Тема 7. Функції

Змінна х називається незалежною змінною або аргументом,

множина Х – областю визначення функції, позначається D(f),

у – залежною змінною, або значенням функції,

Y – областю значень функції, позначається E(f).

•X •Y

•x1

•x2

•x3

•y1

•y2

•y3

Поняття функціїОзн. Якщо кожному елементу х з множини Х ставиться у

відповідність один елемент у з множини Y, то говорять що на

множині Х задана функція y=f(х).

Способи задання функції Табличний спосіб.

Використовується у випадку невеликої кількості можливих значень аргументу.

Таблицею можна задати одну або одразу декілька функцій. Для цього в першому рядку записують значення аргументу, а в наступних – значення функцій.

Нижче наведено приклад табличного задання двох функцій –доходу і податку в залежності від об'ємів продажів

Об’єм

продажів

(шт.)

25 41 37 50 12 70 90 120 60

Дохід 500 820 740 1000 240 1400 1800 2400 1200

Податок 100 164 148 200 48 280 360 480 240

Словесний спосіб.

Наприклад, функція Діріхле: y дорівнює 1, якщо х раціональне число, і 0, якщо ірраціональне.

Графічний спосіб.

Графіком функції y=f(x) називається множина точок площини

Графік — неперервна лінія на площині. , ,f x f x x D y

Аналітичний спосіб задання функції (за допомогою

формули).

В явному вигляді:

В неявному вигляді:

Параметрично:

)(xfy

0),( yxf

.параметр - ,)(

)(t

ty

tx

Наприклад, рівняння

визначають лінійну функцію

2 ,12 txty

521)2(2 xxy

Озн. Якщо кожному значенню відповідає єдине

значення таке, що , то функція

називається оберненою до

YyXx yxf )( )(1 yfx

).(xfy

Озн. Нехай функція y = f(x) визначена на множині X, а

функція z = (y) визначена на множині Y, причому область

значень функції f є областю визначення функції . Функція z

=(f(x)) називається складною функцією або суперпозицією

функцій y = f(x) і z = (y).

Позначення: f або (f) = (f (x)), - зовнішня, f –внутрішня функція.

Приклад. xy sinln

Озн. Функція у = f(х) називається

парною (непарною), якщо для

будь-якого значення х із D(у)

значення (-х) також належить D(у) і

виконується рівність f(-x) = f(х)

(f(-х) = -f(х)).

Графік парної функції симетричний

відносно осі ОY, непарної функції –

відносно початку координат.

Якщо функція не є ні парною, ні

непарною, то вона називається

функцією загального вигляду.

Властивості функцій1. Парність, непарність.

2. Монотонність.

Озн. Функція y=f(x) називається зростаючою (спадною),

якщо для будь-яких х1, х2 з її області визначення, таких що х1

<х2 , виконується нерівність f(х1)<f(х2) (f(х1)>f(х2)).

Озн. Функція y=f(x) називається незростаючою

(неспадною), якщо для будь-яких х1, х2 з її області визначення,

таких що х1 <х2 , виконується нерівність f(х1) ≥ f(х2) (f(х1) ≤

f(х2)).

Функції, які є неспадними або незростаючими називають

монотонними.

Спадні або зростаючі функції називають строго монотонними.

3. Обмеженість.

Озн. Функція y=f(x) називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число M (m), що для всіх x з області визначення цієї функції виконується нерівність

f(x)<M (f(x)>m).

Обмежена зверху і знизу функція називається обмеженою. (Функція y=f(x) називається обмеженою, якщо існує таке додатне число M>0, що для всіх x з області визначення цієї функції виконується нерівність |f(x)|<M.)

4. Періодичність.

Озн. Функція y=f(x) називається періодичною з періодом Т,

якщо для будь-якого x з області її визначення виконується

рівність

f(x+T) = f(x), (1)

де x+T теж належить області визначення функції.

Періодом функції називається найменше додатне число Т,

при якому виконується (1).

Приклад. ,2 ,cos Txy

,2/ ,4cos Txy

.1 ],[}{ Txxxy

Властивості функцій•y

•На інтервалах функція y=f(x) зростає, на

інтервалі спадає;

•в точках - максимум, - мінімум;

•точки - точки перегину.

•y=f(x)

•b•x2 •x4•x1 •x3 •x5•а •x

bxxa ;,; 42

42 ; xx

2xx 4xx

531 ,, xxxxxx

Основні елементарні функції

1.Степенева функція

3xy

nxy

•Степенева функція y=xn,

•де n – парне натуральне

число.

•y

•0 •x

•Степенева функція y=xn,

•де n – непарне натуральне

число.

•y

•0 •x

2xy - Df: (-, +).

- Функція парна при парному n, непарна при непарному n.

-Ef: (-, +) при непарному n ,

[0, +) при парному n

Степенева функція:

2 xy

•Степенева функція y=xn,

•де n=-(2k+1),

•y

•0 •x

•y

•0

•Степенева функція y=xn,

•де n=-2k

3 xy

nxy

Лінійна функція: , де k і b - будь-які сталі

числа.bkxy

•y

•Графік функції у=kx+b перетинає вісь Ox в точці

х=-k/b, вісь Oy в точці y=b.

•Два випадки: (1) k>0; (2) k<0.

•(1)•(2)

•b

•y=kx+b

•0•x

2. Показникова функція: , де а - додатне стале число, відмінне від одиниці .

xay

xy 2

•Графік функції .

•Випадки: (1) 0<а<1, (2) a>1.

•(1) •(2)

•y

•1

•0 •x

xay

xy )2/1(

3. Логарифмічна функція: , де а-

додатне стале число.

•1

•x•0

•y

•1

•(2)

•(1)•y=x

•Графіки функції

•(1) 0<a<1, (2) a>1.

xy alog

xy alog

xy 2log

xy 2/1log

4. Тригонометричні функції:

ctgxytgxyxyxy ;;cos;sin

5. Обернені тригонометричні функції:

у = arcsin x, у = arccos x,

у = arctg x, у = arcctg x.

Класифікація функційФункції, отримані з основних елементарних функцій за

допомогою скінченної кількості арифметичних операцій і

операцій суперпозицій називаються елементарними

функціями.

Елементарні функції поділяють на алгебраїчні і трансцендентні

(неалгебраїчні).

До алгебраїчних функцій відносять:

1. Цілі раціональні функції (многочлени степені n)

Функції виду

де

Многочлен першого степеня називається лінійною функцією.

inn

i

in xaxP

0

)(

2. Дробово-раціональна функція.

Функція, яка є відношенням двох многочленів

.0)( ,)(

)()( xQ

xQ

xPxfy m

m

n

3. Ірраціональна функція.

Функції, при побудові яких використовуються арифметичні

операції та операції добування кореня.

Трансцендентними зокрема є функції:

Секанс: y = sec x, де sec x = 1/cos x.

Косеканс: y = cosec x, де cosec x = 1/sin x.

Синус гіперболічний: y = sh x = (ex – e–x)/2.

Косинус гіперболічний : y = ch x = (ex + e–x)/2.

Тангенс гіперболічний : y = th x = (ex – e–x)/ (ex + e–x).

Котангенс гіперболічний : y = cth x = (ex + e–x)/ (ex – e–x).

Секанс гіперболічний : y = sch x = 2/ (ex + e–x).

Косеканс гіперболічний : y = csch x = 2/ (ex – e–x).

22

Тема 8. Теорія границь

АБСОЛЮТНА ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА

Означення. Абсолютною величиною (або модулем) дійсного

числа називається невід'ємне число

.0 при ,

,0 при ,

aa

aaa

Властивості:

1. 2. 3.

4. 5.

6. і

7. Нехай нерівність рівносильна

0a aa aaa

|||| baba |||| baba

|||| baba 0 ,||

|| b

b

a

b

a

0 || x

|| ax

x

axa

25

Околом точки х0 називається будь-який відкритий інтервал,

який містить цю точку.

Відкритий інтервал (а,b) є околом кожної точки, що йому належить:

Означення. Нехай х0 R, > 0. Інтервал (х0 – , х0 + ) будемо називати -

околом точки х0 .

Позначення: U(х0,)= (х0 – , х0 +)= {x R | |x – х0|<}.

Послідовності

ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Означення. Числовою послідовністю {xn} називають

відображення з N в R, тобто xn = f (n).

Числа {xn}, де n=1,2,3,… – елементи послідовності, символ

xn – загальний член послідовності, а число n – його номер.

Інші способи задання послідовностей:

словесний

рекурентний

27

ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Означення. Послідовність називається

обмеженою зверху, якщо ;

обмеженою знизу, якщо ;

обмеженою, якщо ;

необмеженою, якщо ;

зростаючою, якщо ;

неспадною, якщо ;

спадною, якщо ;

незростаючою, якщо .

nM n x M

nm n x m

0 00 | nA n n n x A

•

1

nnxxn

1

nnxxn

, nm M n m x M

28

1n nx x

1n nx x

ГРАНИЦЯ ПОСЛІДОВНОСТІ

Означення. Число а називається границею послідовності

{xn}, якщо для будь-якого додатного числа існує номер N=

N() такий, що при n > N виконується нерівність | xn a| < .

Позначення.lim nn

a x

axnn

|||)(0 axNnN n

ГЕОМЕТРИЧНЕ ТЛУМАЧЕННЯ ГРАНИЦІ

означає: «Яке б не було додатне число ,

починаючи з деякого номера N+1, всі елементи

послідовності потрапляють в -окіл точки а».

lim nn

a x

•xn

•a•a

•n

•a±

•n

•2•N•N+1•1

•a

Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності

Означення. Послідовність {xn} називається нескінченно малоюпослідовністю (н.м.п.), якщо для будь-якого додатного числа існує такий номер N, що при n > N виконується нерівність

|x n | < . ( )

Означення. Послідовність {xn} називається нескінченновеликою послідовністю (н.в.п.), якщо для будь-якого додатногочисла A існує такий номер N, що при n > N виконуєтьсянерівність

|x n | > A. ( )

Теорема. Якщо {xn} – н.м.п. і всі її елементи відмінні від нуля,то {1/xn} – н.в.п., і навпаки, якщо {xn} н.в.п., тоді {1/xn} –н.м.п.

31

0lim

nn

x

nn

xlim

Границя числової послідовності na

1n

•0 •1

•a1

•1/2

•a2•a3•a4

•1/3•1/4

01

lim nn

1

1

n

nan

1

1

nbn

n

nc )1(

ВЛАСТИВОСТІ ЗБІЖНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

Теорема 1. (єдиність). Якщо послідовність має границю, то

вона єдина.

Теорема 2. Для того, щоб послідовність {xn} збігалася,

необхідно і досить, щоб її можна було представити у вигляді

x n = a + n , де , а , а {n} н.м.п.

Теорема 3. Збіжна послідовність є обмеженою.

Теорема 4. Сума (різниця) двох збіжних послідовностей {xn} і

{yn} збіжна послідовність, а її границя дорівнює сумі (різниці)

границь послідовностей

.nnnnnnnyxyx

limlim)(lim

33

ВЛАСТИВОСТІ ЗБІЖНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

Теорема 5. Добуток двох збіжних послідовностей {xn} і {yn}

збіжна послідовність, а її границя дорівнює добутку границь

послідовностей {xn} і {yn}

.

Теорема 6. Частка двох збіжних послідовностей {xn} і {yn} за

умови, що для всіх n yn 0 і границя {yn} відмінна від нуля,

теж збіжна послідовність, а її границя дорівнює частці границь

послідовностей {xn} і {yn}

nnnnnnnyxyx

limlim)(lim

nn

nn

n

n

n y

x

y

x

lim

limlim

34

ВЛАСТИВОСТІ ЗБІЖНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

Теорема 7. Нехай {xn} збіжна послідовність і

Тоді .

Наслідок. Якщо {xn} і {yn} збіжні послідовності і

, то .

Теорема 8.(про границю проміжної послідовності) Нехай {xn},

{yn} і {zn} – послідовності, і

1. {xn} і{zn} збіжні;

2. ;

3.

Тоді {yn} теж збіжна послідовність і

.

nnyxn

nnnnyx

limlim

nnn zyxn

azxnnnn

limlim

aynn

lim

bxn n bxn

n

lim

35

Теорема 9. (Вейєрштраса) (Монотонна обмежена

послідовність збіжна.)

Кожна зростаюча числова послідовність {xn} має

границю: скінченну, якщо вона обмежена зверху, і

нескінченну, якщо вона необмежена зверху, причому

Аналогічно, якщо {xn} – спадна послідовність, то існує

(скінченна або нескінченна) границя

і, відповідно, ця границя скінченна, якщо послідовність

обмежена знизу, і нескінченну, якщо вона необмежена знизу.

36

}.sup{lim nxxn

n

},inf{lim nxxn

n

Границя функції

Границю функції позначають: .

Математично означення границі функції записують так:

limx a

f x b

0 ( ) 0, ÷òî ï ðè ( )x a f x b

Означення. Число А називається границею функції f(x) при х,

що прямує до а (х а), якщо для будь-якого як завгодно

малого числа знайдеться таке мале число , що для

всіх х, які задовольняють умову , виконується

нерівність

0

ax

0

Axf )(

Геометрично число b є границею функції при

, якщо для любого знайдеться такий

-окіл точки а, що для всіх з цього

-околу відповідні точки графіку функції

лежать всередині смуги шириною , обмеженої

прямими і .

f x

x a 0

x a

y f x

2y b y b

Односторонні границі

Якщо прямує до границі при х прямуючому до а

так, що х набуває лише значення з інтервалу , то

називають границею функції в точці а зліва, і записують:

.

Якщо прямує до границі при х прямуючому до а

так, що х набуває лише значення з інтервалу , то

називають границею функції в точці а справа, і

записують: .

f x

1b ;a a

10

limx a

f x b

1b

f x

f x2b

2b ;a a f x

20

limx a

f x b

Границі ,

називаються односторонніми

границями.

0

limx a

f x

0

limx a

f x

Приклад:

Функція в точці х=0 має

ліву і праву границі:

0lim 1x

sign x

0lim 1x

sign x

Теорема: Функція має границю в точці

тоді і тільки тоді, коли в цій точці існують як ліва,

так і права скінченні границі і вони рівні між собою,

тобто

.

Зауваження: Для існування границі функції при х

прямуючому до а не потрібно, щоб функція була

визначена в точці . Потрібно, щоб функція

була визначена в околі точки а.

f x x a

0 0

lim lim limx a x a x a

f x f x f x b

x a

Приклад: Довести, що .

Розв'язок:

Функція не визначена при х=2. Доведемо,що для довільного ε знайдеться δ, щовиконуватиметься нерівність:

При нерівність еквівалентна нерівності:

Тому δ= ε і, отже,

2

2

4lim 4

2x

x

x

2 4

2

x

x

2 44 , åñëè 2

2

xx

x

2x 2 4 ( 2)( 2)

4 4 2 4 22 2

x x xx x

x x

2

2

4lim 4.

2x

x

x

Нескінченні границі

Àxfx

)(lim

AxfxfDx )(1

)(:0)(0

•х

•у

•А

•y=f(x)

Аxfx

)(lim•х

•у

•А

•y=f(x)

AxfxfDx )(1

)(:0)(0

Àxfx

)(lim

AxfxfDx )(1

||)(:0)(0

Нескінченно малі та великі функції

Означення: Функція називається нескінченно

малою (н. м.) при , якщо

Означення: Функція називається нескінченно

великою (н. в.) при , якщо

x a x

lim 0.x a

x

)(0)(:0)(0 0 xxxfDx

)(x

)(lim0

xxx0xx

1)(0)(:0)(0 0 xxxfDx

Властивості н.м. функцій

1. Сума, різниця, добуток двох н.м. при x x0 є н.м. функція

при x x0.

2. Нехай (x) – н.м. при x x0, f(x) – обмежена в U*( x0, ),

тоді (x) f(x) – н.м. при x x0.

3. Якщо (x) - н.м. при x x0, то с (x) - н.м. при x x0,

с-константа.

4. Якщо функція у = f(x) – н.м. при x x0 і f(x) 0 в деякому

околі точки x0, то функція y=1/f(x) – н.в. при x x0. Якщо

функція у = f(x) - н.в. при x x0, і f(x) 0 в деякому околі

точки x0, то функція y = 1/f(x) – н.м. при x x0.

5. Частка від ділення н.м. на збіжну відмінну від нуля функцію

при x x0 є н.м. функція при x x0.

Властивості функцій, що мають

границю

1. Якщо границя функції f(x) при хx0 існує, то вона єдина.

2. Якщо функція f(x) при х x0 має скінченну границю, то

вона обмежена в деякому околі точки x0.

3. .

4. (Озн. границі за Гейне) якщо для будь-якої

послідовності xn значень аргументу, що прямує до x0

відповідна послідовність значень функції f(xn)

збігається до А.

0..)(),()()(lim0

xxïðèìíxxAxfAxfxx

Axfxx

)(lim0

5. (властивості пов'язані з арифметичними

операціями)

Якщо функції f1(x) і f2(x) мають границю при ха , то

а).

б)

в)

Наслідок:

г)

1 2 1 2lim lim lim .x a x a x a

f x f x f x f x

lim lim .x a x a

C f x C f x

1 2 1 2lim lim lim .x a x a x a

f x f x f x f x

lim lim .nn

x a x af x f x

11

2

2 2

limlim , lim 0 .

lim

x a

x a x a

x a

f xf xf x

f x f x

6. Нехай , і f(x) < g(x) xU*(x0, )

(або f(x) ≤ g(x)), тоді А ≤ B.

7. Нехай x U*(x0,) виконується f(x) ≤ g(x) ≤ (x). Якщо

існує та існує , причому

, то існує і .

8. Властивість про границю композиції функцій.

Нехай і існують

тоді g(f(x))=g f має границю при хx0, причому

.

Axfxx

)(lim0

Bxgxx

)(lim0

)(lim0

xfxx

)(lim0

xxx

Axxfxxxx

)(lim)(lim00

Axgxx

)(lim0

ZYgYXf :,:0

)(lim0

yxfxx

0

)(lim0

zygyy

0)(lim))((lim

00

zygxfgyyxx

•х0

•g

•h

•f

Невизначеності.

Способи розкриття

невизначеностей.

Якщо не виникає ніяких невизначеностей, то

границя функції знаходиться за допомогою

безпосередньої підстановки замість х граничного

значення.

Наприклад:

2 21

5 1 5( 1) 1 6lim 3;

1 ( 1) 1 2x

x

x

2

3

9 9 9 0lim 0;

2 1 2 3 1 7x

x

x

22

3 1 3 2 1 5lim . . .

4 4 4 . .x

xб б

x б м

Розкриття невизначеностей

Існують кілька видів невизначеностей:

1. Невизначеність .

При виникненні такої невизначеності можливі два

випадки:

а) вираз, що знаходиться під знаком границі, є

дробово-раціональною функцією;

б) вираз, що знаходиться під знаком границі,

містить дробово-ірраціональну функцію.

001 0

0

0

0

а) вираз, що знаходиться під знаком границі, є

дробово-раціональною функцією

Якщо чисельник і знаменник функції

перетворюються в 0, це означає, що число, до якого

прямує аргумент є коренем многочленів чисельника

і знаменника.

Тому чисельник і знаменник потрібно розкласти

на множники і скоротити на спільний множник.

Многочлени другого степеня розкладають на

множники за коренями х1 і х2:

2

1 2 .ax bx c a x x x x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

Розкладемо чисельник і знаменник на множники,

для цього знайдемо корені многочленів:

2

21 1

1 54 5 0lim lim

3 2 0 1 2x x

x xx x

x x x x

1

5 6lim 6

2 1x

x

x

2

21

4 5lim .

3 2x

x x

x x

2

1,24 , .2

b DD b ac x

a

2

1 24 5 0, 36, 1, 5.x x D x x 2

1 23 2 0, 1, 1, 2.x x D x x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

При розкладі чисельника і знаменника на

множники можна застосувати ділення многочлена на

многочлен в стовпчик:2

2

2 7 5 1

2 52 2

5 5

5 5

0

x x x

xx x

x

x

2

2

3 2 5 1

3 53 3

5 5

5 5

0

x x x

xx x

x

x

2

21

3 2 5 0lim

2 7 5 0x

x x

x x

2

21

3 2 5lim

2 7 5x

x x

x x

1 1

1 3 5 3 5 8 8lim lim

1 2 5 2 5 3 3x x

x x x

x x x

б) вираз, що знаходиться під знаком границі,

містить дробово-ірраціональну функцію

В цьому випадку для розкриття невизначеності і

чисельник і знаменник дробу домножують на

спряжений вираз до ірраціонального,

використовуючи формулу різниці квадратів (або

різниці чи суми кубів):

2 2a b a b a b

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

Маємо ірраціональний вираз в знаменнику, тому і

чисельник і знаменник домножуємо на спряжений

вираз до знаменника.

3

( 3)( 5 1 4)lim

( 5 1 4)( 5 1 4)x

x x

x x

3

3lim

5 1 4x

x

x

3

3 0lim

05 1 4x

x

x

3

( 3)( 5 1 4)lim

5 1 16x

x x

x

3

( 3)( 5 1 4)lim

5 15x

x x

x

3

( 3)( 5 1 4)lim

5( 3)x

x x

x

3

5 1 4 8lim

5 5x

x

Приклад. Знайти границю:

Розв’язок:

Маємо ірраціональний вираз в чисельнику, тому і

чисельник і знаменник домножуємо на спряжений

вираз до чисельника.

2

3 1 4 0lim

2 0x

x

x

2

3 1 4lim

2x

x

x

2

(3 1 4 )(3 1 4 )lim

( 2)(3 1 4 )x

x x

x x

2

9 (1 4 )lim

( 2)(3 1 4 )x

x

x x

2

8 4lim

( 2)(3 1 4 )x

x

x x

2

4(2 )lim

( 2)(3 1 4 )x

x

x x

2

4 4 2lim

6 33 1 4x x

Приклад. Знайти границю:

Розв’язок:

Тут і чисельник і знаменник містять ірраціональні вирази,

тому домножуємо їх на спряжені вирази до чисельника і

знаменника.

4

2 0lim

03 2 1x

x

x

4

2lim

3 2 1x

x

x

4

(4 )(3 2 1)lim

(9 (2 1))(2 )x

x x

x x

4

(2 )(2 )(3 2 1)lim

(3 2 1)(3 2 1)(2 )x

x x x

x x x

4

(4 )(3 2 1)lim

(8 2 )(2 )x

x x

x x

4

(4 )(3 2 1)lim

2(4 )(2 )x

x x

x x

4

3 2 1 6 3lim

8 42(2 )x

x

x

2. Невизначеність типу (нескінченність поділити

на нескінченність).

В цьому випадку вираз, який стоїть під знаком

границі, є часткою многочленів.

Для розв'язання такого типу невизначеності

потрібно поділити всі доданки чисельника і

знаменника на змінну х в старшому степені і

розглянути границю кожного доданку окремо.

( ).

( )

n

m

P x

P x

Приклад. Знайти границю:

Розв’язок:

2

2

3 10 8lim

5 4x

x x

x x

2

2 2 2

2

2 2 2

3 10 8

lim5 4x

x x

x x x

x x

x x x

2

2

10 83

lim 35 4

1x

x x

x x

2

2

3 10 8lim

5 4x

x x

x x

0 0

0 0

Приклад. Знайти границю:

Розв’язок:

22 3 1lim

5 1x

x x

x

22 3 1lim

5 1x

x x

x

2

2 2 2

2 2

2 3 1

lim5 1x

x x

x x xx

x x

2

2

3 12

2lim

5 1 . .x

x x

б м

x x

Приклад. Знайти границю:

Розв’язок:

2

3

3 5lim

4x

x

x x

2

3 3

3

3 3 3

3 5

lim4x

x

x x

x x

x x x

2 3

. .lim 0

1 41

x

б м

x x

2

3

3 5lim

4x

x

x x

3. Невизначеність типу

Для розв'язування невизначеностей такого типу,

потрібно помножити і поділити на вираз спряжений

до ірраціонального виразу, який знаходиться під

знаком границі.

.

Приклад. Знайти границю:

Розв’язок:

2lim(2 4 3 )x

х x x

2 2

2

(2 4 3 )(2 4 3 )lim

(2 4 3 )x

х x x х x x

х x x

2 2

2

4 (4 3 )lim

2 4 3x

x x х

х x x

2

3lim

2 4 3x

x

х x x

2

3 3 3lim lim

4 42 4x x

x x

xх x

2lim(2 4 3 )x

х x x

Перша та друга чудові

границі

I чудова границя

Цю границю використовують, якщо вираз під

знаком границі містить тригонометричні функції.

Часткові випадки першої чудової границі:

Наслідки:

0lim 1

sinx

x

x

0

sinlim 1x

x

x

0lim 1

sinx

kx

kx

0

sinlim 1x

kx

kx

0

0

1arcsin

lim0

x

xx

1lim0

x

tgx

x1lim

0

x

arctgxx 2

1cos1lim

20

x

x

x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

0

0lim

0x

tg x

x

0 0 0

sin sin 1lim lim lim 1

cos cosx x x

x x

x x x x

0limx

tg x

x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

0limsin3 5x

x ctg x

0

limsin3 5 0x

x ctg x

0

cos5limsin3

sin5x

xx

x

0

3 sin3 cos5 5lim

3 sin5 5x

x x x x

x x x

0

3 cos5 3lim

5 5x

x x

x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

2

0 0

1 cos6 0 2sin 3lim lim

sin 0 sinx x

x x

x x x x

0

2sin3 sin3 3 3lim

3 3 sinx

x x x x x

x x x x x

2

20

18lim 18x

x

x

0

1 cos6lim

sinx

x

x x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

0 0

4

44 0

lim lim113 0

34 40 0

x y

y arctg x

x tgyarctg x y

x x tgy tgy

x y

0

4lim

3x

arctg x

x

0 0

4 cos 4 4lim limcos

3 sin 3 3y y

y yy

y

II чудова границя

де

Показникова функція з основою е має вигляд: і називається

експонентою.

Логарифм з основою е має вигляд: і називається натуральним.

Якщо , то

1

0lim 1 x

xx e

1lim 1

x

xe

x

ye x

xy e

2,7e

log lne x x

ln .y x

1

Наслідки: ax

a x

xln

1lim

0

1

1lim

0

x

ex

x

x

x

x

1)1(lim

0ax

xa

x ln1)1(log

lim0

1)1ln(

lim0

x

x

x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

31

lim 1 1

x

x x

3

31lim 1

х

xe

х

31

lim 1

x

x x

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

33

lim 1 12 1

x

x x

3

(3 )2 1 2 1

3

1lim 1

2 1

3

хx х

x x

33

lim 12 1

x

x x

3

1lim 1

2 1

3

х

x х

33

lim 12 1

х

x х

9 3 3 3lim lim

2 1 2 2x x

x x

x xe e e

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

2 12 3

lim 12 5

x

x

x

x

2 12 3

lim2 5

x

x

x

x

2 1(2 5) 5 3

lim2 5

x

x

x

x

2 12 5 8

lim2 5 2 5

x

x

x

x x

8(2 1)

2 5 2 58

1lim 1

2 5

8

xx x

x x

16 8 16

lim lim82 5 2x x

x x

x xe e e

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

3

2

2lim(5 2 ) .

x

x

xx

3

2

2

2

lim(5 2 ) 1 2

2 0

x

x

x

y x

x x y

x y

3( 2) 3 6

2 ( 2)

0 0lim(5 2( 2)) lim(5 2 4)

y y

y y

y yy y

0

2 3 61 1 lim (6 12)

122

0lim (1 ( 2 )) .y

y y

y yy

yy e e

Приклад. Знайти границю:

Розв'язок:

Можливі два випадки:

3 1 . .

. .1 1lim lim 2 . .

2 2

x б б

б б

x xб б

3 1 . .

. .

1 1 1 1lim lim 0

2 2 2 . .

x б б

б бx x б б

3 1 3 1 3 12 3 2 1

lim lim lim4 3 4 2

x x x

x x x

x x

x x

3 12 3

lim4 3

x

x

x

x

Порівняння нескінченно малих функцій

•Нехай α(х) і β(х) – н. м. при х→х0 функції і .)(

)(lim

0

Ax

x

xx

•А≠0, А≠1: α і β – н. м. однакового порядку;

•А=0: α – вищого порядку малості,

•А=±∞: β – вищого порядку малості;

•А=1: α і β – еквівалентні н. м., α~β.

);( о

Теорема. Границя відношення двох нескінченно малих

функцій в точці дорівнює границі відношення двох

еквівалентних до них функцій в точці 1xx

.1xx

Таблиця еквівалентних нескінченно малих

якщо (x) 0 при x x0 , то

)(~)(sin xx

)(~)(tg xx

)(~)(arcsin xx

)(~)(arctg xx

)(~)(1ln xx

a

xxa

ln

)(~)(1log

)(~1)( xe x

axa x ln)(~1)(

2

)(~)(cos1

2x

x

1)(1 n xn

x)(~

Неперервність

функції

Функція )(xfy називається неперервною

в точці 1xx , якщо:

1) ця функція визначена в точці 1x і в деякому

околі точки 1x ;

2) границя функції при 1xx дорівнює

значенню функції в цій точці, тобто ).()( 1lim

1

xfxfxx

Означення 1.

Нехай функція визначена при деякому

значенні і в деякому околі з центром в точці .

Нехай .

Аргументу х надамо деякого приросту .

Тоді приріст функції виражається формулою:

0 0( )y f x

( )y f x

0x

0 0( )y f x x f x

0x x

0x

0x

0 0( )y y f x x

0 0( )y f x

x

Означення 2: Функція називається

неперервною в точці , якщо вона визначена в точці

і деякому її околі, і якщо

або

Умову неперервності записують у вигляді:

Геометрично неперервність функції в точці

означає, що різниця ординат графіку функції

в точках і буде за абсолютною

величиною малою, якщо буде достатньо

малим.

0 00

lim ( ).x

f x x f x

( )y f x

0x

0x x

0x

0x

0 00

lim( ( ) ( )) 0x

f x x f x

( )y f x

x

0lim 0x

y

Означення 3

Функція )(xfy називається неперервною в точці

1xx справа (зліва), якщо:

1) )(xf визначена в деякому правому (лівому)

напівоколі точки 1x ]),(();[ 1111 xxxx ;

2) )()(lim 101

xfxfxx

( )()(lim 101

xfxfxx

).

Озн. Функція )(xfy називається неперервною на

інтервалі ),( ba , якщо вона неперервна в кожній точці

цього інтервалу.

Озн. Функція )(xfy називається неперервною на відрізку

],[ ba , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу, і

крім того, в точці ax неперервна справа, а в точці bx -

неперервна зліва.

Властивості неперервних функцій

1. Нехай функції y=f(x), y=g(x) неперервні в точці . Тоді0x

0

1) , 2)

3) , 0

f x g x f x g x

f xg x

g x

•- неперервні в

точці 0x

2. Складна функція, складена з неперервних функцій, неперервна

в відповідній точці.

3. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї

області визначення.

4. Якщо f(x) неперервна в точці x0 і f(x0)<0 (f(x0)>0), то існує окіл

точки x0, в якому f(x)<0 (f(x)>0).

1.Теорема Вейерштраса

Якщо функція )(xf визначена і неперервна на замкненому

проміжку ],[ ba , то вона обмежена на ],[ ba і набуває свого

sup i inf, тобто існують такі сталі і скінченні числа m і M , що

Mxfm )( при .bxa

Властивості неперервних на відрізку функцій

2.Теорема (про проміжне значення)

Нехай функція )(xfy визначена і неперервна на відрізку ],[ ba .

Якщо на кінцях цього відрізка функція приймає нерівні значення

Aaf )( і Bbf )( , то яким би не було число , що міститься

між числами A і B , знайдеться така точка ,cx яка міститься між

a і b , що .)( cf

Умови неперервності:

1. Функція визначена в точці х=х0, тобто f(x0).

2. В цій точці мають існувати скінченні

односторонні границі

3. Ці границі повинні бути рівними між собою:

4. Ці границі повинні дорівнювати значенню

функції в цій точці:

0 00 0lim ( ) lim ( ).

x x x xf x f x

0 00

0 0lim ( ) lim ( ) ( ).

x x x xf x f x f x

0 00 0lim ( ) è lim ( ).

x x x xf x f x

Означення.

Точка, в якій порушується хоча б одна з умов

неперервності функції, називається точкою

розриву, а сама функція називається

розривною в цій точці.

Точки розриву

Першого роду

(односторонні границі

існують і скінченні)

Другого роду(хоч би одна з односторонніх

границь не існує або

дорівнює нескінченності)

Усувні(односторонні границі

рівні )

Стрибок(односторонні границі

нерівні )

Приклад. Знайти точки розриву функції і

вказати характер розриву.

Розв'язок:

Задана функція визначена на всій числовій прямі,

за винятком точки .

Односторонні границі:

Отже, точка є точкою усувного розриву.

2 4

2

xy

x

2

2 0 2 0 2 0

4 ( 2)( 2)lim lim lim ( 2) 4.

2 ( 2)x x x

x x xx

x x

2

2 0 2 0 2 0

4 ( 2)( 2)lim lim lim ( 2) 4.

2 ( 2)x x x

x x xx

x x

2x

2x

Приклад. Знайти точки розриву функції і

вказати характер розриву.

Розв'язок :

Функція визначена на всій числовій прямі, крім

точки .

Знайдемо односторонні границі.

Отже, точка

є точкою розриву I роду.

2xy

x

0x

0 0

2 2lim lim 2,x x

x x

x x

0 0

2 2lim lim 2,x x

x x

x x

0x