525

Capítulo 11

Series de Fourier

Preliminares

Trataremos series trigonométricas y por lo tanto se utilizarán con frecuencia las siguientes identidades:

1E : ( ) ABBABA cossincossinsin −=− donde “sin” es la función seno.

2E : ( ) ABBABA cossincossinsin +=+ si BA = , ( ) AAA cossin22sin =

3E : ( ) BABABA sinsincoscoscos +=− si BA = , AA 22 sincos1 +=

4E : ( ) BABABA sinsincoscoscos −=+ si BA = , ( ) AAA 22 sincos2cos −=

Sumando o restando algunas de las anteriores y el resultado multiplicado por ½ obtiene:

5E : :2

21 EE + ( ) ( )[ ]BABABA ++−= sinsincossin 2

1

6E : :2

43 EE + ( ) ( )[ ]BABABA ++−= coscoscoscos 2

1 si BA = ( )

22cos1cos2 AA +

=

7E : :2

43 EE − ( ) ( )[ ]BABABA +−−= coscossinsin 2

1 si BA = ( )

22cos1sin2 AA −

=

8E : ( ) AnA cos2cos =+ π , ∈∀n El periodo de la función seno es π2

9E : ( ) AnA sin2sin =+ π , ∈∀n El periodo de la función coseno es π2

10E : ( ) AA coscos =− La función coseno es Par.

11E : ( ) AA sinsin −=− La función seno es Impar.

12E : ( ) 0sin =πn ∈∀n

13E : ( ) ( )nn 1cos −=π ∈∀n

14E : ( ) ( ) 12 112sin +−=− nn π ∈∀n

15E : ( ) 012cos 2 =− πn ∈∀n

Ejercicio 1

526 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Sean 0>p constante real y { }K,1,0=∈ ∗n . Comprobar que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

pnπcos y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x

pnπsin tienen periodo

np2

.

Ejercicio 2 Comprobar las siguientes identidades ∗∈∀ n , ∗∈∀ m , 0>p constante real.

16E : 0cossin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

−

p

pdxx

pmx

pn ππ

17E : ⎩⎨⎧

≠=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

−mnmnp

dxxp

mxp

np

psi

si

0sinsin ππ

18E : ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠≠===

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

− mnmnpmnp

dxxp

mxp

np

p si

si

si

0002

coscos ππ

Estudio de la función ( ) ( ) ( )xbxaxA λλ sincos +=

Sean a , b y 0>λ constantes reales y ∈x

Considere la función ( ) ( ) ( )xbxaxA λλ sincos += que describe un oscilador armónico. El oscilador pasa periódicamente

por cada punto, con periodo λπ2

, esto se justifica si ∈∀x calcula:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

λπ2xA ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

λπλ

λπλ 2sin2cos xbxa ( ) ( )πλπλ 2sin2cos +++= xbxa ( )xA=

Introduciendo un ángulo de fase φ definido (la figura muestra un ejemplo para >a y 0>b ) por las ecuaciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

22

22

sin

cos

ba

aba

b

φ

φ entonces

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

φ

φ

sin

cos22

22

baa

bab y puede escribir:

( ) ( ) ( )xbaxbaxA λφλφ sincoscossin 2222 +++= y reducir a:

( ) ( )xbaxA λφ ++= sin22

El valor máximo de ( )xλφ +sin es uno, entonces la amplitud de las oscilaciones es 22 ba + que representa el “pico” de las oscilaciones.

La función ( ) ( ) ( )xbxaxA λλ sincos += tiene derivadas:

( ) ( ) ( )xbxaxA λλλλ cossin +−=′

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 527

( ) ( ) ( )xbxaxA λλλλ sincos 22 −−=′′

y es solución general de la ecuación diferencial: ( ) ( ) 022 =+ xyD λ

Estudio de las funciones ( ) ( ) ( )nrxbnrxaxA nnn sincos +=

Sean ( ) ∈nna y ( ) ∈nnb sucesiones de números reales y 0>r una constante real. Para cada ∈n la función:

( ) ( ) ( )nrxbnrxaxA nnn sincos +=

tiene la propiedad ( )xAnr

xA nn =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

π2 entonces tiene periodo

nrπ2

.

Construye la función ( ) ( ) ( )( )∑∑∞

=

∞

=+==

11sincos

nnn

nn nrxbnrxaAxF e introduce una sucesión de ángulos de fase

( ) ∈nnφ , entonces ( ) ( )∑∞

=++=

1

22 sinn

nnn nrxbax φF

Para estudiar la convergencia de la serie que define la función F considere:

( )xF ( )∑∞

=++=

1

22 sinn

nnn nrxba φ

( )∑∞

=++≤

1

22 sinn

nnn nrxba φ

∑∞

=+≤

1

22

nnn ba , válida ∈∀x

Asumiendo que la serie ∑∞

=+

1

22

nnn ba converge entonces la serie ( ) ( )( )∑

∞

=+

1sincos

nnn nrxbnrxa converge ∈∀x ,

entonces1 es convergente uniformemente, por esto es válida:

( )∫x

xduu

0

F ( ) ( )( )∑ ∫∞

=+=

1 0

sincosn

x

xnn dunrubnrua

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )∑∞

=−−−=

100 coscossinsin1

nnn nrxnrxbnrxnrxa

nr, ∈∀ 0x

1 ver teorema M de Weierstrass, página 271 de [8]

528 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Es de interés particular el caso p

r π= donde 0>p es una constante y la función:

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naax ππF donde ∈0a es constante (1)

Si ∈∀x calcula ( )px 2+F ( ) ( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

102

1 2sin2cosn

nn pxp

nbpxp

naa ππ

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

102

1 2sin2cosn

nn nxp

nbnxp

naa ππππ

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naa ππ

( )xF

Entonces la serie que converge ∈∀x es una función periódica con periodo es p2 . Para trazar su gráfica se puede elegir

cualquier intervalo de longitud p2 , por ejemplo [ ]pp,− , traza la gráfica de F en ese intervalo y la figura se calca sobre

otros intervalos [ ] [ ]pppp 3,,,3 −− , etcétera.

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 529

11.1. Serie de Fourier de una función f en un intervalo simétrico ] [pp,− , 0>p

La serie (1) es convergente ∈∀x y define una función periódica con periodo p2 . En el otro sentido Fourier demostró que

para cualquier función f real de variable real, “suave a trozos” y periódica existe una serie del tipo (1) que coincide con f

salvo en los puntos de discontinuidad de f , y encontró fórmulas para determinar los coeficientes KK ,,,,, 2110 bbaa en

(1). Para evitar complicaciones con la redacción en los extremos p− y p se considera el intervalo abierto ] [pp,− , sin

embargo, todas las apreciaciones hechas en esta obra son válida si f es derivable en p− y en p .

De aquí en adelante f es periódica con periodo p2 y por lo tanto las propiedades de f en el intervalo ] [pp,− , también

se satisfarán en los intervalos ] [ ] [pppp 3,,,3 −− , etcétera, como muestra la figura.

Definición 1 Función suave a Trozos

Sea ] [ppI ,−=

Una función →If : es suave a trozos en I si y solo su derivada f ′ es continua a trozos en I .

Notación

Sea Ix∈ , denotamos ( ) ( )XfxfxX +→

+ = lim

( ) ( )XfxfxX −→

− = lim

Si f es continua en Ix∈ esos límites laterales coinciden y ( ) ( ) ( )xfxfxf == −+ . En tal caso el promedio

( ) ( ) ( )xfxfxf=

+ −+

2

Teorema 1 Serie de Fourier de f

Sean 0>p constante real, I el intervalo simétrico ] [pp,− y f una función real con las propiedades:

1) f es suave a trozos en ] [pp,−

2) f es periódica de periodo p2

Entonces ( ) ( )

2sincos

102

1−+∞

=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ ∑ xfxfx

pnbx

pnaa

nnn

ππ ] [ppx ,−∈∀ (2)

530 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

donde ( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dxx

pnxf

pa πcos1

para { }K,2,1,0∈n (3)

( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dxx

pnxf

pb πsin1

para { }K,2,1∈n (4)

Observe que ( )xfxp

nbxp

naan

nn =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ ∑

∞

=102

1 sincos ππ para todo x donde f es continua. (5)

La serie en (2) se llama la representación de Fourier de f , nn ba , los coeficientes de Fourier.

A continuación justificamos la fórmula (2) si f es suave a trozos en ] [pp,− . En tal caso se tiene:

( ) ( ) ( )xfxfxf=

+ −+

2

Y nos damos a la tarea de hallar nn ba , constantes (respecto a x ) tales que:

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naaxf ππ

Para despejar 0a integra en el intervalo ] [pp,− para obtener:

( ) ∫ ∑∫−

∞

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

p

p nnn

p

pdxx

pnbx

pnaadxxf

102

1 sincos ππ

⇒ ( )p

pn

nnp

px

pn

npbx

pn

npaxadxxf

−

∞

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∑∫

102

1 cossin ππ

ππ

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

10 cossincossin

n

nnnn nn

pbnn

pann

pbnn

papa ππ

ππ

ππ

ππ

pa0=

⇒ ( )∫−

=p

pdxxf

pa 1

0

Para despejar na , ∈n , multiplica por ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

pmπcos , ∈m , e integra en el intervalo [ ]pp,− para obtener:

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 531

( ) ∫ ∑∫−

∞

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

p

p nnn

p

pdxx

pmx

pnbx

pnaadxx

pmxf ππππ cossincoscos

102

1

Se tiene ( ) ( )( ) 0sinsin2

sin2

cos 0002

1 =−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−∫ ππ

ππ

ππ mm

mpax

pm

mpadxx

pma

p

p

p

p

⇒ ( ) ∫ ∑∫−

∞

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

p

p nnn

p

pdxx

pmx

pnbx

pmx

pnadxx

pmxf

1cossincoscoscos πππππ

⇒ ( ) ∑ ∫∫∫∞

= −−−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1

)16(0

cossincoscoscosn

E

p

pn

p

pn

p

pdxx

pmx

pnbdxx

pmx

pnadxx

pmxf

44444 344444 21 fórmula ver

πππππ

⇒ ( ) ∑ ∫∫∞

= −−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1coscoscos

n

p

pn

p

pdxx

pmx

pnadxx

pmxf πππ

Por 18E :⎩⎨⎧

≠=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫

−mnmnp

dxxp

mxp

np

psi

si

0coscos ππ

, y en la última serie solo queda el término para mn = y se

reduce a ( ) ∫∫−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

p

pn

p

pdxx

pnx

pnadxx

pnxf πππ coscoscos . Calcula esta última integral para recibir

( ) padxxp

nxf n

p

p=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫

−

πcos

⇒ ( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dxx

pnxf

pa πcos1

Ejercicio 3 Utilizando un procedimiento similar al anterior compruebe que ∈∀n , ( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dxx

pnxf

pb πsin1

Definición 2

Las funciones ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pxnπcos y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pxnsen π

se llaman funciones propias y p

nπ valores propios.

532 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Teorema 2 La Serie de Fourier F es una función periódica La serie de Fourier

( )xF ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naa ππ es periódica y su periodo es p

p

T 22==

ππ

Demostración

Sea ∈x . Calcule ( )pxF 2+ ( ) ( )∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

102

1 2sin2cosn

nn pxp

nbpxp

naa ππ

∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

102

1 2sin2cosn

nn nxp

nbnxp

naa ππππ

∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naa ππ ( )xF=

Ejemplo 1

La figura muestra el trazo de la gráfica de una función f en [ ]pp,− y la serie de Fourier de f en . Aprecie las

diferencias entre f y su serie de Fourier F en los extremos p− y p :

Ejemplo 2

La siguiente figura muestra una función f de dos trozos suaves y un único salto finito en [ ]ppc ,−∈ y la serie de Fourier

de f en [ ]pp,− . Aprecie la convergencia de la serie en el punto de salto finito y en los extremos p− y p .

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 533

Ejemplo 3

Dar la serie de Fourier para la función periódica definida en ] [2,0 como ( )⎩⎨⎧

<≤<<−

=102010

xx

xfsi

si

R. La figura muestra el trazo de la gráfica de f sobre todo el eje x

Y la figura muestra el trazo de la gráfica de su serie de Fourier

Por la fórmula (5) ( ) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naaxf ππ en los puntos donde f es continua.

En este ejemplo 1=p , entonces los coeficientes de Fourier (ver fórmulas (3) y (4)) son:

( )∫−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

1

11

cos11 dxxnxfan

π para { }K,2,1,0∈n

534 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

( )∫−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

1

11

sin11 dxxnxfbn

π para { }K,2,1∈n

Por lo general para evitar divisiones por cero se calculan separadamente 0a y na para { }K,2,1∈n , y no se descarta la posibilidad de que en algunos ejemplos para evitar la división por cero, se deban tratar por separado para integrar otros términos de na o nb .

Si 0=n , 0a ( ) ( ){ ( ){ 22 10

1

0 2

0

1 0

1

1==+== ∫∫∫

−−

xdxxfdxxfdxxf

Si ∈n , na ( ) ( )∫−

=1

1cos dxxnxf π

( ){ ( ) ( ){ ( )∫∫ +=−

1

0 2

0

1 0coscos dxxnxfdxxnxf ππ

( )1

0sin2 xn

nπ

π= (observe que si fuese 0=n la integral no se calcula así)

( )( ) 00sinsin2=−= π

πn

n

Si ∈n , nb ( ) ( )∫−

=1

1sin dxxnxf π

( ){ ( ) ( ){ ( )∫∫ +=−

1

0 2

0

1 0sinsin dxxnxfdxxnxf ππ

( )1

0cos2 xn

nπ

π−=

( )( )0coscos2−−= π

πn

n

( )( )112−−−= n

nπ

( )( )112 1 +−= +nnπ

porque ( ) ( )( ) ( ) 11111 +−=−−=−− nnn

Concluye que ( )xf ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn xp

nbxp

naa ππ

( ) ( )( ) ( )∑∞

=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−++=

1

1

21 sin112cos02

n

nxn

nxn π

ππ

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 535

( )( ) ( )∑

∞

=

+ +−+=

1

1sin1121

n

nxn

nπ

π

Considerando que ( ) 11 1 +− +n es 0 o 2 dependiendo de si n par o impar respectivamente y utilizando la propiedad:

∑∑∑∞

=

∞

=−

∞

=+=

12

112

1 nn

nn

nn BBB

la serie de Fourier se puede escribir:

( )xf ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )∑∑

∞

=

+∞

=

+− +−+−

−+−

+=1

12

1

1122sin

211212sin

121121

n

n

n

nxn

nxn

nπ

ππ

π

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )∑∑∞

=

+∞

=

+−+−

−+−

+=1

012

1

22

2sin2

11212sin12

1121n

n

n

nxn

nxn

nπ

ππ

π

448447648476

⇒ ( )xf ( )

( )( )∑∞

=−

−+=

112sin

1241

nxn

nπ

π válida para todo { }K,2,1,0 ±±−∈x .

Adicionalmente, de este tipo de identidades puede deducir valores de series convergentes, por ejemplo si toma 21=x en la

anterior obtiene ( )21f

( )( )( )∑

∞

=−

−+=

1212sin

1241

nn

nπ

π.

De la definición de f obtiene ( ) 221 =f y del círculo trigonométrico unitario que ( )( ) ( ) 1

2 112 +−=− nnsen π , entonces

( )

( )∑∞

=

+−−

+=1

1112

412n

nn π

⇒ La serie ( )( )∑

∞

=

+

−−

1

1

1214

n

n

n π converge a 1

Pero no abandonemos el ejemplo, sin observar que ( )xf no coincide con la serie para { }K,2,1,0 ±±∈x donde ( )xf

tiene saltos. Por ejemplo ( ) 20 =f por la definición de ( )xf , mientras la serie en 0=x tiene el valor:

( )

( )( ) 1012sin12

411

=−−

+ ∑∞

=nn

nπ

π

Ejemplo 4

Dar la serie de Fourier de la función ( ) xxf sin= en el intervalo simétrico ] [22 , ππ−

R. Particularmente f es una función impar, lo que aprovecharemos al calcular las integrales. Los coeficientes de la serie de Fourier son:

536 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

( )∫−

=p

p

dxxfp

a 10 {∫

−

=2

22

sin1

π

ππ dx x

impar 0= , para esto es necesario que el intervalo sea simétrico.

( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dx

pxnxf

pa πcos1

∫−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2

22

cossin1

2

π

π

ππ dx xnx

impar44 344 21

0=

( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dx

pxnxf

pb πsin1

∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2

2sinsin1

2

π

π

ππ dx xnx

par44 344 21

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

0

22

sinsin2

π

ππ dxxnx

Aplicando la identidad ( ) ( )[ ]BABABA +−−=⋅ coscossinsin 21 en la integral anterior obtiene:

nb ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2

0

22

cos2

cos

π

πππ dxxnxxnx

∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=2

0

22

2cos2

2cos

π

πππ dxxnxn

2

0

22

2sin2

22

2sin2

2π

ππ

πππ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= xn

nxn

n

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

222sin

21

222sin

214 ππ

πππ

ππn

nn

n

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+−

−−

=4

2sin2

14

2sin2

14 πππ

ππππ

nn

nn

Sustituye los coeficientes anteriores en la serie de Fourier:

( ) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn pxnb

pxnaaxf ππ

( ){ ∑

∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

1 2221 sincos00sin

nn

xf

xnbxnx ππππ

( ) ( ) ( )∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

1

4 2sin4

2sin2

14

2sin2

1sinn

nxnn

nn

x πππ

ππππ

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 537

Aplica ( ) ABBABA cossincossinsin −=− a ( )

4cos

42sin

42sin

22 πππππ nnn=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

y ( ) ABBABA cossincossinsin +=+ a ( )

4cos

42sin

42sin

22 πππππ nnn=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

Las anteriores permiten escribir la serie de Fourier obtenida como:

( )∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

−=

1

24 2sin

4cos

21

21sin

nnxn

nnx π

πππ

⇔ ( )( )

( )∑∞

= +−=

1

22sin

4cos

228sin

nnxn

nnnx π

ππ si ] [22 , ππ−∈x

Ejemplo 5

Desarrolle en serie de Fourier la función periódica f con periodo 4 que se muestra en la figura:

R. Como el periodo es 4 puede desarrollar la serie de Fourier para f en cualquier intervalo de longitud 4, escoja el intervalo

simétrico ] [2,2− , una ecuación para f sobre este intervalo es ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<<<−−<<−

=211112

0

0

xxx

sisisi

xxf

Particularmente f es una función impar, lo que aprovecharemos al calcular las integrales.

Los coeficientes de la serie de Fourier son:

( )∫−

=p

p

dxxfp

a 10 ( ){∫

−

=2

221 dxxf

impar 0=

( )∫−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

p

pn dx

pxnxf

pa πcos1

( )∫−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2

22

cos21 dxxnxf

impar

44 344 21

π 0=

( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dx

pxnxf

pb πsin1

( )∫−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2

22

sin21 dx xnxf

par44 344 21

π

( )∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

2

02

sin dxxnxf π

538 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

2

1

1

02

sin02

sin dxxndxxnx ππ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

1

02

sin dxxnx π

Aplica integración por partes con: xu = ⇒ dxdu =

dxxndv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin π

⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= xn

nv

2cos2 π

π

obtiene: nb ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1

0

1

0 2cos2

2cos2 dxxn

nxnx

nπ

ππ

π

1

022 2

sin42

cos2⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−=

xnn

nn

ππ

ππ

2sin4

2cos2

22π

ππ

πn

nn

n+−=

Para precisar los valores de 2

sin πn y

2cos πn

considera los términos con subíndice par o impar:

De subíndice par: nb2 ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22sin

24

22cos

22

22π

ππ

πn

nn

n ( )n

n11

−−=π

Y subíndice impar 12 +nb ( )

( )( )

( )2

12sin124

212cos

122

22π

ππ

π+

++

++

−=n

nn

n

( )( ) 2212

14π+

−=

n

n

Sustituye los anteriores coeficientes en la serie de Fourier para la función periódica f , obtiene:

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1sin

nn p

xnbxf π

( )∑∑∞

=+

∞

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

012

12 2

12sin2

2sinn

nn

n xnbxnb ππ

( ) ( ) ( )( )

( )∑∑∞

=

∞

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

−+

−=

022

1

1

212sin

1214sin1

n

n

n

n xnn

xnn

ππ

ππ

Ejemplo 6

Dar la serie de Fourier de la función periódica definida en ] [2,2− por ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤<≤<≤−−<<−

−=

211001

12

;0;1;2;0

xxxx

sisisisi

xf

Los coeficientes de la serie de Fourier son:

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 539

( )∫−

=p

p

dxxfp

a 10

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−+= ∫∫∫∫

−

−

−

2

1

1

0

0

1

1

20120

21 dxdxdxdx

21

−=

( )∫−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

p

pn dx

pxnxf

pa πcos1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫∫

−

1

0

0

12

cos12

cos221 dxxndxxn ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

1

0

0

1 2sin2

2sin4

21 xn

nxn

nπ

ππ

π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2sin1 π

πn

n

Para precisar el valor de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2sin πn

considera los coeficientes de Fourier con subíndice par e impar:

( ) 002

1sin2

12

2sin2

12 =

−=

−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

=π

ππ

ππ n

nn

nn

a n { }K,2,1∈n

( )

( )( )

( ) ( )( )ππ

ππ 12

1112

12

12sin12

1 112 +

−=−

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

=+

+ nnn

na

nn

n { }K,1,0∈n

( )∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

pn dx

pxnxf

pb πsin1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫∫

−

1

0

0

12

sin12

sin221 dxxndxxn ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

1

0

0

1 2cos2

2cos4

21 xn

nxn

nπ

ππ

π

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2cos331 π

πn

n ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2cos13 π

πn

n

( )( ) ( )( )nn n

nn

nn

b 112

3cos12

32

2cos12

32 −−=−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

ππ

ππ

π { }K,2,1∈n

( )( )

( )ππ

π 123

212cos1

123

0

12 +=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

=+ nn

nb n

44 344 21 { }K,1,0∈n

La serie de Fourier de la función dada es:

( ) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn pxnb

pxnaaxf ππ

( ) ( ) ∑∑∞

=

∞

=++ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+=1

220

1212021

22sin

22cos

212sin

212cos

nnn

nnn

xnbxnaxnbxnaa ππππ

540 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑

∞

=

∞

=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−+

+−=10

141 sin

2113

212sin3

212cos1

121

n

n

n

n xnn

xnxnn

ππ

πππ

Extensión de una función

Suponga que es dada una función f en un intervalo no simétrico [ [L,0 . Para aplicar la fórmula de Fourier a f se extiende

la definición de f al intervalo simétrico ] [LL,− , es decir, asigna imagen a cada ] [0,Lx −∈ . Por supuesto, una extensión

de f no es la misma porque se amplia el dominio de [ [L,0 a ] [LL,− . Una extensión de f se denota con f y se define

como ( )( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−

=Lx sixf

xL sixgxf

00

, donde g es cualquier función derivable a trozos en ] [0,Lx −∈ .

¿Qué extensión f de f tomar?

La función g se escoge arbitrariamente mientras la definición original de f para [ [L,0 no cambia, entonces son muchas las

formas de definir extensiones de f . En la siguiente figura, el trazo original de f es la curva más gruesa y el de f es la unión de esa curva gruesa con la otra más delgada. Bajo cada trazo está la respectiva fórmula de extensión:

extensión extensión extensión extensión arbitraria impar periódica par

( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−

Lx sixfxL sixg

00

( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−−−

Lx sixfxL sixf

00

( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−+

Lx sixfxL siLxf

00

( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−−

Lx sixfxL sixf

00

Entre tantas extensiones revisten de importancia dos, la extensión de f a una función impar y extensión de f a una función

par en el intervalo ] [LL,− , que se destacan por su aplicabilidad, además, simplifican en gran medida el cálculo de los coeficientes de Fourier.

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 541

11.2. Serie de senos de f definida en un intervalo no simétrico [ [L,0 , 0>L

Sea f una función definida en [ [L,0 (curva gruesa en la figura).

Suponga que toma su extensión impar al intervalo ] [LL,− , ( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−−−

Lx sixfxL sixf

00

y la denota con f (unión de las

curvas gruesa y delgada en la figura):

Note que el trazo es simétrico respecto al origen. A continuación escribimos los coeficientes de Fourier para f en términos de

f en el intervalo original [ [L,0 . Aplicando las fórmulas para los coeficientes con Lp = y f impar obtiene:

( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−−== ∫∫∫

−−

L

L

L

Ldxxfdxxf

Ldxxf

La

0

0

011

si toma el cambio de variable dxduxu −=⇒−= en la anterior resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) 011

000

0

0 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫∫∫∫

LLL

Ldxxfduuf

Ldxxfduuf

La

Con el mismo cambio de variable obtiene:

0=na ∈n

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

n dxL

xnxfL

b0

sin2 π ∈n

Concluye que la serie de Fourier para una extensión f impar llamada serie de senos de f en [ [L,0 es:

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

1sin

nn L

xnbxf π con ( )∫ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

L

n dxL

xnxfL

b0

sin2 π para ∈n

Esta es una identidad para todo x donde f sea continua.

Nota

La función original no es par ni impar porque el dominio [ [L,0 no permite aplicar estos conceptos.

542 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Note que las integrales no requieren de la definición de ( )xf −− porque se dan en términos de f en [ [L,0

Ejemplo

Calcule la serie de Fourier de senos para la función ( ) xxxf sin= si π≤≤ x0

Se propone hallar la sucesión de coeficientes { }nb , ∈n tales que:

( )∑∞

==

1sinsin

nn nxb xx

⇒ ( )∫=π

π0

sinsin2 dxnxxxbn para { }K,2,1∈n .

Como ( ) ( )[ ]xnxnnxx +−−= 1cos1cossinsin 21

( ) ( )[ ]∫ +−−=π

π0

1cos1cos1 dxxnxnxbn

1b ( )( )∫ −=π

π0

2cos11 dxxx ( ) ( )

π

π 0

2

42cos

22sin

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

xxxx

2π

=

Si 1≠n nb ( ) ( )[ ]∫ +−−=π

π0

1cos1cos1 dxxnxnx

( ) ( )[ ]∫ +−−=π

π0

1cos1cos1 dxxnxxnx

Utiliza integración por partes para obtener:

nb ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

π

π0

221

11cos

11sin

11cos

11sin

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−

++

−−

−+

−−

=n

xnn

xnxn

xnn

xnx

( )( )( )

( )( )( )

π

π0

221

11cos

11cos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−

−

−=

nxn

nxn

( )( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−−−= +

2211

11

1111

nnn

π

nb2 ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−= −

222

121

121

nnπ

12 +nb 0=

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 543

Finalmente ( ) ( )

( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−−=

122

22 2sin

121

121sinsin

nnx

nnxxx π

π

544 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

11.3. Serie de cosenos de f definida en el intervalo no simétrico [ [L,0 , 0>L

Sea f una función definida en [ [L,0 .

Suponga que toma su extensión par al intervalo ] [LL,− , ( )( )( )⎩

⎨⎧

<≤<<−−

=Lx sixf

xL sixfxf

00

, en la figura es la unión de las

curvas gruesa y delgada:

El trazo de la gráfica para este tipo de extensiones es simétrico respecto al eje Y .

Por argumentos similares a los utilizados en la sección anterior obtiene la serie de Fourier para una extensión par, llamada

serie de cosenos de f en [ [L,0 es:

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 cosn

n Lxnaaxf π

, para todo x donde f sea continua.

( )∫=L

dxxfL

a0

02

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

n dxL

xnxfL

a0

cos2 π ∈n

Para efectos memorísticos los coeficientes naa ,0 pueden escribirse bajo la misma fórmula:

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

n dxL

xnxfL

a0

cos2 π ∈n

pero es obvio que se calculan para 0=n y para 0≠n separadamente, porque integrales como:

LL

Lxn

xnLdx

Lxn

00sincos ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∫

ππ

π carecen de sentido cuando 0=n .

Ejemplo 7

Dar la serie de Fourier de cosenos para ( ) ttf sin= para π<≤ t0 y demuestre que 21

12 141

=−

∑∞

=n n

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 545

R. Los coeficientes con π=L : 0a ( )∫=L

dttfL

0

2 ∫=

π

π0

sin2 tdt π

π 02 cos t−=

π4=

na ( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ldt

Ltntf

L0

cos2 π ( )∫=

π

π0

cossin2 dtntt

( ) ( )[ ]∫ −++=π

π0

21 sinsin2 dtnttntt

( ) ( )[ ]∫ −++=π

π0

1sin1sin1 dttntn

La última integral requiere de los casos:

si 1=n 1a ∫=π

π0

2sin1 tdt π

π 02cos

21 t−= 0=

si 1≠n na ( ) ( ) π

π 011cos

11cos1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+++

−=n

tnn

tn

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+−

−−

+++

−=nnn

nnn

11

11

11cos

11cos1 ππ

π

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

+−

−−

++

−−=

−−

nnnn

nn

11

11

11

111 11

π

( )21

112n

n

−

+−⋅=

π

Sustituyendo en la serie de cosenos: ( )tf ( ) ( )∑∞

==

++=21

1021 coscos

nn

n

ntataa43421

para

( ) ( )∑

∞

= −

+−⋅+=

22

2 cos1

112

n

nnt

nππ

Para lectores que gustan de simplificar al máximo, note que ( ) 11 +− n es igual a 2 ó 0, por esto separe los términos con

subíndice impar de términos con subíndice par:

( )

( ) 222

22

4114

4122

21112

nnna

nn

−=

−⋅=

−

+−⋅=

πππ

( )

( ) ( )0

12102

121112

22

1212 =

+−⋅=

+−

+−⋅=

+

+nn

an

n ππ

546 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Sustituyendo en la serie de cosenos: ( )tf ( ) ( )( )∑∑∞

=+

∞

=+++=

1 012

12

2 12cos2cosn

nn

n tnanta321π

Finaliza con la serie de cosenos para tsin ( )∑∞

=⋅

−+=

12

42 2cos411

nnt

nππ

Además, la función ( ) ttf sin= es continua en π entonces ( ) ( ) ( ) ( ) 0sin ==== −+ ππππ fff . En la serie de

Fourier ( ) ( )

2

−+ + tftf ( )∑∞

=⋅

−+=

12

42 2cos411

nnt

nππ toma π=t y obtiene:

( )∑∞

=⋅

−+=

1 12

42 2cos4110

nn

n 43421 πππ

entonces ∑∞

= −=−

122

1411

n n

Ejemplo 8

Desarrolle en serie de cosenos la función ( )ππ

π

<≤

<≤

⎪⎩

⎪⎨⎧

=x

x

x

xxf

2

20

sin

2

si

si

R. La extensión de ( )xf a una función par en el intervalo ] [ππ ,− es (ver extensión de una función arriba):

( )

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤

<<−

−≤<−

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<≤

<≤

<<−−−

−≤<−−−

=

x six

x six

xsix

x six

x six

xsix

xsix

xf

π

π

π

π

π

ππ

π

π

π

π

π

2

22

2

2

2

2

2

sin

2

sin

sin

02

02

sin

Sin embargo, no necesita definir esa extensión porque los coeficientes se calculan en términos de la función original ( )xf y

de π=L , a saber:

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+=

102

1

102

1 coscosn

nn

n nxaaxnaaxfππ

nb 0= para todo ∈n

0a ( )∫=L

dxxfL

0

2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= ∫∫ 14

cos2sin22 22

02

0 2

2

2

2 πππ π

ππ

π

π

π

π

xxxdxxdx

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 547

na ( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ldxx

Lnxf

L0

cos2 π ( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= ∫∫π

π

π

π2

2cossincos22

0dxnxxdxnxx

Aplicando partes: dxduxu 22 =⇒= ( ) ( )nxn

vdxnxdv sin1cos =⇒=

a la 1ra integral ( )∫2

0cos2

π

dxnxx ( ) ( ) 2

02 cos2sin2

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += nx

nnx

nx

( ) ( )0cos20sin02

cos22

sin2

222 n

nn

nn

−−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

πππ

222

2cos2

2sin

nn

nn

n−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

2cos

2sin

222

πππ nnnn

La 2da integral ( )∫π

π2

cossin dxnxx se calcula para 1=n diferente que para 1≠n , por eso:

si 1=n 1a ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

π

π

ππππ

2

cossin12

cos2

sin2

22 xdxx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−= ∫π

ππ

π2

2sin2221 xdx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

πππ

π 22cos22

41 x ( )2

52−= π

π

si 1≠n na ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫

π

π

ππππ

2

cossin12

cos2

sin2

222 dxnxxnnn

n

( ) ( )( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫

π

π

ππππ

2

1sin1sin12

cos2

sin2

2221

2 dxxnxnnnnn

548 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

−−−

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

π

ππππ

211cos

11cos1

2cos

2sin

222

21

2 nxn

nxnnnn

n

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−

+

+−

−−

+++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

n

n

n

nn

nnnnn

n 1

1cos

1

1cos

11cos

11cos1

2cos

2sin

222 22

21

2

πππππππ

π

Para simplificar los términos que tienen senos o cosenos considera los coeficientes de subíndice par y los de subíndice impar.

Cambia n por n2 obtiene:

na2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−

+

+−

−−

+++

−−−=n

n

n

n

nn

nn

nn

21

21cos

21

21cos

2121cos

2121cos11

212 22

21

2

πππππ

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+−

−−

++−

−−−

=nnnnn

n

210

210

211

211

2112

21

2π

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−= 22 41

2111nn

n

π

Cambia n por 12 +n en na obtiene:

12 +na

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

−++

−−−

+++

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

+

+=

nn

nn

nn

nnn

nn

2cos

221cos

22cos

2222cos11

212

1222

21

2πππππ

π

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

+−

−−+

−−−++

=+

nnnnn

n

nnn

21

221

21

2212112

1221 1

2 ππ

( )( )( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+

+−−

++

−−+=

+

nnnn nnn

211

2211

12211221 1

2π

π

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−−+−−

++

−−+=

+

nnnn

nn nnn

1211111

12211221 1

2π

π

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−+

++

−+−=

+

121211

12212121 1

2 nnn

nn nn π

π

Finalmente ( ) ( )∑∞

=+=

102

1 cosn

n nxaaxf ( )( ) ( )∑∑∞

=

∞

=+ ++++=

12

112102

1 2cos12coscosn

nn

n nxaxnaxaa

donde nn aaaa 21210 ,,, + son los calculados arriba

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 549

Ejemplo 9

Dar la serie de senos y la serie de cosenos de la función ( )⎩⎨⎧

<<≤≤

=ππ

π20

0x x x

xfsi

si

R. Solo por información,

La extensión impar de ( )xf es ( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<≤≤−<<

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<≤≤<≤−−−<<

=ππππππ

πππ

πππ

20

20

200

020

x x xx-

x x xx xx-

xfsi

si

si

si

si

si

si

La extensión par de ( )xf es ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<≤≤<≤−−<<

=

πππ

πππ

200

020

x x xx xx-

xf

si

si

si

si

Si utiliza la extensión par de f resulta la serie de cosenos y si utiliza la extensión impar resulta la serie de senos. En general,

estas series coinciden con la ( )xf original para [ [π2,0∈x , y difieren para ] [0,2π−∈x

Dejemos de lado las extensiones y limitémonos a las fórmulas de serie de senos y cosenos con π2== Lp

Serie de senos ( ) ∑∞

==

1sin

nn L

xnbxf π, ( )∫=

L

n dxL

xnxfL

b0

sin2 π K,2,1=n

⇔ ( )∫=π

π

2

02

sin1 dxnxxfbn

⇔

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= ∫∫4434421

0

2

02

sin02

sin1 π

π

π

πdxnxdxnxxbn

⇔ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−= ∫

ππ

π00 2

cos22

cos21 dxnxn

nxxn

bn

⇔ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−=

ππππ 02 2

sin42

cos21 nxn

nn

bn

⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2sin4

2cos21

2πππ

πn

nn

nbn

550 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Si n toma valores 1,2,3,4,... entonces 2πn

toma valores K,2,2

3,,2

ππππ respectivamente, y es menos fácil determinar

2sin πn

y 2

cos πn. Por esta razón separa los coeficientes de subíndice par n2 de los coeficientes de subíndice impar

12 +n ;

nb2 ( )

( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

22sin

24

22cos

221

2πππ

πn

nn

n

( )( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−=

−4342143421

02

1

sin4

4cos1 ππππ

nn

nn

n

( )

n

n 11 +−=

12 +nb ( )

( )( )( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

++

++

−=

− 44844764484476n

nn

nn

1

2

0

212sin

124

212cos

1221 πππ

π

( )( )212

14+

−=

n

n

π

Concluye ( ) ∑∞

==

1sin

nn L

xnbxf π

( ) ∑∑∞

=

∞

=+ +

+=

12

012 2

2sin2

12sinn

nn

nxnbxnb

ππ

ππ

( )( )

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

−+

+

+

−=

102 sin1

212sin

1214

n

n

n

nnx

n xn

n π

Serie de cosenos ( ) ∑∑∞

=

∞

=+=+=

102

1

102

12

coscosn

nn

nnxaa

Lxnaaxf π

0a ( )∫=π

π

2

0

1 dxxf

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= ∫∫321

0

2

001 π

π

π

πdxxdx

2π

=

na ( )∫=L

dxnxxf0

2cos1

π ∈n

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= ∫∫4434421

0

2

02

cos02

cos1 π

π

π

πdxnxdxnxx

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 551

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

ππ

π00 2

22

21 dxnxsenn

nxxsenn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=

ππππ 02 2

cos42

21 nxn

nsenn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+= 1

2cos4

221

2πππ

πn

nnsen

n

na2 ( )

211

n

n

π−−

=

12 +na ( )

( )2124

1212

+−

+−

=nn

n

π

Concluye ( ) ( ) ( )∑∑∞

=+

∞

=

+++=

012

1202

12

12coscosn

nn

nxnanxaaxf con los coeficientes calculados arriba

Ejercicios 4

1. Desarrolle en serie de senos la función ( )⎩⎨⎧

<<−≤≤

=424202

x sixx si

xf

2. Explique porque los coeficientes en ( ) ( )∑∞

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+=0

22

12cos1n

n xna nx ππ se calculan

( )( )

∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+=

2

0

22

12cos1

1 dxxnxn

anπ

π para { }K,1,0∈n

3. Determine los coeficientes nb en la función de dos variables ( ) ( ) ( )∑∞

==

1sinsin,

nn tnxnbtxu ππ , si tiene la

propiedad ( ) xxtu

=∂∂ 0, . R.

( )22

112πn

bn

n+−

= y la función es ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

+−=

122

1sinsin12,

n

ntnxn

ntxu ππ

π

4. Se define [ [ →π,0:f por ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤

<≤=

πππ

π

x si

x sixxf

22

20. Determine la serie de Fourier de cosenos para ( )xf y

muestre ( )

41

2

1 211 π=−+∑

∞

=

+

n

n

n

R. ( )( )

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

−−++

+−=

122

1

02

28

3 2cos1112cos12

1

n

n

nxn

nxn

nxf ππ

π

552 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Luego toma 2π=x para demostrar la identidad.

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 553

11.4. Serie de Fourier de una función en un intervalo no simétrico [ [ 00 >L ,L

Para obtener la serie de Fourier de una función derivable a trozos en un intervalo no simétrico [ [,L0 , sin recurrir a

ninguna extensión, traslada el eje 0=x hasta el punto medio del intervalo [ [,L0 y calcula la serie de Fourier de la función

en ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−

22L,L

.

Empieza trasladando el eje 0=x al punto medio de [ [,L0 , entonces el origen del nuevo sistema de coordenadas uy

coincide con el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0,

2L

del sistema original xy .

Tal traslación está definida por 2Lxu −= , mientras la ordenada de cada punto se conserva, es decir

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

yv

Lxu2 y hace

corresponder:

• al eje 0=x con el eje 22

0 LLu −=−=

• al eje 2Lx = con el eje 0

22=−=

LLu

• al eje Lx = con el eje 22LLLu =−=

Para simplificar la notación se utiliza 2Lp = .

Ahora que el intervalo de definición de ( )uf es simétrico ] [pp,− , aplica la fórmula (5) dada en 11.1 con u en lugar de x :

( ) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 sincosn

nn punb

punaauf ππ

A continuación escribimos la serie anterior en términos de x y de L .

554 Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes

Primero. Inspeccionando la figura anterior se nota que ( ) ( )xfuf = .

Segundo. Como pxLxu −=−=2

, se aplica en las funciones propias:

( ) ( )( )

( ) ( )pxnn

pxnn

pxnn

pxn

ppxn

pun n

n

πππππππππ cos1sinsincoscoscoscoscos01

−=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

−4342143421

( ) ( )( )

( ) ( )pxn

pxnnn

pxnn

pxn

ppxn

pun n

n

πππππππππ sin1cossincossinsinsinsin01

−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

−4342143421

Tercero. Para escribir los coeficientes de Fourier

( )∫−

=p

pn du

punuf

pa πcos1

( )∫−

=p

pn du

punuf

pb πsin1

en términos de x y L , se aplica el cambio de variables pxu −= ⇒ dxdu = , y para cambiar los límites de integración:

si pu = ⇒ pppx 2=+=

si pu −= ⇒ 0=+−= ppx

Entonces los coeficientes de Fourier anteriores se escriben:

( ) ( )∫−=p

nn dx

pxnxf

pa

2

0cos11 π

( ) ( )∫−=p

nn dx

pxnxf

pb

2

0sin11 π

Se cambia 2Lp = en lo anterior y resume que la serie de Fourier de ( )xf para x en el intervalo no simétrico [ [L,0 es:

( ) ( ) ( )∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

102

1 2sin12cos1n

nn

nn L

xnbL

xnaaxf ππ

Y los coeficientes son: ( )∫=L

dxxfL

a0

02

( ) ( )∫−=L

nn dx

Lxnxf

La

0

2cos21 π

Series de Fourier. Prof. Julio Céspedes 555

( ) ( )∫−=L

nn dx

Lxnxf

Lb

0

2sin21 π

Al sustituir estos coeficientes nn baa ,,0 en la última serie se obtienen términos ( ) 11 2 =− n , por lo que puede suprimir

( )n1− de la serie y de los coeficientes para obtener que la serie de Fourier de la función f en [ [L,0 es:

( ) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

102

1 2sin2cosn

nn Lxnb

Lxnaaxf ππ

[ [ L x ,0∈∀

Con coeficientes ( )∫=L

dxxfL

a0

02

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

n dxL

xnxfL

a0

2cos2 π

( )∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

L

n dxL

xnxfL

b0

2sin2 π