Unidad 1. Transporte de Cantidad de Movimiento (Momentum)

7/23/2019 Unidad 1. Transporte de Cantidad de Movimiento (Momentum)

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Universidad Abierta y a Distancia de Mxico 0

Fenmenos de transporteUnidad 1. Transporte de cantidad demovimiento (momentum)

Fenmenos de transporte

Unidad 1. Transporte de cantidad de

movimiento (momentum)

Cuarto semestre


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ndice

Unidad 1. Transporte de cantidad de movimiento (momentum).2Presentacin de la unidad.2Propsito de la unidad...3Competencia especfica4Temario4

1.1. Introduccin y conceptos bsicos...51.1.1. Importancia de los fenmenos de transporte en la formacin profesionaldel ingeniero...51.1.2. Elementos constitutivos de fenmenos de transporte..7

1.1.3. Mecanismo de transporte..81.2. Tipos de Fluidos y efecto de un esfuerzo sobre de stos...91.2.1. Relacin esfuerzos/rapidez de deformacin en un fluido..101.2.2. Ley de Newton de la viscosidad.111.2.3. Fluidos Newtonianos y no Newtonianos...131.2.4. Modelos reolgicos...171.3. Ecuacin de movimiento.191.3.1. Formulacin Euleriana.211.3.2. Formulacin Lagrangiana (Ecuacin de NavierStokes)..241.3.3. Ecuacin de continuidad (forma diferencial).251.3.4. Ecuacin de Bernoulli...261.4. Flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos301.4.1. Flujo de Hagen Poiseuille para fluidos no Newtonianos.301.4.2. Distribucin de presin.331.4.3. Flujo de Couette en rgimen transitorio341.5. Capa lmite hidrodinmica..351.5.1. Definicin y caracterizacin de capa limite..351.5.2. Teora de capa lmite de Ludwing Prandtl371.5.3. Simplificacin de la ecuacin de Navier- Stokes para el flujo en la capalimite.. 391.6. Turbulencia...40

1.6.1. Caractersticas distintivas de un flujo turbulento.401.6.2. Consecuencias matemticas de las propiedades de la turbulencia42

Actividades43Autorreflexiones43Cierre de la unidad...43Para saber ms.44Fuentes de consulta.44


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Unidad 1. Transporte de cantidad de movimiento (momentum)

Presentacin de la unidad

Al hablar de fenmenos de transporte nos referimos al estudio sistemtico y unificadode la transferencia de momento, energa y materia. El transporte de estas cantidadesguarda fuertes analogas, tanto fsicas como matemticas, de tal forma que el anlisismatemtico empleado es prcticamente el mismo para los tres transportes.

Por qu es necesario estudiar los Fenmenos de Transporte? Porque en labiotecnologa permiten:

Proyectar la mejora en el desempeo de los sistemas de agitacin debiorreactores.

Disear correctamente sistemas de esterilizacin y pasteurizacin. Estimar tamaos de biorreactores.

Estimar tiempos de coccin.

Los fenmenos de transporte estn presentes en todos los procesos industriales, deah que se debe tener un conocimiento claro de la influencia de dichos fenmenos enlas etapas de los procesos. Los fenmenos de transporte han ido avanzando y

mejorando continuamente. Se podra decir que una de las aportaciones msimportantes en esta rama ha sido el libro de Bird, Stewart y Lightfoot (2006) Fenmenos de transporte, donde establece un mtodo distinto con respecto altransporte de cantidad de movimiento (flujo viscoso), transporte de energa(conduccin de calor, conservacin y radiacin), y transporte de materia (difusin).Considera que los medios en los que tienen lugar los fenmenos de transporte soncontinuos, haciendo una breve referencia a la explicacin molecular de los procesos.Tal tratamiento a base de un medio continuo presenta un inters ms inmediato paralos estudiantes de ingeniera, pero es preciso tener en cuenta que ambos puntos devista tanto continuo y molecular son necesarios para adquirir un completo dominio del

tema, para el anlisis y estudio de los fenmenos fsico-qumicos, buscandoexplicaciones moleculares para los fenmenos macroscpicos.

La importancia del estudio de los fenmenos de transporte radica en que nos permiteidentificar las leyes fundamentales de los procesos de transporte de masa, momentumy energa que se requieren en el anlisis de un problema especfico y nos facilitadesarrollar modelos tericos y terico-experimentales, capaces de ser utilizados en lacuantificacin de los sistemas reales aproximados, determinando su validez y alcance.Ser interesante conocer los fenmenos de transporte en cantidades microscpicas,desde el punto de vista molecular para posteriormente establecer su aplicabilidad anivel macroscpico.


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Asimismo, los principales balances microscpicos en biotecnologa son los de cantidad

de movimiento o momentum, calor y masa que permiten caracterizar la variacin de lafuerza motriz asociada (gradientes de velocidades, temperaturas o deconcentraciones, respectivamente) con respecto a coordenadas espaciales y al tiempoen los problemas dinmicos. La rapidez de densidad de flujo est determinada por losparmetros de transporte asociados a cada tipo de transferencia, sea esta: laviscosidad o parmetros reolgicos para el transporte de cantidad de movimiento, laconductividad trmica, el coeficiente de transferencia de calor por conveccin, o bien,la emisividad para el transporte de calor; as como, la difusividad y el coeficienteconvectivo de transferencia de masa para el transporte de masa para una sustancia ocomponente en sistemas binarios o multicomponentes.

En la transferencia de cantidad de movimiento, se efectan balances microscpicos develocidad de cantidad de movimiento, tanto viscosos como convectivos, tomando encuenta las fuerzas superficiales, como la presin, y las fuerzas volumtricas, como lagravedad o la fuerza centrfuga, lo cual da lugar a la expresin diferencial de laSegunda Ley de Newton. A partir de esta expresin se pueden obtener cantidadesfsicas como velocidad promedio, flujo volumtrico, fuerza que ejerce el fluido sobre lasparedes del ducto que lo contiene: nmero de Reynolds, flujo msico total, prdidas deenerga por transporte viscoso, entre otras, que son necesarias para el diseo desistemas de transporte de fluidos.

Propsitos de la unidad

Al finalizar esta unidad podrs: Revisar, analizar y aplicar los conceptos como flujo de

fluidos, Ley de Newton de la viscosidad, fluidosnewtonianos, fluidos no-newtonianos, as como a losque no es aplicable la ley de la viscosidad de Newton.

Establecer la influencia de la temperatura y la presinsobre la viscosidad de gases y lquidos. Comparar losmecanismos del transporte de cantidad de movimientode gases y lquidos. Calcular los perfiles de velocidadlaminar en algunos sistemas geomtricamentesencillos.

Comprender los principios de las distribuciones develocidad en flujo laminar y las ecuaciones devariacin para sistemas isotrmicos, as como las

distribuciones de velocidad con ms de una variableindependiente, incluyendo el conocimiento de la


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distribucin de velocidad en flujo turbulento.

Comprender los conceptos de transporte de interfaseen sistemas isotrmicos.

Competencia especfica

Analizar los fenmenos de transporte de cantidad demovimiento mediante las ecuaciones propias para explicar la

dinmica de fluidos.

Temario

1. Transporte de cantidad de movimiento (momentum).

1.1. Introduccin y conceptos bsicos.1.1.1. Importancia de los fenmenos de transporte en la formacinprofesional del ingeniero.1.1.2. Elementos constitutivos de un fenmeno de transporte.1.1.3. Mecanismos de transporte.

1.2. Tipos de Fluidos y efecto de un esfuerzo sobre de stos.1.2.1. Relacin esfuerzos-rapidez de deformacin en un fluido.

1.2.2. Ley de Newton de la viscosidad.1.2.3. Fluidos Newtonianos y no Newtonianos.1.2.4. Modelos reolgicos.

1.3. Ecuacin de movimiento.1.3.1. Formulacin Euleriana.1.3.2. Formulacin Lagrangiana (Ecuacin de Navier-Stokes).1.3.3. Ecuacin de continuidad (forma diferencial).1.3.4. Ecuacin de Bernoulli.

1.4. Flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos.1.4.1. Flujo de Hagen-Poiseuille para fluidos no newtonianos.


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1.4.2. Distribucin de presin.

1.4.3. Flujo de Couette en rgimen transitorio.

1.5. Capa lmite hidrodinmica.1.5.1. Definicin y caracterizacin de capa lmite.1.5.2. Teora de capa lmite de Ludwig Prandtl.1.5.3. Simplificacin de la ecuacin de Navier-Stokes para el flujo en lacapa lmite.

1.6. Turbulencia.1.6.1. Caractersticas distintivas de un flujo turbulento.1.6.2. Consecuencias matemticas de las propiedades de la

turbulencia.

1.1. Introduccin y conceptos bsicos

En esta primera unidad es de gran importancia estudiar la propiedad fsica que

caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillo que es la viscosidad, yaque unos fluidos son ms viscosos que otros, adems la viscosidad vara con

la temperatura, por estas razones es importante estudiar las viscosidades degases y lquidos desde el punto de vista cuantitativo. Esta informacin sernecesaria de forma inmediata, para la resolucin de problemas de flujo viscoso.

De la misma manera se estudiara como se puede calcular los perfiles de velocidadlaminar en algunos sistemas geomtricamente sencillos. Para estos clculos se haceuso de la definicin de viscosidad y del concepto de un balance de cantidad demovimiento. Es preciso conocer la velocidad mxima, la velocidad media y el esfuerzocortante en una superficie.

1.1.1. Importancia de los fenmenos de transporte en la formacinprofesional del ingeniero

En la industria los procesos de transporte qumico y las operaciones fsicas, seencuentran relacionados con el mecanismo de transporte de todas o algunas de laspropiedades extensivas e intensivas, as como la cantidad de movimiento, energa ymateria. (Figura 1). Los fenmenos de transporte se definen como la cantidadtransferida a travs de un rea dada en una cantidad de tiempo, el flujo tendr lugarcuando existe una falta de balance o gradiente de una propiedad del sistema y

actuar en sentido opuesto a ese gradiente.


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Los fenmenos de transporte vistos como una materia del ingeniero, presentan

aspectos interesantes de los cuales nos referimos principalmente a ellos cmo materiaintegradora, como una materia adecuada para desarrollar el criterio terico y prcticomostrando objetivamente la forma en que avanza la ciencia ingenieril, como lacaracterizacin a nivel microscpico o diferencial en el interior de los sistemas, con loque se consigue as una concepcin integral de la Ingeniera en la medida en que serelaciona el comportamiento macroscpico de las operaciones unitarias con elcomportamiento a nivel microscpico y molecular de las sustancias o componentes dela operacin unitaria. La formacin profesional debe ser un crecimiento constante enconocimientos provenientes de diversas materias donde se apoyarn de la integracinde dichos conocimientos; todo ello ayudar a adquirir un aprendizaje distribuido y forjaruna mentalidad ingeniosa para tener un amplio conocimiento de los fenmenos detransporte, que se presentan en la vida cotidiana.

Figura 1. Fenmenos de transporte en la industria(Constantin, P. 2007).

Es importante describir las propiedades de un sistema en equilibrio, ay que nos

permitir conocer las propiedades del sistema a transportar en el cual debe existir unacorrecta distribucin espacial de las propiedades de equilibrio, sin embargo,consideramos la aplicacin de una perturbacin externa a un sistema de forma queuna propiedad del sistema se desplaza del equilibrio, es ah donde los fenmenos detransporte implican la evolucin de una propiedad del sistema en respuesta a ladistribucin de no equilibrio de la misma.

Es de gran utilidad adquirir conocimientos de fenmenos de transporte, y muyimportante familiarizarse con las leyes bsicas, en donde se hace nfasis que losfenmenos de transporte se relacionan con las leyes naturales. As mismo aprendersobre el campo de aplicacin de los fenmenos de transporte, desde el punto de vistade los procesos, as como de los equipos en los cuales estos fenmenos se


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presentan. Es de suma importancia conocer cmo determinar los coeficientes de

transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa.

Este conocimiento le permitir a un ingeniero entender lo que ocurre con un procesoproductivo, con el equipo involucrado, as como tomar la mejor decisin desde lospuntos de vista operacional y econmico. Como pieza clave en el desarrollo de laIngeniera, las matemticas proveen un enlace riguroso, sistemtico y cuantitativoentre los fenmenos a nivel microscpico y el diseo de procesos.

A medida que se profundiza en el estudio de los fenmenos de transporte, ste seencuentra estrechamente relacionado con las operaciones bsicas que se rigen porleyes similares, como son transporte de movimiento, de materia y energa.

1.1.2. Elementos constitutivos de fenmenos de transporte

En la ingeniera cualquier proceso fsico o qumico tiene por objeto modificar lascondiciones de una determinada materia, para adecuarla a nuestros fines, estamodificacin se provocar alterando los valores de las variables que definen alsistema, dando lugar al transporte de alguna de las tres propiedades intensivas que seconservan en las colisiones moleculares: la materia, la energa o la cantidad demovimiento. La variacin de una de estas propiedades es provocada por la existencia

de un gradiente del sistema lo que se manifiesta en una variacin a lo largo de una oms dimensiones.

Si en una mezcla fluida multicomponentes existe un gradiente de temperatura, seproducir un transporte de energa, si existe un gradiente en la composicin de algunode los componentes habr un transporte de materia.

En los fenmenos de transporte es necesario que exista un gradiente de la magnitudindependiente, este gradiente es la fuerza impulsora y el fenmeno de transporte sepuede realizar en el sentido de alcanzar el estado mnimo de energa o (equilibrio) en

el que las magnitudes independientes son constantes en todas las direcciones, esdecir el sistema sufre un cambio en el sentido contrario al gradiente.

El objetivo del estudio de los fenmenos de transporte es pues, determinar lavelocidad con que es posible alcanzar el equilibrio, tal como la composicin, la energay la cantidad de movimiento en el sistema.


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1.1.3. Mecanismo de transporte

En la industria es muy comn bombear fluidos a grandes distancias y cantidadesdesde los depsitos de almacenamiento hasta las unidades de proceso, lo cualproduce una importante cada de presin, tanto en las tuberas como en las propiasunidades. Es preciso considerar los problemas relacionados con el clculo de lapotencia requerida para poder bombear y con el diseo del sistema de tuberas. Hayque tener en cuenta que el fluido puede ser lquido, gas o una mezcla de ambas fasesy puede ser transportado a alta presin y al vaco. Es necesario conocer el tipo detuberas, as como el movimiento que presentar el flujo en el tubo para poder conocersi es laminar o turbulento.

Estos fenmenos de transporte ocurrirn entre fluidos y slidos, y como principalpropiedad cuentan con la existencia del gradiente que representa la tendencia paraalcanzar el equilibrio. Entre los mecanismos de transporte que podemos mencionar seencuentran:

Flujo de fluidos:Se produce un transporte de cantidad de movimiento entrelos puntos que avanzan a distintas velocidades, este tipo de flujo puede ser deflujo interno y flujo externo.

Transmisin de calor: Se produce un transporte de energa entre regionesdonde existe una diferencia de temperaturas.

Transporte de materia: Se debe al cambio de composicin de una mezclacomo consecuencia del desplazamiento de un componente desde regiones demayor concentracin hasta las de menor concentracin.

Para profundizar en el tema de mecanismos de transporte puedesrevisar el libro de Bird, R. B. et.al. (2006). Fenmenos de transporte.Nueva York: Ed. John Wiley & Sons, Inc., 2a edicin; en este libroconocers las caractersticas de los mecanismos de transporte enproceso industriales.

Los mecanismos de transporte se pueden distinguir fundamentalmente por el tipo demovimiento molecular y turbulento. El primero se basa en el desplazamiento einteracciones de las molculas. El segundo es el ms comn que es el rgimenturbulento, ya que facilita a los procesos de transferencia, aunque es ms difcil de

cuantificar, las condiciones de equilibrio seran:


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Igualdad de velocidades en transferencia de cantidad de movimiento.

Igualdad de temperaturas, en transferencia de calor. Igualdad de concentraciones, en transferencia de materia.

Al conocer las caractersticas de los tres diferentes mecanismos de transporte sedefine el tipo de fluido a utilizar, as como sus propiedades y condiciones, quedeterminarn el tipo de proceso usado. Estamos ahora en condiciones de estudiar losdiferentes tipos de fluidos, las relaciones esfuerzosrapidez de deformacin, la Ley deNewton, los fluidos tanto newtonianos como no newtonianos y los modelos reolgicos.

Para profundizar en el tema de ley de Newton puedes revisar el libro deBird, R. B. et.al. (2006). Fenmenos de transporte. Nueva York: Ed.John Wiley & Sons, Inc., 2a edicin; donde podrs encontrarpropiedades del fluido tales como la viscosidad.

Inicialmente es conveniente reconocer o definir un fluido ideal como aqul en el cualno existe friccin entre sus partculas, o lo que conocemos como viscosidad. En

realidad un fluido como este simplemente no existe, dado que todos son viscosos ycompresibles. Es por esto que la propiedad de los fluidos llamada viscosidad significaque siempre actan fuerzas tangenciales o cortantes cuando existe movimiento dandolugar a las fuerzas de friccin.

En los temas expuestos se establece la importancia que los fenmenos de transportetienen en los procesos productivos, as como su importancia en las operacionesunitarias de los procesos qumicos y bioqumicos. De igual manera, se plantea lanecesidad de conocer sobre este tema para tomar la mejor decisin desde los puntosde vista operacional y econmico. Asimismo, es muy importante conocer losgradientes que dan lugar al desempeo de los mecanismos de transporte.

1.2. Tipos de Fluidos y efecto de un esfuerzo sobre de stos

En todo sistema debemos considerar el tipo de fluido (liquido o gas) contenido entredos laminas planas y paralelas, con un rea, separadas entre s por una distancia muypequea, donde inicialmente se encuentra en reposo, y al cabo del tiempo, la lminainferior se pone en movimiento en la direccin del eje x, con una velocidad constante.A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento. Esta fuerzagenerada por unidad de rea es proporcional al gradiente negativo de la velocidadlocal; dando lugar a la Ley de Newton de la viscosidad y a los fluidos newtonianos y no


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newtonianos, donde estos ltimos son los que los fluidos que no cumplen con dicha

ley.

En otras palabras, la cantidad de movimiento va en sentido de que desciende de unaregin de velocidad alta a otra de baja velocidad, de la misma forma que un trineo sedesliza desde un lugar elevado hasta otro ms bajo, y el calor fluye de una zonacaliente haca otra ms fra. El gradiente de velocidad puede considerarse, porconsiguiente, como una fuerza impulsora del transporte de cantidad de movimiento.

La influencia de la temperatura y la presin sobre la viscosidad de gases y lquidos seresume finalmente en el estudio de la viscosidad desde el punto de vista de losprocesos moleculares, y el comportamiento de los mecanismos del transporte decantidad de movimiento en gases y lquidos.

1.2.1. Relacin esfuerzos/rapidez de deformacin en un fluido

Es importante mencionar que un fluido es una sustancia que se deformacontinuamente bajo las aplicaciones de esfuerzos cortantes, las caractersticasreolgicas que posee un fluido son de gran importancia en el desarrollo de productosen el mbito industrial, para el diseo de las operaciones bsicas de bombeo,mezclado y envasado, almacenamiento y estabilidad fsica e incluso en el momentodel consumo.

En un fluido las propiedades reolgicas estn determinadas por la relacin que existeentre la fuerza o sistema de fuerzas externas y su respuesta. Por la deformacin delflujo, todos los fluidos se deformarn en mayor o menor medida al ser sometidos a unsistema de fuerzas externas. La reologa se encarga de estudiar a los fluidosnewtonianos, ya que estudia las propiedades que les caracterizan como un fluido yaque se estudian los parmetros reolgicos como la viscosidad, consistencia,propiedades elsticas.

Los fluidos se clasifican en lquidos y gases, los primeros estn sometidos a fuerzasintermoleculares que ayudan a mantener unidos de tal manera que su columna estdefinida, pero carecen de forma definida. Cuando vertimos un lquido dentro de unrecipiente, este fluido ocupara un volumen parcial igual al volumen del recipiente sinimportar la forma de este fluido. En los gases existen partculas que estn enconstante movimiento, chocando unas partculas con otras y tratan de dispersarse detal manera que un gas no tiene forma ni volumen definido.

Debido a que la transferencia de cantidad de movimiento se lleva a cabo en el seno deun fluido. Sin embargo, para que exista esfuerzo cortante, el fluido debe estar en

movimiento. La principal distincin entre un slido y un fluido es el esfuerzo cortante,en un material solido este es proporcional a la deformacin por corte y el material deja


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de deformarse cuando se alcanza el equilibrio, mientras que el esfuerzo cortante es

un fluido viscoso es proporcional a la rapidez de deformacin cuando se alcanza elequilibrio, el esfuerzo cortante se presenta cuando la fuerza aplicada es tangencialal rea de aplicacin; cuando la fuerza aplicada es normal al rea de aplicacin, elesfuerzo se conoce como esfuerzo normal Como se muestran en la figura 2.

Figura 2.Fuerza ejercida sobre un elemento del fluido (Guillen, M. et al 2013).

1.2.2. Ley de Newton de la viscosidad

Una vez que se conoce el esfuerzo cortante (figura 2), se puede establecer la Ley deNewton de la viscosidad con base en la experimentacin de un sistema conformadopor un fluido contenido entre dos placas, una de las cuales se pone sbitamente enmovimiento a un tiempo determinado a una velocidad constante, a medida quetranscurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, y, finalmente se estableceel periodo de velocidad en rgimen estacionario, que se indica en la figura 3.Una vezalcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerzacontante para conservar el movimiento. Esto indica claramente el comportamiento del

experimento para establecer la Ley de Newton de la viscosidad.


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Figura 3.Formacin del perfil de velocidad en estado estacionario. (Ibarz, A 2005)

La expresin matemtica de la Ley de Newton es:

yd

vd xxy

Donde

=

= = Es decir que el esfuerzo cortante ejercido en la direccin xsobre un fluido situado auna distancia y, depende de la viscosidad del fluido y del gradiente de velocidad (vx)en la direccin con respecto a la distancia y.

Los principios de la esttica de fluidos son casi una ciencia exacta, por otra parte losprincipios del movimiento de los fluidos son bastante complicados, las relacionesbsicas que describen el movimiento del fluido son bastante complicadas. Lasrelaciones bsicas que describen el movimiento de un fluido estn comprendidas en laecuacin para los balances totales de masa, energa y momento lineal.

Para ampliar tu conocimiento sobre la Ley de Newton de la viscosidad,as como de valores de viscosidad para gases, lquidos y slidos,puedes consultar el texto de Bird, R.B. et.al. (2006). (Seccin 1.1), paraconocer un poco ms sobre la viscosidad.


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Los balances totales o macroscpicos se aplicarn a un recipiente finito o volumen fijo

en el espacio. Usamos el trmino total debido a que deseamos describir estosbalances con respecto al exterior del recipiente. Los cambios dentro del recipientequedan determinados en trminos de las propiedades de las corrientes de entrada ysalida y de los intercambios de energa entre el recipiente y sus alrededores.

1.2.3. Fluidos Newtonianos y no Newtonianos

Los fluidos se clasifican de acuerdo a la relacin que se tiene entre el gradiente de lavelocidad y el esfuerzo cortante. Los que siguen la Ley de Newton de la viscosidad

(figura 3) se conocen como fluidos Newtonianos, sin embargo, hay fluidos que nosiguen esta ley, y como ya se ha mencionado, se conocen como fluidos Nonewtonianos. El comportamiento de los fluidos depende en gran medida de laviscosidad del fluido la cual se define en la medida de su resistencia a la deformacin.La relacin entre esfuerzo y rapidez de deformacin para fluidos se presenta demanera grfica en la figura 4.

Figura 4. Razn de esfuerzo vs esfuerzo limite. (Geankoplis, 2004).

A continuacin podrs observar grficas para dos fluidos Newtonianos donde semuestra el comportamiento entre esfuerzo y velocidad de cizalla (figura 5). Para fluidosNewtonianos, la relacin entre esfuerzo y velocidad de cizalla es lineal.


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Figura 5.Comportamiento de fluidos Newtonianos (Hernndez, M.J, 2010).

Los fluidos no newtonianos en la actualidad forman una parte de la ciencia ms ampliaque es la reologa, la cual es la ciencia que se encarga del flujo y la deformacin de losfluidos, debido al estudio de las propiedades mecnicas de los gases, lquidos,plsticos, sustancias asflticas y materiales cristalinos. Es importante sealar que lareologa abarca desde la mecnica de fluidos hasta la elasticidad de Hooke, por otraparte tambin estudia la deformacin y flujo de todos los tipos de materiales pastososy suspensiones. (Bird, R.B. et al,2006).

El comportamiento reolgico, en estado estacionario puede establecerse mediante unaforma generalizada de la ecuacin: = = = =

En la que puede expresarse a su vez en funcin de dvx/dy o deyx. En las regionesen que disminuye al aumentar el gradiente de velocidad , elcomportamiento se denominapseudoplstico, mientras que en las que aumenta condicho gradiente se denomina dilatante. Si resulta independiente del gradiente develocidad, el fluido se comporta como newtoniano, y entonces se relaciona con laviscosidad.


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Los fluidos donde existen esfuerzos de corte en los que no se relacionan directamente

con la deformacin son no newtonianos, lo que significa que son vlidos paramateriales que tienen un esfuerzo de deformacin cero. Por lo comn los fluidos nonewtonianos se clasifican con respecto a su comportamiento en el tiempo, pueden serdependientes del tiempo o independientes del mismo. Un ejemplo de ellos puede serla fcula de maz al mezclarse con agua, el huevo a la hora de separarse de la yema,la miel de maple al distribuirla en la superficie de un hotcake.

Podemos mencionar los fluidos independientes del tiempo:

Los fluidos de plsticos de Binghamson fluidos simples debido a que solodifieren de los newtonianos en cuanto a que la relacin lineal no pasa por elorigen. Para iniciar el flujo se requiere un exceso de cierto valor del esfuerzocortante llamado lmite de fluidez.

Los fluidos pseudoplsticos la mayora de los fluidos no newtonianospertenecen a esta categora e influyen las soluciones o fusiones de polmeroslas grasas las suspensiones de almidn, la mayonesa, ciertos fluidosbiolgicos, las suspensiones de detergentes, los medios de dispersin dealgunos productos farmacuticos y las pinturas.

Los fluidos dilatantes, son mucho menos comunes que los pseudoplsticos ysu comportamiento de flujo muestra un aumento de la viscosidad aparente alelevar la velocidad cortante, casi siempre se puede aplicar la expresinexponencial, para un fluidos newtoniano, n=1 algunas soluciones dilatantes sonla harina de maz y la azcar en solucin, arena de playa hmeda, almidn enagua, silicato de potasio en agua y varias soluciones que contenganconcentraciones elevadas de polvos en agua.

Incluyendo los modelos matemticos (modelos reolgicos) que definen sucomportamiento. Es importante resaltar que la mayora de los fluidos de origenbiolgico exhiben comportamiento no newtoniano.

De igual manera, en las siguientes grficas se puede observar el comportamiento dediferentes fluidos No Newtonianos:


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Figura 6.Modelos comparativos de fluidos no-newtonianos y newtonianos.(Geankoplis, C.J. (2004).

Se ha establecido que la viscosidad del fluido es una propiedad muy importante queinfluye de manera sustancial en el comportamiento del fluido en movimiento. De ah laimportancia de determinar esta propiedad con la mayor precisin posible. En lacaracterizacin reolgica de fluidos se describen los diversos sistemas para medir

viscosidad (viscosmetros) aplicables a fluidos newtonianos y los aparatos empleadospara evaluar fluidos no newtonianos (remetros) as como el uso de los datosexperimentales para obtener los valores de los parmetros del modelo reolgicopropuesto (Figura 6).

Cuando no es posible llevar a cabo la experimentacin para determinar la viscosidad,se puede recurrir a mtodos tericos para estimar esta propiedad. Mtodos grficoscomo la de la relacin generalizada y mtodos analticos como los de Chapman-Enskog y de Eyring, se han empleado para estimar la viscosidad de gases y lquidos,respectivamente.

La viscosidad en los lquidos se presenta cuando las molculas se presentan al azaraumentando las fuerzas de cohesin. Estas molculas son capaces de deslizarse, loslquidos se difunden en otras mezclas miscibles; al bajar la energa cintica, baja latemperatura hasta el punto en que se generan slidos. Las partculas no se mueven,vibran.


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Para ampliar tu conocimiento sobre la Ley de Newton de la

viscosidad, as como los tipos de fluidos no newtonianos. En elcaptulo unos de Bird, R.B. et.al. (2006) del texto Fenmenos detransporte se muestra la aplicabilidad de estos mtodos paraestimacin de la viscosidad.

Existe gran nmero de datos de viscosidad de gases y lquidos puros reportados enbibliografa, cuando no se poseen dichos datos experimentales la viscosidad puedeobtenerse por mtodos empricos, utilizando otros datos de la substancia en cuestin.

Se presentan dos correlaciones que permiten efectuar dicha estimacin y que a su vezproporcionan informacin sobre la variacin de la viscosidad de los fluidos ordinarioscon la temperatura y la presin. Estas correlaciones se basan en el anlisis de un grannmero de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicacin delprincipio de los estados correspondientes.

1.2.4. Modelos reolgicos

Se han propuesto numerosas ecuaciones empiricas o modelos para expresar la

relacion que exiete en estado estacionario entre la viscocidad de Newton y( ), mencionaremos cinco mtodos. Dichos mtodos poseen ecuaciones conparmetros empricos positivos cuyo valor numrico puede determinarsecorrelacionando los datos experimentales de la viscosidad frente a la , atemperatura y presin constante (Geankoplis, 2004).

Modelo de Bingham.

En la primera ecuacin se utiliza el signo positivo si el valor de es positivo y con unsigno negativo, si es negativo el fenmeno, las sustancia que se comporta de acuerdocon este modelo de dos parmetros se denomina plstico de Bingham, permanecer

rgida mientras el esfuerzo cortante es menos de un determinado valor de porencima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modeloresulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas.


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Modelo de Ostwald de Waele.

Esta ecuacin de dos parmetros se conoce tambin con el nombre de ley de la

potencia. Para n=1 se transforma en la ley de viscosidad de newton, siendo m= , porlo que la desviacin del valor de n con respecto a la unidad es una medida del gradode desviacin del comportamiento newtoniano, si el valor de n es menor elcomportamiento cambiara por un pseudoplstico.

Modelo de Eyring.

Este modelo de dos variables o parmetros donde se apoya de la teora cintica delquidos de Eyring, que se estudia en , este modelo da una idea del comportamientopseudoplstico para valores finitos de y tiende asintticamente a la ley de laviscosidad de Newton cuando el valor de tiende hacia cero; en este caso el valorde la viscosidad es .

Modelo de Ellis.

Este modelo consta de tres parmetros positivos ajustados: y a. Si se toma paraun valor mayor que la unidad, el modelo tiende hacia la ley de Newton para valores

bajos de

mientras que si se elige para un valor menor que la unidad, la ley de

Newton se establece para valores elevados de

. Este mtodo posee una gran

flexibilidad y en l estn comprendidos como casos particulares tanto la ley de Newtoncmo la ley de potencia. (Geankoplis, C.J. 2004).

Modelo de Reiner- Philippoff.


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Este modelo consta de tres parmetros positivos que pueden ser ajustables tales

como la viscosidad , el comportamiento de fluido newtoniano para estemodelo presenta valores bajos y tambin muy elevados.

Para ampliar tu conocimiento sobre los modelos reolgicos y susaplicaciones, revisa las secciones 1.3, 1.4 y 1.5 de Bird, R.B. et.al.(2006) del texto Fenmenos de transporte.

En los temas expuestos se establece la importancia de la deformacin de fluidos enmovimiento bajo la accin de fuerzas, de lo cual depende que se clasifiquen en fluidosNewtonianos y fluidos No Newtonianos, incluyendo los modelos que los representan.De igual manera, se plantea la importancia de determinar de manera experimental oanaltica la viscosidad de un fluido, la cual se ve influenciada por la presin y latemperatura.

1.3. Ecuacin de movimiento

La ecuacin de movimiento, expresa el principio de conservacin de cantidad demovimiento. Al sistema pude entrar cantidad de movimiento por transporte, de acuerdocon la expresin newtoniana (o no-newtoniana), de densidad de flujo de cantidad demovimiento. Tambin puede entrar cantidad de movimiento debido al movimientoglobal del fluido. Las fuerzas que nos interesan son las fuerzas de presin (actuandosobre superficie) y las fuerzas de gravedad (que actan sobre todo el volumen).

Para un elemento diferencial de volumen , se puede escribir el siguientebalance de cantidad de movimiento, la ecuacin es para sistemas en estado noestacionario:

[ = [ [

[

Sin embargo, adems de tener en cuenta el comportamiento no estacionario,permitiremos al fluido que se mueva en una direccin arbitraria a travs de las seiscaras del elemento de volumen. Es preciso resaltar que la ecuacin es una ecuacinde un vector, con componentes para cada una de las tres direcciones con

coordenadas en x, y yz.


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Figura 7.Regin de volumen de la cantidad de movimiento(Aguilera, M.E.et al 2005).

Utilizando la ecuacin en la direccin x la cantidad de movimiento que entra y sale delelemento de volumen indicado como se muestra en la figura anterior, se produce pordos mecanismos como la conveccin y transporte molecular, es decir, debido al flujoglobal del fluido y a causa de los gradientes de velocidad.

La velocidad con que entra debido a la cantidad de movimiento por conveccin en el

eje x de la cantidad de movimiento por la cara situada en x en las coordenadasy la velocidad de salida sumndole las fuerzas que actuaran sobre elsistema del cual se est estudiando.

La velocidad con que el componente en el eje x de la cantidad de movimiento entrapor transporte molecular por la cara situada en x es con la que sale es .Para las dems caras se pueden escribir expresiones similares. Hay que tomar encuenta que las densidades de flujo para la cantidad de movimiento en el eje j a travs

de una cara perpendicular al eje i, sumando las seis contribuciones se obtiene que:

+ ] ]+ Estas densidades de flujo de la cantidad de movimiento se consideran esfuerzoscortantes por lo tanto el esfuerzo normal actuara en una sola cara y ser un esfuerzotangencial que actuara sobre la cara en direccin xy que resultara de las fuerzasviscosas. En la mayor parte de los casos, las nicas fuerzas importantes sern lasprovenientes de la presin del fluido y la fuerza de gravedad.


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De acuerdo al texto Welty, J. R,. et al (1993). (Seccin 3.2), en la mecnica de fluidos,

existen dos formas de representar campos: la representacin de Euler y larepresentacin de Lagrange.La diferencia entre ambos enfoques est en la forma deidentificar y describir la posicin del sistema de flujo en los que los efectos viscosos.

Mientras en los textos de Bird, R. B. et.al. (2006), (Seccin 3.2) La ecuacin delmovimiento y Geankoplis, C. J. (2004), se desarrollan las ecuaciones para fluidosideales, o no viscosos, con densidad constante y viscosidad cero. A estas expresionesse les conoce como ecuaciones de Euler.

x

x

z

x

y

x

x

x gxp

zvv

yvv

xvv

tv

y

y

z

y

y

y

x

yg

y

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

z

z

z

z

y

z

x

z gz

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

1.3.1. Formulacin Euleriana

Las ecuaciones de Euler son necesarias para calcular la distribucin de presin en elborde externo de la capa lmite, delgada en el flujo que pasa por cuerpos sumergidos.La formulacin euleriana fija su atencin sobre un punto particular en el espacio ydescribe lo que sucede en ese punto (o dentro y en las fronteras de la regin) a lolargo del tiempo. Las propiedades de la partcula de fluido depende de la localizacinde la partcula en el espacio y el tiempo, el campo de velocidad se expresa como:

V=V (x,y,z,t)

Donde las variables independientes son la posicin en el espacio, representada por lscoordenadas cartecianas (x,y.z) y el tiempo (t). Como la identificacin de puntos fijosen el espacio generalmente es ms fcil que identificar piezas individuales de fluido, ladescripcin Euleriana se emplea con mucha frecuencia en la mecnica de fluidos.Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacin de lavelocidad, la presin, etc., en funcin de coordenadas de espacio y tiempo. Se puedeemplear entonces las funciones:

V (x,y,z,t) o P(x,y,z,t)


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Para encontrar la velocidad o presin en cualquier lugar dentro del campo en cualquier

instante, sustituyendo simplemente los valores para x, y, z y t.

La aplicacin en ingeniera de un anlisis de flujo trata los efectos del movimiento delos flujo sobre ciertos objetos, es importante la presin que se ejerce y no el efecto quehay sobre una partcula de fluido en particular.

La formulacin Langragiana, identifica cada partcula determinada del fluido y describelo que le sucede a lo largo del tiempo. Matemticamente la velocidad del fluido seescribe como:

V = V (iden tid ad de l a par tcu la, t)

Las variables independientes son la identidad de la partcula y el tiempo. El enfoquelagrangiano se usa ampliamente en el campo de la mecnica de los fluidos y en elestudio de la dinmica. Una descripcin lagrangiana es atractiva si se trata de unnmero de partculas pequeo. Si todas las partculas se mueven como un slidorgido o si todas las partculas se desplazan solamente un poco de su posicin inicial osu posicin de equilibrio. Sin embargo, en un fluido en movimiento, identificar y seguirel rastro de varias partculas es virtualmente imposible. Surgen complicacionesadicionales debido a que una partcula tpica de fluido con frecuencia experimenta undesplazamiento largo. Por estas razones, en la mecnica de fluidos la descripcin

lagrangiana no es muy til.

En muchos casos, la densidad y la viscosidad son constantes , siendo sta ltimadiferente de cero, se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes (formulacinLangragiana) para los componentes x, y, z:

x

xxxx

z

x

y

x

x

x gx

p

z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

y

yyyy

z

y

y

y

x

yg

y

p

z

v

y

v

x

v

z

vvy

vvx

vvt

v

2

2

2

2

2

2

z

zzzz

z

z

y

z

x

z gz

p

z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Para ampliar tu conocimiento sobre la ecuacin de movimiento y deEuler as como el desarrollo matemtico de sus frmulas, revisa las

secciones del Autor Welty, J.R. et.al. (1993), del texto deFundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa.


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Al comienzo de siglo XXI la frontera ms activa del territorio de las ecuaciones enderivadas parciales tiene un amplio frente en el dominio hiperblico y parablico nolineal, tal es el caso ms notable en la mecnica de fluidos en las ecuaciones de Eulery de Navier Stokes.

La mecnica de fluidos es un campo amplio que abarca los tres estados de agregacinde la materia (lquido, gas y plasma). Las situaciones fsicas en las cuales intervieneun fluido son innumerables y la dinmica del mismo puede depender de factores talescomo la temperatura, la gravedad o la presencia de un campo magntico. Es por elloque el estudio de su evolucin constituye un tema central en fsica e ingeniera.

Es muy importante visualizar una aplicacin prctica de las ecuaciones de Euler y deNavier-Stokes donde se hace una deduccin de estas ecuaciones, para un fluidoincompresible, a partir de la aplicacin de la segunda Ley de Newton, al igualar laaceleracin de las partculas a la suma de las fuerzas que actan sobre ellas: lasvariaciones espaciales (gradiente) de la presin, las fuerzas de rozamiento(viscosidad), y las fuerzas externas como la gravitatoria, aadindoles la ley de laconservacin de la masa. Como su ttulo lo indica, se plantea el modelamiento detorbellinos, gotas y olas, mediante estas ecuaciones.

Figura 8.Una nota gris de la naturaleza.Rainforestradio. Tomado de Tornados,(2012).

Para que tengas una comprensin ms profunda sobre las ecuaciones de Euler,recuerda que en la dinmica de fluidos la ecuacin de Euler describe el movimiento deun fluido comprensible no viscoso. Su expresin corresponde a las ecuaciones de

Navier Stokes cuando los componentes disipados son despreciables frente a las
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convectivas, esto nos lleva a deducir las siguientes condiciones que se deducen a

travs del anlisis de magnitudes:

1.3.2. Formulacin Lagrangiana (Ecuacin de Navier Stokes)

La serie de ecuaciones que rigen toda la mecnica de fluidos se obtienen por laaplicacin de los principios de conservacin de la mecnica y la termodinmica a unvolumen fluido. Para generarlas se usa el teorema del transporte de Reynolds y elteorema de la divergencia para obtener las ecuaciones en forma ms til para laformulacin Euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son la ecuacin de la continuidad, la ecuacin dela cantidad de movimiento y la ecuacin de la conservacin de la energa. Estasecuaciones pueden darse en su formulacin integral o en su forma diferencial,dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su formadiferencial tambin se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes.

Y de Lagrange, tiene su fundamento en la ecuacin de continuidad aplicada a unvolumen de control de dimensiones x y y, a travs del que est circulando el fluido(figura 9).

materiade

salidadevelocidad

materiade

entradadevelocidad

materiade

nacumulacidevelocidad

Figura 9.Elemento diferencial de fluido en un volumen de control. Tomado de Geankoplis, C.J.(2004).


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1.3.3. Ecuacin de continuidad (forma diferencial)

En el flujo la continuidad es consecuencia de la conservacin de la materia, esto serefiere a la constancia del flujo a lo largo del camino recorrido, su enunciado es: El flujode un fluido en movimiento es el mismo en dos puntos diferentes del camino recorridopor el fluido.

Esta ecuacin tambin recibe el nombre de ecuacin de continuidad del flujo. Expresaque la cantidad de masa por unidad de tiempo que ingresa por un punto debe ser iguala la cantidad de masa por unidad de tiempo que sale por un punto recorrido del fluido.

Si un fluido es un lquido no viscoso e incomprensible su densidad permanececonstante durante el flujo, es por ello que se puede eliminar la densidad en ambosmiembros de la ecuacin del flujo, por lo que la ecuacin de continuidad del flujo sereduce a la ecuacin de continuidad del caudal del lquido.

Para ampliar tu conocimiento sobre la ecuacin de movimiento y deEuler as como el desarrollo matemtico de sus frmulas, revisa lassecciones de los autores Welty, J.R. et al, (1993), del texto deFundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa.

La ecuacin de continuidad se obtiene por la aplicacin de un balance de materia a unelemento que posee un volumen y se puede representar por medio de una diferenciala travs de la cual circula el fluido (figura 10).

Figura 10.Regin de volumen donde circula el fluido (Bird, R.B. 1992)


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La ecuacin de continuidad nos permitir calcular la velocidad de un fluido en un

sistema de conductos cerrados, esto se puede determinar por la velocidad de flujo ymasa como se menciona en la formula general de continuidad:

La ecuacin de continuidad resultante es:

z

v

y

v

x

v

zv

yv

xv

t

zyx

zyx

Para un fluido de densidad constante: (fluido incompresible)

0

z

v

y

v

x

vzyx

En el flujo existen varios factores que afectan la eleccin de una velocidad parasatisfacer los sistemas de fluido. Algunos de los factores ms importantes son el tipode fluido, la longitud del sistema de flujo, el tipo de conducto o de tubo, la cada depresin que se puede tolerar, los dispositivos tales como las bombas, vlvulas lascuales se pueden conectar al conducto o a la tubera, la temperatura, la presin y elruido.

Con el anlisis de la ecuacin de continuidad aprendimos que la velocidad de flujoaumenta a medida que disminuye el rea de la trayectoria, por ello los tubos mspequeos producen velocidades bajas.

1.3.4. Ecuacin de Bernoulli

La ecuacin matemtica de Bernoulli es una relacin entre las fuerzas obtenidas a

partir de la conservacin de cantidad de movimiento; para el uso de la ecuacin deBernoulli se toman en cuenta tres consideraciones que hay que tener en cuenta en laecuacin que son, la energa cintica, al energa potencial y la energa libres(Helmholtz) totales del sistema de flujo; tomando la velocidad a la que el sistemarealiza trabajo mecnico sobre los alrededores, as como la perdida por friccin, esdecir, la velocidad con que la energa mecnica se convierte irreversiblemente enenerga calorfica. La magnitud de la energa potencial por unidad de masa es laentalpia libre (o energa libre de Gibbs) por unidad de masa. (Mott, R.L 2006).

Flujo estacionario: si un fluido fluye estacionariamente por una tubera

horizontal estrecha y de seccin transversal constante, la presin no cambia alo largo de la tubera.


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Flujo incomprensible: cuando la fuerza ejercida en cualquier lugar se puede

calcular en forma de presin. Flujo sin friccin:en estos sistemas en los que el comportamiento de flujo es

independiente del tiempo, puesto que las velocidades a la que el sistemarealiza trabajo mecnico cobre los alrededores son iguales.

Flujo a lo largo de una lnea de corrientes: un fluido de viscosidad constanteque es independiente de la velocidad del fluido

Para determinar esta ecuacin no se debe considerar tampoco la transferencia decalor o de trabajo. Una ecuacin de amplia aplicacin, sobre todo en el anlisis de flujo

a travs de tuberas, es, sin duda, la Ecuacin de Bernoulli. Esta ecuacin cubremuchas situaciones de importancia prctica y se usa con frecuencia junto con laecuacin de masa. En la ecuacin de Bernoulli se deben considerar los tipos deenerga que posee una porcin del fluido circulando. El elemento de fluido se localiza acierta altura (z), con respecto a un nivel de referencia, igualmente tiene ciertavelocidad (v) y cierta presin (P), como se muestra en la figura 11.

Figura 11.Elemento de tubo para anlisis de Bernoulli. Tomado de Geankoplis, C. J. (2004).

La ecuacin de Bernoulli es:

donde:

= es el peso especfico(=g).P= presin a lo largo de la lnea de corriente.g= aceleracin gravitatoriav = velocidad del fluido en la seccin consideradaz= altura en la direccin de la gravedad desde una cota de referencia= densidad del fluido

2

2

221

2

11

22z

g

vPz

g

vP


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Esta ecuacin de Bernoulli cubre muchas situaciones de importancia prctica en el

flujo de fluidos a travs de tuberas y se usa con frecuencia junto con la ecuacin deflujo msico para cualquier seccin de tubera, la cual se expresa como:Avm

.

Y para dos secciones (1, 2) de tubera:

222111

2

.

1

.

AvAv

mm

Es importante revisar y comprender claramente las restricciones de aplicabilidad de la

ecuacin de Bernoulli (Mott, 2006).La ecuacin de Bernoulli es una ecuacin muyaplicable para varias problemas cotidianos posee algunas restricciones con el fin de nousar esta ecuacin de forma incorrecta.

Es vlida solamente para flujos incompresibles No puede haber dispositivos mecnicos entre las dos secciones de inters que

puedan agregar o eliminar energa del sistema.

No puede haber transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido. No puede haber prdida de energa debido a la friccin.

En los sistemas de flujo siempre se presentarn restricciones y otros sistemaspresentan pequeos errores despreciables cuando se aplica la ecuacin de Bernoulli.

Es hora de tomar un respiro, y con los conocimientos adquiridos, podrs abordar congran certidumbre los temas relacionados a Flujo de Hagen-Poiseuillepara fluidos nonewtonianos, Distribucin de presin, Flujo de Couette en rgimen transitorio.

Figura 12.La ley de Poiseuille o ley de HagenPoiseuille (Ramos M. 2007).

La ley de Poiseuille o tambin denominada ley de HagenPoiseuille, despus de losexperimentos esta ley permitira determinar el flujo laminar estacionario de un lquidoincompresible que avanza de manera uniforme debido a su viscosidad (tambindenominado fluido Newtoniano), este fluido pasa por un tubo o cilindro de seccincircular constante. Observa la figura 12, donde a travs del tubo circular que tiene una


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superficie transversal a una viscosidad , una velocidad de flujo V y una distancia a

recorrer d, se define la fuerza viscosa como:

Donde la viscosidad se mide en

La ley de Poiseuille predice que el caudal que pasa a travs de un tubo cilndrico deseccin circular es constante. La ley de Poiseuille tiene aplicacin, por ejemplo, en laventilacin pulmonar al describir el efecto que tiene el radio de las vas respiratorias

sobre la resistencia del flujo de aire en direccin a los alveolos; tambin en la redhidrulica casera, etc., stas y ms aplicaciones dan pauta para el estudio delsiguiente tema.

Para ampliar tu conocimiento sobre la ecuacin de movimiento y deEuler as como el desarrollo matemtico de sus frmulas, revisa lassecciones de los autores Welty, J.R. et.al. (1993), del texto deFundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa.

La ley de Poiseuille es aplicada en la fsica de fluidos la cual se basa en el estudio deflujos laminares en tubos cilndricos, tales como tuberas de metal, esta ley se aplicasolo a flujo laminar no turbulento de un fluido viscoso constante, que es independientede la velocidad del fluido. La ley de Poiseulle se cumple solamente para flujoslaminares, sin embargo, frecuentemente el flujo no es laminar sino turbulento y separece entonces a la estela de una lancha rpida, con torbellinos y remolinos.

Cuando un fluido tiene una velocidad grande el flujo laminar se rompe y se establece

la turbulencia crtica por encima de la cual el flujo a travs de un tubo resultaturbulento, depende de la densidad y de la viscosidad del fluido y del radio del tubo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Pulmonarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alv%C3%A9olo_pulmonarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alv%C3%A9olo_pulmonarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pulmonar


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1.4. Flujo laminar de fluidos newtonianos y no newtonianos

Mediante balances de cantidad de movimiento se pueden resolver varios problemasde flujo viscoso en estado estacionario. Los mtodos ms generales permiten describirsistemas de flujo ms complicados. Se han presentado algunas aplicaciones de lasecuaciones generales, pero, con el fin de hacer resaltar el aspecto fsico y reducir almnimo el tratamiento matemtico, dichas aplicaciones se han reducido en su mayorparte a los problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias envez de ecuaciones entre derivadas parciales.

Es importante que primeramente revises y entiendas los distintos regmenes de flujo:

laminar, de transicin y turbulento. El anlisis adimensional es un mtodo para verificarecuaciones y planificar experimentos sistemticos, a partir del anlisis dimensional seobtiene una serie de grupos adimensionales que va a permitir obtener resultadosexperimentales en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentesdimensiones geomtricas, cinemticas y dinmicas; y muchas veces en casos en quelas propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante losexperimentos.

La importancia del anlisis adimensional viene dada por la dificultad delestablecimiento de ecuaciones en determinados flujos, adems de la dificultad de suresolucin, siendo imposible obtener relaciones empricas.

Con base en el flujo laminar, se puede establecer la ecuacin de Hagen-Poiseuille,tanto para fluidos Newtonianos como para fluidos No Newtonianos, la cual se empleapara el clculo de la cada de presin de un fluido circulando en rgimen laminar.

1.4.1. Flujo de Hagen Poiseuille para fluidos no Newtonianos

En la dinmica de fluidos la ecuacin de Hagen-Poiseuille, esta ley tiene susprincipios en la ley fsica que da la cada de presin en un fluido que fluye a travs deun tubo largo y cilndrico.

Los flujos en tuberas quedan completamente limitados por superficies slidas, el flujointerno en tuberas, ductos, considerando un flujo incomprensible a travs de un tubode seccin transversal circular, es uniforme a la entrada del tubo y su velocidad esigual a cero, en la paredes la velocidad vale cero debido al rozamiento y se desarrollauna capa lmite sobre las paredes del tubo.

Para el caso de un fluido newtoniano circulando a travs de una tubera de dimetro D,de longitud L, desde la seccin 1 a la seccin 2, la ecuacin de Hagen-Poiseuille, en

trminos de velocidad promedio, se expresa como:


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L

DPPv L

promx32

2

0

Y en trminos de distribucin de presin, se expresa como:

2

12

21

)(32

D

LLvPPP

ff

Sin embargo, para fluidos no newtonianos, el comportamiento es diferente. Numerososfluidos comunes tienen un comportamiento no newtoniano, como por ejemplo, lacrema dental y la pintura Lucite. Esta ltima es muy "espesa" cuando se encuentra en

su recipiente, pero se "adelgaza" si se extiende con una brocha. La crema dental secomporta como un "fluido" cuando se presiona el tubo contenedor, sin embargo, nofluye por s misma cuando se deja abierto el recipiente. Existe un esfuerzo lmite, decedencia, por debajo del cual la crema dental se comporta como un slido. En rigor,nuestra definicin de fluido es vlida nicamente para aquellos materiales que tienenun valor cero para este esfuerzo de cedencia.

Para ampliar tus conocimiento sobre la ecuacin de Hagen-Poiseuille,tanto para fluidos Newtonianos como para no newtonianos revisa laSeccin 2.3 de Bird, R.B. et.al. (2006), del texto Fenmenos detransporte.

Para el caso de fluidos no newtonianos se puede obtener una ecuacin equivalente ala ecuacin de Hagen-Poiseuille para fluidos newtonianos, sin embargo depender delmodelo de fluido no Newtoniano aplicado. Uno de los modelos ms empleados es elmodelo de Bingham. Este es un modelo de dos parmetros en el que el fluido

permanece rgido mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado valorpor encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Estemodelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas.

El flujo de Bingham en un tubo capilar se muestra en la siguiente figura 13, obtenidade la seccin 2.3 del texto de Bird, R. B., et al. (2006).


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Figura 13.Flujo de Bingham en un tubo capilar. (Tomado de Bird, et al, 2006).

La ecuacin resultante, en trminos del flujo volumtrico Q, en el desarrollo para un

fluido que se comporta con el modelo de Bingham es:

4

00

0

4

0

3

1

3

41

8RR

L

L

RPPQ

Donde R es el radio del tubo.

En trminos de velocidad promedio es:

En trminos de cada de presin es:

14

00

2

0

0

3

1

3

41

8

RR

prom

LR

vLPP

Ests ltimas expresiones se convierten en la ecuacin de Hagen-Poiseuille para

fluidos Newtonianos cuando0

es igual a cero.

4

00

0

2

0

3

1

3

41

8 RR

Lprom

L

RPPv


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1.4.2. Distribucin de presin

Un fluido en movimiento ofrece una resistencia de friccin al flujo, parte de la energadel sistema se convierte en energa trmica (calor), el cual se disipa a travs de lasparedes del conducto en el que el fluido se desplaza. La magnitud de la prdida deenerga depende de las propiedades del fluido, la velocidad de flujo, el tamao delconducto, la rugosidad de la pared del conducto y la longitud del tubo.

La ecuacin general de la energa, es aplicable a un sistema de flujo de fluidos dondese pueden incluir la tubera, bombas, motor de fluido, y accesorios como vlvulas,codos, Tes, expansiones, etc. (figura 14).

Figura 14.Anlisis de energa en una tubera. Tomado de Geankoplis, C.J. (2004).

2

2

2

2

1

2

1

1

22

P

g

vzhhh

P

g

vz

LRA

Donde es el peso especfico del fluido ( = g),hAes la energa que se agrega alfluido con un dispositivo mecnico como una bomba, hRes la energa que se remuevedel fluido por medio de un dispositivo mecnico como un motor de fluido, turbina, etc.,y hLson las prdidas de energa del sistema por la friccin en las tuberas, y prdidasmenores por vlvulas y otros accesorios (Mott, 2006).

El trmino hLsuele representarse tambin como f.

Para una tubera recta horizontal, con seccin transversal de entrada igual a la seccintransversal de salida, sin bomba ni motor de fluido incluido, la prdida de energadebido a la friccin es:


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g

PPPPfh

L

2121

En la siguiente figura se muestra como se realiza la transmisin del movimiento entrelas capas de un fluido contenido entre dos placas planas, cuando el fluido seencuentra inicialmente en reposo y la placa superior se pone, sbitamente, enmovimiento. Este comportamiento se conoce como flujo de Couette, que se muestraen la figura 15.

Figura 15. Couette. Tomado de Dobkin D. M.,(2012).

1.4.3. Flujo de Couette en rgimen transitorio

Un tratamiento similar se puede hacer de un canal "corto", en una direccin el canalpuede ser tratado como un flujo entre placas paralelas infinitas; la accin de difusinviscosa del momentum (movimiento) hacia la corriente, desde las paredes causarque el fluido est completamente desarrollado despus de una distancia losuficientemente alejada de la entrada. La distribucin de velocidad es cuadrtica encualquier posicin vertical.

El flujo de Couette es un problema clsico en la dinmica de fluidos el cual consiste en

el movimiento de un fluido incompresible y homogneo entre dos placas paralelas ocilindros, donde una placa permanece en reposo y la otra en movimiento a unavelocidad determinada. Ocurre en todo equipo que envuelve partes interesantes dondeel espacio entre ellas es llenado por un fluido, donde una determinacin de perfil develocidades sirve de inters para varias ramas de la ingeniera como: lubricacin,hidrodinmica, diseo de equipos, transferencia de calor y mecnica de los fluidos

El flujo Couette. Figura 15, es un problema clsico en la dinmica de los fluidos y deCouette esta relaciona directamente con la dinmica de fluidos que se relaciona con elflujo laminar de un fluido viscoso en el espacio entre dos planos ubicados en planos

paralelos o placas como se observ la imagen anterior en el cual uno est enmovimiento relativo con respecto al otro.


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El flujo en de Couette es conducido por la fuerza de arrastre actuando sobre estefluido y el gradiente de presin aplicado entre las dos placas.

Para ampliar tus conocimiento sobre la ecuacin de Hagen-Poiseuille,tanto para fluidos newtonianos como para no newtonianos revisa laSeccin 2.3 de Bird, R.B. et.al. (2006), del texto Fenmenos detransporte.

Bueno, ahora podrs continuar con el tema de capa lmite hidrodinmica, incluyendo lateora de Ludwing Prandtl y la simplificacin de las ecuaciones de Navier-Stokes paraeste tipo de capa.

1.5. Capa lmite hidrodinmica

El concepto de capa limite, consiste cuando las partculas del fluido hacen contactocon la superficie, adquieren una velocidad cero. Estas partculas actan entonces pararetardar el movimiento de partculas en la capa contigua del fluido, que a su vez actapara retardar el movimiento de las partculas en la siguiente capa, y as sucesivamentehasta que, una distancia de la superficie, el efecto se hace insignificante. Este retardoo desaceleracin del movimiento del fluido se asocia con los esfuerzos cortantes queactan en planos que son paralelos a la velocidad del fluido. Al aumentar la distanciadese la superficie, el componente de la velocidad del fluido debe entonces aumentarhasta que se aproxima al valor del flujo libre.

De manera ms especfica, se le denomina capa imite de velocidad o hidrulica. Seproduce siempre que hay un flujo sobre una superficie y es de fundamentalimportancia para problemas que incluyen transporte por conveccin.

1.5.1. Definicin y caracterizacin de capa limite

En fenmenos de trasporte la capa lmite de un fluido es el rea donde se realiza unmovimiento perturbado por la presencia de un slido con el que est en contacto elfluido. Dicha capa limite es la velocidad del fluido respecto a un slido que est enmovimiento, puede ser laminar o turbulento, en ocasiones es de gran utilidad que lacapa limite sea turbulenta.


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En esta seccin se considera un flujo en la vecindad de un placa, se entiende por capa

limite a la regin del flujo que se ve afectada por las funciones viscosas debido a lapresencia de un objeto, dentro de esta regin prxima a la profundidad del fluidodiferente de cero. El grosor de la capa lmite se extiende en direccin perpendicular alflujo hasta que el gradiente de la velocidad se iguala a cero y en la interfase develocidad en la superficie en donde la constante de proporcionalidad es la viscosidaddel fluido, el espesor de la capa limite se representa por .

La friccin del fluido viscoso sobre la superficie del slido provoca una tensin decizalladura proporcional al gradiente vertical de velocidades. La distribucin develocidades va desde cero en el contacto con la superficie hasta la velocidad mximapara las zonas alejadas de la superficie. La regin comprendida entre ambos estadosse denomina capa lmite superficial (figura 16).

Figura 16.Capa lmite (Muoz, M.A .2008).

Las soluciones obtenidas, para un fluido ideal, para la distribucin de velocidad nocumplen la condicin hidrodinmica lmite que el fluido se adhiere a las superficiesslidas del sistema. (vx= vy= 0 para todas las superficies slidas fijas). De aqu quedichas soluciones no son vlidas para describir los fenmenos de transporte en lainmediata proximidad de la pared. Concretamente, no puede calcularse la resistenciaviscosa, ni se pueden obtener descripciones exactas de los procesos de transferenciade calor y materia en la interfase, ya que los flujos bidimensionales ideales indican lared de flujo mediante la funcin de corriente y una funcin potencial. (Bird. R. B. et.al.,2006).

Para ampliar tus conocimiento sobre capa limite revisa los autoresWelty, J.R. et.al. (1993). Fundamentos de Transferencia de Momento,Calor y Masa. Donde podrs encontrar las caractersticas de capalmite cuando es flujo turbulento y laminar.


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De acuerdo con el documento de Blasco, A. J. (2009) Bloque III:capa lmite, se ha

definido a la capa lmite viscosa como la zona del flujo donde la viscosidad no sepuede despreciar (aunque sea pequea) debido a la existencia de elevados gradientesde velocidad.

1.5.2. Teora de capa lmite de Ludwing Prandtl

Ludwing Prandtl formul una teora sobre la capa lmite, la cual podrs comprender sinproblema. Para un fluido circulando a travs de una superficie slida, el trmino decapa lmite se aplica a una capa delgada, prxima a la superficie del slido donde se

presentan los efectos de friccin del fluido para valores grandes del nmero deReynolds, ya que a medida que aumenta el nmero de Reynolds, decrece el efecto delesfuerzo cortante. Considerando a como el espesor de la capa lmite, se tomaarbitrariamente, como la distancia desde la superficie, hasta donde la velocidadalcanza el 99% de la velocidad de la corriente libre. (Welty, J. R. et al, 1993).

Figura 17. Esquema de la capa lmite. Tomado de Geankoplis, C.J. (2004).

Puesto que la regin donde ocurren los fenmenos de friccin se ha restringido a lacapa lmite y como esta es de muy pequeo espesor pueden realizarseaproximaciones que simplifican la resolucin del sistema. Concretamente se trabajacon las ecuaciones de Navier-Stokes, las cuales para un flujo bidimensional eincompresible sobre una placa plana son:

yxy

vv

x

vv

t

v yxxxxy

x

x

x

yxy

vv

x

vv

t

vyyxyy

y

y

x

y


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Las cuales se reducen a las siguientes ecuaciones, conocidas como ecuaciones de la

capa lmite:

y

vv

x

vv

y

vv

x

vv

t

vxx

y

x

x

x

2

0

y

v

x

v yx

En el estudio de flujo estacionario de fluidos incompresibles en conductos cerrados, lapresentacin matemtica de tal situacin del flujo suele concretarse bajo unaorientacin unidimensional, pues habitualmente se trabaja con valores promediados de

las magnitudes fluidas en la seccin transversal de la conduccin (velocidad, presin yotras).

Para ampliar tus conocimiento sobre capa limite revisa los autoresWelty, J.R. et al. (1993). Fundamentos de Transferencia de Momento,Calor y Masa. Donde podrs encontrar las caractersticas de capalmite de Ludwig Prandtl cuando es flujo turbulento y laminar.

Cuando un fluido circula a travs de un tubo de seccin circular, con dimetro interiorD, se tiene una regin inicial en la que se forma la capa lmite hidrodinmica, cuyoespesor crece paulatinamente a medida que aumenta la distancia a partir de laentrada del tubo. As mismo, va cambiando el perfil de la velocidad, como se ve en lasiguiente figura.

Figura 18.Variacin de la capa lmite en un tubo. Tomado de Geankoplis, (2004).

La variacin de la razn demax

/ vvprom

con respecto al nmero de Reynolds

/Remax

vD se presentan en la figura 19.


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Figura 19.Tomado de Geankoplis, (2004).

Bueno, ahora podrs continuar con el tema de capa lmite hidrodinmica, incluyendo lateora de Ludwing Prandtl y la simplificacin de las ecuaciones de Navier-Stokes paraeste tipo de capa.

1.5.3. Simplificacin de la ecuacin de Navier- Stokes para el flujoen la capa limite

La simplificacin inherente a los fluidos perfectos, que no admiten el arrastre lateral,fue notada desde sus comienzos por los precursores y puesta muy de relieve porDAlembert.A este momento, slo resta conocer las caractersticas distintivas de unflujo turbulento y consecuencias matemticas de las propiedades de la turbulencia.Cuando se impone la incomprensibilidad y se supone que = 1 cuando es un fluidohomogeneo, el sistema de Navier-Stokes, toma la forma:

Donde:

Cuando el fluido es incomprensibleu = nos da la velocidad que tendr una partcula en cada punto x del espacio cada

tiempo (t)p= p(x,t) es la presin en el seno del fluido


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fe= fuerza externa

v= viscosidad

En flujo turbulento, se asume que aparecen vrtices de diferentes escalas queinteractan entre s. Lafuerza de arrastre debido a friccin en la capa lmite aumenta.La estructura y localizacin del punto de separacin de la capa lmite cambia, a vecesresultando en una reduccin de la fuerza de arrastre global. Datos que nos estimulan atratar el siguiente tema.

1.6. TurbulenciaEn los temas anteriores hemos visto cmo se pueden plantear y resolver problemas deflujo laminar y se ha indicado que la solucin de problemas de flujo turbulento dependede la utilizacin de relaciones empricas entre la densidad de flujo de cantidad demovimiento y los gradientes de velocidad de tiempo ajustado.

En rgimen turbulento hay fluctuaciones de velocidad en todas las direcciones de lavelocidad se puede descomponer en un promedio en el tiempo y componentefluctuante de la velocidad.

El fenmeno de turbulencia has sido estudiado por un buen nmero de cientficos a lolargo de los aos, cuando el agua de un rio fluye por su cauce existen diferentesformas de flujo. Si la velocidad del agua es pequea, entonces este flujo es regular,cuando el agua pasa por alguna piedra que est en el rio, simplemente la rodea y elflujo contina de manera regular. Sin embargo al aumentar la velocidad del agua llegaun momento que el flujo se vuelve altamente irregular provocando que la piedra serodee de remolinos, si la velocidad del agua es mucho ms alta todava, aparecenremolinos dentro de los remolinos en estas condiciones tenemos la turbulencia.

1.6.1. Caractersticas distintivas de un flujo turbulento

Un flujo turbulento donde las partculas se mueven en trayectorias irregulares esturbulento debido a que sus fuerzas viscosas son dbiles en relacin con las fuerzasinerciales. La turbulencia segn Taylor y Karma se produce cuando el fluido pasasobre superficies de frontera o por un flujo de capas de fluido a diferentes velocidadesque se mueven encima de la otra.
http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza


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Existen dos turbulencias:

Turbulencia de pared:sta es formada o generada por efectos viscosos debido ala existencia de paredes.

Turbulencia libre:Este fluido se produce en la ausencia de pared y es generadopor el movimiento de capas de fluido a diferentes velocidades.

Durante el transcurso del tiempo se ha tratado de explicar el origen y la estructura dela turbulencia, algunos explican que la turbulencia es debida a la formacin de losvrtices de la capa limite, como consecuencia de los disturbios que se generan por los

golpes continuos debido a la pared; mientras que otras teoras atribuyen la turbulenciaa la influencia del esfuerzo cortante, cuando se presenta un gradiente de velocidadcon discontinuidades bruscas. Sin embrago a pesar de las mltiples investigacioneslos resultados obtenidos sobre el desarrollo de la turbulencia no son del todoaceptables ya que son experimentales y tericos cuando el fluido es esttico.

Figura 20. Flujo turbulento. Geankoplis, (2004).

Actualmente existen varias teoras sobre el origen de la turbulencia, aunque las msaceptadas son las relacionadas con flujos laminares. Observa la imagen anteriordonde un fluido laminar puede pasar a turbulento como se indica se muestra; estascapas paralelas y uniformes de un fluido se mueven a distintas velocidades A. Si seintroduce una perturbacin en la zona de contacto B, la presin en el punto B

disminuye al acelerar el fluido en el punto B. el resultado es que la diferencia depresiones produce una fuerza neta que empuja al fluido en la zona de contacto.Aumentado las perturbaciones de la zona de contacto, se inicia la formacin detorbellinos y dichas perturbaciones se terminan propagando al fluido dando paso a lacreacin de un flujo turbulento.

La turbulencia de un fluido se puede visualizar como un conjunto de torbellinos dediferente escala que se superponen al flujo medio. Los torbellinos de mayor tamao serompen en torbellinos de menos escala, en un proceso en el que existe transferenciade energa que finalmente termina en choques moleculares.


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En esta seccin se trata el tema de turbulencia, l reviste granimportancia dentro de las aplicaciones prcticas de la transferencia demomento y de la mecnica de fluidos. Para abordar este tema esnecesario que consultes y estudies las siguientes seccionesreferenciadas: Bird, R.B. et al. (2006). Fenmenos de transporte.

En un flujo turbulento, las variables del flujo y del fluido cambian con el tiempo, porejemplo, el vector de velocidad instantnea ser muy diferente del vector velocidadpromedio, tanto en magnitud como en direccin. (Welty, J. R. et al. 1993).

1.6.2. Consecuencias matemticas de las propiedades de laturbulencia

Sin embargo, Geankoplis, C. J. (2004), aborda la turbulencia desde dos puntos devista: (1) la naturaleza de la turbulencia, y (2) la intensidad de la turbulencia. En elprimer punto de vista se establece, principalmente, como se genera la turbulencia, laformacin de remolinos y la fluctuacin de la velocidad, mientras que en el segundopunto de vista se establece la importancia de la intensidad de la turbulencia, sobre

todo para la comprobacin de modelos y teoras de la capa lmite.

Para el caso del perfil de velocidad para un tubo liso de seccin circular se tiene:

n

x

x

R

y

v

v /1

max

Mientras que para las capas lmites, la ley de potencias se expresa como:

n

x

xy

v

v/1

max

La correlacin de Blasius para el esfuerzo cortante es:

maxmax

max

2

0 0225.0

yv

vv

x

x

Donde Ry max

en tubos y max

y en placas.

Los sistemas de fluidos son capaces de desarrollar un fenmeno que es difcil demedir o impredecible, conocido como turbulencia porque estn gobernados por


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ecuaciones de movimiento no lineales. La mayor parte de los flujos que presentan

turbulencia son los fluidos geofsicos, tales como la atmsfera o el ocano, que sonturbulentos. La turbulencia es una propiedad de los flujos y se define en funcin deuna serie de caractersticas distintivas entre las que destaca la difusividad, queprovoca una mezcla rpida y es capaz de aumentar los ritmos de transferencia demomento, calor y masa.

Actividades

La elaboracin de las actividades estar guiada por tu docente en lnea,mismoque te indicar, a travs de la Planeacin didctica del docente en lnea, la dinmicaque t y tus compaeros (as) llevarn a cabo, as como los envos que tendrn querealizar.

Para el envo de tus trabajos usars la siguiente nomenclatura: BFDE_U1_A1_XXYZ,donde BFDE corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad deconocimiento, A1 es el nmero de actividad, el cual debes sustituir considerando laactividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letrade tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones

Para la parte de autorreflexionesdebes responder las Preguntas de Autorreflexinindicadas por tu docente en lnea y enviar tu archivo. Cabe recordar que estaactividad tiene una ponderacin del 10% de tu evaluacin.

Para el envo de tu autorreflexin utiliza la siguiente nomenclatura:BFDE_E1_ATR _XXYZ, donde BFDE corresponde a las siglas de la asignatura, U1es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera

letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de unidad

A concluir esta unidad abras adquirido los conocimientos necesarios para poderaplicarlos, no solamente en la solucin de problemas que en forma terica se tepresentaron durante el curso, sino tambin desarrollado la habilidad para poderresolver problemas en el campo laboral.


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Si bien es cierto, que en Mxico el campo del diseo de equipos y condiciones de

operaciones de los procesos qumicos an est en una etapa incipiente, debers desentirte apto para poder contribuir en esos rubros, si tienes la maravillosa oportunidadde ingresar a una empresa que sea creadora de tecnologa.

Tambin podrs aplicar, lo aqu aprendido en instituciones de investigacin tantonacionales como en el internacionales, y debes de tener la seguridad que al continuarampliando tus conocimientos en el transcurso de la carrera, tendrs un panorama msamplio para participar con iniciativa y creatividad en el desempeo de las tareasasignadas.

Para saber ms

http://catedras.quimica.unlp.edu.ar/ftransporte/clase6a.pdf

Para conocer ms sobre el tema de capa lmite te invito a que revises la siguiente ligahttp://www.slideshare.net/jaba09/capa-lmite

http://www.youtube.com/watch?v=HDW9dX8OklE

http://gaussianos.com/paco-gancedo-nos-habla-sobre-singularidades-en-la-ecuaciones-de-euler/

http://avibert.blogspot.com/2010/01/fluidos-viscosidad-reologia-y-textura.html

Fuentes de consulta

1. Bird, R. B. et.al. (2006).Fenmenos de transporte. (2a ed.) Nueva York: Ed.John Wiley & Sons, Inc.

2. Betancourt, G. R. (1991). Fenmenos de Transporte: un curso introductorio.(Prefacio: Prlogo). Colombia: Centro de Publicaciones de la UniversidadNacional Seccional Manizales.

3. Constantin, P. (2007). On the Euler equations of incompressible fluids Journal:Bull. Amer. Math. Soc. 44, 603-621 MSC (2000): Primary 76B47; Secondary35Q30 Posted: July 5, 2007 MathSciNet review:2338368.

4. Crdoba, D. et.al.(2005). Las matemticas de los fluidos: torbellinos, gotas y

olas. La Gaceta de la Real Sociedad Matemtica Espaola. Vol. 8.3, pp. 565-595.
http://catedras.quimica.unlp.edu.ar/ftransporte/clase6a.pdfhttp://catedras.quimica.unlp.edu.ar/ftransporte/clase6a.pdfhttp://www.slideshare.net/jaba09/capa-lmitehttp://www.slideshare.net/jaba09/capa-lmitehttp://www.youtube.com/watch?v=HDW9dX8OklEhttp://www.youtube.com/watch?v=HDW9dX8OklEhttp://gaussianos.com/paco-gancedo-nos-habla-sobre-singularidades-en-la-ecuaciones-de-euler/http://gaussianos.com/paco-gancedo-nos-habla-sobre-singularidades-en-la-ecuaciones-de-euler/http://gaussianos.com/paco-gancedo-nos-habla-sobre-singularidades-en-la-ecuaciones-de-euler/http://avibert.blogspot.com

Unidad 1. Transporte de Cantidad de Movimiento (Momentum)

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