Matemáticas Financieras
Agosto- Diciembre de 2008.
Objetivo General
Proporcionar los temas fundamentales de las matemáticas
financieras, a partir del concepto de Valor de Dinero en el Tiempo y
sus derivaciones, como marco de referencia para la solución de
problemas en la operación y evaluación de los instrumentos de
inversión, deuda y cobertura que se operan en los mercados
financieros.
Criterios de evaluación y acreditación
Examen: 60% Trabajo final y exposición: 30% Participación: 10%
Contenido
1. Conceptos Básicos
2. Interés Simple
3. Interés Compuesto
4. Tasas equivalentes, efectivas y nominales
5. Inflación
6. Técnicas de evaluación de proyectos de inversión
7. Anualidades y Perpetuidades
8. Amortización
Capítulo 1
CONCEPTOS BÁSICOS
Conceptos Básicos
Matemáticas Financieras
Son una rama de las matemáticas que explica el comportamiento del dinero a través del tiempo.
Es una herramienta básica para la toma de decisiones de tipo social, económico y financiero
Capítulo 1. Conceptos Básicos
Capítulo 1. Conceptos Básicos
CAMPO DE APLICACIÓN
Tasa instantánea de descuentoAnálisis en contextos inflacionarios
Valor Actual en el campo continuo
Emisión de empréstitosDescuentos de tasas
Valuación de deudasProcesos de Actualización
Problemas relativos a la tasa de interés Tasa instantánea de interés
Monto en el campo continuoSistemas de amortizaciones
Tasas y sus relaciones
Amortizaciones de valores o extinción de deudasProcesos de Capitalización a Interés Simple y Compuesto
APLICACIONESFUNDAMENTOS
Yasukawa (2000)
Valor del Dinero en el tiempo
Aquí es importante familiarizarse con 2 elementos: Dinero Tiempo
Estos dos factores están estrechamente relacionados debido a que el valor del dinero dependerá del momento en que lo utilicemos.
Capítulo 1. Conceptos Básicos
Ejemplo:
Si recibimos una cierta cantidad de dinero el día de hoy, probablemente nos sería más útil a que si nos la entregaran en dos meses
Ahora si decidimos no utilizar el dinero en este momento estamos sacrificando un beneficio presente por uno futuro
Este sacrificio debe ser compensado por una ganancia adicional . Esta ganancia es la tasa de interés que no es más que el pago
por el uso del dinero
Capítulo 1. Conceptos Básicos
Consumo (Gasto) Ahorro
Inversión
PRESENTE
Consumo (Gasto) Ahorro
Inversión
FUTURO
Tiempo = Tasa de interés
La tasa de interés dependerá de la oferta y la demanda
Si hay escasez de dinero el precio será alto y por tanto la tasa de
interés será alta
Si hay abundancia de dinero el precio bajará y las tasas también
Capítulo 1. Conceptos Básicos
TASA DE INTERÉSCaracterísticas
•Costo del Dinero
Acreedor
Ahorrador o inversionista Sacrifica el gasto presente Dispone exceso de recursos
en un ahorro o inversión Recibe un rendimiento sobre
sus ingresos
Deudor
Persona con necesidades financieras
Acude a Instituciones financieras para allegarse de recursos
Capítulo 1. Conceptos Básicos
El costo del dinero depende del papel que se asuma en alguna operación financiera, es decir acreedor o deudor
•Tasas de interés
Tasa Activa
Activo de la Institución
Financiera
El deudor pagará por hacer
uso del dinero prestado
Tasa Pasiva
Pasivo de la Institución
Financiera
La institución financiera ofrece
al acreedor a cambio de
resguardar el dinero por un
determinado tiempo
Capítulo 1. Conceptos Básicos
Costo del dinero
Ahorrador Institución Financiera (Banco) Deudor
RENDIMIENTO (Tasa de interés pasiva)
Exceso de dinero Falta de dinero
COSTO DE CAPITAL (Tasa de interés activa)
Capítulo 1. Conceptos Básicos
RESUMEN
Conceptos:
Matemáticas Financieras y aplicaciones
Valor del dinero en el tiempo
Tasa de interés
Costo del dinero
Acreedor
Deudor
Tasa Activa
Tasa Pasiva
Capítulo 1. Conceptos Básicos
Capítulo 2
INTERÉS SIMPLE
INTERÉS SIMPLECaracterísticas
Rendimiento
Se cobrará o pagará (dependiendo la situación) al final de un
intervalo de tiempo
Utilizado en deudas a corto plazo (de un año o menos).
Capítulo 2. Interés Simple
Componentes
Sigla Definición Descripción
M MontoCapital más intereses generados al final del intervalo de tiempo.
C Capital InicialCantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período
I InterésRendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial
iTasa de interés
Relación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo.
t Plazo
Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días.
Capítulo 2. Interés Simple
La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. )
A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera anual simple.
Funcionamiento
Capital Capital
Interés
Fecha inicial Fecha final
Monto
Plazo
Capítulo 2. Interés Simple
Ejemplo
El Tesorero del Municipio A decide pedir un préstamo a una institución bancaria por la cantidad de $200,000.00; acordando con el ejecutivo de cuenta que en período de dos meses le entregará al banco la cantidad de $215,000.00. ¿Cuál es el Interés así como la tasa pactada?
Se tienen los siguientes datos:
C = $200,000M =$215,000t = dos meses
Capítulo 2. Interés Simple
De acuerdo a la definición de Monto se tiene que:
M = C + I
Al sustituir los datos a la fórmula se obtiene que:
215,000 = 200,000 + I
Entonces si se despeja la fórmula,
I = $215,000 – $200,000
I = $15,000
Capítulo 2. Interés Simple
La tasa de interés, de acuerdo a la definición, es la relación que existe entre el Interés o Rendimiento generado y el Capital, por lo tanto:
i = I / C
Sustituyendo,
i = $15,000 / $200,000
i = 0.075 o bien expresado en porcentaje se multiplica por 100 y se obtiene 7.5%
Lo anterior indica que el préstamo contraído generó un interés del 7.5% en DOS MESES
Capítulo 2. Interés Simple
Para convertirlo a una tasa anual se tomará como base el año comercial:
i (anual) = i (del plazo) / T * 360
Sustituyendo,
i(anual) = 7.5% / 60 * 360
i(anual) = 45% anual
Conversión a Tasa Anual
Capítulo 2. Interés Simple
Comprobación
Podemos obtener también el Interés a través de la siguiente ecuación:
I = C * i * t
Sustituyendo,
I = $200,000 * (7.5% / 60 días) * 60
(Recordando la aclaración de que la base de la tasa de interés y el plazo, DEBE SER EL MISMO)
I = $15,000
Capítulo 2. Interés Simple
VALOR FUTUROCaracterísticas El Valor Futuro es la suma del Capital e Intereses
Fórmula: M = C + I
Sustituimos I por,
I= C * i * t Por tanto,
M = C + (C * i * t)
Factorizando,M = C (1 + i * t)
Capítulo 2. Interés Simple
Ejemplo
Al jefe del Departamento de Finanzas del Organismo de Agua Potable y Alcantarillado del Municipio H, se le pide abrir una cuenta bancaria para invertir los excedentes de recursos por los próximos dos años
Investigando en diversas instituciones, la mejor tasa que le ofrecen es del 12% simple anual. ¿Cuánto obtendrá al término del plazo por el remanente de $300,000?
Capítulo 2. Interés Simple
Los datos proporcionados son:
C = $300,000
i = 12% ó 0.12
t = 2 años
Sustituyendo
M = C (1 + i * t)
M = 300,000 ( 1 + 0.12 * 2 )
M = 300,000 ( 1 + 0.24 )
M= 300,000 ( 1.24 )
M= $372,000
Capítulo 2. Interés Simple
Valor PresenteCaracterísticas El Valor Presente o Actual se le denomina al Capital
Usos:
Conocer la cantidad de ahorro hoy para disponer en un futuro.
Ejemplo:¿Qué cantidad se tiene que ahorrar hoy para poder
disponer de $150,000 en 10 años?
En cuestiones económicas hay necesidad de deflactar.
Capítulo 2. Interés Simple
Fórmula:
M = C (1 + i * t)
Despejando la ecuación,
C = M / (1 + i * t)
Esta ecuación sugiere que es descontado al Valor Futuro los intereses generados durante un determinado período de tiempo.
Capítulo 2. Interés Simple
Ejemplo: Una persona decide retirar el dinero de su Fondo de Ahorro porque
desea adquirir un automóvil nuevo.
Analizando la compra, se observó que el Primero de Marzo pagó $90,000.00; sin embargo el Primero de Diciembre decide venderlo para pagar unas deudas. Afortunadamente, la persona pudo venderlo a un precio de $110,000.00
Si sabemos que la tasa de mercado es de 11%, ¿Fue conveniente la operación?.
(Para poder resolver este tipo de problema es necesario comparar el ingreso de $110,000 a la fecha del primero de marzo en condicione similares de mercado)
Capítulo 2. Interés Simple
Por tanto:
C1 = $90,000
M = $110,000
i = 11% ó 0.11 anual simple
t = 9 meses ó 9/12 = 0.75
Sustituyendo los datos:
C2 = 110,000 / (1 + 0.11 * 0.75)
C2 = 110,000 / ( 1.0825 )
C2 = $101,617
Ahora bien la diferencia entre C2 y C1 es de $11,617.00 lo que significa
que a la persona le convino haber adquirido el automóvil y deshacerse de
él 9 meses después, que haber invertido su fondo en alguna institución
porque financieramente hubiera dejado de ganar dicha cantidad. Capítulo 2. Interés Simple
Resumen
Interés Simple y sus componentes
M = C + I
i (anual) = i (plazo) / T * 360
I = C * i * t
VF = C * (1 + i * t )
VP = M / (1 +i * t )
Capítulo 2. Interés Simple
Capítulo 3
INTERÉS COMPUESTO
Características
Es utilizado en operaciones donde el Interés se van capitalizando, es decir, terminando un lapso de tiempo, éste se añade al Capital y se reinvierte
Utilizando en operaciones con plazo mayores a un año
Capítulo 3. Interés Compuesto
ComponentesSigla Definición Descripción
M MontoCapital más intereses generados al final del intervalo de tiempo.
C Capital InicialCantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período
I InterésRendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial
i Tasa de interésRelación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo.
Período de Capitalización
Lapso de reinversión de intereses (Anual, semestral, trimestral, bimestral, etc.)
Frecuencia de Conversión
Número de veces que el interés se capitaliza durante un año.
t Plazo
Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días.
Capítulo 3. Interés Compuesto
Puntos a considerar
La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. )
A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera que su capitalización es anual.
La tasa de interés anual siempre debe convertirse de acuerdo al período de capitalización establecido.
El interés compuesto es mayor al interés simple.
A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal.
Capítulo 3. Interés Compuesto
Funcionamiento
Capital
Intereses
Fecha 0 Fecha 1
Monto 1Capital
InteresesMonto 2
Monto 1
Fecha 2
Período de capitalización 2
Frecuencia de Conversión = 2
Período de capitalización 1
Capítulo 3. Interés Compuesto
¿Cuál es la tasa de interés por período de:
60% anual capitalizable mensualmente?:
i = 60% anual / 12 meses = 5%
36% semestral capitalizable trimestralmente?:
i = 36% semestral / 2 trimestres = 18%
12% trimestral? : i = 12%
15% anual?: i = 15% anual / 1 año = 15%
18% anual capitalizable semestralmente?:
i = 18% anual / 2 semestres = 9%
18% anual capitalizable mensualmente?:
i = 18% anual / 12 meses = 1.5%
6.5% mensual? : i = 6.5%
Ejercicios sobre Período de capitalización y frecuencia de conversión:
Capítulo 3. Interés Compuesto
¿Cuál es la frecuencia de conversión?:
60% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año 36% semestral capitalizable trimestralmente?: 2 veces en 1
semestre 12% trimestral? : 4 veces en 1 año 15% anual?: 1 vez en un año 18% anual capitalizable semestralmente?: 2 veces en 1 año 18% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año 6.5% mensual? 1 vez al 1 mes
Capítulo 3. Interés Compuesto
Valor FuturoCaracterísticas
Al Monto se le van adicionando los intereses generados por cada período de tiempo contemplando la tasa de interés capitalizada
Fórmula:M = C (1 + i * t)
En este caso t = 1, ya que es un período, por lo que:
M = C (1 + i )
Ahora (1 + i ) representa cada período de capitalización, por lo que el Capital se verá afectado por cada uno de los períodos que dure la operación financiera es decir:
Capítulo 3. Interés Compuesto
M = C (1 + i )* (1 + i ) *(1 + i )
(Para tres períodos de una operación financiera)
Por lo que, esta sucesión de montos expresada como progresión geométrica resulta:
M = C (1 + i)n
C M3
1 + i 1 + i 1 + i
M1 M2
Capítulo 3. Interés Compuesto
EjemploEl jefe del área administrativa de la tesorería del Municipio “Z”, ha recibido una visita de un ejecutivo de una Sociedad de Ahorro y Préstamo para que abra una cuenta de ahorro.¿Cuánto recibirá al término de dos años?
Le ofrecen dos opciones:
a) Una cuenta a un plazo de 90 días con opción a reinvertirse los intereses, a una tasa anual fija de 9%. Si el Jefe de Administración tiene disponible $14,000.00;
b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%.
c) Que pasaría si decidiera retirar su dinero al término de 1 año bajo la situación del inciso a
Capítulo 3. Interés Compuesto
Inciso a)Los datos son:C = 14,000t = 2 años i = 9% anual capitalizable trimestralmente
En primer lugar es necesario convertir la tasa anual a trimestral:
i = 9% anual / 4 trimestres = 2.25% ó .0225
Ahora bien en 2 años hay 8 trimestres, por lo tanto n = 8
Sustituyendo,
M = C (1 + i )M = 14,000 ( 1 + .0225 ) M = 14,000 ( 1.194831 )
M = $16,727
n
8
Capítulo 3. Interés Compuesto
Inciso b)b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%.
C = 14,000t = 2 añosi = 8% anual capitalizable bimestralmente.
Convirtiendo la tasa: i = 8% anual / 6 bimestres = 1.33% ó 0.0133n = 12
Sustituyendo,M = 14,000 (1 + 0.0133)¹² M = 14,000 ( 1.111779)
M = $16,405.31
8
Capítulo 3. Interés Compuesto
Inciso c)c) Que pasaría si decidiera retirar su dinero al término de 1 año bajo la situación del inciso a.
n = 4
Sustituyendo,
M = 14,000 ( 1 + 0.0225 )
M = 14,000 (1.093083 )
M = $15,303
4
Capítulo 3. Interés Compuesto
VALOR PRESENTECaracterísticas
Es utilizado para determinar el Capital necesario para invertir
actualmente, a una tasa determinada, para llegar a tener un Monto
fijado.
Fórmula:
M = C (1 + i )
C = M / (1 + i) ó C = M * (1 + i)-nn
n
Capítulo 3. Interés Compuesto
Ejemplo
Una persona necesita contar con $250,000 para terminar de pagar su casa en dos años, por lo que decide acudir a una Operadora de Fondos de Inversión en donde le ofrecen un instrumento de inversión con una tasa de interés del 13% anual capitalizable semestralmente.
Si la tasa permanecerá constante durante este período ¿Con cuanto dinero deberá de abrir su cuenta en la Operadora?
Capítulo 3. Interés Compuesto
Ejemplo
Tenemos los datos:
M = $250,000i = 13% anual capitalizable semestralmente
Obteniendo la tasa del período:i = 13% anual / 2 semestres = 6.5% ó 0.065n = 4
Sustituyendo,C = 250,000 / (1 + 0.065 )C = 250,000 / 1.286466
C = $194,330
4
Capítulo 3. Interés Compuesto
Resumen
Interés compuesto y sus componentes
Período de capitalización
Frecuencia de conversión
VF = C * (1 + i )
VP = M / ( 1 + i ) ó VP = M * ( 1 + i )
n
n -n
Capítulo 3. Interés Compuesto
Capítulo 4
TASAS NOMINALES,
EFECTIVAS Y EQUIVALENTES
TASA NOMINAL Tasa anual
Permanece constante durante la vigencia de la
operación financiera
INICIO FIN
15%
Ejemplos:
25% anual capitalizable bimestralmente
18% anual capitalizable trimestralmente
11% anual capitalizable semestralmente
5% anual
Capítulo 4. Tasas
TASA EFECTIVA
Período de capitalización
(semestral)TASA NOMINAL
( 11 % anual ) + = Tasa nominal
capitalizable al semestre
≠11% nominal anual capitalizable semestralmente
11% nominal anual
( Interés efectivamente generado durante un período )
TASA EQUIVALENTE
Dos tasas nominales anuales
con diferentes períodos de capitalización
serán equivalentes,
SíGeneran los mismos intereses al final de un año.
Capítulo 4. Tasas
Interés
( 1 + i )
Interés
( 1 + j/m)j = tasa de interés anual nominal
m = no. capitalizaciones al año
Tasa Equivalente
TASA NOMINAL
CAPITALIZABLE
1 VEZ AL AÑO
TASA NOMINAL
CAPITALIZABLE
2 ó MÁS VECES AL AÑO
m(1 + i ) = ( 1 + j / m )
Capítulo 4. Tasas
Ejemplo:
¿Cuál es la tasa efectiva de un instrumento financiero pactado a una tasa de 17% anual capitalizable mensualmente?
Despejando i :
m(1 + i ) = ( 1 + j / m )
mi = ( 1 + j / m ) - 1
i = ( 1 + 0.17 / 12) - 112
i = 1.183892 - 1Capítulo 4. Tasas
i = 1.183892 - 1
i = 0.1838 ó 18.38%
Tasa nominal: 17 % anual
Tasa efectiva de interés ganado : 18.38%
Tasa equivalente a una tasa del 17% capitalizable mensualmente es 18.38%
Si la persona decide invertir una cantidad de dinero a una tasa de interés de 17% reinvirtiendo los intereses cada 30 días, obtendrá el mismo rendimiento si lo invierte a una tasa del 18.38% capitalizados anualmente.
Capítulo 4. Tasas
Resumen
Tasa Nominal
Tasa Efectiva
Tasa Equivalente
(1 + i ) = (1 + j / m)
m
Capítulo 4. Tasas
Capítulo 5
INFLACIÓN
¿Qué es la Inflación?
y por tanto,
la consiguiente pérdida del poder de compra o poder adquisitivo de la moneda.
$
$Aumento generalizado y sostenido de los precios de los bienes y servicios
Capítulo 5. Inflación
¿Causas? El aumento de emisión de circulante sin un aumento equivalente de
la producción de bienes y servicios.
YYoO
P
P’
PoE
E1
OA
DADA’
Capítulo 5. Inflación
¿Cómo se mide?
Se mide mediante el Índice Nacional de Precios al Consumidor
(INPC), el cual es un indicador que mide el crecimiento promedio
que sufren los precios de los bienes y servicios a través del tiempo.
Capítulo 5. Inflación
¿Cómo se calcula el INPC?
Actualmente el INPC se calcula a través de un sistema de muestreo mediante el cual se recopilan 170,000 cotizaciones de productos específicos, que se agrupan en 313 conceptos genéricos provenientes de 46 localidades agrupadas en siete regiones del país.
Banco de México Capítulo 5. Inflación
Características
FORMAS DE
EXPRESION
PORCENTAJE
(mensual, quincenal, trimestral)
Ej. 2.4%
INDICE
(Respecto al año base)
Ej. 126.18028
Capítulo 5. Inflación
Efecto compuesto(progresión geométrica)
Ejemplo:
31/ 01 /0731/12/06 28/02/07 31/03/07
5% 2% 3%
(Enero – Marzo) = 5% + 2% + 3% = 10%
(Enero – Marzo) = 5% * 2% * 3% = 0.003%
Capítulo 5. Inflación
Cálculo de la Inflación
= Índice del período actual Índice del período anterior
- 1 * 100
**Su cálculo es un incremento común de valores
Capítulo 5. Inflación
Ejemplos
1. Sí el índice de precios a finales de Marzo de 2006 fue de 121.06816000 y a fin de Diciembre del mismo año fue de 124.86924600, ¿Cuál fue la inflación en el período de tiempo?
(inicial) = 121.06816000 (final) = 124.86924600
Sustituyendo la fórmula: (marzo – diciembre ) = ( 124.86924600 / 121.06816000 ) -1 * 100
(marzo – diciembre ) = 3.13%
Capítulo 5. Inflación
2. Si la inflación mensual promedio durante seis meses ha sido del 1.2%, ¿de cuánto será la acumulada en el semestre?
**Lo que sugiere este ejemplo es que se tendrían que sumar la inflación de cada mes para poder obtener la inflación por el período o simplemente multiplicar 1.2% por 6.
Sin embargo, los valores inflacionarios se comportan como una progresión geométrica como es el caso de la ecuación de Valor Futuro con Interés Compuesto [ M = C (1 + i) ].
En consecuencia el cálculo correcto es el siguiente:
n
Capítulo 5. Inflación
Cálculo:
(semestre) = [ (1 + (mensual) ) - 1 ] * 100
Sustituyendo,
(semestre) = ( 1. 012 ) - 1 * 100
(semestre) = 7.41 %
n
6
Capítulo 5. Inflación
Resumen
Concepto de inflación
Causas de la inflación
Medición de la inflación (INPC)
Cálculo del INPC
Formas de expresión de la inflaciónEfecto compuesto: [ M = C (1 + i) ].
Fórmula: = ( Índice del período actual / Índice del período anterior -1 ) * 100
n
Capítulo 5. Inflación
Capítulo 6
TÉCNICAS DE VALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN
Proyectos
Definición: Conjunto de acciones planificadas que al optimizar el uso de los
recursos disponibles (humanos, materiales y tecnológicos entre otros), minimiza los costos y maximiza los beneficios económicos y sociales del entorno
Tipos: Privados: busca la mejor opción para el inversionista donde su dinero
genere los mayores beneficios, tomando en cuenta el tiempo de recuperación de la inversión y el nivel de riesgo
Sociales: + Complejo. Implica el analizar el impacto que tendrá sobre el bienestar social de la comunidad.
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Proyectos
Componentes:
Estudio de mercado
Estudio técnico
Estudio financiero
Estudio administrativo
Aplicación:
Valor del dinero en el tiempo
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Medición de la Rentabilidad
Si el valor actual de los ingresos o beneficios generados son mayores a los desembolsos = RENTABLE
($ 300,000 )
$ 200,000$ 250,000$ 150,000$ 50,000
DesembolsosDesembolsos
BeneficiosBeneficios
PeríodoPeríodo
0 1 2 3 4
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
1. VALOR PRESENTE NETO (VPN) Tiene como base la ecuación de Valor Presente con interés
compuesto
Cálculo similar al empleado en el valor actual de una inversión en bonos u obligaciones.
Los administradores calculan el valor actual descontado para evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles compras de otras empresas y proyectos
El valor presente neto es el valor actual de los flujos de caja netos menos la inversión inicial.
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Fórmula:
VA = C0 + M1 / (1 + i ) + M2 / (1 + i ) + M3 / (1 + i ) + M4 / (1 + i ) + … + Mn / (1 + i )
Simplificado:
VA = Co + [ Mn / (1 + i ) ]
VA = Valor Actual de los flujos
Co = Capital inicial en el período cero.
M = Flujos positivos o negativos
i = tasa de interés cuyo rendimiento iguala el invertir la misma cantidad de dinero en otro instrumento financiero con menos riesgo. Es conocida también como tasa de descuento.
n = no. de período
1 23 4 n
n
1
n
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
EjemploCo = $300,000F1 = $50,000F2 = $150,000F3 = $250,000F4= $200,000t = 11% ó 0.11
Sustituyendo:
VA = - 300,000 + ( 50,000 / (1 + 0.11 ) + 150,000 / (1 + 0.11) + 250,000 / (1 + 0.11) + 200,000 ( 1 + 0.11 )
VA = - 300,000 + 45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746
VA = $181,331
3
21
4
Los ingresos futuros respaldan la inversión inicial ya que es mayor a cero, teniendo una ganancia adicional por $181,331.
2. PERÍODO DE RECUPERACIÓN DE INVERSIÓN
También denominado payback
Determina el tiempo necesario para que los flujos de caja netos positivos sean iguales al capital invertido.
Brinda un panorama cercano a la realidad para saber en que momento los beneficios igualan a los costos o se recupera la inversión
Razón de peso para dar preferencia a los de menor tiempo de recuperación (en los países donde la situación política y económica es muy inestable).
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Se basa en la liquidez que pueda generar el proyecto y no realmente en la rentabilidad del mismo
Desventajas:
Sólo considera los flujos de caja netos positivos durante el plazo de recuperación y no considera estos flujos que se obtienen después de este plazo
No toma en cuenta la diferencia que existe entre los vencimientos de los flujos de caja netos positivos.
2. PERÍODO DE RECUPERACIÓN DE INVERSIÓN (CONT.)
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Ejemplo:
Sumando los flujos positivos M1 + M2 resulta un monto acumulado de $166,788; siendo el remanente $133,212 a cubrirse durante el tercer período. Esto indica que si dividimos 133,212 / 182,746 resultará la porción del tercer año en que se recupera la inversión ( 0.73), por lo tanto tenemos que la inversión se recupera en 2.73 años.
Período Desembolsos Ingresos o beneficios
Monto Recuperado acumulado
0 300,000 - 300,000 1 45,045 -254,955 2 121,743 -133,212 3 182,797 49,585 4 131,746 181,331
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
3. TASA INTERNA DE RETORNO
El TIR es la tasa específica de descuento para la cual los beneficios descontados igualan el desembolso inicial, es decir, el NPV= 0.
Es el costo máximo de Capital que puede respaldar un proyecto de inversión
Se compara con la tasa requerida de retorno (RRR) para este tipo de inversión. El RRR es la misma tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN. Se aprobará el proyecto de inversión cuando el TIR sea mayor que el RRR.
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Fórmula:
VA = Co + [ Mn / (1 + r ) ]
Donde,
r = TIR
i = tasa de descuento (de acuerdo a condiciones del mercado o el inversionista) que utilizará como punto de comparación (RRR).
Si la TIR > i entonces la Inversión es recomendable
Si la TIR = i entonces la Inversión es indiferente y su elección dependerá de otros elementos
Si la TIR < i entonces la Inversión no es recomendable
n
1
n
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Cálculo de TIR
Para la obtención de la TIR, el procedimiento resulta un tanto
complicado ya que se trata de un polinomio de grado n
Recomendable tener una calculadora financiera (ingresar flujos de
efectivo)
Método alternativo: brinda una aproximación del valor real de la TIR
y que se denomina: aproximaciones sucesivas. Dicho cálculo se
basa en la regla de “prueba y error”.
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Ejemplo por el método de aproximaciones sucesivas
TIR1 = 30%TIR2 = 31%TIR3 = 32%
Sustituyendo TIR1 = 30%: VA1 = -300,000 + 38,461 + 88,757 + 113,791 + 70,025VA1 = 11,034
Sustituyendo TIR2 = 31%: VA2 = -300,000 + 38,167 + 87,407 + 111,205 + 67,911VA2 = 4,690
Sustituyendo TIR3 = 32%: VA3 = -300,000 + + 37,878 + 86,088 + 108,697 + 65,877VA3 = -1,460
**La TIR se encuentra en el rango de 31 – 32%, cifra mayor a la tasa de descuento, por lo que la inversión es recomendable
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
3. Relación Costo - Beneficio
Este indicador buscar medir que tanto los beneficios o flujos positivos del proyecto superan los costos
La decisión de clasificar como rentable o no el proyecto dependerá sólo si la relación es mayor a 1
Fórmula:
B/C = Valor Actual de los Beneficios
Valor Actual de los Desembolsos
> 1
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Ejemplo
C0 = 300,000M1 = 45,045M2 = 121,743M3 = 182,797M4 = 131,746
t = 11% ó 0.11
B/C = (45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746) / 300,000 B/C = 481,331 / 300,000
B/C = 1.6
El resultado indica que por cada $1 invertido en el proyecto, se están recuperando $1.6, por lo tanto se considera que el proyecto es rentable.
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Resumen
Proyectos
Medición de rentabilidad
VPN
Período de recuperación de inversión
TIR
Relación de Costo Beneficio
Capítulo 6. Proyectos de Inversión
Capítulo 7
ANUALIDADES
Y
PERPETUIDADES
Anualidades Son una sucesión de pagos generalmente iguales realizados en
intervalos iguales de tiempo
Los intervalos no son necesariamente años, pueden ser: mensuales, bimestrales, quincenales, etc.
Ejemplos: sueldos quincenales, pagos mensuales por la renta de una casa, pagos mensuales a tarjetas de crédito, pagos anuales de primas de seguros, pagos mensuales de hipotecas
Intervalo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro
Plazo: tiempo entre el primer y último pago
Rentas de una anualidad: son los pagos periódicos por la vida de la anualidad.
Clasificación de anualidades
ANUALIDADES
CIERTAS (Los plazos comienzan y terminan en fechas determinadas )
Se dividen de acuerdo al tiempo en:
CONTIGENTES O EVENTUALES (El primer y/o el último pago dependen de algún
suceso, sin saber cuando ocurrirá )
VENCIDAS (Los pagos se hacen al final de cada período)
ANTICIPADAS (Los pagos se hacen al principio de cada período)
DIFERIDAS (Los pagos se aplazan por un cierto tiempo)
Ejemplo de Anualidad VencidaLa beneficiaria de un seguro de vida recibirá $8,000 mensuales durante 10 años, sin embargo prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero otorga un rendimiento promedio de 14% anual capitalizable mensualmente?
VA = R 1 – (1 + i/p )-np i / p
Donde:
R = renta por cada período
i = tasa de interés capitalizable en p períodos al año
p = frecuencia de capitalización de intereses
n = plazo en años
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Los datos que se tiene son:
R= $8,000
i = 14% anual capitalizable mensualmente ó 0.14
p = 12
n = 10
Sustituyendo,
VA = 8,000 * ( 0.751406 / 0.011667 )
VA = $515,235
VA = 8,000 1 – ( 1.011667 )-120 0.011667
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo de anualidad anticipadaUna persona renta una propiedad, cobrando una renta bimestral de $20,000, acordando con el arrendatario que los pagos deberán depositarse en el banco “X” el primer día de cada bimestre. Si el banco le paga al arrendador una tasa de interés de 6% anual capitalizable bimestralmente, ¿cuánto tendrá la persona al final de un año?
VF = R (1 + i/p )np + 1 - 1 - 1 i /p
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Los datos son:
R = 20,000
i = 6% anual capitalizable bimestralmente ó 0.06%
p = 6
n = 1
Sustituyendo,
VF = 20,000 * 6.21
VF = $124,270
VF = 20,000 ( 0.072135 / 0.01000 ) – 1
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo de anualidad diferida¿Cuánto acumulará el municipio “P” en la fecha de jubilación de cada uno de sus empleados, si 3 años antes hace un depósito de $4,500 seguido de 20 depósitos mensuales de $1,200 cada uno, ganando intereses del 8% anual capitalizable mensualmente?
Para poder determinar el monto al final a los tres años con una tasa i = .08 / 12 , se tiene que calcular por separado:
1. El Valor final de $4,500 a tres años (ecuación de Valor Futuro con interés compuesto)
2. El Valor final de los depósitos a fecha del último de ellos (ecuación de Valor Futuro de una anualidad vencida)
3. El Valor final del monto acumulado de los depósitos al término de los tres años.
4. Suma de los resultados del Punto 1 + Punto 3
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Esto es:
M1 = 4,500 * (1.006667 )36 M1 = $5,716
M2 = 1,280.0004 * ( 21.318869 )M2 = $25,753
M3 = 25,753 * ( 1.006667 )M3 = $28,641
M4 = 28,641 + 5,716 M4 = $34,357
M2 = 1,200 * ( 1.006667 ) ( 1.006667)20 – 1 0.006667
16
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Perpetuidades Son una variable de las anualidades ciertas
Se les llama a aquellos pagos cuyo plazo no tienen fin
El número de períodos es muy grande
Se establece la tasa de interés del período de tiempo (no se capitalizan
los intereses)
El valor de cada pago o renta equivalen a los intereses que se generan
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Perpetuidades (Cont.)
La tasa de interés es casi siempre anual y el valor de cada renta es igual a los
intereses que se generan en el periodo
Ejemplos: inversiones inmobiliarias de arrendamiento, pensiones o rentas
vitalicias.
Fórmula:
R = I = C * i
R = Valor de cada rentaI = InterésC = Capital Iniciali = tasa de interés del período
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo 1:
Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy?.
R = I = 2,500 i = 1.5% ó 0.015
C = ?
R = I = C * iC = I / iC = 2,500/0.015 = $166,667
(Debo depositar el día de hoy $ 166,6667. Mensualmente el dinero gana $ 2,500 de interés. Este interés constituye la beca)
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Ejemplo 2:
Con el producto de sus ventas, la Lotería Nacional instituye una beca trimestral de $6,500. ¿De cuánto deber ser el capital a invertir a la tasa de interés del 15% compuesto trimestralmente?
R = $6,500i = 15% ó 0.015 / 4 = 0.0375
R = I = C * i C = R / i
Sustituyendo,C = 6,500 / 0.0375 C = $173,333
Esto indica que mientras los $173,333 permanezcan invertidos con la misma tasa de interés, se podrá otorgar la beca de $6,500 trimestralmente por un tiempo indefinido.
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Resumen
Anualidades
Características
Clasificación
Perpetuidades
Características
Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades
Capítulo 8
AMORTIZACIÓN
Características
Concepto: operación mediante la cual se extingue gradualmente una deuda, mediante pagos periódicos, es decir en intervalos de tiempo iguales que comprenden una parte del capital y el interés (pueden ser simples o compuestos según sea el caso)
Cada abono reduce el Capital, los intereses que se pagan van disminuyendo y aquella parte la deuda que aún so ha sido saldada se le conoce como saldo insoluto.
Aplicación importante de las Anualidades
Capítulo 8. Amortización
Características Dependiendo del tamaño y la frecuencia de los pagos, existen
diferentes sistemas para amortizar un crédito. Estos son:
Amortización gradual:
Forma más usual para liquidar deudas, Los abonos (amortización + intereses) periódicos tienen la
misma frecuencia y son por cantidades iguales. Es conveniente cuando la inflación es relativamente baja.
Capítulo 8. Amortización
Características
Amortización constante:
La porción del abono amortiza el Capital adeudado es constante. Ventajas: el cálculo del saldo insoluto en cualquier período
resulta fácil de realizar Útil en casos de refinanciar o cancelar la deuda en ese momento.
Capítulo 8. Amortización
Características
Amortización con renta variable:
Cada abono y su correspondiente amortización es mayor que los anteriores.
Los primeros pagos son pequeños, haciendo, en ocasiones, que la deuda se incremente para luego comenzar a reducirse cuando los pagos son mayores.
Utilizado en operaciones a mediano y largo plazo, pero sobre todo cuando los índices inflacionarios son altos.
Capítulo 8. Amortización
Tablas de amortización
Herramienta de registro de la deuda donde que plasma de manera ordenada la deuda inicial, capital pagado, intereses y el saldo insoluto.
Para poder construir una tabla de amortización se debe comenzar con la obtención del valor del abono, de acuerdo a lo siguiente:
a = C * i 1 - ( 1 + i )-n
Donde:
a = Valor del abono
C = importe de la deuda
i = tasa de interés del período
n = no. de períodos en que se va a liquidar la deuda
Capítulo 8. Amortización
Método de pagos iguales o anualidades
Este método consiste en hacer pagos iguales, el pago de capital va en aumento mientras que el pago de intereses va en decremento. El valor del pago se determina con la fórmula de anualidades.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Período Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto
1 Capital k (b)1 . i (c)1 – (d)1 (b)1 – (e)1
2 (f)1 k (b)2 . i (c)2 – (d)2 (b)2 – (e)2
3 (f)2 k (b)3 . i (c)3 – (d)3 (b)3 – (e)3
n (f)n-1 k (b)n . i (c)n – (d)n (b)n – (e)n= 0
Capítulo 8. Amortización
MÉTODO DE PAGO PERIÓDICO DE INTERÉS. CAPITAL AL VENCIMIENTO.
Este método realiza únicamente pagos de interés, haciendo la amortización total al final. Es la forma clásica de un bono.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Período Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto
1 Capital (d)1 (b)1 . i 0.0 (b)1 – (e)1
2 (f)1 (d)2 (b)2 . i 0.0 (b)2 – (e)2
3 (f)2 (d)3 (b)3 . i 0.0 (b)3 – (e)3
n (f)n-1 (d)1+(f)n-1
(b)n . i Capital (b)n – (e)n= 0
Capítulo 8. Amortización
Ejemplo del método de pagos iguales
El Tesorero del municipio “H”, le pide al encargado del área de finanzas que le realice un plan de pagos del préstamo contraído por $300,000 a 3 años a liquidarse mediante pagos semestrales con una tasa de interés del 17%.
Los datos son:C = 300,000i = 17% / 2 ó 0.085n = 6 pagos
Para poder determinar el monto de los pagos semestrales se sustituye en la fórmula los datos:
Capítulo 8. Amortización
Método de amortizaciones iguales más intereses sobre saldos insolutos.
Este método realiza amortizaciones de capital iguales; los intereses y el pago decrecen. La amortización se calcula dividiendo el capital total entre el número total de pagos.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Período Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto
1 Capital (d)1 + (e)1 (b)1 . i k (b)1 – (e)1
2 (f)1 (d)2 + (e)2 (b)2 . i k (b)2 – (e)2
3 (f)2 (d)3 + (e)3 (b)3 . i k (b)3 – (e)3
n (f)n-1 (d)n + (e)n (b)n . i k (b)n – (e)n= 0
donde k = Capital n
Capítulo 8. Amortización
a = 25,500 / 0.387055
a = $65,882
Una vez teniendo el monto del Abono, se empezará a llenar la tabla de amortización.
a = 300,000 * 0.085
1 - ( 1 + 0.085 )-6
Capítulo 8. Amortización
Llenado de la Tabla de Amortización
1. Los datos que se sugieren colocar son: Período, Saldo Inicial, Abono, Intereses, Amortización y Saldo Insoluto.
2. En la primera columna, se anotará el no. de cada período, que para este ejemplo son 6
3. Se empezará a llenar los datos de manera horizontal y de izquierda a derecha comenzando con el Saldo inicial en el período cero (período donde comienza la vida del préstamo y no se pagan ni intereses ni capital).
4. Comenzando el período 1, vaciamos la cifra de abono que permanecerá constante durante la vida del préstamo.
Capítulo 8. Amortización
Llenado de la Tabla de Amortización (Cont.)
5. Se realiza el cálculo de intereses: 300,000 * 0.085 = 25,500
6. La amortización como parte del Abono ( Abono = Intereses + Amortización )se calculará: 65,882.12 – 25,500 = 40,381.12
7. El saldo insoluto resultará de restar el Saldo Insoluto del Período anterior (300,000) menos la amortización (40,381.12)
8. Se comienza los cálculos del segundo período y así sucesivamente hasta que el Saldo Insoluto del último período sea cero.
Capítulo 8. Amortización
La tabla llenada:
Período Saldo Inicial Abono Intereses Amortización Saldo Insoluto 0 300,000.00 300,000.00 1 300,000.00 65,882.12 25,500.00 40,381.12 259,617.88 2 259,617.88 65,882.12 22,067.52 43,814.60 215,803.28 3 215,803.28 65,882.12 18,343.28 47,538.84 168,264.44 4 168,264.44 65,882.12 14,302.48 51,579.64 116,684.80 5 116,684.80 65,882.12 9,918.21 55,963.91 60,720.88 6 60,720.88 65,882.12 5,161.28 60,720.88 0.00
Capítulo 8. Amortización
Resumen
Características
Sistemas de amortización
Tabla de amortización
Cálculo del Abono Llenado de tabla
Capítulo 8. Amortización