Generalitat de Catalunya Departament d’Educació Departament de Matemàtiques Institut d’Educació Secundària MA - 2n de Batx Jaume Balmes Funcions, continuïtat, derivades i tangents Nom: Grup:

1.- Calculeu els límits següents:

a) 3 2

22

5 10 5 102→

− − +− −

limx

x x xx x

b) 20

1→

−

cos( )x

xlím

x

c)

12 2

2

2 17

x

x

x xlím

x

−

→

− − −

d) 2 1

x

x

elím

x→+∞ +

(1+0,5+1+0,5= 3 punts)

2.- Demostreu que l'equació ( )22 3+ =sin xx e té almenys una solució real i

aproximeu una d'elles amb un precisió d'un decimal (x en radians) (0,5 punts)

3.- Estudieu la continuïtat i derivabilitat de la funció f(x) per als diferents

valors del paràmetre "m".

(1 ,5 punts)

4.- Donada la hipèrbola 2 221 12 43 63 193 84 0x x y y x y− + + + − + = a) Trobeu els punts d'intersecció amb l'eix OX b) Trobeu la recta tangent i la normal a la corba en un d'aquests punts.

(1 ,5 punts)

5.- Deriveu les funcions següents:

c) 1

( ) arctan1

xf x

x+ = −

i simplifiqueu el resultat

d) ( )3

2( ) ln 3x

f x x = (1,25*2=2,5 punts)

6.- Trobeu la derivada d'ordre n Nn ∈∀ de la funció ( )( ) ln 1f x x= + i

demostreu-la per inducció. (1 punt)

23 1

2 1

= − ≤

= = >

( )m x si x

f xsi x

mx

Generalitat de Catalunya Departament d’Educació Departament de Matemàtiques Institut d’Educació Secundària MA - 2n de Batx Jaume Balmes Funcions, continuïtat, derivades i tangents Nom: Grup:

1.- Calculeu els límits següents:

a) 3 2

22

5 10 5 102→

− − +− −

limx

x x xx x

b) 20

1→

−

cos( )x

xlím

x

c)

12 2

2

2 17

x

x

x xlím

x

−

→

− − −

d) 2 1

x

x

elím

x→+∞ +

(1+0,5+1+0,5= 3 punts)

2.- Demostreu que l'equació ( )22 3+ =sin xx e té almenys una solució real i

aproximeu una d'elles amb un precisió d'un decimal (x en radians) (0,5 punts)

3.- Estudieu la continuïtat i derivabilitat de la funció f(x) per als diferents

valors del paràmetre "m".

(1 ,5 punts)

23 1

2 1

= − ≤

= = >

( )m x si x

f xsi x

mx

4.- Donada la hipèrbola 2 221 12 43 63 193 84 0x x y y x y− + + + − + = a) Trobeu els punts d'intersecció amb l'eix OX b) Trobeu la recta tangent i la normal a la corba en un d'aquests punts.

(1 ,5 punts)

5.- Deriveu les funcions següents:

a) 1

( ) arctan1

xf x

x+ = −

i simplifiqueu el resultat

b) ( )3

2( ) ln 3x

f x x = (1,25*2=2,5 punts)

6.- Trobeu la derivada d'ordre n Nn ∈∀ de la funció ( )( ) ln 1f x x= + i

demostreu-la per inducció. (1 punt)