Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
1
1. La reacción de freno de un automovilista sigue un modelo normal de
promedio 1,25 segundos y una desviación estándar de 0,46
segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se
encuentre entre 1,00 y 1,75 segundos?
Solución.
2. La cantidad de vino destilado de cierta máquina se distribuye de
manera normal con promedio 64 onzas y una desviación estándar
de 0,78 onzas ¿Qué capacidad de recipiente asegurará que ocurra
un sobre flujo 0,5% de las veces?
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
2
3. Los coeficientes de confianza de 95% para la distribución normal
están dados por ¿Cuáles son los coeficientes correspondientes
para la distribución si ?
Solución.
El valor crítico para es , entonces los coeficientes de
Confianza son , Para
4. Se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 de dos poblaciones
normalmente distribuidas con varianzas de 16 y 25
respectivamente. Si las varianzas muéstrales son 10 y 8, determine
si la primera tiene una varianza significativamente mayor que la
segunda muestra a niveles de significancia de 0,05
Solución.
Los grados de libertad del numerador y el denominador de son
.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
3
Se puede concluir que la varianza de la muestra 1 es
Significativamente mayor que la de la muestra 2 al nivel de
Significancia de 0,05
5. Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes mostraron una
media de 107 y una desviación estándar de 10, mientras que los C.I
de 14 estudiantes de otra universidad mostraron una media de 112
y una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa
entre los C.I de los dos grupos de niveles de significancia de 0,01?
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
4
Usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 0,01, se
rechazaría si estuviera en un rango a , que para 28 grados
de libertad es el rango . Por lo tanto no se puede rechazar al
nivel de significancia de 0,01.
6. Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes mostraron una
media de 107 y una desviación estándar de 10, mientras que los C.I
de 14 estudiantes de otra universidad mostraron una media de 112
y una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa
entre los C.I de los dos grupos de niveles de significancia de 0,05?
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
5
Usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 0,05, se
rechazaría si estuviera en un rango a , que para 28 grados
de libertad es el rango . Por lo tanto no se puede rechazar al
nivel de significancia de 0,05.
Por ende no existe una diferencia significativa entre ambos grupos.
7. Se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 de dos poblaciones
normalmente distribuidas con varianzas de 16 y 25
respectivamente. Si las varianzas muéstrales son 10 y 8, determine
si la primera tiene una varianza significativamente mayor que la
segunda muestra a niveles de significancia de 0,01.
Solución.
Para
Por lo tanto no se puede concluir que la varianza de la muestra 1 sea
mayor que la varianza de la
Muestra 2 al nivel de significancia de 0,01.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
6
8. Se seleccionan dos muestras de tamaños 8 y 10, de dos poblaciones
normalmente distribuidas, con varianzas de 20 y 36,
respectivamente. Calcula la probabilidad de que la varianza en la
primera sea mayor al doble de la varianza de la segunda muestra.
Solución.
El número de grados de libertad para el numerador y el
denominador son .
Ahora, si es mayor al doble de , entonces:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
7
9. En 200 lanzamientos de una moneda, se observaron 115 caras y 85
cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda es buena usando un
nivel de significancia de 0,05
Solución.
El valor crítico para 1 grado de libertad es de 3,48. Entonces,
puesto que , se rechaza la hipótesis de que la moneda
es buena al nivel de significancia 0,05.
10. En 200 lanzamientos de una moneda, se observaron 115 caras
y 85 cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda es buena
usando un nivel de significancia de 0,01.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
8
Solución.
El valor crítico para 1 grado de libertad es de 6,63. Entonces,
puesto que , no se puede rechazar la hipótesis de que la
moneda es buena al nivel de significancia 0,01
11. En sus experimentos con arvejas. Medel observo que 315 eran
redondos y amarillos, 108 eran redondos y verdes, 101 eran rugosos
y amarillos y 32 eran rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría de
la herencia, los números deberían estar en la proporción 9:3:3:1
¿Existe alguna evidencia para dudar de su teoría a los niveles de
significancia de 0,01?
Solución.
Valores esperados:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
9
Para , , por lo tanto no se puede rechazar la teoría al nivel
0,01
12. En sus experimentos con arvejas. Mendel observo que 315
eran redondos y amarillos,
108 eran redondos y verdes, 101 eran rugosos y amarillos y 32 eran
rugosos y verdes.
De acuerdo con su teoría de la herencia, los números deberían estar
en la proporción 9:3:3:1 ¿Existe alguna evidencia para dudar de su
teoría a los niveles de significancia de 0,05?
Solución.
Valores esperados:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
10
Para , , por lo tanto no se puede rechazar la teoría al nivel
0,05.
13. Una urna contiene gran número de bolitas de cuatro colores
distintos: rojo, naranjo, amarillo y verde. Una muestra de 12 bolitas
elegidas al azar revelo 2 bolitas rojas, 5 anaranjadas, 4 amarillas y 1
verde. Pruebe que la hipótesis de que la urna contiene las mismas
proporciones de bolitas de diferentes colores.
Solución.
Se combinan las categorías combinado “rojo o verde” y
“anaranjado o amarillo”, para las cuales la muestra reveló 3 y
9 bolitas respectivamente. Puesto que el número esperado
en cada categoría, bajo la hipótesis de igualdad de
Proporciones, es 6.
Se tiene:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
11
Para . Por lo tanto no se puede rechazar la
hipótesis al nivel de significancia 0,05.
14. Una urna contiene gran número de bolitas de cuatro colores
distintos: rojo, naranjo, amarillo y verde. Una muestra de 12 bolitas
elegidas al azar revelo 2 bolitas rojas, 5 anaranjadas, 4 amarillas y 1
verde. Pruebe que la hipótesis de que la urna contiene las mismas
proporciones de bolitas de diferentes colores.
Solución.
Se combinan las categorías combinado “rojo o verde” y
“anaranjado o amarillo” para las cuales la muestra reveló 3 y 9
Bolitas respectivamente. Puesto que el número esperado en
Cada categoría, bajo la hipótesis de igualdad de proporciones,
es 6.
se tiene:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
12
Para . Por lo tanto no se puede rechazar la
hipótesis al nivel de significancia 0,05.
15. En 360 lanzamientos de un par de dados, se observaron74
sietes y 24 onces. Usando un nivel de significancia de 0,05, pruebe
que la hipótesis de que los dados son buenos.
Solución.
Por lo tanto en 360 lanzamientos se esperarían ,
de tal modo
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
13
así dado que , se inclinará a rechazar la
hipótesis de que los dados son buenos, sin embargo usando la
corrección de Yates.
Se encuentra que:
Considerando la corregida no se podría rechazar la hipótesis al
nivel 0,05.
16. Los proveedores de bebidas deciden otorgar un premio entre
sus vendedores si venden 320 o más bebidas por día. El número de
bebidas vendidas por día por ambos proveedores está distribuido
normalmente de la siguiente forma:
Proveedor Promedio Desviación
A 290 bebidas 20 bebidas
B 300
bebidas
10 bebidas
Determine el porcentaje de los días obtendrían premio si se asociaran
los dos proveedores.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
14
17. De una población de media y desviación típica
desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza ,
determine la probabilidad .
Solución.
Sustituyendo tenemos por interpolación.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
15
18. De una población de media y desviación típica
desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza ,
determine la probabilidad .
Solución.
Sustituyendo:
Abscisa Áreas
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
16
Tenemos, por interpolación:
Luego tenemos.
Abscisa Áreas
Abscisa Áreas
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
17
19. El desplazamiento de una masa con movimiento armónico
simple está dado por . Hallar la probabilidad de que el
desplazamiento sea menor que
, en un tiempo arbitrario
Solución.
20. De una población de media y desviación típica
desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza ,
determine la probabilidad , si
Solución.
Abscisa Áreas
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
18
21. Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con
distribución de Rsyleigh sea superior a .
Solución.
22. Halle la función de densidad de la distribución Binomial.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
19
Sustituyéndolo en
Se tiene
23. Determine la función de distribución acumulativa de una
distribución Binomial.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
20
Sustituyendo en
Se tiene que:
24. Supongamos que los mensajes de cierta compañía llegan con
una frecuencia en promedio de mensajes por segundo. Determine
la probabilidad de que llegue un mensaje exactamente en un
intervalo de segundos.
Solución.
25. En un examen cardiológico se sabe que ciertos cátodos emiten
electrones de electrones por segundo. Determine la
probabilidad de que no se emita ningún electrón durante un
intervalo de segundos, si las emisiones son eventos
independientes que ocurran aleatoriamente en el tiempo.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
21
Solución.
La probabilidad de que ningún evento ocurra en
segundos es.
Donde
Entonces
26. Supongamos que los mensajes de cierta compañía llegan con
una frecuencia en promedio de mensajes por segundo. Determine
la probabilidad de que llegue menos de tres mensajes en un
intervalo de segundos.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
22
Solución.
27. Un sistema funciona en promedio 100 horas. Suponiendo que
los tiempos de funcionamiento siguen una distribución de Poisson.
Determine la probabilidad de que el sistema funcione exactamente
una vez ente 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.
Solución.
28. Demuestre que la probabilidad de que ocurran 0 ó más
eventos de Poisson con frecuencia promedio en un intervalo
es 1.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
23
Solución.
Por demostrara que
Observe que
Donde
Por lo tanto
29. Un sistema funciona en promedio 100 horas. Suponiendo que
los tiempos de funcionamiento siguen una distribución de Poisson.
Determine la probabilidad de que el sistema funcione al menos una
vez entre 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
24
Solución.
Así
30. Determine la desviación estándar para la función de densidad
uniforme.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
25
Solución.
Análogamente el valor de es
De esta manera la desviación estándar es
Por lo tanto la desviación.
31. Utilizando la definición de la distribución sinusoidal,
demostrar que si es constante en
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
26
Da la función de densidad para .
Solución.
Se tiene que:
De esta manera:
Puesto que:
32. Determinar
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
27
Solución.
33. Determine si
Solución.
Donde , por tabla.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
28
34. La suma de dos variables aleatorias independientes está dada
por , en donde puede tener valores entre 0 y 1 con igual
probabilidad, y se distribuye normalmente, con promedio 0 y
desviación estándar . Determine la probabilidad de registrar un
valor de mayor que 0,5, cuando .
Solución.
Reemplazando y
Se tiene
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
29
35. La suma de dos variables aleatorias independientes está dada
por , en donde puede tener valores entre 0 y 1 con igual
probabilidad, y se distribuye normalmente, con promedio 0 y
desviación estándar . Determine la probabilidad de registrar un
valor de mayor que 1 si el valor de es desconocido.
Solución.
36. Demostrar que para una variable aleatoria con
distribución de Rayleigh.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
30
37. Determinar la función de distribución acumulativa para una
variable aleatoria con distribución de Rayleigh.
Solución.
Donde y
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
31
38. Demostrar que para una variable aleatoria con
distribución de Rayleigh.
Solución.
Por definición se tiene:
Sustituyendo y
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
32
39. Una amplitud de una señal sigue una distribución de
Rayleigh. Determinar si las medidas de al muestran que la
amplitud excede a el de las veces siendo .
Solución.
Se sabe que y usando
se tiene:
Entonces
Por lo tanto
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
33
40. Determinar la función de distribución acumulativa para la
distribución gamma cuando .
Solución.
La función de distribución acumulativa es
Sustituyendo y
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
34
41. La duración de una batería alcalina, sigue una distribución
gamma de parámetros
. Determine la probabilidad de que la batería dure más
de 10 horas.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
35
42. La proporción del consumo de cierta marca de vino sigue una
distribución beta de parámetros . Determine la
probabilidad de que dicho proporción este entre el 10% y el 50%..
Solución.
43. La distancia de ciertos componentes siguen una distribución
normal de parámetros . Determine la probabilidad de que
un componente tenga una distancia entre 31,1 y 32,6.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
36
44. El consumo semanal de una cerveza en una ciudad, sigue una
distribución log-normal de parámetros . Determine la
probabilidad de que el consumo semanal de ese tipo de cerveza sea
como máximo de 600 litros.
Solución.
45. El consumo semanal de una cerveza en una ciudad, sigue una
distribución log-normal de parámetros . Determine la
probabilidad de que el consumo semanal de ese tipo de cerveza esté
entre los 500 y 700 litros.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
37
46. Una solicitud se demora en promedio 24 horas con una
desviación estándar de 3 horas ¿cuántas horas demorará la
solicitud de una persona, si el 68% de quienes han requerido este
trámite han necesitado más horas que él?.
Solución.
46. Sea una variable aleatoria con distribución exponencial.
Dados demostrar que:
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
38
47. Una canción tiene una duración de 15 minutos en promedio.
Sabiendo que la duración tiene una distribución exponencial y que
una fiesta dura dos horas. ¿Cuál es el número máximo de canciones
que se podrán escuchar con una probabilidad de 0,90?
Solución.
Luego la duración de cada canción sigue una distribución
gamma , debemos hallar talque:
Podrán escuchar 5 canciones con probabilidad de 0,90.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
39
48. Sean variables aleatorias con distribución de
Weibull de parámetros . Pruebe que la
También sigue una distribución de Weibull.
Solución.
La función de densidad de es
Que corresponde una distribución de Weibull de
parámetros
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
40
49. La frecuencia del número de defunciones ocurridas en 10
generaciones del cuerpo de bomberos, por generación y por año,
durante 20 años, a raíz de incendios forestales es la siguiente:
Número de
Funciones
Frecuencia
0 109
1 65
2 22
3 3
4 o mas 1
¿Hay razones para afirmar que el número de muertos en incendios forestal
es debido al azar?
Solución.
En total hay 10 generaciones en 20 anos. La probabilidad de
que un bombero muera a raíz de un incendio forestal es
muy pequeña. Esto sugiere que sigue una distribución
de Poisson si el accidente es debido al azar. Como se
desconocen los valores de
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
41
se considerara.
De donde:
Las frecuencias teóricas se obtiene multiplicando las probabilidades
por 200.
Estas son:
Número de Funciones 0 1 2
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
42
3 4 o mas
Frecuencia Teórica 108,7 66,3 20,2
4,1 0,7
La concordancia entre las frecuencias teóricas y las observadas es muy
notable. Luego es razonable admitir que el número de muertes debido a
los incendios forestales es debido al azar.
50. Los accidentes de trabajo que se producen en una empresa
sigue una distribución de Poisson talque la probabilidad de que
haya 5 accidentes es de 16/15 de la que haya 2. Calcule el número
máximo de accidentes semanales con una probabilidad de 90%.
Solución.
Debemos hallar talque para es
Hay una probabilidad de 0,9 de que el número de
accidentes sea como máximo 6.
51. Una máquina funciona en promedio cien horas, suponiendo
que el funcionamiento de dicha máquina sigue una distribución de
Poisson, determine la probabilidad de que la máquina funcione al
menos una vez entre 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
43
Luego se tiene:
52. Por un determinado punto de una autopista los vehículos
pasan de acuerdo a una distribución de Poisson, a razón de 6 autos
por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran más de 20
segundos desde el instante en que ha pasado un vehículo hasta el
instante en que han pasado 5 vehículos más.
Solución.
Tomando el minuto como unidad de tiempo, el número de
vehículos por minuto sigue una distribución de Poisson
de parámetro . El tiempo que transcurre
desde que pasa un auto hasta que pasa el siguiente
sigue la distribución exponencial de parámetro igual a
6.
El tiempo hasta que pasan 5 vehículos sigue la
distribución Gamma .
Como 20 segundos es 1/3 de minuto, calcularemos
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
44
utilizando la formula que da la función de
distribución para la ley gamma.
53. Por un determinado punto de una autopista los vehículos
pasan de acuerdo a una distribución de Poisson, a razón de 6 autos
por minuto. Si un perro cruza la utopista inmediatamente después
que ha pasado un vehículo, calcular la probabilidad de que lo
atropellen sabiendo que invierte 10 segundos en cruzar.
Solución.
El número de vehículos que pasan en 10 segundos
(1/6 de minuto) sigue una Poisson de parámetro .
El perro será arrollado si pasa algún vehículo.
luego:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
45
54. Supongamos que las fallas de cierto vehículo son en promedio
veces por mes. Determine la probabilidad de que el vehículo falle
menos de 3 veces en un intervalo de meses.
Solución.
55. Para representar las frecuencias de accidentes de trabajo en
una empresa, observaron los accidentes ocurridos a 647 empleados
en 5 meses. Obteniendo la siguiente distribución.
Número de accidentes 0 1 2
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
46
3 4 5 o mas
Frecuencia Teórica 447 132 42 21 3 2
Esta distribución se ajusta a la Binomial negativa.
Solución.
La media y la varianza muestrales son:
Estimando p y r, se tiene:
La función de densidad de la Binomial negativa de parámetros
es:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
47
La frecuencia esperada de es ; la
frecuencia esperada de
es , etc.
Número de accidentes 0 1 2 3 4 5 o mas
Frecuencias esperadas
(según la distribución binomial negativa) 442,76 138,72 44,38 14,3 4,62 2,2
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
48
Comparando las frecuencias esperadas con las frecuencias observadas, es
razonable admitir que el número de accidentes sigue la distribución
Binomial negativa.
56. Sea una variable aleatoria que siguen una ley de Poisson de
esperanza igual a . Se define una nueva variable aleatoria del
modo siguiente:
Hallar la función de densidad de probabilidad de .
Solución.
El parámetro de la variable aleatoria sera , porque
coincide con la esperanza.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
49
Si es
Luego
Ahora calculamos
los sucesos son
mutuamente excluyentes, luego:
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
50
Donde seno hiperbólico de .
57. En una región existen tres especies de árboles A, B, C los
arboles A son de hojas perennes, de una plantación artificial. Para
las especies B y C se han contado los arboles encontrados en 196 y
230 parcelas respectivamente, de 5 metros de lado, obteniéndose las
frecuencias siguientes:
Numero de arboles/parcelas
0 1 2 3 4
Frecuencias: Especie B 114 64 15 2 1
Especie A 161 40 23 4 2
De las especies A, B, C hay una que se distribuye según una Poisson, otra
según la Binomial negativa y la restante sigue una distribución uniforme.
Encontrar la distribución que corresponde a cada especie y calcular los
índices de agregación.
Solución.
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
51
La distribución de la especie A es constante para cada parcela.
El índice de agregación vale , no es Poisson ni Binomial
negativa.
Para B y C la media y la varianza muestrales son:
Los índices de agregación son , , por lo
tanto B se distribuye según una Poisson, mientras que C se
distribuye según un Binomial negativa.
Las frecuencias teoricas para B admitiendo la distribución de
Poisson, se obtienen estimando , luego se tiene
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
52
que:
Numero de arboles/parcelas 0 1 2 3 4 o mas
Frecuencia teórica (Poisson) Especie B
115,3 61,18 16,23 2,87 0,43
Para ajustar C a una Binomial negativa, estimaremos los parámetros .
. Las probabilidades se determinan haciendo uso de
la relación la recurrencia:
De donde , etc. Multiplicando por 230
obtenemos las frecuencias teóricas. En la siguiente tabla expresamos
también las frecuencias teóricas que se obtienen ajustando una Poisson
con
Numero de arboles/parcelas 0 1 2 3 4 o mas
Frecuencia teórica (Binomial negativa)
156,67 50,64 15,75 4,83 2,11
Modelos Distribucionales
Nivel Proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
53
Frecuencia teórica (Poisson) 145,06 66,86 15,41 2,37 0,30
Se observa que con la Binomial negativa nos ajustamos mejor a las
frecuencias observadas que con la distribución de Poisson.
58. Demuestre que se puede aproximar en ciertos casos, una
distribución de probabilidad Binomial por medio de una
distribución de probabilidad normal.
Solución.
La distribución de probabilidad Binomial viene dada
por:
Se sabe que:
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Además que una buena aproximación de viene dada por la fórmula de
Starling:
Entonces reemplazando se tiene que:
Escribiendo y además
Se tiene que.
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55
Desarrollando los términos del denominador se tiene:
Considerando
La aproximación es válida para y
59. El corazón bombea glóbulos rojos por segundo. Determine
la probabilidad de que no se bombee ningún glóbulo rojo en un
intervalo de segundos, suponiendo que los bombeos son eventos
independientes que ocurren aleatoriamente.
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e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
56
Solución.
Donde
Entonces
60. La cantidad demandada de cierto elemento en cierto periodo
de tiempo por una empresa, se sabe que no supera la tonelada.
Determine, para dicho periodo de tiempo, la probabilidad de que
cantidad demandada no supere los 900 kg.
Solución.
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61. Demuestre que la distribución Binomial negativa es una
distribución de Poisson logarítmica.
Solución.
Supongamos que es Poisson y es
ligaritmica de , entonces.
62. Pruebe que una distribución de Poisson con la de Gauss
invertida es lo mismo que una distribución de Poisson con
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58
Solución.
La distribución inverso de gauss es:
Es conveniente escribirla como:
Donde
Por lo tanto la distribución inverso de Gauss es infinitamente divisible
es también inverso de gauss, pero con reemplazado por con
es:
Y
Se observa que
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Por lo tanto la distribución de Poisson inversa de gauss es una compuesta
de Poisson.
63. La cantidad demandada de cierto elemento en cierto periodo
de tiempo por una empresa, se sabe que no supera la tonelada.
Determine, para dicho periodo de tiempo, la probabilidad de que
cantidad demandada este comprendida entre los 800 y 900 kilos.
Solución.
64. La demanda de cierta bebida tiene una distribución normal
con media 150.000 litros y una desviación estándar de 10.000.
Determine la cantidad de bebida que se debe tener para satisfacer la
demanda con una probabilidad de 0,95.
Solución.
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60
65. Una fábrica produce artículos según la distribución
. Dicha fábrica tiene como requisito, para continuar
produciendo, que la demanda de dicho artículo esté comprendida
entre 9.930 y 10.170 unidades. Determine la probabilidad de que la
fábrica no siga produciendo dicho artículo.
Solución.
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61
31) Sean dos variables tales que:
tiene una distribución
tiene una distribución
Compruebe que la variable
Tiene una distribución
Si son independientes.
Solución.
La función característica de la variable . Viene
dada por la forma:
Por definición se tiene:
Siendo independientes se tiene:
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62
De esto, se verifica:
66. Dos marcas comerciales venden los mismos productos. Las
ventas para ambas marcas se comportan de acuerdo a una
distribución normal con promedio 1.800 unidades y una desviación
típica de 150 unidades, para la segunda. Determinar la probabilidad
de que las ventas para la primera marca superen en 100 unidades a
la segunda.
Solución.
67. Entre 100 empresas cuyas reacciones se suponen
independientes entre sí, se analiza la modificación en su actividad
derivada de la adopción de un conjunto de medidas económicas.
Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de
medidas incidirá sobre su actividad con una probabilidad de que al
menos 20 de esas empresas modifiquen realmente su actividad
como consecuencia de las referidas medidas.
Solución.
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63
Se pasa a una normal de parámetros
68. En una fábrica se sabe que el número defectuoso de unidades
producidas diariamente, está dado por:
Determine la probabilidad de que en 150 unidades, el número de
unidades defectuosos producidas supere 1.480 unidades.
Solución.
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64
69. La venta de un producto oscila entre 20 y 40 unidades diarias.
Determinar la probabilidad de que en un periodo de 182 días, el
número de unidades demandadas supere 6.370, si cada día es
independiente del otro.
Solución.
Entonces
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65
70. Las ventas de un comerciante diariamente se encuentra entre
96,5 y 103,5 mil pesos. Determinar la probabilidad de que a lo largo
de un periodo de 100 días, el volumen de ventas supere los 10.005
mil pesos.
Solución.
Se aproxima a una normal de parámetro
71. ¿Para qué valores de en una distruibución de Poisson es la
frecuencia a mayor que la frecuencia en cualquier otro valor?
Solución.
Se debe calcular el valor de correspondiente a
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66
será mayor que para todos los valores de menores que 1
72. Una compañía está probando nuevas sugerencias para sus
ventas, y tiene los siguientes resultados en una prueba comparativa
bajo idénticas condiciones.
Ventas No ventas Total de visitas
Antiguas sugerencias 84 116 200
Nuevas sugerencias 98 102 200
Total 182 218 400
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Utilice la prueba de para determinar la significación de la diferencia
observada
Solución.
Las frecuencias esperadas de los datos combinados son
Calculando se tiene:
Y su grado de libertad es
Debido a que se puede concluir que la nueva
sugerencia tiene
significación al 20%, pero no al 10%, por ende la nueva
sugerencia no mejoró significativamente los resultados.
73. Demuestre que la probabilidad de que ocurran 0 o más
eventos de Poisson con frecuencia promedio en un intervalo es 1
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Solución.
Por demostrar que:
es la expansión en serie de , por lo tanto
74. Determine la función de distribución acumulativa para una
variable aleatoria con distribución de Rayleigh.
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Solución.
Sustituyendo y por consiguiente,
75. Demostrar que para una variable aleatoria con
distribución de Rayleigh
Solución.
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70
Luego
76. Un alumno lleva diariamente al colegio un tozo de torta de16
cm. y de vez en cuando le da un mordisco y se come la mitad de lo
que le queda. Asumiendo que en la mañana sigue una distribución
de Poisson de media aritmética un mordisco por hora:
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a) Calcular la distribución del tiempo que transcurre hasta que
aparece la primera mordida
b) ¿Qué probabilidad existe que soporte una hora de clases sin
morder su torta?
c) Si un día entre las 8:00 y las 13:00 hrs. , la ha mordido en 4
ocasiones, ¿Qué probabilidad existe que lo haya hecho durante
las 8:00 y las 11:00?
Solución.
a) Fijando cualquier intervalo temporal de amplitud horas, para
arbitrario pero fijo, sea
la variable aleatoria que mide el número de mordiscos que se
producen en dicho
intervalo. Según el enunciado, esta variable aleatoria sigue una
distribución de Poisson de
parámetro , es decir:
, para toda
Consideremos otra variable aleatoria que mide el tiempo que
transcurre hasta que se produce el primer mordisco en un
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intervalo de amplitud ilimitada.
. Se pretende demostrar que:
, para todo .
En efecto, utilizando la información disponible para y la relación
entre ambas variable aleatorias, se tiene que, para cualquier :
Luego el tiempo que transcurre hasta que aparece la primera mordida
sigue una distribución exponencial de parámetro 1.
b)
c)
77. Las llamadas recibidas en una central de llamados siguen una
distribución de Poisson con un promedio de llamadas por minuto.
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a) ¿cuál es la probabilidad que lleguen como máximo 2 llamadas por
hora?
b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que no llegue
ninguna llamada durante ese lapso de tiempo sea 0,8
Solución.
a)
b)
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78. Al lanzar una moneda
existen solo dos posibilidades, ganar o perder. ¿Cuántas veces es
necesario lanzar la moneda para que la probabilidad, de que la
frecuencia relativa de victorias difiera, de la verdadera probabilidad
de ganar, en valor absoluto, en al menos 0,05, sea inferior o igual al
5%?
Solución.
Aplicando el teorema de Bernoulli:
Como el valor de es desconocido, tomamos la cota superior de que
es , Por lo tanto;
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79. El tiempo de reparación de un computador tiene una
distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos.
a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que
diez minutos.
b) El costo de reparación es de 2000 por cada media hora o fracción.
¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000?
c) Para efectuar una programación, ¿Cuánto tiempo se debe asignar a
cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1?
Solución.
Definamos una variable aleatoria que representa el tiempo de
reparación (en minutos) de las computadoras y sigue una
distribución exponencial de parámetro
. Por lo tanto, la función de densidad de esta
variable es:
80. La probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor que diez minutos es:
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81. De acuerdo con el enunciado, para un tiempo de reparación
dado, el costo de reparación se obtendrá a partir del número total de fracciones de media hora y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30. (Todos, este último inclusive, se cobran a $2000).
Teniendo esto en cuenta, se observa que una reparación costara $4000 siempre que su duración sea superior a 30 minutos e inferior
o igual a 60 minutos (y así cada fracción de la segunda media hora se cobrará como una media hora entera). Así:
82. Representamos por el tiempo asignado a una
reparación (en minutos). Debe verificarse:
Es decir:
Y esto se cumple para
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83. En un compuesto químico utilizan 10 gramos de potasio. Se
sabe que la duración en promedio de este átomo es de 140 días, ¿En
cuántos días el átomo se desintegra al 90%?
Solución.
El tiempo T de desintegración de un átomo de potasio es una
variable aleatoria de distribución exponencial:
Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10
gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado
por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe
ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, . Del
mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe
ser muy aproximado a la curva de su función de distribución .
Entonces el tiempo que transcurre hasta que el del
material radiactivo se desintegra es el percentil 90, , de la
distribución exponencial,
es decir:
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84. Una empresa tiene tres sucursales, todas ellas reciben arroz.
La cantidad de arroz que pueden recibir se puede representar mediante un modelo exponencial con promedio cuatro toneladas
para cada una de las sucursales. Si trabajan de manera independiente, calcule la probabilidad de que sean exactamente dos de las tres sucursales que reciban más de cuatro toneladas al un en
día determinado.
Solución.
La probabilidad de que una sucursal reciba más de cuatro
toneladas es:
Si las tres sucursales trabajan de manera independiente, el
problema es encontrar la probabilidad de dos éxitos en tres
intentos, donde 0,37 es la probabilidad de éxito, por lo
tanto estamos frente a una distribución binomial.
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85. Una empresa tiene tres sucursales, todas ellas reciben arroz. La cantidad de arroz que pueden recibir se puede representar
mediante un modelo exponencial con promedio cuatro toneladas para cada una de las sucursales. ¿Cuánto arroz debe almacenar para esa sucursal cada día para que la probabilidad de quedarse sin
arroz sea solo 0,05?
Solución.
Sea la cantidad por almacenar, como tiene una distribución
exponencial, se tiene:
Se selecciona de tal manera que
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86. El almacenamiento de una bencinera se modela según una distribución beta con y . ¿Será probable que en la
bencinera se venda por lo menos el 90% de la capacidad de su
almacenamiento?
Solución.