Unidad 1 valor absoluto-gonzalo revelo pabon

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti 1

ENUNCIADOS DE DESIGUALDAD En la siguiente figura se dice que: “a es menor que b”, porque el punto a se encuentra a la izquier-da del punto b, y se escribe a<b, (< simboliza menor). En la gráfica también se observa que el punto b se encuentra a la derecha del punto a, y se escribe a>b (> simboliza mayor). Nótese que el símbolo de la desigualdad “apunta” hacia el punto de menor valor numérico entre los dos números y “se abre” hacia el punto de mayor valor numérico entre los dos números. He aquí dos ejemplos del empleo de estos dos símbolos de desigualdad. 3<7 se lee 3 es Menor que 7 5>-2 se lee 5 es mayor que -2.

SIMBOLOS DE DESIGUALDADES EJEMPLOS LECTURA

< Menor 3<4 3 es menor que 4

> Mayor 5>1 5 es mayor que 1

Menor o igual x 4 X es menor o igual a 4

Mayor o igual x 3 X es mayor o igual a 3

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES 1.- Propiedad de la Tricotomía: Para dos números reales a y b, se cumple uno y solamente uno

de los siguientes casos: a<b; a>b; o a=b 2.- Propiedad de orden de la Suma: Para todos los números reales a, b y c se cumple que:

a) Sí a<b, entonces a+c < b+c b) Sí a>b, entonces a+c > b+c. Es decir, el mismo número se lo puede sumar o restar a cada uno de los miembros de la desigual-dad y el sentido de la desigualdad no cambia. 3.- Propiedad de Orden de la Multiplicación: Para todos los números reales a,b y c se cumple

que: a) Sí a<b, y c es positivo, entonces ac<bc b) Sí a<b y c es negativo, entonces –ac>-bc. Ejemplo 1:

Como 5< 10, entonces 5+3 < 10+3 esto es igual a: 8< 13 Como 9>3, entonces 9-2 > 3-2 esto es igual a: 7> 1 Ejemplo 2:

Resolver las siguientes desigualdades a) -4x - (3 - 5x)>8 b) 5x +2 < 12 c) X-(4-x) > 12

Solución:

a) -4x - (3 - 5x)>8 -4x – 3 + 5x >8 X - 3>8 aumentamos a ambos miembros +3 x -3 + 3> 8+3 x>11



b) 5x + 2 < 12 disminuimos a ambos miembros -2 5x + 2 -2<12 - 2 5x< 10 multiplicamos a ambos miembros por 1/5 1/5(5x) < 1/5(10) .x<2

c) 2x –(4 + x)>12 2x - 4 - x > 12 x – 4>12 sumamos a ambos miembros +4 x - 4+4>12 + 4 x> 16.

Ejemplo:

Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades o inecuaciones: a) 3x + 7 2x – 1

b) 2x – 4 x +2 Solución:

a) 3x + 7 2x – 1 sumamos a cada miembro -7

3x + 7 - 7 2x – 1 – 7

3x 2x -8 sumamos a cada miembro -2x 3x – 2x 2x – 8 - 2x

.x - 8

b) 2x – 4 x + 2 sumamos a cada miembro +4

2x – 4 + 4 x + 2 + 4

2x x +6 sumamos a cada miembro – x

2x – x x+ 6 –x .x 6

Ejemplo: dada la siguiente desigualdad 8<12, multiplicarla por las siguientes cantidades 2, -3,

1/4, -3/2. a) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 2

2(8)< 2(12) 16 < 24 se conserva el signo de la desigualdad.

b) 8<12 multiplicamos ambos miembros por - 3 -3(8) < -3(12) - 24 > -36 el signo de la desigualdad se invierte.

c) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 1/4 (1/4)(8)< (1/4)(12) 8/4 < 12/4 se conserva el signo de la desigualdad. 2<3

d) 8<12 multiplicamos ambos miembros por -3/2 -3/2(8) < -3/2(12) -24/2 > - 36/2 el signo de la desigualdad se invierte. - 12 > - 18

Ejemplo: resuelva las siguientes desigualdades o inecuaciones.

a) 5(3 – 2x) 10

b) .x/2 + 3 x/3 – 2



Solución:

a) 5(3 – 2x) 10 15 – 10x 10 sumamos a ambos miembros -15

15 – 10x – 15 10 -15

-10x -5 multiplicamos ambos miembros por -1/10 (-1/10)(-10x) (-1/10)(-5)

.x 5/10 el signo de desigualdad se invierte

.x 1/ 2

b) .x/2 + 3 x/3 – 2 multiplicamos todos los términos por 2

2(x/2) + 2(3) 2(x/3) – 2(2)

X + 6 2x/3 – 4 multiplicamos todos los términos por 3 3x + 3(6) 3(2x/3) – 3(4)

3x + 18 2x -12 sumamos ambos miembros -2x

3x + 18 – 2x 2x -12 – 2x .x + 18 -12 sumamos ambos miembros - 18

.x + 18 - 18 -12 – 18

.x - 30

TALLER No 1

Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades: 1) x + 3 <12 2) - x – 5 < 13 3) x -1 > 8 4) - x +7 > 2 5) x – 5 9

6) - x – 3 -5 7) 3x + 8 < 2x + 12 8) 3x – 6 x + 8 9) - 5(x + 7) 3x – 7

10) 2(x – 1) 5x + 1 11) x/4 +2 > x/5 -2



GRAFICOS de DESIGUALDADES (Intervalos)

Ejemplo:

Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo a) -6 x<0 b) X<5 c) x -1 d) -2<x<4 e) x>2

Solucion:

a) -6 x<0 entonces el intervalo es [-6,0)

b) X<5 entonces el intervalo es ( , 5) c) x -1 entonces el intervalo es ( ,-1] d) -2<x<4 entonces el intervalo es (-2,4) e) x>2 entonces el intervalo es (2, )

Ejemplo:

De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real a) (-3,-1) b) [0,5] c) (3,5] d) ( 0]

e) [2,+ ) Solucion:



Ejemplo: Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades:

a) -2(x-1) 4 b) 3x + 5< - 3x + 1 c) -2x + 1 19

Solucion:

a) -2(x-1) 4

-2x + 2 4 sumamos a ambos miembros -2 -2x + 2 – 2 4 -2

-2x 2 multiplicamos a ambos miembros por -1/2

(-1/2)(-2x) (-1/2)(2) .x - 1 conjunto solucion

b) 3x + 5< - 3x + 1 sumamos a ambos miembros -5 3x + 5 – 5 < -3x + 1 – 5 3x < -3x -4 sumamos a ambos miembros +3x 3x +3x < -3x – 4 +3x 6x < - 4 multilicamos a ambos miembros por 1/6 (1/6)(6x) < (1/6)(- 4) X < - 0,666

c) -2x + 1 19 sumamos a ambos miembros -1

-2x + 1 -1 19 – 1 -2x 18 multiplicamos ambos miembros por -1/2

(-1/2)(-2x) (-1/2)(18)

.x -9



TALLER

1.- Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo

a) -5 x<2 b) -10<x<10 c) x -1 d) -2 x e) 0<x<7

2.- De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real

a) [-3,-1) b) (0,5) c) [3,5) d) ( -2]

e) (2,+ ) 3.- Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades:

a) 3x + 5 17 b) 2(x+1)< x + 1 c) 3x/4 + 2 < 5x/8 – 3 d) X – 7 - 3 e) 3x +12> 2x – 5 f) -5x< 50 g) -2x +1 19 h) -5x + 5 < -3x +1 i) 3x + 5 + x >2(x-1)



DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO Para cualquier número real X, se cumple que: X sí x 0 ………… (1) |X| = - X sí x 0 ………… (2) ¿Qué tienen en común los números -5 y +5? Es obvio que son números diferentes y que son las coordenadas de dos puntos distintos en la recta real. Sin embargo, ambos números están a una misma distancia del cero (0) u origen de la recta.

Es decir, el punto -4 está a la misma distancia a la izquierda del cero (0), que el punto +4 a la dere-cha del cero (0). Este hecho se lo indica con la notación del Valor Absoluto. |-4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de -4 es 4”. |+4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de +4 es 4” PROPIEDAD 1: |x| = k entonces (1) +x = k y (2) –x = -(-k) = k, esta propiedad es una con-secuencia directa de la definición de valor absoluto PROPIEDAD 2: |x| k entonces -k k, es lo mismo que escribir: (1) x -k y (2) x k

PROPIEDAD 3: |x| k entonces x -k y x k Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones lineales (igualdad) con valor absoluto:

a) |5-x| = 7 b) |-x +7| = 10 c) |x+2| = -12 d) |2x – 3| = 9

Solución:

a) |5-x| = 7 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (5-x) es positivo, entonces 5 –x =7

-x = 7-5 -x = 2 X = -2

(2) Si –(5-x) es negativo, entonces - 5 +x = 7 +x = 7 +5 .x = 12 Rta: x=-2 y x= 12 Comprobación: |5- (-2)|=|5+2|=7 |5-(12)|=|5-12|=|-7|=7

b) |-x +7| = 10 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (-x +7) es positivo, entonces –x + 7 = 10

-x = 10 -7 -x = 3 X = -3

(2) Si –(-x+7) es negativo, entonces +x - 7 = 10 +x = 10 + 7 .x = 17 Rta: x= - 3 y x = 17 Comprobación: |-(-3) + 7|=|3+7|=10



|-17 + 7|=|-10|=10

c) |x+2| = -12 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (x+2) es positivo, entonces x+2 =-12

x = - 12 - 2 x= - 14

(2) Si (x+2) es negativo, entonces -x - 2 = -12 -x = -12 +2 -.x = - 10 X= 10 Rta: x= 10 y x= -14 Comprobación: |-14+2|=|-12|=12 |10 +2|=|12|=12

d) |2x -3| = 9 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber: (1) Si (2x-3) es positivo, entonces 2x -3 =9

2x = 9+3 2x = 12 X = 12/2 = 6

(2) Si –(2x-3) es negativo, entonces --2x + 3 = 9 -2x = 9 - 3 .-2x = 6 2x = -6 X =- 3 Rta: x= 6 y x=- 3 Comprobación: |2(6)-3|=|12-3|=|9|=9 |2(-3)- 3|=|-6-3|=|-9|=9. Ejemplo 2: Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdad) con valor absoluto.

a) |x-2| 3 b) |3-x| 12

c) |-x +4| 20

d) |-2+2x| 10 Solución:

a) |x-2| 3 aplicando la propiedad (2), se tiene que:

-3 x-2 3 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2 -3+ 2 x-2 +2 3 +2

-1 x 5 Respuesta: todos los números comprendidos entre -1 y 5, incluidos el -1 y el 5.

b) |3-x| 12 aplicando la propiedad (2), se tiene que:

-12 3-x 12 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -3

-12 -3 3-x -3 12-3 - 15 x 9 multiplicamos por -1

15 x -9 ordenamos este intervalo para obtener

-9 x 15 Respuesta: todos los números comprendidos entre -9 y 15, incluidos el -9 y el 15

c) |-x+4| 20 aplicando la propiedad (2), se tiene que:

-20 -x + 4 20 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -4

-20 -4 -x +4-4 20 -4 -24 -x 16 multiplicamos por -1

24 x -16 ordenamos el intervalo



- x 24

Respuesta: todos los números comprendidos entre -16 y 24, incluidos el -16 y el 24

d) |-2+2x| 10 aplicando la propiedad (2), se tiene que:

-10 -2+2x 10 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2 -10+2 -2+2x+2 10+2

-8 2x 12 dividimos a cada una de las desigualdades entre 2

-4 x 6 Respuesta: todos los números comprendidos entre -4 y 6, incluidos el -4 y el 6. Ejemplo 3: Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdades) con valor absoluto.

a) |x+1| 2 b) |-x+7| 12

c) |2x-8| 4

d) |-x -3| -5 Solución

a) |x+1| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que:

(1) x+1 -2 entonces x -3

(2) x+1 2 entonces x 1 respuesta: x -3 y x 1 Solución

b) |-x+7| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que:

(1) -x+7 -12 entonces -x 19 multiplicamos por -1. x -19

(2) -x+7 12 entonces -x 5 multiplicamos por -1

x -5 respuesta: x -5 y x -19 Solución

c) |2x-8| 4 aplicando la propiedad (3), se tiene que:

(1) 2x-8 - 4 entonces 2x 4 dividimos cada miembro entre 2 x 2

(2) 2x-8 4 entonces 2x 12 dividimos cada miembro entre 2

x 6 respuesta: x 2 y x 6 Solución

d) |-x-3| -5 aplicando la propiedad (3), se tiene que:

(1) -x-3 -(-5) entonces -x - 3 5 sumamos a cada miembro entre +3 -x- 3+3< 5+3 -x < 8 multiplicamos a cada miembro por -1 .x -8

(2) -x-3 - 5 entonces -x -3+3 -5+3 -x> -2 multiplicamos a cada miembro por -1 .x<2 respuesta: x 2 y x - 8



TALLER

1.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas: a) |x| = ½ b) |3x – 4|=0 c) |4-x| = 3 d) |3x| = 3 e) |6 – 2x| = 4 2.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas y las soluciones grafíquelas en la recta real: a) |3x – 6|<9 b) | x – 1 | 3 c) |x +2 | 3

d) |x +1| 3

e) |2x – 1| 7

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