525
Capítulo 11
Series de Fourier
Preliminares
Trataremos series trigonométricas y por lo tanto se utilizarán con frecuencia las siguientes identidades:
1E : ( ) ABBABA cossincossinsin −=− donde “sin” es la función seno.
2E : ( ) ABBABA cossincossinsin +=+ si BA = , ( ) AAA cossin22sin =
3E : ( ) BABABA sinsincoscoscos +=− si BA = , AA 22 sincos1 +=
4E : ( ) BABABA sinsincoscoscos −=+ si BA = , ( ) AAA 22 sincos2cos −=
Sumando o restando algunas de las anteriores y el resultado multiplicado por ½ obtiene:
5E : :2
21 EE + ( ) ( )[ ]BABABA ++−= sinsincossin 2
1
6E : :2
43 EE + ( ) ( )[ ]BABABA ++−= coscoscoscos 2
1 si BA = ( )
22cos1cos2 AA +
=
7E : :2
43 EE − ( ) ( )[ ]BABABA +−−= coscossinsin 2
1 si BA = ( )
22cos1sin2 AA −
=
8E : ( ) AnA cos2cos =+ π , ∈∀n El periodo de la función seno es π2
9E : ( ) AnA sin2sin =+ π , ∈∀n El periodo de la función coseno es π2
10E : ( ) AA coscos =− La función coseno es Par.
11E : ( ) AA sinsin −=− La función seno es Impar.
12E : ( ) 0sin =πn ∈∀n
13E : ( ) ( )nn 1cos −=π ∈∀n
14E : ( ) ( ) 12 112sin +−=− nn π ∈∀n
15E : ( ) 012cos 2 =− πn ∈∀n
Ejercicio 1
526 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Sean 0>p constante real y { }K,1,0=∈ ∗n . Comprobar que ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ x
pnπcos y ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ x
pnπsin tienen periodo
np2
.
Ejercicio 2 Comprobar las siguientes identidades ∗∈∀ n , ∗∈∀ m , 0>p constante real.
16E : 0cossin =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
−
p
pdxx
pmx
pn ππ
17E : ⎩⎨⎧
≠=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
−mnmnp
dxxp
mxp
np
psi
si
0sinsin ππ
18E : ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠≠===
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
− mnmnpmnp
dxxp
mxp
np
p si
si
si
0002
coscos ππ
Estudio de la función ( ) ( ) ( )xbxaxA λλ sincos +=
Sean a , b y 0>λ constantes reales y ∈x
Considere la función ( ) ( ) ( )xbxaxA λλ sincos += que describe un oscilador armónico. El oscilador pasa periódicamente
por cada punto, con periodo λπ2
, esto se justifica si ∈∀x calcula:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
λπ2xA ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +=
λπλ
λπλ 2sin2cos xbxa ( ) ( )πλπλ 2sin2cos +++= xbxa ( )xA=
Introduciendo un ángulo de fase φ definido (la figura muestra un ejemplo para >a y 0>b ) por las ecuaciones:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
22
22
sin
cos
ba
aba
b
φ
φ entonces
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=
φ
φ
sin
cos22
22
baa
bab y puede escribir:
( ) ( ) ( )xbaxbaxA λφλφ sincoscossin 2222 +++= y reducir a:
( ) ( )xbaxA λφ ++= sin22
El valor máximo de ( )xλφ +sin es uno, entonces la amplitud de las oscilaciones es 22 ba + que representa el “pico” de las oscilaciones.
La función ( ) ( ) ( )xbxaxA λλ sincos += tiene derivadas:
( ) ( ) ( )xbxaxA λλλλ cossin +−=′
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 527
( ) ( ) ( )xbxaxA λλλλ sincos 22 −−=′′
y es solución general de la ecuación diferencial: ( ) ( ) 022 =+ xyD λ
Estudio de las funciones ( ) ( ) ( )nrxbnrxaxA nnn sincos +=
Sean ( ) ∈nna y ( ) ∈nnb sucesiones de números reales y 0>r una constante real. Para cada ∈n la función:
( ) ( ) ( )nrxbnrxaxA nnn sincos +=
tiene la propiedad ( )xAnr
xA nn =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
π2 entonces tiene periodo
nrπ2
.
Construye la función ( ) ( ) ( )( )∑∑∞
=
∞
=+==
11sincos
nnn
nn nrxbnrxaAxF e introduce una sucesión de ángulos de fase
( ) ∈nnφ , entonces ( ) ( )∑∞
=++=
1
22 sinn
nnn nrxbax φF
Para estudiar la convergencia de la serie que define la función F considere:
( )xF ( )∑∞
=++=
1
22 sinn
nnn nrxba φ
( )∑∞
=++≤
1
22 sinn
nnn nrxba φ
∑∞
=+≤
1
22
nnn ba , válida ∈∀x
Asumiendo que la serie ∑∞
=+
1
22
nnn ba converge entonces la serie ( ) ( )( )∑
∞
=+
1sincos
nnn nrxbnrxa converge ∈∀x ,
entonces1 es convergente uniformemente, por esto es válida:
( )∫x
xduu
0
F ( ) ( )( )∑ ∫∞
=+=
1 0
sincosn
x
xnn dunrubnrua
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )∑∞
=−−−=
100 coscossinsin1
nnn nrxnrxbnrxnrxa
nr, ∈∀ 0x
1 ver teorema M de Weierstrass, página 271 de [8]
528 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Es de interés particular el caso p
r π= donde 0>p es una constante y la función:
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naax ππF donde ∈0a es constante (1)
Si ∈∀x calcula ( )px 2+F ( ) ( )∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
102
1 2sin2cosn
nn pxp
nbpxp
naa ππ
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
102
1 2sin2cosn
nn nxp
nbnxp
naa ππππ
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naa ππ
( )xF
Entonces la serie que converge ∈∀x es una función periódica con periodo es p2 . Para trazar su gráfica se puede elegir
cualquier intervalo de longitud p2 , por ejemplo [ ]pp,− , traza la gráfica de F en ese intervalo y la figura se calca sobre
otros intervalos [ ] [ ]pppp 3,,,3 −− , etcétera.
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 529
11.1. Serie de Fourier de una función f en un intervalo simétrico ] [pp,− , 0>p
La serie (1) es convergente ∈∀x y define una función periódica con periodo p2 . En el otro sentido Fourier demostró que
para cualquier función f real de variable real, “suave a trozos” y periódica existe una serie del tipo (1) que coincide con f
salvo en los puntos de discontinuidad de f , y encontró fórmulas para determinar los coeficientes KK ,,,,, 2110 bbaa en
(1). Para evitar complicaciones con la redacción en los extremos p− y p se considera el intervalo abierto ] [pp,− , sin
embargo, todas las apreciaciones hechas en esta obra son válida si f es derivable en p− y en p .
De aquí en adelante f es periódica con periodo p2 y por lo tanto las propiedades de f en el intervalo ] [pp,− , también
se satisfarán en los intervalos ] [ ] [pppp 3,,,3 −− , etcétera, como muestra la figura.
Definición 1 Función suave a Trozos
Sea ] [ppI ,−=
Una función →If : es suave a trozos en I si y solo su derivada f ′ es continua a trozos en I .
Notación
Sea Ix∈ , denotamos ( ) ( )XfxfxX +→
+ = lim
( ) ( )XfxfxX −→
− = lim
Si f es continua en Ix∈ esos límites laterales coinciden y ( ) ( ) ( )xfxfxf == −+ . En tal caso el promedio
( ) ( ) ( )xfxfxf=
+ −+
2
Teorema 1 Serie de Fourier de f
Sean 0>p constante real, I el intervalo simétrico ] [pp,− y f una función real con las propiedades:
1) f es suave a trozos en ] [pp,−
2) f es periódica de periodo p2
Entonces ( ) ( )
2sincos
102
1−+∞
=
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+ ∑ xfxfx
pnbx
pnaa
nnn
ππ ] [ppx ,−∈∀ (2)
530 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
donde ( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dxx
pnxf
pa πcos1
para { }K,2,1,0∈n (3)
( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dxx
pnxf
pb πsin1
para { }K,2,1∈n (4)
Observe que ( )xfxp
nbxp
naan
nn =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+ ∑
∞
=102
1 sincos ππ para todo x donde f es continua. (5)
La serie en (2) se llama la representación de Fourier de f , nn ba , los coeficientes de Fourier.
A continuación justificamos la fórmula (2) si f es suave a trozos en ] [pp,− . En tal caso se tiene:
( ) ( ) ( )xfxfxf=
+ −+
2
Y nos damos a la tarea de hallar nn ba , constantes (respecto a x ) tales que:
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naaxf ππ
Para despejar 0a integra en el intervalo ] [pp,− para obtener:
( ) ∫ ∑∫−
∞
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
p
p nnn
p
pdxx
pnbx
pnaadxxf
102
1 sincos ππ
⇒ ( )p
pn
nnp
px
pn
npbx
pn
npaxadxxf
−
∞
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= ∑∫
102
1 cossin ππ
ππ
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
10 cossincossin
n
nnnn nn
pbnn
pann
pbnn
papa ππ
ππ
ππ
ππ
pa0=
⇒ ( )∫−
=p
pdxxf
pa 1
0
Para despejar na , ∈n , multiplica por ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ x
pmπcos , ∈m , e integra en el intervalo [ ]pp,− para obtener:
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 531
( ) ∫ ∑∫−
∞
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
p
p nnn
p
pdxx
pmx
pnbx
pnaadxx
pmxf ππππ cossincoscos
102
1
Se tiene ( ) ( )( ) 0sinsin2
sin2
cos 0002
1 =−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−∫ ππ
ππ
ππ mm
mpax
pm
mpadxx
pma
p
p
p
p
⇒ ( ) ∫ ∑∫−
∞
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
p
p nnn
p
pdxx
pmx
pnbx
pmx
pnadxx
pmxf
1cossincoscoscos πππππ
⇒ ( ) ∑ ∫∫∫∞
= −−−⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1
)16(0
cossincoscoscosn
E
p
pn
p
pn
p
pdxx
pmx
pnbdxx
pmx
pnadxx
pmxf
44444 344444 21 fórmula ver
πππππ
⇒ ( ) ∑ ∫∫∞
= −−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1coscoscos
n
p
pn
p
pdxx
pmx
pnadxx
pmxf πππ
Por 18E :⎩⎨⎧
≠=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
−mnmnp
dxxp
mxp
np
psi
si
0coscos ππ
, y en la última serie solo queda el término para mn = y se
reduce a ( ) ∫∫−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
p
pn
p
pdxx
pnx
pnadxx
pnxf πππ coscoscos . Calcula esta última integral para recibir
( ) padxxp
nxf n
p
p=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∫
−
πcos
⇒ ( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dxx
pnxf
pa πcos1
Ejercicio 3 Utilizando un procedimiento similar al anterior compruebe que ∈∀n , ( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dxx
pnxf
pb πsin1
Definición 2
Las funciones ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pxnπcos y ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pxnsen π
se llaman funciones propias y p
nπ valores propios.
532 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Teorema 2 La Serie de Fourier F es una función periódica La serie de Fourier
( )xF ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naa ππ es periódica y su periodo es p
p
T 22==
ππ
Demostración
Sea ∈x . Calcule ( )pxF 2+ ( ) ( )∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
102
1 2sin2cosn
nn pxp
nbpxp
naa ππ
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
102
1 2sin2cosn
nn nxp
nbnxp
naa ππππ
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naa ππ ( )xF=
Ejemplo 1
La figura muestra el trazo de la gráfica de una función f en [ ]pp,− y la serie de Fourier de f en . Aprecie las
diferencias entre f y su serie de Fourier F en los extremos p− y p :
Ejemplo 2
La siguiente figura muestra una función f de dos trozos suaves y un único salto finito en [ ]ppc ,−∈ y la serie de Fourier
de f en [ ]pp,− . Aprecie la convergencia de la serie en el punto de salto finito y en los extremos p− y p .
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 533
Ejemplo 3
Dar la serie de Fourier para la función periódica definida en ] [2,0 como ( )⎩⎨⎧
<≤<<−
=102010
xx
xfsi
si
R. La figura muestra el trazo de la gráfica de f sobre todo el eje x
Y la figura muestra el trazo de la gráfica de su serie de Fourier
Por la fórmula (5) ( ) ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naaxf ππ en los puntos donde f es continua.
En este ejemplo 1=p , entonces los coeficientes de Fourier (ver fórmulas (3) y (4)) son:
( )∫−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
1
11
cos11 dxxnxfan
π para { }K,2,1,0∈n
534 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
( )∫−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
1
11
sin11 dxxnxfbn
π para { }K,2,1∈n
Por lo general para evitar divisiones por cero se calculan separadamente 0a y na para { }K,2,1∈n , y no se descarta la posibilidad de que en algunos ejemplos para evitar la división por cero, se deban tratar por separado para integrar otros términos de na o nb .
Si 0=n , 0a ( ) ( ){ ( ){ 22 10
1
0 2
0
1 0
1
1==+== ∫∫∫
−−
xdxxfdxxfdxxf
Si ∈n , na ( ) ( )∫−
=1
1cos dxxnxf π
( ){ ( ) ( ){ ( )∫∫ +=−
1
0 2
0
1 0coscos dxxnxfdxxnxf ππ
( )1
0sin2 xn
nπ
π= (observe que si fuese 0=n la integral no se calcula así)
( )( ) 00sinsin2=−= π
πn
n
Si ∈n , nb ( ) ( )∫−
=1
1sin dxxnxf π
( ){ ( ) ( ){ ( )∫∫ +=−
1
0 2
0
1 0sinsin dxxnxfdxxnxf ππ
( )1
0cos2 xn
nπ
π−=
( )( )0coscos2−−= π
πn
n
( )( )112−−−= n
nπ
( )( )112 1 +−= +nnπ
porque ( ) ( )( ) ( ) 11111 +−=−−=−− nnn
Concluye que ( )xf ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn xp
nbxp
naa ππ
( ) ( )( ) ( )∑∞
=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−++=
1
1
21 sin112cos02
n
nxn
nxn π
ππ
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 535
( )( ) ( )∑
∞
=
+ +−+=
1
1sin1121
n
nxn
nπ
π
Considerando que ( ) 11 1 +− +n es 0 o 2 dependiendo de si n par o impar respectivamente y utilizando la propiedad:
∑∑∑∞
=
∞
=−
∞
=+=
12
112
1 nn
nn
nn BBB
la serie de Fourier se puede escribir:
( )xf ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )∑∑
∞
=
+∞
=
+− +−+−
−+−
+=1
12
1
1122sin
211212sin
121121
n
n
n
nxn
nxn
nπ
ππ
π
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )∑∑∞
=
+∞
=
+−+−
−+−
+=1
012
1
22
2sin2
11212sin12
1121n
n
n
nxn
nxn
nπ
ππ
π
448447648476
⇒ ( )xf ( )
( )( )∑∞
=−
−+=
112sin
1241
nxn
nπ
π válida para todo { }K,2,1,0 ±±−∈x .
Adicionalmente, de este tipo de identidades puede deducir valores de series convergentes, por ejemplo si toma 21=x en la
anterior obtiene ( )21f
( )( )( )∑
∞
=−
−+=
1212sin
1241
nn
nπ
π.
De la definición de f obtiene ( ) 221 =f y del círculo trigonométrico unitario que ( )( ) ( ) 1
2 112 +−=− nnsen π , entonces
( )
( )∑∞
=
+−−
+=1
1112
412n
nn π
⇒ La serie ( )( )∑
∞
=
+
−−
1
1
1214
n
n
n π converge a 1
Pero no abandonemos el ejemplo, sin observar que ( )xf no coincide con la serie para { }K,2,1,0 ±±∈x donde ( )xf
tiene saltos. Por ejemplo ( ) 20 =f por la definición de ( )xf , mientras la serie en 0=x tiene el valor:
( )
( )( ) 1012sin12
411
=−−
+ ∑∞
=nn
nπ
π
Ejemplo 4
Dar la serie de Fourier de la función ( ) xxf sin= en el intervalo simétrico ] [22 , ππ−
R. Particularmente f es una función impar, lo que aprovecharemos al calcular las integrales. Los coeficientes de la serie de Fourier son:
536 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
( )∫−
=p
p
dxxfp
a 10 {∫
−
=2
22
sin1
π
ππ dx x
impar 0= , para esto es necesario que el intervalo sea simétrico.
( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dx
pxnxf
pa πcos1
∫−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
2
22
cossin1
2
π
π
ππ dx xnx
impar44 344 21
0=
( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dx
pxnxf
pb πsin1
∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
2
2sinsin1
2
π
π
ππ dx xnx
par44 344 21
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
0
22
sinsin2
π
ππ dxxnx
Aplicando la identidad ( ) ( )[ ]BABABA +−−=⋅ coscossinsin 21 en la integral anterior obtiene:
nb ∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2
0
22
cos2
cos
π
πππ dxxnxxnx
∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=2
0
22
2cos2
2cos
π
πππ dxxnxn
2
0
22
2sin2
22
2sin2
2π
ππ
πππ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= xn
nxn
n
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
222sin
21
222sin
214 ππ
πππ
ππn
nn
n
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+−
−−
=4
2sin2
14
2sin2
14 πππ
ππππ
nn
nn
Sustituye los coeficientes anteriores en la serie de Fourier:
( ) ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn pxnb
pxnaaxf ππ
( ){ ∑
∞
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
1 2221 sincos00sin
nn
xf
xnbxnx ππππ
( ) ( ) ( )∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
1
4 2sin4
2sin2
14
2sin2
1sinn
nxnn
nn
x πππ
ππππ
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 537
Aplica ( ) ABBABA cossincossinsin −=− a ( )
4cos
42sin
42sin
22 πππππ nnn=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
y ( ) ABBABA cossincossinsin +=+ a ( )
4cos
42sin
42sin
22 πππππ nnn=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
Las anteriores permiten escribir la serie de Fourier obtenida como:
( )∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
−=
1
24 2sin
4cos
21
21sin
nnxn
nnx π
πππ
⇔ ( )( )
( )∑∞
= +−=
1
22sin
4cos
228sin
nnxn
nnnx π
ππ si ] [22 , ππ−∈x
Ejemplo 5
Desarrolle en serie de Fourier la función periódica f con periodo 4 que se muestra en la figura:
R. Como el periodo es 4 puede desarrollar la serie de Fourier para f en cualquier intervalo de longitud 4, escoja el intervalo
simétrico ] [2,2− , una ecuación para f sobre este intervalo es ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<<<−−<<−
=211112
0
0
xxx
sisisi
xxf
Particularmente f es una función impar, lo que aprovecharemos al calcular las integrales.
Los coeficientes de la serie de Fourier son:
( )∫−
=p
p
dxxfp
a 10 ( ){∫
−
=2
221 dxxf
impar 0=
( )∫−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
p
pn dx
pxnxf
pa πcos1
( )∫−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
2
22
cos21 dxxnxf
impar
44 344 21
π 0=
( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dx
pxnxf
pb πsin1
( )∫−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
2
22
sin21 dx xnxf
par44 344 21
π
( )∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
2
02
sin dxxnxf π
538 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
2
1
1
02
sin02
sin dxxndxxnx ππ
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
1
02
sin dxxnx π
Aplica integración por partes con: xu = ⇒ dxdu =
dxxndv ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2sin π
⇒ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= xn
nv
2cos2 π
π
obtiene: nb ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
1
0
1
0 2cos2
2cos2 dxxn
nxnx
nπ
ππ
π
1
022 2
sin42
cos2⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+−=
xnn
nn
ππ
ππ
2sin4
2cos2
22π
ππ
πn
nn
n+−=
Para precisar los valores de 2
sin πn y
2cos πn
considera los términos con subíndice par o impar:
De subíndice par: nb2 ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
22sin
24
22cos
22
22π
ππ
πn
nn
n ( )n
n11
−−=π
Y subíndice impar 12 +nb ( )
( )( )
( )2
12sin124
212cos
122
22π
ππ
π+
++
++
−=n
nn
n
( )( ) 2212
14π+
−=
n
n
Sustituye los anteriores coeficientes en la serie de Fourier para la función periódica f , obtiene:
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1sin
nn p
xnbxf π
( )∑∑∞
=+
∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
012
12 2
12sin2
2sinn
nn
n xnbxnb ππ
( ) ( ) ( )( )
( )∑∑∞
=
∞
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
−+
−=
022
1
1
212sin
1214sin1
n
n
n
n xnn
xnn
ππ
ππ
Ejemplo 6
Dar la serie de Fourier de la función periódica definida en ] [2,2− por ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<≤<≤<≤−−<<−
−=
211001
12
;0;1;2;0
xxxx
sisisisi
xf
Los coeficientes de la serie de Fourier son:
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 539
( )∫−
=p
p
dxxfp
a 10
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−+= ∫∫∫∫
−
−
−
2
1
1
0
0
1
1
20120
21 dxdxdxdx
21
−=
( )∫−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
p
pn dx
pxnxf
pa πcos1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∫∫
−
1
0
0
12
cos12
cos221 dxxndxxn ππ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=−
1
0
0
1 2sin2
2sin4
21 xn
nxn
nπ
ππ
π
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=
2sin1 π
πn
n
Para precisar el valor de ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2sin πn
considera los coeficientes de Fourier con subíndice par e impar:
( ) 002
1sin2
12
2sin2
12 =
−=
−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
=π
ππ
ππ n
nn
nn
a n { }K,2,1∈n
( )
( )( )
( ) ( )( )ππ
ππ 12
1112
12
12sin12
1 112 +
−=−
+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−
=+
+ nnn
na
nn
n { }K,1,0∈n
( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
p
pn dx
pxnxf
pb πsin1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∫∫
−
1
0
0
12
sin12
sin221 dxxndxxn ππ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
1
0
0
1 2cos2
2cos4
21 xn
nxn
nπ
ππ
π
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
2cos331 π
πn
n ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
2cos13 π
πn
n
( )( ) ( )( )nn n
nn
nn
b 112
3cos12
32
2cos12
32 −−=−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
ππ
ππ
π { }K,2,1∈n
( )( )
( )ππ
π 123
212cos1
123
0
12 +=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−+
=+ nn
nb n
44 344 21 { }K,1,0∈n
La serie de Fourier de la función dada es:
( ) ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn pxnb
pxnaaxf ππ
( ) ( ) ∑∑∞
=
∞
=++ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+=1
220
1212021
22sin
22cos
212sin
212cos
nnn
nnn
xnbxnaxnbxnaa ππππ
540 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−+
+−=10
141 sin
2113
212sin3
212cos1
121
n
n
n
n xnn
xnxnn
ππ
πππ
Extensión de una función
Suponga que es dada una función f en un intervalo no simétrico [ [L,0 . Para aplicar la fórmula de Fourier a f se extiende
la definición de f al intervalo simétrico ] [LL,− , es decir, asigna imagen a cada ] [0,Lx −∈ . Por supuesto, una extensión
de f no es la misma porque se amplia el dominio de [ [L,0 a ] [LL,− . Una extensión de f se denota con f y se define
como ( )( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−
=Lx sixf
xL sixgxf
00
, donde g es cualquier función derivable a trozos en ] [0,Lx −∈ .
¿Qué extensión f de f tomar?
La función g se escoge arbitrariamente mientras la definición original de f para [ [L,0 no cambia, entonces son muchas las
formas de definir extensiones de f . En la siguiente figura, el trazo original de f es la curva más gruesa y el de f es la unión de esa curva gruesa con la otra más delgada. Bajo cada trazo está la respectiva fórmula de extensión:
extensión extensión extensión extensión arbitraria impar periódica par
( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−
Lx sixfxL sixg
00
( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−−−
Lx sixfxL sixf
00
( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−+
Lx sixfxL siLxf
00
( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−−
Lx sixfxL sixf
00
Entre tantas extensiones revisten de importancia dos, la extensión de f a una función impar y extensión de f a una función
par en el intervalo ] [LL,− , que se destacan por su aplicabilidad, además, simplifican en gran medida el cálculo de los coeficientes de Fourier.
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 541
11.2. Serie de senos de f definida en un intervalo no simétrico [ [L,0 , 0>L
Sea f una función definida en [ [L,0 (curva gruesa en la figura).
Suponga que toma su extensión impar al intervalo ] [LL,− , ( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−−−
Lx sixfxL sixf
00
y la denota con f (unión de las
curvas gruesa y delgada en la figura):
Note que el trazo es simétrico respecto al origen. A continuación escribimos los coeficientes de Fourier para f en términos de
f en el intervalo original [ [L,0 . Aplicando las fórmulas para los coeficientes con Lp = y f impar obtiene:
( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−−== ∫∫∫
−−
L
L
L
Ldxxfdxxf
Ldxxf
La
0
0
011
si toma el cambio de variable dxduxu −=⇒−= en la anterior resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) 011
000
0
0 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+= ∫∫∫∫
LLL
Ldxxfduuf
Ldxxfduuf
La
Con el mismo cambio de variable obtiene:
0=na ∈n
( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
n dxL
xnxfL
b0
sin2 π ∈n
Concluye que la serie de Fourier para una extensión f impar llamada serie de senos de f en [ [L,0 es:
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
1sin
nn L
xnbxf π con ( )∫ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
L
n dxL
xnxfL
b0
sin2 π para ∈n
Esta es una identidad para todo x donde f sea continua.
Nota
La función original no es par ni impar porque el dominio [ [L,0 no permite aplicar estos conceptos.
542 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Note que las integrales no requieren de la definición de ( )xf −− porque se dan en términos de f en [ [L,0
Ejemplo
Calcule la serie de Fourier de senos para la función ( ) xxxf sin= si π≤≤ x0
Se propone hallar la sucesión de coeficientes { }nb , ∈n tales que:
( )∑∞
==
1sinsin
nn nxb xx
⇒ ( )∫=π
π0
sinsin2 dxnxxxbn para { }K,2,1∈n .
Como ( ) ( )[ ]xnxnnxx +−−= 1cos1cossinsin 21
( ) ( )[ ]∫ +−−=π
π0
1cos1cos1 dxxnxnxbn
1b ( )( )∫ −=π
π0
2cos11 dxxx ( ) ( )
π
π 0
2
42cos
22sin
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−=
xxxx
2π
=
Si 1≠n nb ( ) ( )[ ]∫ +−−=π
π0
1cos1cos1 dxxnxnx
( ) ( )[ ]∫ +−−=π
π0
1cos1cos1 dxxnxxnx
Utiliza integración por partes para obtener:
nb ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
π
π0
221
11cos
11sin
11cos
11sin
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−
++
−−
−+
−−
=n
xnn
xnxn
xnn
xnx
( )( )( )
( )( )( )
π
π0
221
11cos
11cos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−
−
−=
nxn
nxn
( )( )( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−−−= +
2211
11
1111
nnn
π
nb2 ( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−= −
222
121
121
nnπ
12 +nb 0=
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 543
Finalmente ( ) ( )
( )∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−−=
122
22 2sin
121
121sinsin
nnx
nnxxx π
π
544 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
11.3. Serie de cosenos de f definida en el intervalo no simétrico [ [L,0 , 0>L
Sea f una función definida en [ [L,0 .
Suponga que toma su extensión par al intervalo ] [LL,− , ( )( )( )⎩
⎨⎧
<≤<<−−
=Lx sixf
xL sixfxf
00
, en la figura es la unión de las
curvas gruesa y delgada:
El trazo de la gráfica para este tipo de extensiones es simétrico respecto al eje Y .
Por argumentos similares a los utilizados en la sección anterior obtiene la serie de Fourier para una extensión par, llamada
serie de cosenos de f en [ [L,0 es:
( ) ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 cosn
n Lxnaaxf π
, para todo x donde f sea continua.
( )∫=L
dxxfL
a0
02
( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
n dxL
xnxfL
a0
cos2 π ∈n
Para efectos memorísticos los coeficientes naa ,0 pueden escribirse bajo la misma fórmula:
( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
n dxL
xnxfL
a0
cos2 π ∈n
pero es obvio que se calculan para 0=n y para 0≠n separadamente, porque integrales como:
LL
Lxn
xnLdx
Lxn
00sincos ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛∫
ππ
π carecen de sentido cuando 0=n .
Ejemplo 7
Dar la serie de Fourier de cosenos para ( ) ttf sin= para π<≤ t0 y demuestre que 21
12 141
=−
∑∞
=n n
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 545
R. Los coeficientes con π=L : 0a ( )∫=L
dttfL
0
2 ∫=
π
π0
sin2 tdt π
π 02 cos t−=
π4=
na ( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Ldt
Ltntf
L0
cos2 π ( )∫=
π
π0
cossin2 dtntt
( ) ( )[ ]∫ −++=π
π0
21 sinsin2 dtnttntt
( ) ( )[ ]∫ −++=π
π0
1sin1sin1 dttntn
La última integral requiere de los casos:
si 1=n 1a ∫=π
π0
2sin1 tdt π
π 02cos
21 t−= 0=
si 1≠n na ( ) ( ) π
π 011cos
11cos1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
+++
−=n
tnn
tn
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
+−
−−
+++
−=nnn
nnn
11
11
11cos
11cos1 ππ
π
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
+−
−−
++
−−=
−−
nnnn
nn
11
11
11
111 11
π
( )21
112n
n
−
+−⋅=
π
Sustituyendo en la serie de cosenos: ( )tf ( ) ( )∑∞
==
++=21
1021 coscos
nn
n
ntataa43421
para
( ) ( )∑
∞
= −
+−⋅+=
22
2 cos1
112
n
nnt
nππ
Para lectores que gustan de simplificar al máximo, note que ( ) 11 +− n es igual a 2 ó 0, por esto separe los términos con
subíndice impar de términos con subíndice par:
( )
( ) 222
22
4114
4122
21112
nnna
nn
−=
−⋅=
−
+−⋅=
πππ
( )
( ) ( )0
12102
121112
22
1212 =
+−⋅=
+−
+−⋅=
+
+nn
an
n ππ
546 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Sustituyendo en la serie de cosenos: ( )tf ( ) ( )( )∑∑∞
=+
∞
=+++=
1 012
12
2 12cos2cosn
nn
n tnanta321π
Finaliza con la serie de cosenos para tsin ( )∑∞
=⋅
−+=
12
42 2cos411
nnt
nππ
Además, la función ( ) ttf sin= es continua en π entonces ( ) ( ) ( ) ( ) 0sin ==== −+ ππππ fff . En la serie de
Fourier ( ) ( )
2
−+ + tftf ( )∑∞
=⋅
−+=
12
42 2cos411
nnt
nππ toma π=t y obtiene:
( )∑∞
=⋅
−+=
1 12
42 2cos4110
nn
n 43421 πππ
entonces ∑∞
= −=−
122
1411
n n
Ejemplo 8
Desarrolle en serie de cosenos la función ( )ππ
π
<≤
<≤
⎪⎩
⎪⎨⎧
=x
x
x
xxf
2
20
sin
2
si
si
R. La extensión de ( )xf a una función par en el intervalo ] [ππ ,− es (ver extensión de una función arriba):
( )
( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<≤
<<−
−≤<−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<≤
<≤
<<−−−
−≤<−−−
=
x six
x six
xsix
x six
x six
xsix
xsix
xf
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
2
22
2
2
2
2
2
sin
2
sin
sin
02
02
sin
Sin embargo, no necesita definir esa extensión porque los coeficientes se calculan en términos de la función original ( )xf y
de π=L , a saber:
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=
102
1
102
1 coscosn
nn
n nxaaxnaaxfππ
nb 0= para todo ∈n
0a ( )∫=L
dxxfL
0
2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+= ∫∫ 14
cos2sin22 22
02
0 2
2
2
2 πππ π
ππ
π
π
π
π
xxxdxxdx
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 547
na ( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Ldxx
Lnxf
L0
cos2 π ( ) ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+= ∫∫π
π
π
π2
2cossincos22
0dxnxxdxnxx
Aplicando partes: dxduxu 22 =⇒= ( ) ( )nxn
vdxnxdv sin1cos =⇒=
a la 1ra integral ( )∫2
0cos2
π
dxnxx ( ) ( ) 2
02 cos2sin2
π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += nx
nnx
nx
( ) ( )0cos20sin02
cos22
sin2
222 n
nn
nn
−−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
πππ
222
2cos2
2sin
nn
nn
n−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
πππ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 1
2cos
2sin
222
πππ nnnn
La 2da integral ( )∫π
π2
cossin dxnxx se calcula para 1=n diferente que para 1≠n , por eso:
si 1=n 1a ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫
π
π
ππππ
2
cossin12
cos2
sin2
22 xdxx
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−= ∫π
ππ
π2
2sin2221 xdx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
πππ
π 22cos22
41 x ( )2
52−= π
π
si 1≠n na ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= ∫
π
π
ππππ
2
cossin12
cos2
sin2
222 dxnxxnnn
n
( ) ( )( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= ∫
π
π
ππππ
2
1sin1sin12
cos2
sin2
2221
2 dxxnxnnnnn
548 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
−−−
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
π
π
ππππ
211cos
11cos1
2cos
2sin
222
21
2 nxn
nxnnnn
n
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
+
+−
−−
+++
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
n
n
n
nn
nnnnn
n 1
1cos
1
1cos
11cos
11cos1
2cos
2sin
222 22
21
2
πππππππ
π
Para simplificar los términos que tienen senos o cosenos considera los coeficientes de subíndice par y los de subíndice impar.
Cambia n por n2 obtiene:
na2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−
+
+−
−−
+++
−−−=n
n
n
n
nn
nn
nn
21
21cos
21
21cos
2121cos
2121cos11
212 22
21
2
πππππ
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
+−
−−
++−
−−−
=nnnnn
n
210
210
211
211
2112
21
2π
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−−= 22 41
2111nn
n
π
Cambia n por 12 +n en na obtiene:
12 +na
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
−++
−−−
+++
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
+
+=
nn
nn
nn
nnn
nn
2cos
221cos
22cos
2222cos11
212
1222
21
2πππππ
π
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
+−
−−+
−−−++
=+
nnnnn
n
nnn
21
221
21
2212112
1221 1
2 ππ
( )( )( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
+−−
++
−−+=
+
nnnn nnn
211
2211
12211221 1
2π
π
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−−+−−
++
−−+=
+
nnnn
nn nnn
1211111
12211221 1
2π
π
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−+
++
−+−=
+
121211
12212121 1
2 nnn
nn nn π
π
Finalmente ( ) ( )∑∞
=+=
102
1 cosn
n nxaaxf ( )( ) ( )∑∑∞
=
∞
=+ ++++=
12
112102
1 2cos12coscosn
nn
n nxaxnaxaa
donde nn aaaa 21210 ,,, + son los calculados arriba
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 549
Ejemplo 9
Dar la serie de senos y la serie de cosenos de la función ( )⎩⎨⎧
<<≤≤
=ππ
π20
0x x x
xfsi
si
R. Solo por información,
La extensión impar de ( )xf es ( )( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<≤≤−<<
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<≤≤<≤−−−<<
=ππππππ
πππ
πππ
20
20
200
020
x x xx-
x x xx xx-
xfsi
si
si
si
si
si
si
La extensión par de ( )xf es ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<≤≤<≤−−<<
=
πππ
πππ
200
020
x x xx xx-
xf
si
si
si
si
Si utiliza la extensión par de f resulta la serie de cosenos y si utiliza la extensión impar resulta la serie de senos. En general,
estas series coinciden con la ( )xf original para [ [π2,0∈x , y difieren para ] [0,2π−∈x
Dejemos de lado las extensiones y limitémonos a las fórmulas de serie de senos y cosenos con π2== Lp
Serie de senos ( ) ∑∞
==
1sin
nn L
xnbxf π, ( )∫=
L
n dxL
xnxfL
b0
sin2 π K,2,1=n
⇔ ( )∫=π
π
2
02
sin1 dxnxxfbn
⇔
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+= ∫∫4434421
0
2
02
sin02
sin1 π
π
π
πdxnxdxnxxbn
⇔ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−= ∫
ππ
π00 2
cos22
cos21 dxnxn
nxxn
bn
⇔ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+−=
ππππ 02 2
sin42
cos21 nxn
nn
bn
⇔ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
2sin4
2cos21
2πππ
πn
nn
nbn
550 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Si n toma valores 1,2,3,4,... entonces 2πn
toma valores K,2,2
3,,2
ππππ respectivamente, y es menos fácil determinar
2sin πn
y 2
cos πn. Por esta razón separa los coeficientes de subíndice par n2 de los coeficientes de subíndice impar
12 +n ;
nb2 ( )
( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
22sin
24
22cos
221
2πππ
πn
nn
n
( )( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−=
−4342143421
02
1
sin4
4cos1 ππππ
nn
nn
n
( )
n
n 11 +−=
12 +nb ( )
( )( )( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
++
++
−=
− 44844764484476n
nn
nn
1
2
0
212sin
124
212cos
1221 πππ
π
( )( )212
14+
−=
n
n
π
Concluye ( ) ∑∞
==
1sin
nn L
xnbxf π
( ) ∑∑∞
=
∞
=+ +
+=
12
012 2
2sin2
12sinn
nn
nxnbxnb
ππ
ππ
( )( )
( ) ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−+
+
+
−=
102 sin1
212sin
1214
n
n
n
nnx
n xn
n π
Serie de cosenos ( ) ∑∑∞
=
∞
=+=+=
102
1
102
12
coscosn
nn
nnxaa
Lxnaaxf π
0a ( )∫=π
π
2
0
1 dxxf
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+= ∫∫321
0
2
001 π
π
π
πdxxdx
2π
=
na ( )∫=L
dxnxxf0
2cos1
π ∈n
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+= ∫∫4434421
0
2
02
cos02
cos1 π
π
π
πdxnxdxnxx
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 551
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫
ππ
π00 2
22
21 dxnxsenn
nxxsenn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+=
ππππ 02 2
cos42
21 nxn
nsenn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+= 1
2cos4
221
2πππ
πn
nnsen
n
na2 ( )
211
n
n
π−−
=
12 +na ( )
( )2124
1212
+−
+−
=nn
n
π
Concluye ( ) ( ) ( )∑∑∞
=+
∞
=
+++=
012
1202
12
12coscosn
nn
nxnanxaaxf con los coeficientes calculados arriba
Ejercicios 4
1. Desarrolle en serie de senos la función ( )⎩⎨⎧
<<−≤≤
=424202
x sixx si
xf
2. Explique porque los coeficientes en ( ) ( )∑∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+=0
22
12cos1n
n xna nx ππ se calculan
( )( )
∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+=
2
0
22
12cos1
1 dxxnxn
anπ
π para { }K,1,0∈n
3. Determine los coeficientes nb en la función de dos variables ( ) ( ) ( )∑∞
==
1sinsin,
nn tnxnbtxu ππ , si tiene la
propiedad ( ) xxtu
=∂∂ 0, . R.
( )22
112πn
bn
n+−
= y la función es ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+−=
122
1sinsin12,
n
ntnxn
ntxu ππ
π
4. Se define [ [ →π,0:f por ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤
<≤=
πππ
π
x si
x sixxf
22
20. Determine la serie de Fourier de cosenos para ( )xf y
muestre ( )
41
2
1 211 π=−+∑
∞
=
+
n
n
n
R. ( )( )
( ) ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−−++
+−=
122
1
02
28
3 2cos1112cos12
1
n
n
nxn
nxn
nxf ππ
π
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 553
11.4. Serie de Fourier de una función en un intervalo no simétrico [ [ 00 >L ,L
Para obtener la serie de Fourier de una función derivable a trozos en un intervalo no simétrico [ [,L0 , sin recurrir a
ninguna extensión, traslada el eje 0=x hasta el punto medio del intervalo [ [,L0 y calcula la serie de Fourier de la función
en ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤−
22L,L
.
Empieza trasladando el eje 0=x al punto medio de [ [,L0 , entonces el origen del nuevo sistema de coordenadas uy
coincide con el punto ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0,
2L
del sistema original xy .
Tal traslación está definida por 2Lxu −= , mientras la ordenada de cada punto se conserva, es decir
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
yv
Lxu2 y hace
corresponder:
• al eje 0=x con el eje 22
0 LLu −=−=
• al eje 2Lx = con el eje 0
22=−=
LLu
• al eje Lx = con el eje 22LLLu =−=
Para simplificar la notación se utiliza 2Lp = .
Ahora que el intervalo de definición de ( )uf es simétrico ] [pp,− , aplica la fórmula (5) dada en 11.1 con u en lugar de x :
( ) ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 sincosn
nn punb
punaauf ππ
A continuación escribimos la serie anterior en términos de x y de L .
554 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes
Primero. Inspeccionando la figura anterior se nota que ( ) ( )xfuf = .
Segundo. Como pxLxu −=−=2
, se aplica en las funciones propias:
( ) ( )( )
( ) ( )pxnn
pxnn
pxnn
pxn
ppxn
pun n
n
πππππππππ cos1sinsincoscoscoscoscos01
−=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
−4342143421
( ) ( )( )
( ) ( )pxn
pxnnn
pxnn
pxn
ppxn
pun n
n
πππππππππ sin1cossincossinsinsinsin01
−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
−4342143421
Tercero. Para escribir los coeficientes de Fourier
( )∫−
=p
pn du
punuf
pa πcos1
( )∫−
=p
pn du
punuf
pb πsin1
en términos de x y L , se aplica el cambio de variables pxu −= ⇒ dxdu = , y para cambiar los límites de integración:
si pu = ⇒ pppx 2=+=
si pu −= ⇒ 0=+−= ppx
Entonces los coeficientes de Fourier anteriores se escriben:
( ) ( )∫−=p
nn dx
pxnxf
pa
2
0cos11 π
( ) ( )∫−=p
nn dx
pxnxf
pb
2
0sin11 π
Se cambia 2Lp = en lo anterior y resume que la serie de Fourier de ( )xf para x en el intervalo no simétrico [ [L,0 es:
( ) ( ) ( )∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
102
1 2sin12cos1n
nn
nn L
xnbL
xnaaxf ππ
Y los coeficientes son: ( )∫=L
dxxfL
a0
02
( ) ( )∫−=L
nn dx
Lxnxf
La
0
2cos21 π
Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 555
( ) ( )∫−=L
nn dx
Lxnxf
Lb
0
2sin21 π
Al sustituir estos coeficientes nn baa ,,0 en la última serie se obtienen términos ( ) 11 2 =− n , por lo que puede suprimir
( )n1− de la serie y de los coeficientes para obtener que la serie de Fourier de la función f en [ [L,0 es:
( ) ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
102
1 2sin2cosn
nn Lxnb
Lxnaaxf ππ
[ [ L x ,0∈∀
Con coeficientes ( )∫=L
dxxfL
a0
02
( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
n dxL
xnxfL
a0
2cos2 π
( )∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
L
n dxL
xnxfL
b0
2sin2 π