir la calculadoraparaoperares:a.Lafuncin(x) cualseledeseaaplicarelmtod ala ob.Unvalorinicialxnyelnmerodeaproximaciones,n.c.Con losdatos de entradaanteriores,lacalculadoradeberdeterminarlasaproximaciones, por tanto se necesitar crear una funcin que basada enlafrmuladelmtododeNewtonproduzcaunaaproximacin.d.Esta funcin ser llamada repetidamente en el cuerpo del programa paraobtenernuevasaproximaciones,loscualesserndatosdesalida,juntoconelnmerodeiteracin.8.2DefiniendolafuncinNewtonIniciaremosatendiendoalincisocdelapartado1.1.Para definir la funcin debemos acceder a la aplicacin Programa la cual seidentificaconelcono enelMenprincipal,alaccedersemostrarlafigura2.Figura2.54 Al tocar con el lpiz en el cono , se mostrar la figura 3, en la cual para elcampo Tipo deber elegir la opcin Funcin, en Carpeta se puede conservar laopcinMain,lacualesellugarenqueseguardarelarchivoyfinalmenteenelcampoNombredeberescribirelnombredelafuncin,enestecasoesNewtonyluegosedebeelegirAcep.Figura3.Conloanteriorsemostrarlaimagendelafigura4,enestaaplic insedefinelafuncincomosigue:acSeindicaquparmetrorecibirlafuncin,lollamaremosxn,figura4.Figura4.Se introduce la operacin, la frmula del mtodo en trminos delparmetroxn,figura5.Figura5.55 (xn)es el parmetro evaluado en la funcin f(x), la funcin f se definir en elcuerpo del programa. El comando Diff(f(x), x,1,xn) calcula la derivada de lafuncin(x),conrespectoalavariablex,laderivadaesdegrado1,yseevalaenelparmetroxn.Figura6.Figura6.Finalmente se asigna esta operacin a la funcin, para ello se utiliza elsmbolo localizadoenlapestaamth,deltecladovirtual(oenelmenCtrl),figura7.Elsmbolosecolocafrentealafrmulayacontinuacinseescribeelnombredelafuncindefinida,oseaNewton,figura8. Figura7. Figura8.Finalmente se presiona el cono , aparecer un mensaje preguntado si sedesean guardar los cambios, se debe elegir la opcin S, y con ello se habrdefinidolafuncin.Losiguienteesintroducirelcuerpodelprograma,peroestoesmateriadelapartadosiguiente.56 8.3ElcuerpodelprogramaNewtonA continuacin escribiremos el programa. Estando en la aplicacin Programa,tocarelcono ,conelloindicaremosalacalculadoraquecrearemosunonuevo.En la opcin Tipo seleccionemos Progr.(normal), la opcin Carpeta laconservamosen main, y en Nombre del programa escribimos MeNewton yseleccionamosAcep.,figura9.Figura9.Ahora introduciremos las instrucciones a la calculadora para que realice lasaccionesqueserequieren.Incisoadelapartado8.1Indicarlealacalculadoraquecuandoseejecuteelprogramapidaalusuarioqueintroduzcalafuncin(x).Antes de introducir comandos, indicaremos a la calculadora que limpie lapantalla (para borrar posibles residuos de programas ejecutados) y quetrabajaremosconnmerodecimales,paraestoseingresanenrenglonesdistintoslassiguientessentencias:ClrTextySetDecimal,figura10.57 Figura10.Para que la calculadora solicite introducir la funcinse utiliza el comandoInputFunc,elcualselocalizaenelmenE/SenEntradaverfigura11(tambinsepuedeescribirlasentenciaconlapestaaabcdeltecladovirtual).Figura11.Lasintaxisparausarestecomandoeslasiguiente:InputFuncNombredelafuncin,Cadena1,Cadena2Paraelcasoconcretoquenosocupaquedarcomosigue:InputFuncf(x),Introducelafuncin,MtododeNewton58 Ver Figura 12, si el programa se ejecuta en este momento presionadoconsecutivamente los conos y , se mostrar una ventana en la cual lacalculadorapedirqueseintroduzcalafuncin,verfigura13.Lafuncinpuedeser introducida con las opciones de la pestaa mth del teclado virtual de lacalculadoraoconeltecladofsico. Figura12. Figura13.Quelacalculadorapidaelvalorinicial(xn)yelnmeroderepeticiones(n).Incisobdelapartado8.1Aqu se requiere que la calculadora pida dos valores y los almacene en lasvariablesxnyn,paraestoseutilizalafuncinInput,lasintaxises:InputNombredelavariable,cadena1,Cadena2oseaInputxn,Daelvalorinicial,MtododeNewtonyInputn,Cuntasiteraciones?,MtododeNewton,figura14.Figura14.59 Alejecutarestaetapadelprogramasemostrarnlaspantallasdelasfiguras15y16. Figura15. Figura16.Incisocdelapartado8.1Esteapartadosedesarrollpreviamenteenelapartado8.2.Incisoddelapartado8.1LlamarrepetidamentelafuncinNewtoncreadaenelapartado1.2paracalcularaproximacionesaunadelasracesdelafuncin.Para indicarle esta accin a la calculadora se puede usar cualquiera de loscomandos que permiten definir ciclos. Usaremos el comando For, la variable n(nmeroderepeticiones)ydosvariablesauxiliares(AuxyRaz).Lasintaxisdelcomandoeslasiguiente:Forcantidad=Parmetro1ToParmetro2StepParmetro3Paraelcasoconcreto:For1=AuxTonStep1Estosepodrainterpretarcomosigue:ParaAuxigualcon1,hastaquevalgan,yendo de uno en uno, hacer y en el siguiente rengln se indican lasinstruccionesquesedeseanejecutar.AlrepetiressecalculanaproximacionesalarazconlafuncinNewton,elvalorresultantesedebeasignaralavariableRaz,verfigura17.60 Figura17.Posteriormente se debe indicar a la calculadora que asigne al parmetroxnelnuevo valor de la raz, para que se le considere en la prxima repeticin de lafuncinNewton,esoseindicaconlasentencia:Raz= xn,Verfigura18.Figura18.A continuacin, se debe pedir a la calculadora que muestre el nmero deiteracin,ylarazcalculadaenella.UsaremoselcomandoLocate,puespermitepresentar datos en coordenadas especficas de la pantalla. La sintaxis delcomando es Locate Ordenada, Abscisa, Parmetro. Introduciremos lassiguientessentencias:Locate5,5,XnLocate30,5,Raz61 Locate5,15Aux,AuxLocate20,15Aux,RazNextNexteslasentenciaconlaquecerramoselcicloFOR,verfigura19.Figura19.Finalmenteelprogramaest concluido,presionamosel cono o el cono yguardamosloscambiosrealizados.8.4UtilizandoelprogramaMeNewtonAcontinuacinutilizaremoselprogramaMeNewtonparadeterminarunadelasraces de la funcin(x) = x4 - Sx3 +4x2 - x + 1S, el valor inicial ser 2 y lasiteracionessern10.Solucin:alingresaralaaplicacinProgramasemostrarunentornosemejantealdelafigura20,enlasopcionesquemuestrandebernestarseleccionadascarpetamainyennombresedebermostrarMeNewton.Entoncessedeberejecutarelprogramadandountoqueenelcono .62 Figura20.Conestosemostrarelcuadrodedialogoquepideinserteslafuncin,lacualdeberseringresadaconeltecladodelacalculadoraoconlapestaamthdeltecladovirtual,figura21.Figura21.A continuacin se deber aceptar y posteriormente dar el valor inicial y elnmerodeiteraciones,figura22y23. Figura22. Figura23.Conestoelprogramaseejecutaryfinalizar(figura24),elegimosaceptarenelcuadro de dilogo que se muestre y luego podemos ampliar la pantalla deresultados del programa (con Resize) y mirar cada iteracin y su razcorrespondiente,figura25.63 Figura24. Figura25.En los resultados del programa se puede apreciar que a partir de la terceriteracin la raz se repite, e indica que es el valor a considerar. Hay variosmtodosmsparacalcularracesysepuedenimplementarenlaClassPad330. 64 EstelibrofueimpresoenMxico,D.F.enelao2009.CasioComputerCo.,Ltd. http://edu.casio.com 65