UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Soluciones de juegos:conceptos de dominación
Rafael Salas marzo de 2006
Soluciones de los juegos
• Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente:• Proceso de optimización• Compatibilidad entre estrategias
• SOLUCIÓN DE UN JUEGO: perfiles de estrategias óptimos y compatibles
Tipos de soluciones
• Los basados en principios de dominación• Los basados en conceptos de equilibrio
• Existen conexiones entre ambos tipos de solución
Principios de dominación I
• (I) Principio de dominancia estricta• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente
dominadas
• NOTACIÓN PREVIA
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• Dado un perfil de estrategias s=(s1,...,sn) S=S1xS2x...xSn • donde s1S1,..., snSn
• Simplificadamente denominamos s=(si,s-i) S• Nótese que s-i=(s1,...,si-1, si+1 ,...,sn) S-i
Estrategias estrictamente dominadas
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• si es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i
si existe otra s’i tal que
Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), s-i S-i
Es razonable que no use si, pues puede aumentar su utilidad independientemente de lo que haga el resto
4. Dilema de los presos
.
JUG 2
JUG 12
CA CO
CA
CO 1
0
4
2 4
0 1
En rojo, estrategias estrictamente dominadas
Estrategias estrictamente dominante
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• s’i es una estrategia estrictamente dominante para el
jugador i si Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), si s’i Si s-i S-i
Nos da paso a una primera solución...
4. Dilema de los presos
.
JUG 2
JUG 12
CA CO
CA
CO 1
0
4
2 4
0 1
En azul, estrategias estrictamente dominantes
Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED
• SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED
• (si*,s-i
*) es un EEED si y sólo si
Ui(si*,s-i) > Ui(si,s-i), si si
* Si, s-i S-i, i
Es decir si y sólo si (si*,s-i
*) son estrategias estrictamente dominantes
4. Dilema de los presos
.
JUG 2
JUG 12
CA CO
CA
CO 1
0
4
2 4
0 1
4bis. Oligopolio
.
JUG 2
JUG 1
1000 , 1000
A B
A
B 600 , 600
-200 , 1200
1200 , -200
4bis. Oligopolio
.
JUG 2
JUG 11000
A B
A
B 600
-200
1200
1000 1200
-200 600
Ejemplo 5: Halcón-paloma
.
JUG 2
JUG 12-k
H P
H
P
2
4
0
2-k 0
4 2
Para k<2
Ejemplo 9: Empresas rivales
.
JUG 2
JUG 140
L NL
L
NL
-50
100
-50
40 -50
100 -50
Propiedades del EEED
• Si existe, es único• Puede que no exista
• Ejemplo 5 con k 2
• Ejemplo10: Jugador 1 tiene dos estrategias puras {s1, s2 } y el jugador 2 tiene tres {t1, t2, t3}. Si U1(si, tj)= ij y U2(si, tj)= (i-2)(j-2) Binmore, p. 131
• Si existe es muy potente, requiere muy poca información. Por contrapartida es muy restrictivo
Principios de dominación II
• (II) Principio de dominancia débil• Un jugador nunca juega estrategias débil dominadas
Estrategias débilmente dominadas
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• si es una estrategia débilmente dominada para el jugador i
si existe otra s’i tal que
Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), s-i S-i
En ese caso decimos que s’i domina débilmente a si
El jugador no usará si
Estrategias débilmente dominante
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• s’i es una estrategia débil dominante para el jugador i si
Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), si Si s-i S-i
Nos da paso a una nueva solución...
Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD
• SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD
• (si*,s-i
*) es un EEDD si y sólo si
Ui(si*,s-i) ≥ Ui(si,s-i), si si
* Si, s-i S-i, i
Es decir si y sólo si (si*,s-i
*) son estrategias débilmente dominantes
Ejemplo 11: EEDD múltiple
.
JUG 2
JUG 11
L R
L
R
0
0
1
1 1
0 0
Propiedades del EEDD
• De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11)• Puede que no exista
• Ejemplo 5 con k > 2• Ejemplo 10 ampliado a más estrategias• Ejemplo 1 Batalla de los sexos• Ejemplo 2 Juego de las monedas• Ejemplo 3
• Sigue siendo muy restrictivo y por tanto impreciso (aunque menos que EEED).
• EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo4, 5 k<2, 9)• EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10)
• No obstante, requiere muy poca información.
Principios de dominación III
• (III) Principio de eliminación iterativa estricta• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente
dominadas• Todos los jugadores lo saben• Se pueden eliminar
• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general que el EEED, pero con una racionalidad aceptable...
Solución:
• Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas EEIEED
• El orden de eliminación no influye en el resultado• Si existe, es único• Es más general que EEED, pero no que EEDD
Ejemplo 12: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED
.
JUG 2
JUG 11
I C
A
B0
1
0
0 2
3 1
D
01
20
Ejemplo 13: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED
.
JUG 2
JUG 10
I D
A
B 8
4
20
2 100
40 0
4. Dilema de los presos EEED y EEIEED
.
JUG 2
JUG 12
CA CO
CA
CO 1
0
4
2 4
0 1
Ejemplo 10: EEDD y no EEIEED
.
JUG 2
JUG 11
t1 t2
s1
s24
2
2
1 0
0 0
t3
3-1
60
Principios de dominación IV
• (IV) Principio de eliminación iterativa débil• Un jugador nunca juega estrategias débilmente
dominadas• Todos los jugadores lo saben• Se pueden eliminar (todas las existentes en cada fase)
• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general todos los anteriores, pero con una racionalidad dudosa...
Solución:
• Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas EEIEDD
• El orden de eliminación si influye en el resultado (para evitarlo quitamos todas las estrategias débilmente dominadas en cada fase)
• Puede ser múltiple• Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED
Ejemplo 14: no EEED ni EEDD, ni EEIEED, pero si EEIEDD
.
JUG 2
JUG 12
A B
A
B 0
3
3
5 4
3 3
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 15 con los conceptos de equilibrio vistos.
.
JUG 1
JUG 2-1
H T
H
T-1
1
1
1 -1
-1 1
O
13
12
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 16 con los conceptos de equilibrio vistos.
.
JUG 2
JUG 110
I M
U
D5
5
10
0 1
1 0
D
4-2
1-1
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Soluciones de juegos:conceptos de dominación
Rafael Salas marzo de 2006