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El presente trabajo es la solucin de algunos problemas de los primeros
captulos del libro de Ecuaciones Diferenciales del autor Ddenis Zill.
La cual se ha resuelto con mucho esmero y anticipacin.
Este trabajo se hizo con la nalidad de practicar y as aprender ms acercade estos temas ya ue solo con la prctica se consigue un mejor aprendizaje
y es mejor un trabajo en euipo ya ue se puede compartir nuestros
conocimientos.
Esperando ue este a su agrado del lector ya ue se encuentra detallado y
claro para su comprensin.
Zulma !guilar "illaca
#ebert $ojas !rando %&'''&(%&)#ildebrando Zambrano Espinoza %&'''&*(+,
-roer $ainer /ao !rando %&'&%&01+#
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! Dios por otorgarnos la sabidura y la salud para cumplir esta tarea.
! nuestros padres por su apoyo incondicional.
! usted Lic. !lfredo Escalante por su paciencia y desempe2o al brindarnos
las clases de Ecuaciones Diferenciales y por su constante motiacin a ser
ingenieros competentes.
-racias
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EJERCIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
4.1) Obtener la solucin general de la ecuacin diferencial dada.
y,,3y ,+2y=0
3olucin4Ec. 5aracterstica4
r23 r+2=0 6 donde r nos sale4
r1=1 , r2=2
yg=c
1
ex+c
2
e2x
6 solucin general de la ED.
4.3) Hallar la solucin general de la ecuacin de segundo grado
3y +2y +y=0
parahallar susraicesusaremos laecuacioncaracteristica
3r
2
+2
r+1
=0
De donde tenemos la races usando r=b b24 ac
2a
r1=13+
2
3i r
2=13
2
3i
De donde tenemos la ecuacin 7c
Y=C1 ex
3 cos2
3 x+C2 e
x3 sin
2
3 x
E8E$5)5)93 0.:Problema 40 Resuelva el problema con valores en la frontera dada.
y,,2y ,+2y=0,y ( 0)=1,y ( )=1
3olucin4
Ec. 5aracterstica4
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r22r+2=0 6 donde r nos sale4
r1=24
2 , r2=
2+42 ;
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c
1+xc2+c
3x
2+c4x
3
y=
Donde mi 7 particular seria
yp=A+Bx+C x2 yp=A+B+Cx y p=A+Bx+C x
2 y
(4)p=A+B+C
$emplazando en la ED inicial4
= A+B+C+2 (A+B+2 C)+(A+Bx+C x2 )=x22x+1
C x
2
+Bx+3 C+3 B+4A=x2
2x+1 A=1 B=2 C=1
$emplazando
c
1+xc2+c3x2+c4x
3
y=
E8E$5)5)93 0.0Problema 16 Resuelva la ecuacin diferencial dada usando
coecientes indeterminados.
y,,5y ,=2x34x2x+6 =)>
3olucin4Ec. 5aracterstica4
(D25D)y=0
r25 r=0 6 donde r nos sale4
r1=0 , r2=5
yc=c1+c2 e5x
6 solucin complementaria de la ED.
#allamos la solucin particular.
yp=A x3+B x2+Cx+D Deriamos
yp, =3A x2+2 Bx+C
yp,,=6Ax+2 B
$eemplazamos en =)>
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y,,5y ,=2x34x2x+6
6Ax+2B5(3A x2+2Bx+C)=2x34x2x+6
6Ax+2 B15A x210 Bx5 C=2x34x2x+6
15A=4
6A10 B=1 =>> A= 4
15,B=
39
150,C=
411
375
2B5C=6
yg=yc+yp=c1+c2 e5x+
4
15x
3+ 39
150x
2+411
375x
4.5) compruebe que el operador anulador es el anulador de la
ecuacin diferencial indicada
D2+64 ANUA y=2cos8x5sin8x
3abemos ue4 L =D> y ; & entonces de donde
: (D2+64 ) (2cos8x5sin 8x )=0
8x8x
5sin +128cos8x320sin8x=0
2cosD2D
2
8x
8x40cos+128cos8x320sin 8x=0
16sin DD
128cos 8x+320 sin 8x+128cos 8x320sin 8x=0=0
cumplecomo papel deanulador D2+64 y=2cos8x5sin8x
4.5) Resuelve por el mtodo de coecientes indeterminados
y +3y 10y=x ( ex+1)
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determinelaecuacioncaracteristica
r2+3 r10=0dedonde tenemoslas raices r1=2 r2=5
yc=c1 e2x+c2 e5x
!hora determinamos una solucin particular4
(D1 )2 (D2+3D10)y=0
(r1 )2 (r2+3 r10 )=0 de dondetenemoslas raices r1=2 r2=5 r3=r 4=1
y=c1 e2x
+c2e5x
+A ex
+Bx ex
de dondemi yp=A ex+Bx ex y p=A e
x+B ex y p=A ex+B ex
$emplazando en la ecuacin inicial4 10xB exex (6A4 B )=x ex+x
B= 1
10y A=
1
40
$emplazando en la Ecuacin inicial4 y=c1 e2x+c2e
5x+ 1
40e
x+ 1
10x e
x
E8E$5)5)93 0.*
Problema 5scriba la !. n la forma "#$)% g #&)' donde " es un operadordiferencial lineal de coecientes constantes. (i es posible' factorice
".
y,, ,+10y , ,+25y ,=ex
3olucin4Ec. 5aracterstica4
(D3+10D2+25D)y=0
r3+10 r2+25 r=0 6 donde r nos sale4
r (r2+10 r+25)=0
r1=0 , r2=5 ,r3=5
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yc=c1+c2 e5x+c3xe
5x
6 solucin complementaria de la ED.
L=y>; g =?>
(D)yp=ex
yp= e
x
(D) ;
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Ec. 5aracterstica4
(D2+1)y=0
r2+1=0 6 donde r nos sale4
r
2
=1r1=i , r2= i
yc=c1 senx+c2 cosx 6 solucin complementaria de la ED.
Hallamosyp por variacin de parmetros.
yp=u1 sen!+u2 cos !
@ronsAiano
#=|sen! cos !cos ! sen!|=sen2 !cos2!=1
$1=
|
0 cos !
1 sen!|=cos!
$2=|sen! 0cos! 1|=sen!
#allamosu1
u1=
$1
$(% (! ))d ! u1=
cos!1
(sec! tan!)d!
u1= tan!d!=ln|sec!|
#allamosu2
u2=$2
$(%(! ))d !
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u2=sen!
1 (sec!tan!)d !
;
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u2=exsin ex dxcosex
,inalmente tendiCramos la solucin general
yp=( ex
cos e
x
sin ex
) e2x
(cosex
)ex
4.) resolver la ecuacin diferencial dada por le mtodo de uler
3x2y +6xy +y=0
3ea por teora de Euler se hace una sustitucin4
y=xm y =m xm1 y =m(m1)xm2
3ustituyendo en la ecuacin diferencial inicial tendramos4
3x2 (m (m1 )xm2 )+6xm xm1+xm=0
xm (3 m23 m+m+1)=0
xm (3 m22 m+1 )=0
De donde saco mis races m1=1
3+ 2
3 im2=
1
32
3 i
Y=C1 ex
3 cos2
3 x+C2 e
x
3 sin2
3 x
E8E$5)5)93 0.1Problema 6 Resuelva la !. !ada.
x2y
, ,+5x y,+3y=0
3olucin4
"or cauchy Euler
3ea y=xm
6 deriamos respecto a ?
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y,=m xm1 6 y
,,=m (m1 )ym2
$eemplazamos en la ecuacin dada.
x
2
m (m1
)ym2
+5
x m x
m1
+3
x
m
=0
m (m1)xm+5 m xm+3xm=0
m ( m1)+5m+3=0
m2+4 m+3=0 donde,m1=3 ,m2=1
Ecuacin general
yg=c1x3+c2x
1
E8E$5)5)93 0.1Problema 42,u2les son las interseciones con el ee & de la curva solucin que semuestra en la ura 4..67 ,u2ntas intersecciones con el ee & 8a$ en
0
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E8E$5)5)93 0.+Problema 4 Resuelva la ecuacin diferencial usando la sustitucin
u=y ,
y
,,
=1+(y,
)
2
"or regla de cadena tendamos
y,,=
du
dx,
du
dx
dy
dy=u
du
dy
$eemplazamos en la ecuacin deferencial.
udu
dy=1+(u)2
u1+u2
du=dyinteramos , u1+u2du=dy
$esoliendo cambiando ariable a 1+u2=&
1
2ln (1+u2 )=y+c1 Despejamos u
eln (1+u2)=ey+ec1 , 1+u2=c2 e
2y, u
2=c3 e2y
u=c3 e2y
,u=c4e
y
ambiCn por dato inicial tenemos ue
u=y , 'ueesdy
dx=u ,despe(ando y rempla)andotendriamos *
1
c4 eydy=dx ,
1
eydy=c4 dxinteramos , 1
eydy=c4dx
ln (ey )=c4x+c5 , ey=e
c4x+e
c5 , e
y=c6 ec
4x
ey=c6 e
c4x
3olucin.
R*(O !" ,*+09"O 4
roblema 6:
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Resuelva la ecuacin diferencial usando "os procedimientosdesarrollados en el cap;tulo avan
Ec. 5aracterstica4
(D3+D2)y=0
r3+r2=0 6 donde r nos sale4
r2(r+1)=0
r1=0 , r
2=0 ,r
3=1
yc=c1+c2x+c3 ex
6 solucin complementaria de la ED.
#allamos por operadores anuladores.
El operador anulador de ( ser D. BL)"L)5!/D9 !F93 L!D93
D(D3+D2)y=D (6 )=0
r3 (r21)=0 , r1=0 , r2=0 , r3=0 ,r 4=1
y=c1+c2x+c3x2
+c4 ex
yc=c1+c2x+c3 ex
yp=A x2
Deriamos.
yp, =2Ax, yp
,,=2A , yp,,,=0
$emplazamos en =)>
02A=6+esultando A=3
yp=3x2
yg=c1+c2x+c3 ex3x2
5.6) una masa de un 6=g se a un resorte cu$a constante de
=%61->m $ luego el sistema completo se sumerge en un l;quido que
imparte una fuer
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a> al inicio la masa se libera desde un punto situado 'm debajo de la
posicin de euilibrio
Datos4
A;'(/Gm
H;dyGdt,o;'&
m;'Ag
La
ecuacin
del moimiento general es4
d2
yd t
2+10 dydt+16y=0
#allamos la ecuacin caracterstica
r2+10r+16=0
De donde tendramos las races
r1=8y r2=2
endramos la ecuacin complementaria
yc=c1 e8 t+c1e
2 t
&=dy
dt=8 c1 e
8 t2 c2e2 t
!plicamos las condiciones iniciales ue nos dan
y (o )=1 m=yo y (o)=0=&o
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$emplazando tendramos los alores4
c1+c2=1
8 c12 c2=0
De donde tendramosc1=13
c2=
4
3
$emplazando la ecuacin del moimiento seria
H;8
3e8 t
8
3e2 t
5.@) una viga esta empotrada en su lado i
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(-d4y
d x4 )dx
dxdx dx
La solucin general de la ecuacin seria entonces
y=yc+yp
y (x )=c1+c2x+c3x2+c4x
3+ #o
24-x
4
!plicamos las condiciones iniciales '> y;& 6 yK;&
Dondec1=0 , c2=0
!plicamos las condiciones iniciales %> y ='>;& 6 yK='>;&
y=?>; c3x
2+c4x3+
#o
24-x
4
enemos4c3
2+c43+
#o
24-
4
2 c31+3 c4
2+#o
6-
3
$esoliendo el sistema tendramos4C
3=
#o
24-
2
C
4=#o12-
$emplazando en la deIe?in4
y=?>; ( #o
24-
2)x2
+(#o12-
)x3+ #o
24-x
4
@o;%0E) 6 L;'
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